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第二十八講 圓周運動中的臨界問題
一、單項選擇題
1．如圖“水流星”表演時，繩長為2L，一端在手里，一端連接盛水的容器，要使表演成功，則杯子運動到最高點處的速度至少是（　　）
A． B． C． D．2
2．如圖所示，小球m在豎直放置的光滑圓形管道內做圓周運動，下列說法中正確的是( )
A．小球通過最高點的最小速度為
B．運動到a點時小球一定擠壓外側管壁
C．小球在水平線ab以下管道中運動時，內側管壁對小球一定有作用力
D．小球在水平線ab以上管道中運動時，內側管壁對小球一定有作用力
3．如圖所示，豎直平面內由兩個半徑分別為r1和r2的圓形過山車軌道N、P．若過山車在兩個軌道的最高點對軌道的壓力都恰好為零，則過山車在N、P最高點的速度比為（ ）
A． B．
C． D．
4．若汽車在水平地面上轉彎時，地面的摩擦力已達到最大，則當汽車的速率增大為原來的k（）倍時，要使汽車轉彎時不打滑，其轉彎的軌道半徑至少應為（ ）
A．原來的k倍 B．原來的 C．原來的倍 D．原來的
5．如圖所示，長度相同的兩根輕繩，一端共同系住質量為m的小球，另一端分別固定在等高的A、B兩點，A、B兩點間的距離與繩長相等。已知重力加速度為g。現使小球在豎直平面內以AB為軸做圓周運動，若小球在最高點速率為v時，兩根繩的拉力恰好均為零，則小球在最高點速率為3v時，每根繩的拉力大小為（ ）
A． B．
C． D．
6．如圖所示，光滑的圓錐體頂部有一根桿，一根不可伸長的輕繩一端與桿的上端相連，另一端與一個質量為的小球（視為質點）相連，其中輕繩的長度為。在桿的上端安裝了一個驅動裝置，可以使小球繞圓錐體在水平面內做勻速圓周運動，角速度在一定范圍內可以調整。圓錐體固定在水平面上，其軸線沿豎直方向，母線與軸線的夾角為。當小球旋轉的角速度為時，小球與圓錐體之間的彈力恰好為零，此時繩上的拉力為，取重力加速度，，則（　　）
A．
B．
C．
D．
7．如圖所示，半徑為的半球形容器固定在水平轉臺上，轉臺可繞過容器球心的豎直軸線勻速轉動，物塊（可視為質點）隨容器轉動且相對器壁靜止。當物塊與點的連線和豎直方向的夾角為60°，且轉臺的角速度大小為時，物塊受到的摩擦力恰好為零。重力加速度大小為，物塊的質量為，下列說法正確的是（　　）
A．若轉臺的角速度由緩慢增大，則一定增大
B．物塊對容器壁的壓力大小為
C．
D．若轉臺的角速度由緩慢增大，則物塊的摩擦力方向沿容器壁向上
8．如圖所示，長為L的輕繩一端固定在水平圓盤的豎直中心轉軸上，另一端連接一質量為m的物塊，圓盤未轉動時，輕繩水平伸直但無彈力。現使該物塊隨圓盤一起在水平面內繞豎直轉軸勻速轉動，不計空氣阻力，該物塊與圓盤間動摩擦因數為，最大靜摩擦力等于滑動摩擦力，重力加速度為g，物塊可視為質點，輕繩伸長可忽略。當圓盤以不同角速度勻速轉動時，下列說法正確的是（　　）
A．物塊受的摩擦力可以沿半徑向外
B．圓盤轉動角速度為時，輕繩的拉力為
C．圓盤轉動角速度為時，輕繩拉力為
D．圓盤轉動角速度時，輕繩彈力大小為
9．如圖所示，傾斜放置的圓盤繞著中軸勻速轉動，圓盤的傾角為37°，在距轉動中心處放一個小木塊，小木塊跟隨圓盤一起轉動，小木塊與圓盤間的動摩擦因數為，假設木塊與圓盤的最大靜摩擦力與相同條件下的滑動摩擦力相同。若要保持小木塊不相對圓盤滑動，圓盤轉動的角速度最大不能超過（　　）
A．2 rad/s B．8 rad/s
C． D．
10．在光滑水平面上，有一轉軸垂直于此平面，交點O的上方h處固定一細繩，繩的另一端連接一質量為m的小球B，繩長，小球可隨轉軸轉動在光滑水平面上做勻速圓周運動，如圖所示，要使小球不離開水平面，轉軸角速度的最大值是（　　）
A． B．
C． D．
11．如圖所示，半徑為R的光滑細圓環固定在豎直平面內，一質量為m、中心有小孔的小球（可視為質點）穿在圓環上，并在豎直平面內做圓周運動，以大小為（g為重力加速度）的速度經過圓環最高點A，則下列說法正確的是（　　）
A．要保證小球可以到達最高點A，k不可能等于0
B．若，則小球在A點對圓環產生方向豎直向下、大小為的拉力
C．若，則小球在A點對圓環產生方向豎直向下、大小為的壓力
D．若，則小球在A點對圓環產生方向豎直向下、大小為的拉力
12．如圖所示，一長度為的光滑輕桿可繞點在光滑水平面內做勻速圓周運動，輕桿上套有一質量為的小球，原長為、勁度系數為的輕質彈簧一端固定在輕桿左端，另一端與小球連接。已知在彈性限度內，輕質彈簧的最大伸長量為，轉動過程中彈簧始終未超過彈性限度，輕桿右端點線速度的最大值為（ ）
A． B．
C． D．
13．如圖所示，小木塊a和b（可視為質點）放在水平圓盤上，a的質量是2m，b的質量是m，a與轉軸OO'的距離為L，b與轉軸的距離為2L。木塊與圓盤的最大靜摩擦力為木塊所受重力的k倍，重力加速度大小為g。若圓盤從靜止開始繞轉軸緩慢地加速轉動，用ω表示圓盤轉動的角速度。下列說法正確的是（　　）
A．a所受的摩擦力方向始終與速度方向相反
B．未滑動時，a所受的摩擦力大于b所受的摩擦力
C．當時，a所受摩擦力的大小為2kmg
D．b一定比a先開始滑動
14．一根輕質細線一端系一可視為質點的小球，細線另一端固定在一光滑圓錐頂上，如圖甲所示，設小球在水平面內做勻速圓周運動的角速度為，線的張力T隨變化的圖像如圖乙所示，g取。下列說法正確的是（ ）
A．細線的長度為1m
B．細線的長度為0.36m
C．小球的質量為2kg
D．小球的質量為3kg
15．如圖（俯視圖），用自然長度為，勁度系數為k的輕質彈簧，將質量都是m的兩個小物塊P、Q連接在一起，放置在能繞O點在水平面內轉動的圓盤上，物體P、Q和O點恰好組成一個邊長為的正三角形。已知小物塊P、Q和圓盤間的最大靜摩擦力均為，現使圓盤帶動兩個物體以不同的角速度做勻速圓周運動，則（ ）
A．當圓盤的角速度為時，P、Q兩物塊受到的摩擦力最小
B．當圓盤的角速度為時，P、Q兩物塊受到的摩擦力都等于彈簧彈力的大小
C．當圓盤的角速度為時，P、Q兩物塊受到的合力大小均為
D．當物體P、Q兩物塊剛要滑動時，圓盤的角速度為
二、多項選擇題
16．如圖所示，A、B兩個材料相同的物體放在水平旋轉的圓盤上，A的質量為m，B的質量為2m，B離軸距離為R，A離軸距離為2R，兩物體始終相對盤靜止，則（　　）
A．A與B的線速度大小之比為2∶1
B．A與B的角速度之比為1∶1
C．A與B的向心加速度大小之比為1∶1
D．在轉盤轉速增加時，A比B先開始滑動
17．如圖所示，一個上表面粗糙、中心有孔的水平圓盤繞軸MN轉動，系有不可伸長細線的木塊置于圓盤上，細線另一端穿過中心小孔O系著一個小球。已知木塊、小球均可視為質點，質量均為m，木塊到O點的距離為R，O點與小球之間的細線長為L，開始圓盤未轉動時，小球和木塊處于靜止狀態，而當圓盤以角速度為勻速轉動時，小球以角速度隨圓盤做圓錐擺運動，木塊相對圓盤靜止，連接小球的細線與豎直方向的夾角為α，小孔與細線之間無摩擦，，則（　　）
A．此時細線中的拉力大小為
B．如果繼續增大，木塊不可能向遠離O點的方向滑動
C．如果，在細線不斷的情況下，無論多大木塊都不會滑動
D．如果，增大，木塊可能向靠近O點的方向滑動
18．如圖所示，物體A、B放在水平圓盤的一個直徑上，用不可伸長的輕繩相連，繩子剛好伸直，圓盤可繞豎直軸轉動，A、B到軸的距離分別為2r和r，兩物塊的質量關系為兩物塊與圓盤面的動摩擦因數均為μ，設最大靜摩擦力等于滑動摩擦力，輕繩能承受的拉力足夠大，當圓盤以不同角速度繞軸勻速轉動時，下列說法正確的是（　　）
A．由于，因此A、B受到的摩擦力始終為零
B．隨著轉動角速度增大，A、B始終不會滑動
C．隨著轉動角速度增大，最終A沿圓盤半徑向外滑動
D．隨著轉動角速度增大，B受到的最大摩擦力與A受到的最大摩擦力相等
19．在一根細線上套有一個質量為m的光滑小環C，將細線的兩端固定在如圖所示的豎直桿上的A、B兩點，當豎直桿以一定的角速度繞其中心軸勻速轉動時細線被張緊，小環在水平面內做勻速圓周運動，細線的AC段與豎直方向的夾角為，細線的BC段恰沿水平方向，已知，重力加速度為g，則（　　）
A．細線中的張力大小為
B．細線的總長度為
C．桿上A、B兩點間的距離為
D．環做圓周運動的向心加速度大小等于
20．如圖甲所示，將質量均為的物塊A、B置于水平轉盤的同一直徑上，兩者用長為的水平輕繩連接，輕繩恰好伸直但無拉力。已知兩物塊與轉盤之間的動摩擦因數均為，最大靜摩擦力等于滑動摩擦力，物塊A與轉軸的距離等于，簽個裝置能繞通過轉盤中心的豎直軸轉動，當轉盤以不同角速度勻速轉動時，兩物塊所受摩擦力大小與角速度二次方的關系圖像如圖乙所示，重力加速度為，下列說法正確的是（　　）
A．由圖乙可知，轉盤的角速度時，物塊A所受摩擦力不變
B．圖乙中 C．
D．當時，輕繩的拉力大小為
答案解析
1．A
【詳解】若杯子運動到最高點時，水恰好不流出，圓周運動半徑為L，則
解得
所以杯子運動到最高點處的速度至少是。
故選B。
2．B
【詳解】A．在最高點，由于外管或內管都可以對小球產生彈力作用，當小球的速度等于0時，內管對小球產生彈力，大小為mg，故最小速度為0，故A錯誤；
B．小球做圓周運動需要向心力，運動到a點時，需要外側管壁提供向心力，所以小球一定擠壓外側管壁，故B正確；
C．小球在水平線ab以下管道運動，由于沿半徑方向的合力提供做圓周運動的向心力，所以外側管壁對小球一定有作用力，對內側管壁沒有作用力，故C錯誤；
D．小球在水平線ab以上管道中運動時，當速度非常大時，內側管壁沒有作用力，此時外側管壁有作用力，當速度比較小時，內側管壁有作用力，故D錯誤。
故選B。
3．C
【詳解】在最高點根據牛頓第二定律得
解得
過山車在N、P最高點的速度比為
故選C。
4．C
【詳解】若汽車在水平地面上轉彎時，地面的摩擦力已達到最大，根據牛頓第二定律可得
可得
可知當汽車的速率增大為原來的k（）倍時，其轉彎的軌道半徑至少應為原來的倍。
故選C。
5．C
【詳解】小球在最高點速率為v時，兩根繩的拉力恰好均為零，則
小球在最高點速率為3v時，每根繩的拉力大小為T，則
聯立解得
故選C。
6．C
【詳解】對小球受力分析，如圖所示
豎直方向根據受力平衡可得
水平方向根據牛頓第二定律可得
由幾何關系得
聯立解得
，
故選C。
7．C
【詳解】BC．轉臺的角速度大小為時，物塊受到的摩擦力恰好為零，此時豎直方向根據受力平衡可得
解得
可知此時物塊對容器壁的壓力大小為；水平方向根據牛頓第二定律可得
可得
故B錯誤，C正確；
AD．若轉臺的角速度由緩慢增大，則物塊所需的向心力增大，重力和支持力的合力不足以提供所需的向心力，物塊有沿容器壁向上運動的趨勢，所以物塊受到的摩擦力方向沿容器壁向下，當摩擦力未到達最大值時，物塊與器壁仍相對靜止，角不變，故AD錯誤。
故選C。
8．C
【詳解】A．開始時靜摩擦力提供向心力，靜摩擦力方向沿半徑指向圓心，根據
隨角速度的增加，靜摩擦力逐漸增加，當達到最大靜摩擦力時繩子上出現拉力，根據
隨轉速的增加拉力逐漸變大，摩擦力方向仍指向圓心，可知物塊受的摩擦力一直沿半徑指向圓心，選項A錯誤；
B．圓盤轉動角速度為時，根據
可得輕繩的拉力為零，選項B錯誤；
C．圓盤轉動角速度為時，根據
輕繩拉力為
選項C正確；
D．圓盤轉動角速度時，根據
輕繩彈力大小為
選項D錯誤。
故選C。
9．A
【詳解】只要小木塊轉過最低點時不發生相對滑動就能始終不發生相對滑動，設其經過最低點時所受靜摩擦力為f，由牛頓第二定律有
f﹣mgsinθ=mrω2
為保證不發生相對滑動需要滿足
f≤μmgcosθ
聯立解得
ω≤2rad/s
故A正確，BCD錯誤。
故選A。
【點睛】解決本題的關鍵知道只要小木塊轉過最低點時不發生相對滑動就能始終不發生相對滑動，結合牛頓第二定律和最大靜摩擦力進行求解。
10．B
【詳解】小球不離開水平面的臨界條件是水平面對小球的支持力為零，設此時細繩與轉軸的夾角為，有
有幾何關系有
整理有
故選B。
11．B
【詳解】A．由于小球穿在圓環上，當小球到達最高點受到的支持力等于重力時，小球的速度為0，則要保證小球可以到達最高點A，k可以等于0，故A錯誤；
C．小球以大小為的速度經過圓環最高點A時，假設圓環對球的力為，方向向下，根據牛頓第二定律可得
解得
若，可知小球在A點與圓環的力為0，故C錯誤；
B．若，可知
即環對小球的力為豎直向上的支持力，大小為；根據牛頓第三定律可知小球在A點對圓環產生方向豎直向下、大小為的拉力，故B正確；
D．若，可得
即環對小球的力為豎直向下的拉力，大小為；根據牛頓第三定律可知小球在A點對圓環產生方向豎直向上、大小為的支持力，故D錯誤。
故選B。
12．A
【詳解】彈簧彈力提供小球的向心力，可得
解得
小球、光滑輕桿同軸轉動，角速度相同，則輕桿右端點線速度的最大值為
故選A。
13．D
【詳解】D．小物塊a、b隨圓盤從靜止開始繞轉軸緩慢地加速轉動，每一時刻兩者均做圓周運動，其向心力由靜摩擦力提供，根據牛頓第二定律可知：當a所受摩擦力達到最大靜摩擦力時，有
解得
當b所受摩擦力達到最大靜摩擦力時，有
解得
可得
說明b先達到最大靜摩擦力，b一定比a先開始滑動，故D正確；
A． a所受的摩擦力方向始終與相對運動方向相反，當a隨圓盤緩慢地加速轉動時，某時刻可認為是勻速圓周運動，摩擦力提供向心力，摩擦力方向與速度方向垂直，故A錯誤；
B．未滑動時，小物塊a、b隨圓盤相對靜止做勻速圓周運動，兩者所受靜摩擦力等于各自的向心力
，
所以未滑動時，a所受的摩擦力等于b所受的摩擦力，故B錯誤；
C．由于
所以a所受摩擦力的大小
故C錯誤。
故選D。
14．C
【詳解】設線長為L，錐體母線與豎直方向的夾角為，當時，小球靜止，受重力mg、支持力N和線的拉力而平衡，此時有
增大時，T增大，N減小，當時，角速度為，有
解得
kg，m
故選C。
15．D
【詳解】A．PQ間的距離為，而彈簧的原長為，故彈簧的彈力為
根據合力與分力構成的矢量三角形可知，靜摩擦力具有最小值時沿軌跡切線，與彈力沿切線方向的分力平衡，為
此時物塊隨圓盤轉動需要的向心力為彈力沿半徑方向的分力
解得
故A錯誤；
B． 當時，可得物塊隨圓盤轉動需要的向心力為
由力的三角形可知靜摩擦力不等于彈簧的彈力，故B錯誤；
C．當時，可得物塊隨圓盤轉動需要的向心力為
由力的三角形可知靜摩擦力等于，此時物體和圓盤還未相對滑動，物體所受的合力亦為也為，故C錯誤；
D．靜摩擦力達到最大時，恰好最大靜摩擦力與彈力垂直，此時
解得
故D正確。
故選D。
16．ABD
【詳解】AB．A與B的角速度均等于圓盤的角速度，則有
根據
可得
故AB正確；
C．根據
可得
故C錯誤；
D．由靜摩擦力提供向心力可得
可得A與B所受摩擦力大小相等，最大靜摩擦力
A的質量小，最大靜摩擦力小，所以A比B先滑動，故D正確。
故選ABD。
17．CD
【詳解】A．如圖所示，設繩子拉力為，對小球進行受力分析知
此時細線中的拉力大小為
A錯誤；
B．設木塊受到摩擦力為，小球做圓錐擺運動，則有
若摩擦力的方向沿半徑向外
則
如果繼續增大，木塊可能向靠近O點的方向滑動。
若摩擦力的方向沿半徑向里
則
如果繼續增大，木塊可能向遠離O點的方向滑動。如果，摩擦力為零，所以無論多大木塊都不會滑動，B錯誤；
C．小球做圓錐擺運動，則有
木塊隨圓盤勻速轉動所需向心力為
當，細線張力恰好提供木塊做圓周運動的向心力，摩擦力為零，而且此力只與有關，所以無論多大木塊都不會滑動，C正確；
D．如果，木塊隨圓盤勻速轉動所需向心力小于細線張力，木塊受到指向圓盤邊緣的摩擦力f，增大到一定值，摩擦力達到最大值后木塊會向O點滑動，D正確；
故選CD。
18．BD
【詳解】A．由于輕繩開始剛好伸直，沒有張力，因此圓盤轉動后，A、B開始隨圓盤轉動需要的向心力由靜摩擦力提供，故A錯誤；
BCD．物塊A剛好要滑動時，有
解得
此時B受到的摩擦力
繼續增大轉動角速度，輕繩開始有拉力并和摩擦力一起提供向心力，當轉動角速度為時，由于
可見增加的向心力相同且都由輕繩提供，因此從A剛好要滑動開始，隨著轉動的角速度增大 ， A、B受到的摩擦力大小始終不變，始終等于A、B不可能滑動，故BD正確，C錯誤。
故選BD。
19．ABD
【詳解】A．對小環，根據豎直方向的平衡條件有
解得細線中的張力大小為
故A正確；
BC．水平方向，根據牛頓第二定律可得
解得
根據幾何關系，細線的總長度為
桿上A、B兩點間的距離為
故B正確，C錯誤；
D．水平方向，根據牛頓第二定律
解得
故D正確。
故選ABD。
20．BD
【詳解】AB．剛開始角速度比較小時，物塊受到的靜摩擦力提供所需的向心力，由于物塊B的半徑較大，所需向心力較大，則物塊B受到的摩擦力先達到最大，之后物塊B受到的摩擦力不變，繩子開始產生拉力，則圖乙中圖像為物塊B所受摩擦力大小與角速度的平方的關系圖像，對物塊B,由牛頓第二定律可得
解得開始產生繩子拉力時的角速度為
故A錯誤，B正確；
CD．當時，物塊A受到的摩擦力達到最大，分別對物塊A和B進行受力分析，根據牛頓第二定律可得
聯立解得
，
解得
故C錯誤，D正確。
故選BD。
答案第10頁，共12頁
第7頁，共18頁

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