資源簡介

第一章　預備知識
§1　集合
1.1　集合的概念與表示
【學習目標】
1.通過實例了解與集合有關的概念(元素、集合、有限集、無限集、空集),初步掌握常用數集及集合的表示方法,發展數學抽象素養.
2.通過選用不同的方法表示一個集合,體會元素與集合之間的關系,感受集合中元素的確定性、互異性、無序性.
3.在學習集合語言的過程中,增強學生通過性質辨別不同事物的能力,并進行分類表達.
　　　　　 　　　　　 　　　　　
◆ 知識點一　集合的概念及元素的特征
1.集合與元素的概念:一般地,我們把指定的某些對象的　　　　稱為集合,集合中的每個對象叫作這個集合的　　　　.
2.符號表示:集合通常用大寫英文字母A,B,C,…表示,元素通常用小寫英文字母a,b,c,…表示.如果元素a在集合A中,就說元素a屬于集合A,記作　　　　;如果元素a不在集合A中,就說元素a不屬于集合A,記作　　　　　.
3.常用的數集及其記法:
數集 自然數集 正整數集 整數集 有理數集 實數集 正實數集
記法 　 　　或 　 　 　 　 　
4.集合中元素的三個特性為　　　　、　　　　、無序性.
5.空集:我們把不含任何元素的集合叫作空集,記作 .
6.含有有限個元素的集合叫作有限集;含有無限個元素的集合叫作無限集.
【診斷分析】 判斷正誤.(請在括號中打“√”或“×”)
(1)中國著名的旅游景區構成一個集合. (　 )
(2)|-3| N. (　 )
(3)若a∈A,b∈A,則a≠b. (　 )
(4){a,b,c}和{c,b,a}表示同一個集合. (　 )
◆ 知識點二　集合的表示法
1.列舉法:把集合中的元素一一列舉出來寫在　　　　　　內表示集合的方法,一般可將集合表示為{a,b,c,…}.(注意元素間要用“,”隔開,如{-1,0,1,2})
2.描述法:通過描述元素滿足的條件表示集合的方法.一般可將集合表示為{x及x的范圍|x滿足的條件}.
【診斷分析】 判斷正誤.(請在括號中打“√”或“×”)
(1)方程(x-1)(x+2)=0的實數根組成的集合為{1,-2}. (　 )
(2)函數y=-x+4的圖象與坐標軸的交點組成的集合為{0,4}. (　 )
(3)集合{x∈R|-1◆ 知識點三　區間及其表示
1.區間的概念(a,b是兩個實數,且a定義 符號 名稱 數軸表示
{x|a≤x≤b} 　　 閉區間
{x|a{x|a≤x{x|a2.其他區間的表示
定義 符號 數軸表示
{x|x≥a} 　　　
{x|x>a} 　　　
{x|x≤b} 　　　
{x|x特別地,實數集R可以表示為　　　　.
【診斷分析】 判斷正誤.(請在括號中打“√”或“×”)
(1)“∞”表示的是一個數. (　 )
(2){x|5≥x≥1}用區間可表示為[5,1]. (　 )
(3){x|x≥1}可表示為(1,+∞]. (　 )
◆ 探究點一　集合的概念
例1 (1)(多選題)下列對象中能組成集合的是(　 )　　　　　 　　　　　 　　　　　
A.著名的科學家
B.中國的直轄市
C.所有的偶數
D.所有的直角三角形
(2)下列對象中能組成集合的是:①某省所有的好學校;②直角坐標系中橫坐標與縱坐標互為相反數的點;③π的近似值;④小于5的自然數.(　 )
A.①② B.②③
C.②④ D.③④
[素養小結]
判斷給定的對象能不能構成集合,關鍵在于能否找到一個明確的標準,使得對于任何一個對象,都能按此標準確定它是不是給定集合的元素.
◆ 探究點二　元素與集合的關系
例2 (1)下列表示正確的是 (　 )
A.0∈N* B.∈Z
C.π∈Q D.∈R
(2)(多選題)下列關系中正確的是 (　 )
A.2 {x|x<}
B.1∈
C.4∈{x|x=n2+1,n∈N+}
D.(1,3)∈{(x,y)|y=2x+1}
變式 (1)(多選題)下列結論正確的是 (　 )
A.∈Q B. Q
C.-1∈N+ D.-5∈Z
(2)已知集合A是由形如m+n(其中m,n∈Z)的數組成的,請判斷是否為集合A中的元素.
[素養小結]
判斷一個對象是不是某集合中的元素,首先要明確已知集合中的元素具有怎樣的特征,即集合中的元素要符合哪些表達式或滿足哪些條件,然后再判斷此對象是否也具有這種特征,從而確定該對象與已知集合的關系.
◆ 探究點三　集合中元素特性的簡單應用
例3 (1)(多選題)設集合A={-1,1+a,a2-2a+5},若4∈A,則a的值可能為 (　 )
A.-1 B.0
C.1 D.3
(2)已知集合A={a1,a2,a3,a4},且a1,a2,a3,a4均為正數,則以a1,a2,a3,a4為邊長構成的四邊形可能是 (　 )
A.平行四邊形 B.矩形
C.菱形 D.梯形
變式 由實數x,-x,|x|,,-組成的集合最多有 (　 )
A.3個元素 B.2個元素
C.4個元素 D.5個元素
[素養小結]
集合中的元素應具有確定性、互異性和無序性,在解決與參數相關的問題時,一定要確保參數的值滿足集合中元素的互異性,否則應舍去.
◆ 探究點四　集合的表示法
例4 用適當的方法表示下列集合,并指明是無限集、有限集還是空集.
(1)滿足不等式2x-1>3x的解組成的集合;
(2)由方程x2+x+1=0的實數解組成的集合;
(3)由一次函數y=-x+3與y=2x+6的圖象的交點組成的集合;
(4)不大于10的正偶數組成的集合.
變式 用適當的方法表示下列集合.
(1)大于2且小于6的自然數組成的集合P;
(2)方程(x-1)2(x-2)=0的所有解組成的集合;
(3)大于4且不大于5的實數組成的集合.
[素養小結]
(1)用列舉法表示集合應注意:
①弄清集合中的元素是什么,是數還是點,還是其他元素.
②若集合中的元素是點,則應將有序實數對用小括號括起來表示一個元素.
(2)利用描述法表示集合應注意:
①寫清楚該集合的代表元素.
②在通常情況下,集合中豎線左側元素的所屬范圍為實數集時可以省略不寫.
1.1　集合的概念與表示
【課前預習】
知識點一
1.全體　元素　2.a∈A　a A
3.N　N+　N*　Z　Q　R　R+　4.確定性　互異性
診斷分析
(1)×　(2)×　(3)√　(4)√　[解析] (1)不滿足集合元素的確定性,錯誤.
(2)|-3|=3∈N,錯誤.
(3)集合中的元素滿足互異性,正確.
(4)集合中的元素滿足無序性,正確.
知識點二
1.花括號“{}”
診斷分析
(1)√　(2)×　(3)√　[解析] (1)方程的根是實數,所以此集合為數集,正確.
(2)函數圖象與坐標軸的交點為點,所以此集合為點集,故組成的集合為{(0,4),(4,0)}.
(3)集合{x∈R|-1知識點三
1.[a,b]　(a,b)　[a,b)　(a,b]
2.[a,+∞)　(a,+∞)　(-∞,b]　(-∞,b)　(-∞,+∞)
診斷分析
(1)×　(2)×　(3)×　[解析] (1)“∞”是一個符號,不是一個數,以“-∞”或“+∞”為區間的一端時,這一端必須用小括號.
(2)用區間[a,b]表示集合時,必須滿足a(3){x|x≥1}應表示為[1,+∞).
【課中探究】
探究點一
例1　(1)BCD　(2)C　[解析] (1)選項A中的對象沒有一個明確的判定標準,而選項B,C,D中的對象都有一個明確的判定標準,所以選項B,C,D中的對象可以組成集合.故選BCD.
(2)①某省所有的好學校不具有確定性,不能組成集合;②直角坐標系中橫坐標與縱坐標互為相反數的點,可以組成集合;③π的近似值不具有確定性,不能組成集合;④小于5的自然數有0,1,2,3,4,能組成集合.②④符合條件,故選C.
探究點二
例2　(1)D　(2)AD　[解析] (1)對于A,0既不是正數也不是負數,N*表示正整數集,故A錯誤;對于B,Z表示整數集,不是整數,故B錯誤;對于C,Q表示有理數集,π是無理數,故C錯誤;對于D,R表示實數集,是實數,故D正確.故選D.
(2)2=>,故A正確;空集是不含任何元素的集合,則1 ,故B錯誤;假設4∈{x|x=n2+1,n∈N+},則4=n2+1,可得n=±,與n∈N+矛盾,故假設不成立,4 {x|x=n2+1,n∈N+},故C錯誤;{(x,y)|y=2x+1}中含有(1,3),故D正確.故選AD.
變式　(1)ABD　[解析] 因為-1不屬于正整數,所以選項C錯誤,易知其他選項都正確,故選ABD.
(2)解:因為=2+,且2,1∈Z,所以∈A,故為集合A中的元素.
探究點三
例3　(1)CD　(2)D　[解析] (1)因為集合A={-1,1+a,a2-2a+5},4∈A,所以1+a=4或a2-2a+5=4.若1+a=4,則a=3,此時A={-1,4,8},符合題意;若a2-2a+5=4,則a=1,此時A={-1,2,4},符合題意.所以a=3或a=1,故選CD.
(2)根據集合中元素的互異性可知,構成的四邊形的四條邊的長度互不相等,其中平行四邊形、矩形和菱形對邊的長度均相等,不符合要求,梯形的四條邊的長度可能互不相等,故構成的四邊形可能為梯形.故選D.
變式　B　[解析] 當x=0時,x=-x=|x|==-=0,組成的集合中只有1個元素0;當x>0時,|x|=x,=x,-=-x,組成的集合中只有2個元素,即x和-x;當x<0時,|x|=-x,=-x,-=-x,組成的集合中只有2個元素,即x和-x.所以由實數x,-x,|x|,,-組成的集合最多有2個元素.故選B.
探究點四
例4　解:(1)由2x-1>3x,得x<-1,則該不等式的解有無數個,所以用描述法可以表示為{x|x<-1},是無限集.
(2)因為Δ=1-4=-3<0,所以方程x2+x+1=0不存在實數解,即該集合為空集.
(3)由解得所以由一次函數y=-x+3與y=2x+6的圖象的交點組成的集合為{(-1,4)},是有限集.
(4)不大于10的正偶數有有限個,可用列舉法表示為{2,4,6,8,10},是有限集.
變式　解:(1)大于2且小于6的自然數有3,4,5,所以集合P可以表示為{3,4,5}.
(2)方程(x-1)2(x-2)=0的解為x=1,x=2,所以方程(x-1)2(x-2)=0的所有解組成的集合可以表示為{1,2}.
(3)大于4且不大于5的實數組成的集合可以表示為{x|4

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