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新人教版 選擇性必修一
第二章 機械振動
第4節(jié) 單擺
新課引入
問題
生活中經(jīng)常可以看到懸掛起來的物體在豎直平面內(nèi)往復(fù)運動，它們擺動是否為簡諧運動呢？
如果細線的長度不可改變，細線的質(zhì)量與小球相比可以忽略，球的直徑與線的長度相比也可以忽略，這樣的裝置就叫作單擺（simple pendulum）。
研究單擺時還有一個條件：與小球受到的重力及繩的拉力相比，空氣等對它的阻力可以忽略。
為了更好的滿足這個條件，實驗時要盡量選擇質(zhì)量大、體積小的球和盡量細的線
單擺是實際擺的理想化模型。
（1）忽略線的伸縮和質(zhì)量；
（2）線長遠大于球的直徑；
（3）振動時空氣阻力可以忽略；
新課引入
單擺的擺動是不是簡諧運動呢？
方法二：如果回復(fù)力與偏離平衡位置的位移大小成正比，這種振動叫簡諧振動。
方法一：如果質(zhì)點的位移與時間的關(guān)系遵從正弦函數(shù)的規(guī)律，即振動圖像（x-t圖像）是一條正弦曲線，這樣的振動叫做簡諧振動（simple harmonic motion）;
學(xué)習(xí)任務(wù)一：單擺的回復(fù)力
單擺擺長為l、擺球質(zhì)量為m。將擺球拉離平衡位置O后釋放，擺球沿圓弧做往復(fù)運動。
對擺球在任意位置P點受力分析有：
l
m
O
G
P
F1
F2
T
重力G和擺線拉力T
將重力分解為：沿半徑方向的分力F1=mgcosθ和沿圓弧切線方向的分力F2=mgsinθ ；
（1）沿半徑方向： T – mgcosθ = m an
（2）沿切線方向： F2 = – mgsinθ = m at
向心力
回復(fù)力
規(guī)定向右為正方向
學(xué)習(xí)任務(wù)一：單擺的回復(fù)力
擺角θ 正弦值 弧度值
1° 0.01754 0.01745
2° 0.03490 0.03491
3° 0.05234 0.05236
4° 0.06976 0.06981
5° 0.08716 0.08727
6° 0.10453 0.10472
7° 0.12187 0.12217
8° 0.13917 0.13963
返回
在擺角小于5度的條件下：Sinθ≈θ（弧度值）
回復(fù)力F2與小球的位移x=OP并不成正比也不反向；
但是當(dāng)擺角θ很小時， OP圓弧可近似為直線，認(rèn)為F2指向平衡位置O，與位移x=OP反向；
回復(fù)力
l
m
O
G
P
F1
F2
T
規(guī)定向右為正方向
如果角θ很小，用弧度表示的θ有：
sinθ ≈ θ
結(jié)論：單擺在擺角很小的情況下是簡諧運動。
（2）沿切線方向： F2 = – mgsinθ = m at
擺角很小：一般是10°以內(nèi)，越小越準(zhǔn)確。
學(xué)習(xí)任務(wù)一：單擺的回復(fù)力
二、光的折射
學(xué)習(xí)任務(wù)一：單擺的回復(fù)力
單擺的回復(fù)力是否就是單擺所受的合外力？單擺經(jīng)過平衡位置時，回復(fù)力為零，合外力也為零嗎？
回復(fù)力不是合外力.單擺的運動可看做是變速圓周運動，其重力可分解為沿懸線方向的分力和沿圓弧切線方向的分力，重力沿圓弧切線方向的分力是使擺球沿圓弧振動的回復(fù)力.所以單擺經(jīng)過平衡位置時，回復(fù)力為零，但合外力不為零.
【深度思考】
學(xué)習(xí)任務(wù)一：單擺的回復(fù)力
光滑圓弧面上有一個小球，把它從最低點移開一小段距離，放手后，小球以最低點為平衡位置左右振動，請你證明小球的振動是簡諧運動？
G
FN
G1
解析：小球在光滑圓弧面上擺動時，回復(fù)力由重力沿切線方向的分力提供
在偏角很小時，小球相對于最低點的位移為x與所對應(yīng)的弧長近似相等；設(shè)圓半徑為r ，
符合簡諧運動的動力學(xué)特征，則小球做簡諧運動
例題1
二、光的折射
學(xué)習(xí)任務(wù)二：單擺的周期
實驗1：兩擺的擺球質(zhì)量、擺長相同，振幅不同
實驗探究影響單擺周期的因素
結(jié)論：單擺的振動周期與擺球質(zhì)量無關(guān)。
二、光的折射
學(xué)習(xí)任務(wù)二：單擺的周期
實驗1：兩擺的擺長、振幅相同，擺球質(zhì)量不同
實驗探究影響單擺周期的因素
結(jié)論：單擺的振動周期與其振幅無關(guān)(等時性)。
二、光的折射
學(xué)習(xí)任務(wù)二：單擺的周期
實驗1：兩擺的擺球質(zhì)量、振幅相同，擺長不同
實驗探究影響單擺周期的因素
結(jié)論：單擺的振動周期與擺長有關(guān)。
二、光的折射
學(xué)習(xí)任務(wù)二：單擺的周期
實驗1：兩擺的振幅、擺長相同，擺球質(zhì)量不同
實驗探究影響單擺周期的因素
結(jié)論：單擺的振動周期與擺球質(zhì)量無關(guān)。
二、光的折射
學(xué)習(xí)任務(wù)二：單擺的周期
實驗1：兩擺的擺長、擺球質(zhì)量相同，振幅不同
實驗探究影響單擺周期的因素
結(jié)論：單擺的振動周期與其振幅無關(guān)(等時性)。
二、光的折射
學(xué)習(xí)任務(wù)二：單擺的周期
實驗1：兩擺的擺球質(zhì)量、振幅相同，擺長不同
實驗探究影響單擺周期的因素
結(jié)論：單擺的振動周期與擺長有關(guān)。
二、光的折射
學(xué)習(xí)任務(wù)二：單擺的周期
實驗1：兩擺的擺球質(zhì)量、振幅相同，擺長不同
實驗探究影響單擺周期的因素
結(jié)論：單擺的振動周期與擺長的平方根成正比。
為了找出定量的關(guān)系，荷蘭物理學(xué)家惠更斯進行了詳盡的研究，發(fā)現(xiàn)單擺做簡諧運動的周期T與擺長l的二次方根成正比，與重力加速度g的二次方根成反比，而與振幅、擺球質(zhì)量無關(guān)。
惠更斯確定了計算單擺周期的公式
單擺周期公式的發(fā)現(xiàn)，為人類利用簡諧運動定量計時提供了可能，并以此為基礎(chǔ)發(fā)明了真正可持續(xù)運轉(zhuǎn)的時鐘。
學(xué)習(xí)任務(wù)二：單擺的周期
單擺周期的公式
惠更斯（荷蘭）
在人類文明進步和科學(xué)技術(shù)發(fā)展的歷史長河中，人類活動與時間測量的精度是密不可分的。很久很久以前，我們的祖先記錄時間是利用天體的周期性運動。例如利用太陽和月亮相對自己的位置等來模糊地定義時間。
后來，人們從觀察自然現(xiàn)象到逐漸發(fā)明了日晷、水鐘、沙漏等人造計時裝置，這標(biāo)志著人造時鐘開始出現(xiàn)（圖 1）
當(dāng)鐘擺等可長時間周期性運動的振蕩器出現(xiàn)后，人們把能產(chǎn)生確定的振蕩頻率的裝置，作為時間頻率標(biāo)準(zhǔn)，并以此為基礎(chǔ)發(fā)明了真正可持續(xù)運轉(zhuǎn)的時鐘。
從 20 世紀(jì) 30 年代開始，隨著晶體振蕩器的發(fā)明，小型化、低能耗的石英晶體鐘表代替了機械鐘，廣泛應(yīng)用在電子計時器和其他各種計時領(lǐng)域。
科學(xué)漫步
從日晷到原子鐘
20 世紀(jì) 40 年代開始，科學(xué)家們利用原子超精細結(jié)構(gòu)躍遷能級具有非常穩(wěn)定的躍遷頻率這一特點，發(fā)展出比晶體鐘更高精度的原子鐘。
隨著激光冷卻原子技術(shù)的發(fā)展，利用激光冷卻的原子制造的冷原子鐘（圖 2）使時間測量的精度進一步提高。到目前為止，地面上精度最高的冷原子噴泉鐘已經(jīng)達到每 3 億年只有 1 s 的誤差，更高精度的冷原子光鐘也在快速發(fā)展中。
近年來，科學(xué)家們將激光冷卻原子技術(shù)與空間微重力環(huán)境相結(jié)合，有望在空間軌道上獲得比地面上的線寬要窄一個數(shù)量級的原子鐘譜線，從而進一步提高原子鐘的精度，這將是原子鐘發(fā)展史上又一個重大突破。
從日晷到原子鐘
科學(xué)漫步
從日晷到原子鐘
我國制造的空間冷原子鐘
日晷
科學(xué)漫步
1. 周期是2s的單擺叫秒擺，秒擺的擺長是多少？把一個地球上的秒擺拿到月球上去，已知月球上的自由落體加速度為1.6 m/s2，它在月球上做50次全振動要用多少時間？
例題1
解析：根據(jù)單擺的周期公式 ，可得 的秒擺的擺長為
秒擺在月球上的周期為
做50次全振動的時間為
將一個擺長為l的單擺放在一個光滑的、傾角為α的斜面上，其擺角為θ，如圖所示，下列說法正確的 (　　)
A．?dāng)[球做簡諧運動的回復(fù)力為F＝mgsin θsin α
B．?dāng)[球做簡諧運動的回復(fù)力為F＝mgsin θ
C．?dāng)[球經(jīng)過平衡位置時合力為零
D．?dāng)[球在運動過程中，經(jīng)過平衡位置時，線的拉力為F′＝mgsin α
例題2
【解析】擺球做簡諧運動的回復(fù)力由重力沿斜面的分力沿圓弧切線方向的分力來提供，則回復(fù)力為F＝mgsinθsin α，故A正確，B錯誤；擺球經(jīng)過平衡位置時，回復(fù)力為零，向心力最大，故其合外力不為零，故C錯誤；設(shè)擺球在平衡位置時速度為v，由動能定理得mgsin α(l－lcos θ)＝mv2，由牛頓第二定律得F′－mgsin α＝m，由以上兩式可得線的拉力為F′＝3mgsin α－2mgsin αcos θ，故D錯誤．
例題2
1. 探究單擺周期與擺長之間的一個理想單擺，已知其周期為T。如果由于某種原因（如轉(zhuǎn)移到其他星球）自由落體加速度變?yōu)樵瓉淼?/2 ,它的周期變?yōu)槎嗌伲?br/>解析：由單擺周期公式 ，可以看出周期與振幅及擺球質(zhì)量無關(guān)
將 打入可得，
當(dāng)堂達標(biāo)檢測
2. 如圖是兩個單擺的振動圖像。
（1）甲、乙兩個擺的擺長之比是多少？
（2）以向右的方向作為擺球偏離平衡位置的位移的正方向，從t=0起，乙第一次到達右方最大位移時，甲擺動到了什么位置？向什么方向運動？
解析：由圖可知， ，
由 得
由題意可知，乙第一次到達右方做大位移處時，對應(yīng)乙的位移正的最大，此時 ，再有甲的圖像知，甲在 時剛好到達平衡位置，且此時向左運動。
當(dāng)堂達標(biāo)檢測
3. 一條細線下面掛著一個小球，讓它自由擺動，畫出它的振動圖像如圖所示。
（1）請根據(jù)圖中的數(shù)據(jù)計算出它的擺長。
（2）請根據(jù)圖中的數(shù)據(jù)估算出它擺動的最大偏角。
解析：有圖可知單擺的周期
由單擺周期公式 ，可求出擺長
其擺角最大時 ，由幾何關(guān)系可得，最大擺角的正弦值為 ，最大擺角約為
當(dāng)堂達標(biāo)檢測
4如圖甲所示，擺球在豎直平面內(nèi)做簡諧運動，通過力傳感器測量擺線拉力F，F(xiàn)的大小隨時間t變化規(guī)律如圖乙所示，擺球經(jīng)過最低點時的速度大小v＝55 m/s，忽略空氣阻力，取g＝10 m/s2，π2≈g，求：
(1)單擺的擺長l；
(2)擺球的質(zhì)量m；
(3)擺線拉力的最小值。
當(dāng)堂達標(biāo)檢測
解析　(1)由題圖乙可知單擺周期為T＝2 s
根據(jù)單擺周期公式T＝2π
解得l＝1 m。
(2)當(dāng)拉力最大時，即F＝1.02 N，
擺球處在最低點由牛頓第二定律F－mg＝m
解得m＝0.1 kg。
(3)從最低點到最高點，由動能定理得－mgl(1－cos θ)＝0－mv2
解得cos θ＝0.99
在最高點擺線的拉力最小，最小值為F′＝mgcos θ＝0.99 N。
當(dāng)堂達標(biāo)檢測

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