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第七章 萬有引力與宇宙航行
章末復習課
人教版（2019）必修 第二冊
天體質量
人造衛星
三個宇宙速度
開普勒
定律
萬有引
力定律
應用
牛頓第
二定律
知識結構
1.開普勒第一定律
軌道定律（橢圓定律）
所有行星繞太陽運動的軌道都是橢圓，太陽處在橢圓的一個焦點上。
2.開普勒第二定律（面積定律）
對任意一個行星來說，它與太陽的連線在相等時間內掃過相等的面積。
思考：行星的機械能變化？
遠處速度慢
近處速度快
一、開普勒定律
3.開普勒第三定律（周期定律）
a
所有行星軌道的半長軸的三次方跟它的公轉周期的二次方的比都相等。
內容：
表達式：
注意：
⑴這個公式既可以適用橢圓（a為半長軸）又適用于圓（a為半徑）
⑵適用所有有中心體模型的圓周轉動。
⑶k只與中心體的質量有關。
第三定律：所有行星軌道半徑的三次方跟它公轉周期的二次方的比值都相等
第一定律：行星繞太陽運動的軌道十分接近圓，太陽處在圓心；
第二定律：行星做勻速圓周運動；
開普勒定律的簡化
1.內容：自然界中任何兩個物體都相互吸引，引力的方向在它們的連線上，引力的大小與物體的質量的乘積成正比、與它們之間距離的二次方成反比。
2.表達式：
G是引力常量
①兩個質點之間
②質量分布均勻的球體之間
r為兩個球心之間的距離。
m1
m2
r
兩物體間距遠大于物體的線度
3.公式適用條件：
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二、萬有引力定律
兩物體的距離 r 的物理含義？
思考：
r→0時，公式不再適用
4.引力常量G的測定：
卡文迪許扭秤實驗
處理方法：
本質：
將不規則物體對空間中某質點的引力，視為填充后的規則物體和填充部分各自對質點引力的差值。
是通過填和補，使得原來殘缺物體變成規則情形。
割補法處理不規則物體產生萬有引力問題：
萬有引力指向地心，分解為兩個分力：
G
Fn
F引
一個是提供隨地球自轉的向心力
另一個作為重力
1.考慮地球自轉
G= F引
赤道：
G+Fn=F引
θ↑，r↓，Fn=mw2r↓，G↑
緯度越高，重力加速度g越大。
一般：
兩極：
萬有引力與重力
已知：地球半徑R，地球表面附近的重力加速度g，在地面上，則有
2.忽略地球自轉：
⑴g表=
⑵GM=
可得：
已知:地球的球體半徑R和表面重力加速度g，求地球的質量。
物體在地球表面，忽略地球自轉影響，物體受到的重力等于萬有引力。
思路1：重力加速度法 （R、g）
忽略地球自轉
適用條件：
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三、計算天體質量
只能求出中心天體的質量。
思路2：環繞天體法 （T、r）、（v、r）、（ω、r）、（v、T）
已知:行星（或衛星）的公轉周期T、軌道半徑r，求中心天體的質量。
通常環繞天體的公轉周期和軌道半徑容易測量：
特點
天體做勻速圓周運動，萬有引力完全提供向心力。
動力學方程
解得
同理:可用v-r、ω-r、v-T等求質量的方法求天體的密度。
思路：
1.g、R法
2.T、r法
同理:可用v-r、ω-r、v-T等求質量的方法求天體的質量。
計算天體密度
測得中心天體的質量和其半徑，可求中心天體的密度。
★近地衛星（或天體繞中心天體表面做勻速圓周運動）:
r=R+h
近地
h≈0
r=R
則有
據報道，天文學家新發現了太陽系外的一顆行星．這顆行星的體積是地球的a倍，質量是地球的b倍．已知近地衛星繞地球運行的周期約為T，引力常量為G。則該行星的平均密度為(　　)
C
地球
M
m
F引
r
1、建立模型
⑴衛星軌道:
⑵向心力來源
高軌道衛星
近地衛星
月球
r=h+R地
近地衛星，則r=R地
由萬有引力提供向心力
圓心為地心
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四、衛星
衛星的軌道分析
2.動力學方程
思考：1.近地衛星情況又如何？
2.結合黃金代換 ，又如何？
軌道參量 動力學方程 特點
線速度v
角速度 周期T 向心加速度an
1.捆綁性(運動量一個變，
皆隨之而變)
2.變化趨勢
r決定一切：
軌道越高越慢；
軌道越低越快。
3.無用的m
僅在計算F引大小時有用。
有a、b、c、d四顆地球衛星：a還未發射，在地球赤道上隨地球表面一起轉動；b在地球的近地圓軌道上正常運行；c是地球同步衛星；d是高空探測衛星。各衛星排列位置如圖，則下列說法正確的是 （ ）
A．a的向心加速度大于b的向心加速度
B．四顆衛星的速度大小關系是：va＞vb＞vc＞vd
C．在相同時間內d轉過的弧長最長
D．d 的運動周期可能是30 h
D
衛星變軌問題
無動力運行
勻速圓周運動
離心運動
向后點火加速
向前點火減速
近心運動
1.衛星的變軌原理
離心運動
離心運動
·
v2
v3
v4
v1
Ⅰ
Ⅱ
Ⅲ
低圓軌道(Ⅰ)P點加速
橢圓轉移軌道(Ⅱ)Q點加速
高圓軌道(Ⅲ)
2.軌道突變
⑴基本點
⑵過程
實例：軌道升高
增加能量
想一想：衛星在軌道I和軌道III上線速度誰大呢？
為什么明明加速了兩次最終速度反而減小了呢？
A
B
Ι
II
III
⑶軌道相切點速度大小關系
⑷軌道相切點衛星加速度關系
內軌道速度小于外軌道速度（簡稱“外大內小”）
在該點加速度相同
(1)原因：稀薄的空氣阻力。
(2)處理方法：每一圈都視為圓周運動
想一想：最終穩定在低軌道后速度比原來在高軌道速度誰大？
為什么會出現這種現象？
3.軌道漸變
⑶關鍵點：判斷是離心運動還是近心運動（r是增加還是減小）
例 在完成各項既定任務后，“神舟九號”飛船于2012年6月29日時許返回地面，主著陸場位于內蒙古四子王旗地區。如圖所示，飛船在返回地面時，要在P點從圓形軌道Ⅰ進入橢圓軌道Ⅱ，Q為軌道Ⅱ上的一點，M為軌道Ⅰ上的另一點，關于“神舟九號”的運動，下列說法中正確的有 ( )
A.飛船在軌道Ⅱ上經過P 的速度小于經過Q 的速度
B.飛船在軌道Ⅱ上經過P 的速度小于在軌道Ⅰ上經過M的速度
C.飛船在軌道Ⅱ上運動的周期大于在軌道Ⅰ上運動的周期
D.飛船在軌道Ⅱ上經過P 的加速度小于在軌道Ⅰ上經過M的加速度
AB
飛船
合適的地點、合適的時機
1.飛船先在比空間站低的軌道運行，運行到某位置時，加速后到一個橢圓軌道。
2.控制使飛船跟空間站恰好同時運行到兩軌道的相切點。
3.此時空間站通過機械手臂“抱住”飛船，便可實現對接，如圖示。
空間對接
如圖，兩天體的運轉方向相同，且位于和中心連線半徑的同側，此時兩天體相距最近。
求:經過多長時間t二者會再次相距最近？
設處于內軌道的A天體周期為T1，處于外軌道的B天體周期為T2，當t滿足下列式子時二者相距最近：
或
A
B
衛星的追及與相遇
如圖，兩天體的運轉方向相同，且位于和中心連線半徑的同側，此時兩天體相距最近。求經過多長時間t二者會再次相距最遠？
或
設處于內軌道的A天體周期為T1，處于外軌道的B天體周期為T2，當t滿足下列式子時二者相距最遠：
A
B
⑴軌道面與赤道面重合。
2.地球同步衛星運行特點：
⑵所有地球同步衛星的υ、ω、T、αn和h大小皆相等。
h
1.定義：
地球同步衛星
相對于地面靜止且與地球自轉具有相同周期的衛星叫地球同步衛星。它的周期：T＝24h
方法模型歸納
1.第一宇宙速度
方法1 已知:M、r，求： v
由牛頓第二定律得
代入r=R地=6.40×106m，得
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五、宇宙速度
意義：衛星在地面附近環繞地球作勻速圓周運動所必須具有的速度，稱第一宇宙速度。
當衛星在地面附近繞地球運行時，r=R 。
方法2 已知:R、g，求：v
代入R地=6.40×106m，得
2.第一宇宙速度的理解：
發射衛星的軌道越高，需要克服萬有引力的阻礙作用越多，所以發射速度需要增加。
①是航天器成為衛星的最小發射速度
②是衛星的最大環繞速度
當衛星在地面附近繞地球運行時，重力提供向心力 。
= 83.4min
3.宙宙速度與軌道
7.9km/s1.兩星與旋轉中心三點共線即：ω相同，T相同
3.r1+r2=L
2.向心力大小相等
分析：
動力學方程
對象m1：
對象m2：
又有 r1＋r2＝L ，整理得
兩式相加，
①求（m1+m2） ②求T ③求L
雙星運動的特點
出題點：
有時求中心點O位置及分析m、v間關系
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六、雙星問題
(多選)2017年，人類第一次直接探測到來自雙中子星合并的引力波。根據科學家們復原的過程，在兩顆中子星合并前約100 s時，它們相距約400 km，繞二者連線上的某點每秒轉動12圈。將兩顆中子星都看作是質量均勻分布的球體，由這些數據、萬有引力常量并利用牛頓力學知識，可以估算出這一時刻兩顆中子星 (　　)
A．質量之積　　　　　 B．質量之和
C．速率之和 D．各自的自轉角速度
BC

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