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第02講 空間點、直線、平面之間的位置關系
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考綱導向
小
)
考點要求 考題統計 考情分析
(1) 空間點、直線、平面的位置關系 (2) 異面直線所成的角 2024年天津卷5分2024年甲卷5分2022年I卷5分2022年乙卷5分2021年乙卷5分2021年II卷5分2021年浙江卷5分
（1）本講為高考命題熱點，題型以選擇題為主； （2）重點是空間點、直線、平面的位置關系和異面直線所成的角，主要考查空間點、直線、平面的位置關系的判斷，求異面直線所成的角；注意加強培養空間想象能力.
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考試要求
小
)
1、借助長方體，在直觀認識空間點、直線、平面的位置關系的基礎上，抽象出空間點、直線、平面的位置關系的定義；
2、了解四個基本事實和一個定理，并能應用定理解決問題.
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考點突破考綱解讀
)
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考點梳理
小
)
知識點1: 四大公理
1、四大公理
（1）公理1：如果一條直線上的 在一個平面內，那么這條直線在此平面內；
【作用：證明點、直線在平面內】
（2）公理2：過不在一條直線的 ，有且只有一個平面；
【作用：確定平面；判斷點、線共面】
1）推論1：經過直線和直線外一點，有且只有一個平面；
2）推論2：經過兩條相交直線，有且只有一個平面；
3）推論3：經過平行直線，有且只有一個平面；
（3）公理3：如果兩個不重合的平面有一個公共點，那么它們 一條過該點的公共直線；
【作用：證明三線共點或三點共線】
（4）公理4：平行于同一條直線的兩條直線相互 ；
【作用：平行具有傳遞性，證明平行】
知識點2: 空間點線面的位置關系
1、點線面的位置關系
知識點3: 異面直線所成的角
1、等角定理
若空間中兩個角的兩條邊分別對應平行，那么這兩個角 ；
2、異面直線所成的角
（1）定義：已知兩條異面直線，作直線的平行線相交于點，把直線與所成的角叫做 ；
（2）范圍：；
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題型展示
小
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題型一: 空間直線與直線的位置關系
【例1】若直線和是異面直線，在平面內，在平面內，l是平面與平面的交線，則下列命題正確的是（ ）
A．與，都相交 B．與，都不相交
C．至少與，中的一條相交 D．至多與，中的一條相交
【變式1】若是兩條不同的直線，垂直于平面，則“”是“”的（ ）
A．充分而不必要條件 B．必要而不充分條件
C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件
題型二: 空間直線與平面的位置關系
【例2】（多選）如圖，在下列四個正方體中，A，B為正方體的兩個頂點，M，N，Q為所在棱的中點，則在這四個正方體中，直線與平面平行的是（ ）
A． B．
C． D．
【變式2】已知直線a，b分別在兩個不同的平面，內則“直線a和直線b相交”是“平面和平面相交”的　
A．充分不必要條件 B．必要不充分條件
C．充要條件 D．既不充分也不必要條件
題型三: 異面直線所成角
【例3】已知直三棱柱中，，，，則異面直線與所成角的余弦值為（ ）
A． B． C． D．
【變式3】在正方體中，為棱的中點，則異面直線與所成角的正切值為（ ）
A． B． C． D．
(
考場演練
)
【真題1】（2024·全國甲卷）設為兩個平面，為兩條直線，且.下述四個命題：
①若，則或 ②若，則或
③若且，則 ④若與,所成的角相等，則
其中所有真命題的編號是（ ）
A．①③ B．②④ C．①②③ D．①③④
【真題2】（2024·天津）若為兩條不同的直線，為一個平面，則下列結論中正確的是（ ）
A．若，，則 B．若，則
C．若，則 D．若，則與相交
【真題3】（2022·全國乙卷）在正方體中，E，F分別為的中點，則（ ）
A．平面平面 B．平面平面
C．平面平面 D．平面平面
【真題4】（2022·全國新Ⅰ卷）（多選）已知正方體，則（ ）
A．直線與所成的角為 B．直線與所成的角為
C．直線與平面所成的角為 D．直線與平面ABCD所成的角為
【真題5】（2021·全國乙卷）在正方體中，P為的中點，則直線與所成的角為（ ）
A． B． C． D．
【真題6】（2021·浙江）如圖已知正方體，M，N分別是，的中點，則（ ）
A．直線與直線垂直，直線平面
B．直線與直線平行，直線平面
C．直線與直線相交，直線平面
D．直線與直線異面，直線平面
【真題7】（2021·全國新Ⅱ卷）（多選）如圖，在正方體中，O為底面的中心，P為所在棱的中點，M，N為正方體的頂點．則滿足的是（ ）
A． B．
C． D．
【真題8】（2019·全國）如圖，點為正方形的中心，為正三角形，平面平面是線段的中點，則（ ）
A．，且直線是相交直線
B．，且直線是相交直線
C．，且直線是異面直線
D．，且直線是異面直線
【真題9】（2019·全國）設，為兩個平面，則的充要條件是（ ）
A．內有無數條直線與平行
B．內有兩條相交直線與平行
C．，平行于同一條直線
D．，垂直于同一平面
【真題10】（2019·北京）已知l，m是平面外的兩條不同直線．給出下列三個論斷：
①l⊥m；②m∥；③l⊥．
以其中的兩個論斷作為條件，余下的一個論斷作為結論，寫出一個正確的命題： ．
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第02講 空間點、直線、平面之間的位置關系
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考綱導向
小
)
考點要求 考題統計 考情分析
(1) 空間點、直線、平面的位置關系 (2) 異面直線所成的角 2024年天津卷5分2024年甲卷5分2022年I卷5分2022年乙卷5分2021年乙卷5分2021年II卷5分2021年浙江卷5分
（1）本講為高考命題熱點，題型以選擇題為主； （2）重點是空間點、直線、平面的位置關系和異面直線所成的角，主要考查空間點、直線、平面的位置關系的判斷，求異面直線所成的角；注意加強培養空間想象能力.
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考試要求
小
)
1、借助長方體，在直觀認識空間點、直線、平面的位置關系的基礎上，抽象出空間點、直線、平面的位置關系的定義；
2、了解四個基本事實和一個定理，并能應用定理解決問題.
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考點突破考綱解讀
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考點梳理
小
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知識點1: 四大公理
1、四大公理
（1）公理1：如果一條直線上的兩點在一個平面內，那么這條直線在此平面內；
【作用：證明點、直線在平面內】
（2）公理2：過不在一條直線的三點，有且只有一個平面；
【作用：確定平面；判斷點、線共面】
1）推論1：經過直線和直線外一點，有且只有一個平面；
2）推論2：經過兩條相交直線，有且只有一個平面；
3）推論3：經過平行直線，有且只有一個平面；
（3）公理3：如果兩個不重合的平面有一個公共點，那么它們有且只有一條過該點的公共直線；
【作用：證明三線共點或三點共線】
（4）公理4：平行于同一條直線的兩條直線相互平行；
【作用：平行具有傳遞性，證明平行】
知識點2: 空間點線面的位置關系
1、點線面的位置關系
知識點3: 異面直線所成的角
1、等角定理
若空間中兩個角的兩條邊分別對應平行，那么這兩個角相等；
2、異面直線所成的角
（1）定義：已知兩條異面直線，作直線的平行線相交于點，把直線與所成的角叫做異面直線與所成的角；
（2）范圍：；
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題型展示
小
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題型一: 空間直線與直線的位置關系
【例1】若直線和是異面直線，在平面內，在平面內，l是平面與平面的交線，則下列命題正確的是（ ）
A．與，都相交 B．與，都不相交
C．至少與，中的一條相交 D．至多與，中的一條相交
【答案】C
【解析】
l與l1，l2可以都相交，可能和其中一條平行，和其中一條相交，如圖
至少與，中的一條相交，答案為C．
【變式1】若是兩條不同的直線，垂直于平面，則“”是“”的（ ）
A．充分而不必要條件 B．必要而不充分條件
C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件
【答案】B
【解析】
若，垂直于平面，則或；若，又垂直于平面，則，
“ ”是“ 的必要不充分條件，答案為B．
題型二: 空間直線與平面的位置關系
【例2】（多選）如圖，在下列四個正方體中，A，B為正方體的兩個頂點，M，N，Q為所在棱的中點，則在這四個正方體中，直線與平面平行的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】BCD
【解析】
對A，OQ∥AB，OQ與平面MNQ相交，故AB和平面MNQ不平行，A錯；
對B，AB∥CD∥MQ，結合線面平行判定定理可知AB∥平面MNQ，B正確；
對C，AB∥CD∥MQ，結合線面平行判定定理可知AB∥平面MNQ：C正確；
對D，AB∥CD∥NQ，結合線面平行判定定理可知AB∥平面MNQ：D正確；答案為BCD.
【變式2】已知直線a，b分別在兩個不同的平面，內則“直線a和直線b相交”是“平面和平面相交”的　
A．充分不必要條件 B．必要不充分條件
C．充要條件 D．既不充分也不必要條件
【答案】A
【解析】
當“直線a和直線b相交”時，平面α和平面β必有公共點，即平面α和平面β相交，充分性成立；
當“平面α和平面β相交”，則 “直線a和直線b可以沒有公共點”，即必要性不成立；答案為A.
題型三: 異面直線所成角
【例3】已知直三棱柱中，，，，則異面直線與所成角的余弦值為（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
如圖所示，補成直四棱柱，
則所求角為，
易得，因此，答案為C．
【變式3】在正方體中，為棱的中點，則異面直線與所成角的正切值為（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
在正方體中，，異面直線與所成角為，
設正方體邊長為，則由為棱的中點，可得，，
則；答案為C.
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考場演練
)
【真題1】（2024·全國甲卷）設為兩個平面，為兩條直線，且.下述四個命題：
①若，則或 ②若，則或
③若且，則 ④若與,所成的角相等，則
其中所有真命題的編號是（ ）
A．①③ B．②④ C．①②③ D．①③④
【答案】A
【解析】
對①，當， ，，則，當， ，，則，
當既不在也不在內，，，則且，①正確；
對②，若，則與不一定垂直，②錯；
對③，過直線分別作兩平面與分別相交于直線和直線，
，過直線的平面與平面的交線為直線，則根據線面平行的性質定理知，
同理可得，則， 平面，平面，則平面，
平面，，則，又，則，③正確；
對④，若與和所成的角相等，如果，則，④錯；
綜上只有①③正確，答案為A.
【真題2】（2024·天津）若為兩條不同的直線，為一個平面，則下列結論中正確的是（ ）
A．若，，則 B．若，則
C．若，則 D．若，則與相交
【答案】C
【解析】
對A，若，，則平行或異面或相交，A錯；
對B，若，則平行或異面或相交，B錯；
對C，，過作平面，使得，
，故，而，故，故，C正確；
對D，若，則與相交或異面，D錯；答案為C.
【真題3】（2022·全國乙卷）在正方體中，E，F分別為的中點，則（ ）
A．平面平面 B．平面平面
C．平面平面 D．平面平面
【答案】A
【解析】
在中，且平面，平面，，
分別為的中點，，，又，平面，
又平面，平面平面，A正確；
對B，如圖設，，則為平面與平面的交線，
在內，作于點，在內，作，交于點，連結，
則或其補角為平面與平面所成二面角的平面角，
由勾股定理可知：，，
底面正方形中，為中點，則，由勾股定理可得，
，，即，
平面平面不成立， B錯；
對C，取的中點，則，
與平面相交，平面平面不成立，C錯；
對D，取的中點，四邊形為平行四邊形，，
與平面相交，平面平面不成立，D錯；
答案為A.
【真題4】（2022·全國新Ⅰ卷）（多選）已知正方體，則（ ）
A．直線與所成的角為 B．直線與所成的角為
C．直線與平面所成的角為 D．直線與平面ABCD所成的角為
【答案】ABD
【解析】
如圖，連接、，，直線與所成的角即為直線與所成的角，
四邊形為正方形，則，故直線與所成的角為，A正確；
連接，平面，平面，則，
，，平面，
又平面，，B正確；
連接，設，連接，
平面，平面，則，
，，平面， 為直線與面所成的角，
設正方體棱長為，則，，，
直線與平面所成的角為，C錯；
平面，為直線與平面所成的角，，D正確；
答案為ABD
【真題5】（2021·全國乙卷）在正方體中，P為的中點，則直線與所成的角為（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】
如圖，連接，∥，或其補角為直線與所成的角，
平面，，又，，
平面，，設正方體棱長為2，則，
，；答案為D
【真題6】（2021·浙江）如圖已知正方體，M，N分別是，的中點，則（ ）
A．直線與直線垂直，直線平面
B．直線與直線平行，直線平面
C．直線與直線相交，直線平面
D．直線與直線異面，直線平面
【答案】A
【解析】
連，在正方體中，M是的中點，為中點，
又N是的中點， ，平面平面， 平面.
不垂直， 不垂直，則不垂直平面， B,D不正確；
在正方體中，，平面， ，
， 平面，平面， ，
且直線是異面直線， C錯，A正確；答案為A.
【真題7】（2021·全國新Ⅱ卷）（多選）如圖，在正方體中，O為底面的中心，P為所在棱的中點，M，N為正方體的頂點．則滿足的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】BC
【解析】
設正方體的棱長為，
對A，如圖（1），連接，則，故（或其補角）為異面直線所成的角，
在直角三角形，，，故，
不成立，A錯；
對于B，如圖（2），取的中點為，連接，，則，，
由正方體可得平面，而平面，
故，而，故平面，
又平面，，而，
平面，而平面，故，B正確.
對C，如圖（3），連接，則，由B的判斷可得，，C正確.
對D，如圖（4），取的中點，的中點，連接，則，
，，，或其補角為異面直線所成的角，
正方體的棱長為2，故，，
，，故不是直角，
故不垂直，故D錯誤；答案為BC.
【真題8】（2019·全國）如圖，點為正方形的中心，為正三角形，平面平面是線段的中點，則（ ）
A．，且直線是相交直線
B．，且直線是相交直線
C．，且直線是異面直線
D．，且直線是異面直線
【答案】B
【解析】
如圖， 作于，連接，過作于，連，
平面平面，平面，平面，平面，
與均為直角三角形．設正方形邊長為2，易知，
．；答案為B．
【真題9】（2019·全國）設，為兩個平面，則的充要條件是（ ）
A．內有無數條直線與平行
B．內有兩條相交直線與平行
C．，平行于同一條直線
D．，垂直于同一平面
【答案】B
【解析】
由面面平行的判定定理知：內兩條相交直線都與平行是的充分條件，
由面面平行性質定理知，若，則內任意一條直線都與平行，
內兩條相交直線都與平行是的必要條件，答案為B．
【真題10】（2019·北京）已知l，m是平面外的兩條不同直線．給出下列三個論斷：
①l⊥m；②m∥；③l⊥．
以其中的兩個論斷作為條件，余下的一個論斷作為結論，寫出一個正確的命題： ．
【答案】如果l⊥α，m∥α，則l⊥m或如果l⊥α，l⊥m，則m∥α.
【解析】
將所給論斷，分別作為條件、結論，得到如下三個命題：
（1）如果l⊥α，m∥α，則l⊥m. 正確；
（2）如果l⊥α，l⊥m，則m∥α.正確；
（3）如果l⊥m，m∥α，則l⊥α.不正確，有可能l與α斜交、l∥α.
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