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第十章 靜電場中的能量
第3節 電勢差與電場強度的關系
電場力做功與路徑無關
電勢
電勢差
電場強度
電場力的功
電場力
電勢能
？
思考討論：如圖在場強為E的勻強電場中，將一個帶電量為q的正電荷由A點移動到B點，已知A、B之間的電勢差UAB，A、B之間的距離為d
d
q
A
B
E
那么，在這一過程電場力做了多少功？有幾種表示方法？
方法1：根據靜電力做功與電勢差的關系來計算功：W=qUAB ①
方法2：根據q 所受的靜電力來計算功：在勻強電場中靜電力 F是恒力 F＝ qE 它所做的功為：W＝Fd＝qEd ②
比較功的兩個計算結果①和②，得到UAB ＝ Ed
如果不考慮UAB的正負，把UAB的下標去掉(理解為兩點間電壓，用U表示)，故有U= Ed。
1．關系式：＝Ed
(注：公式中d是兩點沿電場方向距離)
2．物理意義：勻強電場中兩點間的電勢差等于電場強度與這兩點沿電場方向的距離的乘積．
3．適用條件：勻強電場．
01 勻強電場中電勢差和電場強度的關系
如果 A、B 兩點不在同一條電場線上，還能得出以上結論嗎？試著進行論證
M
E
A
B

+
q
解：帶電量為q的正電荷由A點移動到B點，根據q 所受的靜電力來計算功
WAB＝qELcos = qEd（1）
靜電力所做的功與A、B兩點的電勢差的關系： WAB ＝qUAB （2）
仍可證明：UAB ＝ Ed
4.電場強度與電勢差的關系另一表達式
（2）適用條件：勻強電場；不過這一比值在非勻強電場中也有意義，它表示兩點間的平均電場強度。
（3）上式不是U=Ed簡單的變形，這一變形有豐富的物理內涵。物理意義是在勻強電場中，電場強度的大小等于兩點之間的電勢差與兩點沿電場強度方向的距離之比。也就是說，電場強度在數值上等于沿電場方向單位距離上降低的電勢。
（1）
單位：N/C或V/m
1 V/m＝1 J/(C·m)＝1N·m/(C·m)＝1 N/C
思考討論1：為什么電場線密的地方等勢線也密，電場線稀疏的地方等勢線也稀疏？
參考答案：由 知兩相鄰等勢線之間的電勢差 U 相同時，電場強度 E 越大的地方，兩相鄰等勢線之間的距離 d 越小，電場強度 E 越小的地方，兩相鄰等勢線之間的距離 d 越大，這就是電場線較密的地方等勢線也較密，電場線稀疏的地方等勢線也稀疏的原因。
思考討論2：有同學認為:“根據 ，若A、B兩點在d勻強電場的同一等勢面上，由于 ，故電場強度為零” 。談一下你的看法。
提示：該同學分析錯誤，當A、B在勻強電場同一等勢面上時，兩點沿電場方向距離d=0。無法用直接計算電場強度，E不等于零。
公式 公式含義 適用范圍
電場強度的定義式
任意電場
真空中點電荷電場的場強計算公式
真空中靜止點電荷電場
勻強電場的場強的計算公式(為沿場強方向的距離)
勻強電場
【例題】如圖，真空中平行金屬板M、 N之間的距離d為0.04m，有一2×10-15 kg 的帶電粒子位于M 板旁，粒子的電荷量為8×10-15 C，給兩金屬板加200 V 直流電壓。
（1）求帶電粒子所受的靜電力的大小。
解：兩金屬板間的電場強度E=，帶電粒子所受的靜電力F=Eq，則有
F=Eq==N=4×10-11N
【例題】如圖，真空中平行金屬板M、 N之間的距離d為0.04m，有一2×10-15 kg 的帶電粒子位于M 板旁，粒子的電荷量為8×10-15 C，給兩金屬板加200 V 直流電壓。
（2）求帶電粒子從M 板由靜止開始運動到達N
板時的速度。
解：靜電力遠大于重力2×10-14N，因此重力可忽略不計。
帶電粒子運動的加速度a=，設帶電粒子到達N板時速度為v。根據勻變速直線運動的速度與時間關系有v2=2ad，則
v==m/s=40m/s
【例題】如圖，真空中平行金屬板M、 N之間的距離d為0.04m，有一2×10-15 kg 的帶電粒子位于M 板旁，粒子的電荷量為8×10-15 C，給兩金屬板加200 V 直流電壓。
（3）如果兩金屬板距離增大為原來的2 倍，
其他條件不變，則上述問題（1）（2）的答案又如何？
解：當d =2d時，E ==，F =E q=，a ==，則
v ===v=40m/s
帶電粒子所受的靜電力的大小是4×10-11N，到達N板時的速度是40m/s；兩金屬板距離增大為原來的2倍時，靜電力的大小為2×10-11N，速度仍然是40m/s。
通過上述例題，當M、N板間的距離增大時，只要它們之間的電勢差沒有變化，帶電粒子到達N板的速度大小也不會變化。
這很容易運用動能定理來解釋，由靜電力做的功等于帶電粒子動能的變化，即qU=mv2。
1.點電荷周圍等勢面分布間距不相等
A
B
C
WAB=FABlAB=qUAB
WBC=FBClBC=qUBC
FAB< FBC
UAB= UBC
lAB> lBC
F指平均值
02 勻強電場中的幾個推論
2.沿電場線方向任意相等距離上的電勢差相等
WAB=FABlAB=qUAB
WBC=FBClBC=qUBC
FAB= FBC
UAB= UBC
A
B
C
AC連線的中點B的電勢與A、C兩點的電勢的關系。
3.在勻強電場中沿同一方向任意相等距離上的電勢差相等。
N
M
E
C
A
B
結論：勻強電場中任意兩點連線中點的電勢等于這兩點電勢之和的一半。
E
A
Ｂ
C
D
AB//CD
AB=CD=L
4.在勻強電場中，兩條平行線段上相等距離的兩點間的電勢差相等。
UAB =UCD
推廣：若AB//CD ，則
如圖所示，AB為勻強電場中的兩點，如果O1、 O2 、 O3 … On為AB連線的n等分點，那么O1、 O2 、 O3 … On 也是是A、B間電勢差的n等分點。
5.在勻強電場中任意兩點的連線的n等分點也將這兩點間的電勢差n等分。（幾何等分點也是電勢差等分點）
如圖，在場強為E的勻強電場中，沿電場線方向建立一直線坐標系，O為原點，取O點的電勢為0，則坐標為x處的P電勢是多大？
6.在勻強電場中沿電場線方向電勢隨位置坐標均勻降落。
E
o
P
x
x
φ
o
在φ-x圖象中，斜率大小表示場強大小。
1.關于勻強電場中電場強度和電勢差的關系，正確的是( )
A.電場強度越大，則任意兩點間的電勢差也越大
B.任意兩點間的電勢差等于電場強度和這兩點間距離的乘積
C.沿著電場線方向，任何相同距離上的電勢降低必定相等
D.電勢降低的方向必定是電場強度的方向
C
2.雷電是雷雨云層積累的強大電荷區出現的高壓電場放電現象。若已知空氣被一萬伏特高壓擊穿的間距為1cm，試估算空氣在擊穿瞬間產生的電場強度至少應為（　　）
A．1.0×106V/m B．2.0×106V/m
C．1.0×109V/m D．2.0×109V/m
A
3.（多選）在x軸上關于原點對稱的a、b兩點處固定兩個電荷量相等的點電荷，如圖所示的E-x圖象描繪了x軸上部分區域的電場強度(以x軸正方向為電場強度的正方向)．在電場中c、d為x軸上關于原點對稱的兩點，O為坐標原點，下列結論正確的是(　　 )
A．a、b處為異種點電荷
B．c、d兩點電場強度相同，但c點電勢更高
C．若將一負電子從c點移到d點，其電勢能增大
D．O點處電勢等于零，電場強度也等于零
ABC
4.(多選)如圖所示的同心圓(虛線)是電場中的一簇等勢線,一個電子只在電場力作用下沿著直線由A向C運動時的速度越來越小,B為線段AC的中點,則有( )
A.電子沿AC運動時受到的電場力越來越小
B.電子沿AC運動時它具有的電勢能越來越大
C.電勢φA>φB>φC
D.電勢差UAB=UBC
BC
一、電勢差與電場強度的關系
1.在勻強電場中電場強度大小等于兩點間電勢差與兩點沿電場強度方向距離的比值。
2.UAB=Ed或E=（只適用于勻強電場，對于非勻強電場，可做定性判斷）
3.單位：伏每米（V/m） 1V/m=1N/C
4.在勻強電場中,沿電場方向電勢降落的最快！
5.靜電力做的功等于帶電粒子動能的變化： qU=mv2
二、勻強電場中幾個重要的推論

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