資源簡介

高考數學
7大題型解答題
常考公式及答題模板
題型一：解三角形
1、正弦定理： （是外接圓的半徑）
變式①： 變式②： 變式③：
2、余弦定理： 變式：
3、面積公式：
4、射影定理： （少用，可以不記哦^o^）
5、三角形的內角和等于，即 6、誘導公式：奇變偶不變，符號看象限
利用以上關系和誘導公式可得公式： 和
7、平方關系和商的關系：① ②
8、二倍角公式：①
② 降冪公式：，
③
8、和、差角公式：
① ②
③
9、基本不等式：① ② ③
注意：基本不等式一般在求取值范圍或最值問題中用到，比如求面積的最大值時。
答題步驟：
①抄條件：先寫出題目所給的條件；（但不要抄題目）
②寫公式：寫出要用的公式，如正弦定理或余弦定理；
③有過程：寫出運算過程；
④得結論：寫出結論；（不會就猜一個結果）
⑤猜公式：第二問一定不能放棄，先寫出題目所給的條件，然后再寫一些你認為可能考到的公式，如均值不等式或面積公式等。
10、不常用的三角函數公式（很少用，可以不記哦^o^）
（1）萬能公式：① ② ③
（2）三倍角公式：
① ② ③
例1：在中，內角A、B、C所對應的邊分別為a、b、c，已知.
(1)求B；
(2)若，求sinC的值.
解：已知 ……將題目的條件抄一遍
由正弦定理 ……寫出要用的公式
……寫出要用的公式
……寫出運算過程
又 故. ……寫出結論
(2)已知, ……寫出題目的條件和要用的公式
……先寫公式再寫運算過程
.
例2：在△ABC中，角A、B、C所對的邊分別為a、b、c，已知cos C＋(cos A－sin A)cos B=0.
(1)求角B的大小；
(2)若a＋c=1，求b的取值范圍．
解：(1)已知cos C＋(cos A－sin A)cos B=0 ……將題目的條件抄一遍
……寫出必要的運算過程
. ……得出結論
(2)由余弦定理，得
……寫出要用的公式
……寫出必要的運算過程
根據基本不等式，得 ……寫出要用的公式
……寫出必要的運算過程
即. ……得出結論
題型二：數列
1、等差數列 2、等比數列
①定義： ①定義：
②通項公式： ②通項公式：
③前n項和：（大題小題都常考） ③前n項和：（常考）
（小題常考） （可以不記哦^o^）
④等差中項：若成等差數列，則 ④等比中項：若成等比數列，則
⑤性質：若，則 ⑤性質：若，則
3、與的關系： 注意：該公式適用于任何數列，常利用它來求數列的通項公式
4、求數列通項公式的方法
（1）公式法：
①若已知和，則用等差數列通項公式
②若已知和，則用等比數列通項公式
（2）與的關系：
例3：數列滿足，求.
解：設，則
（1）當時，
（2）當時， ①
②
①-②，得
……利用了與的關系
驗證當時， ……要驗證n=1是否成立，不成立應當分開寫
故.
（3）構造法：形如（p，q為非零常數） 構造等比數列
例4：已知數列滿足，且，求.
解：已知，且
構造 ……構造等比數列
……將假設出來的式子與原式比較，求出未知數
令
為等比數列
……先寫出等比數列的通項公式，再帶值
又. ……通過求出間接求出
累加法：形如，且可用求和，可用累加法
例5：已知數列中，，，求.
解：已知
……累加的方法是左邊加左邊，右邊加右邊
累加后，得
……利用了公式
故.
（5）累乘法：形如，且可用求積，可用累乘法
例6：已知數列中，，，求.
解：已知
累乘后，得
.
（6）取倒數法：形如（p，q為非零常數）則兩邊同時取倒數
例7：已知數列滿足且，求.
解：已知 ……等式兩邊同時取倒數
……滿足等差數列的定義
令，則 ……構造等差數列
為等差數列
. ……先寫出公式，再帶值
5、求數列前n項和Sn的方法
（1）公式法：除了用等差數列和等比數列前n項和的公式外，還應當記住以下求和公式
① ④
② ⑤
③ ⑥
（2）裂項相消法：
① ③
② ④
例8：設等差數列的前n項和為，且，.
（1）求數列的通項公式；
（2）設，求數列的前n項和.
解：（1）已知， ……寫出題目所給的條件
， ……一定要先寫出要用的公式，再帶值
①
② ……先寫出公式，再帶值
由①②式，解得
. ……先寫出公式，再帶值
（2）由（1）知： ……拆項后擔心不對就通分回去驗證
（3）錯位相減法：形如“等差×等比”的形式可用錯位相減法
例9：設數列滿足.
（1）求數列的通項公式；
（2）令，求數列的前n項和.
解：（1）已知，則 ……一定要先寫出題目所給的條件
累加后，得
……運用等比數列求和公式
……所有的n取n-1，得到
（2）由（1）知：
記 ①
② ……等式兩邊同時乘以等比部分的公比
①-②，得 ……此處用錯位相減法
. ……運用求和公式
（4）分組求和法：
例10：已知等差數列滿足.
（1）若成等比數列，求m的值；
（2）設，求數列的前n項和.
解：（1）已知 ……寫出題目所給的條件
由，得
. ……先寫出通項公式的一般式，再帶值
又成等比數列 ……利用等比中項列出方程
.
（2）由（1）知：
……運用分組求和法
記，，則
.
6、基本不等式：
① ② ③
注意：基本不等式一般在求取值范圍或最值問題的時候用到，有時還用于證明數列不等式。
答題步驟：
①抄條件：先抄題目所給的條件；（但不要抄題目）
②寫公式：寫出要用的公式，如等差數列的通項公式或前n項和；
③有過程：寫出運算過程；
④得結論：寫出結論；（不會就一個結果）
⑤猜公式：第二問一定不能放棄，先寫出題目所給的條件，然后再寫一些你認為可能考到的公式。
^o^ 數列題型比較難的是放縮法
題型三：空間立體幾何
1、線線關系
①線線平行：（很簡單，基本上不考）
②線線垂直：先證明線面垂直，從而得到線線垂直。（常考）
方法：（i）利用面與面垂直的性質，即一個平面內的一條直線垂直于兩面交線必與另一平面垂直；
（ii）利用線與面垂直的性質，即直線同時垂直于平面內的兩條相交直線。
例11：如圖，在四棱錐中，底面是且邊長為的菱形，側面是等邊三角形，且平面垂直于底面，求證：.
證明：取AD的中點為G，連接PG，BG，如圖所示： ……作輔助線一定要有說明
PAD是等邊三角形 ① ……將條件圈出來
② ……將條件圈出來
又
而 ……必須說明線與面的關系
即.
2、線面關系
①線面平行：只需證明直線與平面內的一條直線平行即可。方法：將直線平移到平面中，得到平面內的一條直線，只需證明它們互相平行即可。一般要用平行四邊形或三角形中位線的性質證明。（最常考，一定要掌握鴨）
②線面垂直：只需證明直線與平面內的兩條相交直線都互相垂直即可。（最常考，一定要掌握鴨）
方法：（i）利用面與面垂直的性質；
（ii）直線同時垂直于平面內的兩條相交直線。
例12：如圖所示，在長方體ABCD﹣A1B1C1D1中，AA1=AD=a，AB=2a，E、F分別為C1D1、A1D1的中點．
（1）求證：DE⊥平面BCE；
（2）求證：AF∥平面BDE．
證明：（1）已知AA1=AD=a，AB=2a，E為C1D1的中點
①
又 ②
，且
而.
（2）連接EF，連接AC交BD于點M如圖所示：
③
又
.
3、面面關系
①面面平行：只需證明第一個平面的兩條相交直線與第二個平面的兩條相交直線互相平行即可（很少考哦）。
②面面垂直：只需證明有一條直線垂直于一個平面，而這條直線又恰好在另外一個平面內即可。（常考）
例13：如圖，在三棱錐V-ABC中，平面VAB⊥平面ABC，△VAB為等邊三角形，AC⊥BC且AC=BC，O，M分別為AB，VA的中點．求證：平面MOC⊥平面VAB．
證明：已知面VAB⊥面ABC
① ……將條件圈出來
又
. ……利用了線垂直于平面的性質
答題模板：
①作輔助：需要作輔助線的一定要在圖中作出輔助線，如取AB的中點為E；
②有說明：需要在圖上連線時一定要有說明，如連接AB兩點如圖所示；
③抄條件：寫出證明過程，并將條件圈出；
④再說明：說明線與面的關系，如面，而面；
⑤得結論：得出結論，證畢；
⑥寫多分：第二問不要不寫，能寫多少寫多少，哪怕是抄題目的條件。
文科常考錐體體積公式：
理科常考二面角的余弦值： 其中和為兩個平面的法向量
點到平面的距離公式(理科)：設平面的法向量為，A為該平面內任意一點，則點P到平面的距離為：
^o^ 總之第二問一定要多寫，多寫多得分
例14：如圖所示，在四棱錐P ABCD中，AB//CD，且．
（1）證明：平面PAB⊥平面PAD；
（2）若PA=PD=AB=DC，，且四棱錐P ABCD的體積為，求該四棱錐的側面積．
證明：（1） ……寫出題目的已知條件
①
又 ② ……將證明的條件圈出來
……說明清楚線與面的關系
又. ……根據線面垂直的性質，得出結論
（2）過P點作，垂足為點M，如圖所示： ……作輔助線一定要有說明
③
④
設，則
……平行四邊形的面積等于相鄰兩邊的乘積
由題意可知：
故四棱錐P-ABCD的側面積為：
……要先將所有的側面積表示出來，再相加
.
例15：如圖所示，邊長為2的正方形ABCD所在的平面與半圓弧CD所在平面垂直，M是CD上異于C，D的點．
（1）證明：平面AMD平面BMC；
（2）當三棱錐M-ABC體積最大時，求面MAB與面MCD所成二面角的正弦值．
證明：（1）既然M為圓弧CD上的動點，不妨假設M在圓弧CD的中點處，建立空間直角坐標系D-xyz如圖所示：
A(2,0,0) B(2,2,0) C(0,2,0) D(0,0,0) ……將所有點的坐標一一寫出
設面的法向量為，則 ……法向量一般要先假設出來
，
由 取 ……平面有無數多法向量，任取一個即可
設面的法向量為，則
，
由 取
……平面的法向量垂直，兩平面必互相垂直
即 面ADM面BCM.
（2）由題意知，當M在點處時三棱錐M-ABC體積最大
設面的法向量為，則
，
由 取
而面的法向量取為
……先寫公式再帶數值
. ……利用公式求
題型四：概率與統計
1、莖葉圖
①平均數：
②極差=最大值-最小值 注：極差越小，數據越集中
③方差： 注：方差越小，數據波動越小，越穩定
④標準差：
例16：某工廠為提高生產效率，開展技術創新活動，提出了完成某項生產任務的兩種新的生產方式．為比較兩種生產方式的效率，選取40名工人，將他們隨機分成兩組，每組20人。第一組工人用第一種生產方式，第二組工人用第二種生產方式．根據工人完成生產任務的工作時間（單位：min）繪制了如下莖葉圖：
第一種生產方式 第二種生產方式
8 6 5 5 6 8 9
9 7 6 2 7 0 1 2 2 3 4 5 6 6 8
9 8 7 7 6 5 4 3 3 2 8 1 4 4 5
2 1 1 0 0 9 0
（1）根據莖葉圖判斷哪種生產方式的效率更高？并說明理由；
（2）求40名工人完成生產任務所需時間的中位數m，并將完成生產任務所需時間超過m和不超過m的工人數填入下面的列聯表：
超過m 不超過m
第一章生產方式
第二章生產方式
（3）根據（2）中的列聯表，能否有99％的把握認為兩種生產方式的效率有差異？
附：
0.050 0.010 0.001
k 3.841 6.635 10.828
解：（1）工作效率的高低看兩種生產方式的平均工作時間，分別為：
第一種生產方式：
第二種生產方式：
由 可知第二種生產方式的平均工作時間較低，因此第二種生產方式效率更高.
（2）由莖葉圖可知：中位數為
列聯表如下：
超過m 不超過m
第一章生產方式 15 5
第二章生產方式 5 15
（3）由（2）中的列聯表知：
……要將公式抄寫一遍，再帶值
所以有99％的把握認為兩種生產方式的效率有差異.
2、頻率分布直方圖
①眾數：最高小長方形的中間值
②中位數：小長方形面積之和為0.5的值
③頻率=概率=組距×=小長方形的面積
④所有小長方形的面積之和等于1
⑤平均數：每個小長方形的中間值×相應小長方形的面積，然后將所得的數相加
例17：為了解甲、乙兩種離子在小鼠體內的殘留程度，進行如下實驗：將200只小鼠隨機分成A，B兩組，每組100只，其中A組小鼠給服甲離子溶液，B組小鼠給服乙離子溶液.每只小鼠給服的溶液體積相同、摩爾濃度相同.經過一段時間后用某種科學方法測算出殘留在小鼠體內離子的百分比.根據試驗數據分析得到如下直方圖：
記C為事件：“乙離子殘留在體內的百分比不低于5.5”，根據直方圖得到P(C)的估計值為0.70.
（1）求乙離子殘留百分比直方圖中a，b的值；
（2）分別估計甲、乙離子殘留百分比的平均值（同一組中的數據用該組區間的中間值為代表）.
解：（1）頻率分布直方圖的小矩形面積表示概率.
由題意，得
a+0.20+0.15=0.70 a=0.35
根據“各小矩形的面積之和等于1”，得
0.05+b+0.15+0.35+0.20+0.15=1 b=0.10
（2）根據平均值的求法，得
對甲離子：
對乙離子：
3、線性回歸方程
答題模板：
（1）設方程：先假設回歸方程為；
（2）抄公式：寫出公式， （不管題目有沒有給，都要寫出來哦^o^）
（3）求各值：求出①，② ……沒時間計算就把式子列出來
③ ，④ ……沒時間計算就把式子列出來
得ba：代入公式求出和；
寫方程：寫出回歸方程；
（6）寫多分：第二問也不難，一般給你x讓你估計y的值，直接帶公式OK！^o^
例18：某地區2007年至2013年農村居民家庭純收入y（單位：千元）的數據如下表：
年份 2007 2008 2009 2010 2011 2012 2013
年份代號t 1 2 3 4 5 6 7
人均純收入y 2.9 3.3 3.6 4.4 4.8 5.2 5.9
（1）求y關于t的線性回歸方程；
（2）利用（1）中的回歸方程，分析2007年至2013年該地區農村居民家庭人均純收入的變化情況，并預測該地區2015年農民居民家庭人均純收入.
附：回歸直線方程的斜率和截距的最小二乘法估計公式分別為：
，
解：（1）設線性回歸方程為，則 ……先假設出回歸方程
……寫計算b，a的公式，不管題目有沒有給出公式
，
故線性回歸方程為：.
由回歸方程知：該地區農村居民人均純收入是逐年提高的.
2015年的年份代號為9，所以當t=9時，（千元）
故預計該地區2015年農民居民家庭人均純收入為6.92千元.
題型五：圓錐曲線
1、橢圓（以焦點在x軸上的為例）
①定義： ⑥準線：
②標準方程： ⑦通徑：
③離心率： ⑧長軸長：
④固定關系： ⑨短軸長：
⑤焦距：
例20：已知橢圓M:的離心率為，焦距為，斜率為k的直線l與橢圓M有不同的交點A，B.
（1）求橢圓M的方程；
（2）若k=1，求|AB|的最大值；
（3）設P(-2,0)，直線PA與橢圓M的另一個交點為C，直線PB與橢圓M的另一個交點為D，若C，D和Q共線，求k.
解：（1）已知橢圓的標準方程為 ……首先假設橢圓的方程
， ……先寫公式再帶數值
……先寫公式再帶數值
故橢圓的方程為.
（2）由題意，設AB所在的直線方程為，，，則 ……一定要假設出直線方程
……將直線與橢圓聯立方程
……韋達定理
……保證直線與橢圓有兩個交點
……弦長公式
因此當且僅當即時，的值最大，且.
（3）設，則 ……未知點要先假設出坐標
PA所在的直線方程為： ……代入直線的點斜式方程
……將直線與橢圓聯立方程
又點A在橢圓上，因此有
……韋達定理和點斜式方程
同理可得，
又在同一直線上，因此
即.
2、雙曲線（以焦點在x軸上的為例）
①定義： ⑥漸進線：
②標準方程： ⑦通徑：
③離心率： ⑧實軸長：
④固定關系： ⑨虛軸長：
⑤焦距：
例21：已知C：的兩個焦點，點在雙曲線上.
（1）求雙曲線C的方程；
（2）記O為坐標原點，過點Q(0,2)的直線l與雙曲線C交于不同的兩點E，F，若的面積為，求直線l的方程.
解：（1）已知雙曲線的標準方程為，則 ……先寫出標準方程的原始式子
由題意得，c=2，點在雙曲線上
……先寫出a,b,c三者的固定關系再帶數值
解得
故雙曲線的標準方程為：.
（2）設直線l的方程為，即，則
點O到直線EF的距離為： ……先寫出公式再帶數值
……弦長公式，先寫出公式再帶數值
由題意，得
……點O到直線EF的距離就是三角形的高
即 ……將四次方看成平方的平方，再用十字相乘法
解得
……得到的k值還要驗證是否能保證直線與雙曲線有兩個交點
故直線l的方程為：或. 注：十字相乘法解方程
3、拋物線（以開口向右的為例）
①標準方程：
②焦點坐標：
③準線方程：
④定義：平面內到一個定點與到定直線的距離相等的點的軌跡叫做拋物線，其中定點叫做拋物線的焦點，定直線叫做拋物線的準線.（常考，很重要的哦^o^）
⑤通徑：過焦點F且垂直于x軸的直線與拋物線相交于A，B兩點，則.
⑥過焦點的弦長： ，分別為C，D兩點的橫坐標
例22：設A，B為曲線C：上兩點，A與B的橫坐標之和為4．
（1）求直線AB的斜率；
（2）設M為曲線C上一點，C在M處的切線與直線AB平行，且AMBM，求直線AB的方程．
解：（1）設AB所在直線方程為y=kx+b，，，則
①
又.
（2）設過點M與曲線相切且平行于直線AB的直線方程為y=x+m，則
即該直線方程為y=x-1.且M(2,1)
由①式得，
②
又，都在直線y=x+b上
解得或
由②式知：b=-1（舍去）b=7 因此所求直線方程為y=x+7.
答題步驟：
①設方程：假設出曲線的標準方程；（不管題目有沒有，都要假設哦^o^）
②抄條件：寫出題目所給的條件，該帶公式就帶公式，如已知離心率為，在試卷上要寫出；
③畫圖形：根據題意，畫出圖形；
④寫過程：寫出必要的解方程過程；
⑤得結論：寫出結論（寫出曲線方程，不會就猜一個）
⑥猜公式：第二問一定要寫，要寫什么參考以下第4點。嘻嘻^o^
4、圓錐曲線大題第二問常考公式：
①直線方程： 或 ……題目說直線過某個定點時用第一個，只說直線時用第二個
方法：把直線假設出來后一般都要和曲線聯立方程：
……大部分題目都要將直線與曲線聯立方程，而且要寫出根與系數的關系
注：為保證方程有兩個實根，必須滿足 ……這是很多同學容易漏寫的一點，很重要
②韋達定理：， （根與系數的關系式） ……聯立方程后一般都要寫出根與系數的關系
③弦長公式： ……一般在計算三角形的面積或兩點之間的距離時要用到
④圓的標準方程： 圓心： 半徑：
⑤點到直線的距離公式：已知點和直線，則 ……計算三角形的高
⑥斜率公式：
⑦看到直線與曲線相交于兩點A，B時，要假設兩點的坐標分別為，
⑧中點坐標公式：，兩點的中點記為，則
例23：已知點A(0，-2)，橢圓E：的離心率為，F是橢圓的焦點，直線AF的斜率為，O為坐標原點.
（1）求橢圓E的方程；
（2）設過點A的直線l與E相交于P，Q兩點，當的面積最大時，求l的方程.
解：（1）已知橢圓的方程為，則
由題意，設，則 ①
②
又 ③
因此，橢圓的方程為.
（2）設直線l的方程為，即
設，則
點O到直線PQ的距離為
故的面積為
令，則
當且僅當即時等號成立，此時
故直線l的方程為或.
例24：設橢圓:的左焦點為F，右頂點為A，離心率為.已知A是拋物線的焦點，F到拋物線的準線l的距離為.
（1）求橢圓的方程和拋物線的方程；
（2）設l上兩點P，Q關于x軸對稱，直線AP與橢圓相交于點B（B異于點A），直線BQ與x軸相交于點D.若的面積為，求直線AP的方程.
解：（1）已知橢圓和拋物線的方程分別為，，則
設，則
由題意知：
因此橢圓的方程為，拋物線的方程為.
（2）設AP所在直線方程為，則
設BQ所在直線方程為，則
當時，，即
因此，直線AP的方程為.
題型六：導數
1、常考求導公式：
① C為常數 ② 例如：
③ ④ ⑤
2、曲線的切線方程：
3、導數的意義：曲線在處的切線的斜率，即
4、性質：函數在極值點處的導數為零，即如果為函數的極值點（不管是極大值還是極小值），必有
5、如圖所示：
①x1，x3為極大值點，x2為極小值點；
②，為極大值，為極小值；
③，，.
注意：①極大值不一定是最大值，極小值不一定是最小值；
②如果奇函數在原點處有定義，必有.
6、利用導數求極值的方法：解方程
①如果在附近的左側有，右側，那么為極大值；
②如果在附近的左側有，右側，那么為極小值.
7、利用導數求切線方程的方法：
①假設函數在點處的切線方程為；
②求；
③；
④得出切線方程為.
答題步驟：
①定義域：寫出函數的定義域：一般看到的定義域為，其他都是
②求導數：求導：
③令導零：令，得出方程的根 ……一般要分類討論
④判單調：函數單調遞增
函數單調遞減
⑤得結論：寫出函數的單調區間
⑥畫圖形：畫出函數圖像，判斷極值點
例25：已知函數．
（1）求曲線在點處的切線方程；
（2）求函數在區間上的最大值和最小值．
解：（1）已知，定義域為R ……將題中的原函數抄上來后，寫出函數的定義域
……求導，這是必做的一步
……利用導數的幾何意義，即
又
因此切線方程為. ……先寫出直線方程的原始表達式，再帶值
（2）由（1）知：
……求二階導數
當時，在上單調遞減 ……用二階導數的正負判斷一階導數的單調性
在上單調遞減
因此，.
例26：已知函數.
（1）討論的單調性；
（2）若有兩個零點，求a的取值范圍.
解：已知，
(i)當時，恒成立在R上單調遞減；
(ii)當時，
因此，在上單調遞減，在上單調遞增.
（2）有兩個零點必有
由（1）知：必有
(i)當時，只有一個零點，不符題意；
(ii)當時，沒有零點，不符題意；
(iii)當時，有兩個零點.
綜上所述，得.
題型七：極坐標與參數方程
1、坐標與直角坐標的互相轉化：
①極坐標化為直角坐標： ②直角坐標化為極坐標：
注：若點P的直角坐標為(x，y)，則極坐標為(，)
2、參數方程
（1）橢圓的參數方程：①普通方程： ②參數方程： 其中為參數
（2）圓的參數方程：①普通方程： ②參數方程： 其中為參數
（3）過定點，傾角為的直線的參數方程為： 其中t為參數
（4）拋物線的參數方程：（少考，可以不記哦^o^）
①普通方程： ②參數方程： 其中t為參數
3、由參數方程轉化為普通方程的方法：
（1）直線方程消參：①代入法 ②消元法 ^o^目的都是為了消去參數t
（2）橢圓和圓消參：①公式法 ②利用公式 ^o^目的都是為了消去參數
4、極坐標與參數方程大題常考公式
①平方關系： ……如果記不住曲線的參數方程，用該公式進行消參
②點到直線的距離公式：已知點和直線，則
③輔助角公式： 其中 ……用來求點到直線的距離或面積的最大值
④弦長公式：（i）已知，，則
（ii）已知A，B兩點對應的極徑分別為，，則
（iii）已知A，B兩點對應的參數分別為，，則
⑤韋達定理：，
答題步驟：
①先消參：不論題目給的曲線是極坐標方程還是參數方程，都先化為普通方程（直角坐標方程）；
②寫公式：需要用到哪些公式的一定要先寫出公式的原始表達式；
③有過程：要有一定的解題過程，適當的文字描述，過程不能太少；
④得結果：寫出消參并化簡后的曲線方程；
⑤猜公式：第二問常考公式參考以上第4點。
例27：選修4-4：極坐標系與參數方程
在直角坐標系中，曲線的參數方程為，（為參數），以原點為極點，軸正半軸為極軸，建立極坐標系，曲線的極坐標方程為．
（1）求曲線的普通方程與曲線的直角坐標方程；
（2）設為曲線上的動點，求點到上點的距離的最小值．
解：（1）已知曲線： ……先寫出題目所給的原始方程，再消參
由，得 ……記不住參數方程的情況下可用消參
. ……式子消去再化簡后才算消參完成
已知曲線：
.
（2）設，則 ……解題的技巧在于假設P點的坐標
……先寫出點到直線的距離公式，再帶值
當且僅當時，d有最小值，且最小值為. ……最后一步用了輔助角公式
例28：選修4-4：極坐標系與參數方程
在直角坐標系中，以坐標原點為極點，x軸正半軸為極軸建立極坐標系，曲線的極坐標方程為．
（1）M為曲線上的動點，點P在線段OM上，且滿足，求點P的軌跡的直角坐標方程；
（2）設點A的極坐標為，點B在曲線上，求面積的最大值．
解：（1）已知曲線：.
設，，則
點P在線段OM上，且
，
.
（2）由（1）知，曲線C2:
即C2的極坐標方程為
又，
當時，面積最大，且最大值為.
例29：選修4-4：坐標系與參數方程
在直角坐標系xOy中，曲線C的參數方程為（θ為參數），直線l的參數方程為（t為參數）．
（1）若a=-1，求C與l的交點坐標；
（2）若C上的點到l距離的最大值為，求a．
解：（1）已知曲線C： ……題目的曲線方程一定要先抄寫一遍
. ……記不住公式時，就用消參
當a=-1時，直線l:.
聯立方程
或
即曲線C與直線l的交點坐標為和.
（2）設曲線C上的動點為，則 ……利用參數假設動點P的坐標
動點P到直線l的距離為
……先寫出點到直線的距離公式，再帶值
①當時，； ……負數的絕對值是它的相反數
②當時，. ……正數的絕對值是它本身
例30：選修4-4：坐標系與參數方程
在直角坐標系xOy中，直線的參數方程為（t為參數），直線的參數方程為（m為參數）.設與的交點為P，當k變化時，P的軌跡為曲線C.
（1）寫出C的普通方程；
（2）以坐標原點為極點，x軸正半軸為極軸建立極坐標系，設，M為與C的交點，求M的極徑.
解：（1）已知直線為. ……先寫出題目所給的直線方程，再消參
直線為. ……先寫出題目所給的直線方程，再消參
設，則
. ……將兩直線聯立方程得到點P的軌跡方程C
因此，C的普通方程為.
（2）設點M的極坐標為，則
由（1）知C： ①
又：
聯立方程，得
兩式相除，得
④ ……先是分子分母同時除以，利用
代入④式，得
即點M的極徑為.

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