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第02講 平面向量的數量積及其應用
(
考綱導向
小
)
考點要求 考題統計 考情分析
(1) 平面向量數量積的含義和幾何含義 (2) 平面向量數量積的基本運算 (2) 運用數量積表示向量的夾角 2024年Ⅱ卷5分2023年甲卷5分2023年乙卷5分2023年I卷5分2023年II卷5分2023年北京卷5分2022年甲卷5分2022年乙卷5分2022年II卷5分
（1）本講為高考命題熱點，題型以選擇題為主； （2）重點是理解平面向量數量積的含義及其幾何含義，掌握數量積的坐標表達式，會進行平面向量數量積的運算，能運用數量積表示兩個向量的夾角，會用數量積判斷兩個平面向量的垂直關系；主要考查平面向量數量積的基本運算，運用數量積求平面向量的模和夾角.
(
考試要求
小
)
1、理解平面向量數量積的含義及其幾何含義，了解平面向量的數量積與投影向量的關系，
2、掌握數量積的坐標表達式，會進行平面向量數量積的運算；
3、能運用數量積表示兩個向量的夾角，會用數量積判斷兩個平面向量的垂直關系，會用向量的方法解決簡單的平面幾何問題.
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考點突破考綱解讀
)
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考點梳理
小
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知識點1:平面向量數量積的定義和幾何意義
1、向量的夾角
若，則就是向量與的夾角，夾角范圍 ；
2、數量積定義
已知兩個非零向量與，夾角為，則數 叫做與的數量積，
記作，即；
（1）夾角公式： ；
（2）為銳角，為鈍角；
3、幾何意義
（1）投影： 叫做向量在方向上的投影， 叫做向量在方向上的投影；
（2）的幾何意義：等于的長度與在方向上的投影的乘積.
知識點2: 平面向量數量積的性質
1、數量積的性質
（1）垂直關系：與為非零向量，；
（2）模：；
（3）
（4）當與同向，；當與反向，.
知識點3: 平面向量數量積的運算
2、數量積的坐標運算
設向量，，夾角為，則
（1）數量積： ；
（2）向量垂直：；
（3）向量平行：；
（4）向量的模： ；
（5）向量夾角： ；
3、數量積運算常用公式
（1） （2）
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題型展示
小
)
題型一: 平面向量數量積的基本運算
【例1】已知P是邊長為2的正六邊形ABCDEF內的一點，則 的取值范圍是（ ）
A． B．
C． D．
【變式1】（多選）（2021·全國新Ⅰ卷）已知為坐標原點，點，，，，則（ ）
A． B．
C． D．
題型二: 求平面向量的模
【例2】若向量滿足，則 .
【變式2】設為單位向量，且，則 .
題型三: 求平面向量的夾角
【例3】已知向量 ，滿足， ，，則（ ）
A． B． C． D．
【變式3】已知為單位向量，且=0，若 ，則 .
(
考場演練
)
【真題1】（2024·全國新Ⅱ卷）已知向量滿足，且，則（ ）
A． B． C． D．1
【真題2】（2023·全國甲卷）已知向量，則（ ）
A． B． C． D．
【真題3】（2023·全國I卷）已知向量滿足，且，則（ ）
A． B． C． D．
【真題4】（2023·全國乙卷）正方形的邊長是2，是的中點，則（ ）
A． B．3 C． D．5
【真題5】（2023·北京）已知向量滿足，則（ ）
A． B． C．0 D．1
【真題6】（2023·全國新Ⅱ卷）已知向量，滿足，，則 ．
【真題7】（2022·全國乙卷）已知向量，則（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【真題8】（2022·全國甲卷）已知向量滿足，則（ ）
A． B． C．1 D．2
【真題9】（2022·全國新Ⅱ卷）已知向量，若，則（ ）
A． B． C．5 D．6
【真題10】（2022·北京）在中，．P為所在平面內的動點，且，則的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
21世紀教育網 www.21cnjy.com 精品試卷·第 2 頁 （共 2 頁）
21世紀教育網(www.21cnjy.com)/ 讓教學更有效 精品試卷 |數學
第02講 平面向量的數量積及其應用
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考綱導向
小
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考點要求 考題統計 考情分析
(1) 平面向量數量積的含義和幾何含義 (2) 平面向量數量積的基本運算 (2) 運用數量積表示向量的夾角 2024年Ⅱ卷5分2023年甲卷5分2023年乙卷5分2023年I卷5分2023年II卷5分2023年北京卷5分2022年甲卷5分2022年乙卷5分2022年II卷5分
（1）本講為高考命題熱點，題型以選擇題為主； （2）重點是理解平面向量數量積的含義及其幾何含義，掌握數量積的坐標表達式，會進行平面向量數量積的運算，能運用數量積表示兩個向量的夾角，會用數量積判斷兩個平面向量的垂直關系；主要考查平面向量數量積的基本運算，運用數量積求平面向量的模和夾角.
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考試要求
小
)
1、理解平面向量數量積的含義及其幾何含義，了解平面向量的數量積與投影向量的關系，
2、掌握數量積的坐標表達式，會進行平面向量數量積的運算；
3、能運用數量積表示兩個向量的夾角，會用數量積判斷兩個平面向量的垂直關系，會用向量的方法解決簡單的平面幾何問題.
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考點突破考綱解讀
)
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考點梳理
小
)
知識點1:平面向量數量積的定義和幾何意義
1、向量的夾角
若，則就是向量與的夾角，夾角范圍；
2、數量積定義
已知兩個非零向量與，夾角為，則數叫做與的數量積，
記作，即；
（1）夾角公式：
（2）為銳角，為鈍角；
3、幾何意義
（1）投影：叫做向量在方向上的投影，叫做向量在方向上的投影；
（2）的幾何意義：等于的長度與在方向上的投影的乘積.
知識點2: 平面向量數量積的性質
1、數量積的性質
（1）垂直關系：與為非零向量，；
（2）模：；
（3）
（4）當與同向，；當與反向，.
知識點3: 平面向量數量積的運算
2、數量積的坐標運算
設向量，，夾角為，則
（1）數量積：；
（2）向量垂直：
（3）向量平行：
（4）向量的模：
（5）向量夾角：
3、數量積運算常用公式
（1） （2）
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題型展示
小
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題型一: 平面向量數量積的基本運算
【例1】已知P是邊長為2的正六邊形ABCDEF內的一點，則 的取值范圍是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】
的模為2，根據正六邊形的特征，
可以得到在方向上的投影的取值范圍是，
結合向量數量積的定義式，
可知等于的模與在方向上的投影的乘積，
的取值范圍是；答案為A.
【變式1】（多選）（2021·全國新Ⅰ卷）已知為坐標原點，點，，，，則（ ）
A． B．
C． D．
【答案】AC
【解析】
對A：，，所以，，故，A正確；
對B：，，所以，同理，故不一定相等，B錯；
對C：由題意得：，，C正確；
對D：由題意得：，
，故一般來說，D錯誤；答案為AC.
題型二: 求平面向量的模
【例2】若向量滿足，則 .
【答案】
【解析】
∵，∴
∴；故答案為.
【變式2】設為單位向量，且，則 .
【答案】
【解析】
為單位向量，
，解得：
；故答案為.
題型三: 求平面向量的夾角
【例3】已知向量 ，滿足， ，，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】
，，，.
，
；答案為D.
【變式3】已知為單位向量，且=0，若 ，則 .
【答案】.
【解析】
，，
，
，
．
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考場演練
)
【真題1】（2024·全國新Ⅱ卷）已知向量滿足，且，則（ ）
A． B． C． D．1
【答案】B
【解析】
，，即，
又，，；答案為B.
【真題2】（2023·全國甲卷）已知向量，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
，，
則，，
；答案為B.
【真題3】（2023·全國I卷）已知向量滿足，且，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】
,,
即,即,.
如圖,設,
由題知,是等腰直角三角形,
AB邊上的高,
,,
；答案為:D.
【真題4】（2023·全國乙卷）正方形的邊長是2，是的中點，則（ ）
A． B．3 C． D．5
【答案】B
【解析】
如圖，以為坐標原點建立平面直角坐標系，則，可得，；
【真題5】（2023·北京）已知向量滿足，則（ ）
A． B． C．0 D．1
【答案】B
【解析】
向量滿足，
；答案為：B
【真題6】（2023·全國新Ⅱ卷）已知向量，滿足，，則 ．
【答案】
【解析】
設，則，
由題意可得：，則，
整理得：，即；故答案為.
【真題7】（2022·全國乙卷）已知向量，則（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】D
【解析】
，；答案為D.
【真題8】（2022·全國甲卷）已知向量滿足，則（ ）
A． B． C．1 D．2
【答案】C
【解析】
∵，
又∵
∴9，∴；答案為：C.
【真題9】（2022·全國新Ⅱ卷）已知向量，若，則（ ）
A． B． C．5 D．6
【答案】C
【解析】
,,即,解得；答案為：C
【真題10】（2022·北京）在中，．P為所在平面內的動點，且，則的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】
依題意如圖建立平面直角坐標系，則，，，
，在以為圓心，為半徑的圓上運動，設，，
，，
，其中，，
，，即；答案為D.
21世紀教育網 www.21cnjy.com 精品試卷·第 2 頁 （共 2 頁）
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