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/ 讓教學更有效 精品試卷 |數(shù)學
第02講 三角恒等變換
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考綱導向
小
)
考點要求 考題統(tǒng)計 考情分析
(1) 兩角和與差的正弦、余弦、正切公式 (2) 二倍角的正弦、余弦、正切公式 2024年I卷5分2024年Ⅱ卷5分2024年甲卷10分2024年上海卷5分2023年I卷5分2023年Ⅱ卷5分2022年Ⅱ卷5分2021年乙卷5分
（1）本講為高考命題熱點，題型以選擇題、填空題為主，考查頻率高； （2）重點是兩角和與差的正弦、余弦、正切公式，二倍角的正弦、余弦、正切公式，主要考查運用兩角和與差的正弦、余弦、正切公式、二倍角公式、輔助角公式進行化簡求值；
(
考試要求
小
)
1、會推導兩角差的余弦公式；
2、會用兩角差的余弦公式推導出兩角差的正弦、正切公式；
3、掌握兩角和與差的正弦、余弦、正切公式，并會簡單應用.
4、能運用兩角和與差的正弦、余弦、正切公式推導出二倍角的正弦、余弦、正切公式，并進行簡單的恒等變換；
5、能運用兩角和與差的正弦、余弦、正切公式推導出和差化積、積化和差、半角公式（這三組公式不要求記憶）.
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考點突破考綱解讀
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考點梳理
小
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知識點1:兩角和與差的正弦、余弦和正切公式
1、兩角和差公式
（1）正弦： ；
（2）余弦：；
（3）正切： ；
（4）配角技巧：將所求角表示為已知角和特殊角的和、差、倍的形式.
知識點2: 輔助角公式
1、輔助角公式
，
其中；
知識點2: 簡單的三角恒等變換
1、二倍角公式
（1）正弦： ；
（2）余弦： ；
（3）正切：；
2、降冪公式
（1）正弦： ；
（2）余弦：；
(
題型展示
小
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題型一: 兩角和與差的三角函數(shù)公式
【例1】（2024·全國新Ⅰ卷）已知，則（ ）
A． B． C． D．
【變式1】已知，則（ ）
A． B． C． D．
題型二: 二倍角公式的應用
【例2】（2023·全國新Ⅱ卷）已知為銳角，，則（ ）．
A． B． C． D．
【變式2】若，則 ， ．
題型三: 輔助角公式的應用
【例3】（2024·全國甲卷）函數(shù)在上的最大值是 ．
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考場演練
)
【真題1】（2024·全國甲卷）已知，則（ ）
A． B． C． D．
【真題2】（2024·全國新Ⅱ卷）已知為第一象限角，為第三象限角，，，則 .
【真題3】（2024·全國新Ⅰ卷）已知，則（ ）
A． B． C． D．
【真題4】（2024·全國甲卷）函數(shù)在上的最大值是 ．
【真題5】（2024·上海）下列函數(shù)的最小正周期是的是（ ）
A． B．
C． D．
【真題6】（2023·全國新Ⅱ卷）已知為銳角，，則（ ）．
A． B． C． D．
【真題7】（2023·全國新Ⅰ卷）已知，則（ ）．
A． B． C． D．
【真題8】（2022·全國新Ⅱ卷）若，則（ ）
A． B．
C． D．
【真題9】（2022·北京）若函數(shù)的一個零點為，則 ； ．
【真題10】（2021·全國乙卷）函數(shù)的最小正周期和最大值分別是（ ）
A．和 B．和2 C．和 D．和2
21世紀教育網(wǎng) www.21cnjy.com 精品試卷·第 2 頁 （共 2 頁）
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第02講 三角恒等變換
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考綱導向
小
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考點要求 考題統(tǒng)計 考情分析
(1) 兩角和與差的正弦、余弦、正切公式 (2) 二倍角的正弦、余弦、正切公式 2024年I卷5分2024年Ⅱ卷5分2024年甲卷10分2024年上海卷5分2023年I卷5分2023年Ⅱ卷5分2022年Ⅱ卷5分2021年乙卷5分
（1）本講為高考命題熱點，題型以選擇題、填空題為主，考查頻率高； （2）重點是兩角和與差的正弦、余弦、正切公式，二倍角的正弦、余弦、正切公式，主要考查運用兩角和與差的正弦、余弦、正切公式、二倍角公式、輔助角公式進行化簡求值；
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考試要求
小
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1、會推導兩角差的余弦公式；
2、會用兩角差的余弦公式推導出兩角差的正弦、正切公式；
3、掌握兩角和與差的正弦、余弦、正切公式，并會簡單應用.
4、能運用兩角和與差的正弦、余弦、正切公式推導出二倍角的正弦、余弦、正切公式，并進行簡單的恒等變換；
5、能運用兩角和與差的正弦、余弦、正切公式推導出和差化積、積化和差、半角公式（這三組公式不要求記憶）.
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考點突破考綱解讀
)
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考點梳理
小
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知識點1:兩角和與差的正弦、余弦和正切公式
1、兩角和差公式
（1）正弦：；
（2）余弦：；
（3）正切：；
（4）配角技巧：將所求角表示為已知角和特殊角的和、差、倍的形式.
知識點2: 輔助角公式
1、輔助角公式
，
其中；
知識點2: 簡單的三角恒等變換
1、二倍角公式
（1）正弦：；
（2）余弦：；
（3）正切：；
2、降冪公式
（1）正弦：
（2）余弦：
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題型展示
小
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題型一: 兩角和與差的三角函數(shù)公式
【例1】（2024·全國新Ⅰ卷）已知，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】
，，
，，
即，
，故；答案為A.
【變式1】已知，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
由題意可得：，
則：，，
，
即；答案為B.
題型二: 二倍角公式的應用
【例2】（2023·全國新Ⅱ卷）已知為銳角，，則（ ）．
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】
，而為銳角，
解得：；答案為D．
【變式2】若，則 ， ．
【答案】 ， ；
【解析】
∵，∴，即，
又，將代入得，解得，
則；故答案為；.
題型三: 輔助角公式的應用
【例3】（2024·全國甲卷）函數(shù)在上的最大值是 ．
【答案】2
【解析】
，當時，，
當時，即時，；故答案為2.
【變式3】函數(shù)的最大值為 .
【答案】
【解析】
函數(shù)f（x）＝2cosx+sinx（cosxsinx）sin（x+θ），其中tanθ＝2，
可知函數(shù)的最大值為;故答案為．
(
考場演練
)
【真題1】（2024·全國甲卷）已知，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
，
，，
，答案為B.
【真題2】（2024·全國新Ⅱ卷）已知為第一象限角，為第三象限角，，，則 .
【答案】
【解析】
為第一象限角，為第三象限角，則,
，，
則，
；
故答案為.
【真題3】（2024·全國新Ⅰ卷）已知，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】
，，
，，
即，
，故；答案為A.
【真題4】（2024·全國甲卷）函數(shù)在上的最大值是 ．
【答案】2
【解析】
，當時，，
當時，即時，；故答案為2.
【真題5】（2024·上海）下列函數(shù)的最小正周期是的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】
對A，，周期，故A正確；
對B，，周期，故B錯；
對C，，是常值函數(shù)，不存在最小正周期，故C錯；
對D，，周期，故D錯;答案為A．
【真題6】（2023·全國新Ⅱ卷）已知為銳角，，則（ ）．
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】
，而為銳角，
解得：；答案為D．
【真題7】（2023·全國新Ⅰ卷）已知，則（ ）．
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
，而，
，
則，
；答案為B
【真題8】（2022·全國新Ⅱ卷）若，則（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】
由已知得：,
即：，
即：，；答案為C
【真題9】（2022·北京）若函數(shù)的一個零點為，則 ； ．
【答案】 1，；
【解析】
∵，∴
∴
；故答案為：1，
【真題10】（2021·全國乙卷）函數(shù)的最小正周期和最大值分別是（ ）
A．和 B．和2 C．和 D．和2
【答案】C
【解析】
由題，，
的最小正周期為，最大值為；答案為C．
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