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第02講 排列、組合
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考綱導向
小
)
考點要求 考題統計 考情分析
(1) 排列、組合的概念 (2) 排列數公式、組合數公式 2024年甲卷5分2023年甲卷5分2023年乙卷5分2023年I卷5分2023年II卷5分2022年I卷5分
（1）本講為高考命題熱點，題型以選擇題、填空題為主； （2）重點是排列、組合的概念和排列數公式、組合數公式，主要考查對排列、組合的概念的理解，排列數公式、組合數公式的運用，利用排列、組合解決簡單的實際問題；常與計數原理、古典概型等結合考查.
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考試要求
小
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1、理解排列、組合的概念；
2、能利用計數原理推導排列數公式、組合數公式；
3、能利用排列、組合解決簡單的實際問題。
(
考點突破考綱解讀
)
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考點梳理
小
)
知識點1: 排列
1、排列
（1）排列的定義：從個不同元素中取出個元素按照一定的順序排成一列；
（2）排列數：從個不同元素中取出個元素的所有不同排列的個數，用符號表示；
（3）公式：；
知識點2: 組合
1、組合
（1）組合的定義：從個不同元素中取出個元素作為一組；
（2）組合數：從個不同元素中取出個元素的所有不同組合的個數，用符號表示；
（3）公式：；
（4）性質：；
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題型展示
小
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題型一: 排列問題
【例1】（2024·全國甲卷）甲、乙、丙、丁四人排成一列，則丙不在排頭，且甲或乙在排尾的概率是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
畫出樹狀圖，如圖，
由樹狀圖可得，甲、乙、丙、丁四人排成一列，共有24種排法，
其中丙不在排頭，且甲或乙在排尾的排法共有8種，；答案為B
【變式1】有甲、乙、丙、丁、戊5名同學站成一排參加文藝匯演，若甲不站在兩端，丙和丁相鄰，則不同排列方式共有（ ）
A．12種 B．24種 C．36種 D．48種
【答案】B
【解析】
丙丁要在一起，先把丙丁捆綁，看做一個元素，
連同乙，戊看成三個元素排列,有種排列方式；
為使甲不在兩端，必須且只需甲在此三個元素的中間兩個位置選一個位置插入，有2種方式；
注意到丙丁兩人的順序可交換，有2種排列方式，
故安排這5名同學共有：種不同的排列方式；答案為B
題型二: 組合問題
【例2】（2023·全國甲卷）某校文藝部有4名學生，其中高一、高二年級各2名．從這4名學生中隨機選2名組織校文藝匯演，則這2名學生來自不同年級的概率為（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】
從這4名學生中隨機選2名組織校文藝匯演，總的基本事件有件，
其中這2名學生來自不同年級的基本事件有，
這2名學生來自不同年級的概率為；答案為D.
【變式2】（2023·全國新Ⅱ卷）某學校為了解學生參加體育運動的情況，用比例分配的分層隨機抽樣方法作抽樣調查，擬從初中部和高中部兩層共抽取60名學生，已知該校初中部和高中部分別有400名和200名學生，則不同的抽樣結果共有（ ）．
A．種 B．種
C．種 D．種
【答案】D
【解析】
分層抽樣：初中部抽人，高中部共抽，共有種；答案為D.
題型三: 排列組合綜合問題
【例3】將5名校運會志愿者分配到鉛球、跳遠、3000m長跑和跳高4個項目進行培訓，每名志愿者只分配到1個項目，每個項目至少分配1名志愿者，則不同的分配方案共有（ ）
A．60種 B．120種 C．240種 D．480種
【答案】C
【解析】先組后排
第1步，先從5名志愿者中任選2人，組成一個小組，有種；
第2步，四個元素組成一個排列，有4！種，共有種；答案為C.
【變式3】要安排3名學生到2個路口做志愿者，每名學生只能選擇去一個路口，每個路口里至少有一名志愿者，則不同的安排方法共有（ ）
A．2種 B．3種 C．6種 D．8種
【答案】C
【解析】
第一步，將3名學生分成兩個組，有種分法，
第二步，將2組學生安排到2個路口，有種安排方法，共有種；答案為C.
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考場演練
)
【真題1】（2024·全國甲卷）甲、乙、丙、丁四人排成一列，則丙不在排頭，且甲或乙在排尾的概率是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
當甲排在排尾，乙排第一位，丙有種排法，丁就種，共種；
當甲排在排尾，乙排第二位或第三位，丙有種排法，丁就種，共種；
甲排在排尾共種方法，同理乙排在排尾共種方法，共種排法符合題意；
基本事件總數是，丙不在排頭，甲或乙在排尾的概率為；答案為B.
【真題2】（2023·全國甲卷）現有5名志愿者報名參加公益活動，在某一星期的星期六、星期日兩天，每天從這5人中安排2人參加公益活動，則恰有1人在這兩天都參加的不同安排方式共有（ ）
A．120 B．60 C．30 D．20
【答案】B
【解析】
記五名志愿者為，
根據恰有1人在這兩天都參加可以把這1人分類為分別是這5類，
在這兩天都參加：從剩余的4人抽取2人，共有種，
同理：在這兩天都參加也各有種，
恰有1人在這兩天都參加的不同安排方式種；答案為B.
【真題3】（2023·全國I卷）某校文藝部有4名學生，其中高一、高二年級各2名．從這4名學生中隨機選2名組織校文藝匯演，則這2名學生來自不同年級的概率為（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】
從這4名學生中隨機選2名組織校文藝匯演，總的基本事件有件，
其中這2名學生來自不同年級的基本事件有，
這2名學生來自不同年級的概率為；答案為D.
【真題4】（2023·全國乙卷）甲乙兩位同學從6種課外讀物中各自選讀2種，則這兩人選讀的課外讀物中恰有1種相同的選法共有（ ）
A．30種 B．60種 C．120種 D．240種
【答案】C
【解析】
第1步，確定相同得讀物，共有種情況，
第2步，兩人各自的另外一種讀物相當于在剩余的5種讀物里，選出兩種進行排列，共有種，
則共有種；答案為C.
【真題5】（2023·全國新Ⅱ卷）某學校為了解學生參加體育運動的情況，用比例分配的分層隨機抽樣方法作抽樣調查，擬從初中部和高中部兩層共抽取60名學生，已知該校初中部和高中部分別有400名和200名學生，則不同的抽樣結果共有（ ）．
A．種 B．種
C．種 D．種
【答案】D
【解析】
根據分層抽樣的定義知初中部共抽取人，高中部共抽取，
不同的抽樣結果共有種；答案為D.
【真題6】（2022·全國新Ⅱ卷）有甲、乙、丙、丁、戊5名同學站成一排參加文藝匯演，若甲不站在兩端，丙和丁相鄰，則不同排列方式共有（ ）
A．12種 B．24種 C．36種 D．48種
【答案】B
【解析】
丙丁要在一起，先把丙丁捆綁，看做一個元素，
連同乙，戊看成三個元素排列,有種排列方式；
為使甲不在兩端，必須且只需甲在此三個元素的中間兩個位置選一個位置插入，有2種方式；
注意到丙丁兩人的順序可交換，有2種排列方式，
故安排這5名同學共有：種不同的排列方式；答案為B
【真題7】（2022·全國新Ⅰ卷）從2至8的7個整數中隨機取2個不同的數，則這2個數互質的概率為（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】
從2至8的7個整數中隨機取2個不同的數，共有種不同的取法，
若兩數不互質，不同的取法有：，共7種，
故所求概率；答案為D.
【真題8】（2021·全國乙卷）將5名北京冬奧會志愿者分配到花樣滑冰、短道速滑、冰球和冰壺4個項目進行培訓，每名志愿者只分配到1個項目，每個項目至少分配1名志愿者，則不同的分配方案共有（ ）
A．60種 B．120種 C．240種 D．480種
【答案】C
【解析】
第1步，先從5名志愿者中任選2人，組成一個小組，有種；
第2步，同其余三人，看成四個元素，四個不同的元素在四個不同的位置的排列方法數有4！種，
共有種不同的分配方案；答案為C.
【真題9】（2021·全國甲卷）將3個1和2個0隨機排成一行，則2個0不相鄰的概率為（ ）
A．0.3 B．0.5 C．0.6 D．0.8
【答案】C
【解析】
將3個1和2個0隨機排成一行，可以是：
，共10種排法，
其中2個0不相鄰的排列方法為：，共6種方法，
2個0不相鄰的概率為；答案為C.
【真題10】（2021·全國II卷）將4個1和2個0隨機排成一行，則2個0不相鄰的概率為（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
利用插空法，4個1產生5個空，
若2個0相鄰，則有種排法，若2個0不相鄰，則有種排法，
2個0不相鄰的概率為；答案為C.
【真題11】（2020·海南）要安排3名學生到2個鄉村做志愿者，每名學生只能選擇去一個村，每個村里至少有一名志愿者，則不同的安排方法共有（ ）
A．2種 B．3種 C．6種 D．8種
【答案】C
【解析】
第一步，將3名學生分成兩個組，有種分法，
第二步，將2組學生安排到2個村，有種安排方法，
不同的安排方法共有種；答案為C.
【真題12】（2020·山東）6名同學到甲、乙、丙三個場館做志愿者，每名同學只去1個場館，甲場館安排1名，乙場館安排2名，丙場館安排3名，則不同的安排方法共有（ ）
A．120種 B．90種
C．60種 D．30種
【答案】C
【解析】
第1步，從名同學中選名去甲場館，方法數有；
第2步，從其余名同學中選名去乙場館，方法數有，剩下的名同學去丙場館，
共有種；答案為C.
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第02講 排列、組合
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考綱導向
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考點要求 考題統計 考情分析
(1) 排列、組合的概念 (2) 排列數公式、組合數公式 2024年甲卷5分2023年甲卷5分2023年乙卷5分2023年I卷5分2023年II卷5分2022年I卷5分
（1）本講為高考命題熱點，題型以選擇題、填空題為主； （2）重點是排列、組合的概念和排列數公式、組合數公式，主要考查對排列、組合的概念的理解，排列數公式、組合數公式的運用，利用排列、組合解決簡單的實際問題；常與計數原理、古典概型等結合考查.
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考試要求
小
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1、理解排列、組合的概念；
2、能利用計數原理推導排列數公式、組合數公式；
3、能利用排列、組合解決簡單的實際問題.
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考點突破考綱解讀
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(
考點梳理
小
)
知識點1: 排列
1、排列
（1）排列的定義：從個不同元素中取出個元素按照 排成一列；
（2）排列數：從個不同元素中取出個元素的所有 的個數，用符號表示；
（3）公式：；
知識點2: 組合
1、組合
（1）組合的定義：從個不同元素中取出個元素作為 ；
（2）組合數：從個不同元素中取出個元素的所有 的個數，用符號表示；
（3）公式：；
（4）性質：；
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題型展示
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題型一: 排列問題
【例1】（2024·全國甲卷）甲、乙、丙、丁四人排成一列，則丙不在排頭，且甲或乙在排尾的概率是（ ）
A． B． C． D．
【變式1】有甲、乙、丙、丁、戊5名同學站成一排參加文藝匯演，若甲不站在兩端，丙和丁相鄰，則不同排列方式共有（ ）
A．12種 B．24種 C．36種 D．48種
題型二: 組合問題
【例2】（2023·全國甲卷）某校文藝部有4名學生，其中高一、高二年級各2名．從這4名學生中隨機選2名組織校文藝匯演，則這2名學生來自不同年級的概率為（ ）
A． B． C． D．
【變式2】（2023·全國新Ⅱ卷）某學校為了解學生參加體育運動的情況，用比例分配的分層隨機抽樣方法作抽樣調查，擬從初中部和高中部兩層共抽取60名學生，已知該校初中部和高中部分別有400名和200名學生，則不同的抽樣結果共有（ ）．
A．種 B．種
C．種 D．種
題型三: 排列組合綜合問題
【例3】將5名校運會志愿者分配到鉛球、跳遠、3000m長跑和跳高4個項目進行培訓，每名志愿者只分配到1個項目，每個項目至少分配1名志愿者，則不同的分配方案共有（ ）
A．60種 B．120種 C．240種 D．480種
【變式3】要安排3名學生到2個路口做志愿者，每名學生只能選擇去一個路口，每個路口里至少有一名志愿者，則不同的安排方法共有（ ）
A．2種 B．3種 C．6種 D．8種
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考場演練
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【真題1】（2024·全國甲卷）甲、乙、丙、丁四人排成一列，則丙不在排頭，且甲或乙在排尾的概率是（ ）
A． B． C． D．
【真題2】（2023·全國甲卷）現有5名志愿者報名參加公益活動，在某一星期的星期六、星期日兩天，每天從這5人中安排2人參加公益活動，則恰有1人在這兩天都參加的不同安排方式共有（ ）
A．120 B．60 C．30 D．20
【真題3】（2023·全國I卷）某校文藝部有4名學生，其中高一、高二年級各2名．從這4名學生中隨機選2名組織校文藝匯演，則這2名學生來自不同年級的概率為（ ）
A． B． C． D．
【真題4】（2023·全國乙卷）甲乙兩位同學從6種課外讀物中各自選讀2種，則這兩人選讀的課外讀物中恰有1種相同的選法共有（ ）
A．30種 B．60種 C．120種 D．240種
【真題5】（2023·全國新Ⅱ卷）某學校為了解學生參加體育運動的情況，用比例分配的分層隨機抽樣方法作抽樣調查，擬從初中部和高中部兩層共抽取60名學生，已知該校初中部和高中部分別有400名和200名學生，則不同的抽樣結果共有（ ）．
A．種 B．種
C．種 D．種
【真題6】（2022·全國新Ⅱ卷）有甲、乙、丙、丁、戊5名同學站成一排參加文藝匯演，若甲不站在兩端，丙和丁相鄰，則不同排列方式共有（ ）
A．12種 B．24種 C．36種 D．48種
【真題7】（2022·全國新Ⅰ卷）從2至8的7個整數中隨機取2個不同的數，則這2個數互質的概率為（ ）
A． B． C． D．
【真題8】（2021·全國乙卷）將5名北京冬奧會志愿者分配到花樣滑冰、短道速滑、冰球和冰壺4個項目進行培訓，每名志愿者只分配到1個項目，每個項目至少分配1名志愿者，則不同的分配方案共有（ ）
A．60種 B．120種 C．240種 D．480種
【真題9】（2021·全國甲卷）將3個1和2個0隨機排成一行，則2個0不相鄰的概率為（ ）
A．0.3 B．0.5 C．0.6 D．0.8
【真題10】（2021·全國II卷）將4個1和2個0隨機排成一行，則2個0不相鄰的概率為（ ）
A． B． C． D．
【真題11】（2020·海南）要安排3名學生到2個鄉村做志愿者，每名學生只能選擇去一個村，每個村里至少有一名志愿者，則不同的安排方法共有（ ）
A．2種 B．3種 C．6種 D．8種
【真題12】（2020·山東）6名同學到甲、乙、丙三個場館做志愿者，每名同學只去1個場館，甲場館安排1名，乙場館安排2名，丙場館安排3名，則不同的安排方法共有（ ）
A．120種 B．90種
C．60種 D．30種
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