資源簡介

課堂導(dǎo)學(xué)（平面向量與空間向量的基本運算）
【知識點】
1.向量的加法、減法
空間向量的運算 加法 ＝＋＝a＋b
減法 ＝－＝a－b
加法運算律 ①交換律：a＋b＝b＋a②結(jié)合律：(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)
2.空間向量的數(shù)乘運算：
（1）定義：實數(shù)λ與空間向量a的乘積λa仍然是一個向量，稱為向量的數(shù)乘運算．
當(dāng)λ>0時，λa與向量a方向相同；
當(dāng)λ<0時，λa與向量a方向相反；
當(dāng)λ＝0時，λa＝0；λa的長度是a的長度的|λ|倍．
（2）運算律
結(jié)合律：λ(μa)＝μ(λa)＝(λμ)a.
分配律：(λ＋μ)a＝λa＋μa，λ(a＋b)＝λa＋λb.
3.空間向量的數(shù)量積：
（1）定義：a·b＝|a||b|cos〈a，b〉．
規(guī)定：零向量與任何向量的數(shù)量積為0.
（2）常用結(jié)論(a，b為非零向量)
①a⊥b a·b＝0.
②a·a＝|a||a|cos〈a，a〉＝|a|2.
③cos〈a，b〉＝.
（3）數(shù)量積的運算律
數(shù)乘向量與數(shù)量積的結(jié)合律 (λa)·b＝λ(a·b)＝a·(λb)
交換律 a·b＝b·a
分配律 a·(b＋c)＝a·b＋a·c
4.數(shù)量積的應(yīng)用：
（1）求模長：.
（2）求夾角：cos〈a，b〉＝.
【典例】
例1.如右圖，在矩形ABCD中，||＝2，||＝1.
則（1） ；
（2） ；
（3） ；
（4） ；（作圖）
（5） 0 ；
（6） .
例2．在平行四邊形中，與交于點，是線段的中點，的延長線與交于點,,,.
（1）求,的值；
（2）求，；
（3）求與的夾角的余弦值.
解：（1）
（2）
例3.如圖，四面體OABC中，M、N分別是OA、BC的中點，點G在線段MN上，且MG=2GN，
（1）若，求的值；
（2）若四面體OABC是棱長為1的正四面體，求；
（3）在（2）的條件下問與、、之間的三個夾角，最大是哪一個？并說明原因.
解：（1）
∴
（2）
且，
∴
（3）
∵，,
同理
小于
∴與、、之間的三個夾角中最大是與的夾角.課堂導(dǎo)學(xué)（平面向量與空間向量的基本運算）
【知識點】
1.向量的加法、減法
空間向量的運算 加法 ＝＋＝a＋b
減法 ＝－＝a－b
加法運算律 ①交換律：a＋b＝b＋a②結(jié)合律：(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)
2.空間向量的數(shù)乘運算：
（1）定義：實數(shù)λ與空間向量a的乘積λa仍然是一個向量，稱為向量的數(shù)乘運算．
當(dāng)λ>0時，λa與向量a方向相同；
當(dāng)λ<0時，λa與向量a方向相反；
當(dāng)λ＝0時，λa＝0；λa的長度是a的長度的|λ|倍．
（2）運算律
結(jié)合律：λ(μa)＝μ(λa)＝(λμ)a.
分配律：(λ＋μ)a＝λa＋μa，λ(a＋b)＝λa＋λb.
3.空間向量的數(shù)量積：
（1）定義：a·b＝|a||b|cos〈a，b〉．
規(guī)定：零向量與任何向量的數(shù)量積為0.
（2）常用結(jié)論(a，b為非零向量)
①a⊥b a·b＝0.
②a·a＝|a||a|cos〈a，a〉＝|a|2.
③cos〈a，b〉＝.
（3）數(shù)量積的運算律
數(shù)乘向量與數(shù)量積的結(jié)合律 (λa)·b＝λ(a·b)＝a·(λb)
交換律 a·b＝b·a
分配律 a·(b＋c)＝a·b＋a·c
4.數(shù)量積的應(yīng)用：
（1）求模長：.
（2）求夾角：cos〈a，b〉＝.
【典例】
例1.如右圖，在矩形ABCD中，||＝2，||＝1.
則（1） ；
（2） ；
（3） ；
（4） ；
（5） ；
（6） .
例2．在平行四邊形中，與交于點，是線段的中點，的延長線與交于點,,,.
（1）求,的值；
（2）求，；
（3）求與的夾角的余弦值.
例3.如圖，四面體OABC中，M、N分別是OA、BC的中點，點G在線段MN上，且MG=2GN，
（1）若，求的值；
（2）若四面體OABC是棱長為1的正四面體，求；
（3）在（2）的條件下問與、、之間的三個夾角，最大是哪一個？并說明原因.

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