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第二章 勻變速直線運動的研究
高中物理必修第一冊人教版
第3節 勻變速直線運動的位移與時間的關系
知識點1 勻變速直線運動的位移
1．位移在v－t圖像中的表示
做勻變速直線運動的物體的位移對應著v－t圖像中的圖線和__________包圍的“面積”．如圖所示，物體在0～t時間的位移大小等于________的面積．
時間軸　
梯形 　
靜止 一條________________的直線
勻速直線運動 一條__________的直線
時間　
位移　
平行于時間軸　
傾斜　
(1)初速度越大，運動時間越長，勻變速直線運動的位移一定越大嗎？ 為什么？
(2)位移公式的推導過程中進行了近似處理，推導結果是否正確？為什么？　
微思考
【答案】(1)不一定．勻變速直線運動的位移與初速度、加速度、運動時間三個因素有關，僅根據初速度和運動時間不能確定位移的大小．(2)正確．位移公式的推導過程中進行了合理的近似，并應用了極限思想，推導結果是正確的．
例1-1 如圖2-3-3所示是一質點在時刻從某一點出發做直線運動的 圖像。關
于該質點的運動，下列說法正確的是( )
C
圖2-3-3
A.內的位移與 內的位移相同
B.內的加速度方向與 內的加速度方向相反
C. 末再次經過出發點
D. 末距出發點最遠
基礎過關
【解析】在 圖像中，圖線與時間軸所圍圖形的面積表示質點在該段時間內發生
的位移大小，圖像在時間軸上方位移為正，圖像在時間軸下方位移為負，據此可知，
質點在內的位移與 內的位移大小相等、方向相反，因此位移不相同，
故A錯誤；質點在內沿負方向運動，在內沿正方向運動，在 內
沿負方向運動，根據圖線與時間軸所圍圖形的面積大小可知， 末質點距出發點最
遠，末回到出發點，故D錯誤，C正確；在 圖像中，圖線的斜率表示加速度，
可知質點在內的加速度與 內的加速度大小相等、方向相同，B錯誤。
例1-2 某物體從靜止開始做勻加速直線運動，加速度為 ，求：
（1）物體在 內的位移大小；
【答案】
【解析】由,, 得
。
（2）物體在第 內的位移大小；
【答案】
【解析】第末的速度（即第 初的速度）
故第 內的位移大小
。
（3）物體在第二個 內的位移大小。
【答案】
【解析】第末的速度 ,這也是物體在第二
個 內的初速度
故物體在第二個 內的位移大小
。
知識點2 勻變速直線運動的速度與位移的關系
2ax 　
v0＋at　
2ax 　
　
微思考
【答案】x可以為負，x、a可以同時為負，因為負號代表的是方向．
例2-3 ［教材第43頁“ 例題1”改編］某航空母艦上裝有幫助飛機起飛的彈射系統，
已知某型號的飛機在跑道上加速時能產生的最大加速度為 ，當飛機的速度
達到 時才能離開航母起飛，設航母處于靜止狀態。
（1）若要求該飛機滑行 后起飛，彈射系統必須使飛機至少具有多大的初速度
【答案】
【解析】設彈射系統使飛機具有的初速度至少為，由公式 ，可得
。
基礎過關
（2）若該艦上不裝彈射系統，要求該型號飛機仍能在此艦上正常起飛，問該航母跑
道至少為多長
【答案】
【解析】如果沒有彈射系統，飛機就要從靜止開始加速，做勻加速直線運動，由公
式，得，即該航母跑道至少長為 。
知識點3 勻變速直線運動的重要推論
例3-4 (2024·江蘇泰州質檢)一物體做勻變速直線運動，在連續相等的兩個時間間隔
內，通過的位移分別是和，每一個時間間隔為 ，求物體的初速度大小、
末速度大小及加速度大小。
【答案】; ;
基礎過關
解法1 （基本公式法）
畫出物體的運動簡圖如圖2-3-8所示
圖2-3-8
由位移公式得
將,, 代入以上三式，解得
加速度大小,初速度大小,末速度大小 。
解法2 （平均速度法）
連續兩段相等時間 內的平均速度分別為
,
且,,由于是、的中間時刻，則 ，三式聯立解得
初速度大小,末速度大小 ,加速度大小
。
解法3 （推論法）
由 可得加速度大小
又
聯立解得初速度大小,末速度大小 。
例3-5 ［教材第55頁“復習與提高”B組第5題改編］實驗證實：四個水球就能夠擋住
子彈！某次實驗中，子彈恰好能穿出第四個水球，如圖2-3-9所示，實驗中將完全相
同的水球緊挨在一起水平排列，子彈在水球中沿水平方向視為做勻變速直線運動，
則( )
A
圖2-3-9
A.子彈穿過每個水球的時間之比為
B.子彈在每個水球中運動的平均速度相同
C.子彈穿過每個水球時速度變化量相同
D.子彈依次進入四個水球的初速度之比為
【解析】將子彈穿過四個水球的過程逆向看作初速度為零的勻加速直線運動過程，
則根據初速度為零的勻加速直線運動的推論，通過連續相等位移所用的時間之比為
，可知子彈通過四個水球所用時間之比為
，故A正確；水球尺寸都相同，子彈通過每個水球
時間不等，由平均速度 可知，子彈在每個水球中運動的平均速度不同，故B錯
誤；，子彈穿過水球的過程中 不變，但通過每個水球的時間不等，所以速
度變化量不等，故C錯誤；根據初速度為零的勻加速直線運動推論，通過連續相等的
位移末速度之比為 ，所以子彈依次進入四個水球的初速度之比為
，故D錯誤。
例6 (2024·湖北華中師大一附中月考)如圖2-3-10，已知、、、 為同一直線上的
四點,、間的距離為,、間的距離為。一物體自 點由靜止出發,沿此直線做勻
加速直線運動,依次經過、、三點。已知物體通過段與 段所用時間相等,求
、 間的距離。
圖2-3-10
【答案】
題型1 應用勻變速直線運動規律求解問題
圖2-3-11
解法1 （基本公式法）
設物體的加速度為,到達點的速度為，通過段和 段所用
的時間均為 ,則有
①
②
聯立①②式得
③, ④
設、間的距離為,則有 ⑤
聯立③④⑤式得 。
解法2 （推論法）
由得 ①
由得 ②
對段有 ③
又 ④
由①②③④式可得 。
解法3 （ 圖像法）
由于物體從點開始做初速度為零的勻加速直線運動，其運動的 圖像是一條過
原點的直線，所以利用圖線與坐標軸圍成的面積表示位移求解更簡便。
設物體經過、、點的時刻分別為、、，則有, ,物體
運動的圖像如圖2-3-11所示，則三角形的面積為、間的距離 ,三角形
的面積為、間的距離,三角形的面積為、間的距離 ，
由于上述三角形相似，由面積比等于相似比的平方得 ,
,聯立解得、間距離為 。
【學會了嗎│變式題】
1.如圖2-3-12所示，一輛汽車（可看作質點）做勻
減速直線運動，先后經過、、 三點，已知
、間的距離為，、 間的距離為
，汽車從運動到的時間為 。
①汽車經過點時的速度為 ；
【答案】
【解析】汽車經過點時的速度為，設經過點時的速度為 ，加速度
大小為
對由到的過程有
對由到的過程有
聯立并代入數據解得 。
②汽車經過點后繼續行駛 停下；
【答案】
【解析】汽車經過點后繼續行駛停下，設經過點時的速度為 ,加速度
大小為 ,則由勻變速直線運動規律有
，
聯立并代入數據解得 。
③汽車從運動到的時間為 。
請在上述三個條件中任選一個，補充在題干中，計算該輛汽車的加速度的大小。
【答案】
【解析】汽車從運動到的時間為，設經過點時的速度為 ，加速度大
小為 ,則由勻變速直線運動規律有
，
聯立并代入數據解得 。
例7 (2024·天津五校聯考)在測定勻變速直線運動的加速度的實驗中，用打點計時器
記錄紙帶運動的時間，打點計時器所用電源的頻率為 ，如圖2-3-13為小車帶動
的紙帶上記錄的一些點，在每相鄰的兩點中間都有四個點未畫出。按時間順序取0、
1、2、3、4、5六個計數點，用刻度尺量出1、2、3、4、5點到0點的距離，如圖2-3-
13所示。
圖2-3-13
題型2 應用勻變速直線運動規律處理紙帶問題
（1）分析小車做什么運動；若小車做勻變速直線運動，求打計數點3時，小車的速
度大小。
【答案】小車做勻減速直線運動
【解析】因為電源頻率為，所以打點的周期 ,相鄰計數點間的時
間間隔為 。
由題圖可得相鄰計數點間的位移分別為,, ,
, 。
所以相鄰計數點間的位移之差為 ,
,, 。
在誤差允許范圍內，可近似認為 ，即連續相等時間內的
位移差相等（【點關鍵】勻變速直線運動的判別方式。）且為負值，所以小車做勻
減速直線運動。
由勻變速直線運動規律可得
。
. .
. .
（2）求小車的加速度（保留兩位有效數字）。
【答案】 ，負號表示加速度方向與小車運動方向相反
解法1 （公式法）
，負號表示加速度方向與小車運動方向
相反。（【拓思維】也可以利用 求解。）
. .
. .
. .
解法2 （圖像法）
同理，, ,
,由 得
，同理得 ，
作出 圖像（使盡量多的點落在圖線上，以減小誤
差。），如圖2-3-14所示，求出圖線斜率即得加速度。
即小車的加速度 ，負
號表示加速度方向與小車運動方向相反。
. .
【學會了嗎│變式題】
2.(2024·陜西西安一中檢測)某同學用打點計時器測量做勻加速直線運動的物體的加
速度，電源頻率，在紙帶上打出的點中，選出第1個計數點 后，每隔4個
點取1個計數點，因保存不當，紙帶被污染，如圖2-3-18所示，、、、 是依次
排列的4個計數點，僅能讀出其中3個計數點到點的距離 、
、 ，由以上信息可以推知：
圖2-3-18
（1）打下相鄰兩計數點的時間間隔 ______；
【解析】打點計時器打出的紙帶每隔4個點取1個計數點，則打下相鄰兩計數點的時
間間隔為 。
（2）打點時物體的速度大小_____ ；
2.49
【解析】根據“平均速度法”可得 。
（3）物體的加速度大小為_ _____________（用、、和 表示）。
【解析】勻加速直線運動的位移特征是相鄰的相等時間間隔內的位移以 為增量
均勻增大，即，所以有, ,則
，可得物體的加速度大小 。
例8 (2024·河北保定一中月考)圖2-3-19（a）為
自動感應門，門框上沿中央安裝有傳感器，當
人或物體與傳感器的水平距離小于或等于某個
設定值（可稱為水平感應距離）時，中間兩扇
門分別向左右平移，當人或物體與傳感器的水
平距離大于設定值時，門將自動關閉。圖（b）
為感應門的俯視圖， 為傳感器位置，虛線圓是傳感器的感應范圍，已知每扇門的寬
度為, 最大移動速度為 ，若門開啟時先勻加速運動而后立即以大小相等的加速度
勻減速運動，每扇門完全開啟時的速度剛好為零，移動的最大距離為 ,不計門及門
框的厚度。試分析并解答以下問題。
題型3 用勻變速直線運動規律求解實際問題
（1）求門開啟時做加速運動和減速運動的加速度大小；
【答案】
解法1 （解析法）
求門開啟時做勻加速運動和勻減速運動的加速度大小，應考慮與此過程相聯系的物
理量——最大速率和最大位移。可利用求加速度的大小,得 。
解法2 （圖像法）
圖2-3-20
每扇門開啟過程中的速度—時間圖像如圖2-3-20所示，設門全部
開啟所用的時間為，由圖可得,又 ,則所求
加速度大小 。
（2）若人以大小為的速度沿圖中虛線 走向感應門，要求人到達門框時左、右門
同時各自移動 的距離，那么設定的傳感器水平感應距離應為多少？
【答案】
【解析】人做勻速運動的速度為,人到達門框時，感應門移動的距離為 ,分析知
此時門恰好達到最大速度（門做勻加速運動），所以，則門移動
距離的時間內，人走過的距離為,故設定的傳感器水平感應距離應為 。
【學會了嗎│變式題】
3.［教材第55頁“復習與提高”B組第6題改編］(2024·浙江蕭山一中期中)不停車電子
收費系統 是智能交通系統的服務功能之一，它特別適合在高速公路收費站使用。
若某車減速前的速度為，靠近通道站口時以大小為 的
加速度勻減速運動，通過通道站口時的速度為 ，然后立即以大小
為 的加速度加速至原來的速度（假設收費站的前、后都是平直大道）。
（1）該車駕駛員應在距收費站口多遠處開始減速？
【答案】
【解析】該車進入站口前做勻減速直線運動
設距離收費站站口處開始制動，則
代入數據解得 。
（2）該車從減速開始到最終恢復到原來速度的過程中，運動的時間是多少？
【答案】
【解析】整個過程汽車經歷勻減速和勻加速兩個階段，所用時間分別為和
減速階段有，解得
加速階段有,解得
則運動的總時間 。
（3）若該車通過人工收費通道，汽車以加速度勻減速到停下，花 拿卡后，又
以加速度 勻加速到原來的速度，對于汽車從開始減速到恢復原來的速度的過程，
汽車通過 通道比通過人工收費通道節約多長時間？
【答案】
【解析】若汽車通過人工收費通道，汽車以勻減速到停下所用時間
拿卡時間
以勻加速到原來的速度所用時間
則通過通道比通過人工收費通道節約時間 。
【解析】以速度的方向為正方向，則 ，
，， 。
例9 ［ 圖像］(2024·南京師大附中、華中師大一附中等T8聯考)2023年10月1日，
在杭州亞運會田徑鐵餅賽場上，兩只電子機器狗來來回回運送鐵餅，這是體育賽事
中的首次。已知工作人員將鐵餅放在機器狗背部的卡槽中，機器狗從靜止開始沿直
線奔跑恰好停到投擲點，其運動過程的 圖像如圖2-3-21所示。則下列說法正確
的是( )
題型4 創新圖像描述勻變速直線運動
圖2-3-21
A.機器狗在 的運動過程中做勻減速運動
B.機器狗奔跑過程中的最大速度為
C.機器狗在 運動過程中的加速度大小為
D.機器狗在奔跑過程中，地面對其產生滑動摩擦力的
作用
√
【解析】圖示解析·巧妙尋關鍵
機器狗奔跑過程與人走路過程受力類似，與地面之間是靜摩擦力的作用，故D錯誤。
圖2-3-22
例10 ［ 圖像］(2024·河北滄州質檢)一質點做勻變速直線運
動，對應的（為位移、 為時間）圖像如圖2-3-22所示。則
內質點的速度變化量是( )
B
A. B. C. D.
【解析】由得 ，結合圖像可知，質點
的加速度 （【指點迷津】解答圖像類問題，推導出圖線的解析式是關鍵，
位移關系式等號兩邊同時除以，即可得，則 圖像的
斜率是。），則內質點的速度變化量是 ，故選B。
. .
【學會了嗎│變式題】
圖2-3-23
4.(2024·江西鷹潭模擬)利用圖像法研究物理量之間的
關系是常用的一種分析方法。如圖2-3-23所示為物體
做直線運動時各物理量之間的關系圖像（、、、
分別表示物體的位移、速度、加速度和時間），則下
列說法正確的是( )
C
A.甲圖中可求出物體的加速度大小為
B.乙圖中可求出物體的加速度大小為
C.丙圖中可求出物體的加速度大小為
D.丁圖中可求出物體在前 內的速度變化量大小為
【解析】根據勻變速直線運動的位移—時間關系有 （【方法總結】當不知
道運動圖線斜率等所表示的物理意義時，可根據勻變速直線運動等相關公式進行推
導，找出橫、縱軸所表示的物理量之間的關系。），結合甲圖，可得
，所以 ，故A錯誤；根據勻變速直線運動的速度—
位移關系有，結合乙圖可得 ，故B錯誤；根據勻變速直線運動的
位移—時間關系有，可得，結合丙圖可得 ，
，所以，即加速度大小為 ，故C正
確； 圖線與坐標軸圍成的面積表示物體速度的變化量，結合丁圖可知
，故D錯誤。
. .
. .
. .
. .
類型1 基本的剎車類問題
例11 一輛汽車剎車前速度為，剎車時獲得的加速度大小為 ，求：
（1）汽車開始剎車后內滑行的距離 ；
【答案】
微專題 剎車類問題的分析與求解
【解析】先求汽車從開始剎車到停下來所經歷的時間 。
由題意知，初速度，末速度 ，以初速度方向為正方向
由及 得
說明汽車剎車后經過 停下來（【注意】需先求解汽車從開始減速到停下來所用
的時間。），因此汽車開始剎車后內的位移等于 內的位移，有以下兩種解法。
解法1 根據位移公式得
。
解法2 根據 得
。
. .
（2）汽車從開始剎車到滑行 的距離所經歷的時間；
【答案】
【解析】根據位移公式得 時
解得，
汽車總剎車時間，很顯然， 不合題意，應舍去。
（3）汽車靜止前內滑行的距離 。
【答案】
解法1 由知，汽車靜止前最后 初的速度
。則最后 內的位移
。
解法2 把汽車減速到速度為零的過程看作初速度為零的勻加速直線運動的逆過程
（逆向思維法），則汽車以的加速度做初速度為零的勻加速運動，在第
內的位移大小即所求，故
。
. .
類型2 帶有反應時間的剎車問題
圖2-3-24
例12 ［教材第55頁“復習與提高”B組第2題
改編］如圖2-3-24所示，駕駛員駕車以
的速度在平直公路上勻速行駛，看
到前方 處有一障礙物后緊急剎車，恰好
（1）在駕駛員反應時間內汽車行駛的距離；
【答案】
【解析】 ，在駕駛員的反應時間內，汽車勻速運動，則駕駛
員反應時間內汽車行駛的距離為 。
未撞上障礙物，已知駕駛員從看到障礙物到開始剎車的反應時間為 ，剎車后汽
車做勻減速運動。求：
微專題 剎車類問題的分析與求解
（2）汽車剎車的加速度大小；
【答案】
【解析】汽車勻減速運動的位移為
汽車恰好未撞上障礙物，則汽車行駛到障礙物處的速度為0，由速度—位移公式得
代入數據解得汽車剎車的加速度大小為
。
（3）若駕駛員飲酒，反應時間變為 ，則汽車將以多大的速度撞擊障礙物。
【答案】
【解析】若駕駛員飲酒，反應時間變為 ，在駕駛員的反應時間內，根據運
動學公式，可得汽車勻速運動的位移為
由題意可得汽車勻減速運動的位移為
由速度—位移公式得
代入數據解得汽車撞擊障礙物的速度大小為
。
類型3 與信號燈結合的剎車問題
例13 （多選）汽車以的速度勻速駛向路口，當行駛至距路口停車線 處
時，綠燈還有 熄滅。而該汽車在綠燈熄滅時剛好停在停車線處，則汽車運動的
圖像可能是( )
BC
A. B. C. D.
【解析】圖像與坐標軸所圍圖形的面積表示位移，A、D選項中 圖像與坐
標軸所圍圖形的面積均不等于，A、D錯誤；B中 圖像與坐標軸所圍圖形的
面積可能等于，B正確；C中圖像與坐標軸所圍圖形的面積正好等于 ，
C正確。
微專題 剎車類問題的分析與求解
類型4 剎車避撞問題
例14 (2024·福建福州第一中學月考)據統計，開車時看手機發生事故的概率是安全駕
駛的23倍，開車時打電話發生事故的概率是安全駕駛的2.8倍。一輛汽車在平直公路
上以某一速度行駛時，司機低頭看手機，相當于盲開 ，該車遇見緊急情況時，
緊急剎車的距離（從開始剎車到停下來汽車所行駛的距離）至少是 。
（1）求該車正常行駛的速度大小和剎車的最大加速度大小；
【答案】;
【解析】汽車正常行駛的速度大小為
汽車剎車的最大加速度大小為
。
（2）若該車以 的速度在高速公路上行駛時，前
方處道路塌方，該司機因低頭看手機， 后才發現危險，司機的反應時間為
，剎車的加速度與（1）問中大小相等。試通過計算說明汽車是否會發生交通事故。
【答案】汽車會發生交通事故
【解析】
司機看手機時，汽車運動的位移為
反應時間內運動的位移為
若前方道路無阻礙，剎車后汽車運動的位移大小為
汽車前進的總距離為
所以汽車會發生交通事故。
謝謝大家

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