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第15講
萬(wàn)有引力定律及其應(yīng)用
一、開(kāi)普勒三定律的理解和應(yīng)用
1.開(kāi)普勒第一定律(軌道定律)
（1）內(nèi)容 ：所有行星繞太陽(yáng)運(yùn)動(dòng)的軌道都是橢圓，
太陽(yáng)處在橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)上。
（2）對(duì)開(kāi)普勒第一定律的理解
①開(kāi)普勒第一定律說(shuō)明了行星的運(yùn)動(dòng)軌道是橢圓，不同行星橢圓軌道則是不同的。太陽(yáng)處于這些橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)上，而不是位于橢圓的中心。不同的行星位于不同的橢圓軌道上，而不是位于同一橢圓軌道；而且不同行星的橢圓軌道一般不在同一平面內(nèi)。
②由第一定律出發(fā)，行星運(yùn)動(dòng)時(shí)，軌道上出現(xiàn)了近日點(diǎn)和遠(yuǎn)日點(diǎn)。
一、開(kāi)普勒三定律的理解和應(yīng)用
2.開(kāi)普勒第二定律(面積定律)
（1）內(nèi)容 ： 對(duì)任意一個(gè)行星來(lái)說(shuō)，它與太陽(yáng)的
連線在相等的時(shí)間內(nèi)掃過(guò)相等的面積．
（2）對(duì)開(kāi)普勒第二定律的理解
①如圖所示，行星沿著橢圓軌道運(yùn)行，太陽(yáng)位于橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)上．
如果時(shí)間間隔相等，即t2－t1＝t4－t3，由開(kāi)普勒第二定律，在 同一軌道上，,即行星在兩個(gè)位置的速度之比與到太陽(yáng)的距離成反比，可見(jiàn)離太陽(yáng)越近，行星在相等時(shí)間內(nèi)經(jīng)過(guò)的弧長(zhǎng)越長(zhǎng)，即行星的速率就越大，反之，速率越小。
②行星在近日點(diǎn)a速率最大，遠(yuǎn)日點(diǎn)b速率最小。行星從近日點(diǎn)到遠(yuǎn)日點(diǎn)的過(guò)程中做減速運(yùn)動(dòng)，從遠(yuǎn)日點(diǎn)到近日點(diǎn)的過(guò)程中做加速運(yùn)動(dòng)。
一、開(kāi)普勒三定律的理解和應(yīng)用
3.開(kāi)普勒第三定律(周期定律)
（1）內(nèi)容 ： 所有行星的軌道的半長(zhǎng)軸的三次方跟它的公轉(zhuǎn)
周期的二次方的比值都相等．若用a代表橢圓軌道的半長(zhǎng)軸，
T代表公轉(zhuǎn)周期，即(其中，比值k是一個(gè)與行星無(wú)關(guān)的常量)
（2）對(duì)開(kāi)普勒第三定律的理解
開(kāi)普勒三定律不僅適用于行星，也適用于其他天體。例如對(duì)于木星的所有衛(wèi)星來(lái)說(shuō)，它們的一定相同，但常量k的值跟太陽(yáng)系各行星繞太陽(yáng)運(yùn)動(dòng)的k值不同．開(kāi)普勒恒量k的值只跟(行星運(yùn)動(dòng)時(shí)所圍繞的)中心天體的質(zhì)量有關(guān)．不同的中心天體k值不同。但該定律只能用在同一中心天體的星體之間。
一、開(kāi)普勒三定律的理解和應(yīng)用
例1 (多選)如圖1所示，海王星繞太陽(yáng)沿橢圓軌道運(yùn)動(dòng)，P為近日點(diǎn)，Q為遠(yuǎn)日點(diǎn)，M、N為軌道短軸的兩個(gè)端點(diǎn)，運(yùn)行的周期為T(mén)0，若只考慮海王星和太陽(yáng)之間的相互作用，則海王星在從P經(jīng)過(guò)M、Q到N的運(yùn)動(dòng)過(guò)程中(　　)
CD
結(jié)論：同一橢圓軌道，物體靠近中心天體的
AD
例2 (多選)如圖2所示，兩質(zhì)量相等的衛(wèi)星A、B繞地球做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，用R、T、Ek、S分別表示衛(wèi)星的軌道半徑、周期、動(dòng)能、與地心連線在單位時(shí)間內(nèi)掃過(guò)的面積。下列關(guān)系式正確的有(　　)
例1、例2可知：若行星運(yùn)動(dòng)軌道為橢圓軌道，只能用開(kāi)普勒定律解決；若行星運(yùn)動(dòng)軌道為圓軌道，則用圓周運(yùn)動(dòng)規(guī)律解題(即=Fn)；
二、萬(wàn)有引力定律的理解
1．內(nèi)容：自然界中任何兩個(gè)物體都相互吸引，引力的方向在它們的連線上，引力的大小與物體的質(zhì)量m1和m2的乘積成正比，與它們之間距離r的平方成反比。
2．表達(dá)式：，G為引力常量，G＝6.67×10－11 N·m2/kg2，由卡文迪許利用扭秤實(shí)驗(yàn)測(cè)出。
3．適用條件
（1）公式適用于質(zhì)點(diǎn)間的相互作用。當(dāng)r>>物體本身
（2）質(zhì)量分布均勻的球體可視為質(zhì)點(diǎn)，r是兩球心間的距離。
（3）當(dāng)r趨于零時(shí)任何物體都不能再視為質(zhì)點(diǎn)，公式不成立，
二、萬(wàn)有引力定律的理解
4．對(duì)萬(wàn)有引力定律的理解：
普適性:萬(wàn)有引力是普遍存在宇宙中任何兩個(gè)有質(zhì)量的物體間的相互吸引力，它是自然界中的基本相互作用之一
相互性:兩個(gè)物體相互作用的引力是一對(duì)作用力和反作用力，它們大小相等，方向相反，分別作用在兩個(gè)物體上
宏觀性:一般物體間的萬(wàn)有引力非常小，只有質(zhì)量巨大的星球間或天體與附近的物體間，它的存在才有宏觀的物理意義。在微觀世界中，粒子的質(zhì)量都非常小，萬(wàn)有引力可以忽略不計(jì)
萬(wàn)有引力表達(dá)式只適用于質(zhì)點(diǎn)間的作用。天體運(yùn)動(dòng)的向心力來(lái)源于天體之間的萬(wàn)有引力。
考點(diǎn)二　萬(wàn)有引力定律的理解和應(yīng)用
D
例3 (2023·新課標(biāo)卷，17)2023年5月，世界現(xiàn)役運(yùn)輸能力最大的貨運(yùn)飛船天舟六號(hào)，攜帶約5 800 kg的物資進(jìn)入距離地面約400 km(小于地球同步衛(wèi)星與地面的距離)的軌道，順利對(duì)接中國(guó)空間站后近似做勻速圓周運(yùn)動(dòng)。對(duì)接后，這批物資(　　)
A.質(zhì)量比靜止在地面上時(shí)小
B.所受合力比靜止在地面上時(shí)小
C.所受地球引力比靜止在地面上時(shí)大
D.做圓周運(yùn)動(dòng)的角速度大小比地球自轉(zhuǎn)角速度大
角度　　萬(wàn)有引力定律的理解及簡(jiǎn)單計(jì)算
A
例4 有一質(zhì)量為M、半徑為R、密度均勻的球體，在距離球心O為2R的地方有一質(zhì)量為m的質(zhì)點(diǎn)。現(xiàn)從球體中挖去半徑為0.5R的小球體，如圖3所示，引力常量為G，則剩余部分對(duì)m的萬(wàn)有引力為(　　)
角度　　“挖補(bǔ)法”求解萬(wàn)有引力
（1）未挖出小球前大球?qū)η蛲庑∏虻娜f(wàn)有引力大小為
（2）將所挖出的其中一個(gè)小球填在原位置，則填入左側(cè)原位置小球?qū)η蛲庑∏虻娜f(wàn)有引力為
（3）大球中剩余部分對(duì)球外小球的萬(wàn)有引力大 小為
例4 有一質(zhì)量為M、半徑為R、密度均勻的球體，在距離球心O為2R的地方有一質(zhì)量為m的質(zhì)點(diǎn)。現(xiàn)從球體中挖去半徑為0.5R的小球體，如圖3所示，引力常量為G，則剩余部分對(duì)m的萬(wàn)有引力為(　　)
提示 (1)形狀的要求:大球內(nèi)挖掉小球。挖掉其他形狀物體的情況不可用此法。
(2)三心的位置關(guān)系:大球球心、小球球心、第三個(gè)球的球心(或質(zhì)點(diǎn)),若三心共線,則
三力共線,可轉(zhuǎn)化為代數(shù)運(yùn)算;若三心不共線,則三力不共線,遵循矢量運(yùn)算法則。
三、萬(wàn)有引力與重力的關(guān)系
1.關(guān)系推導(dǎo)
重力是因地面附近的物體受到地球的萬(wàn)有引力
而產(chǎn)生的;如圖所示,F引產(chǎn)生兩個(gè)效果:
一是提供物體隨地球自轉(zhuǎn)所需的向心力;
二是產(chǎn)生物體的重力。
由于F向=mω2r,向心力隨緯度的增大而減小,
所以物體的重力隨緯度的增大而增大,
即重力加速度從赤道到兩極逐漸增大。
考慮地球自轉(zhuǎn)：
注意 (1)F向很小,在一般情況下可認(rèn)為重力和萬(wàn)有引力近似相等,即G =mg，
GM=gR2又叫黃金代換式。（忽略地球自轉(zhuǎn)）
(2)在地球同一緯度處,因?yàn)槲矬w所受萬(wàn)有引力隨物體離地面高度的增加而減小,所以
重力加速度隨物體離地面高度的增加而減小,即g'=G 。
三、萬(wàn)有引力與重力的關(guān)系
例5一頭質(zhì)量為m的北極熊在失去家園后，被運(yùn)送到了位于赤道上的北極熊館加以照料，它在北極和館內(nèi)的重力差為ΔF。已知地球自轉(zhuǎn)周期為T(mén)。根據(jù)以上信息，可求出地球的半徑為(　　)
四、星體上空及星體內(nèi)部重力加速度的求解
推論1：在勻質(zhì)球殼空腔內(nèi)的任意位置處，質(zhì)點(diǎn)受到球殼的萬(wàn)有引力的合力為零，即∑F引＝0。
證明：
一個(gè)勻質(zhì)球?qū)涌梢缘刃橛稍S多厚度極小的勻質(zhì)球殼組成，任取一個(gè)球殼，設(shè)球殼內(nèi)有一個(gè)質(zhì)量為m的質(zhì)點(diǎn)，某時(shí)刻質(zhì)點(diǎn)在P位置（任意位置）處，以質(zhì)點(diǎn)所在位置P為頂點(diǎn)，作兩個(gè)底面面積足夠小的對(duì)頂圓錐，這時(shí)，兩個(gè)圓錐底面不僅可以視為平面，還可以視為質(zhì)點(diǎn)。
四、星體上空及星體內(nèi)部重力加速度的求解
推論1：在勻質(zhì)球殼空腔內(nèi)的任意位置處，質(zhì)點(diǎn)受到球殼的萬(wàn)有引力的合力為零，即∑F引＝0。
證明：
設(shè)空腔內(nèi)質(zhì)點(diǎn)m到兩圓錐底面中心的距離分別為r 、r ，兩圓錐底面的半徑分別為R 、R ，球殼的厚度為△h，球殼的密度為ρ.根據(jù)萬(wàn)有引力定律，兩圓錐底面對(duì)質(zhì)點(diǎn)的引力可以表示為
四、星體上空及星體內(nèi)部重力加速度的求解
證明：
根據(jù)相似三角形對(duì)應(yīng)邊成比例，有
則兩個(gè)萬(wàn)有引力之比為因?yàn)閮梢Ψ较蛳喾矗砸Φ暮狭榱?
以此類推，球殼上其他任意兩對(duì)應(yīng)部分對(duì)質(zhì)點(diǎn)的合引力為零，整個(gè)球殼對(duì)質(zhì)點(diǎn)的合力為零，故由多個(gè)球殼組成的球?qū)訉?duì)質(zhì)點(diǎn)的合力也為零，即∑F＝0.
四、星體上空及星體內(nèi)部重力加速度的求解
推論1:在勻質(zhì)球殼空腔內(nèi)的任意位置處,質(zhì)點(diǎn)受到的萬(wàn)有引力的合力為0，即∑F=0。
推論2:在勻質(zhì)球體內(nèi)部距離球心r處的質(zhì)點(diǎn)(m)受到的萬(wàn)有引力等于球體內(nèi)半徑為r的同心球體(M′)對(duì)其的萬(wàn)有引力，即
推論2理解：質(zhì)點(diǎn)(m)受到的萬(wàn)有引力可視為厚度為（R-r）的球?qū)雍桶霃綖閞的勻質(zhì)球的萬(wàn)有引力的合力，結(jié)合在勻質(zhì)球殼空腔內(nèi)的任意位置處,質(zhì)點(diǎn)受到的萬(wàn)有引力的合力為0，即∑F=0。
所以質(zhì)點(diǎn)(m)受到的萬(wàn)有引力可認(rèn)為由半徑為r的勻質(zhì)球的萬(wàn)有引力提供。
四、星體上空及星體內(nèi)部重力加速度的求解
(3)在地球內(nèi)部距離地心r處的重力加速度為g″,由萬(wàn)有引力推論2可得mg″= r,即
g″= r。
C
例6 近幾年來(lái)，我國(guó)生產(chǎn)的“蛟龍?zhí)枴毕聺撏黄? 000 m大關(guān)，我國(guó)的北斗導(dǎo)航系統(tǒng)也進(jìn)入緊密的組網(wǎng)階段。已知質(zhì)量分布均勻的球殼對(duì)殼內(nèi)任一質(zhì)點(diǎn)的萬(wàn)有引力為零，將地球看成半徑為R、質(zhì)量分布均勻的球體，北斗導(dǎo)航系統(tǒng)中的一顆衛(wèi)星的軌道距離地面的高度為h，“蛟龍?zhí)枴毕聺摰纳疃葹閐，則該衛(wèi)星所在處的重力加速度與“蛟龍?zhí)枴彼谔幍闹亓铀俣鹊拇笮≈葹?　　)
天體質(zhì)量和密度的計(jì)算方法
考點(diǎn)三　天體質(zhì)量和密度的計(jì)算
C
例7 我國(guó)是第三個(gè)對(duì)火星探測(cè)并將探測(cè)器著陸火星的國(guó)家，探測(cè)器在環(huán)繞火星表面飛行時(shí)周期是T。火星表面氣體非常稀薄可近似認(rèn)為真空，在火星表面附近以初速度v0水平拋出一個(gè)物體，測(cè)得拋出點(diǎn)距火星表面高度為h，落到火星表面時(shí)物體的水平位移為x，已知引力常量為G，下列說(shuō)法正確的是(　　)
角度　　重力加速度法
D
例8 (2023·遼寧卷，7)在地球上觀察，月球和太陽(yáng)的角直徑(直徑對(duì)應(yīng)的張角)近似相等，如圖5所示。若月球繞地球運(yùn)動(dòng)的周期為T(mén)1，地球繞太陽(yáng)運(yùn)動(dòng)的周期為T(mén)2，地球半徑是月球半徑的k倍，則地球與太陽(yáng)的平均密度之比約為(　　)
角度　　環(huán)繞法
圖5
ACD
訓(xùn)練1(多選)(2024·山東臨沂模擬)中國(guó)新聞網(wǎng)宣布：在摩洛哥墜落的隕石被證實(shí)來(lái)自火星。某同學(xué)想根據(jù)平時(shí)收集的部分火星資料計(jì)算出火星的密度，再與這顆隕石的密度進(jìn)行比較。下列計(jì)算火星密度的公式正確的是(引力常量G已知，忽略火星自轉(zhuǎn)的影響)( 　　)
火星的小檔案
直徑d＝6 794 km
質(zhì)量M＝6.421 9×1023 kg
表面重力加速度g0＝3.7 m/s2近火衛(wèi)星周期T＝3.4 h
訓(xùn)練2 某衛(wèi)星繞地球運(yùn)動(dòng)的橢圓軌道如圖所示,F1和F2為橢圓的焦點(diǎn)。衛(wèi)星由A經(jīng)B到C的過(guò)程中,衛(wèi)星的速度逐漸增大,且路程AB與路程BC相等。已知衛(wèi)星由A運(yùn)動(dòng)到B、由B運(yùn)動(dòng)到C的過(guò)程中,衛(wèi)星與地心的連線掃過(guò)的面積分別為S1和S2。下列說(shuō)法正確的是(　　)
A.地球位于焦點(diǎn)F1處
B.S1一定大于S2
C.衛(wèi)星由A運(yùn)動(dòng)到C,加速度減小
D.衛(wèi)星由A運(yùn)動(dòng)到C,引力勢(shì)能增加
B
訓(xùn)練3 (2023湖北武漢模擬)“嫦娥五號(hào)”探測(cè)器登月飛行的軌道示意圖如圖所示,探測(cè)器通過(guò)推進(jìn)器制動(dòng)從圓形軌道Ⅰ上的P點(diǎn)進(jìn)入橢圓過(guò)渡軌道Ⅱ,然后在軌道Ⅱ的近月點(diǎn)Q再次制動(dòng)進(jìn)入近月圓形軌道Ⅲ。已知軌道Ⅰ的半徑是軌道Ⅲ的半徑的兩倍,不考慮其他天體引力的影響。下列說(shuō)法正確的是(　　)
A.探測(cè)器登月飛行的過(guò)程中機(jī)械能增大
B.探測(cè)器在軌道Ⅰ與軌道Ⅲ上的運(yùn)行速率的比值為1∶2
C.探測(cè)器在軌道Ⅱ上經(jīng)過(guò)P點(diǎn)的速率與經(jīng)過(guò)Q點(diǎn)的速率的比值為1∶2
D.探測(cè)器在軌道Ⅱ與軌道Ⅲ上的運(yùn)行周期的比值為3∶2
C
訓(xùn)練4.有質(zhì)量的物體周?chē)嬖谥?chǎng)。萬(wàn)有引力和庫(kù)侖力有類似的規(guī)律,因此我們可以用定義靜電場(chǎng)的電場(chǎng)強(qiáng)度的方法來(lái)定義引力場(chǎng)的場(chǎng)強(qiáng)。由此可得,質(zhì)量為m的質(zhì)點(diǎn)在質(zhì)量為m0的物體處(二者間距為r)的引力場(chǎng)場(chǎng)強(qiáng)的表達(dá)式為(引力常量用G表示)(　　)
B
訓(xùn)練5.2022年8月10日,我國(guó)在太原衛(wèi)星發(fā)射中心用長(zhǎng)征六號(hào)運(yùn)載火箭成功將“吉林一號(hào)”組網(wǎng)星中的16顆衛(wèi)星發(fā)射升空,衛(wèi)星順利進(jìn)入預(yù)定的環(huán)繞地球運(yùn)動(dòng)軌道,發(fā)射任務(wù)取得圓滿成功。這16顆衛(wèi)星的軌道平面各異,高度不同,通過(guò)測(cè)量發(fā)現(xiàn),它們的軌道半徑的三次方與運(yùn)動(dòng)周期的二次方成正比,且比例系數(shù)為p。已知引力常量為G,由此可知地球的質(zhì)量為(　　)
C
訓(xùn)練6.(2023天津?qū)氎娑?航天員在月球表面附近自高h(yuǎn)處以初速度v0水平拋出一個(gè)小球,測(cè)出小球的水平射程為L(zhǎng)。已知月球半徑為R,引力常量為G。忽略月球自轉(zhuǎn)的影響,則下列說(shuō)法正確的是(　　)
D

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