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/ 讓教學(xué)更有效 精品試卷 |數(shù)學(xué)
第03講 等比數(shù)列及其前n項(xiàng)和
(
考綱導(dǎo)向
小
)
考點(diǎn)要求 考題統(tǒng)計(jì) 考情分析
(1) 等比數(shù)列的概念和性質(zhì) (2) 等比數(shù)列的通項(xiàng)與前n項(xiàng)和及其性質(zhì) 2023年Ⅱ卷5分2023年甲卷10分2023年乙卷5分2023年天津卷5分2022年乙卷5分2021年甲卷5分
（1）本講為高考命題熱點(diǎn)，題型以選擇題、填空題為主，考查內(nèi)容、頻率、題型、難度均變化不大； （2）重點(diǎn)是等比數(shù)列的概念和性質(zhì)，等比數(shù)列的通項(xiàng)與前n項(xiàng)和及其性質(zhì)；主要考查等比數(shù)列的基本量運(yùn)算，求等比數(shù)列的通項(xiàng)與前n項(xiàng)和.
(
考試要求
小
)
1、理解等比數(shù)列的概念；
2、掌握等比數(shù)列的通項(xiàng)公式與前n項(xiàng)和公式；
3、了解等比數(shù)列與指數(shù)函數(shù)的關(guān)系。
(
考點(diǎn)突破考綱解讀
)
(
考點(diǎn)梳理
小
)
知識點(diǎn)1:等比數(shù)列的概念
1、等比數(shù)列定義與基本量
（1）定義：；
（2）通項(xiàng)： ；
（3）前n項(xiàng)和：；
知識點(diǎn)2:等比數(shù)列通項(xiàng)的性質(zhì)
1、等比數(shù)列通項(xiàng)性質(zhì)
若是等比數(shù)列，則：
（1）若，則 ；
（2）等比中項(xiàng)：成等比數(shù)列 ；若三個數(shù)成等比數(shù)列，可設(shè)為
知識點(diǎn)3:等比數(shù)列前n項(xiàng)和的性質(zhì)
1、等比數(shù)列前n項(xiàng)和性質(zhì)
設(shè)等比數(shù)列的前項(xiàng)和為，則有以下性質(zhì)：
（1）數(shù)列仍為等比數(shù)列，仍為 ，公比為 ；
(
題型展示
小
)
題型一: 等比數(shù)列的基本量運(yùn)算
【例1】記Sn為等比數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和．若，則S5= ．
【變式1】等比數(shù)列{}的各項(xiàng)均為實(shí)數(shù)，其前項(xiàng)為，已知= ，=，則= ．
題型二: 等比數(shù)列的通項(xiàng)和前n項(xiàng)和
【例2】設(shè)等比數(shù)列{an}滿足，．
（1）求的通項(xiàng)公式；
（2）記為數(shù)列的前n項(xiàng)和．若，求m．
【變式2】已知是各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列，.
（1）求的通項(xiàng)公式；
（2）設(shè)，求數(shù)列的前n項(xiàng)和.
題型三: 等比數(shù)列的性質(zhì)
【例3】若三個正數(shù)，，成等比數(shù)列，其中，，則 ．
【變式3】（2023·全國新Ⅱ卷）記為等比數(shù)列的前n項(xiàng)和，若，，則（ ）．
A．120 B．85 C． D．
(
考場演練
)
【真題1】（2023·全國甲卷）記為等比數(shù)列的前項(xiàng)和．若，則的公比為 ．
【真題2】（2023·全國乙卷）已知為等比數(shù)列，，，則 .
【真題3】（2023·全國甲卷）設(shè)等比數(shù)列的各項(xiàng)均為正數(shù)，前n項(xiàng)和，若，，則（ ）
A． B． C．15 D．40
【真題4】（2023·天津）已知數(shù)列的前n項(xiàng)和為，若，則（ ）
A．16 B．32 C．54 D．162
【真題5】（2023·全國新Ⅱ卷）記為等比數(shù)列的前n項(xiàng)和，若，，則（ ）．
A．120 B．85 C． D．
【真題6】（2022·全國乙卷）已知等比數(shù)列的前3項(xiàng)和為168，，則（ ）
A．14 B．12 C．6 D．3
【真題7】（2021·全國甲卷）記為等比數(shù)列的前n項(xiàng)和.若，，則（ ）
A．7 B．8 C．9 D．10
【真題8】（2020·全國）設(shè)是等比數(shù)列，且，，則（ ）
A．12 B．24 C．30 D．32
【真題9】（2020·全國）記Sn為等比數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和．若a5–a3=12，a6–a4=24，則=（ ）
A．2n–1 B．2–21–n C．2–2n–1 D．21–n–1
【真題10】（2020·全國）數(shù)列中，，對任意 ，若，則 （ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
21世紀(jì)教育網(wǎng) www.21cnjy.com 精品試卷·第 2 頁 （共 2 頁）
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第03講 等比數(shù)列及其前n項(xiàng)和
(
考綱導(dǎo)向
小
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考點(diǎn)要求 考題統(tǒng)計(jì) 考情分析
(1) 等比數(shù)列的概念和性質(zhì) (2) 等比數(shù)列的通項(xiàng)與前n項(xiàng)和及其性質(zhì) 2023年Ⅱ卷5分2023年甲卷10分2023年乙卷5分2023年天津卷5分2022年乙卷5分2021年甲卷5分
（1）本講為高考命題熱點(diǎn)，題型以選擇題、填空題為主，考查內(nèi)容、頻率、題型、難度均變化不大； （2）重點(diǎn)是等比數(shù)列的概念和性質(zhì)，等比數(shù)列的通項(xiàng)與前n項(xiàng)和及其性質(zhì)；主要考查等比數(shù)列的基本量運(yùn)算，求等比數(shù)列的通項(xiàng)與前n項(xiàng)和.
(
考試要求
小
)
1、理解等比數(shù)列的概念；
2、掌握等比數(shù)列的通項(xiàng)公式與前n項(xiàng)和公式；
3、了解等比數(shù)列與指數(shù)函數(shù)的關(guān)系。
(
考點(diǎn)突破考綱解讀
)
(
考點(diǎn)梳理
小
)
知識點(diǎn)1:等比數(shù)列的概念
1、等比數(shù)列定義與基本量
（1）定義：；
（2）通項(xiàng)：；
（3）前n項(xiàng)和：；
知識點(diǎn)2:等比數(shù)列通項(xiàng)的性質(zhì)
1、等比數(shù)列通項(xiàng)性質(zhì)
若是等比數(shù)列，則：
（1）若，則；
（2）等比中項(xiàng)：成等比數(shù)列；若三個數(shù)成等比數(shù)列，可設(shè)為
知識點(diǎn)3:等比數(shù)列前n項(xiàng)和的性質(zhì)
1、等比數(shù)列前n項(xiàng)和性質(zhì)
設(shè)等比數(shù)列的前項(xiàng)和為，則有以下性質(zhì)：
（1）數(shù)列仍為等比數(shù)列，仍為等比數(shù)列，公比為；
(
題型展示
小
)
題型一: 等比數(shù)列的基本量運(yùn)算
【例1】記Sn為等比數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和．若，則S5= ．
【答案】
【解析】
設(shè)等比數(shù)列的公比為，由已知，又，
．
【變式1】等比數(shù)列{}的各項(xiàng)均為實(shí)數(shù)，其前項(xiàng)為，已知= ，=，則= ．
【答案】32
【解析】
由題意可得，所以；
兩式相除得代入得；答案為32．
題型二: 等比數(shù)列的通項(xiàng)和前n項(xiàng)和
【例2】設(shè)等比數(shù)列{an}滿足，．
（1）求的通項(xiàng)公式；
（2）記為數(shù)列的前n項(xiàng)和．若，求m．
【答案】（1）；（2）.
【詳解】
（1）設(shè)等比數(shù)列的公比為，
根據(jù)題意，有，解得，；
（2）令，，
根據(jù)，可得，
整理得，，，
【變式2】已知是各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列，.
（1）求的通項(xiàng)公式；
（2）設(shè)，求數(shù)列的前n項(xiàng)和.
【答案】（1）；（2）.
【詳解】
（1）數(shù)列是各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列，，，
令數(shù)列的公比為，，，
，解得(舍去)或，
數(shù)列是首項(xiàng)為、公比為的等比數(shù)列，．
（2），，，，
數(shù)列是首項(xiàng)為、公差為的等差數(shù)列，．
題型三: 等比數(shù)列的性質(zhì)
【例3】若三個正數(shù)，，成等比數(shù)列，其中，，則 ．
【答案】
【解析】
由題意得，三個正數(shù)，，成等比數(shù)列，，解得．
【變式3】（2023·全國新Ⅱ卷）記為等比數(shù)列的前n項(xiàng)和，若，，則（ ）．
A．120 B．85 C． D．
【答案】C
【解析】
設(shè)等比數(shù)列的公比為，
，，所以，否則，
成等比數(shù)列，
，解得：或，
當(dāng)時，，即為，
，即；
當(dāng)時，，與矛盾，舍去．
答案為C．
(
考場演練
)
【真題1】（2023·全國甲卷）記為等比數(shù)列的前項(xiàng)和．若，則的公比為 ．
【答案】
【解析】
若，則由得，則，不合題意，.
當(dāng)時，因?yàn)椋?br/>即，即，即，解得.
故答案為.
【真題2】（2023·全國乙卷）已知為等比數(shù)列，，，則 .
【答案】
【解析】
設(shè)的公比為，則，顯然，
則，即，則，因?yàn)椋瑒t，
則，則，則，故答案為.
【真題3】（2023·全國甲卷）設(shè)等比數(shù)列的各項(xiàng)均為正數(shù)，前n項(xiàng)和，若，，則（ ）
A． B． C．15 D．40
【答案】C
【解析】
由題知,
即,即,即.
由題知,,；答案為C.
【真題4】（2023·天津）已知數(shù)列的前n項(xiàng)和為，若，則（ ）
A．16 B．32 C．54 D．162
【答案】C
【解析】
當(dāng)時，，所以，即，
當(dāng)時，，數(shù)列是首項(xiàng)為2，公比為3的等比數(shù)列，
則；答案為C.
【真題5】（2023·全國新Ⅱ卷）記為等比數(shù)列的前n項(xiàng)和，若，，則（ ）．
A．120 B．85 C． D．
【答案】C
【解析】
設(shè)等比數(shù)列的公比為，首項(xiàng)為，
若，則，與題意不符，；
若，則，與題意不符，；
由，可得，，①，
由①可得，，解得：，
．
答案為C．
【真題6】（2022·全國乙卷）已知等比數(shù)列的前3項(xiàng)和為168，，則（ ）
A．14 B．12 C．6 D．3
【答案】D
【解析】
設(shè)等比數(shù)列的公比為，
若，則，與題意矛盾， ，
則，解得，；答案為D.
【真題7】（2021·全國甲卷）記為等比數(shù)列的前n項(xiàng)和.若，，則（ ）
A．7 B．8 C．9 D．10
【答案】A
【解析】
∵為等比數(shù)列的前n項(xiàng)和，
∴，，成等比數(shù)列，∴，
∴，∴；答案為A.
【真題8】（2020·全國）設(shè)是等比數(shù)列，且，，則（ ）
A．12 B．24 C．30 D．32
【答案】D
【解析】
設(shè)等比數(shù)列的公比為，則，
，
；答案為D.
【真題9】（2020·全國）記Sn為等比數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和．若a5–a3=12，a6–a4=24，則=（ ）
A．2n–1 B．2–21–n C．2–2n–1 D．21–n–1
【答案】B
【解析】
設(shè)等比數(shù)列的公比為，
由可得：，
，；答案為B.
【真題10】（2020·全國）數(shù)列中，，對任意 ，若，則 （ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】C
【解析】
在等式中，令，可得，，
數(shù)列是以為首項(xiàng)，以為公比的等比數(shù)列，則，
，
，則，解得；答案為C.
21世紀(jì)教育網(wǎng) www.21cnjy.com 精品試卷·第 2 頁 （共 2 頁）
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