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第02講 函數(shù)與導數(shù)的單調(diào)性
(
考綱導向
小
)
考點要求 考題統(tǒng)計 考情分析
(1) 導數(shù)與函數(shù)單調(diào)性 (2) 判斷函數(shù)單調(diào)區(qū)間 (3) 函數(shù)單調(diào)性的應(yīng)用 2024年I卷，5分 2023年II卷，5分 2022年I卷，5分 2019年北京卷，5 分 （1）本講為高考命題熱點，題型以選擇題為主； （2）重點是函數(shù)的單調(diào)性與導數(shù)的關(guān)系，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，函數(shù)的單調(diào)性的應(yīng)用，主要考查利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，利用函數(shù)的單調(diào)性判斷大小，求參數(shù)的取值范圍等；
(
考試要求
小
)
1、結(jié)合實例，借助幾何直觀了解函數(shù)的單調(diào)性和導數(shù)的關(guān)系；
2、能利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，會求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間（其中多項式函數(shù)一般不超過三次）
3、會利用函數(shù)的單調(diào)性判斷大小，求參數(shù)的取值范圍等簡單應(yīng)用。
(
考點突破考綱解讀
)
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考點梳理
小
)
知識點1:導數(shù)與函數(shù)單調(diào)性
1、函數(shù)的導數(shù)與單調(diào)性的關(guān)系
若函數(shù)在區(qū)間上可導，
（1）恒有，則在區(qū)間上單調(diào)遞增；
（2）恒有，則在區(qū)間上單調(diào)遞減；
（3）恒有，則在區(qū)間上是常數(shù)函數(shù)；
知識點2:判斷函數(shù)單調(diào)區(qū)間
1、導數(shù)法判斷函數(shù)單調(diào)性步驟
（1）求定義域：確定函數(shù)的定義域；
（2）求導數(shù)零點：求導，因式分解，求出導數(shù)的零點；
（3）劃分區(qū)間：用的零點將定義域劃分區(qū)間；
（4）判斷導數(shù)正負：列表判斷各區(qū)間的正負；
（5）求單調(diào)性：
，則在區(qū)間上單調(diào)遞增；，則在區(qū)間上單調(diào)遞減；
(
題型展示
小
)
題型一:判斷函數(shù)的單調(diào)性
【例1】（2024·全國新Ⅰ卷）（多選）設(shè)函數(shù)，則（ ）
A．是的極小值點 B．當時，
C．當時， D．當時，
【答案】ACD
【詳解】
對A， 函數(shù)的定義域為R，而，
易知當時，，當 或時，
函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，
故是函數(shù)的極小值點，正確；
對B，當時，，，
而由上可知，函數(shù)在上單調(diào)遞增，所以，B錯；
對C，當時，，而由上可知，函數(shù)在上單調(diào)遞減，
，即，正確；
對D，當時，，
，正確；答案為ACD.
【變式1】設(shè)，則（ ）
A．既是奇函數(shù)又是減函數(shù) B．既是奇函數(shù)又是增函數(shù)
C．是有零點的減函數(shù) D．是沒有零點的奇函數(shù)
【答案】B
【詳解】
函數(shù)的定義域為，關(guān)于原點對稱，
函數(shù)是奇函數(shù)，
不恒等于0，函數(shù)是增函數(shù)，故答案為B．
題型二:含參函數(shù)的單調(diào)性
【例2】（2023·全國新Ⅱ卷）已知函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，則a的最小值為（ ）．
A． B．e C． D．
【答案】C
【詳解】
依題可知，在上恒成立，顯然，，
設(shè)，，在上單調(diào)遞增，
，故，即，即a的最小值為；答案為C．
【變式1】若函數(shù)在上單調(diào)遞增，則的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【詳解】
對恒成立，
故，即恒成立，
即對恒成立，
構(gòu)造新函數(shù)，開口向下的二次函數(shù)的最小值的可能值為端點值，故只需保證，解得；答案為C．
題型三:函數(shù)單調(diào)性的應(yīng)用
【例3】（2022·全國甲卷）已知，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【詳解】
構(gòu)造函數(shù)求單調(diào)性比較大小：
當
故，故，；
設(shè)，
，在單調(diào)遞增，
故，，，所以，答案為A
【變式3】設(shè)，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【詳解】
設(shè)，，
當時，，當時，
函數(shù)在單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，
，，故，即，
，，故，，；
設(shè)，則,
令，，
當時，，函數(shù)單調(diào)遞減，
當時，，函數(shù)單調(diào)遞增，
又，當時，，
當時，，函數(shù)單調(diào)遞增，
，即，；答案為C.
(
考場演練
)
【真題1】（2024·全國新Ⅰ卷）（多選）設(shè)函數(shù)，則（ ）
A．是的極小值點 B．當時，
C．當時， D．當時，
【答案】ACD
【詳解】
對A， 函數(shù)的定義域為R，而，
易知當時，，當或時，
函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，
故是函數(shù)的極小值點，正確；
對B，當時，，，
而由上可知，函數(shù)在上單調(diào)遞增，所以，B錯；
對C，當時，，而由上可知，函數(shù)在上單調(diào)遞減，
，即，正確；
對D，當時，，
，正確；答案為ACD.
【真題2】（2023·Ⅱ卷）已知函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，則a的最小值為（ ）．
A． B．e C． D．
【答案】C
【詳解】
依題可知，在上恒成立，顯然，，
設(shè)，，在上單調(diào)遞增，
，故，即，即a的最小值為；答案為C．
【真題3】（2023·全國乙卷）設(shè)，若函數(shù)在上單調(diào)遞增，則a的取值范圍是 .
【答案】
【詳解】
由函數(shù)的解析式可得在區(qū)間上恒成立，
則，即在區(qū)間上恒成立，
，而，，
即，，
結(jié)合題意可得實數(shù)的取值范圍是；故答案為：.
【真題4】（2022·全國新Ⅰ卷）設(shè)，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【詳解】
設(shè)，，
當時，，當時，
函數(shù)在單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，
，，故，即，
，，故，，；
設(shè)，則,
令，，
當時，，函數(shù)單調(diào)遞減，
當時，，函數(shù)單調(diào)遞增，
又，當時，，
當時，，函數(shù)單調(diào)遞增，
，即，；答案為C.
【真題5】（2019·北京）設(shè)函數(shù)（a為常數(shù)）．若為奇函數(shù)，則a= ；若是R上的增函數(shù)，則a的取值范圍是 ．
【答案】-1;.
【詳解】
若函數(shù)為奇函數(shù),則，
對任意的恒成立；
若函數(shù)是上的增函數(shù),則恒成立,；
即實數(shù)的取值范圍是.
【真題6】（2017·山東）若函數(shù)(e=2.71828,是自然對數(shù)的底數(shù))在的定義域上單調(diào)遞增,則稱函數(shù)具有M性質(zhì),下列函數(shù)中具有M性質(zhì)的是
A． B． C． D．
【答案】A
【詳解】
對A,令,
,
則在R上單調(diào)遞增,
故具有M性質(zhì),答案為A.
【真題7】（2016·全國）若函數(shù)在上單調(diào)遞增，則的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【詳解】
對恒成立，
故，即恒成立，
即對恒成立，
構(gòu)造新函數(shù)，開口向下的二次函數(shù)的最小值的可能值為端點值，故只需保證，解得．答案為C．
【真題8】（2015·陜西）設(shè)，則（ ）
A．既是奇函數(shù)又是減函數(shù) B．既是奇函數(shù)又是增函數(shù)
C．是有零點的減函數(shù) D．是沒有零點的奇函數(shù)
【答案】B
【詳解】
函數(shù)的定義域為，關(guān)于原點對稱，
函數(shù)是奇函數(shù)，
不恒等于0，函數(shù)是增函數(shù)，故答案為B．
【真題9】（2015·福建）若定義在上的函數(shù)滿足，其導函數(shù)滿足，則下列結(jié)論中一定錯誤的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【詳解】
令，則，，所以選C.
【真題10】（2015·全國）設(shè)函數(shù)是奇函數(shù)（）的導函數(shù)，，當時，，則使得成立的的取值范圍是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【詳解】
構(gòu)造新函數(shù),，當時.
在上單減，又，即.
可得,此時，
又為奇函數(shù)，在上的解集為：；答案為A.
21世紀教育網(wǎng) www.21cnjy.com 精品試卷·第 2 頁 （共 2 頁）
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第02講 函數(shù)與導數(shù)的單調(diào)性
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考綱導向
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考點要求 考題統(tǒng)計 考情分析
(1) 導數(shù)與函數(shù)單調(diào)性 (2) 判斷函數(shù)單調(diào)區(qū)間 (3) 函數(shù)單調(diào)性的應(yīng)用 2024年I卷，5分 2023年II卷，5分 2022年I卷，5分 2019年北京卷，5 分 （1）本講為高考命題熱點，題型以選擇題為主； （2）重點是函數(shù)的單調(diào)性與導數(shù)的關(guān)系，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，函數(shù)的單調(diào)性的應(yīng)用，主要考查利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，利用函數(shù)的單調(diào)性判斷大小，求參數(shù)的取值范圍等；
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考試要求
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1、結(jié)合實例，借助幾何直觀了解函數(shù)的單調(diào)性和導數(shù)的關(guān)系；
2、能利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，會求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間（其中多項式函數(shù)一般不超過三次）
3、會利用函數(shù)的單調(diào)性判斷大小，求參數(shù)的取值范圍等簡單應(yīng)用.
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考點突破考綱解讀
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考點梳理
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知識點1:導數(shù)與函數(shù)單調(diào)性
1、函數(shù)的導數(shù)與單調(diào)性的關(guān)系
若函數(shù)在區(qū)間上可導，
（1）恒有 ，則在區(qū)間上單調(diào)遞增；
（2）恒有，則在區(qū)間上 ；
（3）恒有，則在區(qū)間上是常數(shù)函數(shù)；
知識點2:判斷函數(shù)單調(diào)區(qū)間
1、導數(shù)法判斷函數(shù)單調(diào)性步驟
（1）求定義域：確定函數(shù)的 ；
（2）求導數(shù)零點：求導，因式分解，求出導數(shù)的 ；
（3）劃分區(qū)間：用的零點將定義域劃分區(qū)間；
（4）判斷導數(shù)正負：列表判斷各區(qū)間的 ；
（5）求單調(diào)性：
，則在區(qū)間上單調(diào)遞增；，則在區(qū)間上單調(diào)遞減；
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題型展示
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題型一:判斷函數(shù)的單調(diào)性
【例1】（2024·全國新Ⅰ卷）（多選）設(shè)函數(shù)，則（ ）
A．是的極小值點 B．當時，
C．當時， D．當時，
【變式1】設(shè)，則（ ）
A．既是奇函數(shù)又是減函數(shù) B．既是奇函數(shù)又是增函數(shù)
C．是有零點的減函數(shù) D．是沒有零點的奇函數(shù)
題型二:含參函數(shù)的單調(diào)性
【例2】（2023·全國新Ⅱ卷）已知函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，則a的最小值為（ ）．
A． B．e C． D．
【變式1】若函數(shù)在上單調(diào)遞增，則的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
題型三:函數(shù)單調(diào)性的應(yīng)用
【例3】（2022·全國甲卷）已知，則（ ）
A． B． C． D．
【變式3】設(shè)，則（ ）
A． B． C． D．
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考場演練
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【真題1】（2024·全國新Ⅰ卷）（多選）設(shè)函數(shù)，則（ ）
A．是的極小值點 B．當時，
C．當時， D．當時，
【真題2】（2023·Ⅱ卷）已知函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，則a的最小值為（ ）．
A． B．e C． D．
【真題3】（2023·全國乙卷）設(shè)，若函數(shù)在上單調(diào)遞增，則a的取值范圍是 .
【真題4】（2022·全國新Ⅰ卷）設(shè)，則（ ）
A． B． C． D．
【真題5】（2019·北京）設(shè)函數(shù)（a為常數(shù)）．若為奇函數(shù)，則a= ；若是R上的增函數(shù)，則a的取值范圍是 ．
【真題6】（2017·山東）若函數(shù)(e=2.71828,是自然對數(shù)的底數(shù))在的定義域上單調(diào)遞增,則稱函數(shù)具有M性質(zhì),下列函數(shù)中具有M性質(zhì)的是
A． B． C． D．
【真題7】（2016·全國）若函數(shù)在上單調(diào)遞增，則的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
【真題8】（2015·陜西）設(shè)，則（ ）
A．既是奇函數(shù)又是減函數(shù) B．既是奇函數(shù)又是增函數(shù)
C．是有零點的減函數(shù) D．是沒有零點的奇函數(shù)
【真題9】（2015·福建）若定義在上的函數(shù)滿足，其導函數(shù)滿足，則下列結(jié)論中一定錯誤的是（ ）
A． B．
C． D．
【真題10】（2015·全國）設(shè)函數(shù)是奇函數(shù)（）的導函數(shù)，，當時，，則使得成立的的取值范圍是（ ）
A． B．
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