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專題提升三　類碰撞模型(一)——“彈簧—小球”模型和“滑塊—曲(斜)面類”模型
學習目標　1.理解“彈簧—小球”模型和“滑塊—曲(斜)面類”模型的特點。2.會應用動量和能量的觀點解決有關問題。
模型一　“彈簧—小球”模型
如圖所示，光滑水平面上靜止著一質量為m2的剛性小球，小球與水平輕質彈簧相連，另有一質量為m1的剛性小球以速度v0向右運動，并與彈簧發生相互作用，兩球半徑相同，問：
(1)彈簧的彈性勢能什么情況下最大？
(2)兩球共速后，兩球的速度如何變化？彈簧的長度如何變化？
(3)小球m2的速度什么情況下最大？
提示　(1)當兩個小球速度相同時，彈簧最短，彈簧的彈性勢能最大。
(2)如圖所示，兩球共速后，A減速，B加速，A、B間的距離增大，故彈簧的壓縮量減小，彈簧的長度增加。
(3)當彈簧第一次恢復原長時，小球m2的速度最大。
1.模型建構(如圖所示)
2.模型特點
(1)動量守恒：兩個物體與彈簧相互作用的過程中，若系統所受外力的矢量和為零，則系統動量守恒。
(2)機械能守恒：系統所受的外力為零或除彈簧彈力以外的內力不做功，系統機械能守恒。
(3)彈簧處于最長(最短)狀態時兩物體速度相等，彈性勢能最大，系統動能通常最小(相當于完全非彈性碰撞，兩物體減少的動能轉化為彈簧的彈性勢能)。
(4)彈簧恢復原長時，彈性勢能為零，系統動能最大(相當于剛完成彈性碰撞)。
例1 (2024·山東臨沂高二期末)如圖所示，兩滑塊A、B位于光滑水平面上，已知A的質量mA＝2 kg，B的質量mB＝3 kg?；瑝KB的左端連有輕質彈簧，彈簧開始處于自由伸長狀態?，F使滑塊A以v0＝5 m/s的速度水平向右運動，通過彈簧與靜止的滑塊B相互作用(整個過程彈簧沒有超過彈性限度)，直至分開。求：
(1)滑塊通過彈簧相互作用過程中彈簧的最大彈性勢能；
(2)滑塊B的最大動能；
(3)滑塊A的動能最小時，彈簧的彈性勢能。
答案　(1)15 J　(2)24 J　(3) J
解析　(1)當彈簧被壓縮到最短時，彈簧的彈性勢能最大，此時滑塊A和B的速度相同。選取向右為正方向，根據動量守恒定律有
mAv0＝(mA＋mB)v，解得v＝2 m/s。
根據機械能守恒定律知，彈簧的最大彈性勢能等于滑塊A、B損失的動能，即
Ep＝mAv－(mA＋mB)v2
解得Ep＝15 J。
(2)當A、B分離時，彈簧恢復原長，滑塊B的速度最大，動能最大，由動量守恒定律和能量守恒定律得
mAv0＝mAvA＋mBvB
mAv＝mAv＋mBv
解得vA＝－1 m/s，vB＝4 m/s
則滑塊B的最大動能Ek＝mBv＝24 J。
(3)當A的速度為零時，滑塊A的動能最小，根據動量守恒定律得
mAv0＝mAvA′＋mBvB′(vA′＝0)
解得vB′＝ m/s
此時彈簧的彈性勢能Ep′＝mAv－mBvB′2
解得Ep′＝ J。
訓練1 如圖所示，A、B兩滑塊的質量均為m，分別穿在光滑的足夠長的水平固定導桿上，兩導桿平行，間距為d。用自然長度也為d的輕彈簧連接兩滑塊。開始時兩滑塊均處于靜止狀態，今給滑塊B一個向右的瞬時沖量I，求滑塊A的最大速度。
答案　
解析　彈簧第一次恢復原長時A的速度最大，設速度為vm，此時B的速度為vB′。
給滑塊B一個向右的沖量，滑塊B獲得一個向右的初速度，設為vB，由動量定理得I＝mvB－0，故vB＝，B獲得沖量后，A、B及彈簧組成的系統動量和機械能均守恒，則有
mvB＝mvm＋mvB′，mv＝mv＋mvB′2
聯立解得vm＝vB＝。
模型二　“滑塊—曲(斜)面類”模型
1.模型建構：如圖所示，光滑斜(曲)面靜置放在光滑水平地面上，滑塊以速度v0沖上斜(曲)面，滑塊始終未脫離斜(曲)面。
2.模型特點
(1)在相互作用過程中，滑塊和斜(曲)面軌道組成的系統機械能守恒，系統水平方向動量守恒，豎直方向上動量不守恒，故總動量不守恒。
(2)滑塊上升到最大高度時，滑塊與斜(曲)面具有共同水平速度v共，此時滑塊的豎直速度vy＝0。系統水平方向動量守恒，mv0＝(M＋m)v共；系統機械能守恒，mv＝(M＋m)v＋mgh，其中h為滑塊上升的最大高度，不一定等于弧形軌道的高度(相當于完全非彈性碰撞，系統減少的動能轉化為滑塊的重力勢能)。
(3)當滑塊返回最低點時，滑塊與斜(曲)面分離，水平方向動量守恒，mv0＝mv1＋Mv2；系統機械能守恒，mv＝mv＋Mv(相當于完成了彈性碰撞)。
例2 如圖所示，光滑水平面上質量為m1＝2 kg的物塊以v0＝2 m/s的初速度沖向質量為m2＝6 kg靜止的光滑圓弧面斜劈體，且未滑出。求：
(1)物塊滑到最高點位置時，二者的速度大??；
(2)物塊從圓弧面滑下后，二者速度大?。?br/>(3)若m1＝m2，物塊從圓弧面滑下后，二者速度大小。
答案　(1)均為0.5 m/s　(2)1 m/s　1 m/s　(3)0　2 m/s
解析　(1)物塊與圓弧面作用過程中水平方向上動量守恒，且到達最高點時系統水平速度相同。以v0方向為正方向，由水平方向上動量守恒得
m1v0＝(m1＋m2)v，解得v＝0.5 m/s。
(2)物塊從圓弧面滑下過程，在水平方向上動量守恒，有m1v0＝m1v1＋m2v2
由能量守恒定律得m1v＝m1v＋m2v
解得v1＝v0＝－1 m/s，v2＝v0＝1 m/s。
(3)若m1＝m2，根據上述分析，物塊m1從圓弧面滑下后，交換速度，即v1′＝0，v2′＝2 m/s。
訓練2 如圖所示，在光滑水平面上停放質量為m裝有弧形槽的小車，現有一質量為2m的光滑小球以水平速度v0沿切線水平的槽口向小車滑去，到達某一高度后，小球又返回小車右端，則下列說法正確的是(　　)
A.小球離開車后，對地將做自由落體運動
B.小球離開車后，對地將向右做平拋運動
C.小球在弧形槽上上升的最大高度為
D.此過程中小球對車做的功為mv
答案　C
解析　設小球離開小車時，小球的速度為v1，小車的速度為v2，整個過程中水平方向動量守恒，以向左為正方向，由動量守恒定律得2mv0＝2mv1＋mv2，由機械能守恒定律得×2mv＝×2mv＋mv，解得v1＝v0，v2＝v0，所以小球與小車分離后對地將向左做平拋運動，故A、B錯誤；當小球與小車的水平速度相等時，小球在弧形槽上升到最大高度，設最大高度為h，系統在水平方向動量守恒，以向左為正方向，在水平方向，由動量守恒定律得2mv0＝3mv，由機械能守恒定律得×2mv＝×3mv2＋2mgh，解得h＝，故C正確；對小車運用動能定理得，小球對小車做功W＝mv＝mv，故D錯誤。
基礎對點練
題組一　“彈簧類”模型
1.(多選)如圖所示，與水平輕彈簧相連的物體A停放在光滑的水平面上，物體B沿水平方向向右運動，跟輕彈簧相碰。在B跟彈簧相碰后，對于A、B和輕彈簧組成的系統，下列說法中正確的是 (　　)
A.彈簧壓縮量最大時，A、B的速度相同
B.彈簧壓縮量最大時，A、B的動能之和最小
C.彈簧被壓縮的過程中系統的總動量不斷減少
D.物體A的速度最大時，彈簧的彈性勢能為零
答案　ABD
解析　物體B與彈簧接觸時，彈簧發生形變，產生彈力，可知B做減速運動，A做加速運動，當兩者速度相等時，彈簧的壓縮量最大，故A正確；A、B和彈簧組成的系統能量守恒，彈簧壓縮量最大時，彈性勢能最大，此時A、B的動能之和最小，故B正確；彈簧在壓縮的過程中，A、B和彈簧組成的系統動量守恒，故C錯誤；當兩者速度相等時，彈簧的壓縮量最大，然后A繼續加速，B繼續減速，彈簧逐漸恢復原長，當彈簧恢復原長時，A的速度最大，此時彈簧的彈性勢能為零，故D正確。
2.如圖所示，位于光滑水平桌面上的小滑塊P和Q質量相等，都可視作質點，Q與輕質彈簧相連。設Q靜止，P以某一初速度向Q運動并與彈簧發生相互作用。在整個過程中，彈簧具有的最大彈性勢能等于(　　)
A.P的初動能 B.P的初動能的
C.P的初動能的 D.P的初動能的
答案　B
解析　把小滑塊P和Q以及彈簧看成一個系統，系統的動量守恒，在整個過程中，當小滑塊P和Q的速度相等時，彈簧的彈性勢能最大。以P的初速度方向為正方向，設小滑塊P的初速度為v0，兩滑塊的質量均為m，則mv0＝2mv，解得v＝，P的初動能Ek0＝mv，彈簧具有的最大彈性勢能Ep＝mv－×2mv2＝mv＝
Ek0，故選項B正確。
3.(多選)如圖甲所示，在光滑水平面上，輕質彈簧右端固定，物體A以速度v0向右運動壓縮彈簧，測得彈簧的最大壓縮量為x?，F讓彈簧右端連接另一質量為m的物體B(如圖乙所示)，物體A以2v0的速度向右壓縮彈簧，測得彈簧的最大壓縮量仍為x，則(　　)
A.物體A的質量為3m
B.物體A的質量為2m
C.彈簧壓縮量最大時的彈性勢能為mv
D.彈簧壓縮量最大時的彈性勢能為mv
答案　AC
解析　對題圖甲，設物體A的質量為M，由機械能守恒定律可得，彈簧壓縮x時彈性勢能Ep＝Mv；對題圖乙，物體A以2v0的速度向右壓縮彈簧，A、B組成的系統動量守恒，彈簧達到最大壓縮量時，A、B速度相等，由動量守恒定律有M·2v0＝(M＋m)v，由能量守恒定律有Ep＝M(2v0)2－(M＋m)v2，聯立解得M＝3m，Ep＝mv，選項A、C正確，B、D錯誤。
題組二　“曲(斜)面類”模型
4.(多選)(2024·江西宜春高二月考)在光滑水平地面上放一個質量為M＝2 kg的內側帶有光滑弧形凹槽的滑塊B，凹槽的底端切線水平，如圖所示。質量為m＝1 kg的小物塊A以v0＝6 m/s的水平速度從滑塊B的底端沿槽上滑，恰好能到達滑塊B的頂端。重力加速度取g＝10 m/s2，不計空氣阻力。在小物塊A沿滑塊B滑行的整個過程中，下列說法正確的是(　　)
A.小物塊A沿滑塊B上滑的最大高度為1.2 m
B.小物塊A沿滑塊B上滑的最大高度為0.6 m
C.合力對滑塊B的沖量大小為8 N·s
D.合力對滑塊B的沖量大小為16 N·s
答案　AC
解析　當二者速度相等時，小物塊A沿滑塊B上滑的高度最大，設最大高度為h，系統水平方向動量守恒，以v0的方向為正方向，有mv0＝(m＋M)v，根據機械能守恒定律有mv＝(m＋M)v2＋mgh，解得 h＝1.2 m，A正確，B錯誤；設小物塊返回滑塊的底端時，小物塊與滑塊的速度分別為v1、v2，系統水平方向動量守恒，有mv0＝mv1＋Mv2，根據機械能守恒定律有mv＝mv＋Mv，解得v1＝－v0＝－2 m/s，v2＝v0＝4 m/s，根據動量定理可知，合力對滑塊的沖量大小為I＝Mv2－0＝8 N·s，C正確，D錯誤。
5.如圖所示在足夠長的光滑水平面上有一靜止的質量為M的斜面，斜面表面光滑、高度為h、傾角為θ。一質量為m(m＜M)的小物塊以一定的初速度沿水平面向右運動，不計沖上斜面過程中的機械能損失。如果斜面固定，則小物塊恰能沖到斜面的頂端。如果斜面不固定，則小物塊沖上斜面后能達到的最大高度為(　　)
A.h B. C. D.
答案　D
解析　斜面固定時，小物塊恰能沖到斜面的頂端，由動能定理得－mgh＝0－mv，所以v0＝；斜面不固定時，設小物塊沖上斜面后能達到的最大高度為h′，小物塊達到最高點時的速度為v，由水平方向動量守恒得mv0＝(M＋m)v，由機械能守恒定律得mv＝(M＋m)v2＋mgh′，解得h′＝h，故D正確。
6.(2024·河北唐山高二期中)質量為M的小車靜止在光滑水平面上，車上是一個四分之一的光滑圓弧軌道，軌道下端切線水平。質量為m的小球沿水平方向從軌道下端以初速度v0滑上小車，重力加速度為g，如圖所示。已知小球不從小車上端離開小車，小球滑上小車又滑下，與小車分離時，小球與小車速度方向相反，速度大小之比等于1∶3，則m∶M的值為(　　)
A.1∶3 B.1∶4 C.3∶5 D.2∶3
答案　C
解析　設小球的初速度方向為正方向，由動量守恒定律可知mv0＝Mv1－mv2
＝
對整體由機械能守恒定律可得
mv＝Mv＋mv
聯立解得＝，故C正確。
7.(2024·四川綿陽高二期中)如圖所示，質量為M的滑塊靜止在光滑的水平面上，滑塊的光滑弧面底部與水平面相切，一質量為m的小球以速度v0向滑塊滾來，設小球不能越過滑塊，則(　　)
A.小球滑到最高點的過程中，小球和弧面組成的系統動量守恒
B.小球滑到最高點時滑塊的速度大小為0
C.小球滑到最高點時的高度為
D.小球滑到最高點時的高度為
答案　D
解析　小球滑到最高點的過程中，小球和弧面組成的系統動量不守恒，系統水平方向動量守恒，A錯誤；水平方向，根據動量守恒定律得mv0＝(m＋M)v，小球滑到最高點時滑塊的速度大小為v＝，B錯誤；根據機械能守恒定律得mv＝(M＋m)v2＋mgh，小球滑到最高點時的高度為h＝，C錯誤，D正確。
綜合提升練
8.如圖甲所示，一輕彈簧的兩端分別與質量為m1和m2的兩物塊相連接，并且靜止在光滑的水平桌面上。現使m1瞬時獲得水平向右的速度3 m/s，以此刻為計時零點，兩物塊的速度隨時間變化的規律如圖乙所示，以下說法正確的是(　　)
A.兩物塊的質量之比為m1∶m2＝2∶1
B.在t1時刻和t3時刻彈簧的彈性勢能均達到最大值
C.t1～t2時間內，彈簧的長度大于原長
D.t2～t3時間內，彈簧的彈力逐漸減小
答案　B
解析　以m1的初速度方向為正方向，對0～t1時間內的過程，由動量守恒定律得m1v1＝(m1＋m2)v共，將v1＝3 m/s，v共＝1 m/s代入解得m1∶m2＝1∶2，故A錯誤；根據系統能量守恒可知在t1時刻和t3時刻，系統的動能最小，彈簧的彈性勢能達到最大值，故B正確；在t1時刻彈簧壓縮至最短，所以t1～t2時間內，彈簧的長度小于原長，故C錯誤；t2～t3時間內，彈簧處于拉伸階段，彈力逐漸增大，故D錯誤。
9.質量為3m的劈A，其右側是光滑曲面，曲面下端與光滑的水平面相切，如圖所示。一質量為m的物塊B位于劈A的曲面上，距水平面的高度為h，物塊從靜止開始滑下，到達水平面上，跟右側固定在墻壁上的彈簧發生作用后(作用過程無機械能損失)，又滑上劈A，求物塊B在劈A上能夠達到的最大高度。
答案　h
解析　設物塊B滑到曲面底端時速率為v1，劈A的速率為v2，物塊B和劈A組成的系統水平方向動量守恒，取水平向左為正方向，則有
3mv2－mv1＝0
由系統機械能守恒定律可得
mgh＝mv＋×3mv
聯立可得v1＝，v2＝
與彈簧作用后，物塊B速度方向變為向左，速度大小不變，v1′＝v1，當物塊B在劈A上達到最大高度時二者速度相同，設為v3，系統水平方向動量守恒，則有
3mv2＋mv1′＝(3m＋m)v3
物塊B和劈A組成的系統機械能守恒，可得
mgh′＝×3mv＋mv1′2－×(3m＋m)v
聯立解得h′＝h。
培優加強練
10.(2024·廣東廣州高二期末)如圖甲所示，物塊A、B的質量分別是mA＝6.0 kg和mB＝4.0 kg，用輕彈簧拴接，放在光滑的水平地面上，物塊B右側與豎直墻相接觸。另有一物塊C從t＝0時以一定速度向右運動，在t＝4 s時與物塊A相碰，并立即與A粘在一起不再分開，物塊C的v－t圖像如圖乙所示。求：
(1)物塊C的質量；
(2)B離開墻后，彈簧中的彈性勢能最大時，B的速度多大？最大彈性勢能多大？
答案　(1)2.0 kg　(2)2 m/s　12 J
解析　(1)由題圖乙知，C與A碰前速度為v1＝12 m/s，碰后速度為v2＝3 m/s，C與A碰撞過程動量守恒，以C的初速度方向為正方向，由動量守恒定律得
mCv1＝v2
解得mC＝2.0 kg。
(2)12 s末B離開墻壁，v3＝3 m/s ，之后A、B、C及彈簧組成的系統滿足動量守恒和機械能守恒，當A、C與B速度v4相等時彈簧的彈性勢能最大。根據動量守恒定律，有
v3＝v4
根據能量守恒定律得
v＝v＋Ep
解得v4＝2 m/s，Ep＝12 J。專題提升三　類碰撞模型(一)——“彈簧—小球”模型和“滑塊—曲(斜)面類”模型
學習目標　1.理解“彈簧—小球”模型和“滑塊—曲(斜)面類”模型的特點。
2.會應用動量和能量的觀點解決有關問題。
模型一　“彈簧—小球”模型
如圖所示，光滑水平面上靜止著一質量為m2的剛性小球，小球與水平輕質彈簧相連，另有一質量為m1的剛性小球以速度v0向右運動，并與彈簧發生相互作用，兩球半徑相同，問：
(1)彈簧的彈性勢能什么情況下最大？
(2)兩球共速后，兩球的速度如何變化？彈簧的長度如何變化？
(3)小球m2的速度什么情況下最大？
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1.模型建構(如圖所示)
2.模型特點
(1)動量守恒：兩個物體與彈簧相互作用的過程中，若系統所受外力的矢量和為零，則系統動量________。
(2)機械能守恒：系統所受的外力為零或除彈簧彈力以外的內力不做功，系統機械能________。
(3)彈簧處于最長(最短)狀態時兩物體速度相等，彈性勢能最大，系統動能通常最小(相當于完全非彈性碰撞，兩物體減少的動能轉化為彈簧的彈性勢能)。
(4)彈簧恢復原長時，彈性勢能為零，系統動能最大(相當于剛完成彈性碰撞)。
　　　　　　　　　　　　　
例1 (2024·山東臨沂高二期末)如圖所示，兩滑塊A、B位于光滑水平面上，已知A的質量mA＝2 kg，B的質量mB＝3 kg?；瑝KB的左端連有輕質彈簧，彈簧開始處于自由伸長狀態。現使滑塊A以v0＝5 m/s的速度水平向右運動，通過彈簧與靜止的滑塊B相互作用(整個過程彈簧沒有超過彈性限度)，直至分開。求：
(1)滑塊通過彈簧相互作用過程中彈簧的最大彈性勢能；
(2)滑塊B的最大動能；
(3)滑塊A的動能最小時，彈簧的彈性勢能。
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模型二　“滑塊—曲(斜)面類”模型
1.模型建構：
如圖所示，光滑斜(曲)面靜置放在光滑水平地面上，滑塊以速度v0沖上斜(曲)面，滑塊始終未脫離斜(曲)面。
2.模型特點
(1)在相互作用過程中，滑塊和斜(曲)面軌道組成的系統機械能守恒，系統水平方向動量守恒，豎直方向上動量不守恒，故總動量不守恒。
(2)滑塊上升到最大高度時，滑塊與斜(曲)面具有共同水平速度v共，此時滑塊的豎直速度vy＝0。系統水平方向動量守恒，mv0＝(M＋m)v共；系統機械能守恒，mv＝(M＋m)v＋mgh，其中h為滑塊上升的最大高度，不一定等于弧形軌道的高度(相當于完全非彈性碰撞，系統減少的動能轉化為滑塊的重力勢能)。
(3)當滑塊返回最低點時，滑塊與斜(曲)面分離，水平方向動量守恒，mv0＝mv1＋Mv2；系統機械能守恒，mv＝mv＋Mv(相當于完成了彈性碰撞)。
例2 如圖所示，光滑水平面上質量為m1＝2 kg的物塊以v0＝2 m/s的初速度沖向質量為m2＝6 kg靜止的光滑圓弧面斜劈體，且未滑出。求：
(1)物塊滑到最高點位置時，二者的速度大小；
(2)物塊從圓弧面滑下后，二者速度大小；
(3)若m1＝m2，物塊從圓弧面滑下后，二者速度大小。
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訓練2 如圖所示，在光滑水平面上停放質量為m裝有弧形槽的小車，現有一質量為2m的光滑小球以水平速度v0沿切線水平的槽口向小車滑去，到達某一高度后，小球又返回小車右端，則下列說法正確的是(　　)
A.小球離開車后，對地將做自由落體運動
B.小球離開車后，對地將向右做平拋運動
C.小球在弧形槽上上升的最大高度為
D.此過程中小球對車做的功為mv專題提升三　類碰撞模型（一）——“彈簧—小球”模型和“滑塊—曲(斜)面類”模型
選擇題1～8題，每小題10分，共80分。
基礎對點練
題組一　“彈簧類”模型
1.(多選)如圖所示，與水平輕彈簧相連的物體A停放在光滑的水平面上，物體B沿水平方向向右運動，跟輕彈簧相碰。在B跟彈簧相碰后，對于A、B和輕彈簧組成的系統，下列說法中正確的是 (　　)
彈簧壓縮量最大時，A、B的速度相同
彈簧壓縮量最大時，A、B的動能之和最小
彈簧被壓縮的過程中系統的總動量不斷減少
物體A的速度最大時，彈簧的彈性勢能為零
2.如圖所示，位于光滑水平桌面上的小滑塊P和Q質量相等，都可視作質點，Q與輕質彈簧相連。設Q靜止，P以某一初速度向Q運動并與彈簧發生相互作用。在整個過程中，彈簧具有的最大彈性勢能等于(　　)
P的初動能 P的初動能的
P的初動能的 P的初動能的
3.(多選)如圖甲所示，在光滑水平面上，輕質彈簧右端固定，物體A以速度v0向右運動壓縮彈簧，測得彈簧的最大壓縮量為x?，F讓彈簧右端連接另一質量為m的物體B(如圖乙所示)，物體A以2v0的速度向右壓縮彈簧，測得彈簧的最大壓縮量仍為x，則(　　)
物體A的質量為3m
物體A的質量為2m
彈簧壓縮量最大時的彈性勢能為mv
彈簧壓縮量最大時的彈性勢能為mv
題組二　“曲(斜)面類”模型
4.(多選)(2024·江西宜春高二月考)在光滑水平地面上放一個質量為M＝2 kg的內側帶有光滑弧形凹槽的滑塊B，凹槽的底端切線水平，如圖所示。質量為m＝1 kg的小物塊A以v0＝6 m/s的水平速度從滑塊B的底端沿槽上滑，恰好能到達滑塊B的頂端。重力加速度取g＝10 m/s2，不計空氣阻力。在小物塊A沿滑塊B滑行的整個過程中，下列說法正確的是(　　)
小物塊A沿滑塊B上滑的最大高度為1.2 m
小物塊A沿滑塊B上滑的最大高度為0.6 m
合力對滑塊B的沖量大小為8 N·s
合力對滑塊B的沖量大小為16 N·s
5.如圖所示在足夠長的光滑水平面上有一靜止的質量為M的斜面，斜面表面光滑、高度為h、傾角為θ。一質量為m(m＜M)的小物塊以一定的初速度沿水平面向右運動，不計沖上斜面過程中的機械能損失。如果斜面固定，則小物塊恰能沖到斜面的頂端。如果斜面不固定，則小物塊沖上斜面后能達到的最大高度為(　　)
h 　
6.(2024·河北唐山高二期中)質量為M的小車靜止在光滑水平面上，車上是一個四分之一的光滑圓弧軌道，軌道下端切線水平。質量為m的小球沿水平方向從軌道下端以初速度v0滑上小車，重力加速度為g，如圖所示。已知小球不從小車上端離開小車，小球滑上小車又滑下，與小車分離時，小球與小車速度方向相反，速度大小之比等于1∶3，則m∶M的值為(　　)
1∶3 1∶4 3∶5 2∶3
7.(2024·四川綿陽高二期中)如圖所示，質量為M的滑塊靜止在光滑的水平面上，滑塊的光滑弧面底部與水平面相切，一質量為m的小球以速度v0向滑塊滾來，設小球不能越過滑塊，則(　　)
小球滑到最高點的過程中，小球和弧面組成的系統動量守恒
小球滑到最高點時滑塊的速度大小為0
小球滑到最高點時的高度為
小球滑到最高點時的高度為
綜合提升練
8.如圖甲所示，一輕彈簧的兩端分別與質量為m1和m2的兩物塊相連接，并且靜止在光滑的水平桌面上。現使m1瞬時獲得水平向右的速度3 m/s，以此刻為計時零點，兩物塊的速度隨時間變化的規律如圖乙所示，以下說法正確的是(　　)
兩物塊的質量之比為m1∶m2＝2∶1
在t1時刻和t3時刻彈簧的彈性勢能均達到最大值
t1～t2時間內，彈簧的長度大于原長
t2～t3時間內，彈簧的彈力逐漸減小
9.(10分)質量為3m的劈A，其右側是光滑曲面，曲面下端與光滑的水平面相切，如圖所示。一質量為m的物塊B位于劈A的曲面上，距水平面的高度為h，物塊從靜止開始滑下，到達水平面上，跟右側固定在墻壁上的彈簧發生作用后(作用過程無機械能損失)，又滑上劈A，求物塊B在劈A上能夠達到的最大高度。
培優加強練
10.(10分)(2024·廣東廣州高二期末)如圖甲所示，物塊A、B的質量分別是mA＝
6.0 kg和mB＝4.0 kg，用輕彈簧拴接，放在光滑的水平地面上，物塊B右側與豎直墻相接觸。另有一物塊C從t＝0時以一定速度向右運動，在t＝4 s時與物塊A相碰，并立即與A粘在一起不再分開，物塊C的v－t圖像如圖乙所示。求：
(1)(4分)物塊C的質量；
(2)(6分)B離開墻后，彈簧中的彈性勢能最大時，B的速度多大？最大彈性勢能多大？
專題提升三　類碰撞模型(一)——
“彈簧—小球”模型和“滑塊—曲(斜)面類”模型
1.ABD　[物體B與彈簧接觸時，彈簧發生形變，產生彈力，可知B做減速運動，A做加速運動，當兩者速度相等時，彈簧的壓縮量最大，故A正確；A、B和彈簧組成的系統能量守恒，彈簧壓縮量最大時，彈性勢能最大，此時A、B的動能之和最小，故B正確；彈簧在壓縮的過程中，A、B和彈簧組成的系統動量守恒，故C錯誤；當兩者速度相等時，彈簧的壓縮量最大，然后A繼續加速，B繼續減速，彈簧逐漸恢復原長，當彈簧恢復原長時，A的速度最大，此時彈簧的彈性勢能為零，故D正確。]
2.B　[把小滑塊P和Q以及彈簧看成一個系統，系統的動量守恒，在整個過程中，當小滑塊P和Q的速度相等時，彈簧的彈性勢能最大。以P的初速度方向為正方向，設小滑塊P的初速度為v0，兩滑塊的質量均為m，則mv0＝2mv，解得v＝，P的初動能Ek0＝mv，彈簧具有的最大彈性勢能Ep＝mv－×2mv2＝mv＝
Ek0，故選項B正確。]
3.AC　[對題圖甲，設物體A的質量為M，由機械能守恒定律可得，彈簧壓縮x時彈性勢能Ep＝Mv；對題圖乙，物體A以2v0的速度向右壓縮彈簧，A、B組成的系統動量守恒，彈簧達到最大壓縮量時，A、B速度相等，由動量守恒定律有M·2v0＝(M＋m)v，由能量守恒定律有Ep＝M(2v0)2－(M＋m)v2，聯立解得M＝3m，Ep＝mv，選項A、C正確，B、D錯誤。]
4.AC　[當二者速度相等時，小物塊A沿滑塊B上滑的高度最大，設最大高度為h，系統水平方向動量守恒，以v0的方向為正方向，有mv0＝(m＋M)v，根據機械能守恒定律有mv＝(m＋M)v2＋mgh，解得 h＝1.2 m，A正確，B錯誤；設小物塊返回滑塊的底端時，小物塊與滑塊的速度分別為v1、v2，系統水平方向動量守恒，有mv0＝mv1＋Mv2，根據機械能守恒定律有mv＝mv＋Mv，解得v1＝
－v0＝－2 m/s，v2＝v0＝4 m/s，根據動量定理可知，合力對滑塊的沖量大小為I＝Mv2－0＝8 N·s，C正確，D錯誤。]
5.D　[斜面固定時，小物塊恰能沖到斜面的頂端，由動能定理得－mgh＝0－mv，所以v0＝；斜面不固定時，設小物塊沖上斜面后能達到的最大高度為h′，小物塊達到最高點時的速度為v，由水平方向動量守恒得mv0＝(M＋m)v，由機械能守恒定律得mv＝(M＋m)v2＋mgh′，解得h′＝h，故D正確。]
6.C　[設小球的初速度方向為正方向，由動量守恒定律可知
mv0＝Mv1－mv2，＝
對整體由機械能守恒定律可得
mv＝Mv＋mv
聯立解得＝，故C正確。]
7.D　[小球滑到最高點的過程中，小球和弧面組成的系統動量不守恒，系統水平方向動量守恒，A錯誤；水平方向，根據動量守恒定律得mv0＝(m＋M)v，小球滑到最高點時滑塊的速度大小為v＝，B錯誤；根據機械能守恒定律得mv＝(M＋m)v2＋mgh，小球滑到最高點時的高度為h＝，C錯誤，D正確。]
8.B　[以m1的初速度方向為正方向，對0～t1時間內的過程，由動量守恒定律得m1v1＝(m1＋m2)v共，將v1＝3 m/s，v共＝1 m/s代入解得m1∶m2＝1∶2，故A錯誤；根據系統能量守恒可知在t1時刻和t3時刻，系統的動能最小，彈簧的彈性勢能達到最大值，故B正確；在t1時刻彈簧壓縮至最短，所以t1～t2時間內，彈簧的長度小于原長，故C錯誤；t2～t3時間內，彈簧處于拉伸階段，彈力逐漸增大，故D錯誤。]
9.h
解析　設物塊B滑到曲面底端時速率為v1，劈A的速率為v2，物塊B和劈A組成的系統水平方向動量守恒，取水平向左為正方向，則有
3mv2－mv1＝0
由系統機械能守恒定律可得
mgh＝mv＋×3mv
聯立可得v1＝，v2＝
與彈簧作用后，物塊B速度方向變為向左，速度大小不變，v1′＝v1，當物塊B在劈A上達到最大高度時二者速度相同，設為v3，系統水平方向動量守恒，則有
3mv2＋mv1′＝(3m＋m)v3
物塊B和劈A組成的系統機械能守恒，可得
mgh′＝×3mv＋mv1′2－×(3m＋m)v
聯立解得h′＝h。
10.(1)2.0 kg　(2)2 m/s　12 J
解析　(1)由題圖乙知，C與A碰前速度為v1＝12 m/s，碰后速度為v2＝3 m/s，C與A碰撞過程動量守恒，以C的初速度方向為正方向，由動量守恒定律得
mCv1＝v2
解得mC＝2.0 kg。
(2)12 s末B離開墻壁，v3＝3 m/s ，之后A、B、C及彈簧組成的系統滿足動量守恒和機械能守恒，當A、C與B速度v4相等時彈簧的彈性勢能最大。根據動量守恒定律，有
v3＝v4
根據能量守恒定律得
v＝v＋Ep
解得v4＝2 m/s，Ep＝12 J。(共41張PPT)
專題提升三　類碰撞模型(一)——“彈簧—小球”
模型和“滑塊—曲(斜)面類”模型
第一章　動量守恒定律
1.理解“彈簧—小球”模型和“滑塊—曲(斜)面類”模型的特點。2.會應用動量和能量的觀點解決有關問題。
學習目標
目 錄
CONTENTS
提升
01
課后鞏固訓練
02
提升
1
模型二　“滑塊—曲(斜)面類”模型
模型一　“彈簧—小球”模型
模型一　“彈簧—小球”模型
如圖所示，光滑水平面上靜止著一質量為m2的剛性小球，小球與水平輕質彈簧相連，另有一質量為m1的剛性小球以速度v0向右運動，并與彈簧發生相互作用，兩球半徑相同，問：
(1)彈簧的彈性勢能什么情況下最大？
(2)兩球共速后，兩球的速度如何變化？彈簧的長度如何變化？
(3)小球m2的速度什么情況下最大？
提示　(1)當兩個小球速度相同時，彈簧最短，彈簧的彈性勢能最大。
(2)如圖所示，兩球共速后，A減速，B加速，A、B間的距離增大，故彈簧的壓縮量減小，彈簧的長度增加。
(3)當彈簧第一次恢復原長時，小球m2的速度最大。
1.模型建構(如圖所示)
2.模型特點
(1)動量守恒：兩個物體與彈簧相互作用的過程中，若系統所受外力的矢量和為零，則系統動量______。
(2)機械能守恒：系統所受的外力為零或除彈簧彈力以外的內力不做功，系統機械能______。
(3)彈簧處于最長(最短)狀態時兩物體速度相等，彈性勢能最大，系統動能通常最小(相當于完全非彈性碰撞，兩物體減少的動能轉化為彈簧的彈性勢能)。
(4)彈簧恢復原長時，彈性勢能為零，系統動能最大(相當于剛完成彈性碰撞)。
守恒
守恒
例1 (2024·山東臨沂高二期末)如圖所示，兩滑塊A、B位于光滑水平面上，已知A的質量mA＝2 kg，B的質量mB＝3 kg。滑塊B的左端連有輕質彈簧，彈簧開始處于自由伸長狀態?，F使滑塊A以v0＝5 m/s的速度水平向右運動，通過彈簧與靜止的滑塊B相互作用(整個過程彈簧沒有超過彈性限度)，直至分開。求：
(1)滑塊通過彈簧相互作用過程中彈簧的最大彈性勢能；
(2)滑塊B的最大動能；
(3)滑塊A的動能最小時，彈簧的彈性勢能。
解析　(1)當彈簧被壓縮到最短時，彈簧的彈性勢能最大，此時滑塊A和B的速度相同。選取向右為正方向，根據動量守恒定律有
mAv0＝(mA＋mB)v，解得v＝2 m/s。
解得Ep＝15 J。
(2)當A、B分離時，彈簧恢復原長，滑塊B的速度最大，動能最大，由動量守恒定律和能量守恒定律得
mAv0＝mAvA＋mBvB
解得vA＝－1 m/s，vB＝4 m/s
(3)當A的速度為零時，滑塊A的動能最小，根據動量守恒定律得
mAv0＝mAvA′＋mBvB′(vA′＝0)
訓練1 如圖所示，A、B兩滑塊的質量均為m，分別穿在光滑的足夠長的水平固定導桿上，兩導桿平行，間距為d。用自然長度也為d的輕彈簧連接兩滑塊。開始時兩滑塊均處于靜止狀態，今給滑塊B一個向右的瞬時沖量I，求滑塊A的最大速度。
解析　彈簧第一次恢復原長時A的速度最大，設速度為vm，此時B的速度為vB′。
模型二　“滑塊—曲(斜)面類”模型
1.模型建構：如圖所示，光滑斜(曲)面靜置放在光滑水平地面上，滑塊以速度v0沖上斜(曲)面，滑塊始終未脫離斜(曲)面。
例2 如圖所示，光滑水平面上質量為m1＝2 kg的物塊以v0＝2 m/s的初速度沖向質量為m2＝6 kg靜止的光滑圓弧面斜劈體，且未滑出。求：
(1)物塊滑到最高點位置時，二者的速度大?。?br/>(2)物塊從圓弧面滑下后，二者速度大?。?br/>(3)若m1＝m2，物塊從圓弧面滑下后，二者速度大小。
解析　(1)物塊與圓弧面作用過程中水平方向上動量守恒，且到達最高點時系統水平速度相同。以v0方向為正方向，由水平方向上動量守恒得
m1v0＝(m1＋m2)v，解得v＝0.5 m/s。
(2)物塊從圓弧面滑下過程，在水平方向上動量守恒，有m1v0＝m1v1＋m2v2
(3)若m1＝m2，根據上述分析，物塊m1從圓弧面滑下后，交換速度，即v1′＝0，v2′＝2 m/s。
答案　(1)均為0.5 m/s　(2)1 m/s　1 m/s　(3)0　2 m/s
訓練2 如圖所示，在光滑水平面上停放質量為m裝有弧形槽的小車，現有一質量為2m的光滑小球以水平速度v0沿切線水平的槽口向小車滑去，到達某一高度后，小球又返回小車右端，則下列說法正確的是(　　)
C
課后鞏固訓練
3
ABD
題組一　“彈簧類”模型
1.(多選)如圖所示，與水平輕彈簧相連的物體A停放在光滑的水平面上，物體B沿水平方向向右運動，跟輕彈簧相碰。在B跟彈簧相碰后，對于A、B和輕彈簧組成的系統，下列說法中正確的是 (　　 )
基礎對點練
A.彈簧壓縮量最大時，A、B的速度相同
B.彈簧壓縮量最大時，A、B的動能之和最小
C.彈簧被壓縮的過程中系統的總動量不斷減少
D.物體A的速度最大時，彈簧的彈性勢能為零
解析　物體B與彈簧接觸時，彈簧發生形變，產生彈力，可知B做減速運動，A做加速運動，當兩者速度相等時，彈簧的壓縮量最大，故A正確；A、B和彈簧組成的系統能量守恒，彈簧壓縮量最大時，彈性勢能最大，此時A、B的動能之和最小，故B正確；彈簧在壓縮的過程中，A、B和彈簧組成的系統動量守恒，故C錯誤；當兩者速度相等時，彈簧的壓縮量最大，然后A繼續加速，B繼續減速，彈簧逐漸恢復原長，當彈簧恢復原長時，A的速度最大，此時彈簧的彈性勢能為零，故D正確。
B
2.如圖所示，位于光滑水平桌面上的小滑塊P和Q質量相等，都可視作質點，Q與輕質彈簧相連。設Q靜止，P以某一初速度向Q運動并與彈簧發生相互作用。在整個過程中，彈簧具有的最大彈性勢能等于(　　)
AC
3.(多選)如圖甲所示，在光滑水平面上，輕質彈簧右端固定，物體A以速度v0向右運動壓縮彈簧，測得彈簧的最大壓縮量為x?，F讓彈簧右端連接另一質量為m的物體B(如圖乙所示)，物體A以2v0的速度向右壓縮彈簧，測得彈簧的最大壓縮量仍為x，則(　　)
AC
題組二　“曲(斜)面類”模型
4.(多選)(2024·江西宜春高二月考)在光滑水平地面上放一個質量為M＝2 kg的內側帶有光滑弧形凹槽的滑塊B，凹槽的底端切線水平，如圖所示。質量為m＝1 kg的小物塊A以v0＝6 m/s的水平速度從滑塊B的底端沿槽上滑，恰好能到達滑塊B的頂端。重力加速度取g＝10 m/s2，不計空氣阻力。在小物塊A沿滑塊B滑行的整個過程中，下列說法正確的是(　　)
A.小物塊A沿滑塊B上滑的最大高度為1.2 m
B.小物塊A沿滑塊B上滑的最大高度為0.6 m
C.合力對滑塊B的沖量大小為8 N·s
D.合力對滑塊B的沖量大小為16 N·s
D
5.如圖所示在足夠長的光滑水平面上有一靜止的質量為M的斜面，斜面表面光滑、高度為h、傾角為θ。一質量為m(m＜M)的小物塊以一定的初速度沿水平面向右運動，不計沖上斜面過程中的機械能損失。如果斜面固定，則小物塊恰能沖到斜面的頂端。如果斜面不固定，則小物塊沖上斜面后能達到的最大高度為(　　)
C
6.(2024·河北唐山高二期中)質量為M的小車靜止在光滑水平面上，車上是一個四分之一的光滑圓弧軌道，軌道下端切線水平。質量為m的小球沿水平方向從軌道下端以初速度v0滑上小車，重力加速度為g，如圖所示。已知小球不從小車上端離開小車，小球滑上小車又滑下，與小車分離時，小球與小車速度方向相反，速度大小之比等于1∶3，則m∶M的值為(　　)
A.1∶3 B.1∶4
C.3∶5 D.2∶3
解析　設小球的初速度方向為正方向，由動量守恒定律可知mv0＝Mv1－mv2
對整體由機械能守恒定律可得
D
7.(2024·四川綿陽高二期中)如圖所示，質量為M的滑塊靜止在光滑的水平面上，滑塊的光滑弧面底部與水平面相切，一質量為m的小球以速度v0向滑塊滾來，設小球不能越過滑塊，則(　　)
B
8.如圖甲所示，一輕彈簧的兩端分別與質量為m1和m2的兩物塊相連接，并且靜止在光滑的水平桌面上?，F使m1瞬時獲得水平向右的速度3 m/s，以此刻為計時零點，兩物塊的速度隨時間變化的規律如圖乙所示，以下說法正確的是(　　)
綜合提升練
A.兩物塊的質量之比為m1∶m2＝2∶1
B.在t1時刻和t3時刻彈簧的彈性勢
能均達到最大值
C.t1～t2時間內，彈簧的長度大于原長
D.t2～t3時間內，彈簧的彈力逐漸減小
解析　以m1的初速度方向為正方向，對0～t1時間內的過程，由動量守恒定律得m1v1＝(m1＋m2)v共，將v1＝3 m/s，v共＝1 m/s代入解得m1∶m2＝1∶2，故A錯誤；根據系統能量守恒可知在t1時刻和t3時刻，系統的動能最小，彈簧的彈性勢能達到最大值，故B正確；在t1時刻彈簧壓縮至最短，所以t1～t2時間內，彈簧的長度小于原長，故C錯誤；t2～t3時間內，彈簧處于拉伸階段，彈力逐漸增大，故D錯誤。
9.質量為3m的劈A，其右側是光滑曲面，曲面下端與光滑的水平面相切，如圖所示。一質量為m的物塊B位于劈A的曲面上，距水平面的高度為h，物塊從靜止開始滑下，到達水平面上，跟右側固定在墻壁上的彈簧發生作用后(作用過程無機械能損失)，又滑上劈A，求物塊B在劈A上能夠達到的最大高度。
解析　設物塊B滑到曲面底端時速率為v1，劈A的速率為v2，物塊B和劈A組成的系統水平方向動量守恒，取水平向左為正方向，則有
3mv2－mv1＝0
由系統機械能守恒定律可得
與彈簧作用后，物塊B速度方向變為向左，速度大小不變，v1′＝v1，當物塊B在劈A上達到最大高度時二者速度相同，設為v3，系統水平方向動量守恒，則有
3mv2＋mv1′＝(3m＋m)v3
物塊B和劈A組成的系統機械能守恒，可得
10.(2024·廣東廣州高二期末)如圖甲所示，物塊A、B的質量分別是mA＝6.0 kg和mB＝4.0 kg，用輕彈簧拴接，放在光滑的水平地面上，物塊B右側與豎直墻相接觸。另有一物塊C從t＝0時以一定速度向右運動，在t＝4 s時與物塊A相碰，并立即與A粘在一起不再分開，物塊C的v－t圖像如圖乙所示。求：
培優加強練
(1)物塊C的質量；
(2)B離開墻后，彈簧中的彈性勢能最大時，B的速度多大？最大彈性勢能多大？
答案　(1)2.0 kg　(2)2 m/s　12 J
解析　(1)由題圖乙知，C與A碰前速度為
v1＝12 m/s，碰后速度為v2＝3 m/s，C與A碰撞過程動量守恒，以C的初速度方向為正方向，由動量守恒定律得
解得mC＝2.0 kg。
(2)12 s末B離開墻壁，v3＝3 m/s ，之后A、B、C及彈簧組成的系統滿足動量守恒和機械能守恒，當A、C與B速度v4相等時彈簧的彈性勢能最大。根據動量守恒定律，有
根據能量守恒定律得
解得v4＝2 m/s，Ep＝12 J。
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