資源簡介

/ 讓教學更有效 精品試卷 |數學
第03講 二項式定理
(
考綱導向
小
)
考點要求 考題統計 考情分析
(1) 二項式定理 (2) 二項式展開式的系數 2024年北京卷5分2022年北京卷5分2020年北京卷5分2020年甲卷5分2019年甲卷5分
（1）本講為高考命題熱點，題型以選擇題為主； （2）重點是二項式定理和全稱量詞與二項式展開式的系數，主要考查由二項式的通項公式求某一項的系數，二項式系數的性質以及二項式系數的和.
(
考試要求
小
)
1、能用多項式運算法則和計數原理證明二項式定理；
2、會用二項式定理解決與二項式展開式有關的簡單問題。
(
考點突破考綱解讀
)
(
考點梳理
小
)
知識點1: 二項式定理
1、二項式定理
（1）二項式定理：；
（2）二項展開式的通項：；
（3）二項式系數：
知識點2: 二項式系數的性質
2、二項式系數的性質
（1）對稱性：與首末兩端“等距離”的兩個二項式系數相等；
（2）增減性與最大值
1）當是偶數時，中間的一項為最大值；
2）當是奇數時，中間的兩項與為最大值；
（3）各二項式系數的和：
展開式的各二項式系數的和為;
(
題型展示
小
)
題型一: 二項式的通項公式
【例1】（2024·北京）在的展開式中，的系數為（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】
的二項展開式為，
令，；答案為A.
【變式1】（2015·全國）的展開式中，的系數為（ ）
A．10 B．20 C．30 D．60
【答案】C
【解析】
在的5個因式中，2個取因式中剩余的3個因式中1個取，其余因式取y,
的系數為=30，答案為C.
題型二: 二項式系數與項的系數
【例2】若，則（ ）
A．40 B．41 C． D．
【答案】B
【解析】
令，則，令，則，
，答案為B.
【變式2】已知的展開式中第項與第項的二項式系數相等，則奇數項的二項式系數和為（ ）．
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】
的展開式中第4項與第8項的二項式系數相等，，
二項式中奇數項的二項式系數和為．
題型三: 應用二項式定理求參數
【例3】二項式的展開式中項的系數為，則（ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
【答案】C
【解析】
二項式的展開式的通項是，令得的系數是，
的系數為，，即或，，；答案為C．
【變式3】已知的展開式中含的項的系數為，則等于（ ）．
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】
，令，；答案為D.
(
考場演練
)
【真題1】（2024·北京）在的展開式中，的系數為（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】
的二項展開式為，
令，；答案為A.
【真題2】（2022·北京）若，則（ ）
A．40 B．41 C． D．
【答案】B
【解析】
令，則，令，則，
，答案為B.
【真題3】（2020·北京）在的展開式中，的系數為（ ）．
A． B．5 C． D．10
【答案】C
【解析】
展開式的通項公式為：，
令，則的系數為：；答案為C.
【真題4】（2020·全國）的展開式中x3y3的系數為（ ）
A．5 B．10
C．15 D．20
【答案】C
【解析】
展開式的通項公式為（且）
的各項與展開式的通項的乘積可表示為：
和
在中，令，該項中的系數為，
在中，令，該項中的系數為
的系數為；答案為C.
【真題5】（2019·全國）的展開式中x3的系數為（ ）
A．12 B．16 C．20 D．24
【答案】A
【解析】
，答案為A．
【真題6】（2018·全國）的展開式中的系數為（ ）
A．10 B．20 C．40 D．80
【答案】C
【解析】
，令，；答案為C.
【真題7】（2017·全國）的展開式中33的系數為（ ）
A．-80 B．-40 C．40 D．80
【答案】C
【解析】
，
可得：
當時，展開式中的系數為，
當時，展開式中的系數為，
則的系數為；答案為C.
【真題8】（2017·全國）展開式中的系數為（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】
，展開式中含的項為，
展開式中含的項為，的系數為；答案為C．
【真題9】（2016·四川）設i為虛數單位，則(x＋i)6的展開式中含x4的項為（ ）
A．－15x4 B．15x4 C．－20ix4 D．20ix4
【答案】A
【解析】
二項式的展開式的通項為，令，則，
展開式中含的項為，答案為A.
【真題10】（2015·全國）的展開式中，的系數為（ ）
A．10 B．20 C．30 D．60
【答案】C
【解析】
在的5個因式中，2個取因式中剩余的3個因式中1個取，其余因式取y,
的系數為=30，答案為C.
21世紀教育網 www.21cnjy.com 精品試卷·第 2 頁 （共 2 頁）
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第03講 二項式定理
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(1) 二項式定理 (2) 二項式展開式的系數 2024年北京卷5分2022年北京卷5分2020年北京卷5分2020年甲卷5分2019年甲卷5分
（1）本講為高考命題熱點，題型以選擇題為主； （2）重點是二項式定理和全稱量詞與二項式展開式的系數，主要考查由二項式的通項公式求某一項的系數，二項式系數的性質以及二項式系數的和.
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考試要求
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1、能用多項式運算法則和計數原理證明二項式定理；
2、會用二項式定理解決與二項式展開式有關的簡單問題。
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考點突破考綱解讀
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考點梳理
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知識點1: 二項式定理
1、二項式定理
（1）二項式定理：；
（2）二項展開式的通項： ；
（3）二項式系數： ；
知識點2: 二項式系數的性質
2、二項式系數的性質
（1）對稱性：與首末兩端“等距離”的兩個二項式系數 ；
（2）增減性與最大值
1）當是偶數時，中間的一項 為最大值；
2）當是奇數時，中間的兩項與為最大值；
（3）各二項式系數的和：
展開式的各二項式系數的和為;
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題型一: 二項式的通項公式
【例1】（2024·北京）在的展開式中，的系數為（ ）
A． B． C． D．
【變式1】（2015·全國）的展開式中，的系數為（ ）
A．10 B．20 C．30 D．60
題型二: 二項式系數與項的系數
【例2】若，則（ ）
A．40 B．41 C． D．
【變式2】已知的展開式中第項與第項的二項式系數相等，則奇數項的二項式系數和為（ ）
A． B． C． D．
題型三: 應用二項式定理求參數
【例3】二項式的展開式中項的系數為，則（ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
【變式3】已知的展開式中含的項的系數為，則等于（ ）
A． B． C． D．
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考場演練
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【真題1】（2024·北京）在的展開式中，的系數為（ ）
A． B． C． D．
【真題2】（2022·北京）若，則（ ）
A．40 B．41 C． D．
【真題3】（2020·北京）在的展開式中，的系數為（ ）
A． B．5 C． D．10
【真題4】（2020·全國）的展開式中x3y3的系數為（ ）
A．5 B．10
C．15 D．20
【真題5】（2019·全國）的展開式中x3的系數為（ ）
A．12 B．16 C．20 D．24
【真題6】（2018·全國）的展開式中的系數為（ ）
A．10 B．20 C．40 D．80
【真題7】（2017·全國）的展開式中33的系數為（ ）
A．-80 B．-40 C．40 D．80
【真題8】（2017·全國）展開式中的系數為（ ）
A． B．
C． D．
【真題9】（2016·四川）設i為虛數單位，則(x＋i)6的展開式中含x4的項為（ ）
A．－15x4 B．15x4 C．－20ix4 D．20ix4
【真題10】（2015·全國）的展開式中，的系數為（ ）
A．10 B．20 C．30 D．60
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