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高考數學 復習講義
課 題 解三角形（含答案解析）
知識點一：三角形中的邊與角之間的關系 約定：的三個內角、、所對應的三邊分別為、、. 1．邊的關系： (1) 兩邊之和大于第三邊：，，； 兩邊之差小于第三邊：，，； (2) 勾股定理：中，. 2．角的關系： 　中，,= （1）互補關系： （2）互余關系： 3．直角三角形中的邊與角之間的關系 中，（如圖），有： ， . 知識點二：正弦定理、余弦定理 1.正弦定理：在—個三角形中，各邊和它所對角的正弦的比相等．即： 　（為的外接圓半徑） 2. 余弦定理：三角形任意一邊的平方等于其他兩邊平方的和減去這兩邊與它們夾角的余弦的積的兩倍。即： 注： （1）正弦定理適合于任何三角形；每個等式可視為一個方程：知三求一. （2）利用正弦定理可以解決下列兩類三角形的問題： ①已知兩個角及任意—邊，求其他兩邊和另一角； ②已知兩邊和其中—邊的對角，求其他兩個角及另一邊. （3）利用余弦定理可以解決下列兩類三角形的問題： ①已知三角形的兩條邊及夾角，求第三條邊及其他兩個角； ②已知三角形的三條邊，求其三個角. (4) 利用余弦定理判斷三角形形狀： ①勾股定理是余弦定理的特殊情況，. ②在中，，所以為銳角； 若，，同理可得角、為銳角. 當，，都成立時，為銳角三角形． ③在中，若， 所以為鈍角，則是鈍角三角形． 同理：若，則是鈍角三角形且為鈍角； 若，則是鈍角三角形且為鈍角． 知識點三：解斜三角形的類型 1.已知兩角一邊，用正弦定理，有解時，只有一解. 2.已知兩邊及其一邊的對角，用正弦定理，有解的情況可分為以下情況，在中，已知和角時，解的情況如下： (1)若A為銳角時： 如圖： (2)若A為直角或鈍角時： 3.已知三邊，用余弦定理有解時，只有一解. 4.已知兩邊及夾角，用余弦定理，必有一解. 注： 1．在利用正弦定理理解已知三角形的兩邊和其中一邊的對角，求另一邊的對角，進而求出其他的邊和角時，有時可能出現一解、兩解或無解情況，應結合圖形并根據“三角形中大邊對大角”來判斷解的情況，作出正確取舍. 2．在判斷三角形的形狀時，一般將已知條件中的邊角關系利用正弦定理或余弦定理轉化為角角關系或邊邊關系，再用三角變換或代數式的恒等變換（如因式分解、配方等）求解，注意等式兩邊的公因式不要約掉，要移項提取公因式，否則會漏掉一種形狀的可能． 知識點四：三角形面積公式 1．（表示邊上的高）； 2．； 知識點五：實際問題中的常用角 1. 仰角和俯角 與目標視線在同一鉛垂平面內的水平視線和目標視線的夾角，目標視線在水平視線上方時叫仰角，目標視線在水平視線下方時叫俯角，如圖所示： 2.方位角：一般指正北方向線順時針到目標方向線的水平角. 方位角的取值范圍為0°～360°. 如圖，點的方位角是。 3. 坡角和坡度 坡面與地平面所成的角度，叫做坡角；坡面的鉛直高度和水平寬度的比叫做坡度或者坡比，常用字 母i表示。坡比是坡角的正切值。 【典型例題】 類型一、正弦、余弦定理在解三角形中的應用 例1. 在△ABC中，AB＝2，AC＝3，，則BC＝(　　) A. B. C． D. 【思路點撥】畫出示意圖，注意向量數量積的夾角是. 【答案】A 【解析】∵， ∴, ∴， 由余弦定理有， ∴，從而BC＝. 【總結升華】 本題主要考查余弦定理以及三角形中有關的向量和三角函數的應用. 舉一反三： 【變式1】在△ABC中，a＝1，b＝2，，則c＝　　　；sinA＝　　． 【答案】∵在△ABC中，a＝1，b＝2，， ∴由余弦定理得：c2＝a2＋b2－2abcosC＝1＋4－1＝4，即c＝2； ∵，C為三角形內角， ∴ ∴由正弦定理得：． 故答案為：2； 【變式2】在△ABC中，內角A，B，C的對邊分別是a，b，c。若，，則A=（ ） A．30° B．60° C．120° D．150° 【答案】A 【解析】， ， ∴ ∴在△ABC中，∠A=30°. 例2. 在中，試確定滿足下列條件的三角形的形狀。 （1）； （2）； （3），且. 【思路點撥】（1）考慮用正弦定理將邊化為角；（2）正弦、余弦定理都可以選用；（3）由可以先化簡，再考慮用余弦定理. 【解析】（1）由得， 整理得： 即，∴ 同理可得， 所以為等邊三角形. （2）方法一：化邊為角 由正弦定理得： 即， ∵， ∴ 即 ∵ ∴或，即或 故為等腰三角形或直角三角形。 方法二：化角為邊 由余弦定理得 整理得：， 即或 故為等腰三角形或直角三角形。 （3）∵ ∴即 ∵, ∴ 又∵ ∴，即 ∴即 故是正三角形. 【總結升華】依據正、余弦定理定理的結構特點，若在式子中出現的為與邊相關的一次式，則一般多用正弦定理，如果利用余弦定理，將角的關系轉化為邊的關系，則需要有較高的恒等變形能力（比如第2小題）；若在式子中出現的為與邊相關的二次式，則一般多用余弦定理. 舉一反三： 【變式1】已知△ABC中,bsinB=csinC,且,試判斷三角形的形狀． 【答案】為等腰直角三角形 【解析】∵bsinB=csinC,由正弦定理得 sinB=sinC，∴ sinB=sinC ∴ B=C 由 得 ∴三角形為等腰直角三角形． 【變式2】在△ABC中，若，則△ABC的形狀是（ ） A．直角三角形 B．等腰或直角三角形 C．不能確定 D．等腰三角形 【答案】B 【解析】 類型二、有關解三角形的綜合應用 例3. 在△ABC中，內角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知. （1）求的值； （2）若，b=2，求△ABC的面積S. 【思路點撥】（1）利用正弦定理把題設等式中的邊轉化成角的正弦，整理后求得sinC與sinA的關系式，則的值可得；（2）先通過余弦定理可求得a和c的關系式，同時利用（1）中的結論和正弦定理求得a和c的另一個關系式，最后聯立求得a和c，利用三角形面積公式即可得面積S. 【解析】（1）由正弦定理，設， 則， 所以. 即， 化簡可得sin（A+B）=2sin（B+C）. 又A+B+C=π，所以sinC=2sinA. 因此. （2）由得c=2a. 由余弦定理b2=a2+c2―2ac cosB及，b=2， 得，解得a=1，從而c=2. 又因為，且0＜B＜π，所以. 因此. 【總結升華】處理三角形中的三角函數求值時，要注意角的范圍與三角函數符號之間的聯系與影響.本題主要考查了解三角形和三角函數中恒等變換的應用，考查學生的基本分析能力及計算能力. 舉一反三： 【變式1】在中，所對的邊長分別為，設滿足條件和，求和的值． 【解析】由余弦定理，因此， 在△ABC中，∠C=180°－∠A－∠B=120°－∠B. 由已知條件，應用正弦定理 解得從而 【變式2】中， ，，則的周長為（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 . 例4. 在△ABC中，內角A、B、C的對邊分別為a，b，c，且a＞c，已知＝2，cosB＝，b＝3，求：(Ⅰ)a和c的值；(Ⅱ)cos(B－C)的值． 【答案】(Ⅰ) a＝3，c＝2，(Ⅱ)． 【思路點撥】（1）由平面向量的數量積，易求出ac=6,然后利用余弦定理求出即可；（2）畫出簡易圖，將已知條件在圖上標出來，運用正弦定理求得角的正弦值. 【解析】(Ⅰ)∵＝2，cosB＝， ∴c acosB＝2，即ac＝6①， ∵b＝3， ∴由余弦定理得：b2＝a2＋c2－2accosB，即9＝a2＋c2－4， ∴a2＋c2＝13②， 聯立①②得：a＝3，c＝2； (Ⅱ)在△ABC中，sinB＝， 由正弦定理得：sinC＝sinB＝， ∵a＝b＞c，∴C為銳角， ∴cosC＝， 則cos(B－C)＝cosBcosC＋sinBsinC＝×＋． 【總結升華】解答該類題目要注意以下幾個方面：（1）借助圖形標注已知和所求；（2）利用三角形的性質把相關條件化歸到同一個三角形中；（3）注意靈活利用正、余弦定理，實施邊、角互化. 舉一反三： 【變式】在△ABC中，a, b, c分別為內角A, B, C的對邊，且 （Ⅰ）求A的大小； （Ⅱ）求的最大值. 【答案】（Ⅰ），（Ⅱ）1 例5. 如圖，A，B是海面上位于東西方向相距海里的兩個觀測點. 現位于A點北偏東45°，B點北偏西60°的D點有一艘輪船發出求救信號，位于B點南偏西60°且與B點相距海里的C點的救援船立即前往營救，其航行速度為30海里／小時，該救援船到達D點需要多少時間？ 【思路點撥】在△DAB中，由正弦定理得，由此可求得；然后在△DAB中，由余弦定理可求得CD；最后根據時間=路程\速度，即可求得該救援船到達D點需要的時間. 準確找出題目中的方向角是解題的關鍵之處. 【解析】由題意知（海里）， ∠DBA=90°－60°=30°，∠DAB=90°－45°=45°， ∴∠ADB=180°－(45°+30°)=105°， 在△DAB中，由正弦定理得， ∴ （海里）. 又∠DBC=∠DBA+∠ABC=30°+(90°－60°)=60°，海里， 在△DBC中，由余弦定理得 ， ∴CD=30（海里），則需要的時間（小時）. 【總結升華】對圖形進行有效的分析，便于使用正弦、余弦定理. 舉一反三： 【變式】如圖,甲船以每小時海里的速度向正北方向航行,乙船按固定方向勻速直線航行,當甲船位于處時,乙船位于甲船的北偏西的方向處,此時兩船相距20海里.當甲船航行20分鐘到達處時,乙船航行到甲船的北偏西方向的處,此時兩船相距海里,問乙船每小時航行多少海里 【解析】如圖，連結， ∵，， ∴是等邊三角形，， 在中，由余弦定理得: ， ∴ 因此乙船的速度的大小為 答：乙船每小時航行海里. 【復習訓練】 一、選擇題 1.在中，角A、B、C的對邊分別為、、，若，則角B的值為（ ） A. B. C.或 D. 或 2．在△ABC中，若，則最大角的余弦是（ ） A． B． C． D． 3. 在中，，則三角形為（ ） A. 直角三角形 B. 銳角三角形 C. 等腰三角形 D. 等邊三角形 4. 某人要作一個三角形，要求它的三條高的長度分別是、、，則此人將（ ） A．不能作出滿足要求的三角形 B．作出一個銳角三角形 C．作出一個直角三角形 D．作出一個鈍角三角形 5. 為測量某塔AB的高度，在一幢與塔AB相距20 m的樓頂上測得塔頂A的仰角為30°，測得塔基B的俯角為45°，那么塔AB的高度是（ ） A． B． C． D．30 m 6. ΔABC中，，Ｂ為銳角，則ΔABC是（ ） A、等腰三角形 　 B、直角三角形 C、等腰或直角三角形　　 D、等腰直角三角形 7．△ABC的內角A、B、C的對邊分別為a，b，c，如果2b=a+c，∠B=30°，△ABC的面積為，那么b等于（ ） A． B． C． D． 二、填空題 8．若△ABC中，已知，當時，△ABC的面積為　　． 9. 在銳角△ABC中，角A、B、C的對邊分別為a、b、c。若，則的值是________ 10. 在△ABC中，內角A，B，C所對的邊分別是a，b，c，已知b－c＝a，2sinB＝3sinC，則cosA的值為　　． 11. 在△ABC中，D為邊BC上一點，，∠ADB=120°，AD=2。若△ADC的面積為，則∠BAC=________ 三、解答題 12. 在ABC中，已知，，，求b及A 13. 在△ABC中，角A、B、C所過的邊分別為a、b、c且。 （1）求的值； （2）若，求bc的最大值. 14．設△ABC的內角A，B，C所對的邊長分別為a，b，c，且，b=2。 （1）當時，求角A的度數； （2）求△ABC面積的最大值。 15．(2014 重慶高考)在△ABC中，內角A、B、C所對的邊分別是a、b、c，且a＋b＋c＝8． (Ⅰ)若a＝2，b＝，求cosC的值； (Ⅱ)若sinAcos2＋sinBcos2＝2sinC，且△ABC的面積SsinC，求a和b的值． 【答案與解析】 1.【答案】D 【解析】由得即 ,又B為△ABC的內角，所以B為或 2．【答案】C 【解析】 ，為最大角， 3.【答案】C 【解析】由余弦定理可將原等式化為 4.【答案】D 【解析】設三角形三邊長為a，b，c， 根據三角形面積相等得， ∴a=26S，c=10S，b=22S。 由大角對大邊得26S對應的角最大， ∴。 又A∈（0，π），∴∠A為鈍角，∴D正確. 5.【答案】A 【解析】如圖所示，由已知得四邊形CBMD為正方形，而CB=20 m， ∴BM=20 m 又在Rt△AMD中，DM=20 m，∠ADM=30°， ∴， ∴ 6.【答案】D 【解析】由，解出，得B=45，A=135-C， 又由，解出， 由正弦定理得 ∴，即 展開整理得，∴. 7.【答案】B 【解析】∵2b=a+c，平方得a2+c2=4b2－2ac， 又且∠B=30°， ∴， 得ac=6，∴a2+c2=4b2－12， 由余弦定理得 又b＞0，解得。 8.【答案】 【解析】由正弦定理得，解得，由a＜b得A＜B，所以，則 9.【答案】4 【解析】利用正、余弦定理將角化為邊來運算，∵，由余弦定理得 ，。 而 . 10.【答案】－ 【解析】在△ABC中， ∵b－c＝a ①，2sinB＝3sinC， ∴2b＝3c ②， ∴由①②可得a＝2c，b＝． 再由余弦定理可得 ， 故答案為：－． 11．【答案】60° 【解析】由A作垂線AH⊥BC于H。 ∵， ∴，又∵AH⊥BC，∠ADH=60°，∴DH=ADcos60°=1， ∴。 又，∴，∴。 又AH=ADsin60°=， ∴在Rt△ABH中AH=BH，∴∠BAH=45°。 又在RT△AHC中，∴∠HAC=15°。 又∠BAC=∠BAH+∠CAH=60°，∴所求角為60°. 12.【解析】 ⑴解：∵ =cos = = ∴ 求可以利用余弦定理，也可以利用正弦定理： ⑵解法一：∵cos ∴ 解法二：∵sin 又∵＞ ＜ ∴＜，即＜＜ ∴ 13.【解析】（1） （2）由余弦定理： ∴ ∴,又， 故,當且僅當時， 故bc的最大值是. 14．【解析】（1）因為，所以. 因為，b=2，由正弦定理可得. 因為a＜b，所以A是銳角，所以A=30°. （2）因為△ABC的面積， 所以當ac最大時，△ABC的面積最大. 因為，所以. 因為a2+c2≥2ac，所以， 所以ac≤10（當且僅當時等號成立）， 所以△ABC面積的最大值為3. 15．【解析】(Ⅰ)∵a＝2，b＝，且a＋b＋c＝8， ∴c＝8－(a＋b)＝， ∴由余弦定理得：； (Ⅱ)由sinAcos2＋sinBcos2＝2sinC可得： sinA ＋sinB ＝2sinC， 整理得：sinA＋sinAcosB＋sinB＋sinBcosA＝4sinC， ∵sinAcosB＋cosAsinB＝sin(A＋B)＝sinC， ∴sinA＋sinB＝3sinC， 利用正弦定理化簡得：a＋b＝3c， ∵a＋b＋c＝8， ∴a＋b＝6①， ∵S＝absinC＝sinC， ∴ab＝9②， 聯立①②解得：a＝b＝3．
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