資源簡介

§2　函數(shù)
2.1　函數(shù)概念
【學(xué)習(xí)目標】
1.理解用集合與對應(yīng)的語言來刻畫函數(shù),體會對應(yīng)關(guān)系在刻畫函數(shù)概念中的作用.
2.了解構(gòu)成函數(shù)的要素.
3.會求一些簡單函數(shù)的定義域和值域.
4.能夠正確使用“區(qū)間”的符號表示某些函數(shù)的定義域.
◆ 知識點　函數(shù)的概念
1.定義
給定實數(shù)集R中的兩個非空數(shù)集A和B,如果存在一個對應(yīng)關(guān)系f,使對于集合A中的每一個數(shù)x,在集合B中都有　　　　確定的數(shù)y和它對應(yīng),那么就把對應(yīng)關(guān)系f稱為定義在集合A上的一個函數(shù),記作y=f(x),x∈A.
其中集合A稱為函數(shù)的定義域,x稱為　　　,與x值對應(yīng)的y值稱為　　　　,集合{f(x)|x∈A}稱為函數(shù)的值域.
2.函數(shù)的構(gòu)成要素:　　　　、　　　　和　　　　.
3.同一個函數(shù):如果兩個函數(shù)的定義域相同,并且對應(yīng)關(guān)系完全一致,我們就稱這兩個函數(shù)是同一個函數(shù).
【診斷分析】 1.判斷正誤.(請在括號中打“√”或“×”)
(1)函數(shù)的定義域和值域一定是無限集合. (　 )
(2)根據(jù)函數(shù)的定義,定義域中的一個x可以對應(yīng)著不同的y. (　 )
(3)f(a)表示當x=a時函數(shù)f(x)的值,是一個常量. (　 )
2.如何理解函數(shù)符號“y=f(x)”表示“y是x的函數(shù)”
◆ 探究點一　函數(shù)定義的應(yīng)用
例1 (1)(多選題)以下從M到N的對應(yīng)關(guān)系表示函數(shù)的是 (　 )
A.M=R,N=R,f:x→y=
B.M=R,N={y|y≥0},f:x→y=|x|
C.M={x|x>0},N=R,f:x→y=±
D.M={x|x≥2,x∈N*},N={y|y≥0,y∈N*},f:x→y=x2-2x+2
(2)[2024·安徽淮南高一期中] 設(shè)M={x|0≤x≤2},N={y|0≤y≤2},給出下列四個圖形,其中能表示從集合M到集合N的函數(shù)關(guān)系的是 (　 )
A B C D
(3)下列各組函數(shù)表示同一個函數(shù)的是 (　 )
A.f(x)=,g(x)=x-1
B.f(x)=·,g(x)=
C.f(x)=,g(x)=x
D.f(x)=|x+2|,g(t)=
[素養(yǎng)小結(jié)]
判斷兩個函數(shù)是否為同一個函數(shù),一定要看定義域和對應(yīng)關(guān)系是否全部相同.定義域和值域分別相同的兩個函數(shù)不一定是同一個函數(shù),如果對應(yīng)關(guān)系不同,那么這兩個函數(shù)一定不是同一個函數(shù).
◆ 探究點二　求函數(shù)的定義域
例2 求函數(shù)y=++(x+1)0的定義域.
變式 函數(shù)f(x)=的定義域為　　　　　　　.
[素養(yǎng)小結(jié)]
求函數(shù)定義域的方法及注意問題:
(1)使函數(shù)有意義的條件一般有:①分式的分母不為0;②偶次根式的被開方數(shù)非負;③對于y=x0,要求x≠0.
(2)不對解析式化簡變形,以免定義域變化.
(3)當一個函數(shù)由兩個或兩個以上代數(shù)式的和、差、積、商的形式構(gòu)成時,定義域是使得各個式子都有意義的公共部分的集合.
拓展 (1)已知函數(shù)y=f(x)的定義域是[-2,3],則y=f(2x-1)的定義域是 (　 )　　　　　 　　　　　 　　　　　
A. B.[-1,4]
C. D.[-5,5]
(2)已知函數(shù)f(2x-1)的定義域為(-1,9),則函數(shù)f(3x+1)的定義域為 (　 )
A. B.
C. D.(-2,28)
◆ 探究點三　函數(shù)的求值問題
例3 已知函數(shù)f(x)=x2+x-1.
(1)求f(2),f[f(2)],f(a+1);
(2)若f(x)=5,求x的值.
變式 (1)已知f(x)=則f+f等于 (　 )　　　　　 　　　　　 　　　　　
A.1 B. C.2 D.
(2)已知函數(shù)f(x)滿足f(x)=則f[f(5)]=　　　　.
[素養(yǎng)小結(jié)]
函數(shù)求值問題的解題思路.
(1)已知函數(shù)的解析式求函數(shù)值,只需將自變量的值代入解析式即可求出相應(yīng)的函數(shù)值,當自變量的值為含有字母的代數(shù)式時,要將代數(shù)式作為一個整體代入解析式求解.
(2)已知函數(shù)解析式,求對應(yīng)函數(shù)值的自變量的值,只需將函數(shù)值代入解析式,建立關(guān)于自變量的方程即可求解,注意函數(shù)定義域?qū)ψ宰兞咳≈档南拗?
◆ 探究點四　求函數(shù)的值域
例4 求下列函數(shù)的值域.
(1)y=;
(2)f(x)=-x2+2x+1,x∈[0,3];
(3)f(x)=x-;
(4)y=.
變式 求下列函數(shù)的值域.
(1)y=-2;
(2)y=;
(3)y=x-;
(4)y=;
(5)y=(x>1).
[素養(yǎng)小結(jié)]
求函數(shù)值域的方法有觀察法、圖象法、分離常數(shù)法、換元法、判別式法等,對于一些常用的方法應(yīng)熟練掌握.
§2　函數(shù)
2.1　函數(shù)概念
【課前預(yù)習(xí)】
知識點
1.唯一　自變量　函數(shù)值
2.定義域　對應(yīng)關(guān)系　值域
診斷分析
1.(1)×　(2)×　(3)√
2.解:①f(x)表示與x對應(yīng)的函數(shù)值,而不是f乘x.
②這里x是自變量.
③f是對應(yīng)關(guān)系,它可以是一個或幾個解析式,可以是圖象、表格,也可以是文字描述.
④在研究函數(shù)問題時,我們除了常用f(x)表示函數(shù)外,還經(jīng)常會用到g(x),F(x),G(x)等符號來表示.
【課中探究】
探究點一
例1　(1)BD　(2)B　(3)D　[解析] (1)對于A選項,0∈M,但0沒有倒數(shù),即在N中找不到與0對應(yīng)的數(shù),該對應(yīng)關(guān)系不表示函數(shù),故A項錯誤;對于B選項,任意實數(shù)的絕對值都是非負數(shù),即集合M中的每一個元素在集合N中都有唯一確定的元素與之對應(yīng),該對應(yīng)關(guān)系表示函數(shù),故B項正確;對于C選項,每個正數(shù)的平方根都有兩個,即集合M中的每個元素在集合N中都有兩個元素與之對應(yīng),該對應(yīng)關(guān)系不表示函數(shù),故C項錯誤;對于D選項,y=x2-2x+2=(x-1)2+1,當x≥2,x∈N*時,可得y≥2,y∈N*,且集合M中的每個x在集合N中都有唯一的y值與之對應(yīng),該對應(yīng)關(guān)系表示函數(shù),故D項正確.故選BD.
(2)對于A,對于集合M中的元素x,當1(3)對于A選項,f(x)的定義域為{x|x≠-1},g(x)的定義域為R,兩個函數(shù)的定義域不同,故不是同一個函數(shù).對于B選項,f(x)的定義域為{x|x≥2},g(x)的定義域為{x|x≥2,或 x≤-2},兩個函數(shù)的定義域不同,故不是同一個函數(shù).對于C選項,f(x)==|x|,g(x)=x,兩個函數(shù)的定義域都為R,但對應(yīng)關(guān)系不同,故不是同一個函數(shù).對于D選項,兩個函數(shù)的定義域都為R,對應(yīng)關(guān)系相同,故是同一個函數(shù).故選D.
探究點二
例2　解:要使函數(shù)有意義,需滿足解得x≤1且x≠0且x≠-1,所以函數(shù)的定義域為(-∞,-1)∪(-1,0)∪(0,1].
變式　(-∞,1)∪(1,3]　[解析] 由題得解得x<1或1拓展　(1)C　(2)B　[解析] (1)令-2≤2x-1≤3,解得-≤x≤2,∴y=f(2x-1)的定義域是.故選C.
(2)因為函數(shù)f(2x-1)的定義域為(-1,9),即-1探究點三
例3　解:(1)f(2)=22+2-1=5,f[f(2)]=f(5)=52+5-1=29,f(a+1)=(a+1)2+(a+1)-1=a2+3a+1.
(2)由題意得x2+x-1=5,即x2+x-6=0,解得x=2或x=-3.
變式　(1)B　(2)1　[解析] (1)由題意知f=2×=,f=-+1=,所以f+f=.故選B.
(2)因為函數(shù)f(x)=所以f(5)=f(3)=f(1)=12=1,所以f[f(5)]=f(1)=12=1.
探究點四
例4　解:(1)要使函數(shù)y=有意義,需滿足16-x2≥0,解得-4≤x≤4,∴該函數(shù)的定義域為[-4,4].
易知當x=0時,函數(shù)y取得最大值4,當x=±4時,函數(shù)y取得最小值0,故函數(shù)y的值域為[0,4].
(2)f(x)=-x2+2x+1=-(x-1)2+2,
∵x∈[0,3],∴x-1∈[-1,2],
∴-(x-1)2+2∈[-2,2],
即函數(shù)f(x)=-x2+2x+1,x∈[0,3]的值域為[-2,2].
(3)f(x)=x-=- ,
∵≥0,∴-≥-,
即函數(shù)f(x)=x-的值域為.
(4)y===1-,
∵x2+1≥1,∴∈(0,4],∴-∈[-4,0),
則1-∈[-3,1),∴y=的值域為[-3,1).
變式　解:(1)因為≥0,所以-2≥-2,故函數(shù)y=-2的值域為[-2,+∞).
(2)因為y=1-,且x2-x+1=+≥,所以0<≤,所以-≤y<1,故函數(shù)的值域為.
(3)令=t,則t≥0,且x=,所以y=-t=-(t+1)2+1,由t≥0,可得y≤,故函數(shù)的值域為.
(4)y====
=-,其中x≠1,當x=1時,==-.又因為≠0,所以y≠.故函數(shù)的值域為∪∪.
(5)因為x>1,所以x-1>0,
所以y===x-1++2≥2+2=8,當且僅當x-1=,
即x=4時,取等號,此時y取得最小值8.故函數(shù)的值域為[8,+∞).

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