資源簡介

11.3　復數的運算
1．復數加法的法則
設z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)，則z1＋z2＝(a＋bi)＋(c＋di)＝a＋c＋(b＋d)i，顯然，兩個復數的和仍然是復數．
2．復數加法的運算律
(1)交換律：z1＋z2＝z2＋z1；
(2)結合律：(z1＋z2)＋z3＝z1＋(z2＋z3)．
3．復數加法的幾何意義
如果復數z1，z2所對應的向量分別為與，則當與不共線時，以OZ1和OZ2為兩條鄰邊作平行四邊形OZ1Z Z2，則z1＋z2所對應的向量就是，如圖所示．
4．復數的減法
(1)復數的相反數：設z＝a＋bi(a，b∈R)，則－z＝－a－bi．
(2)設z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)，則z1－z2＝z1＋(－z2)＝(a＋bi)－(c＋di)＝a－c＋(b－d)i．顯然，兩個復數的差仍然是復數．
5．復數減法的幾何意義
如果復數z1，z2所對應的向量分別為與，設點Z滿足＝，則z1－z2所對應的向量就是_，如圖所示．
6．復數的乘法
一般地，設z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)，則z1z2＝(a＋bi)(c＋di)＝ac－bd＋(ad＋bc)i．這就是說，為了算出兩個復數的積，只需要按照多項式乘法的方式進行，并利用i2＝－1，再合并同類項即可．
顯然，兩個復數的積仍然是復數，其運算律滿足交換律、結合律，且對加法滿足分配律，即＝z2z1；(2)(z1z2)z3＝z1(z2z3)；＝z1z2＋z1z3．
7．復數的乘方
n個相同的復數z相乘時，稱為z的n次方(或n次冪)，記作zn．當m，n均為正整數時，zmzn＝zm＋n；(zm)n＝zmn；(z1z2)n＝．
1．已知z1＝8－3i，z2＝－4＋2i，則z1＋z2等于(　　)
A．4＋i 　 B．4－i
C．－4＋i 　 D．－4－i
B　[∵z1＝8－3i，z2＝－4＋2i，∴z1＋z2＝(8－4)＋(－3＋2)i＝4－i，故選B．]
2．已知z1＝－7＋2i，z2＝3－4i，則z1－z2等于(　　)
A．10＋6i 　 B．10－6i
C．－10＋6i 　 D．－10－6i
C　[∵z1＝－7＋2i，z2＝3－4i，∴z1－z2＝(－7－3)＋[(2－(－4)]i＝－10＋6i，故選C．]
3．已知z1＝－1＋i，z2＝2－3i，則z1z2等于(　　)
A．1＋5i 　 B．1－5i
C．－1＋5i 　 D．－1－5i
A　[∵z1＝－1＋i，z2＝2－3i，∴z1z2＝(－1＋i)(2－3i)＝(－1)×2－1×(－3)＋[2×1＋(－1)×(－3)]i＝1＋5i，故選A．]
4．已知z＝3－mi(m∈Z)，若z＝25，則m等于(　　)
A．4 　 B．±4
C．5 　 D．±5
B　[∵z＝3－mi(m∈Z)，∴＝32＋m2＝25，解得m＝±4，故選B．]
5．已知z＝－1＋i，則z4等于(　　)
A．4 　 B．－4
C．4i 　 D．－4i
B　[∵z＝－1＋i，∴z2＝(－1＋i)2＝－2i，∴z4＝(－2i)2＝－4，故選B．]
題型1：復數的加法
例1　已知復數z1＝5－6i，z2＝－x＋yi(x，y∈R)，若z1＋z2＝1＋i，則x，y的值分別為(　　)
A．x＝4，y＝5 　 B．x＝－4，y＝－5
C．x＝4，y＝7 　 D．x＝－4，y＝－7
C　[∵z1＝5－6i，z2＝－x＋yi，且z1＋z2＝1＋i，
∴(5－x)＋(－6＋y)i＝1＋i，∴5－x＝1，－6＋y＝1，解得x＝4，y＝7，故選C．]
點撥：牢記兩個復數加法的法則是進行復數加法計算的關鍵，可用自然語言記憶：實部加實部為實部，虛部加虛部為虛部．
已知復數z1＝5－4i，z2＝－5－3i，則復數z1＋z2等于(　　)
A．10－7i 　 B．10＋7i
C．－7i 　 D．7i
C　[∵復數z1＝5－4i，z2＝－5－3i，∴z1＋z2＝(5－4i)＋(－5－3i)＝(5－5)＋(－4－3)i＝－7i，故選C．]
題型2：復數的減法
例2　已知復數z1＝9＋7i，z2＝5＋6i，則復數z1－z2等于(　　)
A．4－i 　 B．4＋i
C．－4－i 　 D．－4＋i
B　[∵z1＝9＋7i，z2＝5＋6i，∴z1－z2＝(9＋7i)－(5＋6i)＝(9－5)＋(7－6)i＝4＋i，故選B．]
點撥：復數的減法是復數加法的逆運算，牢記兩個復數相減的法則是進行復數減法計算的關鍵，可用自然語言記憶：實部減實部為實部，虛部減虛部為虛部．
已知復數z1＝－2－3i，z2＝－8＋4i，則復數z1－z2等于(　　)
A．－6－7i 　 B．－6＋7i
C．6－7i 　 D．6＋7i
C　[∵z1＝－2－3i，z2＝－8＋4i，∴z1－z2＝(－2－3i)－(－8＋4i)＝(－2＋8)＋(－3－4)i＝6－7i，故選C．]
題型3：復數的乘法
例3　已知復數z1＝－1－3i，z2＝2－i，z3＝3＋i，求z1z2z3的值．
[解析]　∵z1z2＝(－1－3i)(2－i)＝(－1)×2＋(－1)×(－i)＋(－3i)×2＋(－3i)×(－i)
＝－2＋i－6i＋3i2＝－2＋i－6i－3＝－5－5i，
∴z1z2z3＝(－5－5i)(3＋i)＝(－5)×3＋(－5)×i＋(－5i)×3＋(－5i)×i
＝－15－5i－15i－5i2＝－15－5i－15i＋5＝－10－20i．
點撥：復數的乘法可以類比多項式的展開法則來進行，計算過程中要注意i2＝－1的應用，同時合并同類項．
已知復數z1＝1－i，z2＝－1－i，則復數z1z2等于(　　)
A．－2 　 B．2
C．－2i 　 D．2i
A　[∵復數z1＝1－i，z2＝－1－i，∴z1z2＝(1－i)×(－1－i)＝[1×(－1)－(－1)×(－1)]＋[－1×(－1)＋1×(－1)]i＝－2，故選A．]
題型4：復數的乘方
例4　已知復數z＝－1＋i，則復數z2＝________．
－2i　[∵復數z＝－1＋i，∴z2＝(－1＋i)2＝(－1)2＋2×(－1)×i＋i2＝1－2i－1＝－2i．]
點撥：復數的乘方運算看作是復數特殊的乘法，其運算法則可類比指數冪的運算法則進行．
已知復數z＝3＋4i，則復數z2＝________．
－7＋24i　[∵z＝3＋4i，∴z2＝(3＋4i)2＝9－16＋2×3×4i＝－7＋24i．]
一、選擇題
1．已知復數z＝4－i，則z＋等于(　　)
A．－8 　 B．8
C．2i 　 D．－2i
B　[∵復數z＝4－i，∴＝(4－i)＋(4＋i)＝8，故選B．]
2．已知復數z1＝－1－3i，z2＝4＋5i，則復數z1－z2等于(　　)
A．－5－8i 　 B．5＋8i
C．3＋2i 　 D．－4＋i
A　[∵復數z1＝－1－3i，z2＝4＋5i，∴z1－z2＝(－1－3i)－(4＋5i)＝(－1－4)＋(－3－5)i＝－5－8i，故選A．]
3．已知復數z1＝2－4i，z2＝a－bi(a，b∈R)，若z1＋z2＝0，則復數z2等于(　　)
A．－2－4i 　 B．4－2i
C．－2＋4i 　 D．4＋2i
C　[∵復數z1＝2－4i，z2＝a－bi，z1＋z2＝2＋a－(4＋b)i＝0，∴a＝－2，b＝－4，∴z2＝－2＋4i，故選C．]
4．已知復數z1＝2－4i，z2＝a－bi(a，b∈R)，若z1－＝0，則復數z2等于(　　)
A．－2－4i 　 B．4－2i
C．2＋4i 　 D．4＋2i
C　[∵z2＝a－bi，∴，∴2－4i＝a＋bi，∴a＝2，b＝－4，∴z2＝2＋4i，故選C．]
5．已知復數z＝3－4i，則復數z等于(　　)
A．5 　 B．25
C．－5 　 D．－25
B　[∵復數z＝3－4i，∴＝|z|2＝32＋(－4)2＝25，故選B．]
6．已知z是任意一個復數，則z－是實數的充要條件是(　　)
A．Re(z)＝0 　 B．Im(z)＝0
C．Re(z)＝1 　 D．Im(z)＝1
B　[∵z是任意一個復數，∴設z＝a＋bi(a，b∈R)，∴z－是實數的充要條件是b＝0，故選B．]
7．已知復數z1＝3－i，z2＝－3－i，則復數z1z2等于(　　)
A．－10 　 B．10
C．－6 　 D．6
A　[∵復數z1＝3－i，z2＝－3－i，∴z1z2＝(3－i)×(－3－i)＝(－i)2－32＝－1－9＝－10，故選A．]
8．已知復數z1＝1＋i，z2＝1－i，則復數4z1－3z2等于(　　)
A．1－7i 　 B．1＋7i
C．－1＋7i 　 D．－1－7i
B　[∵復數z1＝1＋i，z2＝1－i，∴4z1－3z2＝4(1＋i)－3(1－i)＝4＋4i－3＋3i＝1＋7i，故選B．]
二、填空題
9．已知復數z1＝2＋i，z2＝2－i，則z1＋z2＝________．
4　[∵復數z1＝2＋i，z2＝2－i，∴z1＋z2＝(2＋i)＋(2－i)＝4．]
10．已知復數z1＝－3－4i，z2＝3－2i，則z1－z2＝________．
－6－2i　[∵復數z1＝－3－4i，z2＝3－2i，則z1－z2＝(－3－4i)－(3－2i)＝(－3－3)＋(－4＋2)i＝－6－2i．]
11．已知復數z＝1－i，則復數z2＝________．
－2i　[∵復數z＝1－i，∴z2＝(1－i)2＝12－2i＋(－i)2＝－2i．]
12．已知復數z1＝－1－i，z2＝－1＋i，則z1z2＝________．
2　[∵復數z1＝－1－i，z2＝－1＋i，
∴z1z2＝(－1－i)×(－1＋i)＝(－1)2－i2＝1－(－1)＝2．]
13．計算(6－3i)＋(－3－2i)－(11－6i)＝________．
－8＋i　[(6－3i)＋(－3－2i)－(11－6i)＝(6－3－11)＋(－3－2＋6)i＝－8＋i．]
三、解答題
14．已知z＝2－3i，求z－z2的值．
[解析]　∵z＝2－3i，
∴z－z2＝(2－3i)－(2－3i)2＝(2－3i)－(4－9－12i)＝(2－3i)－(－5－12i)＝7＋9i．
15．計算(1＋i)4－(1－i)4的值．
[解析]　∵(1＋i)2＝2i，(1－i)2＝－2i，∴(1＋i)4＝(2i)2＝－4，(1－i)4＝(－2i)2＝－4，
∴(1＋i)4－(1－i)4＝－4－(－4)＝0．
1．已知z是任意一個復數，則z＋＝0的充要條件是(　　)
A．Re(z)＝－1 　 B．Im(z)＝－1
C．Re(z)＝0 　 D．Im(z)＝0
C　[∵z是任意一個復數，∴設z＝a＋bi(a，b∈R)，∴z＋＝0的充要條件是a＝0，故選C．]
2．已知復數z1＝1＋i，z2＝1－i，則復數5z1－3z2等于(　　)
A．2－8i 　 B．2＋8i
C．－2－8i 　 D．－2＋8i
B　[∵復數z1＝1＋i，z2＝1－i，∴5z1－3z2＝5(1＋i)－3(1－i)＝(5＋5i)－(3－3i)＝2＋8i，故選B．]
3．已知復數z＝－1－i，則z＋|z|2等于(　　)
A．2 　 B．4
C．6 　 D．8
B　[∵復數z＝－1－i，∴z＋|z|2＝2|z|2＝2×[(－1)2＋(－1)2]＝4，故選B．]
4．已知復數z＝－i，則z＋z2＝________．
－1　[∵復數z＝－i，∴z2＝＝＋2×i＝－i，∴z＋z2＝＝－1．]
5．已知復數z1＝x－2yi，z2＝－2y－3xi，若z1＋z2＝5＋i，則|x＋yi|＝________．
　[∵復數z1＝x－2yi，z2＝－2y－3xi，∴z1＋z2＝(x－2y)＋(－2y－3x)i，
∴(x－2y)＋(－2y－3x)i＝5＋i，則解得x＝1，y＝－2，∴|x＋yi|＝|1－2i|＝．]
6．已知復數z1＝1＋i，z2＝a－bi(a，b∈R)，根據下列條件求實數a，b的值．
(1)z1＋z2＝8＋i；(2)z1－z2＝2i；(3)z1z2＝1．
[解析]　(1)∵復數z1＝1＋i，z2＝a－bi(a，b∈R)，
∴z1＋z2＝(1＋i)＋(a－bi)＝(1＋a)＋(1－b)i，
∵z1＋z2＝8＋i，∴解得a＝7，b＝0．
(2)∵復數z1＝1＋i，z2＝a－bi(a，b∈R)，
∴z1－z2＝(1＋i)－(a－bi)＝(1－a)＋(1＋b)i，
∵z1－z2＝2i，∴解得a＝1，b＝1．
(3)∵復數z1＝1＋i，z2＝a－bi(a，b∈R)，
∴z1z2＝(1＋i)×(a－bi)＝[1×a－1×(－b)]＋[1×a＋1×(－b)]i＝(a＋b)＋(a－b)i，
∵z1z2＝1，∴(a＋b)＋(a－b)i＝1，∴
解得a＝，b＝．
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第十一章　復數
11.3　復數的運算
必備知識梳理
1．復數加法的法則
設z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)，則z1＋z2＝(a＋bi)＋(c＋di)＝______＋(______)i，顯然，兩個復數的和仍然是復數．
2．復數加法的運算律
(1)交換律：z1＋z2＝________；
(2)結合律：(z1＋z2)＋z3＝z1＋(________)．
a＋c
b＋d
z2＋z1
z2＋z3
3．復數加法的幾何意義
如果復數z1，z2所對應的向量分別為與，則當與不共線時，以OZ1和OZ2為兩條鄰邊作平行四邊形OZ1Z Z2，則z1＋z2所對應的向量就是____，如圖所示．
4．復數的減法
(1)復數的相反數：設z＝a＋bi(a，b∈R)，則－z＝__________．
(2)設z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)，則z1－z2＝z1＋(－z2)＝(a＋bi)－(c＋di)＝______＋(______)i．顯然，兩個復數的差仍然是復數．
－a－bi
a－c
b－d
5．復數減法的幾何意義
如果復數z1，z2所對應的向量分別為與，設點Z滿足＝，則z1－z2所對應的向量就是______，如圖所示．
6．復數的乘法
一般地，設z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)，則z1z2＝(a＋bi)(c＋di)＝__________＋(__________)i．這就是說，為了算出兩個復數的積，只需要按照多項式乘法的方式進行，并利用i2＝－1，再合并同類項即可．
顯然，兩個復數的積仍然是復數，其運算律滿足交換律、結合律，且對加法滿足分配律，即＝z2z1；(2)(z1z2)z3＝z1(z2z3)；＝z1z2＋z1z3．
ac－bd
ad＋bc
7．復數的乘方
n個相同的復數z相乘時，稱為z的n次方(或n次冪)，記作zn．當m，n均為正整數時，zmzn＝________；(zm)n＝______；(z1z2)n＝____．
zm＋n
zmn
1．已知z1＝8－3i，z2＝－4＋2i，則z1＋z2等于(　　)
A．4＋i 　 B．4－i
C．－4＋i 　 D．－4－i
√
B　[∵z1＝8－3i，z2＝－4＋2i，∴z1＋z2＝(8－4)＋(－3＋2)i＝4－i，故選B．]
2．已知z1＝－7＋2i，z2＝3－4i，則z1－z2等于(　　)
A．10＋6i 　 B．10－6i
C．－10＋6i 　 D．－10－6i
√
C　[∵z1＝－7＋2i，z2＝3－4i，∴z1－z2＝(－7－3)＋[(2－(－4)]i＝－10＋6i，故選C．]
3．已知z1＝－1＋i，z2＝2－3i，則z1z2等于(　　)
A．1＋5i 　 B．1－5i
C．－1＋5i 　 D．－1－5i
√
A　[∵z1＝－1＋i，z2＝2－3i，∴z1z2＝(－1＋i)(2－3i)＝(－1)×2－1×(－3)＋[2×1＋(－1)×(－3)]i＝1＋5i，故選A．]
4．已知z＝3－mi(m∈Z)，若z＝25，則m等于(　　)
A．4 　 B．±4
C．5 　 D．±5
√
B　[∵z＝3－mi(m∈Z)，∴＝32＋m2＝25，解得m＝±4，故選B．]
5．已知z＝－1＋i，則z4等于(　　)
A．4 　 B．－4
C．4i 　 D．－4i
√
B　[∵z＝－1＋i，∴z2＝(－1＋i)2＝－2i，∴z4＝(－2i)2＝－4，故選B．]
題型分類透析
題型1：復數的加法
例1　已知復數z1＝5－6i，z2＝－x＋yi(x，y∈R)，若z1＋z2＝1＋i，則x，y的值分別為(　　)
A．x＝4，y＝5 　 B．x＝－4，y＝－5
C．x＝4，y＝7 　 D．x＝－4，y＝－7
√
C　[∵z1＝5－6i，z2＝－x＋yi，且z1＋z2＝1＋i，
∴(5－x)＋(－6＋y)i＝1＋i，∴5－x＝1，－6＋y＝1，解得x＝4，y＝7，故選C．]
點撥：牢記兩個復數加法的法則是進行復數加法計算的關鍵，可用自然語言記憶：實部加實部為實部，虛部加虛部為虛部．
跟蹤訓練1
已知復數z1＝5－4i，z2＝－5－3i，則復數z1＋z2等于(　　)
A．10－7i 　 B．10＋7i
C．－7i 　 D．7i
C　[∵復數z1＝5－4i，z2＝－5－3i，∴z1＋z2＝(5－4i)＋(－5－3i)＝(5－5)＋(－4－3)i＝－7i，故選C．]
√
題型2：復數的減法
例2　已知復數z1＝9＋7i，z2＝5＋6i，則復數z1－z2等于(　　)
A．4－i 　 B．4＋i
C．－4－i 　 D．－4＋i
B　[∵z1＝9＋7i，z2＝5＋6i，∴z1－z2＝(9＋7i)－(5＋6i)＝(9－5)＋(7－6)i＝4＋i，故選B．]
√
點撥：復數的減法是復數加法的逆運算，牢記兩個復數相減的法則是進行復數減法計算的關鍵，可用自然語言記憶：實部減實部為實部，虛部減虛部為虛部．
跟蹤訓練2
已知復數z1＝－2－3i，z2＝－8＋4i，則復數z1－z2等于(　　)
A．－6－7i 　 B．－6＋7i
C．6－7i 　 D．6＋7i
C　[∵z1＝－2－3i，z2＝－8＋4i，∴z1－z2＝(－2－3i)－(－8＋4i)＝(－2＋8)＋(－3－4)i＝6－7i，故選C．]
√
題型3：復數的乘法
例3　已知復數z1＝－1－3i，z2＝2－i，z3＝3＋i，求z1z2z3的值．
[解析]　∵z1z2＝(－1－3i)(2－i)＝(－1)×2＋(－1)×(－i)＋(－3i)×2＋(－3i)×(－i)
＝－2＋i－6i＋3i2＝－2＋i－6i－3＝－5－5i，
∴z1z2z3＝(－5－5i)(3＋i)＝(－5)×3＋(－5)×i＋(－5i)×3＋(－5i)×i
＝－15－5i－15i－5i2＝－15－5i－15i＋5＝－10－20i．
點撥：復數的乘法可以類比多項式的展開法則來進行，計算過程中要注意i2＝－1的應用，同時合并同類項．
跟蹤訓練3
已知復數z1＝1－i，z2＝－1－i，則復數z1z2等于(　　)
A．－2 　 B．2
C．－2i 　 D．2i
A　[∵復數z1＝1－i，z2＝－1－i，∴z1z2＝(1－i)×(－1－i)＝[1×(－1)－(－1)×(－1)]＋[－1×(－1)＋1×(－1)]i＝－2，故選A．]
√
題型4：復數的乘方
例4　已知復數z＝－1＋i，則復數z2＝________．
－2i　[∵復數z＝－1＋i，∴z2＝(－1＋i)2＝(－1)2＋2×(－1)×i＋i2＝1－2i－1＝－2i．]
點撥：復數的乘方運算看作是復數特殊的乘法，其運算法則可類比指數冪的運算法則進行．
－2i
跟蹤訓練4
已知復數z＝3＋4i，則復數z2＝________．
－7＋24i
－7＋24i　[∵z＝3＋4i，∴z2＝(3＋4i)2＝9－16＋2×3×4i＝－7＋24i．]
當堂達標訓練
一、選擇題
1．已知復數z＝4－i，則z＋等于(　　)
A．－8 　 B．8
C．2i 　 D．－2i
√
B　[∵復數z＝4－i，∴＝(4－i)＋(4＋i)＝8，故選B．]
2．已知復數z1＝－1－3i，z2＝4＋5i，則復數z1－z2等于(　　)
A．－5－8i 　 B．5＋8i
C．3＋2i 　 D．－4＋i
√
A　[∵復數z1＝－1－3i，z2＝4＋5i，∴z1－z2＝(－1－3i)－(4＋5i)＝(－1－4)＋(－3－5)i＝－5－8i，故選A．]
3．已知復數z1＝2－4i，z2＝a－bi(a，b∈R)，若z1＋z2＝0，則復數z2等于(　　)
A．－2－4i 　 B．4－2i
C．－2＋4i 　 D．4＋2i
√
C　[∵復數z1＝2－4i，z2＝a－bi，z1＋z2＝2＋a－(4＋b)i＝0，∴a＝－2，b＝－4，∴z2＝－2＋4i，故選C．]
4．已知復數z1＝2－4i，z2＝a－bi(a，b∈R)，若z1－＝0，則復數z2等于(　　)
A．－2－4i 　 B．4－2i
C．2＋4i 　 D．4＋2i
√
C　[∵z2＝a－bi，∴，∴2－4i＝a＋bi，∴a＝2，b＝－4，∴z2＝2＋4i，故選C．]
5．已知復數z＝3－4i，則復數z等于(　　)
A．5 　 B．25
C．－5 　 D．－25
√
B　[∵復數z＝3－4i，∴＝|z|2＝32＋(－4)2＝25，故選B．]
6．已知z是任意一個復數，則z－是實數的充要條件是(　　)
A．Re(z)＝0 　 B．Im(z)＝0
C．Re(z)＝1 　 D．Im(z)＝1
√
B　[∵z是任意一個復數，∴設z＝a＋bi(a，b∈R)，∴z－是實數的充要條件是b＝0，故選B．]
7．已知復數z1＝3－i，z2＝－3－i，則復數z1z2等于(　　)
A．－10 　 B．10
C．－6 　 D．6
√
A　[∵復數z1＝3－i，z2＝－3－i，∴z1z2＝(3－i)×(－3－i)＝(－i)2－32＝－1－9＝－10，故選A．]
8．已知復數z1＝1＋i，z2＝1－i，則復數4z1－3z2等于(　　)
A．1－7i 　 B．1＋7i
C．－1＋7i 　 D．－1－7i
√
B　[∵復數z1＝1＋i，z2＝1－i，∴4z1－3z2＝4(1＋i)－3(1－i)＝4＋4i－3＋3i＝1＋7i，故選B．]
二、填空題
9．已知復數z1＝2＋i，z2＝2－i，則z1＋z2＝________．
4　[∵復數z1＝2＋i，z2＝2－i，∴z1＋z2＝(2＋i)＋(2－i)＝4．]
4
10．已知復數z1＝－3－4i，z2＝3－2i，則z1－z2＝________．
－6－2i　[∵復數z1＝－3－4i，z2＝3－2i，則z1－z2＝(－3－4i)－(3－2i)＝(－3－3)＋(－4＋2)i＝－6－2i．]
－6－2i
11．已知復數z＝1－i，則復數z2＝________．
－2i　[∵復數z＝1－i，∴z2＝(1－i)2＝12－2i＋(－i)2＝－2i．]
－2i
12．已知復數z1＝－1－i，z2＝－1＋i，則z1z2＝________．
2　[∵復數z1＝－1－i，z2＝－1＋i，
∴z1z2＝(－1－i)×(－1＋i)＝(－1)2－i2＝1－(－1)＝2．]
2
13．計算(6－3i)＋(－3－2i)－(11－6i)＝________．
－8＋i　[(6－3i)＋(－3－2i)－(11－6i)＝(6－3－11)＋(－3－2＋6)i＝－8＋i．]
－8＋ i
三、解答題
14．已知z＝2－3i，求z－z2的值．
[解析]　∵z＝2－3i，
∴z－z2＝(2－3i)－(2－3i)2＝(2－3i)－(4－9－12i)＝(2－3i)－(－5－12i)＝7＋9i．
15．計算(1＋i)4－(1－i)4的值．
[解析]　∵(1＋i)2＝2i，(1－i)2＝－2i，∴(1＋i)4＝(2i)2＝－4，(1－i)4＝(－2i)2＝－4，
∴(1＋i)4－(1－i)4＝－4－(－4)＝0．
THANKS1．已知z是任意一個復數，則z＋＝0的充要條件是(　　)
A．Re(z)＝－1 　 B．Im(z)＝－1
C．Re(z)＝0 　 D．Im(z)＝0
2．已知復數z1＝1＋i，z2＝1－i，則復數5z1－3z2等于(　　)
A．2－8i 　 B．2＋8i
C．－2－8i 　 D．－2＋8i
3．已知復數z＝－1－i，則z＋|z|2等于(　　)
A．2 　 B．4
C．6 　 D．8
4．已知復數z＝－i，則z＋z2＝________．
5．已知復數z1＝x－2yi，z2＝－2y－3xi，若z1＋z2＝5＋i，則|x＋yi|＝________．
6．已知復數z1＝1＋i，z2＝a－bi(a，b∈R)，根據下列條件求實數a，b的值．
(1)z1＋z2＝8＋i；(2)z1－z2＝2i；(3)z1z2＝1．
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「課后能力提升11.3　復數的運算
1．復數加法的法則
設z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)，則z1＋z2＝(a＋bi)＋(c＋di)＝______＋(______)i，顯然，兩個復數的和仍然是復數．
2．復數加法的運算律
(1)交換律：z1＋z2＝__________；
(2)結合律：(z1＋z2)＋z3＝z1＋(__________)．
3．復數加法的幾何意義
如果復數z1，z2所對應的向量分別為與，則當與不共線時，以OZ1和OZ2為兩條鄰邊作平行四邊形OZ1Z Z2，則z1＋z2所對應的向量就是__，如圖所示．
4．復數的減法
(1)復數的相反數：設z＝a＋bi(a，b∈R)，則－z＝__________．
(2)設z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)，則z1－z2＝z1＋(－z2)＝(a＋bi)－(c＋di)＝______＋(______)i．顯然，兩個復數的差仍然是復數．
5．復數減法的幾何意義
如果復數z1，z2所對應的向量分別為與，設點Z滿足＝，則z1－z2所對應的向量就是___，如圖所示．
6．復數的乘法
一般地，設z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)，則z1z2＝(a＋bi)(c＋di)＝__________＋(__________)i．這就是說，為了算出兩個復數的積，只需要按照多項式乘法的方式進行，并利用i2＝－1，再合并同類項即可．
顯然，兩個復數的積仍然是復數，其運算律滿足交換律、結合律，且對加法滿足分配律，即＝z2z1；(2)(z1z2)z3＝z1(z2z3)；＝z1z2＋z1z3．
7．復數的乘方
n個相同的復數z相乘時，稱為z的n次方(或n次冪)，記作zn．當m，n均為正整數時，zmzn＝________；(zm)n＝______；(z1z2)n＝____．
1．已知z1＝8－3i，z2＝－4＋2i，則z1＋z2等于(　　)
A．4＋i 　 B．4－i
C．－4＋i 　 D．－4－i
2．已知z1＝－7＋2i，z2＝3－4i，則z1－z2等于(　　)
A．10＋6i 　 B．10－6i
C．－10＋6i 　 D．－10－6i
3．已知z1＝－1＋i，z2＝2－3i，則z1z2等于(　　)
A．1＋5i 　 B．1－5i
C．－1＋5i 　 D．－1－5i
4．已知z＝3－mi(m∈Z)，若z＝25，則m等于(　　)
A．4 　 B．±4
C．5 　 D．±5
5．已知z＝－1＋i，則z4等于(　　)
A．4 　 B．－4
C．4i 　 D．－4i
題型1：復數的加法
例1　已知復數z1＝5－6i，z2＝－x＋yi(x，y∈R)，若z1＋z2＝1＋i，則x，y的值分別為(　　)
A．x＝4，y＝5 　 B．x＝－4，y＝－5
C．x＝4，y＝7 　 D．x＝－4，y＝－7
C　[∵z1＝5－6i，z2＝－x＋yi，且z1＋z2＝1＋i，
∴(5－x)＋(－6＋y)i＝1＋i，∴5－x＝1，－6＋y＝1，解得x＝4，y＝7，故選C．]
點撥：牢記兩個復數加法的法則是進行復數加法計算的關鍵，可用自然語言記憶：實部加實部為實部，虛部加虛部為虛部．
已知復數z1＝5－4i，z2＝－5－3i，則復數z1＋z2等于(　　)
A．10－7i 　 B．10＋7i
C．－7i 　 D．7i
題型2：復數的減法
例2　已知復數z1＝9＋7i，z2＝5＋6i，則復數z1－z2等于(　　)
A．4－i 　 B．4＋i
C．－4－i 　 D．－4＋i
B　[∵z1＝9＋7i，z2＝5＋6i，∴z1－z2＝(9＋7i)－(5＋6i)＝(9－5)＋(7－6)i＝4＋i，故選B．]
點撥：復數的減法是復數加法的逆運算，牢記兩個復數相減的法則是進行復數減法計算的關鍵，可用自然語言記憶：實部減實部為實部，虛部減虛部為虛部．
已知復數z1＝－2－3i，z2＝－8＋4i，則復數z1－z2等于(　　)
A．－6－7i 　 B．－6＋7i
C．6－7i 　 D．6＋7i
題型3：復數的乘法
例3　已知復數z1＝－1－3i，z2＝2－i，z3＝3＋i，求z1z2z3的值．
[解析]　∵z1z2＝(－1－3i)(2－i)＝(－1)×2＋(－1)×(－i)＋(－3i)×2＋(－3i)×(－i)
＝－2＋i－6i＋3i2＝－2＋i－6i－3＝－5－5i，
∴z1z2z3＝(－5－5i)(3＋i)＝(－5)×3＋(－5)×i＋(－5i)×3＋(－5i)×i
＝－15－5i－15i－5i2＝－15－5i－15i＋5＝－10－20i．
點撥：復數的乘法可以類比多項式的展開法則來進行，計算過程中要注意i2＝－1的應用，同時合并同類項．
已知復數z1＝1－i，z2＝－1－i，則復數z1z2等于(　　)
A．－2 　 B．2
C．－2i 　 D．2i
題型4：復數的乘方
例4　已知復數z＝－1＋i，則復數z2＝________．
－2i　[∵復數z＝－1＋i，∴z2＝(－1＋i)2＝(－1)2＋2×(－1)×i＋i2＝1－2i－1＝－2i．]
點撥：復數的乘方運算看作是復數特殊的乘法，其運算法則可類比指數冪的運算法則進行．
已知復數z＝3＋4i，則復數z2＝________．
一、選擇題
1．已知復數z＝4－i，則z＋等于(　　)
A．－8 　 B．8
C．2i 　 D．－2i
2．已知復數z1＝－1－3i，z2＝4＋5i，則復數z1－z2等于(　　)
A．－5－8i 　 B．5＋8i
C．3＋2i 　 D．－4＋i
3．已知復數z1＝2－4i，z2＝a－bi(a，b∈R)，若z1＋z2＝0，則復數z2等于(　　)
A．－2－4i 　 B．4－2i
C．－2＋4i 　 D．4＋2i
4．已知復數z1＝2－4i，z2＝a－bi(a，b∈R)，若z1－＝0，則復數z2等于(　　)
A．－2－4i 　 B．4－2i
C．2＋4i 　 D．4＋2i
5．已知復數z＝3－4i，則復數z等于(　　)
A．5 　 B．25
C．－5 　 D．－25
6．已知z是任意一個復數，則z－是實數的充要條件是(　　)
A．Re(z)＝0 　 B．Im(z)＝0
C．Re(z)＝1 　 D．Im(z)＝1
7．已知復數z1＝3－i，z2＝－3－i，則復數z1z2等于(　　)
A．－10 　 B．10
C．－6 　 D．6
8．已知復數z1＝1＋i，z2＝1－i，則復數4z1－3z2等于(　　)
A．1－7i 　 B．1＋7i
C．－1＋7i 　 D．－1－7i
二、填空題
9．已知復數z1＝2＋i，z2＝2－i，則z1＋z2＝________．
10．已知復數z1＝－3－4i，z2＝3－2i，則z1－z2＝________．
11．已知復數z＝1－i，則復數z2＝________．
12．已知復數z1＝－1－i，z2＝－1＋i，則z1z2＝________．
13．計算(6－3i)＋(－3－2i)－(11－6i)＝________．
三、解答題
14．已知z＝2－3i，求z－z2的值．
15．計算(1＋i)4－(1－i)4的值．
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