資源簡介

5　彈性碰撞和非彈性碰撞
學習任務一　彈性碰撞和非彈性碰撞
[物理觀念]
1.碰撞過程的特點
(1)碰撞相互作用時間極短.
(2)碰撞相互作用力極大,即內力遠大于外力,滿足系統動量守恒條件.
(3)可以認為物體在碰撞的瞬間位置不變.
2.填寫碰撞從能量角度的分類與特點的相關知識
彈性碰撞 碰撞前后動能　　　
非彈性碰撞 碰撞后動能　　　
完全非彈性碰撞 碰撞后合為一體或碰后具有共同速度,這種碰撞動能損失　　　
[科學推理] 如圖所示,質量分別為m1、m2的兩個大小相同的球分別以速度v1、v2在光滑的水平面上沿同一直線運動,其中v2>v1,兩球碰撞后粘在一起以速度v運動.
系統碰撞前、后動量守恒,有 　　　　　.
碰撞后系統動能損失ΔEk= 　　　　　　　　.
例1 質量分別為300 g和200 g的兩個物體在光滑的水平面上相向運動,速度分別為50 cm/s和100 cm/s.
(1)如果兩物體碰撞并粘合在一起,求它們共同的速度大小;
(2)如果兩物體碰撞并粘合在一起,求碰撞后損失的動能;
(3)如果碰撞是彈性碰撞,求兩物體碰撞后的速度大小.
[反思感悟]

變式1 [2020·全國卷Ⅲ] 甲、乙兩個物塊在光滑水平桌面上沿同一直線運動.甲追上乙,并與乙發生碰撞,碰撞前后甲、乙的速度隨時間的變化如圖中實線所示.已知甲的質量為1 kg.則碰撞過程兩物塊損失的機械能為 (　)
A.3 J B.4 J C.5 J D.6 J
學習任務二　彈性碰撞實例分析
[科學推理] 閱讀教材,理解彈性碰撞
兩質量分別為m1、m2的小球發生彈性正碰,入射球的初速度v1≠0,被碰球的初速度v2=0,則有
m1v1=m1v'1+m2v'2,
m1=m1v+m2v,
可得v'1=v1,v'2=v1.
分情況討論:
(1)當m1=m2時,v1'=0,v2'=v1.(質量相等,速度交換)
(2)當m1>m2時,v1'>0,v2'>0,且v2'>v1'.(大碰小,一起跑)
(3)當m10.(小碰大,要反彈)
(4)當m1 m2時,v1'=v1,v2'=2v1.(極大碰極小,大不變,小加倍)
(5)當m1 m2時,v1'=-v1,v2'=0.(極小碰極大,小等速率反彈,大不變)
例2 [2022·杭州外國語學校月考] 質量相等的甲、乙、丙三個球沿同一直線放在光滑水平面上,如圖所示,乙球與丙球靠在一起,且均靜止,甲球以速度v向它們滾動.若它們在對心碰撞中無機械能損失,則碰撞后 (　)
A.甲球向左、乙球和丙球向右運動
B.乙球不動,甲球向左、丙球向右運動
C.甲球和乙球向左、丙球向右運動
D.甲球和乙球不動,丙球向右運動
變式2 如圖所示,B、C、D、E、F五個小球并排放置在光滑的水平面上,B、C、D、E四個球質量相等,而F球的質量小于B球,A球的質量等于F球.若A球以速度v0向B球運動,所發生的碰撞均為彈性碰撞,則碰撞之后 (　)
A.5個小球靜止,1個小球運動
B.4個小球靜止,2個小球運動
C.3個小球靜止,3個小球運動
D.6個小球都運動
學習任務三　碰撞的可行性
[物理觀念] 彈性碰撞和完全非彈性碰撞是碰撞的兩種極限情況,其余的碰撞結果應該是介于這兩種極限情況之間.
正碰(即對心碰撞)既不是指彈性碰撞,也不是指完全非彈性碰撞,它是指一維碰撞,即碰撞前、后物體在同一條直線上運動,顯然它既可能是彈性碰撞或完全非彈性碰撞,也可能是一般的非彈性碰撞.
例3 (多選)甲、乙兩球在光滑水平軌道上同向運動,已知它們的動量分別是p1=4 kg·m/s,
p2=6 kg·m/s,甲從后面追上乙并發生碰撞,碰后乙球的動量變為8 kg·m/s,則兩球質量m1與m2間的關系可能是(　)
A.3m1=m2
B.4m1=m2
C.5m1=m2
D.6m1=m2
變式3 (多選)質量為m、速度為v的A球跟質量為3m、靜止的B球發生正碰,碰撞可能是彈性碰撞,也可能是非彈性碰撞,因此,碰撞后B球的速度可能有不同的值.碰撞后B球的速度可能為 (　)
A.0.6v B.0.4v
C.0.3v D.0.2v
【要點總結】
動碰動的彈性碰撞
情境:若在一光滑水平面上有兩個質量分別為m1、m2的剛性小球A和B,以初速度v1、v2運動,若它們能發生碰撞(為一維彈性碰撞),碰撞后它們的速度v'1和v'2分別是多大
【列式】碰撞過程中系統動量守恒:m1v1+m2v2=m1v'1+m2v'2
彈性碰撞中沒有機械能損失:m1+m2=m1v+m2v
【結論】
v'1=;
v'2=.
示例　(多選)[2022·效實中學期中] 如圖所示,光滑水平面上有一質量mA=1 kg的A球和一質量mB=1.5 kg的B球同向運動.已知A球的初速度v1=10 m/s,B球的初速度v2=5 m/s,運動一段時間后,兩球發生對心正碰.下列說法正確的是(　)
A.當兩球發生的碰撞是彈性碰撞時,A球對B球的沖量為7.5 N·s
B.碰撞的過程中,系統損失的機械能可能為8 J
C.碰撞后,A球的速度可能為5 m/s
D.當兩球發生的碰撞是完全非彈性碰撞時,A球對B球的沖量為3 N·s
[反思感悟]

變式4　[2022·溫州中學期中] 如圖所示為大球和小球疊放在一起、在同一豎直線上進行的超級碰撞實驗,可以使小球彈起并上升到很大高度.將質量為M的大球(在下),質量為m的小球(在上)疊放在一起,從距地面高h處由靜止釋放,h遠大于球的半徑,不計空氣阻力.假設大球和地面、大球與小球的碰撞均為彈性碰撞,且碰撞時間極短.下列說法正確的是 (　)
A.若大球的質量遠大于小球的質量,則小球上升的最大高度為9h
B.若M=3m,則小球與大球碰撞后的速度大小為2
C.若M=3m,則大球與小球碰撞后,小球上升的高度為2h
D.若M=3m,則大球與小球碰撞后,大球上升的高度為0.25h
1.(碰撞的能量問題)[2022·北侖中學月考] 在光滑的水平面上,一質量為m的小球A以初動能Ek與質量為2m的靜止小球B發生碰撞,碰撞后A球停下,則碰撞后B球的動能為 (　)
A.0 B.
C.Ek D.Ek
2.(完全非彈性碰撞)(多選)作為時尚青年熱愛的運動,溜旱冰又炫又酷,備受追捧.如圖甲所示,水平地面上有A、B兩位同學,A的質量為50 kg,B靜止在地面上,A以一定的初速度向B滑去,一段時間后抱住B一起向右運動.若以向右為正,A運動的位移—時間圖像(x-t圖像)如圖乙所示,不計空氣阻力以及地面對人的阻力,則下列說法正確的是 (　)
A.B的質量為60 kg
B.B的質量為75 kg
C.A抱住B的過程中損失的機械能為375 J
D.A抱住B的過程中損失的機械能為400 J
3.(彈性碰撞)[2022·富陽中學月考] 在光滑水平面上有兩個相同的彈性小球A、B,質量都為m,B球靜止,A球向B球運動,發生正碰.已知碰撞過程中機械能守恒,兩球壓縮最緊時彈性勢能為Ep,則碰前A球的速度為 (　)
A. B.
C.2 D.2
4.(碰撞的可行性)(多選)兩個小球A、B在光滑水平面上相向運動,已知它們的質量分別是m1=4 kg和m2=2 kg,A的速度v1=3 m/s(設為正),B的速度v2=-3 m/s,則它們發生正碰后,其速度可能分別是　 (　)
A.1 m/s和1 m/s
B.4 m/s和-5 m/s
C.2 m/s和-1 m/s
D.-1 m/s和5 m/s
5.(動碰動的彈性碰撞)(多選)如圖,質量為m1的小球以速度v1向右在光滑的地面上運動,質量為m2的小球以速度v2也向右運動,且v1>v2,兩球發生彈性碰撞,碰撞后的m1的速度為v1',m2的速度為v2',則　 (　)
A.v1'=v2+v1,v2'=v1+v2
B.v1'=v1+v2,v2'=v2+v1
C.若m1=m2,則v1'=v1,v2'=v2
D.若m1=m2,則v1'=v2,v2'=v1
答案
[物理觀念] 不變　減少　最大
[科學推理] m1v1+m2v2=(m1+m2)v　m1+m2-(m1+m2)v2
例1　(1)0.1 m/s　(2)0.135 J　(3)0.7 m/s　0.8 m/s
[解析] (1)取300 g物體的初速度方向為正方向,令m1=300 g=0.3 kg,m2=200 g=0.2 kg,v1=50 cm/s=0.5 m/s,v2=-100 cm/s=-1 m/s
設兩物體碰撞后粘合在一起的共同速度為v
由動量守恒定律得m1v1+m2v2=(m1+m2)v
代入數據解得v=-0.1 m/s,負號表示方向與v1的方向相反.
(2)在(1)的情況下,碰撞后兩物體損失的動能為
ΔEk=m1+m2-(m1+m2)v2
代入數據解得ΔEk=0.135 J.
(3)如果碰撞是彈性碰撞,設碰后兩物體的速度分別為v1',v2',
由動量守恒定律得m1v1+m2v2=m1v1'+m2v2',
由機械能守恒定律得
m1+m2=m1v1'2+m2v2'2,
代入數據得v1'=-0.7 m/s,v2'=0.8 m/s,負號表示方向與v1方向相反.
變式1　A　[解析] 甲、乙相碰過程系統動量守恒,有m甲v甲+m乙v乙=m甲v'甲+m乙v'乙,由圖像可知,v甲=5 m/s,v乙=1 m/s,v'甲=-1 m/s,v'乙=2 m/s,又知m甲=1 kg,解得m乙=6 kg,碰撞過程中兩物塊損失的機械能為ΔE=m甲+m乙-m甲v-m乙v=3 J,故A正確.
例2　D　[解析] 由于球甲與球乙發生碰撞時間極短,球乙的位置來不及發生變化,這樣球乙對球丙也就無法產生力的作用,即球丙不會參與此次碰撞過程.而球甲與球乙發生的是彈性碰撞,質量又相等,故它們在碰撞中實現速度交換,碰后球甲立即停止,球乙速度立即變為v;此后球乙與球丙碰撞,再一次實現速度交換,所以碰后球甲、球乙的速度為零,球丙的速度為v.
變式2　C　[解析] A與B相碰時,由于A的質量小于B,故A被彈回,B獲得速度與C碰撞,由于發生的碰撞為彈性碰撞且兩球質量相等,故B靜止,C獲得速度,同理,C和D的碰撞及D與E的碰撞都是如此,E獲得速度后與F碰撞的過程中,由于E的質量大于F,故碰后E、F都向右運動,所以碰撞之后,A、E、F三球運動,B、C、D三球靜止.
例3　AB　[解析] 碰前甲的速度大于乙的,有>,代入數據解得<,根據動量守恒定律得p1+p2=p'1+p'2,解得p'1=2 kg·m/s,碰撞過程系統的總動能不增加,有+≤+,代入數據解得≤,碰撞后甲的速度不大于乙的速度,有≤,代入數據解得≥,所以≤≤,故A、B正確,C、D錯誤.
變式3　BC　[解析] 兩球相碰時若發生彈性碰撞,則碰后B球的速度為v2==0.5v;若發生完全非彈性碰撞,則碰后B球的速度為v2==0.25v,故B球的速度v2的范圍為0.25v≤v2≤0.5v,故B、C正確.
素養提升
示例　CD　[解析] 發生彈性碰撞時,根據動量守恒及機械能守恒有mAv1+mBv2=mAvA+mBvB,mA+mB=mA+mB,得vA=4m/s ,vB=9m/s,A球對B球的沖量為I=mBvB-mBv2=6 N·s,A錯誤;若發生完全非彈性碰撞,則mAv1+mBv2=(mA+mB)v,得v=7 m/s,則碰撞后A球的速度在4 m/s到7 m/s之間,完全非彈性碰撞的機械能損失最大ΔE=mA+mB-(mA+mB)v2=7.5 J,B錯誤,C正確;當兩球發生的碰撞是完全非彈性碰撞時,A球對B球的沖量為I'=mBv-mBv2=3 N·s,D正確.
變式4　A　[解析] 兩球做自由落體運動v2=2gh,兩球落地時速度大小為v=.大球與地面碰撞后,速度瞬間反向,大小不變,兩球發生彈性碰撞,兩球碰撞過程系統內力遠大于外力,系統動量守恒、機械能守恒,設碰撞后小球速度大小為v1,大球速度大小為v2,選向上為正方向,由動量守恒和機械能守恒得Mv-mv=mv1+Mv2,(m+M)v2=m+M,解得v1=.當M m時,不考慮m影響,則v1=3,小球上升高度為H==9h,故A正確;若M=3m,則碰撞后小球的速度大小為v1==2,小球上升高度為H'==4h,故B、C錯誤;若M=3m,則碰撞后大球的速度大小為v2=0,大球不上升,故D錯誤.
隨堂鞏固
1.B　[解析] 小球A與靜止小球B發生正碰,規定小球A的初速度方向為正方向,設撞后B球的速度大小為v2,根據碰撞過程中動量守恒可得mv0=mv1+2mv2,碰后A球停下,即v1=0,解得v2=v0,又Ek=m,所以碰后B球的動能為EkB=×2m=m=,A、C、D錯誤,B正確.
2.BC　[解析] 根據題圖乙,A抱住B前A的速度大小vA== m/s=5 m/s,A抱住B后他們的共同速度大小v== m/s=2 m/s,根據動量守恒定律有mAvA=(mA+mB)v,解得mB=75 kg,A錯誤,B正確;A抱住B的過程中損失的機械能ΔE=mA-(mA+mB)v2,解得ΔE=375 J,C正確,D錯誤.
3.C　[解析] 設碰前A球的速度為v0,根據動量守恒定律有mv0=2mv,則壓縮最緊(A、B有相同速度)時的速度v=,由系統機械能守恒得m=×2m×+Ep,解得v0=2.
4.AD　[解析] 碰撞前后動量守恒,可驗證四個選項都滿足要求,再看動能情況,碰撞前系統總動能Ek=m1+m2=×4×32 J+×2×32 J=27 J,碰撞后系統總動能E'k=m1v+m2v,由于碰撞過程中動能不可能增加,故應有Ek≥E'k,可排除選項B選項.C雖滿足Ek≥E'k,但A、B沿同一直線相向運動,發生碰撞后各自仍能保持原來的速度方向(v'A>0,v'B<0),這顯然是不符合實際的,選項C錯誤.選項A、D均滿足Ek≥E'k,且速度合理,故選項A、D正確.
5.BD　[解析] 兩球發生彈性碰撞,滿足系統的動量守恒,能量守恒,取向右方向為正方向,根據動量守恒有m1v1+ m2v2=m1 v1'+m2 v2',由能量守恒可知m1+m2=m1v+m2v,聯立解得v'1=v1+v2,v'2= v2+v1,若滿足m1=m2,則有v'1=v2,v'2= v1,故B、D正確,A、C錯誤.

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