資源簡介

4　單擺
學習任務一　對單擺的回復力的理解
[模型建構]
1.單擺模型定義
如果細線的長度不可改變,細線的質量與小球相比可以忽略,球的直徑與線的長度相比也可以忽略,這樣的裝置就叫作單擺.單擺是實際擺的理想化模型.
2.單擺的回復力
(1)單擺受力:如圖所示,擺球受到細線拉力和重力作用.
(2)向心力來源:細線拉力和重力沿徑向的分力的合力.
(3)回復力來源:重力沿圓弧切線方向的分力F=mgsin θ提供了使擺球振動的回復力.
(4)回復力的大小:在偏角θ很小時,擺球的回復力滿足F=-kx,此時擺球的運動可看作簡諧運動.
例1 (多選)如圖所示,小球在做簡諧運動,平衡位置為O點,A、B為最大位移處,M、N點關于OO'對稱.下列說法正確的是 (　)
A.小球受到重力、繩子拉力和回復力
B.小球所受合外力就是單擺的回復力
C.小球在O點時合外力不為0,回復力為0
D.小球在M點的位移與在N點的位移大小相等
[反思感悟]

變式1 [2022·三門中學月考] 圖中O點為單擺的固定懸點,現將擺球(可視為質點)拉至A點,此時細線處于張緊狀態,釋放擺球,擺球將在豎直平面內的A、C之間來回擺動,B點為運動中的最低位置,則在擺動過程中 (　)
A.擺球受到重力、拉力、向心力、回復力四個力的作用
B.擺球在A點和C點處,速度為零,合力與回復力也為零
C.擺球在B點處,速度最大,細線拉力也最大
D.擺球在B點處,速度最大,回復力也最大
學習任務二　單擺的周期、頻率與振幅
[科學思維] 單擺周期公式的理解
(1)周期公式的成立條件:當單擺做偏角很小的振動時,才有T=2π,與單擺的振幅及擺球的質量無關,只與擺長l及單擺所在處的重力加速度g有關.
(2)對擺長l的理解:擺長為懸點到物體重心的距離.
(3)影響g的主要因素:公式中的g由單擺所在的空間位置決定.
例2 一個擺長為2 m的單擺在地球上某地振動時,測得完成100次全振動所用的時間為
284 s.
(1)求當地的重力加速度g的大小.
(2)把該單擺拿到月球上去,已知月球上的重力加速度是1.60 m/s2,則該單擺的振動周期是多少
變式2 (多選)[2022·黃巖中學月考]如圖甲是一個單擺振動的情形,O是它的平衡位置,B、C是擺球所能到達的最遠位置,設擺球向右運動為正方向,圖乙是這個單擺的振動圖像,由此可知 (　)
A.單擺振動的頻率是1.25 Hz
B.t=0時擺球位于B點
C.t=0.2 s時擺球位于平衡位置O,加速度為零
D.若當地的重力加速度g=π2,則這個單擺的擺長是0.16 m
變式3 (多選)[2022·魯迅中學期中]如圖為同一實驗中甲、乙兩個單擺的振動圖像,從圖像可知 (　)
A.兩擺球的質量相等
B.兩單擺的振幅相等
C.兩單擺相位相差
D.兩單擺的擺長相等
1.(單擺及其回復力)(多選)關于甲、乙圖對應的說法正確的是 (　)
A.圖甲是研究彈簧振子的運動實驗圖,彈簧振子在彈簧彈力作用下做勻變速直線運動
B.圖甲是研究彈簧振子的運動實驗圖,彈簧振子的加速度方向永遠指向平衡位置O點
C.圖乙是研究單擺的回復力實驗圖,單擺的回復力是擺球重力和細線拉力的合力
D.圖乙中單擺的擺球運動到O點時所受合力不為零
2.(單擺的周期公式)若單擺的擺長不變,擺球的質量減小,擺球離開平衡位置的最大擺角減小,則單擺振動的 (　)
A.頻率不變,振幅不變
B.頻率不變,振幅改變
C.頻率改變,振幅不變
D.頻率改變,振幅改變
3.(單擺的周期公式)(多選) 如圖所示為甲、乙兩單擺的振動圖像.下列說法正確的是 (　)
A.若甲、乙兩單擺在同一地點擺動,則甲、乙兩單擺的擺長之比l甲∶l乙=2∶1
B.若甲、乙兩單擺在同一地點擺動,則甲、乙兩單擺的擺長之比l甲∶l乙=4∶1
C.若甲、乙兩單擺擺長相同,且在不同的星球上擺動,則甲、乙兩單擺所在星球的重力加速度之比g甲∶g乙=4∶1
D.若甲、乙兩單擺擺長相同,且在不同的星球上擺動,則甲、乙兩單擺所在星球的重力加速度之比g甲∶g乙=1∶4
4.(單擺的周期公式)[2022·魯迅中學月考] 有一單擺,其擺長l=1.02 m,擺球的質量m=0.10 kg,已知單擺做簡諧運動,單擺30次全振動所用的時間t=60.8 s.
(1)當地的重力加速度為多大
(2)如果將這個單擺改為秒擺(周期為2 s),擺長應怎樣改變 改變為多少
[反思感悟]

4　單擺
例1　CD　[解析] 小球只受兩個力,即重力和繩子拉力,A錯誤;小球受到的回復力是重力沿運動方向的分力,B錯誤;小球在O點時,回復力為0,但合外力不為0,合外力指向運動軌跡的圓心,C正確;根據運動的對稱性可知,D正確.
變式1　C　[解析] 擺球在運動過程中只受到重力和拉力作用,A錯誤;擺球在擺動過程中,在最高點A、C處速度為零,回復力最大,合力不為零,在最低點B處,速度最大,回復力為零,細線的拉力最大,C正確,B、D錯誤.
例2　(1)9.78 m/s2　(2)7.02 s
[解析] (1)周期T== s=2.84 s
由周期公式T=2π
解得g== m/s2=9.78 m/s2.
(2)T'=2π=2×3.14× s=7.02 s.
變式2　ABD　[解析] 由振動圖像可判斷,該單擺的周期為0.8 s,頻率為f===1.25 Hz,故A正確;由于規定擺球向右運動為正方向,且B點為擺球所能到達的左邊最遠位置,由振動圖像可判斷,t=0時擺球位于B點,故B正確;由振動圖像可判斷,t=0.2 s時擺球位于平衡位置O,但擺球受到的合力不為零,所以加速度不為零,故C錯誤;根據單擺的周期公式T=2π,可得l=,把T=0.8 s,g=π2,代入計算得l=0.16 m,故D正確.
變式3　CD　[解析] 單擺的周期與質量無關,故A錯誤;由振動圖線可看出兩單擺的振幅不同,相位相差,故B錯誤,C正確;由圖線知兩單擺的周期都是T=8 s,且同一實驗中重力加速度不變,由周期公式可知兩單擺的擺長相等,故D正確.
隨堂鞏固
1.BD　[解析] 題圖甲是研究彈簧振子的運動實驗圖,彈簧振子在彈簧彈力作用下做簡諧運動,簡諧運動是變加速運動,A錯誤;彈簧振子在彈簧彈力作用下做加速度方向永遠指向平衡位置O點的變速直線運動,B正確;題圖乙是研究單擺的回復力實驗圖,單擺的回復力是擺球重力沿圓弧切線方向的分力,C錯誤;題圖乙中單擺的擺球運動到O點時所受合力指向圓心,D正確.
2.B　[解析] 單擺的周期公式為T=2π,與擺球的質量和擺角的大小無關,所以周期不變,頻率也不變;擺球離開平衡位置的最大擺角減小,則振幅也減小,B正確.
3.BD　[解析] 由圖像可知T甲∶T乙=2∶1,根據公式T=2π,若兩單擺在同一地點,則兩單擺擺長之比為l甲∶l乙=4∶1,故A錯誤,B正確;若兩單擺擺長相等,則所在星球的重力加速度之比為g甲∶g乙=1∶4,故C錯誤,D正確.
4.(1)9.79 m/s2　(2)縮短　0.027 m
[解析] (1)當單擺做簡諧運動時,其周期T=2π,可得g=,只要求出T值代入即可.因為T== s≈2.027 s,所以g== m/s2≈9.79 m/s2.
(2)秒擺的周期是2 s,設其擺長為l0,由于在同一地點的重力加速度是不變的,根據單擺的振動周期公式得=,故l0== m≈0.993 m.
其擺長要縮短Δl=l-l0=1.02 m-0.993 m=0.027 m.

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