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/ 讓教學更有效 精品試卷 |數學
第03講 導數與函數的極值
(
考綱導向
小
)
考點要求 考題統計 考情分析
(1) 利用導數求函數極值、最值 (2) 根據極值、最值求參數 2024年上海卷5分2023年II卷5分2022年I卷5分2022年甲卷5 分2022年乙卷10分2021年I卷5分2021年I卷5分
（1）本講為高考命題熱點，題型以選擇題、填空題、大題為主，考查內容、頻率、題型、難度均變化不大，基本有一個固定的大題； （2）重點是會用導數求函數的極大值、極小值和掌握利用導數研究函數最值的方法；主要考查利用導數求函數極值、最值，根據函數的極值、最值來確定參數的值和范圍； （3）導數求極值、最值的方法需要重點掌握和加強練習.
(
考試要求
小
)
1、借助函數圖像，了解在某處取得極值的必要條件和充分條件；
2、會用導數求函數的極大值、極小值；
3、掌握利用導數研究函數最值的方法；
4、會用導數研究生活中最優化問題.
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考點突破考綱解讀
)
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考點梳理
小
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知識點1:函數的極值
1、函數的極值定義
（1）函數的極大值
函數在點的處的函數值比在其附近的點處的函數值都 ；且 ，在附近的左側，右側，則是 ，是函數的 ；
（2）函數的極小值
函數在點的處的函數值比在其附近的點處的函數值都 ；且，在附近的左側 ，右側 ，則是 ，是函數的 ；
（3）極值點：極大值點、極小值點統稱為極值點；
極值：極大值和極小值統稱為 .
知識點2:函數的最值
1、函數的最值
（1）連續函數在閉區間上必有最大值與最小值；
（2）連續函數在閉區間上的最值可能為 或者 ；
（3）求函數在閉區間上最值步驟：
1）求出函數在閉區間上的 ；
2）求出函數在閉區間上的端點值；
3）比較極值和端點值的大小，最大的為最大值，最小的為最小值.
(
題型展示
小
)
題型一:利用導數求函數極值
【例1】若是函數的極值點，則的極小值為（ ）
A． B． C． D．
【變式1】對二次函數（為非零整數），四位同學分別給出下列結論，其中有且僅有一個結論是錯誤的，則錯誤的結論是（ ）
A．是的零點 B．1是的極值點
C．3是的極值 D．點在曲線上
題型二:利用導數求函數最值
【例2】已知函數，則的最小值是 ．
【變式2】若函數在內有且只有一個零點，則在上的最大值與最小值的和為 ．
題型三:根據極值、最值求參
【例3】（2023·全國新Ⅱ卷）若函數既有極大值也有極小值，則（ ）．
A． B． C． D．
【變式3】（2016·四川）已知為函數的極小值點，則（ ）
A．–4 B．–2 C．4 D．2
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考場演練
)
【真題1】（2024·上海）已知函數的定義域為R，定義集合，在使得的所有中，下列成立的是（ ）
A．存在是偶函數 B．存在在處取最大值
C．存在是嚴格增函數 D．存在在處取到極小值
【真題2】（2023·全國新Ⅱ卷）若函數既有極大值也有極小值，則（ ）．
A． B． C． D．
【真題3】（2022·全國乙卷）函數在區間的最小值、最大值分別為（ ）
A． B． C． D．
【真題4】（2022·全國甲卷）當時，函數取得最大值，則（ ）
A． B． C． D．1
【真題5】（2022·全國新Ⅰ卷）（多選）已知函數，則（ ）
A．有兩個極值點 B．有三個零點
C．點是曲線的對稱中心 D．直線是曲線的切線
【真題6】（2022·全國乙卷）已知和分別是函數（且）的極小值點和極大值點．若，則a的取值范圍是 ．
【真題7】（2021·全國乙卷）設，若為函數的極大值點，則（ ）
A． B． C． D．
【真題8】（2021·全國新Ⅰ卷）函數的最小值為 .
【真題9】（2018·全國）已知函數，則的最小值是 ．
【真題10】（2018·江蘇）若函數在內有且只有一個零點，則在上的最大值與最小值的和為 ．
21世紀教育網 www.21cnjy.com 精品試卷·第 2 頁 （共 2 頁）
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第03講 導數與函數的極值
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考綱導向
小
)
考點要求 考題統計 考情分析
(1) 利用導數求函數極值、最值 (2) 根據極值、最值求參數 2024年上海卷5分2023年II卷5分2022年I卷5分2022年甲卷5 分2022年乙卷10分2021年I卷5分2021年I卷5分
（1）本講為高考命題熱點，題型以選擇題、填空題、大題為主，考查內容、頻率、題型、難度均變化不大，基本有一個固定的大題； （2）重點是會用導數求函數的極大值、極小值和掌握利用導數研究函數最值的方法；主要考查利用導數求函數極值、最值，根據函數的極值、最值來確定參數的值和范圍； （3）導數求極值、最值的方法需要重點掌握和加強練習.
(
考試要求
小
)
1、借助函數圖像，了解在某處取得極值的必要條件和充分條件；
2、會用導數求函數的極大值、極小值；
3、掌握利用導數研究函數最值的方法；
4、會用導數研究生活中最優化問題.
(
考點突破考綱解讀
)
(
考點梳理
小
)
知識點1:函數的極值
1、函數的極值定義
（1）函數的極大值
函數在點的處的函數值比在其附近的點處的函數值都大；且，在附近的左側，右側，則是極大值點，是函數的極大值；
（2）函數的極小值
函數在點的處的函數值比在其附近的點處的函數值都小；且，在附近的左側，右側，則是極小值點，是函數的極小值；
（3）極值點：極大值點、極小值點統稱為極值點；
極值：極大值和極小值統稱為極值.
知識點2:函數的最值
1、函數的最值
（1）連續函數在閉區間上必有最大值與最小值；
（2）連續函數在閉區間上的最值可能為極值或者端點值；
（3）求函數在閉區間上最值步驟：
1）求出函數在閉區間上的極值；
2）求出函數在閉區間上的端點值；
3）比較極值和端點值的大小，最大的為最大值，最小的為最小值.
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題型展示
小
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題型一:利用導數求函數極值
【例1】若是函數的極值點，則的極小值為（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【詳解】
由題可得，
，，，故，
令，解得或，
在上單調遞增，在上單調遞減，
的極小值為，答案為A．
【變式1】對二次函數（為非零整數），四位同學分別給出下列結論，其中有且僅有一個結論是錯誤的，則錯誤的結論是（ ）
A．是的零點 B．1是的極值點
C．3是的極值 D．點在曲線上
【答案】A
【詳解】
若選項A錯誤時，選項B、C、D正確，，
是的極值點，是的極值，
，即，解得：，
點在曲線上，
，即，，，
，，
不是的零點，A錯，B、C、D正確；答案為A．
題型二:利用導數求函數最值
【例2】已知函數，則的最小值是 ．
【答案】
【詳解】
，
令，得，即在區間內單調遞增；
令，得，即在區間內單調遞減．
則；故答案為.
【變式2】若函數在內有且只有一個零點，則在上的最大值與最小值的和為 ．
【答案】
【詳解】
求導得，
當時，函數在區間內單調遞增，且，
函數在內無零點；
當時，函數在區間內單調遞減，在區間內單調遞增，
當時，；當時，，
要使函數在區間內有且僅有一個零點，只需，解得．
函數在區間上單調遞增，在區間上單調遞減，，最大值與最小值之和為；故答案為．
題型三:根據極值、最值求參
【例3】（2023·全國新Ⅱ卷）若函數既有極大值也有極小值，則（ ）．
A． B． C． D．
【答案】BCD
【詳解】
函數的定義域為，求導得，
函數既有極大值也有極小值，則函數在上有兩個變號零點，
而，方程有兩個不等的正根，
，即有，，，
，即，A錯誤，BCD正確；答案為BCD
【變式3】（2016·四川）已知為函數的極小值點，則（ ）
A．–4 B．–2 C．4 D．2
【答案】D
【詳解】
，令得或，
在上單調遞減，在上單調遞增，
的極小值點為2，即；答案為D.
(
考場演練
)
【真題1】（2024·上海）已知函數的定義域為R，定義集合，在使得的所有中，下列成立的是（ ）
A．存在是偶函數 B．存在在處取最大值
C．存在是嚴格增函數 D．存在在處取到極小值
【答案】B
【詳解】
對A，若存在是偶函數, 取,對于任意,
而, 矛盾, A錯；
對B，可構造函數滿足集合，
當時，則，當時，，
當時，，則該函數的最大值是，則B正確；
對C，假設存在，使得嚴格遞增，則，與已知矛盾，C錯；
對D，假設存在，使得在處取極小值，
則在的左側附近存在，使得，
這與已知集合的定義矛盾，故D錯；答案為B.
【真題2】（2023·全國新Ⅱ卷）若函數既有極大值也有極小值，則（ ）．
A． B． C． D．
【答案】BCD
【詳解】
函數的定義域為，求導得，
函數既有極大值也有極小值，則函數在上有兩個變號零點，
而，方程有兩個不等的正根，
，即有，，，
，即，A錯誤，BCD正確.答案為BCD
【真題3】（2022·全國乙卷）函數在區間的最小值、最大值分別為（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【詳解】
，
在區間和上，即單調遞增；
在區間上，即單調遞減，
又，，，
在區間上的最小值為，最大值為；答案為D
【真題4】（2022·全國甲卷）當時，函數取得最大值，則（ ）
A． B． C． D．1
【答案】B
【詳解】
函數定義域為，
，，而，
，即，，
函數在上遞增，在上遞減，
時取最大值，滿足題意，即有；答案為B.
【真題5】（2022·全國新Ⅰ卷）（多選）已知函數，則（ ）
A．有兩個極值點 B．有三個零點
C．點是曲線的對稱中心 D．直線是曲線的切線
【答案】AC
【詳解】
由題，，令得或，
令得，
在，上單調遞增，上單調遞減，
是極值點，故A正確；
，，，
函數在上有一個零點，
當時，，即函數在上無零點，
函數有一個零點，故B錯誤；
令，該函數的定義域為，，
則是奇函數，是的對稱中心，
將的圖象向上移動一個單位得到的圖象，
點是曲線的對稱中心，故C正確；
令，可得，又，
當切點為時，切線方程為，當切點為時，切線方程為，故D錯.
答案為AC.
【真題6】（2022·全國乙卷）已知和分別是函數（且）的極小值點和極大值點．若，則a的取值范圍是 ．
【答案】
【詳解】
，方程的兩個根為，
即方程的兩個根為，
即函數與函數的圖象有兩個不同的交點，
分別是函數的極小值點和極大值點，
函數在和上遞減，在上遞增，
當時，，即圖象在上方
當時，，即圖象在下方
，圖象顯然不符合題意，．
令，則，
設過原點且與函數的圖象相切的直線的切點為，
則切線的斜率為，切線方程為，
則有，解得，則切線的斜率為，
函數與函數的圖象有兩個不同的交點，
，解得，又，，
的取值范圍為．
【真題7】（2021·全國乙卷）設，若為函數的極大值點，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【詳解】
若，則為單調函數，無極值點，不符合題意，.
有和兩個不同零點，且在左右附近是不變號，在左右附近是變號的；
a為函數的極大值點，
在左右附近都是小于零的.
當時，由，，畫出的圖象如圖所示：
由圖可知，，故.
當時，由時，，畫出的圖象如圖所示：
由圖可知,，故；綜上所述，成立；答案為D.
【真題8】（2021·全國新Ⅰ卷）函數的最小值為 .
【答案】1
【詳解】
定義域為，
∴當時，，此時單調遞減；
當時，，有，此時單調遞減；
當時，，有，此時單調遞增；
又在各分段的界點處連續，
時，單調遞減，時，單調遞增；
，故答案為1.
【真題9】（2018·全國）已知函數，則的最小值是 ．
【答案】
【詳解】
，
令，得，即在區間內單調遞增；
令，得，即在區間內單調遞減．
則；故答案為.
【真題10】（2018·江蘇）若函數在內有且只有一個零點，則在上的最大值與最小值的和為 ．
【答案】
【詳解】
求導得，
當時，函數在區間內單調遞增，且，
函數在內無零點；
當時，函數在區間內單調遞減，在區間內單調遞增，
當時，；當時，，
要使函數在區間內有且僅有一個零點，只需，解得．
函數在區間上單調遞增，在區間上單調遞減，，最大值與最小值之和為；故答案為．
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