資源簡介

中小學教育資源及組卷應用平臺
微專題(八)定序問題、分排問題、相同元素問題的解題策略
排列組合問題是高中數學的重點和難點內容之一，也是求解概率問題的基礎．排列組合問題不僅內容抽象，題型多樣，而且解法靈活，不易掌握．解答排列組合問題時，要注意分析題型類別，抓住問題的本質，采取恰當的方法來處理問題．下面我們重點講解一下定序問題、分排問題、相同元素問題的解題策略．
類型一　定序問題
例1　身高互不相同的7名同學站成一排，其中甲、乙、丙三人自左向右從高到矮排列的排法有________種(用數字作答)．
一般地，對于某些元素的順序固定型問題，解決時有兩種方法：
(1)倍縮法：先不考慮限制條件，所有元素全排列，再除以定序元素的全排列；
(2)空位(或占位)法：在總位置中，安排非定序元素的位置，然后對定序元素進行排列時，只有1種排法．如已知n個不同的元素進行排列，要求其中m(m≤n，n∈N*，m∈N*)個元素相對順序固定不變，有種不同的方法，或從n個位置中排m個元素之外的n－m個元素，再放這定序的m個元素，共有A種不同的方法．
對于給定元素順序確定，再插入其他元素進行排列：順序確定的元素為n個，新插入的元素為m個，則排列數為.
1．某班2024年元旦晚會原定的5個節目已排成節目單，開演前又增加了2個新節目，如果將這兩個節目插入原節目單中，那么不同的插入方法的種數為(　　)
A．2 B．11
C．36 D．42
2．某工程隊有6項工程需要先后單獨完成，其中工程乙必須在工程甲完成后才能進行，工程丙必須在工程乙完成后進行，那么安排這6項工程不同的排法種數是________．
類型二　分排問題
例2　(多選)17名同學站成兩排，前排7人，后排10人，則不同站法的種數為(　　)
A．AA B．AA
C．A＋A D．A
多排元素排列問題通常可簡化為一排考慮．
3．5名學生、1名教師站成前后兩排照相，要求前排3人，后排3人，其中教師必須站在前排，那么不同的站法共有(　　)
A．30種 B．360種
C．720種 D．1440種
類型三　相同元素問題
例3　某校準備參加高中數學聯賽，把16個選手名額分配到高三年級的1～4班，每班至少一個名額．
(1)不同的分配方案共有多少種？
(2)若每班名額不少于該班的序號數，則不同的分配方案共有多少種？
相同元素分配問題的處理策略
(1)隔板法：如果將放有小球的盒子緊挨著成一行放置，便可看作排成一行的小球的空隙中插入了若干隔板，相鄰兩塊隔板形成一個“盒”．每一種插入隔板的方法對應著小球放入盒子的一種方法，此法稱之為隔板法．隔板法專門解決相同元素的分配問題．
(2)將n個相同的元素分給m個不同的對象(n≥m)，有C種方法．可描述為n－1個空中插入m－1塊板．
4．(2024·石家莊一中模擬)小明同學去文具店購買文具，現有4種不同樣式的筆記本可供選擇(可以有筆記本不被選擇)，單價均為一元一本，小明只有8元錢且要求全部花完，則不同的選購方法共有(　　)
A．70種 B．165種
C．280種 D．1860種
21世紀教育網 www.21cnjy.com 精品試卷·第 2 頁 （共 2 頁）
21世紀教育網(www.21cnjy.com)中小學教育資源及組卷應用平臺
微專題(八)定序問題、分排問題、相同元素問題的解題策略
排列組合問題是高中數學的重點和難點內容之一，也是求解概率問題的基礎．排列組合問題不僅內容抽象，題型多樣，而且解法靈活，不易掌握．解答排列組合問題時，要注意分析題型類別，抓住問題的本質，采取恰當的方法來處理問題．下面我們重點講解一下定序問題、分排問題、相同元素問題的解題策略．
類型一　定序問題
例1　身高互不相同的7名同學站成一排，其中甲、乙、丙三人自左向右從高到矮排列的排法有________種(用數字作答)．
答案　840
解析　解法一：先在7個位置上排甲、乙、丙之外的四人，有A種排法，留下三個空位，甲、乙、丙三人按從高到矮，自左向右的順序自動入列，不能亂排，即有A＝840種排法．
解法二：將7名同學全排列，有A種排法，因為甲、乙、丙三人自左向右從高到矮排列，所以共有＝840種排法．
一般地，對于某些元素的順序固定型問題，解決時有兩種方法：
(1)倍縮法：先不考慮限制條件，所有元素全排列，再除以定序元素的全排列；
(2)空位(或占位)法：在總位置中，安排非定序元素的位置，然后對定序元素進行排列時，只有1種排法．如已知n個不同的元素進行排列，要求其中m(m≤n，n∈N*，m∈N*)個元素相對順序固定不變，有種不同的方法，或從n個位置中排m個元素之外的n－m個元素，再放這定序的m個元素，共有A種不同的方法．
對于給定元素順序確定，再插入其他元素進行排列：順序確定的元素為n個，新插入的元素為m個，則排列數為.
1．某班2024年元旦晚會原定的5個節目已排成節目單，開演前又增加了2個新節目，如果將這兩個節目插入原節目單中，那么不同的插入方法的種數為(　　)
A．2 B．11
C．36 D．42
答案　D
解析　將第一個新節目插入5個節目排成的節目單中有6種插入方法，再將第二個新節目插入到剛排好的6個節目排成的節目單中有7種插入方法，利用分步乘法計數原理，共有6×7＝42種插入方法．
2．某工程隊有6項工程需要先后單獨完成，其中工程乙必須在工程甲完成后才能進行，工程丙必須在工程乙完成后進行，那么安排這6項工程不同的排法種數是________．
答案　120
解析　六個元素進行排序，保證甲、乙、丙三個元素順序不變，再加入三個元素進行排序，共＝120種排法．
類型二　分排問題
例2　(多選)17名同學站成兩排，前排7人，后排10人，則不同站法的種數為(　　)
A．AA B．AA
C．A＋A D．A
答案　BD
解析　17名同學中選7名同學排在前排有A種方法，剩下10名同學全排在后排有A種方法，根據分步乘法計數原理，共有AA種站法．或將前后排視為一排，共有A種站法．
多排元素排列問題通常可簡化為一排考慮．
3．5名學生、1名教師站成前后兩排照相，要求前排3人，后排3人，其中教師必須站在前排，那么不同的站法共有(　　)
A．30種 B．360種
C．720種 D．1440種
答案　B
解析　教師在前排選1個位置，5名學生，站剩余的5個位置，共有CA＝360種站法．
類型三　相同元素問題
例3　某校準備參加高中數學聯賽，把16個選手名額分配到高三年級的1～4班，每班至少一個名額．
(1)不同的分配方案共有多少種？
(2)若每班名額不少于該班的序號數，則不同的分配方案共有多少種？
解　(1)問題等價于將16個小球串成一串，插入3塊隔板，截為4段，16個小球間有15個空隙，從中選3個插入隔板，插法種數為C＝455.故不同的分配方案共有455種．
(2)問題等價于先給2班1個小球，3班2個小球，4班3個小球，再把余下的10個相同的小球放入4個盒子里，求每個盒子至少有1個小球的分配方法數．將10個小球串成一串，截成4段，截法種數為C＝84，因此不同的分配方案共有84種．
相同元素分配問題的處理策略
(1)隔板法：如果將放有小球的盒子緊挨著成一行放置，便可看作排成一行的小球的空隙中插入了若干隔板，相鄰兩塊隔板形成一個“盒”．每一種插入隔板的方法對應著小球放入盒子的一種方法，此法稱之為隔板法．隔板法專門解決相同元素的分配問題．
(2)將n個相同的元素分給m個不同的對象(n≥m)，有C種方法．可描述為n－1個空中插入m－1塊板．
4．(2024·石家莊一中模擬)小明同學去文具店購買文具，現有4種不同樣式的筆記本可供選擇(可以有筆記本不被選擇)，單價均為一元一本，小明只有8元錢且要求全部花完，則不同的選購方法共有(　　)
A．70種 B．165種
C．280種 D．1860種
答案　B
解析　問題等價轉化為將8個完全相同的小球放入4個盒子里，允許有空盒．進一步轉化為將12個完全相同的小球放入4個盒子里，每個盒子里至少有1個球．由隔板法可知，不同的選購方法有C＝165種．故選B.
21世紀教育網 www.21cnjy.com 精品試卷·第 2 頁 （共 2 頁）
21世紀教育網(www.21cnjy.com)

展開更多......

收起↑