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第 二 章 機 械 運 動
第 4 節(jié) 單 擺
學習目標
1.知道單擺的概念，了解單擺運動的特點；
2.知道單擺的受力特點以及實際擺看成單擺的條件；
3.知道單擺周期與擺長、重力加速度的定量關(guān)系，并能進行有關(guān)計算。
思考：蕩起的秋千、擺動的鐘擺、晃動的風鈴它們在豎直平面內(nèi)的平衡位置附近的往復運動是不是簡諧運動呢？
知識點一：單擺及單擺的回復力
1.單擺
（1）定義：在細線的一端拴一小球，另一端固定在懸點上，如果懸掛小球的細線的伸縮和質(zhì)量可以忽略，球的直徑與線的長度相比也可以忽略，這樣的裝置就叫做單擺。
（2）單擺的結(jié)構(gòu)：
①固定懸點
②擺長l ：擺球重心到擺動圓弧圓心的距離L=l+
③偏角θ ：擺球擺到最高點時，細線與豎直方向的夾角
（3）單擺是實際擺的理想化模型
①懸線：
質(zhì)量不計
長度遠大于小球直徑
不可伸縮
②擺球：
質(zhì)點（體積小 質(zhì)量大）
思考：結(jié)合單擺模型的特點想一想，下列裝置能否視為單擺，為什么？
提示：都不能，(1)中橡皮筋的伸縮不能忽略；(2)(3)中乒乓球和大木球擺動時，空氣阻力不能忽略；(3)中大木球的直徑與線的長度相比也不能忽略不計。
幾種常見的擺
哪個屬于單擺呢？
單擺的擺動是不是在做簡諧振動呢？
圓槽擺
圓錐擺
釘 擺
用什么方法探究單擺的振動是否為簡諧運動？
方法一：如果質(zhì)點的位移與時間的關(guān)系遵從正弦函數(shù)的規(guī)律，即振動圖像（x-t圖像）是一條正弦曲線，這樣的振動叫做簡諧振動;
方法二：如果回復力與偏離平衡位置的位移大小成正比，這種振動叫簡諧振動。
如圖，細線下懸掛一除去柱塞的注射器，其內(nèi)裝上墨汁。注射器擺動時，沿垂直擺動方向勻速拖動木板，觀察注射器噴出的墨跡圖像。
方法一：從圖像判斷
第一步：假定圖像為正弦曲線，測量振幅與周期，寫出正弦函數(shù)表達式。
得到圖像后，怎么驗證單擺的振動圖像是否為正弦函數(shù)圖像？
第二步：表達式計時開始位移為0，隨后位移增加并為正；將每一個點的位移時間（測量值）數(shù)值代入表達式中，比較測量值與函數(shù)值是否相等，若可視相等，則為正弦曲線。
方法二：從單擺的受力特征判斷
分析單擺受到的回復力是否滿足
擺球的受力分析：
（1）任意位置
如圖所示，G2＝Gcos θ，F(xiàn)－G2的作用就是提供擺球繞O′做變速圓周運動的向心力； G1 ＝Gsin θ的作用是提供擺球以O(shè)為中心做往復運動的回復力。
（2）平衡位置
擺球經(jīng)過平衡位置時，G2＝G，G1＝0，此時F應(yīng)大于G，F(xiàn)－G提供向心力，因此，在平衡位置，回復力F回＝0，與G1＝0相符。
（3）單擺的簡諧運動
在θ很小時(理論值為＜5°)，
G1方向與擺球位移方向相反，所以有回復力
因此，在擺角θ很小時，單擺做簡諧運動。
① 弧長 ≈ x
（弧度值）
②
所以
（令)
2.單擺的回復力
B
A
O
（2）回復力的方向：沿切線指向平衡位置
（與該點速度方向在同一直線上，不斷改變速度大小）
P
θ
T
G
G2
G1
（1）回復力的來源：重力沿圓弧切線的分力提供回復力
（3）回復力的特點
在偏角很小時，擺球所受的回復力與它偏離平衡位置的位移成正比，方向總指向平衡位置，即 。
（1）單擺的運動不一定是簡諧運動，只有在擺角較小的情況下才能看成簡諧運動，理論上一般角不超過5°，但在實驗中，擺角很小時單擺運動的細節(jié)不易觀察清楚，帶來的測量誤差反而會增大，因此實驗中一般角不超過10°。
（2）回復力不是擺球所受的合外力，當擺球擺至平衡位置時，回復力等于零，合外力提供向心力。
知識點二：單擺的周期
1.探究影響單擺周期的因素
（1）猜想：
① 單擺的周期與振幅有關(guān)
② 單擺的周期與擺球的質(zhì)量有關(guān)
③ 單擺的周期與擺長有關(guān)
（2）實驗方法:
控制變量法
（3）控制條件：實驗主要是為研究屬于簡諧運動的單擺振動的周期，所以擺角不要超過5°。
（4）實驗過程:
在鐵架臺的橫梁上固定兩個單擺，按照以下幾種情況，把它們拉起一定角度后同時釋放，觀察兩擺的振動周期。
① 兩擺的擺球質(zhì)量、擺長相同，振幅不同（都在小偏角下）。
② 兩擺的擺長、振幅相同，擺球質(zhì)量不同。
演示視頻
演示視頻
③ 兩擺的振幅、擺球質(zhì)量相同，擺長不同。
① 單擺的周期與振幅無關(guān)——單擺的等時性。
② 單擺的周期與擺球的質(zhì)量無關(guān)。
③ 單擺的周期與擺長有關(guān)——擺長越長，周期越大。
（5）結(jié)論：
伽利略首先發(fā)現(xiàn)了單擺的等時性
演示視頻
做一做
改變擺長，測出對應(yīng)的單擺周期T（在小偏角下）。根據(jù)你的實驗數(shù)據(jù)，嘗試在坐標紙上畫出T-圖像或T-2 圖像。它們分別是什么曲線？你能根據(jù)圖像判斷單擺周期與擺長的關(guān)系嗎？
周期T/s 1.48 1.55 1.79 2.19
擺長/m 0.5 0.6 0.8 1.1
擺長l2 /m2 0.25 0.36 0.64 1.21
在誤差允許的范圍內(nèi)單擺周期與擺長的平方成正比。
2.單擺周期的公式
荷蘭物理學家惠更斯進行了詳盡的研究，發(fā)現(xiàn)單擺做簡諧運動的周期 T 與擺長 的二次方根成正比，與重力加速度 的二次方根成反比，而與振幅、擺球質(zhì)量無關(guān)。
惠更斯
（1）重力加速度g由單擺所在的空間位置決定。
緯度越低，高度越高，g值就越小。不同星球上g值也不同。
（2）重力加速度g還由單擺系統(tǒng)的運動狀態(tài)決定，系統(tǒng)處于超重狀態(tài)時，重力加速度的等效值
系統(tǒng)處于失重狀態(tài)時，重力加速度的等效值
系統(tǒng)處于完全失重時重力加速度的等效值擺球不擺動。
3.單擺周期公式的應(yīng)用
（1）惠更斯利用擺的等時性（單擺的周期與振幅無關(guān)的性質(zhì)）發(fā)明了帶擺的計時器，叫擺鐘。
秒擺：周期為2s的單擺為秒擺。
（2）測量重力加速度：
1. 圖中O點為單擺的固定懸點，現(xiàn)將擺球（可視為質(zhì)點）拉至A點，此時細線處于張緊狀態(tài)，釋放擺球，擺球?qū)⒃谪Q直平面內(nèi)的A、C之間來回擺動，B點為運動中的最低位置，則在擺動過程（ 　　）
A．擺球在A點和C點處，速度為零，合力也為零
B．擺球在A點和C點處，速度為零，回復力也為零
C．擺球在B點處，速度最大，回復力也最大
D．擺球在B點處，速度最大，向心力也最大
D
2. 有一個正在擺動的秒擺(T=2 s)，若取擺球正從平衡位置向左運動時開始計時，那么當t=1.6 s時，以下對擺球的運動情況及回復力變化情況正確的是(　 　)
A.正在向左做減速運動，回復力正在增大
B.正在向右做減速運動，回復力正在增大
C.正在向右做加速運動，回復力正在減小
D.正在向左做加速運動，回復力正在減小
D
3. 將一單擺向左拉至水平標志線上，從靜止釋放，當擺球運動到最低點時，擺線碰到障礙物，擺球繼續(xù)向右擺動，用頻閃照相機拍到如圖所示的單擺運動過程的頻閃照片，以下說法正確的是（ 　?。?br/>A．擺線碰到障礙物前后的擺長之比為9:4
B．擺線碰到障礙物前后的擺長之比為3:2
C．擺線經(jīng)過最低點時，線速度不變，半徑減小，擺線張力變大
D．擺線經(jīng)過最低點時，角速度變大，半徑減小，擺線張力不變大
AC
4.惠更斯利用擺的等時性原理制成了第一座擺鐘。圖1為日常生活中我們能見到的一種擺鐘,圖2為擺的結(jié)構(gòu)示意圖,圓盤固定在擺桿上,螺母可以沿擺桿上下移動。在甲地走時準確的擺鐘移到乙地未做其他調(diào)整時擺動加快了,下列說法正確的是( )
A.甲地的重力加速度較大,若要調(diào)準可將螺母適當向下移動
B.甲地的重力加速度較大,若要調(diào)準可將螺母適當向上移動
C.乙地的重力加速度較大,若要調(diào)準可將螺母適當向下移動
D.乙地的重力加速度較大,若要調(diào)準可將螺母適當向上移動
C

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