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第二章 機械振動
第4節 單擺
1.知道單擺的概念，了解單擺運動的特點；
2.知道單擺的受力特點以及實際擺看成單擺的條件；
3.知道單擺周期與擺長、重力加速度的定量關系，并能進行有關計算。
秋千的擺動
鐘擺的擺動
游樂大擺錘的擺動
1.以上生活中的擺動有什么共同的特點？
2.結合你已經學習過的理想化模型和擺動物體的特點，你是否可以簡化出一種新的理想化的物理模型呢？
1.定義：如果細線的質量與小球相比可以忽略，球的直徑與線的長度相比也可以忽略，這樣的裝置就叫做單擺。
2.單擺的結構：
（1）固定懸點O'
（2）擺長：懸點到重心的距離
L
（3）θ ：最大擺角
θ
理想化模型
知識點一：單 擺
想一想：下列裝置能否看作單擺？
鐵鏈
粗棍上
細繩掛在
細繩
橡皮筋
2
3
4
1
O
O’
長細線
5
鋼球

幾種常見的單擺
圓槽擺
圓錐擺
釘 擺
A
B
O
判斷單擺的振動是否為簡諧運動的方法
方法一：從單擺的振動圖象判斷
如圖1，細線下懸掛一除去柱塞的注射器，其內裝上墨汁。注射器擺動時，沿垂直擺動方向勻速拖動木板，觀察注射器噴出的墨跡圖樣。
圖1
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注意：表達式計時開始位移為0，隨后位移增加并為正；將每一個點的位移時間（測量值）數值代入表達式中，比較測量值與函數值是否相等，若可視相等，則為正弦曲線。
通過分析墨跡圖像，我們發現注射器的擺動是簡諧運動。
（假設法）
假定圖像為正弦曲線，測量振幅與周期，寫出正弦函數表達式。
方法二：從單擺的受力特征判斷
分析單擺受到的回復力是否滿足
擺球的受力分析：
（1）任意位置
如圖所示，G2＝Gcos θ，F－G2的作用就是提供擺球繞O′做變速圓周運動的向心力； G1 ＝Gsin θ的作用是提供擺球以O為中心做往復運動的回復力。
（2）平衡位置
擺球經過平衡位置時，G2＝G，G1＝0，此時F應大于G，F－G提供向心力，因此，在平衡位置，回復力F回＝0，與G1＝0相符。
（3）單擺的簡諧運動
在θ很小時(理論值為＜5°)，
G1方向與擺球位移方向相反，所以有回復力
因此，在擺角θ很小時，單擺做簡諧運動。
① 弧長 ≈ x
（弧度值）
②
所以
（令)
知識點二：單擺的回復力
1.回復力的來源
擺球的重力沿圓弧切線方向的分力。
2.回復力的特點
在偏角很小時，擺球所受的回復力與它偏離平衡位置的位移成正比，方向總指向平衡位置，即 。
注：回復力不是擺球所受的合外力。在平衡位置處，回復力為0，但小球受到的合力并不為0（指向懸點，提供小球做圓周運動的向心力）。
單擺的運動特點：
（1）擺線以懸點為圓心做變速圓周運動，因此在運動過程中只要速度v≠0，半徑方向都受向心力。
（2）擺線同時以平衡位置為中心做往復運動，因此在運動過程中只要不在平衡位置，軌跡的切線方向都受回復力。
知識點三：單擺的周期
思考：一根短繩系一個小球，它的振動周期較短。懸繩較長的秋千，周期較長。單擺的周期與哪些因素有關？
1.探究單擺周期與擺長之間的關系
在鐵架臺的橫梁上固定兩個單擺，按照以下幾種情況，把它們拉起一定角度后同時釋放，觀察兩擺的振動周期。
探究方法：控制變量法
研究單擺的振幅、質量、擺長對周期的影響。
實驗一：將擺長相同、質量相同擺球拉到不同高度（即：振幅不同都在小偏角下）自由釋放，觀察兩擺的擺動情況。
實驗二：將擺長相同、質量不同擺球拉到同一高度（振幅相同）自由釋放，觀察兩擺的擺動情況。
實驗三:將擺長不同、質量相同擺球拉到同一高度（振幅相同）自由釋放，觀察兩擺的擺動情況。
在同一個地方，單擺周期T與擺球質量和振幅無關，僅與擺長有關系，且擺長越長，周期越大。
2. 探究單擺周期與擺長之間的定量關系
改變擺長 l，測出對應的單擺周期 T（在小偏角下）。根據你的實驗數據，嘗試在坐標紙上畫出 T-l 圖像。看看是什么曲線？你能根據 T-l 圖像判斷單擺周期與擺長的關系嗎？
周期T/s 1.48 1.55 1.79 2.19
擺長l/m 0.5 0.6 0.8 1.1
不能
再根據你的實驗數據，在坐標紙上畫出T-l2 圖像。它是什么曲線？你能根據T-l2圖像判斷單擺周期與擺長的關系嗎？
周期T/s 1.48 1.55 1.79 2.19
擺長l2 /m2 0.25 0.36 0.64 1.21
在誤差允許的范圍內單擺周期與擺長的平方成正比。
3. 單擺的周期公式
（2）國際單位：秒（s）
惠更斯
T = 2π
（1）周期公式：
荷蘭物理學家惠更斯進行了詳盡的研究，發現單擺做簡諧運動的周期 T 與擺長 l 的二次方根成正比，與重力加速度 g 的二次方根成反比，而與振幅、擺球質量無關。
（3）單擺周期公式的應用和理解
周期公式的應用：由單擺周期公式可得g= ,只要測出單擺的擺長 l 和周期T就可算出當地的重力加速度。
由公式可知，某單擺做簡諧運動(擺角小于5°)的周期只與其擺長 l 和當地的重力加速度 g 有關，而與振幅或擺球質量無關。擺長、重力加速度都一定時，周期和頻率也一定，通常稱為單擺的固有周期和固有頻率。
實際的單擺擺球不可能是質點，所以擺長應是從懸點到擺球球心的長度，即 ，l1為擺線長，d為擺球直徑。
思考：如果將單擺從赤道移到北京，周期會怎么變化？如果將單擺從海面移到高山，周期又會怎么變化？
如果將單擺從赤道移到北京，周期將變小
如果將單擺從海面移到高山，周期將變大
重力加速度g：由單擺所在的空間位置決定。
緯度越低，高度越高，g值就越小。
不同星球上g值也不同。
T =2
1.(多選)關于單擺擺球在運動過程中的受力,下列結論正確的是(　　)
A.擺球受重力、擺線的拉力作用
B.擺球受重力、擺線的拉力、回復力作用
C.擺球的回復力為零時,向心力最大
D.擺球的回復力最大時,擺線中的拉力大小比擺球的重力大
AC
2.圖中O點為單擺的固定懸點，現將擺球（可視為質點）拉至A點，此時細線處于張緊狀態，釋放擺球，擺球將在豎直平面內的A、C之間來回擺動，B點為運動中的最低位置，則在擺動過程（　　）
A．擺球在A點和C點處，速度為零，合力也為零
B．擺球在A點和C點處，速度為零，回復力也為零
C．擺球在B點處，速度最大，回復力也最大
D．擺球在B點處，速度最大，向心力也最大
D
3.一個單擺的擺長為，在其懸點O的正下方0.19處有一釘子P(如圖所示)，現將擺球向左拉開到A，使擺線偏角<5°，放手后使其擺動，擺動到B的過程中擺角也小于5°，求出單擺的振動周期。
解：釋放后擺球到達右邊最高點B處，由機械能守恒可知B和A等高，則擺球始終做簡諧運動。
小球在左邊的周期為T1＝2π
小球在右邊的周期為T2＝2π
則整個單擺的周期為T＝＋＝π＋π＝1.9π
單擺
單擺：
單擺的回復力：擺球重力沿切線方向的分力
單擺的周期：
理想化模型

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