資源簡(jiǎn)介

9.7　平面與平面的位置關(guān)系
1．兩個(gè)平面之間的位置關(guān)系
(1)位置關(guān)系：平行和相交
(2)符號(hào)表示：兩個(gè)平面α，β平行，記為α∥β；兩個(gè)平面α，β相交于直線(xiàn)l，記為α∩β＝l．
2．平面與平面平行
(1)平面與平面平行的判定定理
如果一個(gè)平面內(nèi)有兩條相交直線(xiàn)分別平行于另一個(gè)平面，那么這兩個(gè)平面平行．
符號(hào)表示：a β，b β，a∩b＝P，a∥α，b∥α α∥β．
(2)推論
如果一個(gè)平面內(nèi)有兩條相交直線(xiàn)分別平行于另一個(gè)平面內(nèi)的兩條直線(xiàn)，則這兩個(gè)平面平行．
符號(hào)表示：若a α，b α，a∩b＝P，
a′ β，b′ β，a∥a′，b∥b′，則α∥β．
注意：如果兩個(gè)平面平行，一個(gè)平面內(nèi)的直線(xiàn)與另一個(gè)平面內(nèi)的直線(xiàn)的位置關(guān)系：平行或異面．
(3)平面與平面平行的性質(zhì)定理
如果兩個(gè)平行平面同時(shí)與第三個(gè)平面相交，那么它們的交線(xiàn)平行．
符號(hào)表示為：α∥β，γ∩α＝a，γ∩β＝b a∥b．
注：如果兩個(gè)平面平行，那么其中一個(gè)平面內(nèi)的直線(xiàn)平行于另一個(gè)平面．
(4)平行平面間的距離
平行平面的公垂線(xiàn)：與兩個(gè)平行平面都垂直的直線(xiàn)，稱(chēng)為這兩個(gè)平行平面的公垂線(xiàn)．公垂線(xiàn)夾在這兩個(gè)平行平面間的線(xiàn)段，稱(chēng)為這兩個(gè)平行平面的公垂線(xiàn)段．兩個(gè)平行平面的公垂線(xiàn)段的長(zhǎng)度，稱(chēng)為兩個(gè)平行平面間的距離．
注：夾在兩個(gè)平行平面之間的平行線(xiàn)段相等．
如果一條直線(xiàn)垂直于兩個(gè)平行平面中的一個(gè)平面，那么它垂直于另一個(gè)平面．
(5)平面平行的傳遞性
若α∥β，β∥γ，則α∥γ．
3．平面與平面相交
(1)二面角
①二面角的定義
平面內(nèi)的一條直線(xiàn)把這個(gè)平面分成兩個(gè)部分，其中的每一部分都稱(chēng)為半平面．從一條直線(xiàn)出發(fā)的兩個(gè)半平面所組成的圖形稱(chēng)為二面角．這條直線(xiàn)稱(chēng)為二面角的棱，這兩個(gè)半平面稱(chēng)為二面角的面．棱為l，半平面分別為α，β的二面角，記作二面角α-l-β．如圖．
②二面角的平面角
如圖，在二面角α-l-β的棱l上任取一點(diǎn)O，以點(diǎn)O為垂足，在半平面α和β內(nèi)分別作垂直于棱l的射線(xiàn)OA和OB，則射線(xiàn)OA和OB構(gòu)成的∠AOB稱(chēng)為二面角的平面角．
規(guī)定：二面角的大小用它的平面角θ來(lái)度量，二面角的范圍是[0，π]，平面角是直角的二面角稱(chēng)為直二面角．
(2)平面與平面垂直
①平面與平面垂直定義
兩個(gè)平面相交，如果它們成的二面角是直二面角，那么這兩個(gè)平面互相垂直．平面α與平面β垂直，記作α⊥β．
②平面與平面垂直的判定定理
如果一個(gè)平面經(jīng)過(guò)另一個(gè)平面的一條垂線(xiàn)，那么這兩個(gè)平面互相垂直．
符號(hào)表示為：l⊥α，l β β⊥α．
③平面與平面垂直的性質(zhì)定理
如果兩個(gè)平面互相垂直，那么在一個(gè)平面內(nèi)垂直于它們交線(xiàn)的直線(xiàn)垂直于另一個(gè)平面．
符號(hào)表示：α⊥β，α∩β＝l，a α，a⊥l a⊥β．
注：過(guò)平面外一點(diǎn)有無(wú)數(shù)個(gè)平面與已知平面垂直；
垂直于同一個(gè)平面的兩個(gè)平面不一定平行；
平行于同一個(gè)平面的兩個(gè)平面平行；
過(guò)平面外一點(diǎn)有且只有一個(gè)平面與已知平面平行．
1．如果一條直線(xiàn)與兩個(gè)平行平面中的一個(gè)平行，那么這條直線(xiàn)與另一個(gè)平面的位置關(guān)系為(　　)
A．平行
B．直線(xiàn)在平面內(nèi)
C．相交或直線(xiàn)在平面內(nèi)
D．平行或直線(xiàn)在平面內(nèi)
D　[設(shè)這兩個(gè)平面為α，β，直線(xiàn)l∥α，且α∥β，
如果l β，由l∥α，α∥β，可得l∥β，即直線(xiàn)平行于另一個(gè)平面；
如果l β，由α∥β可知，l∥α，滿(mǎn)足題意，則直線(xiàn)可以在另一個(gè)平面內(nèi)．故選D．]
2．如果直線(xiàn)a 平面α，直線(xiàn)b 平面β，且α∥β，則a與b(　　)
A．共面
B．平行
C．是異面直線(xiàn)
D．可能平行，也可能是異面直線(xiàn)
D　[α∥β，說(shuō)明a與b無(wú)公共點(diǎn)，所以a與b可能平行也可能是異面直線(xiàn)．故選D．]
3．若平面α∥平面β，直線(xiàn)a α，點(diǎn)B∈β，則在平面β內(nèi)過(guò)點(diǎn)B的所有直線(xiàn)中(　　)
A．不一定存在與a平行的直線(xiàn)
B．只有兩條與a平行的直線(xiàn)
C．存在無(wú)數(shù)條與a平行的直線(xiàn)
D．存在唯一一條與a平行的直線(xiàn)
D　[因?yàn)橹本€(xiàn)a與點(diǎn)B可確定一個(gè)平面，該平面與平面β的交線(xiàn)即為在平面β內(nèi)過(guò)點(diǎn)B，且與直線(xiàn)a平行的直線(xiàn)，所以只有唯一一條．故選D．]
4．下列命題中，錯(cuò)誤的命題是 (　　)
A．平行于同一直線(xiàn)的兩個(gè)平面平行
B．平行于同一平面的兩個(gè)平面平行
C．平行于同一平面的兩直線(xiàn)關(guān)系不確定
D．兩平面平行，一平面內(nèi)的直線(xiàn)必平行于另一平面
A　[平行于同一直線(xiàn)的兩個(gè)平面可能平行，也可能相交．]
題型1：平面與平面的位置關(guān)系
例1　 下列命題中，正確的命題的個(gè)數(shù)有(　　)
①如果一個(gè)平面內(nèi)的兩條直線(xiàn)平行于另一個(gè)平面，那么這兩個(gè)平面平行；
②如果一個(gè)平面內(nèi)的任何一條直線(xiàn)都平行于另一個(gè)平面，那么這兩個(gè)平面平行；
③分別在兩個(gè)平行平面內(nèi)的兩條直線(xiàn)平行；
④已知兩個(gè)平行平面中的一個(gè)平面內(nèi)有一條直線(xiàn)，則在另一個(gè)平面內(nèi)有且只有一條直線(xiàn)與已知直線(xiàn)平行．
A．1個(gè) 　 B．2個(gè)
C． 3個(gè) 　 D．4個(gè)
A　[根據(jù)判定定理必須是一個(gè)平面內(nèi)的兩條相交直線(xiàn)平行于另一個(gè)平面，兩平面才平行，反之，兩平面平行，一個(gè)平面內(nèi)的任何一條直線(xiàn)都平行于另一個(gè)平面，于是它平行于另一平面內(nèi)無(wú)數(shù)條直線(xiàn)．故只有②正確．故選A．]
點(diǎn)撥：熟記面面平行的判定和性質(zhì)．
若平面α⊥平面β，且平面α內(nèi)的一條直線(xiàn)a垂直于平面β內(nèi)的一條直線(xiàn)b，則 (　　)
A．直線(xiàn)a必垂直于平面β
B．直線(xiàn)b必垂直于平面α
C．直線(xiàn)a不一定垂直于平面β
D．過(guò)a的平面與過(guò)b的平面垂直
C　[α⊥β，a α，b β，a⊥b，當(dāng)α∩β＝a時(shí)，b⊥α；當(dāng)α∩β＝b時(shí)，a⊥β，其他情形則未必有b⊥α或a⊥β，所以選項(xiàng)A、B、D都錯(cuò)誤，故選C．]
題型2：平面與平面平行
例2　如圖所示，四棱錐P-ABCD的底面ABCD為矩形，E，F(xiàn)，H分別為AB，CD，PD的中點(diǎn)．求證：平面AFH∥平面PCE．
[解析]　因?yàn)镕為CD的中點(diǎn)，H為PD的中點(diǎn)，
所以FH∥PC，所以FH∥平面PCE．
又AE∥CF且AE＝CF，
所以四邊形AECF為平行四邊形，
所以AF∥CE，所以AF∥平面PCE．
由FH 平面AFH，AF 平面AFH，F(xiàn)H∩AF＝F，
所以平面AFH∥平面PCE．
點(diǎn)撥：證明平面與平面平行，需要證明在其中一個(gè)平面內(nèi)兩條相交直線(xiàn)與另一個(gè)平面分別平行，用直線(xiàn)與平面平行的判定定理和方法先證線(xiàn)面平行．
如圖所示，在三棱錐P-ABC中．F，G，H分別是AC，PC，BC的中點(diǎn)，且PA＝PB，AC＝BC．
求證： 平面PAB∥平面FGH．
[解析]　∵F，G，H分別是AC，PC，BC的中點(diǎn)，
∴FG∥AP，F(xiàn)H∥AB，
又FG∩FH＝F，AP∩AB＝A，
∴平面PAB∥平面FGH．
題型3：平面與平面垂直
例3　如圖所示，已知棱長(zhǎng)為1的正方體ABCD-A1B1C1D1．
求證：平面C1BD⊥平面A1B1CD．
[解析]　證明：∵CD⊥平面
B1BCC1，且BC1 平面B1BCC1，
∴CD⊥BC1，又∵在正方形B1BCC1中，B1C⊥BC1，
且B1C∩CD＝C，B1C 平面A1B1CD，
CD 平面A1B1CD，∴BC1⊥平面A1B1CD，
又∵BC1 平面C1BD，∴平面C1BD⊥平面A1B1CD．
點(diǎn)撥：要證面面垂直就要轉(zhuǎn)化為證線(xiàn)面垂直，其關(guān)鍵是在其中一個(gè)平面內(nèi)尋找一條直線(xiàn)與另一個(gè)平面垂直．
如圖，AB是⊙O的直徑，PA垂直于⊙O所在的平面，C是圓周上異于A，B的任意一點(diǎn)，求證：平面PAC⊥平面PBC．
[解析]　∵AB是⊙O的直徑，則BC⊥AC．
又PA⊥平面ABC，BC 平面ABC，
∴PA⊥BC，而PA∩AC＝A，PA，AC 平面PAC，∴BC⊥平面PAC，
又BC 平面PBC，∴平面PAC⊥平面PBC．
題型4：二面角
例4如圖所示，已知正三棱柱ABC-A1B1C1的底面邊長(zhǎng)和側(cè)棱長(zhǎng)都是1．求：二面角C1-AB-C的正切值．
[解析]　取AB中點(diǎn)D，連接CD，C1D，∵AC1＝BC1，AC＝BC，點(diǎn)D是AB 的中點(diǎn)，
∴C1D⊥AB，CD⊥AB，
∴∠CDC1就是二面角C1-AB-C的平面角，
∵△ABC是等邊三角形，且邊長(zhǎng)為1，
∴CD＝．
在Rt△C1CD中，CC1＝1，CD＝，
∴tan ∠CDC1＝＝，
∴二面角C1-AB-C的正切值為．
點(diǎn)撥：求二面角的大小，關(guān)鍵是找到二面角的平面角．
在正方形ABCD所在平面外有一點(diǎn)P，PA⊥平面ABCD，AB＝PA，求二面角P-BD-A的余弦值．
[解析]　連接AC與BD交于O，連接PO．
∵四邊形ABCD是正方形，
∴O為AC的中點(diǎn)且BD⊥AO，
∵AB＝AD，∴PB＝PD，又∵O為BD的中點(diǎn)，
∴PO⊥BD，
∴∠POA是二面角P-BD-A的平面角．
∵四邊形ABCD是正方形，設(shè)AB＝PA＝2，
∴AO＝，
∵PA⊥平面ABCD，∴PA⊥AO，
在Rt△PAO中，PO＝＝，
cos ∠POA＝＝＝，
∴二面角P-BD-A的余弦值是．
一、選擇題
1．已知直線(xiàn)a，b，平面α，β，a α，b α，則“a∥β，b∥β”是“α∥β”的 (　　)
A．充分不必要條件
B．必要不充分條件
C．充分必要條件
D．既不充分也不必要條件
B　[因?yàn)橹本€(xiàn)a，b，平面α，β，a α，b α，由a∥β，b∥β得α，β平行或相交；
由α∥β得a∥β，b∥β，所以“a∥β，b∥β”是“α∥β”的必要不充分條件．故選B．]
2．下列說(shuō)法正確的是(　　)
①如果一個(gè)平面內(nèi)的兩條直線(xiàn)分別平行于另一個(gè)平面內(nèi)的兩條直線(xiàn)，那么這兩個(gè)平面平行；
②如果一個(gè)平面內(nèi)的兩條相交直線(xiàn)分別平行于另一個(gè)平面內(nèi)的兩條相交直線(xiàn)，那么這兩個(gè)平面平行；
③分別在兩個(gè)平行平面內(nèi)的兩條直線(xiàn)互相平行；
④過(guò)平面外一點(diǎn)有且僅有一個(gè)平面與已知平面平行．
A．①② 　 B．②③
C．①④ 　 D．②④
D　[對(duì)①：只有一個(gè)平面內(nèi)的兩條相交直線(xiàn)分別平行于另一個(gè)平面，那么有兩個(gè)平面平行，故①錯(cuò)誤；對(duì)②：根據(jù)平面平行的判定定理，顯然成立，故②正確；對(duì)③：在兩個(gè)平行平面內(nèi)的兩條直線(xiàn)，可以平行，也可以為異面直線(xiàn)，故③錯(cuò)誤；對(duì)④：根據(jù)平面平行的判定定理，顯然成立，故④正確．故選D．]
3．已知直線(xiàn)a與平面α，β，γ，能使α∥β的充分條件是(　　)
①α⊥γ，β⊥γ；②α∥γ，β∥γ；③a∥α，a∥β；④a⊥α，a⊥β．
A．①② 　 B．②③
C．①④ 　 D．②④
D　[對(duì)①，若α⊥γ，β⊥γ，垂直于同一個(gè)平面的兩個(gè)平面可以相交，故①錯(cuò)誤；對(duì)②，若α∥γ，β∥γ，則α∥β，平面的平行具有傳遞性，故②正確；對(duì)③，若a∥α，a∥β，平行于同一直線(xiàn)的兩平面可以相交，故③錯(cuò)誤；對(duì)④，a⊥α，a⊥β，垂直于同一直線(xiàn)的兩平面平行，故④正確．故選D．]
4．已知α，β，γ為三個(gè)不重合的平面，a，b，c為三條不同的直線(xiàn)，則有下列命題，正確的是(　　)
① a∥b；　② a∥b；　③ α∥β；　④ αβ．
A．③④ 　 B．②③
C．①④ 　 D．①②
C　[只有線(xiàn)線(xiàn)平行，面面平行具有傳遞性．①④正確，故選C．]
5．正方體ABCD-A1B1C1D1中，二面角D1-AB-D的大小是(　　)
A．30° 　 B．45°
C．60° 　 D．90°
B　[由正方體可證得二面角D1-AB-D的平面角即∠D1AD，由正方形D1A1AD可知∠D1AD＝45°，故選B．]
6．設(shè)m，n表示直線(xiàn)，α，β，γ表示平面，給出下列三個(gè)命題：
(1)若α∩β＝m，n α，n⊥m，則n⊥β；
(2)若α⊥β，α∩γ＝m，β∩γ＝n，則n⊥m；
(3)若m⊥α，n⊥β，m⊥n，則α⊥β．
其中正確的命題為(　　)
A．(1)(2) 　 B．(3)
C．(2)(3) 　 D．(1)(2)(3)
B　[對(duì)于(1)，依據(jù)線(xiàn)面垂直的判定定理，一條直線(xiàn)垂直于一個(gè)平面內(nèi)的兩條相交直線(xiàn)，才能得到該直線(xiàn)與此平面垂直，而n只與β內(nèi)的一條直線(xiàn)m垂直，不能得到n⊥β，故(1)不正確；對(duì)于(2)，如圖所示，在長(zhǎng)方體ABCD-A′B′C′D′中，平面DCC′D′⊥平面ABCD，平面ABC′D′與平面DCC′D′的交線(xiàn)為C′D′，與平面ABCD的交線(xiàn)為AB，但C′D′∥AB，故(2)不正確；對(duì)于(3)，由于m⊥α，m⊥n，則n在平面α內(nèi)或n∥α．若n在平面α內(nèi)，由n⊥β可得α⊥β；若n∥α，過(guò)n作平面與α交于直線(xiàn)l，則n∥l，由n⊥β得l⊥β，從而α⊥β．故(3)正確．故選B．]
7．設(shè)有直線(xiàn)m，n和平面α，β，則下列命題中正確的是 (　　)
A．若m⊥n，m α，n β，則α⊥β
B．若m∥n，n⊥β，m α，則α⊥β
C．若m∥n，m⊥α，n⊥β，則α⊥β
D．若m⊥n，α∩β＝m，n α，則α⊥β
B　[m∥n，n⊥β，可知m⊥β，又m α所以α⊥β，∴B正確．]
二、填空題
8．在一個(gè)二面角的一個(gè)平面內(nèi)有一個(gè)點(diǎn)，它到棱的距離等于它到另一個(gè)面的距離的兩倍，則這個(gè)二面角的度數(shù)是________．
30°　[設(shè)這個(gè)二面角的平面角為α，則sin α＝，由條件可知二面角是銳角，所以α＝30°．]
9．如圖，矩形ABCD中，AB＝1，BC＝2，PA⊥平面ABCD，點(diǎn)Q是BC的中點(diǎn)，則平面PDQ與平面PAQ關(guān)系為_(kāi)_______．
垂直　[由條件可以求得AQ＝DQ＝，又因?yàn)锳D＝2，所以可得AQ⊥DQ，又因?yàn)镻A⊥平面ABCD，DQ 平面ABCD，所以PA⊥DQ，所以DQ⊥平面PAQ．又因?yàn)镈Q 平面PDQ，從而可得平面PAQ⊥平面PDQ．]
10．若將邊長(zhǎng)為1的正方形ABCD沿對(duì)角線(xiàn)AC折成60°的二面角，則B，D兩點(diǎn)間的距離等于________．
　[連接BD(圖略)可得一個(gè)正三角形，邊長(zhǎng)等于正方形對(duì)角線(xiàn)長(zhǎng)的一半．]
11．如圖，四邊形ABCD是矩形，且PD⊥平面ABCD，AD＝PD，則平面PAB與平面ABCD所成的二面角的平面角是________．
45°　[因?yàn)镻D⊥平面ABCD，所以PD⊥AB，又AD⊥AB，PD∩AD＝D，所以AB⊥平面PAD，則∠PAD為平面PAB與平面ABCD所成的二面角的平面角．又tan ∠PAD＝＝1，所以∠PAD＝45°．]
12．已知在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥底面ABCD，PA＝3，AB＝2，BC＝，則二面角P-BD-A的正切值為_(kāi)_______．
　[過(guò)A作AH⊥BD于H，連接PH(圖略)，∵PA⊥底面ABCD，∴∠PHA為二面角P-BD-A的平面角．在矩形ABCD中，AH＝，在Rt△PAH中，tan ∠PHA＝＝，∴二面角P-BD-A的正切值為．]
三、解答題
13．如圖，在四棱錐P-ABCD中，點(diǎn)E為PA的中點(diǎn)，點(diǎn)F為BC的中點(diǎn)，底面ABCD是平行四邊形，對(duì)角線(xiàn)AC，BD交于點(diǎn)O．
求證：平面EFO∥平面PCD．
[解析]　證明：因?yàn)樗倪呅蜛BCD是平行四邊形，AC∩BD＝O，所以點(diǎn)O為BD的中點(diǎn)．
又因?yàn)辄c(diǎn)F為BC的中點(diǎn)，所以O(shè)F∥CD.
又OF 平面PCD，CD 平面PCD，所以O(shè)F∥平面PCD，
因?yàn)辄c(diǎn)O，E分別是AC，PA的中點(diǎn)，所以O(shè)E∥PC，
又OE 平面PCD，PC 平面PCD，
所以O(shè)E∥平面PCD.又OE 平面EFO，OF 平面EFO，
且OE∩OF＝O，所以平面EFO∥平面PCD.
1．已知a，b表示兩條直線(xiàn)，α，β，γ表示三個(gè)不重合的平面，給出下列命題：
①若α∩γ＝a，β∩γ＝b，且a∥b，則α∥β；
②若a∥α，a∥β，則α∥β；
③若a∥α，b∥β，且a∥b，則α∥β；
④若a，b是異面直線(xiàn)，且a α，b β，a∥β，b∥α，則α∥β；
⑤若a，b相交且都在α，β外，a∥α，b∥α，a∥β，b∥β，則α∥β．
其中真命題的個(gè)數(shù)是(　　)
A．1 　 B．2
C．3 　 D．0
B　[對(duì)于①，若α∩γ＝a，β∩γ＝b，且a∥b，則α，β相交或平行，故①錯(cuò)誤；
對(duì)于②，若a∥α，a∥β，則α，β相交或平行，故②錯(cuò)誤；
對(duì)于③，若a∥α，b∥β，且a∥b，則α，β相交或平行，故③錯(cuò)誤；
對(duì)于④，若α，β相交，設(shè)α∩β＝c，則由a∥β可得a∥c，由b∥α可得b∥c，故a∥b，與a，b是異面直線(xiàn)矛盾，故α∥β，④正確；
對(duì)于⑤，由a∥α，b∥α可得a，b所在平面平行于α，同理可得a，b所在平面平行于β，故α∥β，⑤正確．故選B．]
2．如圖，在四面體D-ABC中，若AB＝CB，AD＝CD，E是AC的中點(diǎn)，則下列正確的是 (　　)
A．平面ABC⊥平面ABD
B．平面ABD⊥平面BDC
C．平面ABC⊥平面BDE，且平面ADC⊥平面BDE
D．平面ABC⊥平面ADC，且平面ADC⊥平面BDE
C　[∵AB＝CB，且E是AC的中點(diǎn)，∴BE⊥AC，同理有DE⊥AC，于是AC⊥平面BDE．∵AC在平面ABC內(nèi)，∴平面ABC⊥平面BDE．又AC 平面ACD，∴平面ACD⊥平面BDE，故選C．]
3．如圖，AB是圓的直徑，PA垂直于圓所在的平面，C是圓上一點(diǎn)(不同于A，B)且PA＝AC，則二面角P-BC-A的大小為 (　　)
A．60° 　 B．30°
C．45° 　 D．15°
C　[由條件得：PA⊥BC，AC⊥BC，又PA∩AC＝C，
∴BC⊥平面PAC，∴∠PCA為二面角P-BC-A的平面角．在Rt△PAC中，由PA＝AC得∠PCA＝45°，故選C．]
4．如圖所示，三棱錐P-ABC中，平面PAB⊥平面ABC，PA＝PB，AD＝DB，則 (　　)
A．PD 平面ABC
B．PD⊥平面ABC
C．PD與平面ABC相交但不垂直
D．PD∥平面ABC
B　[∵PA＝PB，AD＝DB，∴PD⊥AB．
又∵平面PAB⊥平面ABC，平面PAB∩平面ABC＝AB，PD 平面PAB，∴PD⊥平面ABC．]
5．如圖所示，已知菱形ABCD，P為平面ABCD外一點(diǎn)，且PA⊥平面ABCD．
(1)證明：平面PAC⊥平面PBD；
(2)若AB＝4，∠DAB＝120°，PA＝3，求二面角P-BD-A的正弦值．
[解析]　(1)證明：∵PA⊥平面ABCD，
BD 平面ABCD，
∴PA⊥BD，
∵四邊形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，且PA∩AC＝A，
∴BD⊥平面PAC．
又∵BD 平面PBD，
∴平面PAC⊥平面PBD．
(2)連接PO，
∵BD⊥平面PAC，PO 平面PAC，AO 平面PAC，
∴ PO⊥BD，AO⊥BD，
∴∠POA就是二面角P-BD-A的平面角．
已知菱形ABCD，AB＝4，∠DAB＝120°，
∴AC＝AB＝4，∴AO＝AC＝2．
在Rt△PAO中，AO＝2，PA＝3，
PO＝＝＝，
∴sin ∠POA＝＝＝，
即二面角P-BD-A的正弦值是．
所以O(shè)E∥PC，
又OE 平面PCD，PC 平面PCD，
所以O(shè)E∥平面PCD．又OE 平面EFO，OF 平面EFO，
且OE∩OF＝O，所以平面EFO∥平面PCD．
1 / 11．已知a，b表示兩條直線(xiàn)，α，β，γ表示三個(gè)不重合的平面，給出下列命題：
①若α∩γ＝a，β∩γ＝b，且a∥b，則α∥β；
②若a∥α，a∥β，則α∥β；
③若a∥α，b∥β，且a∥b，則α∥β；
④若a，b是異面直線(xiàn)，且a α，b β，a∥β，b∥α，則α∥β；
⑤若a，b相交且都在α，β外，a∥α，b∥α，a∥β，b∥β，則α∥β．
其中真命題的個(gè)數(shù)是(　　)
A．1 　 B．2
C．3 　 D．0
2．如圖，在四面體D-ABC中，若AB＝CB，AD＝CD，E是AC的中點(diǎn)，則下列正確的是 (　　)
A．平面ABC⊥平面ABD
B．平面ABD⊥平面BDC
C．平面ABC⊥平面BDE，且平面ADC⊥平面BDE
D．平面ABC⊥平面ADC，且平面ADC⊥平面BDE
3．如圖，AB是圓的直徑，PA垂直于圓所在的平面，C是圓上一點(diǎn)(不同于A，B)且PA＝AC，則二面角P-BC-A的大小為 (　　)
A．60° 　 B．30°
C．45° 　 D．15°
4．如圖所示，三棱錐P-ABC中，平面PAB⊥平面ABC，PA＝PB，AD＝DB，則 (　　)
A．PD 平面ABC
B．PD⊥平面ABC
C．PD與平面ABC相交但不垂直
D．PD∥平面ABC
5．如圖所示，已知菱形ABCD，P為平面ABCD外一點(diǎn)，且PA⊥平面ABCD．
(1)證明：平面PAC⊥平面PBD；
(2)若AB＝4，∠DAB＝120°，PA＝3，求二面角P-BD-A的正弦值．
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第九章　立體幾何
9.7　平面與平面的位置關(guān)系
必備知識(shí)梳理
1．兩個(gè)平面之間的位置關(guān)系
(1)位置關(guān)系：平行和相交
(2)符號(hào)表示：兩個(gè)平面α，β平行，記為α∥β；兩個(gè)平面α，β相交于直線(xiàn)l，記為_(kāi)_________．
α∩β＝l
2．平面與平面平行
(1)平面與平面平行的判定定理
如果一個(gè)平面內(nèi)有兩條____直線(xiàn)分別平行于另一個(gè)平面，那么這兩個(gè)平面平行．
符號(hào)表示：a β，b β，__________，a∥α，b∥α α∥β．
相交
a∩b＝P
(2)推論
如果一個(gè)平面內(nèi)有________直線(xiàn)分別平行于另一個(gè)平面內(nèi)的兩條直線(xiàn)，則這兩個(gè)平面平行．
符號(hào)表示：若a α，b α，a∩b＝P，
a′ β，b′ β，a∥a′，b∥b′，則α∥β．
注意：如果兩個(gè)平面平行，一個(gè)平面內(nèi)的直線(xiàn)與另一個(gè)平面內(nèi)的直線(xiàn)的位置關(guān)系：平行或異面．
兩條相交
(3)平面與平面平行的性質(zhì)定理
如果兩個(gè)平行平面同時(shí)與第三個(gè)平面相交，那么它們的____平行．
符號(hào)表示為：α∥β，γ∩α＝a，γ∩β＝b ______．
注：如果兩個(gè)平面平行，那么其中一個(gè)平
面內(nèi)的直線(xiàn)平行于另一個(gè)平面．
交線(xiàn)
a∥b
(4)平行平面間的距離
平行平面的公垂線(xiàn)：與兩個(gè)平行平面都垂直的直線(xiàn)，稱(chēng)為這兩個(gè)平行平面的公垂線(xiàn)．公垂線(xiàn)夾在這兩個(gè)平行平面間的線(xiàn)段，稱(chēng)為這兩個(gè)平行平面的________．兩個(gè)平行平面的________的長(zhǎng)度，稱(chēng)為兩個(gè)平行平面間的距離．
注：夾在兩個(gè)平行平面之間的平行線(xiàn)段相等．
如果一條直線(xiàn)垂直于兩個(gè)平行平面中的一個(gè)平面，那么它垂直于另一個(gè)平面．
公垂線(xiàn)段
公垂線(xiàn)段
(5)平面平行的傳遞性
若α∥β，β∥γ，則______．
α∥γ
3．平面與平面相交
(1)二面角
①二面角的定義
平面內(nèi)的一條直線(xiàn)把這個(gè)平面分成兩個(gè)部分，其中
的每一部分都稱(chēng)為_(kāi)_____．從一條直線(xiàn)出發(fā)的兩個(gè)
半平面所組成的____稱(chēng)為二面角．這條直線(xiàn)稱(chēng)為二面角的__，這兩個(gè)半平面稱(chēng)為二面角的__．棱為l，半平面分別為α，β的二面角，記作二面角α-l-β．如圖．
半平面
圖形
棱
面
②二面角的平面角
如圖，在二面角α-l-β的棱l上任取一點(diǎn)O，以點(diǎn)O為垂足，在半平面α和β內(nèi)分別作垂直于棱l的射線(xiàn)OA和OB，則射線(xiàn)OA和OB構(gòu)成的∠AOB稱(chēng)為二面角的平面角．
規(guī)定：二面角的大小用它的________來(lái)度量，二面角的范圍是_______，平面角是直角的二面角稱(chēng)為_(kāi)_______．
平面角θ
[0，π]
直二面角
(2)平面與平面垂直
①平面與平面垂直定義
兩個(gè)平面相交，如果它們成的二面角是________，那么這兩個(gè)平面互相垂直．平面α與平面β垂直，記作______．
直二面角
α⊥β
②平面與平面垂直的判定定理
如果一個(gè)平面經(jīng)過(guò)另一個(gè)平面的________，那么這兩個(gè)平面互相垂直．
符號(hào)表示為：l⊥α，______ β⊥α．
一條垂線(xiàn)
l β
③平面與平面垂直的性質(zhì)定理
如果兩個(gè)平面互相垂直，那么在一個(gè)平面內(nèi)垂直于它們____的直線(xiàn)垂直于另一個(gè)平面．
符號(hào)表示：α⊥β，α∩β＝l，______，______ a⊥β．
注：過(guò)平面外一點(diǎn)有無(wú)數(shù)個(gè)平面與已知平面垂直；
垂直于同一個(gè)平面的兩個(gè)平面不一定平行；
平行于同一個(gè)平面的兩個(gè)平面平行；
過(guò)平面外一點(diǎn)有且只有一個(gè)平面與已知平面平行．
交線(xiàn)
a α
a⊥l
1．如果一條直線(xiàn)與兩個(gè)平行平面中的一個(gè)平行，那么這條直線(xiàn)與另一個(gè)平面的位置關(guān)系為(　　)
A．平行
B．直線(xiàn)在平面內(nèi)
C．相交或直線(xiàn)在平面內(nèi)
D．平行或直線(xiàn)在平面內(nèi)
√
D　[設(shè)這兩個(gè)平面為α，β，直線(xiàn)l∥α，且α∥β，
如果l β，由l∥α，α∥β，可得l∥β，即直線(xiàn)平行于另一個(gè)平面；
如果l β，由α∥β可知，l∥α，滿(mǎn)足題意，則直線(xiàn)可以在另一個(gè)平面內(nèi)．故選D．]
2．如果直線(xiàn)a 平面α，直線(xiàn)b 平面β，且α∥β，則a與b(　　)
A．共面
B．平行
C．是異面直線(xiàn)
D．可能平行，也可能是異面直線(xiàn)
D　[α∥β，說(shuō)明a與b無(wú)公共點(diǎn)，所以a與b可能平行也可能是異面直線(xiàn)．故選D．]
√
3．若平面α∥平面β，直線(xiàn)a α，點(diǎn)B∈β，則在平面β內(nèi)過(guò)點(diǎn)B的所有直線(xiàn)中(　　)
A．不一定存在與a平行的直線(xiàn)
B．只有兩條與a平行的直線(xiàn)
C．存在無(wú)數(shù)條與a平行的直線(xiàn)
D．存在唯一一條與a平行的直線(xiàn)
D　[因?yàn)橹本€(xiàn)a與點(diǎn)B可確定一個(gè)平面，該平面與平面β的交線(xiàn)即為在平面β內(nèi)過(guò)點(diǎn)B，且與直線(xiàn)a平行的直線(xiàn)，所以只有唯一一條．故選D．]
√
4．下列命題中，錯(cuò)誤的命題是(　　)
A．平行于同一直線(xiàn)的兩個(gè)平面平行
B．平行于同一平面的兩個(gè)平面平行
C．平行于同一平面的兩直線(xiàn)關(guān)系不確定
D．兩平面平行，一平面內(nèi)的直線(xiàn)必平行于另一平面
A　[平行于同一直線(xiàn)的兩個(gè)平面可能平行，也可能相交．]
√
題型分類(lèi)透析
題型1：平面與平面的位置關(guān)系
例1　 下列命題中，正確的命題的個(gè)數(shù)有(　　)
①如果一個(gè)平面內(nèi)的兩條直線(xiàn)平行于另一個(gè)平面，那么這兩個(gè)平面平行；
②如果一個(gè)平面內(nèi)的任何一條直線(xiàn)都平行于另一個(gè)平面，那么這兩個(gè)平面平行；
③分別在兩個(gè)平行平面內(nèi)的兩條直線(xiàn)平行；
④已知兩個(gè)平行平面中的一個(gè)平面內(nèi)有一條直線(xiàn)，則在另一個(gè)平面內(nèi)有且只有一條直線(xiàn)與已知直線(xiàn)平行．
A．1個(gè) 　 B．2個(gè)
C． 3個(gè) 　 D．4個(gè)
√
A　[根據(jù)判定定理必須是一個(gè)平面內(nèi)的兩條相交直線(xiàn)平行于另一個(gè)平面，兩平面才平行，反之，兩平面平行，一個(gè)平面內(nèi)的任何一條直線(xiàn)都平行于另一個(gè)平面，于是它平行于另一平面內(nèi)無(wú)數(shù)條直線(xiàn)．故只有②正確．故選A．]
點(diǎn)撥：熟記面面平行的判定和性質(zhì)．
跟蹤訓(xùn)練1
若平面α⊥平面β，且平面α內(nèi)的一條直線(xiàn)a垂直于平面β內(nèi)的一條直線(xiàn)b，則(　　)
A．直線(xiàn)a必垂直于平面β
B．直線(xiàn)b必垂直于平面α
C．直線(xiàn)a不一定垂直于平面β
D．過(guò)a的平面與過(guò)b的平面垂直
√
C　[α⊥β，a α，b β，a⊥b，當(dāng)α∩β＝a時(shí)，b⊥α；當(dāng)α∩β＝b時(shí)，a⊥β，其他情形則未必有b⊥α或a⊥β，所以選項(xiàng)A、B、D都錯(cuò)誤，故選C．]
題型2：平面與平面平行
例2　如圖所示，四棱錐P-ABCD的底面ABCD為矩形，E，F(xiàn)，H分別為AB，CD，PD的中點(diǎn)．求證：平面AFH∥平面PCE．
[解析]　因?yàn)镕為CD的中點(diǎn)，H為PD的中點(diǎn)，
所以FH∥PC，所以FH∥平面PCE．
又AE∥CF且AE＝CF，
所以四邊形AECF為平行四邊形，
所以AF∥CE，所以AF∥平面PCE．
由FH 平面AFH，AF 平面AFH，F(xiàn)H∩AF＝F，
所以平面AFH∥平面PCE．
點(diǎn)撥：證明平面與平面平行，需要證明在其中一個(gè)平面內(nèi)兩條相交直線(xiàn)與另一個(gè)平面分別平行，用直線(xiàn)與平面平行的判定定理和方法先證線(xiàn)面平行．
跟蹤訓(xùn)練2
如圖所示，在三棱錐P-ABC中．F，G，H分別是AC，PC，BC的中點(diǎn)，且PA＝PB，AC＝BC．
求證： 平面PAB∥平面FGH．
[解析]　∵F，G，H分別是AC，PC，BC的中點(diǎn)，
∴FG∥AP，F(xiàn)H∥AB，
又FG∩FH＝F，AP∩AB＝A，
∴平面PAB∥平面FGH．
題型3：平面與平面垂直
例3　如圖所示，已知棱長(zhǎng)為1的正方體ABCD-A1B1C1D1．
求證：平面C1BD⊥平面A1B1CD．
[解析]　證明：∵CD⊥平面
B1BCC1，且BC1 平面B1BCC1，
∴CD⊥BC1，又∵在正方形B1BCC1中，B1C⊥BC1，
且B1C∩CD＝C，B1C 平面A1B1CD，
CD 平面A1B1CD，∴BC1⊥平面A1B1CD，
又∵BC1 平面C1BD，∴平面C1BD⊥平面A1B1CD．
點(diǎn)撥：要證面面垂直就要轉(zhuǎn)化為證線(xiàn)面垂直，其關(guān)鍵是在其中一個(gè)平面內(nèi)尋找一條直線(xiàn)與另一個(gè)平面垂直．
跟蹤訓(xùn)練3
如圖，AB是⊙O的直徑，PA垂直于⊙O所在的平面，C是圓周上異于A，B的任意一點(diǎn)，求證：平面PAC⊥平面PBC．
[解析]　∵AB是⊙O的直徑，則BC⊥AC．
又PA⊥平面ABC，BC 平面ABC，
∴PA⊥BC，而PA∩AC＝A，PA，AC 平面PAC，∴BC⊥平面PAC，
又BC 平面PBC，∴平面PAC⊥平面PBC．
題型4：二面角
例4如圖所示，已知正三棱柱ABC-A1B1C1的底面邊長(zhǎng)和側(cè)棱長(zhǎng)都是1．求：二面角C1-AB-C的正切值．
[解析]　取AB中點(diǎn)D，連接CD，C1D，∵AC1＝BC1，AC＝BC，點(diǎn)D是AB 的中點(diǎn)，
∴C1D⊥AB，CD⊥AB，
∴∠CDC1就是二面角C1-AB-C的平面角，
∵△ABC是等邊三角形，且邊長(zhǎng)為1，
∴CD＝．
在Rt△C1CD中，CC1＝1，CD＝，
∴tan ∠CDC1＝＝，
∴二面角C1-AB-C的正切值為．
點(diǎn)撥：求二面角的大小，關(guān)鍵是找到二面角的平面角．
跟蹤訓(xùn)練4
在正方形ABCD所在平面外有一點(diǎn)P，PA⊥平面ABCD，AB＝PA，求二面角P-BD-A的余弦值．
[解析]　連接AC與BD交于O，連接PO．
∵四邊形ABCD是正方形，
∴O為AC的中點(diǎn)且BD⊥AO，
∵AB＝AD，∴PB＝PD，又∵O為BD的中點(diǎn)，
∴PO⊥BD，
∴∠POA是二面角P-BD-A的平面角．
∵四邊形ABCD是正方形，設(shè)AB＝PA＝2，
∴AO＝，
∵PA⊥平面ABCD，∴PA⊥AO，
在Rt△PAO中，PO＝＝，
cos ∠POA＝＝＝，
∴二面角P-BD-A的余弦值是．
當(dāng)堂達(dá)標(biāo)訓(xùn)練
一、選擇題
1．已知直線(xiàn)a，b，平面α，β，a α，b α，則“a∥β，b∥β”是“α∥β”的(　　)
A．充分不必要條件
B．必要不充分條件
C．充分必要條件
D．既不充分也不必要條件
√
B　[因?yàn)橹本€(xiàn)a，b，平面α，β，a α，b α，由a∥β，b∥β得α，β平行或相交；
由α∥β得a∥β，b∥β，所以“a∥β，b∥β”是“α∥β”的必要不充分條件．故選B．]
2．下列說(shuō)法正確的是(　　)
①如果一個(gè)平面內(nèi)的兩條直線(xiàn)分別平行于另一個(gè)平面內(nèi)的兩條直線(xiàn)，那么這兩個(gè)平面平行；
②如果一個(gè)平面內(nèi)的兩條相交直線(xiàn)分別平行于另一個(gè)平面內(nèi)的兩條相交直線(xiàn)，那么這兩個(gè)平面平行；
③分別在兩個(gè)平行平面內(nèi)的兩條直線(xiàn)互相平行；
④過(guò)平面外一點(diǎn)有且僅有一個(gè)平面與已知平面平行．
A．①② 　 B．②③
C．①④ 　 D．②④
√
D　[對(duì)①：只有一個(gè)平面內(nèi)的兩條相交直線(xiàn)分別平行于另一個(gè)平面，那么有兩個(gè)平面平行，故①錯(cuò)誤；對(duì)②：根據(jù)平面平行的判定定理，顯然成立，故②正確；對(duì)③：在兩個(gè)平行平面內(nèi)的兩條直線(xiàn)，可以平行，也可以為異面直線(xiàn)，故③錯(cuò)誤；對(duì)④：根據(jù)平面平行的判定定理，顯然成立，故④正確．故選D．]
3．已知直線(xiàn)a與平面α，β，γ，能使α∥β的充分條件是(　　)
①α⊥γ，β⊥γ；②α∥γ，β∥γ；③a∥α，a∥β；④a⊥α，a⊥β．
A．①② 　 B．②③
C．①④ 　 D．②④
D　[對(duì)①，若α⊥γ，β⊥γ，垂直于同一個(gè)平面的兩個(gè)平面可以相交，故①錯(cuò)誤；對(duì)②，若α∥γ，β∥γ，則α∥β，平面的平行具有傳遞性，故②正確；對(duì)③，若a∥α，a∥β，平行于同一直線(xiàn)的兩平面可以相交，故③錯(cuò)誤；對(duì)④，a⊥α，a⊥β，垂直于同一直線(xiàn)的兩平面平行，故④正確．故選D．]
√
4．已知α，β，γ為三個(gè)不重合的平面，a，b，c為三條不同的直線(xiàn)，則有下列命題，正確的是(　　)
① a∥b；　② a∥b；　③ α∥β；　
④ α∥β．
A．③④ 　 B．②③
C．①④ 　 D．①②
C　[只有線(xiàn)線(xiàn)平行，面面平行具有傳遞性．①④正確，故選C．]
√
5．正方體ABCD-A1B1C1D1中，二面角D1-AB-D的大小是(　　)
A．30° 　 B．45°
C．60° 　 D．90°
B　[由正方體可證得二面角D1-AB-D的平面角即∠D1AD，由正方形D1A1AD可知∠D1AD＝45°，故選B．]
√
6．設(shè)m，n表示直線(xiàn)，α，β，γ表示平面，給出下列三個(gè)命題：
(1)若α∩β＝m，n α，n⊥m，則n⊥β；
(2)若α⊥β，α∩γ＝m，β∩γ＝n，則n⊥m；
(3)若m⊥α，n⊥β，m⊥n，則α⊥β．
其中正確的命題為(　　)
A．(1)(2) 　 B．(3)
C．(2)(3) 　 D．(1)(2)(3)
√
B　[對(duì)于(1)，依據(jù)線(xiàn)面垂直的判定定理，一條直
線(xiàn)垂直于一個(gè)平面內(nèi)的兩條相交直線(xiàn)，才能得到
該直線(xiàn)與此平面垂直，而n只與β內(nèi)的一條直線(xiàn)
m垂直，不能得到n⊥β，故(1)不正確；對(duì)于(2)，
如圖所示，在長(zhǎng)方體ABCD-A′B′C′D′中，平面DCC′D′⊥平面ABCD，平面ABC′D′與平面DCC′D′的交線(xiàn)為C′D′，與平面ABCD的交線(xiàn)為AB，但C′D′∥AB，故(2)不正確；對(duì)于(3)，由于m⊥α，m⊥n，則n在平面α內(nèi)或n∥α．若n在平面α內(nèi)，由n⊥β可得α⊥β；若n∥α，過(guò)n作平面與α交于直線(xiàn)l，則n∥l，由n⊥β得l⊥β，從而α⊥β．故(3)正確．故選B．]
7．設(shè)有直線(xiàn)m，n和平面α，β，則下列命題中正確的是(　　)
A．若m⊥n，m α，n β，則α⊥β
B．若m∥n，n⊥β，m α，則α⊥β
C．若m∥n，m⊥α，n⊥β，則α⊥β
D．若m⊥n，α∩β＝m，n α，則α⊥β
B　[m∥n，n⊥β，可知m⊥β，又m α所以α⊥β，∴B正確．]
√
二、填空題
8．在一個(gè)二面角的一個(gè)平面內(nèi)有一個(gè)點(diǎn)，它到棱的距離等于它到另一個(gè)面的距離的兩倍，則這個(gè)二面角的度數(shù)是________．
30°　[設(shè)這個(gè)二面角的平面角為α，則sin α＝，由條件可知二面角是銳角，所以α＝30°．]
30°
9．如圖，矩形ABCD中，AB＝1，BC＝2，PA⊥平面ABCD，點(diǎn)Q是BC的中點(diǎn)，則平面PDQ與平面PAQ關(guān)系為_(kāi)_______．
垂直
垂直　[由條件可以求得AQ＝DQ＝，又因?yàn)锳D＝2，所以可得AQ⊥DQ，又因?yàn)镻A⊥平面ABCD，DQ 平面ABCD，所以PA⊥DQ，所以DQ⊥平面PAQ．又因?yàn)镈Q 平面PDQ，從而可得平面PAQ⊥平面PDQ．]
10．若將邊長(zhǎng)為1的正方形ABCD沿對(duì)角線(xiàn)AC折成60°的二面角，則B，D兩點(diǎn)間的距離等于________．
　[連接BD(圖略)可得一個(gè)正三角形，邊長(zhǎng)等于正方形對(duì)角線(xiàn)長(zhǎng)的一半．]
11．如圖，四邊形ABCD是矩形，且PD⊥平面ABCD，AD＝PD，則平面PAB與平面ABCD所成的二面角的平面角是________．
45°　[因?yàn)镻D⊥平面ABCD，所以PD⊥AB，又AD⊥AB，PD∩AD＝D，所以AB⊥平面PAD，則∠PAD為平面PAB與平面ABCD所成的二面角的平面角．又tan ∠PAD＝＝1，所以∠PAD＝45°．]
45°
12．已知在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥底面ABCD，PA＝3，AB＝2，BC＝，則二面角P-BD-A的正切值為_(kāi)_______．
　[過(guò)A作AH⊥BD于H，連接PH(圖略)，∵PA⊥底面ABCD，∴∠PHA為二面角P-BD-A的平面角．在矩形ABCD中，AH＝，在Rt△PAH中，tan ∠PHA＝＝，∴二面角P-BD-A的正切值為．]
三、解答題
13．如圖，在四棱錐P-ABCD中，點(diǎn)E為PA的中點(diǎn)，點(diǎn)F為BC的中點(diǎn)，底面ABCD是平行四邊形，對(duì)角線(xiàn)AC，BD交于點(diǎn)O．
求證：平面EFO∥平面PCD．
[解析]　證明：因?yàn)樗倪呅蜛BCD是平行四邊形，AC∩BD＝O，所以點(diǎn)O為BD的中點(diǎn)．
又因?yàn)辄c(diǎn)F為BC的中點(diǎn)，所以O(shè)F∥CD．
又OF 平面PCD，CD 平面PCD，所以O(shè)F∥平面PCD，
因?yàn)辄c(diǎn)O，E分別是AC，PA的中點(diǎn)，所以O(shè)E∥PC，
又OE 平面PCD，PC 平面PCD，
所以O(shè)E∥平面PCD．又OE 平面EFO，OF 平面EFO，
且OE∩OF＝O，所以平面EFO∥平面PCD．
THANKS9.7　平面與平面的位置關(guān)系
1．兩個(gè)平面之間的位置關(guān)系
(1)位置關(guān)系：平行和相交
(2)符號(hào)表示：兩個(gè)平面α，β平行，記為α∥β；兩個(gè)平面α，β相交于直線(xiàn)l，記為_(kāi)_________．
2．平面與平面平行
(1)平面與平面平行的判定定理
如果一個(gè)平面內(nèi)有兩條____直線(xiàn)分別平行于另一個(gè)平面，那么這兩個(gè)平面平行．
符號(hào)表示：a β，b β，__________，a∥α，b∥α α∥β．
(2)推論
如果一個(gè)平面內(nèi)有________直線(xiàn)分別平行于另一個(gè)平面內(nèi)的兩條直線(xiàn)，則這兩個(gè)平面平行．
符號(hào)表示：若a α，b α，a∩b＝P，
a′ β，b′ β，a∥a′，b∥b′，則α∥β．
注意：如果兩個(gè)平面平行，一個(gè)平面內(nèi)的直線(xiàn)與另一個(gè)平面內(nèi)的直線(xiàn)的位置關(guān)系：平行或異面．
(3)平面與平面平行的性質(zhì)定理
如果兩個(gè)平行平面同時(shí)與第三個(gè)平面相交，那么它們的____平行．
符號(hào)表示為：α∥β，γ∩α＝a，γ∩β＝b ______．
注：如果兩個(gè)平面平行，那么其中一個(gè)平面內(nèi)的直線(xiàn)平行于另一個(gè)平面．
(4)平行平面間的距離
平行平面的公垂線(xiàn)：與兩個(gè)平行平面都垂直的直線(xiàn)，稱(chēng)為這兩個(gè)平行平面的公垂線(xiàn)．公垂線(xiàn)夾在這兩個(gè)平行平面間的線(xiàn)段，稱(chēng)為這兩個(gè)平行平面的________．兩個(gè)平行平面的________的長(zhǎng)度，稱(chēng)為兩個(gè)平行平面間的距離．
注：夾在兩個(gè)平行平面之間的平行線(xiàn)段相等．
如果一條直線(xiàn)垂直于兩個(gè)平行平面中的一個(gè)平面，那么它垂直于另一個(gè)平面．
(5)平面平行的傳遞性
若α∥β，β∥γ，則______．
3．平面與平面相交
(1)二面角
①二面角的定義
平面內(nèi)的一條直線(xiàn)把這個(gè)平面分成兩個(gè)部分，其中的每一部分都稱(chēng)為_(kāi)_____．從一條直線(xiàn)出發(fā)的兩個(gè)半平面所組成的____稱(chēng)為二面角．這條直線(xiàn)稱(chēng)為二面角的__，這兩個(gè)半平面稱(chēng)為二面角的__．棱為l，半平面分別為α，β的二面角，記作二面角α-l-β．如圖．
②二面角的平面角
如圖，在二面角α-l-β的棱l上任取一點(diǎn)O，以點(diǎn)O為垂足，在半平面α和β內(nèi)分別作垂直于棱l的射線(xiàn)OA和OB，則射線(xiàn)OA和OB構(gòu)成的∠AOB稱(chēng)為二面角的平面角．
規(guī)定：二面角的大小用它的________來(lái)度量，二面角的范圍是__________，平面角是直角的二面角稱(chēng)為_(kāi)_______．
(2)平面與平面垂直
①平面與平面垂直定義
兩個(gè)平面相交，如果它們成的二面角是________，那么這兩個(gè)平面互相垂直．平面α與平面β垂直，記作______．
②平面與平面垂直的判定定理
如果一個(gè)平面經(jīng)過(guò)另一個(gè)平面的________，那么這兩個(gè)平面互相垂直．
符號(hào)表示為：l⊥α，______ β⊥α．
③平面與平面垂直的性質(zhì)定理
如果兩個(gè)平面互相垂直，那么在一個(gè)平面內(nèi)垂直于它們____的直線(xiàn)垂直于另一個(gè)平面．
符號(hào)表示：α⊥β，α∩β＝l，______，______ a⊥β．
注：過(guò)平面外一點(diǎn)有無(wú)數(shù)個(gè)平面與已知平面垂直；
垂直于同一個(gè)平面的兩個(gè)平面不一定平行；
平行于同一個(gè)平面的兩個(gè)平面平行；
過(guò)平面外一點(diǎn)有且只有一個(gè)平面與已知平面平行．
1．如果一條直線(xiàn)與兩個(gè)平行平面中的一個(gè)平行，那么這條直線(xiàn)與另一個(gè)平面的位置關(guān)系為(　　)
A．平行
B．直線(xiàn)在平面內(nèi)
C．相交或直線(xiàn)在平面內(nèi)
D．平行或直線(xiàn)在平面內(nèi)
2．如果直線(xiàn)a 平面α，直線(xiàn)b 平面β，且α∥β，則a與b(　　)
A．共面
B．平行
C．是異面直線(xiàn)
D．可能平行，也可能是異面直線(xiàn)
3．若平面α∥平面β，直線(xiàn)a α，點(diǎn)B∈β，則在平面β內(nèi)過(guò)點(diǎn)B的所有直線(xiàn)中(　　)
A．不一定存在與a平行的直線(xiàn)
B．只有兩條與a平行的直線(xiàn)
C．存在無(wú)數(shù)條與a平行的直線(xiàn)
D．存在唯一一條與a平行的直線(xiàn)
4．下列命題中，錯(cuò)誤的命題是 (　　)
A．平行于同一直線(xiàn)的兩個(gè)平面平行
B．平行于同一平面的兩個(gè)平面平行
C．平行于同一平面的兩直線(xiàn)關(guān)系不確定
D．兩平面平行，一平面內(nèi)的直線(xiàn)必平行于另一平面
題型1：平面與平面的位置關(guān)系
例1　 下列命題中，正確的命題的個(gè)數(shù)有(　　)
①如果一個(gè)平面內(nèi)的兩條直線(xiàn)平行于另一個(gè)平面，那么這兩個(gè)平面平行；
②如果一個(gè)平面內(nèi)的任何一條直線(xiàn)都平行于另一個(gè)平面，那么這兩個(gè)平面平行；
③分別在兩個(gè)平行平面內(nèi)的兩條直線(xiàn)平行；
④已知兩個(gè)平行平面中的一個(gè)平面內(nèi)有一條直線(xiàn)，則在另一個(gè)平面內(nèi)有且只有一條直線(xiàn)與已知直線(xiàn)平行．
A．1個(gè) 　 B．2個(gè)
C．3個(gè) 　 D．4個(gè)
A　[根據(jù)判定定理必須是一個(gè)平面內(nèi)的兩條相交直線(xiàn)平行于另一個(gè)平面，兩平面才平行，反之，兩平面平行，一個(gè)平面內(nèi)的任何一條直線(xiàn)都平行于另一個(gè)平面，于是它平行于另一平面內(nèi)無(wú)數(shù)條直線(xiàn)．故只有②正確．故選A．]
點(diǎn)撥：熟記面面平行的判定和性質(zhì)．
若平面α⊥平面β，且平面α內(nèi)的一條直線(xiàn)a垂直于平面β內(nèi)的一條直線(xiàn)b，則 (　　)
A．直線(xiàn)a必垂直于平面β
B．直線(xiàn)b必垂直于平面α
C．直線(xiàn)a不一定垂直于平面β
D．過(guò)a的平面與過(guò)b的平面垂直
題型2：平面與平面平行
例2　如圖所示，四棱錐P-ABCD的底面ABCD為矩形，E，F(xiàn)，H分別為AB，CD，PD的中點(diǎn)．求證：平面AFH∥平面PCE．
[解析]　因?yàn)镕為CD的中點(diǎn)，H為PD的中點(diǎn)，
所以FH∥PC，所以FH∥平面PCE．
又AE∥CF且AE＝CF，
所以四邊形AECF為平行四邊形，
所以AF∥CE，所以AF∥平面PCE．
由FH 平面AFH，AF 平面AFH，F(xiàn)H∩AF＝F，
所以平面AFH∥平面PCE．
點(diǎn)撥：證明平面與平面平行，需要證明在其中一個(gè)平面內(nèi)兩條相交直線(xiàn)與另一個(gè)平面分別平行，用直線(xiàn)與平面平行的判定定理和方法先證線(xiàn)面平行．
如圖所示，在三棱錐P-ABC中．F，G，H分別是AC，PC，BC的中點(diǎn)，且PA＝PB，AC＝BC．
求證： 平面PAB∥平面FGH．
題型3：平面與平面垂直
例3　如圖所示，已知棱長(zhǎng)為1的正方體ABCD-A1B1C1D1．
求證：平面C1BD⊥平面A1B1CD．
[解析]　證明：∵CD⊥平面
B1BCC1，且BC1 平面B1BCC1，
∴CD⊥BC1，又∵在正方形B1BCC1中，B1C⊥BC1，
且B1C∩CD＝C，B1C 平面A1B1CD，
CD 平面A1B1CD，∴BC1⊥平面A1B1CD，
又∵BC1 平面C1BD，∴平面C1BD⊥平面A1B1CD．
點(diǎn)撥：要證面面垂直就要轉(zhuǎn)化為證線(xiàn)面垂直，其關(guān)鍵是在其中一個(gè)平面內(nèi)尋找一條直線(xiàn)與另一個(gè)平面垂直．
如圖，AB是⊙O的直徑，PA垂直于⊙O所在的平面，C是圓周上異于A，B的任意一點(diǎn)，求證：平面PAC⊥平面PBC．
題型4：二面角
例4如圖所示，已知正三棱柱ABC-A1B1C1的底面邊長(zhǎng)和側(cè)棱長(zhǎng)都是1．求：二面角C1-AB-C的正切值．
[解析]　取AB中點(diǎn)D，連接CD，C1D，∵AC1＝BC1，AC＝BC，點(diǎn)D是AB 的中點(diǎn)，
∴C1D⊥AB，CD⊥AB，
∴∠CDC1就是二面角C1-AB-C的平面角，
∵△ABC是等邊三角形，且邊長(zhǎng)為1，
∴CD＝．
在Rt△C1CD中，CC1＝1，CD＝，
∴tan ∠CDC1＝＝，
∴二面角C1-AB-C的正切值為．
點(diǎn)撥：求二面角的大小，關(guān)鍵是找到二面角的平面角．
在正方形ABCD所在平面外有一點(diǎn)P，PA⊥平面ABCD，AB＝PA，求二面角P-BD-A的余弦值．
一、選擇題
1．已知直線(xiàn)a，b，平面α，β，a α，b α，則“a∥β，b∥β”是“α∥β”的 (　　)
A．充分不必要條件
B．必要不充分條件
C．充分必要條件
D．既不充分也不必要條件
2．下列說(shuō)法正確的是(　　)
①如果一個(gè)平面內(nèi)的兩條直線(xiàn)分別平行于另一個(gè)平面內(nèi)的兩條直線(xiàn)，那么這兩個(gè)平面平行；
②如果一個(gè)平面內(nèi)的兩條相交直線(xiàn)分別平行于另一個(gè)平面內(nèi)的兩條相交直線(xiàn)，那么這兩個(gè)平面平行；
③分別在兩個(gè)平行平面內(nèi)的兩條直線(xiàn)互相平行；
④過(guò)平面外一點(diǎn)有且僅有一個(gè)平面與已知平面平行．
A．①② 　 B．②③
C．①④ 　 D．②④
3．已知直線(xiàn)a與平面α，β，γ，能使α∥β的充分條件是(　　)
①α⊥γ，β⊥γ；②α∥γ，β∥γ；③a∥α，a∥β；④a⊥α，a⊥β．
A．①② 　 B．②③
C．①④ 　 D．②④
4．已知α，β，γ為三個(gè)不重合的平面，a，b，c為三條不同的直線(xiàn)，則有下列命題，正確的是(　　)
① a∥b；　② a∥b；　③ α∥β；　④ α∥β．
A．③④ 　 B．②③
C．①④ 　 D．①②
5．正方體ABCD-A1B1C1D1中，二面角D1-AB-D的大小是(　　)
A．30° 　 B．45°
C．60° 　 D．90°
6．設(shè)m，n表示直線(xiàn)，α，β，γ表示平面，給出下列三個(gè)命題：
(1)若α∩β＝m，n α，n⊥m，則n⊥β；
(2)若α⊥β，α∩γ＝m，β∩γ＝n，則n⊥m；
(3)若m⊥α，n⊥β，m⊥n，則α⊥β．
其中正確的命題為(　　)
A．(1)(2) 　 B．(3)
C．(2)(3) 　 D．(1)(2)(3)
7．設(shè)有直線(xiàn)m，n和平面α，β，則下列命題中正確的是 (　　)
A．若m⊥n，m α，n β，則α⊥β
B．若m∥n，n⊥β，m α，則α⊥β
C．若m∥n，m⊥α，n⊥β，則α⊥β
D．若m⊥n，α∩β＝m，n α，則α⊥β
二、填空題
8．在一個(gè)二面角的一個(gè)平面內(nèi)有一個(gè)點(diǎn)，它到棱的距離等于它到另一個(gè)面的距離的兩倍，則這個(gè)二面角的度數(shù)是________．
9．如圖，矩形ABCD中，AB＝1，BC＝2，PA⊥平面ABCD，點(diǎn)Q是BC的中點(diǎn)，則平面PDQ與平面PAQ關(guān)系為_(kāi)_______．
10．若將邊長(zhǎng)為1的正方形ABCD沿對(duì)角線(xiàn)AC折成60°的二面角，則B，D兩點(diǎn)間的距離等于________．
11．如圖，四邊形ABCD是矩形，且PD⊥平面ABCD，AD＝PD，則平面PAB與平面ABCD所成的二面角的平面角是________．
12．已知在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥底面ABCD，PA＝3，AB＝2，BC＝，則二面角P-BD-A的正切值為_(kāi)_______．
三、解答題
13．如圖，在四棱錐P-ABCD中，點(diǎn)E為PA的中點(diǎn)，點(diǎn)F為BC的中點(diǎn)，底面ABCD是平行四邊形，對(duì)角線(xiàn)AC，BD交于點(diǎn)O．
求證：平面EFO∥平面PCD．
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