資源簡介

(共20張PPT)
華東師大版九年級數學
指向深度學習的
三角形相似的判定
基礎知識和技能：熟練掌握了“兩個三角形相似的判定條件”以及“三角形相似的預備定理”，并可以應用上述知識點處理最基本的數學問題。
過程與方法：在推理過程中學會靈活使用數學方法
教學目標
情感態度價值觀：讓學生經過考察、推理、證明、推導的流程，提高思維的深度參與和達到良好的情感感受，從而達到情感深度學習。
相似三角形的判定（1）
——兩角各自相同的2個三角形相似
2.情境創設———活動與體驗
情境1
關于畫內角為30°的三角形的問題
一、可以畫多少個內角為30°的三角形？
二、這些三角形是否相似？
僅有一個角對應相同的兩個三角形并不相似。相似三角形的定義要求兩個三角形的對應角都相等，并且對應邊的比例也相等。僅有一個角相同，并不滿足相似三角形的定義。
對于任意兩個三角形ΔABC和ΔA′B′C′，如果∠A=∠A′，∠B=∠B′，那么ΔABC是否相似于ΔA′B′C′？
情境2
嚴謹判斷法：如果兩個三角形的兩個角都是相同的，那么它們就是相似的。換句話說，如果兩個三角形的相應角度相等，就可以認為它們是類似的。
3.新知理解———本質的變式
問題１：若兩個三角形中僅有一組對應角相等，那么這兩個三角形是否相同？
例1
如圖，在直角△ABC和△A'B'C'中，∠C與C'都是直角，∠A=∠A'，求證：△ABC∽△A'B'C'.
2個直角三角形，如果有一個銳角對應相同，那么它就相同。
如圖，在△ABC中，DE∥BC，EF∥AB，求證：△ADE∽△EFC.
例2
簡單的判別方式：若兩個三角形有兩個角相等，則稱這兩個三角形類似。換言之，若兩個三角形的對應角相同，則可視為相似。
根據幾何學的基本原理，如果兩個三角形或三組對應角分別相等，則這兩個三角形必然相似。
問題2：若兩個等腰三角形的頂角相等，則這兩個三角形是否相似？
問題3：若一三角形的頂角小于另一三角形的一個底角，請問這兩個等腰三角形是否相同？
問題探究
問題4：若兩個等腰三角形存在一個相等的角，那么這兩個三角形是否相似？
活動：類比上述過程，嘗試設計研究方案，條理清晰即可。
通過系列問題串設問，引導學生思考，深化學生對相似三角形判定定理1的認知，提高幾何語言的組織能力。
3.新知理解———本質與變式
4.新知運用———遷移與鞏固
例
思考：如圖，弦AB和CD相交于⊙O內一點P，求證：PA·PB=PC·PD
問題：在研究三角形相似性時，運用了怎樣的數學方法？怎樣進行討論？
【解析】
欲證PA·PB=PC·PD，需 ,需 PAC∽ PDB.欲證 PAC∽ PDB，只需∠A=∠D，∠C=∠B。
相似三角形的判定（2）
——兩邊呈比例角度相當的二個三角形相似
我們學習了哪些證明三角形相似的方法？
參考全等三角形的判定方法SAS，我們可以對以下問題進行深入思考：
1.復習引入
假定有兩個三角形，其相應的兩條相應的邊成正比，而這兩條線的相應角也是相等的。從三角形的相似性出發，如果兩條相應的兩條線成正比，而兩條線的相應角也相等，那么這兩條線是不是就等于一條線？
2.探究新知
探究1
老師們展示二個三角形紙片，其滿足
提出問題：這兩個三角形是什么關系？依據是什么？。
嚴謹判斷準則：如果兩個三角形的相應的兩個角都是相同的，那么這兩個三角形就是類似的。
4.應用訓練
例1
如圖，點D在△ABC的邊AC上，要判定△ADB與△ABC相似，添加一個條件，不正確的是(　　)
A．∠ABD＝∠C　B．∠ADB＝∠ABC
如圖所示，在△邊ABC中，AB=6，AC=4，P是AC的中點，而過P點的直線交AB為中點Q，若以A、P、Q為頂點的三角形和以A、B、C為頂點的三角形相似，則AQ的長為(　　)
A．3
例2
【解析】
【解析】
相似三角形的判定（3）
——在三邊成比例的二個三角形相似
現有三種相互平行的直線l ,l ,l ，再畫出二種與這三種平行線交叉的直線l ,l （見下圖）。分別測量出AB,BC,DE,EF的長度。判定
相等嗎？任意平移l ，再次判斷與 還相等嗎？
1.思考聯想
2.類比推理
探究1
如圖所表示的，在△邊ABC中，DE/BC，而DE又分別交AB，AC的焦點為D，E，所以△DE和△邊ABC一樣嗎
在此前提下，可以認為這兩個三角形是相似的。在此基礎上，提出了一種簡明、高效的判定三角間相似度的方法。
2.探究新知
探究2
自己動手，畫出二邊成比例的三角形，且比例系數k相等。自主探究并度量兩個三角形的角。
這二種三角形是不是相同呢 和周圍朋友們進行研究，看看能夠得出這樣的結果。
判定定理：如果二個三角形在三邊呈比例，那么這二個三角形是相似三角形。
3.典例精析
例1
在以下的4×4正方形網格中，每個小正方形的邊長均為1單位長度。三角形ABC的頂點均位于這些網格的交點上。找出與△ABC相似的三角形(　　)
在網格圖中，每個方格均呈現為邊長為一的標準長方形。當點A、B、C、D、E、F均準確落在網格點上，嘗試證明△ABC∽△DBF
例2
【解析】
根據勾股定理求出△ABC的三邊，并求出三邊之比，然后根據網格結構利用勾股定理求出三角形的三邊之比，然后再根據三邊對應的比例，兩三角形的相似選擇答案.選B.
【解析】
例題 （2020·上海中考數學試題）
真題直通
已有證明：如圖，在菱形ABCD中，點E、F分別在邊AB、AD上，BE=DF，而CE的延長線和DA的延長線于點G，CF的延長線交BA的延長線于點H。（1）求證：△BEC∽△BCH；（2）如果BE^2=AB·AE，求證：AG=DF．
【解析】
拓展題目
真題直通
如圖，AB.CD交于點M，∠DAB=∠DCB。求證方法：△AMC∽△DMB
1、本節課的學習你有怎樣的收獲
課堂小結
三種判定:三種判定三角形相似性的方法如下：
1. 若兩個三角形的兩組對應邊分別相等，則這兩個三角形相似。
2. 若兩個三角形的兩組對應邊成比例，且夾角相等，則這兩個三角形相似。
3. 若兩個三角形的三組對應邊成比例，則這兩個三角形相似。
三種思想:對比思維、轉化思維、分類問題思考
2、在學習過程中，還存在哪些困惑
謝 謝指向深度課程的“相似三角形的判定”教材設計
1.學情分析
“相似三角形的判定”這一篇章，是在學習者們早已熟悉了相似三角形的基本概念以后，更深入探究了三角形相似的判別依據。通過二年多的幾何學練習，初三學習者們已初步形成了認識和分類幾何圖形的能力。經過小組討論和討論，部分學生開始可以建立解決問題的基本思路。為了深化學生的數學學習,培養其核心素養,教師需要為學生創造一個有利于觀察與探索的幾何環境,鼓勵他們發表自己的見解和想法,以促進他們數學深度學習的發生。
2.教學目標及重點難點
（1）教學目標
【知識與能力目標】
1. 通過深入探索三角形相似的三個定理，使學生能夠親身體驗分析歸納的數學思維過程，從而有效促進學生探究能力和交流技巧的發展。
2.本科生應該熟練地把握“兩個三角形相似的判定條件”以及“三角形相似的預備定理”，并可以利用上述知識點處理最基本的數學問題。
【過程與方法目標】
在邏輯推理過程中，靈活運用數學方法至關重要。數學作為一種精確、嚴謹的工具,有助于我們更深入地理解問題、分析數據,并推導出科學的結論。因此,我們應當熟練掌握各種數學方法,并根據實際情況靈活應用,以提高推理的準確性和效率。
【情感態度價值觀目標】
讓學習者經過考察、推理、證明、演繹的過程，提高思維的深度參與和達到良好的情感感受，從而實現深度學習
（2）重點難點
教學要點：對三角形的相似判定定理進行了嚴格闡述，包括“當二個三角形的二角依次等價時，這二個三角形都相同了”、“當二個三角形的二面呈比例的夾角相同時，這二個三角形相同”和“當二個三角形的三邊成比例時，這二個三角形相同”等情況。通過理性的分析和官方的語言風格,深入剖析這些定理的內涵和應用,確保學生能夠全面理解并掌握其精髓。
教學難點：判定方法的運用
3.教學設計
“相似三角形的判定(1)——兩角分別相等的二個三角形相似”
教學設計
（1）溫故知新———聯想與結構
問題一引導學生解釋全等與相似的關系
問題二什么是相似三角形 (抓定義：形狀一致.對應角相同且相對邊成比例)
導入：在研究兩個三角形的相似性時,我們主要關注其角和邊這兩個幾何屬性。截止目前，我們已學會了什么可以衡量二個三角形相似性的辦法
【設計意圖】總結全等三角形的判定定理以及已經學習過的相似三角形判別方式，類比猜想提出研究問題，使新增的內容和現有的相應內容形成了非人為實質性的聯系，使新增的內容自然地發展起來，同時讓他們體會到類比的數學思維方式，懂得數字的思維，提高高階數學思想的產生。
（2）情境創設———活動與體驗
情境一畫有一個內角是30°的三角形。
①可以畫多少個？
②它們相似嗎？
二個三角形若僅有某個角對應相同，則它們不必然相同。
情境2 任意畫兩個三角形ΔABC與ΔA'B'C',使∠A=∠A′,∠B=∠B′，那么ΔABC∽δA′B′C′嗎
學生們經過研究，得出了這二個三角形相似。
于是，我們就獲得了一個確定二個三角形相似性的簡單方案：假設二個三角形的二組對應角分別相同，那么這二個三角形相同。簡而言之，若二角對應相同，則二三角形相同相似。
【設計意圖】為了有效培養學生的幾何直觀與邏輯推理能力,教師應積極引導學生深入探究真理。在教學過程中,教師應設計一系列由特殊到一般、由合情推理到演繹推理的活動,使學生能在實際操作與思維過程中逐步發展其幾何直觀能力和邏輯推理能力。此外,教師應總結性地說明教學內容,幫助學生梳理混亂的知識點,從而使學生能夠掌握最清晰、最簡潔的知識體系。采用這些方法，老師不但可以培養他們的邏輯思維，而且可以為學生的終生學習打下扎實的根基。
（3）新知理解———本質與變式
問題一假設二個三角形中僅有一對角是對應等量的，那這二個三角形相同嗎
例1：如圖，在Rt△ABC和Rt△A'B'C'中，∠C與∠C'都是直角，∠A=∠A'，求證：△ABC∽△A'B'C'.
教師們總結并指出，關于二個直角三角形，假如它有一個等量的銳角，那么這二個三角形就是相同的。
例2：如圖，在△ABC中，DE∥BC，EF∥AB，求證：△ADE∽△EFC.
師總結：通過認真的邏輯推理，我們可以知道，如果二個三角形的三個對應角都相同，那么這二個三角形也必然不同。進一步的，按照相似三角形的特點，這二條三角形的對應面都必然有比例。同時，按照三角形內角和為一百八十度的定理，如果二個三角形中具有二個對應角分別等于，那么就同樣能夠推理出這二個三角形都是相同的。
問題二頂角相等的，兩個等腰三角形相似嗎
問題三一個三角的頭角等于另一個三角的另一個底角，所以這二個等腰三角形相同嗎
問題四和有角相等的，兩個等腰三角形相似嗎
【設計意圖】引導學生理解已學新知并解決例題，核對答案，提高幾何語言的組織能力。并通過系列問題串設問，引導學生思考，深化學生對相似三角形判定定理1的認知。
（4）新知運用———遷移與鞏固
例1：如圖，弦AB和CD相交于⊙O內一點P，求證：PA·PB=PC·PD。
【解析】欲證PA·PB=PC·PD，只需要，欲證只需要 PAC∽，欲證 PAC∽ PDB,只需∠A=∠D,∠C=∠B。
例2：如圖，在矩形的ABCD中，AB=6，AD=12點E在邊AD上，AE=8，點F在邊DC上連結BE，EF.當EF的長為多少時,△ABE與△DEF相似.
【【分析】(1)由四邊形ABCD為長方形，易得∠A=∠D=90°，即為EF⊥BE，利用同角的余角相等,即可得∠DEF=∠ABE,則可證得△ABE∽△DEF；
（2）由（1）：△DZ，按相似三角形的對應邊成比值，即可得，又由AB=6，AD=12，AE=8，通過勾股定理得到BE的長度，由DE=AB-AE，得到DE的長度，進而得到EF的長度為。
問題在探究三角形相似的判定時，使用了什么數學思路 研究方法是什么？
【設計意圖】為確保學生在學習過程中能夠穩步提升推理能力和應用意識,我們將遵循循序漸進、由易到難的教學策略。在練習過程中,我們將引導學生逐步深入,使他們在不斷挑戰自我中增強解決問題的能力。同時,我們還將注重培養學生的整體思考能力,并教授他們如何運用類比遷移的方法,從而更加高效地掌握新知識。通過這種嘗試，我們希望他們可以充分成長，變成具有邏輯性思想與創造力的大學生。
“相似三角形的判定(2)——兩邊成比例且夾角相等的二個三角形相似”教學設計
（1）復習引入
問題一我們掌握了什么證明三角形相似的辦法
問題二類比全等三角形判定中的SAS準則，我們必須思考以下問題：如果二三角的二組相對邊長呈比例，而這二組邊間的角度相同，則這二個三角是不是相同
引出問題：在這堂課下，接著探討相似三角形的問題判定
【設計意圖】總結已學的三角形相似判定方式，采用對比三角形全等的判定方法，推斷相似三角形的判定方式，建立新舊知識之間的橋梁，從而引出本課的研討主題。
（2）探究新知
探究1 利用三角形紙片進行探究
老師曾展示過二個三角形紙片，學生提出疑問：這二個三角之間是什么聯系 依據是什么？
(動作：其中一個三角形紙片用小型磁鐵粘結到黑板上并標上數字A，B，C)，讓學生在另一三角的基石上做一個三角△A′B′C′，讓其滿足
讓學生判斷這兩個三角形是否相似，請同學們拿出上節課讓準備好的兩個三角形的紙片，動手操作完成△A′B′C′的制作。然后再通過測量角，證明二個三角形是不是相同；也可以通過三角形中位線的特性判斷而形成的三角形和原三角形能否相似。
探究2 利用教具進行探究
兩條直木條釘在一起，長藍邊與短藍邊的比等于長紅邊與短紅邊的比值為2，判斷兩個三角形是否相似？依據是什么？
根據已知,當兩個三角形的對應邊之比為1:2或2:一，當它們的夾角相等時，這二個三角形都是相同的。但是，問題進一步詢問，假設二邊三角形的二邊比率相同(不管這個比率是什么)，同時它的角度又相同，所以這二個三角形是不是仍然相同。
通過深入分析和推導，人們能夠得到這樣結果：當二種三角形的二邊相等成比例，而且它們間的角度相同時，這二種三角形是相同的。這是一個重要的數學定理,它為我們判斷三角形的相似性提供了有力的工具。
這樣，我們才能確定的判定，假如二三角的二邊比率相同(不管這個比率是什么)，同時它的角度也相同，所以這二三角是相同的。
【設計意圖】通過類比證明兩角相等的兩個三角形相似的方法,使學生深刻感受在作全等和證明相似過程中所面臨的挑戰。進而,引導學生采用一種更為實際的策略,即首先構建相似關系,然后在此基礎上證明全等,從而解決相關定理的證明問題。這些方式不但表現出嚴謹和合理的思考方法，而且訓練了他們的邏輯推理能力。
（3）定理證明
教師提問：通過前面的實踐活動，你打算如何證明呢？
在ΔABC和ΔA'B'C'中，已知∠A=∠A'，=，求證ΔABC∽ΔA'B'C'.教師結合活動體驗的過程，設計問題串：
問題1　ΔABC與ΔA'B'C'是怎樣建立聯系的？也就是說如何把二條三角形變換到一個形狀上
學生自然想到采用平移的方式可將兩個三角形放在一起.
問題2　如何平移？具體操作？輔助線如何體現？
學生根據已有的知識經驗，能夠想到：先保證一邊相等，如AB=A'D，并過D作平行線DE∥B'C'，交A'C'點于E，如下圖.
問題3　中介三角形△A'DE分別與△ABC和△A'B'C'有什么關系呢？
學生通過全等三角形的判定定理，與判定三角形相似的預備定理易于知道：△ABC≌△A'DE，△A'DE∽△A'B'C'.
問題4　根據上述的思考過程，你能否書寫規范的證明過程？動手試試.
問題5　用數學的語言如何表達？
學生根據已有的經驗，用圖形、文字和符號三種語言表達獲得的結論。學生經動手嘗試，小組討論后，發現該定理的注意事項———該角必須是夾角.
【設計意圖】在定理教學中，不僅要讓學生掌握定理本身，還要讓學生體驗定理形成的思維過程，發展深度思維。通過教師設置遞進式的問題串，學生結合活動與體驗的經歷，從動手實踐獲得的感性認識升華為邏輯推理的理性思考，推動思維的縱深發展．這樣還會發展學生的數學推理素養和提升數學思維的品質，增強數學學習的主動性和積極性，感受到證明過程的合理性和自然性.
（4）應用訓練
例子1：如圖，點D在△的邊AC上，要判定△和△差不多，加一個條件下，不恰當的情況是()
A．∠ABD＝∠C　B．∠ADB＝∠ABC C.＝ D.＝
【解析】
∵∠A是公共角．
∴當∠=∠或∠=∠時，△(有二角對應相同的三角形相似)；故A和B正確；
當＝時，△ADB∽△ABC(兩組對應邊的比相等且夾角對應相等的兩個三角形相似)；故D正確；
當＝時，∠A不是夾角，故不能判定△ADB與△ABC相似，故C錯誤．
故選C.
例子2：如圖所示，在△邊ABC中，AB=6，AC=4，P為AC的中點，而過P點的直線交AB為中點Q，如果以A、P、Q為頂點的三角形與以A、B、C為頂點的三角形相同，則Q的長度為()
A．3　　　B．3或　　　C.
【解析】當△ABC∽△AQP時，
＝，即＝，AQ＝3；
當△ABC∽△APQ時，＝，
即＝，
AQ＝，
故選B.
【教學目標】幫助學習者完成知識點概括和整理，并保證其扎實掌握學習內容。隨著精心設計的訓練，我們將更加加深學習者對相似三角形判定規律的認識和應用。同時,我們致力于培養學生分析問題和解決問題的能力,使他們在解決問題的過程中形成清晰的思維邏輯,并享受成功帶來的滿足感。
“相似三角形的判定(3)——三邊成比例的兩個三角形相似”教學設計
（1）思考聯想
首先，學校會采用提問的形式，指導他們總結相似三角形的概念和特點。
問題 教師在PPT上畫出三條互相平行的直線l ,l ,l ，再畫出兩條與這三條平行線相交的直線l ,l （見下圖）。分別測量出AB,BC,DE,EF的長度。判定與相等嗎？任意平移l ，再次判斷與還相等嗎？
當l //l //l 時，有與，與,與,與相等。
【設計意圖】通過復習以前的知識，引出新授課，讓學生重溫已有的數學知識框架。同時問題中預備知識的引入喚醒學生的回憶，使學生建立起前后知識的緊密聯系。
（2）類比推理
探究一如圖所示，在△邊中，DE/BC，且DE分別交AB，AC于點為D，E，那么，△DE和△邊相似嗎
解析：按照定義，如果證明了△ACE，則應該有對應角分別等于，且對應邊對應有比例，即。
經過預備定理的學習，學生們應能理解對應邊之間的比例關系。為了進一步鞏固這一知識點，我們將組織小組討論，鼓勵學生通過自主探究和合作交流的方式，深入研究并驗證對應邊比例相等的結論。
探究2要求學生親自動手,繪制兩個對應邊成比例的三角形,并確保比例系數k保持一致。隨后,我們將引導學生自主探究這兩個三角形的角度,并鼓勵他們通過度量來驗證自己的發現。這樣的實驗活動將促進學生更加深刻地認識三角形的特點，增強學生的研究能力與協作精神。
問題 這兩個三角形是否相似？和周圍朋友進行探討，看看可以得到一樣的結果。
總結可以得出：如果二個三角形在三邊呈比例，那么這二個三角形相同相似。
【設計意圖】在課堂上,通過精心構建的情境,我們鼓勵學生進行獨立思考,積極探索并自主解決數學問題。學生在這個過程中,通過類比推理和自主探究,能夠更深刻地理解和掌握判定定理,同時也能有效激發他們的學習興趣。另外，學校還采取小組協作溝通的形式，積極培育學生的團隊協作精神。在課堂練習環節，學生們有機會逐步加強對定理的掌握與運用，并以此培養學生的數理創新能力。
（3）典例精析
例一下列4×4的大方塊網格中，小方塊的邊長都是1，而三角形的頂點也在格點上，故和△ABC相同的三角形所在的網格形狀為()
(A)　(B)　(C)　(D)
【解析根據勾股定理求出△ABC的三邊,并求出三邊之比,然后根據網格結構利用勾股定理求出三角形的三邊之比,然后再根據三邊對應成比例，兩三角形的相似選擇答案.選B.
例二網格圖上，每個方格都是邊長為一的長方形.若A，B，C，D，E，F均為格點，試圖△ABC∽.
【解析】∵AC＝，BC＝＝，AB＝4，DF＝＝2，EF＝＝2，ED＝8，∴＝＝＝，∴△ABC∽△DEF.
方法總結：判斷三角形相似性的一個可靠辦法就是：當問題給出了二個三角形的三邊長后，我們就可以依次求解這二個三角形對應邊的關系，并觀測這些關系是不是相同。在進行計算時,務必確保最長邊與最長邊相對應,最短邊與最短邊相對應。
【教學目標】采用完成例題的形式，讓學習者可以充分、深刻地認識和牢固掌握新學的基礎知識，尤其是，在相似三角形的判定定理的應用上，取得了熟練水準。此外,這種方式還能有效促進學生對于新知內容的記憶,進一步鞏固學習成果。
并通過教師的評價與總結，學生更加鞏固本節課所學內容，清楚地了解到本節課的重難點，在今后的練習中會格外注意。
4.真題直通
例題(2020·上海中考數學試題)所已知： 如圖，在菱形ABCD中，點E、F依次在邊AB、AD上，BE=DF，而CE的延長線與DA的延長線于點G，CF的延長線與BA的延長線于點H.
（1）求證：△BEC∽△BCH；
（2）如果BE^2=AB·AE，求證：AG=DF．
【【分析】(1)要證△BEC∽△，從圖可知，雖然已經有了公共角，但只要有方法推出∠=∠H就可以解決；】（2）利用平行線分線段成比例定理得到線段比例式,再將題中已知的等式進行變形,并結合已知條件容易解決問題。
【解答】（1）證明：∵四邊形ABCD是菱形，
∴CD=CB，∠D=∠B，CD∥AB，
又∵DF=BE，
∴△CDF≌CBE（SAS），
∴∠DCF=∠BCE，
∵CD∥BH，
∴∠H=∠DCF，
∴∠BCE=∠H，
又∵∠B=∠B，
∴△BEC∽△BCH．
（2）證明：∵BE^2=AB·AE，
∴BE/AB=AE/EB，
∵AG∥BC，
∴AE/BE=EG/EC，
∵AB∥CD，
∴AG/AD=EG/EC，
∴AG/AD=AE/BE=BE/AB，
即AG/AD=BE/AB，
∵DF=BE，AD=AB，
∴AG=BE=DF，
即AG=DF．
拓展題目如圖，與AB.CD相交于點M，∠=∠。 求證：△AMC∽△DMB
4.設計反思
深度學習對于學習者來說，也離不開老師的深入課程指導。在數學定理的教學中,教師應全面考量學生的既有知識、經驗及思維層次,設計多樣化的教學活動,旨在體現深度學習的特質。這些活動應涵蓋實踐操作、參與體驗、互動交流、理性探索及反思總結等過程,從而讓學生在這些活動中自然而然地形成和發展數學思維。采用這些方法，學習者可以了解研究問題的思考方式，從而領會數理思維，從而培育學生的數理核心素質，從而達到立德樹人的教學目標。
當前的主要課程，源于華東師大版九年級課程“23.3.2相似三角形的判定”。本節課從三角形的幾何屬性入手,運用分類討論和類比思維,著重從角的關系（數量關系）出發,研究相似三角形的三種判定定理，從而闡述該定理的意義。在教學過程中，學習者經過了通過觀察發現、測試推測、證明與驗證的整體教學路徑。通過指導學生總結本節課程的學習策略，滲透公理化思想，為以后學習相似三角形的其他判定定理打下堅實基礎。同時,激發學生對下節課內容的興趣,使他們在課堂之外仍能帶著數學問題深入思考,實現從“學會”向“會學”的轉變,發揮學生的主觀能動性和創造力，進而提高數學核心素質。指向深度學習的“相似三角形”作業設計
【作業設計理念及預期】深度學習，作為教師培育與提升學生核心素養的關鍵途徑，是在教師的科學引領下，學生緊密圍繞學習主題，以積極主動的態度參與、構建知識，體驗成功，并實現全面發展的綜合性學習過程。此過程中，聯想與結構、活動與體驗、本質與變式、遷移與應用等核心特征得到充分體現。
本次教學內容是本節教學內容源于華東師大版九年級教材“23.3.2相似三角形的判定”，立足于深度學習視角下進行教學設計，使學生經歷觀察、猜想、驗證、推理的過程，促進思維的深層參與和獲得良好的情感體驗，提升數學思維的品質，培養學生的數學核心素養。本次作業的設計，依然遵循著促進學生深度學習的理念。我們充分考慮了學生的現有基礎，并依據其最近的發展狀況，構建了多層次、多樣化的彈性作業結構，旨在滿足不同類型學生的需求。作業的主要目標是訓練學生理解和應用兩角對應相等的兩個三角形相似的判定定理，從而達到熟練運用的水平。在此過程中，我們還注重滲透建模思想和轉化思想的應用，以培養學生的邏輯思維和問題解決能力。
1.新知應用【設計意圖】通過精心策劃習題訓練，我們力求幫助學生深化對本節課新知識的領悟與記憶。此外，我們也期望通過持續的練習，能夠逐步培養和提升學生的圖形觀察與分析能力，使他們能夠依據問題的具體條件，精確地識別并恰當運用三角形相似判定定理所需的各項條件。
（1）判斷下列說法是否正確.
①所有的直角三角形都相似.（）
②所有的等腰直角三角形都相似.（）
③所有的等邊三角形都相似.（）
④有一個角是50°的等腰三角形相似.（）
如圖，要使△ABC與△DBA相似，則只需添加
一個適當的條件是（）（填一個即可）
（3）如圖，DE∥BC，EF∥AB，則圖中相似的三角形一共有（）
A、1對B、2對C、3對D、4對
（4）1、下列命題中，真命題是()
A.兩邊及一個角對應相等的兩個三角形全等
B.兩個等邊三角形一定相似
C.兩個直角三角形一定相似
D.兩個等腰三角形一定相似
（5）已知，P是正方形ABCD的邊BC上的點，且BP=3PC，M是CD的中點，
求證：△ADM∽△MCP。
（6）在△ABC和△A＇B＇C＇中，AB=3cm，BC=6cm，CA=5cm，A＇B＇=3cm，B＇C＇=2.5cm，A＇C＇=1.5cm，則下列說法中，錯誤的是（）
A、△ABC與△A＇B＇C＇相似
B、AB與A＇B＇是對應邊
C、相似比為2：1
D、AB與A＇C＇是對應邊
（7）網格圖中每個方格都是邊長為1的小正方形，若A、B、C、D、E、F都是格點，試證明：△ABC∽△DEF。
2.知識強化【設計意圖】采用漸進式的教學方法，引導學生深入思考三角形相似的必要條件。我們鼓勵學生積極探尋解決問題的策略，通過獨立思考和團隊合作等數學活動，培養學生的協作互助精神，并提升他們的數學交流和表達能力。
（1）已知：如圖，∠ADE＝∠ACD＝∠ABC，圖中相似三角形共有（　　）
A.1對B.2對　　C.3對D.4對
（2）如圖，△ABC中，邊AC、BD的中點分別為E、F，BF,CD相交與點G，FG=2，則CF長為（）
A.4B.4.5C.5D.6
（3）如圖，△ABC中，CD是邊AB上的高，且
①求證：△ACD∽△CBD；②求∠ACB的大小。
（4）如圖，桌臺ABCD上，AD為260cm，AB為130cm，這是小丁將E點的球擊到F點位，回彈后落到了D點，此時AE=60cm。
①證明：①證明：△ BEF∽ CDF；②確定 CF的長度
3.拓展提升【設計意圖】引導學生梳理深化本節課內容中三角形相似判定命題的基本思路“構全等、證相似”，讓學生體會一題多解的不同的證明方法的異同，讓學生在總結、反思中，深刻理解多解歸一的數學解題思想，發展學生的邏輯推理能力。檢測學生的學習效果，實現教學評一體化。
（1）如圖，Rt△ABC中，∠C=90°，AB=10，AC=8.
E是AC上一點，AE=5，
ED⊥AB，垂足為D.求AD的長.
4.實際情境運用【設計意圖】在現代教育體系之中，我們對于學生能力的培育予以了高度重視，而非僅僅局限于知識的單方面灌輸。特別值得一提的是，將課堂所學靈活運用到現實情境之中，已成為評判學生綜合素質不可或缺的關鍵指標。鑒于此，我們精心策劃了一系列與實際情境緊密結合的教學活動，其目的在于使學生能夠將課堂所學與實際生活相融合，進而錘煉其知識運用與實踐操作能力。
（1）小明站在距離大樓底部30米的地方，他觀察到大樓的頂部和底部之間的角度為60°。如果小明身高為1.5米，并且他和大樓在同一水平線上，那么大樓的實際高度是多少？

展開更多......

收起↑