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第02講 等差數(shù)列及其前n項和
(
考綱導(dǎo)向
小
)
考點要求 考題統(tǒng)計 考情分析
(1) 等差數(shù)列的概念和性質(zhì) (2) 等差數(shù)列的通項與前n項和 2024年Ⅱ卷5分2024年甲卷5分2024年乙卷5分2023年I卷5分2023年甲卷5分2023年乙卷5分2022年乙卷5分2022年北京卷5分
（1）本講為高考命題熱點，題型以選擇題為主，考查內(nèi)容、頻率、題型、難度均變化不大； （2）重點是等差數(shù)列的概念和性質(zhì)，掌握等差數(shù)列的通項公式與前n項和公式，主要考查等差數(shù)列基本量的運算，等差數(shù)列的判定和證明，等差數(shù)列的通項與前n項和的性質(zhì)；
(
考試要求
小
)
1、理解等差數(shù)列的概念；
2、掌握等差數(shù)列的通項公式與前n項和公式；
3、能在具體的問題情境中識別數(shù)列的等差關(guān)系，并能用有關(guān)知識解決相應(yīng)的問題；
4、了解等差數(shù)列與一次函數(shù)、二次函數(shù)的關(guān)系.
(
考點突破考綱解讀
)
(
考點梳理
小
)
知識點1:等差數(shù)列的概念
1、等差數(shù)列定義與基本量
（1）定義：（為常數(shù)）
（2）通項： ；
（3）前n項和： ；
知識點2:等差數(shù)列的性質(zhì)
1、等差數(shù)列通項性質(zhì)
若是等差數(shù)列，則：
（1）若，則 ；
（2）等差中項：成等差數(shù)列 ；若三個數(shù)成等差數(shù)列，可設(shè)為
2、等差數(shù)列前n項和性質(zhì)
設(shè)等差數(shù)列的前項和為，則有以下性質(zhì)：
（1）數(shù)列仍為等差數(shù)列，仍為 ，公差為 ；
（2）項數(shù)為偶數(shù)的等差數(shù)列，有：
（為中間兩項）；
.
（3）項數(shù)為奇數(shù)-1的等差數(shù)列，有：
（為中間項）；
.
（4）若是等差數(shù)列，且前項之和分別為，則有 ;
知識點3:等差數(shù)列前n項和的最值
1、等差數(shù)列前n項和的最值
（1）求最值：
方法1、是等差數(shù)列
（為常數(shù)，是關(guān)于的常數(shù)項為0的二次函數(shù)）
可以通過求二次函數(shù)（）的最值來求出的最值.
方法2、 求出的正負(fù)分界項
當(dāng)由不等式組可解得達(dá)到最大值時的；
當(dāng)由不等式組可解得達(dá)到最小值時的.
(
題型展示
小
)
題型一: 等差數(shù)列基本量的運算
【例1】（2024·全國甲卷）記為等差數(shù)列的前項和，已知，，則（ ）
A． B． C． D．
【變式1】設(shè)是數(shù)列的前項和，且，，則 ．
題型二: 等差數(shù)列的判定和證明
【例2】（2023·全國新Ⅰ卷）記為數(shù)列的前項和，設(shè)甲：為等差數(shù)列；乙：為等差數(shù)列，則（ ）
A．甲是乙的充分條件但不是必要條件
B．甲是乙的必要條件但不是充分條件
C．甲是乙的充要條件
D．甲既不是乙的充分條件也不是乙的必要條件
【變式2】如圖，點列{An}，{Bn}分別在某銳角的兩邊上，且，（）若的面積（ ）
A．是等差數(shù)列 B．是等差數(shù)列
C．是等差數(shù)列 D．是等差數(shù)列
題型三: 等差數(shù)列的性質(zhì)
【例3】（2024·全國甲卷）已知等差數(shù)列的前項和為，若，則（ ）
A． B． C．1 D．
【變式3】已知等差數(shù)列的前n項和Sn，公差d≠0，．記b1=S2，， ，下列等式不可能成立的是（ ）
A． B．2b4=b2+b6 C． D．
(
考場演練
)
【真題1】（2024·全國新Ⅱ卷）記為等差數(shù)列的前n項和，若，，則 .
【真題2】（2024·全國甲卷）記為等差數(shù)列的前項和，已知，，則（ ）
A． B． C． D．
【真題3】（2024·全國乙卷）已知等差數(shù)列的前項和為，若，則（ ）
A． B． C．1 D．
【真題4】（2023·全國甲卷）記為等差數(shù)列的前項和．若，則（ ）
A．25 B．22 C．20 D．15
【真題5】（2023·全國乙卷）已知等差數(shù)列的公差為，集合，若，則（ ）
A．－1 B． C．0 D．
【真題6】（2023·全國新Ⅰ卷）記為數(shù)列的前項和，設(shè)甲：為等差數(shù)列；乙：為等差數(shù)列，則（ ）
A．甲是乙的充分條件但不是必要條件
B．甲是乙的必要條件但不是充分條件
C．甲是乙的充要條件
D．甲既不是乙的充分條件也不是乙的必要條件
【真題7】（2022·全國乙卷）記為等差數(shù)列的前n項和．若，則公差 ．
【真題8】（2022·北京）設(shè)是公差不為0的無窮等差數(shù)列，則“為遞增數(shù)列”是“存在正整數(shù)，當(dāng)時，”的（ ）
A．充分而不必要條件 B．必要而不充分條件
C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件
【真題9】（2020·浙江）已知等差數(shù)列的前n項和Sn，公差d≠0，．記b1=S2，， ，下列等式不可能成立的是（ ）
A． B．2b4=b2+b6 C． D．
【真題10】（2019·全國）記為等差數(shù)列的前n項和．已知，則（ ）
A． B． C． D．
21世紀(jì)教育網(wǎng) www.21cnjy.com 精品試卷·第 2 頁 （共 2 頁）
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第02講 等差數(shù)列及其前n項和
(
考綱導(dǎo)向
小
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考點要求 考題統(tǒng)計 考情分析
(1) 等差數(shù)列的概念和性質(zhì) (2) 等差數(shù)列的通項與前n項和 2024年Ⅱ卷5分2024年甲卷5分2024年乙卷5分2023年I卷5分2023年甲卷5分2023年乙卷5分2022年乙卷5分2022年北京卷5分
（1）本講為高考命題熱點，題型以選擇題為主，考查內(nèi)容、頻率、題型、難度均變化不大； （2）重點是等差數(shù)列的概念和性質(zhì)，掌握等差數(shù)列的通項公式與前n項和公式，主要考查等差數(shù)列基本量的運算，等差數(shù)列的判定和證明，等差數(shù)列的通項與前n項和的性質(zhì)；
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考試要求
小
)
1、理解等差數(shù)列的概念；
2、掌握等差數(shù)列的通項公式與前n項和公式；
3、能在具體的問題情境中識別數(shù)列的等差關(guān)系，并能用有關(guān)知識解決相應(yīng)的問題；
4、了解等差數(shù)列與一次函數(shù)、二次函數(shù)的關(guān)系.
(
考點突破考綱解讀
)
(
考點梳理
小
)
知識點1:等差數(shù)列的概念
1、等差數(shù)列定義與基本量
（1）定義：（為常數(shù)）
（2）通項：
（3）前n項和：
知識點2:等差數(shù)列的性質(zhì)
1、等差數(shù)列通項性質(zhì)
若是等差數(shù)列，則：
（1）若，則；
（2）等差中項：成等差數(shù)列；若三個數(shù)成等差數(shù)列，可設(shè)為
2、等差數(shù)列前n項和性質(zhì)
設(shè)等差數(shù)列的前項和為，則有以下性質(zhì)：
（1）數(shù)列仍為等差數(shù)列，仍為等差數(shù)列，公差為；
（2）項數(shù)為偶數(shù)的等差數(shù)列，有：
（為中間兩項）；
.
（3）項數(shù)為奇數(shù)-1的等差數(shù)列，有：
（為中間項）；
（4）若是等差數(shù)列，且前項之和分別為，則有
知識點3:等差數(shù)列前n項和的最值
1、等差數(shù)列前n項和的最值
（1）求最值：
方法1、是等差數(shù)列
（為常數(shù)，是關(guān)于的常數(shù)項為0的二次函數(shù)）
可以通過求二次函數(shù)（）的最值來求出的最值.
方法2、 求出的正負(fù)分界項
當(dāng)由不等式組可解得達(dá)到最大值時的；
當(dāng)由不等式組可解得達(dá)到最小值時的.
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題型展示
小
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題型一: 等差數(shù)列基本量的運算
【例1】（2024·全國甲卷）記為等差數(shù)列的前項和，已知，，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
由，則，
則等差數(shù)列的公差，故；答案為B.
【變式1】設(shè)是數(shù)列的前項和，且，，則 ．
【答案】
【解析】
原式為 ，即，
即數(shù)列是以-1為首項，-1為公差的等差的數(shù)列， ，即.
題型二: 等差數(shù)列的判定和證明
【例2】（2023·全國新Ⅰ卷）記為數(shù)列的前項和，設(shè)甲：為等差數(shù)列；乙：為等差數(shù)列，則（ ）
A．甲是乙的充分條件但不是必要條件
B．甲是乙的必要條件但不是充分條件
C．甲是乙的充要條件
D．甲既不是乙的充分條件也不是乙的必要條件
【答案】C
【解析】
甲：為等差數(shù)列，設(shè)數(shù)列的首項，公差為，即，
則，為等差數(shù)列，即甲是乙的充分條件；
乙：為等差數(shù)列，即，
即，，
當(dāng)時，上兩式相減得：，當(dāng)時，上式成立，
，又為常數(shù)，
為等差數(shù)列，則甲是乙的必要條件；甲是乙的充要條件；答案為C
【變式2】如圖，點列{An}，{Bn}分別在某銳角的兩邊上，且，（）若的面積（ ）
A．是等差數(shù)列 B．是等差數(shù)列
C．是等差數(shù)列 D．是等差數(shù)列
【答案】A
【解析】
表示點到對面直線的距離（設(shè)為）乘以長度的一半，
即，由題目中條件可知的長度為定值，
和兩個垂足構(gòu)成了直角梯形， ，
其中為兩條線的夾角，即為定值，，
，
作差：，都為定值，為定值；答案為A．
題型三: 等差數(shù)列的性質(zhì)
【例3】（2024·全國甲卷）已知等差數(shù)列的前項和為，若，則（ ）
A． B． C．1 D．
【答案】D
【解析】
根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)，，由， ，
故；答案為D.
【變式3】已知等差數(shù)列的前n項和Sn，公差d≠0，．記b1=S2，， ，下列等式不可能成立的是（ ）
A． B．2b4=b2+b6 C． D．
【答案】D
【解析】
對A，數(shù)列為等差數(shù)列，，A正確；
對B，由題意可知，，，
∴，，，．
∴，，，B正確；
對C，當(dāng)時，，C正確；
對D，，，
．
當(dāng)時，，∴即；
當(dāng)時，，∴即，D錯；答案為D.
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考場演練
)
【真題1】（2024·全國新Ⅱ卷）記為等差數(shù)列的前n項和，若，，則 .
【答案】95
【解析】
數(shù)列為等差數(shù)列，則由題意得，解得，
；故答案為.
【真題2】（2024·全國甲卷）記為等差數(shù)列的前項和，已知，，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
由，則，
則等差數(shù)列的公差，；答案為B.
【真題3】（2024·全國乙卷）已知等差數(shù)列的前項和為，若，則（ ）
A． B． C．1 D．
【答案】D
【解析】
，由，
，故；答案為D.
【真題4】（2023·全國甲卷）記為等差數(shù)列的前項和．若，則（ ）
A．25 B．22 C．20 D．15
【答案】C
【解析】
，，，，
，，;答案為C.
【真題5】（2023·全國乙卷）已知等差數(shù)列的公差為，集合，若，則（ ）
A．－1 B． C．0 D．
【答案】B
【解析】
，
函數(shù)的周期為3，而，即最多3個不同取值，又，則在中，或，
，即有，解得，
;答案為B
【真題6】（2023·全國新Ⅰ卷）記為數(shù)列的前項和，設(shè)甲：為等差數(shù)列；乙：為等差數(shù)列，則（ ）
A．甲是乙的充分條件但不是必要條件
B．甲是乙的必要條件但不是充分條件
C．甲是乙的充要條件
D．甲既不是乙的充分條件也不是乙的必要條件
【答案】C
【解析】
甲：為等差數(shù)列，設(shè)數(shù)列的首項，公差為，即，
則，為等差數(shù)列，即甲是乙的充分條件；
乙：為等差數(shù)列，即，
即，，
當(dāng)時，上兩式相減得：，當(dāng)時，上式成立，
，又為常數(shù)，
為等差數(shù)列，則甲是乙的必要條件；甲是乙的充要條件；答案為C
【真題7】（2022·全國乙卷）記為等差數(shù)列的前n項和．若，則公差 ．
【答案】2
【解析】
由可得，化簡得，
即，解得；故答案為2.
【真題8】（2022·北京）設(shè)是公差不為0的無窮等差數(shù)列，則“為遞增數(shù)列”是“存在正整數(shù)，當(dāng)時，”的（ ）
A．充分而不必要條件 B．必要而不充分條件
C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件
【答案】C
【解析】
設(shè)等差數(shù)列的公差為，則，記為不超過的最大整數(shù).
若為單調(diào)遞增數(shù)列，則，
若，則當(dāng)時，；若，則，
由可得，取，則當(dāng)時，，
“是遞增數(shù)列”“存在正整數(shù)，當(dāng)時，”；
若存在正整數(shù)，當(dāng)時，，取且，，
假設(shè)，令可得，且，
當(dāng)時，，與題設(shè)矛盾，假設(shè)不成立，則，即數(shù)列是遞增數(shù)列.
“是遞增數(shù)列”“存在正整數(shù)，當(dāng)時，”.
“是遞增數(shù)列”是“存在正整數(shù)，當(dāng)時，”的充分必要條件；答案為C.
【真題9】（2020·浙江）已知等差數(shù)列的前n項和Sn，公差d≠0，．記b1=S2，， ，下列等式不可能成立的是（ ）
A． B．2b4=b2+b6 C． D．
【答案】D
【解析】
對A，數(shù)列為等差數(shù)列，，A正確；
對B，由題意可知，，，
∴，，，．
∴，，，B正確；
對C，當(dāng)時，，C正確；
對D，，，
．
當(dāng)時，，∴即；
當(dāng)時，，∴即，D錯；答案為D.
【真題10】（2019·全國）記為等差數(shù)列的前n項和．已知，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】
，解得，∴，答案為A．
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