資源簡介

11.2　復數的幾何意義
1．復數與平面內點的對應關系：在平面上建立一個直角坐標系，我們將一個復數z＝x＋yi的實部x與虛部y分別看成直角坐標系中點的橫坐標和縱坐標，這樣我們就建立了復數和直角坐標平面內的點之間的一一對應關系，于是我們就可以借助點Z(a，b)來表示復數____________，如圖所示．這個對應關系給了復數一個直觀的幾何解釋，它溝通了“復數”與平面上“點”之間的聯系．
2．復數與向量的對應關系：由于點Z(a，b)與以O為始點，Z為終點的向量是一一對應的，所以復數z＝a＋bi可以用向量__來表示，這樣我們又建立了復數與向量之間的一一對應．
3．建立了直角坐標系來表示____的平面稱為復平面．在復平面內，x軸通常稱為____，y軸稱為____．任一個實數a與x軸上的點__________一一對應，任一個純虛數bi(b≠0)與y軸上的點(0，b)一一對應．
4．設z＝a＋bi，則它對應的向量的長度稱為復數a＋bi的模，記作|a＋bi|，則|a＋bi|＝__．特別地，當b＝0時，|a＋bi|＝|a|，這表明復數的模是實數絕對值概念的推廣．
5．如果兩個復數的實部相等，虛部互為____數，則稱這兩個復數互為共軛復數，復數z的共軛復數用 表示．當z＝a＋bi時，＝________．表示兩個互為共軛復數的點關于____對稱，并且它們的模____．
1．下列說法正確的是(　　)
A．在復平面內，虛軸上的點表示的都是純虛數
B．任意的兩個復數都不能比較大小
C．任意的兩個共軛復數對應的向量都關于y軸對稱
D．任意的兩個共軛復數對應的向量都關于x軸對稱
2．已知z1＝1＋i，z2＝－1＋i，則下列結論正確的是(　　)
A．因為z1－z2＝2，所以z1＞z2
B．因為z2－z1＝－2，所以z1＜z2
C．z1和z2互為共軛虛數
D．|z1|＝|z2|
3．已知z1，z2∈C，則“z1＋z2∈R”是“z1和z2互為共軛復數”的(　　)
A．充分不必要條件
B．必要不充分條件
C．充要條件
D．既不充分也不必要條件
4．已知復數z＝3＋4i，則＝(　　)
A．－3＋4i 　 B．－3－4i
C．3－4i 　 D．3＋4i
5．已知z∈C，則|z|≥2在復平面內表示的圖形是(　　)
A．以原點為圓心，半徑為2的圓
B．以原點為圓心，半徑為2的圓及圓內區域
C．以原點為圓心，半徑為2的圓及圓外區域
D．以原點為圓心，半徑為2的圓外區域
題型1：復平面的概念理解
例1　已知復數z＝a＋bi(a，b∈R)對應的點在第一象限，則結論正確的是(　　)
A．a＞0，b＞0 　 B．a＞0，b＜0
C．a＜0，b＞0 　 D．a＜0，b＜0
A　[在復平面內，復數z＝a＋bi(a，b∈R)與點Z(a，b)是一一對應的，所以復數z＝a＋bi(a，b∈R)對應的點在第一象限，等價于a＞0，b＞0，故選A．]
點撥：復平面就是用來直觀表示復數對應點的平面直角坐標系，在復平面內，坐標軸以外的點都表示一個虛數．
已知復數z＝a＋bi(a，b∈R)對應的點在第二象限，則結論正確的是(　　)
A．a＞0，b＞0 　 B．a＞0，b＜0
C．a＜0，b＞0 　 D．a＜0，b＜0
例2　已知復數z＝a＋bi(a，b∈R)對應的點在虛軸上，則結論正確的是(　　)
A．a∈R，b＞0 　 B．a∈R，b＜0
C．a＝0，b≠0 　 D．a＝0，b∈R
D　[∵復數z＝a＋bi(a，b∈R)對應的點在虛軸上，∴a＝0，b∈R，故選D．]
點撥：在復平面內，實軸上的點對應實數，而虛軸上的點除原點以外都表示純虛數。
已知復數z＝a＋bi(a，b∈R)對應的點在實軸的正半軸上，則結論正確的是(　　)
A．a＞0，b＝0 　 B．a＝0，b＞0
C．a＜0，b＝0 　 D．a＝0，b＜0
題型2：復數模的計算
例3　已知復數z＝3－4i，則|z|等于(　　)
A．3 　 B．4
C．5 　 D．6
C　[|z|＝＝5，故選C．]
點撥：關于復數的模，一種題型是正向應用公式，即根據一個復數的實部和虛部求該復數的模，另一種題型是逆向應用公式，即已知一個復數的模應用模的計算公式求復數的實部或虛部．
已知復數z＝m－4i(m∈R)，若|z|＝5，則m等于(　　)
A．3 　 B．5
C．±3 　 D．±5
題型3：共軛復數的概念理解
例4　已知復數z＝3＋(5－m)i的共軛復數是＝3＋2i，則實數m的值是(　　)
A．3 　 B．±3
C．7 　 D．±7
C　[∵復數z＝3＋(5－m)i的共軛復數是＝3＋2i，∴5－m＝－2，解得m＝7，故選C．]
點撥：共軛復數是指實部相等而虛部互為相反數的兩個復數，它們反映出的幾何意義是相應的點或向量關于x軸對稱，且模相等．特別地，一個實數的共軛復數是自身．
已知復數z＝3＋(5－m)i的共軛復數是＝3，則實數m的值是(　　)
A．4 　 B．5
C．6 　 D．7
一、選擇題
1．已知復數z＝a＋bi(a，b∈R)對應的點在第三象限，則結論正確的是(　　)
A．a＞0，b＞0 　 B．a＞0，b＜0
C．a＜0，b＞0 　 D．a＜0，b＜0
2．已知復數z＝a＋bi(a，b∈R)對應的點在第四象限，則共軛復數對應的點在(　　)
A．第一象限 　 B．第二象限
C．第三象限 　 D．第四象限
3．已知復數z＝a＋bi(a，b∈R)對應的點在虛軸的正半軸上，則結論正確的是(　　)
A．a＝0，b＝0 　 B．a＝0，b≠0
C．a＝0，b＞0 　 D．a＝0，b＜0
4．已知復數z＝3－4mi(m∈R)，若|z|＝5，則 m 等于(　　)
A．4 　 B．±4
C．1 　 D．±1
5．已知復數z＝3＋(5－m)i的共軛復數是＝3－2i，則實數m的值是(　　)
A．3 　 B．±3
C．7 　 D．±7
6．已知復數z＝6－8i，則等于(　　)
A．6－8i 　 B．6＋8i
C．－8＋6i 　 D．－8－6i
7．已知復數z＝a＋bi(a，b∈R)，則“b＝0”是“z＝”的(　　)
A．充分不必要條件
B．必要不充分條件
C．充要條件
D．既不充分也不必要條件
8．已知x，y∈R，若復數z＝(2x－6)＋(3y－9)i對應的點在第二象限，則(　　)
A．x＞3，y＜3 　 B．x＞3，y＞3
C．x＜3，y＞3 　 D．x＜3，y＜3
二、填空題
9．在復平面內，已知點Z(－3，6)對應復數z＝a＋bi(a，b∈R)，則復數z＝________．
10．已知復數z＝－3＋3i，則|z|＝________．
11．已知復數z＝－1＋(a－3)i對應的點在復平面的實軸上，則實數a＝________．
12．已知復數z＝－a＋(a＋2)i對應的點在直線y＝2x上，則實數a＝________．
13．已知復數z＝cos θ＋isin θ(θ∈R)，則|z|＝________．
三、解答題
14．求下列復數的模：
(1)z＝－5＋12i；(2)z＝6＋8i；
(3)z＝－1－i．
15．已知復數z＝＋mi(m∈R)，根據下列條件求實數m的值．
(1)|z|＝2；(2)＝；(3)||＝3．
1 / 11．已知復數z＝－8＋mi(m∈R)的模為10，則m等于(　　)
A．8 　 B．6
C．±8 　 D．±6
2．已知復數z＝a＋bi(a，b∈R)，則|z|＝1的充要條件是(　　)
A．ab＝1 　 B．a＋b＝1
C．a－b＝1 　 D．a2＋b2＝1
3．已知z∈C，則2≤|z|≤3在復平面內表示圖形的面積等于(　　)
A．2π 　 B．3π
C．4π 　 D．5π
4．已知復數z＝a＋bi(a，b∈R)，若|a|≤1，|b|≤2，則|z|在復平面內表示圖形的面積等于________．
5．已知x∈R，則方程2x2－5x＋2＋(x2－x－2)i＝0的根是________．
6．已知復數z＝a2－a－6＋i(a∈R)在復平面內對應的點為Z．
(1)若點Z落在復平面的虛軸上，求實數a的值；
(2)若點Z落在復平面的實軸上，求實數a的值．
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第十一章　復數
11.2　復數的幾何意義
必備知識梳理
1．復數與平面內點的對應關系：在平面上建立一個直角坐標系，我們將一個復數z＝x＋yi的實部x與虛部y分別看成直角坐標系中點的橫坐標和縱坐標，這樣我們就建立了復數和直角坐標平面內的點之間的一一對應關系，于是我們就可以借助點Z(a，b)來表示復數____________，如圖所示．這個對應關系給了
復數一個直觀的幾何解釋，它溝通了“復數”
與平面上“點”之間的聯系．
z＝a＋bi
2．復數與向量的對應關系：由于點Z(a，b)與以O為始點，Z為終點的向量是一一對應的，所以復數z＝a＋bi可以用向量____來表示，這樣我們又建立了復數與向量之間的一一對應．
3．建立了直角坐標系來表示____的平面稱為復平面．在復平面內，x軸通常稱為____，y軸稱為____．任一個實數a與x軸上的點__________一一對應，任一個純虛數bi(b≠0)與y軸上的點(0，b)一一對應．
復數
實軸
虛軸
(a，0)
4．設z＝a＋bi，則它對應的向量的長度稱為復數a＋bi的模，記作|a＋bi|，則|a＋bi|＝________．特別地，當b＝0時，|a＋bi|＝|a|，這表明復數的模是實數絕對值概念的推廣．
5．如果兩個復數的實部相等，虛部互為____數，則稱這兩個復數互為共軛復數，復數z的共軛復數用 表示．當z＝a＋bi時，＝______．表示兩個互為共軛復數的點關于____對稱，并且它們的模____．
相反
a－bi
實軸
相等
1．下列說法正確的是(　　)
A．在復平面內，虛軸上的點表示的都是純虛數
B．任意的兩個復數都不能比較大小
C．任意的兩個共軛復數對應的向量都關于y軸對稱
D．任意的兩個共軛復數對應的向量都關于x軸對稱
√
D　[在選項A中，原點在虛軸上，表示實數0；在選項B中，如果兩個復數都是實數，那么這兩個實數可以比較大小；在選項C，D中，根據共軛復數的定義，任意的兩個共軛復數對應的向量都關于x軸對稱，故選D．]
2．已知z1＝1＋i，z2＝－1＋i，則下列結論正確的是(　　)
A．因為z1－z2＝2，所以z1＞z2
B．因為z2－z1＝－2，所以z1＜z2
C．z1和z2互為共軛虛數
D．|z1|＝|z2|
√
D　[∵|z1|＝＝，|z2|＝＝，∴|z1|＝|z2|，故選D．]
3．已知z1，z2∈C，則“z1＋z2∈R”是“z1和z2互為共軛復數”的
(　　)
A．充分不必要條件
B．必要不充分條件
C．充要條件
D．既不充分也不必要條件
√
B　[∵“z1和z2互為共軛復數” “z1＋z2∈R”，故選B．]
4．已知復數z＝3＋4i，則＝(　　)
A．－3＋4i 　 B．－3－4i
C．3－4i 　 D．3＋4i
√
5．已知z∈C，則|z|≥2在復平面內表示的圖形是(　　)
A．以原點為圓心，半徑為2的圓
B．以原點為圓心，半徑為2的圓及圓內區域
C．以原點為圓心，半徑為2的圓及圓外區域
D．以原點為圓心，半徑為2的圓外區域
√
題型分類透析
題型1：復平面的概念理解
例1　已知復數z＝a＋bi(a，b∈R)對應的點在第一象限，則結論正確的是(　　)
A．a＞0，b＞0 　 B．a＞0，b＜0
C．a＜0，b＞0 　 D．a＜0，b＜0
√
A　[在復平面內，復數z＝a＋bi(a，b∈R)與點Z(a，b)是一一對應的，所以復數z＝a＋bi(a，b∈R)對應的點在第一象限，等價于a＞0，b＞0，故選A．]
點撥：復平面就是用來直觀表示復數對應點的平面直角坐標系，在復平面內，坐標軸以外的點都表示一個虛數．
跟蹤訓練1
已知復數z＝a＋bi(a，b∈R)對應的點在第二象限，則結論正確的是
(　　)
A．a＞0，b＞0 　 B．a＞0，b＜0
C．a＜0，b＞0 　 D．a＜0，b＜0
C　[∵復數z＝a＋bi(a，b∈R)對應的點在第二象限，∴a＜0，b＞0，故選C．]
√
例2　已知復數z＝a＋bi(a，b∈R)對應的點在虛軸上，則結論正確的是(　　)
A．a∈R，b＞0 　 B．a∈R，b＜0
C．a＝0，b≠0 　 D．a＝0，b∈R
D　[∵復數z＝a＋bi(a，b∈R)對應的點在虛軸上，∴a＝0，b∈R，故選D．]
點撥：在復平面內，實軸上的點對應實數，而虛軸上的點除原點以外都表示純虛數。
√
跟蹤訓練2
已知復數z＝a＋bi(a，b∈R)對應的點在實軸的正半軸上，則結論正確的是(　　)
A．a＞0，b＝0 　 B．a＝0，b＞0
C．a＜0，b＝0 　 D．a＝0，b＜0
A　[∵復數z＝a＋bi(a，b∈R)對應的點在實軸的正半軸上，∴a＞0，b＝0，故選A．]
√
題型2：復數模的計算
例3　已知復數z＝3－4i，則|z|等于(　　)
A．3 　 B．4
C．5 　 D．6
C　[|z|＝＝5，故選C．]
√
點撥：關于復數的模，一種題型是正向應用公式，即根據一個復數的實部和虛部求該復數的模，另一種題型是逆向應用公式，即已知一個復數的模應用模的計算公式求復數的實部或虛部．
跟蹤訓練3
已知復數z＝m－4i(m∈R)，若|z|＝5，則m等于(　　)
A．3 　 B．5
C．±3 　 D．±5
C　[∵|z|＝5，∴＝5，解得m＝±3，故選C．]
√
題型3：共軛復數的概念理解
例4　已知復數z＝3＋(5－m)i的共軛復數是＝3＋2i，則實數m的值是(　　)
A．3 　 B．±3
C．7 　 D．±7
C　[∵復數z＝3＋(5－m)i的共軛復數是＝3＋2i，∴5－m＝－2，解得m＝7，故選C．]
√
點撥：共軛復數是指實部相等而虛部互為相反數的兩個復數，它們反映出的幾何意義是相應的點或向量關于x軸對稱，且模相等．特別地，一個實數的共軛復數是自身．
跟蹤訓練4
已知復數z＝3＋(5－m)i的共軛復數是＝3，則實數m的值是(　　)
A．4 　 B．5
C．6 　 D．7
B　[∵復數z＝3＋(5－m)i的共軛復數是＝3，
∴5－m＝0，解得m＝5，故選B．]
√
當堂達標訓練
一、選擇題
1．已知復數z＝a＋bi(a，b∈R)對應的點在第三象限，則結論正確的是(　　)
A．a＞0，b＞0 　 B．a＞0，b＜0
C．a＜0，b＞0 　 D．a＜0，b＜0
√
D　[∵復數z＝a＋bi(a，b∈R)對應的點在第三象限，∴a＜0，b＜0，故選D．]
2．已知復數z＝a＋bi(a，b∈R)對應的點在第四象限，則共軛復數對應的點在(　　)
A．第一象限 　 B．第二象限
C．第三象限 　 D．第四象限
√
A　[∵復數z＝a＋bi(a，b∈R)對應的點在第四象限，∴＝a－bi對應的點在第一象限，故選A．]
3．已知復數z＝a＋bi(a，b∈R)對應的點在虛軸的正半軸上，則結論正確的是(　　)
A．a＝0，b＝0 　 B．a＝0，b≠0
C．a＝0，b＞0 　 D．a＝0，b＜0
√
C　[∵復數z＝a＋bi(a，b∈R)對應的點在虛軸的正半軸上，∴a＝0，b＞0，故選C．]
4．已知復數z＝3－4mi(m∈R)，若|z|＝5，則 等于(　　)
A．4 　 B．±4
C．1 　 D．±1
√
D　[∵|z|＝5，∴＝5，解得m＝±1，故選D．]
5．已知復數z＝3＋(5－m)i的共軛復數是＝3－2i，則實數m的值是
(　　)
A．3 　 B．±3
C．7 　 D．±7
√
A　[∵復數z＝3＋(5－m)i的共軛復數是＝3－2i，∴5－m＝2，解得m＝3，故選A．]
6．已知復數z＝6－8i，則等于(　　)
A．6－8i 　 B．6＋8i
C．－8＋6i 　 D．－8－6i
√
7．已知復數z＝a＋bi(a，b∈R)，則“b＝0”是“z＝”的(　　)
A．充分不必要條件
B．必要不充分條件
C．充要條件
D．既不充分也不必要條件
√
8．已知x，y∈R，若復數z＝(2x－6)＋(3y－9)i對應的點在第二象限，則(　　)
A．x＞3，y＜3 　 B．x＞3，y＞3
C．x＜3，y＞3 　 D．x＜3，y＜3
√
C　[∵復數z＝(2x－6)＋(3y－9)i對應的點在第二象限，∴2x－6＜0且3y－9＞0，解得x＜3，y＞3，故選C．]
二、填空題
9．在復平面內，已知點Z(－3，6)對應復數z＝a＋bi(a，b∈R)，則復數z＝________．
－3＋6i　[∵點Z(－3，6)對應復數z＝a＋bi(a，b∈R)，∴a＝－3，b＝6，∴z＝－3＋6i．]
－3＋6i
10．已知復數z＝－3＋3i，則|z|＝________．
3
3　[ ∵復數z＝－3＋3i，∴|z|＝＝3．]
11．已知復數z＝－1＋(a－3)i對應的點在復平面的實軸上，則實數a＝________．
3　[∵復數z＝－1＋(a－3)i對應的點在復平面的實軸上，∴a－3＝0，解得a＝3．]
3
12．已知復數z＝－a＋(a＋2)i對應的點在直線y＝2x上，則實數a＝________．
－　[∵復數z＝－a＋(a＋2)i對應的點在直線y＝2x上，∴a＋2＝2(－a)，解得a＝－．]
－
13．已知復數z＝cos θ＋isin θ(θ∈R)，則|z|＝________．
1
1　[∵復數z＝cos θ＋isin θ(θ∈R)，∴|z|＝＝1．]
三、解答題
14．求下列復數的模：
(1)z＝－5＋12i；(2)z＝6＋8i；
(3)z＝－1－i．
[解析]　(1)|z|＝＝13．
(2)|z|＝＝10．
(3)|z|＝＝2．
15．已知復數z＝＋mi(m∈R)，根據下列條件求實數m的值．
(1)|z|＝2；(2)＝；(3)||＝3．
[解析]　(1)∵z＝＋mi，|z|＝2，
∴＝2，解得m＝±1．
(2)∵z＝＋mi，∴＝，
∴－mi＝，可得m＝0．
(3)∵z＝＋mi，∴|＝＝3，解得m＝±．
THANKS11.2　復數的幾何意義
1．復數與平面內點的對應關系：在平面上建立一個直角坐標系，我們將一個復數z＝x＋yi的實部x與虛部y分別看成直角坐標系中點的橫坐標和縱坐標，這樣我們就建立了復數和直角坐標平面內的點之間的一一對應關系，于是我們就可以借助點Z(a，b)來表示復數z＝a＋bi，如圖所示．這個對應關系給了復數一個直觀的幾何解釋，它溝通了“復數”與平面上“點”之間的聯系．
2．復數與向量的對應關系：由于點Z(a，b)與以O為始點，Z為終點的向量是一一對應的，所以復數z＝a＋bi可以用向量來表示，這樣我們又建立了復數與向量之間的一一對應．
3．建立了直角坐標系來表示復數的平面稱為復平面．在復平面內，x軸通常稱為實軸，y軸稱為虛軸．任一個實數a與x軸上的點(a，0)一一對應，任一個純虛數bi(b≠0)與y軸上的點(0，b)一一對應．
4．設z＝a＋bi，則它對應的向量的長度稱為復數a＋bi的模，記作|a＋bi|，則|a＋bi|＝．特別地，當b＝0時，|a＋bi|＝|a|，這表明復數的模是實數絕對值概念的推廣．
5．如果兩個復數的實部相等，虛部互為相反數，則稱這兩個復數互為共軛復數，復數z的共軛復數用 表示．當z＝a＋bi時，＝a－bi．表示兩個互為共軛復數的點關于實軸對稱，并且它們的模相等．
1．下列說法正確的是(　　)
A．在復平面內，虛軸上的點表示的都是純虛數
B．任意的兩個復數都不能比較大小
C．任意的兩個共軛復數對應的向量都關于y軸對稱
D．任意的兩個共軛復數對應的向量都關于x軸對稱
D　[在選項A中，原點在虛軸上，表示實數0；在選項B中，如果兩個復數都是實數，那么這兩個實數可以比較大??；在選項C，D中，根據共軛復數的定義，任意的兩個共軛復數對應的向量都關于x軸對稱，故選D．]
2．已知z1＝1＋i，z2＝－1＋i，則下列結論正確的是(　　)
A．因為z1－z2＝2，所以z1＞z2
B．因為z2－z1＝－2，所以z1＜z2
C．z1和z2互為共軛虛數
D．|z1|＝|z2|
D　[∵|z1|＝＝，|z2|＝＝，∴|z1|＝|z2|，故選D．]
3．已知z1，z2∈C，則“z1＋z2∈R”是“z1和z2互為共軛復數”的(　　)
A．充分不必要條件
B．必要不充分條件
C．充要條件
D．既不充分也不必要條件
B　[∵“z1和z2互為共軛復數” “z1＋z2∈R”，故選B．]
4．已知復數z＝3＋4i，則＝(　　)
A．－3＋4i 　 B．－3－4i
C．3－4i 　 D．3＋4i
[答案]　C
5．已知z∈C，則|z|≥2在復平面內表示的圖形是(　　)
A．以原點為圓心，半徑為2的圓
B．以原點為圓心，半徑為2的圓及圓內區域
C．以原點為圓心，半徑為2的圓及圓外區域
D．以原點為圓心，半徑為2的圓外區域
[答案]　C
題型1：復平面的概念理解
例1　已知復數z＝a＋bi(a，b∈R)對應的點在第一象限，則結論正確的是(　　)
A．a＞0，b＞0 　 B．a＞0，b＜0
C．a＜0，b＞0 　 D．a＜0，b＜0
A　[在復平面內，復數z＝a＋bi(a，b∈R)與點Z(a，b)是一一對應的，所以復數z＝a＋bi(a，b∈R)對應的點在第一象限，等價于a＞0，b＞0，故選A．]
點撥：復平面就是用來直觀表示復數對應點的平面直角坐標系，在復平面內，坐標軸以外的點都表示一個虛數．
已知復數z＝a＋bi(a，b∈R)對應的點在第二象限，則結論正確的是(　　)
A．a＞0，b＞0 　 B．a＞0，b＜0
C．a＜0，b＞0 　 D．a＜0，b＜0
C　[∵復數z＝a＋bi(a，b∈R)對應的點在第二象限，∴a＜0，b＞0，故選C．]
例2　已知復數z＝a＋bi(a，b∈R)對應的點在虛軸上，則結論正確的是(　　)
A．a∈R，b＞0 　 B．a∈R，b＜0
C．a＝0，b≠0 　 D．a＝0，b∈R
D　[∵復數z＝a＋bi(a，b∈R)對應的點在虛軸上，∴a＝0，b∈R，故選D．]
點撥：在復平面內，實軸上的點對應實數，而虛軸上的點除原點以外都表示純虛數。
已知復數z＝a＋bi(a，b∈R)對應的點在實軸的正半軸上，則結論正確的是(　　)
A．a＞0，b＝0 　 B．a＝0，b＞0
C．a＜0，b＝0 　 D．a＝0，b＜0
A　[∵復數z＝a＋bi(a，b∈R)對應的點在實軸的正半軸上，∴a＞0，b＝0，故選A．]
題型2：復數模的計算
例3　已知復數z＝3－4i，則|z|等于(　　)
A．3 　 B．4
C．5 　 D．6
C　[|z|＝＝5，故選C．]
點撥：關于復數的模，一種題型是正向應用公式，即根據一個復數的實部和虛部求該復數的模，另一種題型是逆向應用公式，即已知一個復數的模應用模的計算公式求復數的實部或虛部．
已知復數z＝m－4i(m∈R)，若|z|＝5，則m等于(　　)
A．3 　 B．5
C．±3 　 D．±5
C　[∵|z|＝5，∴＝5，解得m＝±3，故選C．]
題型3：共軛復數的概念理解
例4　已知復數z＝3＋(5－m)i的共軛復數是＝3＋2i，則實數m的值是(　　)
A．3 　 B．±3
C．7 　 D．±7
C　[∵復數z＝3＋(5－m)i的共軛復數是＝3＋2i，∴5－m＝－2，解得m＝7，故選C．]
點撥：共軛復數是指實部相等而虛部互為相反數的兩個復數，它們反映出的幾何意義是相應的點或向量關于x軸對稱，且模相等．特別地，一個實數的共軛復數是自身．
已知復數z＝3＋(5－m)i的共軛復數是＝3，則實數m的值是(　　)
A．4 　 B．5
C．6 　 D．7
B　[∵復數z＝3＋(5－m)i的共軛復數是＝3，
∴5－m＝0，解得m＝5，故選B．]
一、選擇題
1．已知復數z＝a＋bi(a，b∈R)對應的點在第三象限，則結論正確的是(　　)
A．a＞0，b＞0 　 B．a＞0，b＜0
C．a＜0，b＞0 　 D．a＜0，b＜0
D　[∵復數z＝a＋bi(a，b∈R)對應的點在第三象限，∴a＜0，b＜0，故選D．]
2．已知復數z＝a＋bi(a，b∈R)對應的點在第四象限，則共軛復數對應的點在(　　)
A．第一象限 　 B．第二象限
C．第三象限 　 D．第四象限
A　[∵復數z＝a＋bi(a，b∈R)對應的點在第四象限，∴＝a－bi對應的點在第一象限，故選A．]
3．已知復數z＝a＋bi(a，b∈R)對應的點在虛軸的正半軸上，則結論正確的是(　　)
A．a＝0，b＝0 　 B．a＝0，b≠0
C．a＝0，b＞0 　 D．a＝0，b＜0
C　[∵復數z＝a＋bi(a，b∈R)對應的點在虛軸的正半軸上，∴a＝0，b＞0，故選C．]
4．已知復數z＝3－4mi(m∈R)，若|z|＝5，則 m 等于(　　)
A．4 　 B．±4
C．1 　 D．±1
D　[∵|z|＝5，∴＝5，解得m＝±1，故選D．]
5．已知復數z＝3＋(5－m)i的共軛復數是＝3－2i，則實數m的值是(　　)
A．3 　 B．±3
C．7 　 D．±7
A　[∵復數z＝3＋(5－m)i的共軛復數是＝3－2i，∴5－m＝2，解得m＝3，故選A．]
6．已知復數z＝6－8i，則等于(　　)
A．6－8i 　 B．6＋8i
C．－8＋6i 　 D．－8－6i
[答案]　B
7．已知復數z＝a＋bi(a，b∈R)，則“b＝0”是“z＝”的(　　)
A．充分不必要條件
B．必要不充分條件
C．充要條件
D．既不充分也不必要條件
[答案]　C
8．已知x，y∈R，若復數z＝(2x－6)＋(3y－9)i對應的點在第二象限，則(　　)
A．x＞3，y＜3 　 B．x＞3，y＞3
C．x＜3，y＞3 　 D．x＜3，y＜3
C　[∵復數z＝(2x－6)＋(3y－9)i對應的點在第二象限，∴2x－6＜0且3y－9＞0，解得x＜3，y＞3，故選C．]
二、填空題
9．在復平面內，已知點Z(－3，6)對應復數z＝a＋bi(a，b∈R)，則復數z＝________．
－3＋6i　[∵點Z(－3，6)對應復數z＝a＋bi(a，b∈R)，∴a＝－3，b＝6，∴z＝－3＋6i．]
10．已知復數z＝－3＋3i，則|z|＝________．
3　[ ∵復數z＝－3＋3i，∴|z|＝＝3．]
11．已知復數z＝－1＋(a－3)i對應的點在復平面的實軸上，則實數a＝________．
3　[∵復數z＝－1＋(a－3)i對應的點在復平面的實軸上，∴a－3＝0，解得a＝3．]
12．已知復數z＝－a＋(a＋2)i對應的點在直線y＝2x上，則實數a＝________．
－　[∵復數z＝－a＋(a＋2)i對應的點在直線y＝2x上，∴a＋2＝2(－a)，解得a＝－．]
13．已知復數z＝cos θ＋isin θ(θ∈R)，則|z|＝________．
1　[∵復數z＝cos θ＋isin θ(θ∈R)，∴|z|＝＝1．]
三、解答題
14．求下列復數的模：
(1)z＝－5＋12i；(2)z＝6＋8i；
(3)z＝－1－i．
[解析]　(1)|z|＝＝13．
(2)|z|＝＝10．
(3)|z|＝＝2．
15．已知復數z＝＋mi(m∈R)，根據下列條件求實數m的值．
(1)|z|＝2；(2)＝；(3)||＝3．
[解析]　(1)∵z＝＋mi，|z|＝2，
∴＝2，解得m＝±1．
(2)∵z＝＋mi，∴＝，
∴－mi＝，可得m＝0．
(3)∵z＝＋mi，∴|＝＝3，解得m＝±．
1．已知復數z＝－8＋mi(m∈R)的模為10，則m等于(　　)
A．8 　 B．6
C．±8 　 D．±6
D　[∵復數z＝－8＋mi(m∈R)的模為10，
∴＝10，解得m＝±6，故選D．]
2．已知復數z＝a＋bi(a，b∈R)，則|z|＝1的充要條件是(　　)
A．ab＝1 　 B．a＋b＝1
C．a－b＝1 　 D．a2＋b2＝1
D　[∵|z|＝1，∴＝1，即a2＋b2＝1，故選D．]
3．已知z∈C，則2≤|z|≤3在復平面內表示圖形的面積等于(　　)
A．2π 　 B．3π
C．4π 　 D．5π
D　[∵2≤|z|≤3在復平面內表示圖形是兩個圓構成的一個圓環，較大圓的半徑是3，較小圓的半徑是2，∴圓環的面積是π×32－π×22＝5π，故選D．]
4．已知復數z＝a＋bi(a，b∈R)，若|a|≤1，|b|≤2，則|z|在復平面內表示圖形的面積等于________．
8　[∵|a|≤1，|b|≤2，∴復數z＝a＋bi(a，b∈R)對應的點的集合是一個矩形及其內部，∵該矩形的邊長分別為2，4，∴|z|在復平面內表示圖形的面積等于2×4＝8．]
5．已知x∈R，則方程2x2－5x＋2＋(x2－x－2)i＝0的根是________．
x＝2　[∵x∈R，方程2x2－5x＋2＋(x2－x－2)i＝0，∴2x2－5x＋2＝0且x2－x－2＝0，
∵2x2－5x＋2＝0的根分別是x＝2或x＝，x2－x－2＝0的根分別是x＝－1或x＝2，
∴方程2x2－5x＋2＋(x2－x－2)i＝0的根是x＝2．]
6．已知復數z＝a2－a－6＋i(a∈R)在復平面內對應的點為Z．
(1)若點Z落在復平面的虛軸上，求實數a的值；
(2)若點Z落在復平面的實軸上，求實數a的值．
[解析]　(1)若點Z落在復平面的虛軸上，則a2－a－6＝0，解得a＝－2或a＝3，
∵當a＝－2時，無意義，∴a＝－2舍去，
∴實數a的值為3．
(2)∵若點Z落在復平面的實軸上，∴＝0，
∴a2＋2a－15＝0，且a2－4≠0，
解得a＝3或a＝－5．
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