資源簡介

3　簡諧運動的回復力和能量
學習任務一　簡諧運動的回復力
[模型建構] 如圖所示為放在光滑水平面上的彈簧振子的模型,O點為小球的平衡位置,A、O間和B、O間距離都是x.
(1)小球在O點時受到幾個力的作用 分別是什么力


(2)除重力、支持力、彈簧彈力外,振子在O、A、B點還受到回復力的作用嗎 回復力有什么特點


(3) 回復力F與位移x有何關系


例1 (多選)如圖所示,彈簧振子在光滑水平桿上的A、B之間做簡諧運動,下列說法正確的是 (　)
A.小球運動過程中受重力、支持力和彈簧彈力的作用
B.小球運動過程中受重力、支持力、彈簧彈力和回復力的作用
C.小球由A向O運動過程中,回復力逐漸增大
D.小球由O向B運動過程中,回復力的方向指向平衡位置
[反思感悟]

變式1　(多選)如圖所示,物體系在兩彈簧之間,彈簧勁度系數分別為k1和k2,且k1=k,k2=2k,兩彈簧均處于自然狀態.今向右拉動物體,然后釋放,物體在B、C間振動,O為平衡位置(不計阻力),則下列判斷正確的是 (　)
A.物體做簡諧運動,OC=OB
B.物體做簡諧運動,OC≠OB
C.回復力F=-kx
D.回復力F=-3kx
例2 一質量為m、底面積為S的正方體木塊放在水面上靜止(平衡),如圖所示.現用力向下將其壓入水中一段深度后(未全部浸沒)撤掉外力,木塊在水面上下振動,試判斷木塊的振動是否為簡諧運動.
[反思感悟]

【要點總結】
1.回復力
(1)回復力的方向總是指向平衡位置,回復力為零的位置就是平衡位置.
(2)回復力的性質:回復力是根據力的效果命名的,可能由合力、某個力或某個力的分力提供.它一定等于振動物體在振動方向上所受的合力,分析物體受力時不能再加上回復力.
2.簡諧運動的動力學特征
回復力F=-kx.
(1)k是比例系數,并非彈簧的勁度系數(水平彈簧振子中k為彈簧的勁度系數).k由振動系統決定,與振幅無關.
(2)“-”表示回復力的方向與偏離平衡位置的位移方向相反.
(3)判斷一個物體是否做簡諧運動,可找出回復力F與位移x之間的關系,若滿足F=-kx,則物體做簡諧運動,否則就不做簡諧運動.
3.簡諧運動的加速度
由F=-kx及牛頓第二定律F=ma,可得a=-x,加速度a與位移x的大小成正比,方向與位移方向相反.
學習任務二　簡諧運動的能量
[科學思維]
1.在彈簧振子振動的一個周期內,動能和勢能要完成兩次周期性變化.經過平衡位置時,動能最大,勢能最小(為零);經過最大位移處時,勢能最大,動能最小(為零).
2.簡諧運動中各物理量的變化規律
小球以O為平衡位置在A、B之間做簡諧運動,各物理量的變化規律如下:
位移 回復力 加速度 速度 動能 勢能
從O到A 增大 增大 增大 減小 減小 增大
A 最大 最大 最大 0 0 最大
從A到O 減小 減小 減小 增大 增大 減小
O 0 0 0 最大 最大 0
從O到B 增大 增大 增大 減小 減小 增大
B 最大 最大 最大 0 0 最大
從B到O 減小 減小 減小 增大 增大 減小
例3 [2022·縉云中學月考] 如圖所示,輕質彈簧下面懸掛一物塊組成一個沿豎直方向振動的彈簧振子,彈簧的上端固定于天花板上.當物塊處于靜止狀態時,取它的重力勢能為零.現將物塊向下拉一小段距離后放手,此后物塊在平衡位置附近上下做簡諧運動,不計空氣阻力,則 (　)
A.物塊速度最大時,振動系統的勢能為零
B.物塊速度最大時,物塊的重力勢能與彈簧的彈性勢能相等
C.物塊經過平衡位置時,振動系統的勢能最小
D.物塊振動過程中,振動系統的機械能不守恒
變式2 圖為某個彈簧振子做簡諧運動的振動圖像,由圖像可知 (　)
A.在t=0.1 s時,由于位移為零,所以振動能量為零
B.在t=0.2 s時,彈簧振子的勢能最大
C.在t=0.35 s時,彈簧振子具有的能量尚未達到最大值
D.在t=0.4 s時,彈簧振子的動能最大
變式3 [2022·黃巖中學月考] 如圖所示,一輕彈簧與質量為m的物體組成彈簧振子,物體在同一條豎直線上的A、B間做簡諧運動,O為平衡位置,C為AO的中點,已知OC=h,彈簧的勁度系數為k,某時刻物體恰好以大小為v的速度經過C點并向上運動,重力加速度為g,則從此刻開始半個周期的時間內,對質量為m的物體,下列說法正確的是 (　)
A. 回復力做功為2mgh
B.重力勢能減少了2mgh
C.速度的變化量大小為0
D.通過A點時回復力的大小為kh
1.(回復力)(多選)下列關于簡諧運動回復力的說法正確的是 (　)
A.回復力是使物體回到平衡位置的力
B.回復力一定是變力
C.回復力的方向總是跟物體離開平衡位置的位移方向相同
D.回復力的方向總是跟物體的速度方向相反
2.(回復力與加速度) [2022·余杭高級中學月考] 甲圖中的彈簧振子在0~5 s內的振動圖像如圖乙所示,下列說法中正確的是 (　)
A.從第2 s末到第3 s末振子的回復力增加
B.從第2 s末到第3 s末振子的加速度增加
C.從第1 s末到第2 s末振子在做加速運動
D.第2 s末振子的加速度最大且方向為x軸正向
3.(簡諧運動的能量)(多選)圖是彈簧振子做簡諧運動的振動圖像.下列說法中正確的是 (　)
A.曲線上A、C、E點對應的彈簧振子的勢能最大
B.曲線上A、E點對應的彈簧振子的勢能最大,C點對應的彈簧振子的勢能最小
C.曲線上B、D點對應的彈簧振子的機械能相等
D.曲線上F點對應的彈簧振子的動能最大
4.(簡諧運動的能量)(多選)如圖所示,一彈簧振子在A、B間做簡諧運動,平衡位置為O,物塊的質量為M.若物塊運動到B處時將另一質量為m的物體放到物塊上面,物體與物塊一起振動且兩者無相對運動,則下列說法正確的是 (　)
A.振幅不變 B.振幅減小
C.最大動能不變 D.最大動能減小
3　簡諧運動的回復力和能量
[模型建構] (1)兩個力;重力、支持力.
(2)回復力是指將振動的物體拉回到平衡位置的力,是按照力的作用效果來命名的,不是一種新型的力,所以分析物體的受力時,不分析回復力.回復力可以由某一個力提供(如彈力),也可能是幾個力的合力,還可能是某一個力的分力,歸納起來,回復力一定等于物體沿振動方向所受的合力.
(3)回復力F=-kx,方向與位移方向相反.
例1　AD　[解析] 回復力是根據力的作用效果命名的力,不是做簡諧運動的物體受到的具體的力,它是由物體受到的具體的力所提供的,在此情景中彈簧的彈力充當回復力,故A正確,B錯誤;回復力與位移的大小成正比,由A向O運動過程中位移在減小,故此過程中回復力逐漸減小,C錯誤;回復力總是指向平衡位置,故D正確.
變式1　AD　[解析] 當物體位移是x時,物體受到的作用力F=F1+F2=-k1x-k2x=-3kx,符合簡諧運動的動力學方程,物體做簡諧運動,所以OB、OC的長度都等于物體做簡諧振動的振幅,OB=OC,選項A、D正確.
例2　是
[解析] 以木塊為研究對象,設水的密度為ρ,靜止時木塊浸入水中的深度為Δx,當木塊被壓入水中x深度后所受力如圖所示,則F回=mg-F浮
又F浮=ρgS(Δx+x)
聯立得F回=mg-ρgS(Δx+x)=mg-ρgSΔx-ρgSx
因為靜止時有mg=ρgSΔx,所以F回=-ρgSx
即F回=-kx(k=ρgS),
所以木塊的振動為簡諧運動.
例3　C　[解析] 當物塊在平衡位置時,速度最大,但是彈簧的彈性勢能不為零,故振動系統的勢能不為零,選項A錯誤;在平衡位置時,物塊的重力勢能與彈簧的彈性勢能不一定相等,選項B錯誤;由于只有重力和彈簧彈力做功,則物塊的動能、重力勢能及彈性勢能之和守恒,故在平衡位置時,動能最大,振動系統的勢能最小,選項C正確,D錯誤.
變式2　B　[解析] 彈簧振子做簡諧運動,振幅不變,振動能量不變,選項A錯誤;在t=0.2 s時,位移最大,小球的勢能最大,選項B正確;彈簧振子的振動能量不變,在t=0.35 s時,彈簧振子具有的能量與其他時刻相同,選項C錯誤;在t=0.4 s時,小球的位移最大,動能為零,選項D錯誤.
變式3　B　[解析] 根據簡諧運動的對稱性,經過半個周期時,物體恰好運動到OB的中間位置,且速度方向向下,速度大小仍為v,回復力做功為零,A錯誤;由于下降了2h,因此重力勢能減少了2mgh,B正確;由于初速度向上,末速度向下,因此速度的變化量大小為2v,C錯誤;由于彈簧的勁度系數為k,因此通過A點時回復力的大小為F=2kh,D錯誤.
隨堂鞏固
1.AB　[解析] 回復力是做簡諧運動的物體所受到的指向平衡位置的力,由F=-kx可知,回復力是變力,A、B正確;回復力的方向總是指向平衡位置,跟物體離開平衡位置的位移方向相反,可能跟物體的速度方向相反,也可能跟物體的速度方向相同,C、D錯誤.
2.D　[解析] 第2 s末到第3 s末振子在衡位置,彈簧的形變量減小,故回復力減小, 振子的加速度減小,故A、B錯誤;振子在平衡位置速度最大,第1 s末到第2 s末,振子在做加速度增大的減速運動,故C錯誤;第2 s末振子到負向位移最大處,所以加速度最大,且方向為x軸正向,故D正確.
3.ACD　[解析] 小球離平衡位置越遠,則彈簧振子勢能越大,A正確,B錯誤;因為簡諧運動過程中機械能守恒,所以越衡位置處,動能越大,D正確;因為簡諧運動的機械能是守恒的,所以在各個位置的機械能應相等,C正確.
4.AC　[解析] 當物塊運動到B處時,物塊的動能為零,放上物體后,系統的總能量為彈簧所儲存的彈性勢能Ep,由于簡諧運動過程中系統的機械能守恒,故振幅不變,選項A正確;當物塊與物體運動至平衡位置O時,物塊與物體的動能之和即為系統的總能量,此時動能最大,故最大動能不變,選項C正確.

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