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第01講 空間幾何體的結構特征、表面積與體積
(
考綱導向
小
)
考點要求 考題統計 考情分析
(1) 空間幾何體的結構特征 (2) 空間幾何體的表面積和體積 2024年I卷5分2024年甲卷5分2024年天津卷5分2024年北京卷5分2023年I卷10分2023年乙卷5分2023年甲卷5分2023年天津卷5分
（1）本講為新高考命題熱點，題型以選擇題、填空題為主，近兩年考查頻率頗高； （2）重點是空間幾何體的結構特征和空間幾何體的表面積和體積，主要考查柱、錐、臺、球及簡單組合體的結構特征，球、柱體、錐體、棱臺、圓臺的表面積和體積的計算公式，用斜二測畫法畫出簡單的空間圖形的直觀圖.
(
考試要求
小
)
1、認識柱、錐、臺、球及簡單組合體的結構特征，能運用這些特征描述現實生活中簡單物體的結構；
2、知道球、柱體、錐體、棱臺、圓臺的表面積和體積的計算公式，并能解決簡單的實際問題；
3、能用斜二測畫法畫出簡單的空間圖形的直觀圖.
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考點突破考綱解讀
)
(
考點梳理
小
)
知識點1: 三視圖
1、三視圖
（1）三視圖包括正視圖、側視圖、俯視圖；
（2）基本要求：長對正，高平齊，寬相等；
知識點2: 直觀圖
1、直觀圖
斜二測畫法直觀圖面積與原圖形面積的的關系：，；
知識點3: 表面積和體積公式
1、簡單幾何體的表面積和體積
(
題型展示
小
)
題型一: 空間幾何體的結構特征
【例1】在梯形中，，，.將梯形繞所在直線旋轉一周而形成的曲面所圍成的幾何體的體積為（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
由題意可知旋轉后的幾何體如圖:
直角梯形ABCD繞AD所在的直線旋轉一周而形成的曲面所圍成的幾何體是一個底面半徑為1，母線長為2的圓柱挖去一個底面半徑同樣是1、高為1的圓錐后得到的組合體，
該組合體的體積為；答案為C.
【變式1】如圖所示，正方體的棱長為2，以其所有面的中心為頂點的多面體的體積為 ．

【答案】
【解析】
由圖可知，該多面體為兩個全等正四棱錐的組合體，正四棱錐的高為1，
底面正方形的邊長等于，該多面體的體積為
題型二: 求空間幾何體的體積
【例2】（2024·全國新Ⅰ卷）已知圓柱和圓錐的底面半徑相等，側面積相等，且它們的高均為，則圓錐的體積為（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
設圓柱的底面半徑為，則圓錐的母線長為，
它們的側面積相等，即，
，故圓錐的體積為；答案為B.
【變式2】南水北調工程緩解了北方一些地區水資源短缺問題，其中一部分水蓄入某水庫.已知該水庫水位為海拔時，相應水面的面積為；水位為海拔時，相應水面的面積為，將該水庫在這兩個水位間的形狀看作一個棱臺，則該水庫水位從海拔上升到時，增加的水量約為（）（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
依題意可知棱臺的高為(m)，增加的水量即為棱臺的體積．
棱臺上底面積，下底面積，
∴
．
答案為：C．
題型三: 求空間幾何體的表面積
【例3】已知圓錐的底面半徑為，其側面展開圖為一個半圓，則該圓錐的母線長為（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
設圓錐的母線長為，由于圓錐底面圓的周長等于扇形的弧長，
則，解得；答案為B.
【變式3】已知一個圓錐的底面半徑為6，其體積為則該圓錐的側面積為 .
【答案】
【解析】
∵∴∴
∴.故答案為：.
(
考場演練
)
【真題1】（2024·全國新Ⅰ卷）已知圓柱和圓錐的底面半徑相等，側面積相等，且它們的高均為，則圓錐的體積為（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
設圓柱的底面半徑為，則圓錐的母線長為，
它們的側面積相等，即，
，故圓錐的體積為；答案為B.
【真題2】（2024·天津）一個五面體．已知，且兩兩之間距離為1．并已知．則該五面體的體積為（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
用一個完全相同的五面體（頂點與五面體一一對應）與該五面體相嵌，
使得；;重合，，且兩兩之間距離為1．，
則形成的新組合體為一個三棱柱，
該三棱柱的直截面（與側棱垂直的截面）為邊長為1的等邊三角形，側棱長，
；答案為C.
【真題3】（2024·全國甲卷）已知圓臺甲、乙的上底面半徑均為,下底面半徑均為，圓臺的母線長分別為,，則圓臺甲與乙的體積之比為 ．
【答案】
【解析】
由題可得兩個圓臺的高分別為，
；故答案為.
【真題4】（2024·北京）漢代劉歆設計的“銅嘉量”是龠、合、升、斗、斛五量合一的標準量器，其中升量器、斗量器、斛量器的形狀均可視為圓柱.若升、斗、斛量器的容積成公比為10的等比數列，底面直徑依次為 ，且斛量器的高為，則斗量器的高為 ，升量器的高為 ．
【答案】 23 ；57.5/.
【解析】
設升量器的高為，斗量器的高為（單位都是），則，
故，；故答案為.
【真題5】（2023·全國甲卷）在三棱錐中，是邊長為2的等邊三角形，，則該棱錐的體積為（ ）
A．1 B． C．2 D．3
【答案】A
【解析】
取中點，連接，如圖，
是邊長為2的等邊三角形，，
，又平面，，平面，
又，，，即，
；答案為：A
【真題6】（2023·全國乙卷）已知圓錐PO的底面半徑為，O為底面圓心，PA，PB為圓錐的母線，，若的面積等于，則該圓錐的體積為（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
在中，，而，取中點，連接，有，
，，由的面積為，得，
解得，于是，
圓錐的體積；答案為B.
【真題7】（2023·全國新Ⅰ卷）下列物體中，能夠被整體放入棱長為1（單位：m）的正方體容器（容器壁厚度忽略不計）內的有（ ）
A．直徑為的球體
B．所有棱長均為的四面體
C．底面直徑為，高為的圓柱體
D．底面直徑為，高為的圓柱體
【答案】ABD
【解析】
對A：，即球體的直徑小于正方體的棱長，能夠被整體放入正方體內，A正確；
對B：正方體的面對角線長為，且，能夠被整體放入正方體內，B正確；
對C：正方體的體對角線長為，且，不能夠被整體放入正方體內，C錯；
對D：，可知底面正方形不能包含圓柱的底面圓，
如圖，過的中點作，設，
可知，則，
即，解得，且，即，
故以為軸可能對稱放置底面直徑為圓柱，
若底面直徑為的圓柱與正方體的上下底面均相切，
設圓柱的底面圓心，與正方體的下底面的切點為，
可知：，則，即，解得，
根據對稱性可知圓柱的高為，
能夠被整體放入正方體內，故D正確；答案為ABD.
【真題8】（2023·天津）在三棱錐中，點M,N分別在棱PC,PB上，且，，則三棱錐和三棱錐的體積之比為（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
如圖，分別過作,垂足分別為，
過作平面，垂足為，連接,過作,垂足為，
平面，平面，平面平面.
又平面平面，，平面，平面，且.
在中，，，，
在中，，，；答案為B.
【真題9】（2023·全國新Ⅰ卷）在正四棱臺中，，則該棱臺的體積為 ．
【答案】/
【解析】
如圖，過作，垂足為，易知為四棱臺的高，
，
，
，則，
；故答案為：.
【真題10】（2023·全國甲卷）已知四棱錐的底面是邊長為4的正方形，，則的面積為（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
連結交于，連結，則為的中點，如圖，
底面為正方形，，，則，
又，，，則，
又，，，則，
在中，，
則由余弦定理可得，
故，則，在中，，
，
又，所以，
的面積為.
21世紀教育網 www.21cnjy.com 精品試卷·第 2 頁 （共 2 頁）
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第01講 空間幾何體的結構特征、表面積與體積
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考綱導向
小
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考點要求 考題統計 考情分析
(1) 空間幾何體的結構特征 (2) 空間幾何體的表面積和體積 2024年I卷5分2024年甲卷5分2024年天津卷5分2024年北京卷5分2023年I卷10分2023年乙卷5分2023年甲卷5分2023年天津卷5分
（1）本講為新高考命題熱點，題型以選擇題、填空題為主，近兩年考查頻率頗高； （2）重點是空間幾何體的結構特征和空間幾何體的表面積和體積，主要考查柱、錐、臺、球及簡單組合體的結構特征，球、柱體、錐體、棱臺、圓臺的表面積和體積的計算公式，用斜二測畫法畫出簡單的空間圖形的直觀圖.
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考試要求
小
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1、認識柱、錐、臺、球及簡單組合體的結構特征，能運用這些特征描述現實生活中簡單物體的結構；
2、知道球、柱體、錐體、棱臺、圓臺的表面積和體積的計算公式，并能解決簡單的實際問題；
3、能用斜二測畫法畫出簡單的空間圖形的直觀圖.
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考點突破考綱解讀
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考點梳理
小
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知識點1: 三視圖
1、三視圖
（1）三視圖包括 、 、俯視圖；
（2）基本要求： ， ，寬相等；
知識點2: 直觀圖
1、直觀圖
斜二測畫法直觀圖面積與原圖形面積的的關系： ，；
知識點3: 表面積和體積公式
1、簡單幾何體的表面積和體積
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題型展示
小
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題型一: 空間幾何體的結構特征
【例1】在梯形中，，，.將梯形繞所在直線旋轉一周而形成的曲面所圍成的幾何體的體積為（ ）
A． B． C． D．
【變式1】如圖所示，正方體的棱長為2，以其所有面的中心為頂點的多面體的體積為 ．

題型二: 求空間幾何體的體積
【例2】（2024·全國新Ⅰ卷）已知圓柱和圓錐的底面半徑相等，側面積相等，且它們的高均為，則圓錐的體積為（ ）
A． B． C． D．
【變式2】南水北調工程緩解了北方一些地區水資源短缺問題，其中一部分水蓄入某水庫.已知該水庫水位為海拔時，相應水面的面積為；水位為海拔時，相應水面的面積為，將該水庫在這兩個水位間的形狀看作一個棱臺，則該水庫水位從海拔上升到時，增加的水量約為（）（ ）
A． B． C． D．
題型三: 求空間幾何體的表面積
【例3】已知圓錐的底面半徑為，其側面展開圖為一個半圓，則該圓錐的母線長為（ ）
A． B． C． D．
【變式3】已知一個圓錐的底面半徑為6，其體積為則該圓錐的側面積為 .
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考場演練
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【真題1】（2024·全國新Ⅰ卷）已知圓柱和圓錐的底面半徑相等，側面積相等，且它們的高均為，則圓錐的體積為（ ）
A． B． C． D．
【真題2】（2024·天津）一個五面體．已知，且兩兩之間距離為1．并已知．則該五面體的體積為（ ）
A． B． C． D．
【真題3】（2024·全國甲卷）已知圓臺甲、乙的上底面半徑均為,下底面半徑均為，圓臺的母線長分別為,，則圓臺甲與乙的體積之比為 ．
【真題4】（2024·北京）漢代劉歆設計的“銅嘉量”是龠、合、升、斗、斛五量合一的標準量器，其中升量器、斗量器、斛量器的形狀均可視為圓柱.若升、斗、斛量器的容積成公比為10的等比數列，底面直徑依次為 ，且斛量器的高為，則斗量器的高為 ，升量器的高為 ．
【真題5】（2023·全國甲卷）在三棱錐中，是邊長為2的等邊三角形，，則該棱錐的體積為（ ）
A．1 B． C．2 D．3
【真題6】（2023·全國乙卷）已知圓錐PO的底面半徑為，O為底面圓心，PA，PB為圓錐的母線，，若的面積等于，則該圓錐的體積為（ ）
A． B． C． D．
【真題7】（2023·全國新Ⅰ卷）下列物體中，能夠被整體放入棱長為1（單位：m）的正方體容器（容器壁厚度忽略不計）內的有（ ）
A．直徑為的球體
B．所有棱長均為的四面體
C．底面直徑為，高為的圓柱體
D．底面直徑為，高為的圓柱體
【真題8】（2023·天津）在三棱錐中，點M,N分別在棱PC,PB上，且，，則三棱錐和三棱錐的體積之比為（ ）
A． B． C． D．
【真題9】（2023·全國新Ⅰ卷）在正四棱臺中，，則該棱臺的體積為 ．
【真題10】（2023·全國甲卷）已知四棱錐的底面是邊長為4的正方形，，則的面積為（ ）
A． B． C． D．
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