資源簡(jiǎn)介

7.3*　復(fù)數(shù)的三角表示
7.3.1　復(fù)數(shù)的三角表示式
7.3.2　復(fù)數(shù)乘、除運(yùn)算的三角表示及其幾何意義
【學(xué)習(xí)目標(biāo)】
　　1.通過(guò)復(fù)數(shù)的幾何意義,了解復(fù)數(shù)的三角表示,了解輻角、輻角的主值的概念.
　　2.了解復(fù)數(shù)的代數(shù)表示與三角表示之間的關(guān)系,會(huì)進(jìn)行復(fù)數(shù)的代數(shù)表示式和三角表示式之間的互化.
　　3.了解復(fù)數(shù)三角形式的乘、除運(yùn)算法則,并能夠進(jìn)行簡(jiǎn)單運(yùn)算.
　　4.了解復(fù)數(shù)三角表示的幾何意義,并能夠進(jìn)行簡(jiǎn)單應(yīng)用.
◆ 知識(shí)點(diǎn)一　復(fù)數(shù)的三角表示式
1.定義:如圖,一般地,任何一個(gè)復(fù)數(shù)z=a+bi(a,b∈R)都可以表示成r(cos θ+isin θ)的形式.其中,r是復(fù)數(shù)z的　　　　;θ是以x軸的非負(fù)半軸為始邊,向量所在射線(xiàn)(射線(xiàn)OZ)為終邊的角,叫作復(fù)數(shù)z=a+bi的　　　　.r(cos θ+isin θ)叫作復(fù)數(shù)z=a+bi的三角表示式,簡(jiǎn)稱(chēng)　　　　　　.為了與三角形式區(qū)分開(kāi)來(lái),a+bi叫作復(fù)數(shù)的代數(shù)表示式,簡(jiǎn)稱(chēng)　　　　　　.
2.輻角的主值:規(guī)定在　　　　　范圍內(nèi)的輻角θ的值為輻角的主值,記作　　　　,即0≤arg z<2π.
3.兩個(gè)非零復(fù)數(shù)相等當(dāng)且僅當(dāng)它們的模與　　　　　　分別相等.
◆ 知識(shí)點(diǎn)二　復(fù)數(shù)三角形式的乘、除法運(yùn)算及
其幾何意義
1.復(fù)數(shù)三角形式的乘法運(yùn)算與除法運(yùn)算
若z1=r1(cos θ1+isin θ1),z2=r2(cos θ2+isin θ2),且z2≠0,則
(1)z1z2=r1(cos θ1+isin θ1)·r2(cos θ2+isin θ2)=　　　　　　　　　　　　　　.
(2)==　.
乘法規(guī)則:兩個(gè)復(fù)數(shù)相乘,積的模等于各復(fù)數(shù)的模的積,積的輻角等于各復(fù)數(shù)的輻角的和.
除法規(guī)則:兩個(gè)復(fù)數(shù)相除,商的模等于被除數(shù)的模除以除數(shù)的模所得的商,商的輻角等于被除數(shù)的輻角減去除數(shù)的輻角所得的差.
2.復(fù)數(shù)三角表示乘法、除法的幾何意義
乘法的幾何意義:兩個(gè)復(fù)數(shù)z1,z2相乘時(shí),如圖所示,畫(huà)出與z1,z2對(duì)應(yīng)的向量,,然后把向量繞點(diǎn)O按　　　　時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)角　　　(如果θ2<0,就要把繞點(diǎn)O按順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)角　　　　),再把它的模變?yōu)樵瓉?lái)的　　　　倍,得到向量,表示的復(fù)數(shù)就是積z1z2.
類(lèi)比復(fù)數(shù)乘法的幾何意義,復(fù)數(shù)除法的幾何意義如下:
除法的幾何意義:兩個(gè)復(fù)數(shù)z1,z2(z2≠0)進(jìn)行除法運(yùn)算時(shí),如圖所示,畫(huà)出與z1,z2對(duì)應(yīng)的向量,,然后把向量繞點(diǎn)O按　　　　時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)角　　　　(如果θ2<0,就要把繞點(diǎn)O按逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)角　　　　),再把它的模變?yōu)樵瓉?lái)的　　　　,得到向量,表示的復(fù)數(shù)就是.
【診斷分析】 判斷下列說(shuō)法的正誤.(正確的打“√”,錯(cuò)誤的打“×”)
(1)若z1=r1(cos θ1+isin θ1),z2=r2(cos θ2-isin θ2),則z1z2=r1r2[cos(θ1+θ2)+isin(θ1+θ2)]. (　 )
(2)若z1=2,z2=2,則z1z2的輻角的主值是. (　 )
(3)若z1=r1(cos θ1+isin θ1),z2=r2(cos θ2+isin θ2),z1≠0,則=[cos(θ2-θ1)+isin(θ2-θ1)]. (　 )
(4)若z1=2,z2=2,則的輻角的主值是. (　 )
◆ 探究點(diǎn)一　復(fù)數(shù)三角形式的有關(guān)概念
例1 (1)下列復(fù)數(shù)中是用三角形式表示的是 (　 )　　　　　 　　　　　 　　　　　
A.2(cos α-isin α)
B.2(sin α+icos α)
C.-2(cos α+isin α)
D.2[cos(-α)+isin (-α)]
(2)復(fù)數(shù)z=cos+isin 的輻角的主值是 (　 )
A. B.
C.- D.-
(3)復(fù)數(shù)z=-sin 100°+icos 100°的輻角的主值是　　　　.
[素養(yǎng)小結(jié)]
要嚴(yán)格按照復(fù)數(shù)的三角表示式來(lái)判斷復(fù)數(shù)的三角形式和求解復(fù)數(shù)的輻角的主值.對(duì)于不是以復(fù)數(shù)的三角形式表示的式子,要根據(jù)復(fù)數(shù)三角形式的定義將其轉(zhuǎn)化,再進(jìn)一步判斷.
◆ 探究點(diǎn)二　復(fù)數(shù)的代數(shù)形式與三角形式的互化
例2 畫(huà)出下列復(fù)數(shù)所對(duì)應(yīng)的向量,并把這些復(fù)數(shù)表示成三角形式.
(1)1+i;(2)-+i.
例3 分別指出下列復(fù)數(shù)的模和一個(gè)輻角,畫(huà)出它們對(duì)應(yīng)的向量,并把這些復(fù)數(shù)表示成代數(shù)形式.
(1)cos+isin;(2)2.
變式 (1)復(fù)數(shù)+i的三角形式是 (　 )　　　　　 　　　　　 　　　　　
A.cos+isin B.sin+icos
C.cos+isin D.sin+icos
(2)復(fù)數(shù)z=4的代數(shù)形式為 (　 )
A.z=2+2i　
B.z=-2+2i
C.z=2-2i
D.z=-2-2i
[素養(yǎng)小結(jié)]
1.將復(fù)數(shù)的代數(shù)形式z=a+bi(a,b∈R)化為三角形式z=r(cos θ+isin θ)時(shí),要注意:
(1)r=;
(2)cos θ=,sin θ=,其中角θ的終邊所在象限與點(diǎn)(a,b)所在象限相同.當(dāng)a=0,b>0時(shí),arg z=.
2.將復(fù)數(shù)的三角形式r(cos θ+isin θ)化為代數(shù)形式a+bi(a,b∈R)時(shí),a=rcos θ,b=rsin θ.
◆ 探究點(diǎn)三　復(fù)數(shù)的乘除法運(yùn)算的三角表示
例4 計(jì)算下列復(fù)數(shù),并將結(jié)果化為代數(shù)形式.
(1)×;
(2)8÷.
變式 計(jì)算:(1)(cos 60°-isin 240°)×6(cos 30°-isin 210°)=　　　　;
(2)2×4=　　　　;
(3)10÷=　　　　.
[素養(yǎng)小結(jié)]
(1)積的模等于模的積,積的輻角等于輻角之和;做復(fù)數(shù)乘法運(yùn)算時(shí),三角形式和代數(shù)形式可以交替使用,但是結(jié)果一般保留代數(shù)形式.
(2)商的模等于被除數(shù)的模除以除數(shù)的模,商的輻角等于被除數(shù)的輻角減去除數(shù)的輻角,結(jié)果一般保留代數(shù)形式,商的輻角的主值不一定等于被除數(shù)的輻角的主值減去除數(shù)的輻角的主值所得的差.實(shí)際上,arg與arg z1,arg z2的關(guān)系是arg=arg z1-arg z2+2kπ(k∈Z).
◆ 探究點(diǎn)四　復(fù)數(shù)乘除法運(yùn)算的三角表示的幾何意義的應(yīng)用
例5 如圖所示,四邊形ABCD是矩形,點(diǎn)A和點(diǎn)B對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)分別為-1+2i,1+i,并且|BA|∶|DA|=1∶,求點(diǎn)C和點(diǎn)D對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù).
例6 已知在復(fù)平面內(nèi),復(fù)數(shù)z1=-2+i對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為P1,z2=-3+4i對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為P2,把向量繞點(diǎn)P1按順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)后,得到向量,求向量和點(diǎn)P對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù).
7.3*　復(fù)數(shù)的三角表示
7.3.1　復(fù)數(shù)的三角表示式
7.3.2　復(fù)數(shù)乘、除運(yùn)算的三角表示及其幾何意義
【課前預(yù)習(xí)】
知識(shí)點(diǎn)一
1.?！≥椊恰∪切问健〈鷶?shù)形式
2.0≤θ<2π　arg z　3.輻角的主值
知識(shí)點(diǎn)二
1.(1)r1r2[cos(θ1+θ2)+isin(θ1+θ2)]
(2)[cos(θ1-θ2)+isin(θ1-θ2)]
2.逆　θ2　|θ2|　r2　順　θ2　|θ2|　
診斷分析
(1)×　(2)√　(3)√　(4)√
【課中探究】
探究點(diǎn)一
例1　(1)D　(2)B　(3)190°　[解析] (1)復(fù)數(shù)的三角形式為z=r(cos θ+isin θ),其滿(mǎn)足的條件為:①r≥0;②加號(hào)連接;③cos θ在前,sin θ在后;④θ前后一致,可取任意值.A不滿(mǎn)足②,故A不正確;B不滿(mǎn)足③,故B不正確;C不滿(mǎn)足①,故C不正確.故選D.
(2)由輻角的主值的定義,知復(fù)數(shù)z=cos+isin 的輻角的主值是.故選B.
(3)因?yàn)閺?fù)數(shù)z=-sin 100°+icos 100°=cos 190°+isin 190°,所以復(fù)數(shù)z的輻角的主值是190°.
探究點(diǎn)二
例2　解:(1)復(fù)數(shù)1+i所對(duì)應(yīng)的向量如圖①所示,則r==,cos θ=.因?yàn)榕c復(fù)數(shù)1+i對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在第一象限,所以arg(1+i)=,所以1+i=.
①
(2)復(fù)數(shù)-+i所對(duì)應(yīng)的向量如圖②所示,則r==1,cos θ=-.因?yàn)榕c復(fù)數(shù)-+i對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在第二象限,所以arg=,所以-+i=cos+isin.
②
例3　解:(1)復(fù)數(shù)cos+isin的模r=1,一個(gè)輻角θ=,對(duì)應(yīng)的向量如圖①所示,cos+isin=0+i=i.
①
(2)復(fù)數(shù)2的模r=2,一個(gè)輻角θ=,對(duì)應(yīng)的向量如圖②所示,2=2cos+i=2×+2×i=+i.
②
變式　(1)A　(2)B　[解析] (1)復(fù)數(shù)+i的模為1,一個(gè)輻角為,所以復(fù)數(shù)+i的三角形式為cos+isin.故選A.
(2)z=4=4×+4×i=-2+2i,故選B.
探究點(diǎn)三
例4　解:(1)原式====+i.
(2)原式==2=2=-+i.
變式　(1)3i　(2)4+4i　(3)+i
[解析] (1)(cos 60°-isin 240°)×6(cos 30°-isin 210°)=(cos 60°+isin 60°)×6(cos 30°+isin 30°)=3[cos(60°+30°)+isin (60°+30°)]=3(cos 90°+isin 90°)=3i.
(2)原式=2×4=8=8=4+4i.
(3)原式=10÷==5=5=+i.
探究點(diǎn)四
例5　解:連接OC,OB,要求點(diǎn)C對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù),即求向量對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù),結(jié)合圖形知=+,故可以先求向量對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù).向量可以看作由向量的長(zhǎng)度擴(kuò)大為原來(lái)的倍,并繞點(diǎn)B按順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)90°后得到的,因?yàn)橄蛄繉?duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)為(-1+2i)-(1+i)=-2+i,所以向量對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)為(-2+i)××[cos(-90°)+isin(-90°)]=+2i,于是點(diǎn)C對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)為(+2i)+(1+i)=(+1)+(2+1)i.
同理可得點(diǎn)D對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)為(-1)+(2+2)i.
例6　解:由題意知向量對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)是z2-z1=(-3+4i)-(-2+i)=-1+3i.
由復(fù)數(shù)乘法的幾何意義得,向量對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)是(-1+3i)·=3+i.
設(shè)O為坐標(biāo)原點(diǎn),連接OP,OP1,由復(fù)數(shù)加法的幾何意義及向量=+,得向量對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)是(-2+i)+(3+i)=1+2i,
故點(diǎn)P對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)為1+2i.

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