資源簡介

11.2 導體的電阻 【八大題型】
【人教版 2019】
【題型 1 歐姆定律基本內容的理解】 ....................................................................................................................1
【題型 2 電阻定律基本內容的理解】 ....................................................................................................................4
【題型 3 線性元件的伏安特性曲線】 ....................................................................................................................8
【題型 4 非線性元件的伏安特性曲線】 ..............................................................Error! Bookmark not defined.
【題型 5 分壓接法的電路設計與應用條件】 ......................................................Error! Bookmark not defined.
【題型 6 限流接法的電路設計與應用條件】 ......................................................Error! Bookmark not defined.
【題型 7 利用伏安特性曲線求解實際功率的方法】 ..........................................Error! Bookmark not defined.
【題型 8 導體電阻率的計算】 ..............................................................................................................................23
知識點 1：電阻
1．定義：導體兩端電壓與通過導體的電流之比．

2．公式：R＝ .

3．物理意義：反映了導體對電流的阻礙作用．
4．在導體的 U－I 圖像中，斜率反映了導體電阻的大小．
知識點 2：導體的電阻率
1．電阻定律
(1)內容：同種材料的導體，其電阻 R 與它的長度 l 成正比，與它的橫截面積 S 成反比；導體電阻還與
構成它的材料有關．

(2)公式：R＝ρ ，式中 ρ 是比例系數，叫作這種材料的電阻率．

2．電阻率
(1)電阻率是反映導體導電性能好壞的物理量．
(2)影響電阻率的兩個因素是材料和溫度．
(3)純金屬電阻率較小，合金的電阻率較大．由于用電器的電阻通常遠大于導線電阻，一般情況下，可
認為導線電阻為 0.
3．超導現象
一些金屬在溫度特別低時電阻可以降到 0，這種現象叫作超導現象．

知識點 3：R＝ 與 R＝ρ 的區別與聯系


區別與聯系 定義式：R＝ 決定式：R＝ρ

適用于粗細均勻的金屬導體或濃
區別 適用于純電阻元件
度均勻的電解液、等離子體

R＝ρ 是對 R＝ 的進一步說明，即導體的電阻與 U 和 I
聯系
無關，而是取決于導體本身的材料、長度和橫截面積
【題型 1 歐姆定律基本內容的理解】
【例 1】現有電動勢為 1.5V、內阻為 1.0Ω 的電池多節，準備用幾節這樣的電池串聯起來對一個工作電壓為
6.0V、工作電流為 0.1A 的用電器供電。電路還需要一個定值電阻來分壓，請計算最少需要用這種電池的節
數及這個電阻的阻值分別為（　　）
A．8；52Ω
B．7；38Ω
C．6；24Ω
D．5；10Ω
【答案】D
【詳解】設電路還需要一個定值電阻為 R0，根據閉合電路的歐姆定律有
nE = U＋I nr＋R0
根據題意，至少需要 n=5 節這樣的電池，解得
R0 =10Ω
故選 D。
【變式 1-1】（2021·柳州學業考試）如圖的理想電流表和理想電壓表的示數分別是 0.2A 和 0.4V。此時小
燈泡的電阻為（　　）
A．0.5 Ω B．1.0 Ω C．1.5 Ω D．2.0 Ω
【答案】D
【詳解】根據歐姆定律
R U= = 2.0Ω
I
故選 D。
【變式 1-2】（2024·寧波期末）如圖所示是某導體的伏安特性曲線，由圖可知下列說法正確的是（　　）
A．導體的電阻是 25Ω
B．導體的電阻是 0.04Ω
C．當導體兩端的電壓是 10V 時，通過導體的電流是 2A
D．當通過導體的電流是 0.1A 時，導體兩端的電壓是 0.004V
【答案】A
【詳解】AB．根據圖象，由歐姆定律可得，導體電阻
R U 5= = W = 25W
I 0.2
故 A 正確，B 錯誤；
C．當導體兩端電壓是 10V 時，通過導體的電流
I U 10= = A = 0.4A
R 25
故 C 錯誤；
D．當通過導體的電流是 0.1A 時，導體兩端的電壓
U = IR = 0.1 25V = 2.5V
故 D 錯誤。
故選 A。
【變式 1-3】（2024·益陽期末）（多）比值法定義是指用兩個量的比值來定義一個新的物理量，而新的物
理量反映物質的屬性，與參與定義的兩個物理量無關。下列各物理量的表達式中，是用比值法定義該物理
量的是（ ）
Q
A．電容C =
U
U
B．電流強度 I =
R
E UC．電場強度 =
d
U
D．電阻R =
I
【答案】AD
【詳解】A．電容 C 由電容器本身性質決定，與 Q、U 無關，符合比值法定義的共性，所以
C Q=
U
屬于比值法定義，故 A 正確；
U
B．電流強度 I 由 U、R 決定，則電流強度 I = 不屬于比值定義法，故 B 錯誤；
R
E U
F
C．電場強度 = ，適用于勻強電場的電場強度的計算，不屬于比值定義法，電場強度E = q 屬于比值定d
義法，故 C 錯誤；
D．電阻 R 由電阻本身性質決定，與 U、I 無關，符合比值法定義的共性，所以
R U=
I
屬于比值法定義，故 D 正確。
故選 AD。
【題型 2 電阻定律基本內容的理解】
【例 2】一根粗細均勻的細鋼絲，原來的電阻為 R，則（ ）
1 1
A．截去 ，剩下部分的電阻變為 R
3 3
B．均勻拉長為原來的 2 倍，電阻變為 2R
1
C．對折后，電阻變為 R
2
D 1．均勻拉長使截面積為原來的 4 ，電阻變為 16R
【答案】D
【詳解】A．根據電阻定律
R l= r
S
1 2 2
可知電阻與長度成正比，則截去 ，剩下部分的長度為原來的 ，則電阻變為 R，故 A 錯誤；
3 3 3
1
B．均勻拉長為原來的 2 倍，則長度變 2l，由于材料體積不變，則面積將減為 S ，根據電阻定律
2
R = r l
S
可知
R 2l l= r S =4r =4RS
2
電阻變為 4R，故 B 錯誤；
1
C．對折后，長度減為 l ，面積增大為 2S ，根據電阻定律
2
R = r l
S
可知
1 l
R = r 2 = 1 r l = 1 R
2S 4 S 4
1
電阻變為 4 R，故 C 錯誤；
D 1．均勻拉長使截面積為原來的 4 ，則長度為原來的 4 倍，同理可得電阻變為 16R，則 D 正確。
故選 D。
【變式 2-1】“砷化鋸納米帶”是一種高科技新型材料，用它制造的電子元件可以有效減少因發熱而損失的電
1
能，據介紹該材料的電導率是石墨烯的 1000 倍。已知電導率s 就是電阻率 r 的倒數，即s = r ，下列說法正
確的是（ ）
A．電導率的單位是W×m
B．材料的電導率越大，其導電性能越強
C．材料的電導率大小與材料的長度、橫截面積等因素有關
D．材料的電導率只與材料本身有關，與溫度等因素無關
【答案】B
【詳解】A．根據電阻定律R
L
= r 可得
S
r RS=
L
其中已知電導率s 就是電阻率 r 的倒數，故電導率的單位是W-1 ×m-1，故 A 錯誤；
B．材料的電導率越大，電阻率越小，電阻越小，對電流的阻礙作用越小，則其導電性能越強，故 B 正確；
CD．材料的電導率大小與材料本身，溫度等因素有關，與材料的長度、橫截面積等因素無關，故 CD 錯誤。
故選 B。
【變式 2-2】如圖所示，用某種金屬材料制成長為 a，寬為 b，厚為 c 的長方體，已知 a > b > c，關于該導體
的電阻下列說法正確的是（ ）
A．電流沿 AB 方向電阻最小 B．電流沿 CD 方向電阻最小
C．電流沿 EF 方向電阻最小 D．電流沿任何方向電阻都是一樣
【答案】B
【詳解】設金屬材料的電阻率為 r ，根據電阻定律可知電流沿 AB 方向時電阻為
R r aAB = bc
電流沿 CD 方向時電阻為
RCD = r
c
ab
電流沿 EF 方向時電阻為
R bEF = r ac
由于 a > b > c，則有
RAB > REF > RCD
故選 B。
【變式 2-3】（2024·衡水期末）水平桌面上有兩個柱型導體，它們的橫截面均為正方形，柱體高均為 h，
較大的柱體橫截面邊長為 a，較小的柱體橫截面邊長為 b，如圖所示，垂直柱體側面通入電流，關于較大的
柱體與較小的柱體，下列說法正確的是（ ）
A．若兩導體電阻率相同，則電阻之比為 a∶b
B．若兩導體電阻率相同，則電阻之比為 b∶a
C．若兩導體電阻相同，則兩導體電阻率也相同
D．若將電流方向改為豎直向下且兩導體電阻率相同，則電阻之比為 a2 : b2
【答案】C
rL
【詳解】ABC．由R = 可知，若電阻率相同，則沿圖示電流方向有電阻之比
S
R1 : R
ra rb
2 = : =1:1ah bh
同理電阻相同，電阻率也相同，故 AB 錯誤，C 正確；
D．若將電流方向改為豎直向下，且電阻率相同，則電阻分別為
R rh rh1 = ，R =a2 2 b2
電阻之比為
R1 : R2 = b
2 : a2
故 D 項錯誤。
故選 C。
【題型 3 線性元件的伏安特性曲線】
【例 3】如圖所示為電阻R1、R2 的 I -U 圖像，由圖可知（ ）
A．R1 > R2 B．R1 < R2
C．電壓增大，R2 的阻值變大 D．電壓增大，R2 的阻值變小
【答案】B
U
【詳解】AB．根據歐姆定律R = ，可知 I -U 圖像的斜率等于電阻的倒數，則有
I
R1 < R2
故 A 錯誤，B 正確；
CD．由于R2 對應的 I -U 圖像的斜率保持不變，則電壓增大，R2 的阻值不變，故 CD 錯誤。
故選 B。
【變式 3-1】（2024·鹽城期末）某同學對四個電阻各進行了一次測量，把每個電阻兩端的電壓和通過它的
電流在平面直角坐標系中描點，得到了如圖所示中甲、乙、丙、丁四個點。則電阻最大的是（　　）
A．甲 B．乙 C．丙 D．丁
【答案】C
【詳解】根據 U-I 圖象中，某點與原點連線的斜率表示電阻的大小可以知道丙的斜率最大，即丙的電阻最大，
故 C 正確，ABD 錯誤。
故選 C。
【變式 3-2】（2024·銀川期中）如圖所示為兩個定值電阻 A、B 的 U-I 圖線，下列說法正確的是（　　）
A．A 的電阻大，兩電阻并聯后的 U-I 圖線在區域Ⅱ
B．A 的電阻小，兩電阻串聯后的 U-I 圖線在區域Ⅰ
C．B 的電阻大，兩電阻串聯后的 U-I 圖線在區域Ⅰ
D．B 的電阻小，兩電阻并聯后的 U-I 圖線在區域Ⅲ
【答案】D
【詳解】根據
R U=
I
可知圖像的斜率等于電阻，可知 A 的電阻較大；兩電阻串聯后電阻比 A 的更大，則 U-I 圖線在區域Ⅰ；兩電
阻并聯后電阻比 B 的更小，則 U-I 圖線在區域Ⅲ；則選項 ABC 錯誤，D 正確。
故選 D。
【變式 3-3】（2024·江門期中）（多）下圖是某導體的 I-U 圖像，下列說法正確的是（　　）
A．通過該導體的電流與其兩端的電壓成正比
B．此導體的電阻 R 不變
C．此導體的電阻 R=0.5Ω
D．在該導體的兩端加 6 V 的電壓時，每秒通過導體橫截面的電荷量是 3C
【答案】ABD
【詳解】A．由圖可知，電流隨電壓變化圖像為過原點的直線，故電流與其兩端的電壓成正比，故 A 正確；
I UBC．根據 = 可知，圖像的斜率表示電阻的倒數，則由圖像可知電阻
R
R 10= W = 2W
5
故 B 正確，C 錯誤；
D．在 R 兩端加 6V 的電壓時，電路中電流
I U 6= = A = 3A
R 2
則每秒通過電阻的電荷量為
q = It = 3 1C = 3C
故 D 正確。
故選 ABD。
【題型 4 非線性元件的伏安特性曲線】
【例 4】（2024·益陽期末）如圖所示，為某一金屬導體的伏安特性曲線，由圖像可知（ ）
A．導體兩端電壓為 1V 時，電阻為 1Ω B．導體兩端電壓為 1V 時，電阻為 0.5Ω
C．導體兩端電壓為 2V 時，電阻為 1Ω D．導體兩端電壓為 2V 時，電阻為 0.5Ω
【答案】C
3
【詳解】AB．在虛線上，當U = 1V時， I = A ，根據
2
R U=
I
可得
R 2= Ω
3
3 2
在伏安特性曲線上，1Α < I < A，所以 Ω < R <1Ω ，故 AB 錯誤；
2 3
CD．由圖可得，當U = 2V， I = 2A，由
R U=
I
可得
R = 1Ω
故 C 正確、D 錯誤。
故選 C。
【變式 4-1】（2024·長沙期末）某一導體的伏安特性曲線如圖中 AB 曲線所示，其電阻會隨溫度的改變而
改變，下列說法正確的是（　　）
A．B 點對應的電阻為 12Ω
B．B 點對應的電阻為 0.25Ω
C．工作狀態從 A 變化到 B 時，導體的電阻因溫度的影響改變了 10Ω
D．工作狀態從 A 變化到 B 時，導體的電阻因溫度的影響改變了 9Ω
【答案】C
【詳解】AB．根據歐姆定律可知，B 點對應的電阻為
R 6B = W = 40W0.15
故 AB 錯誤；
CD．根據歐姆定律可知，A 點對應的電阻為
R 3A = W = 30W0.10
可知，工作狀態從 A 變化到 B 時，導體的電阻因溫度的影響改變了
RB - RA = 40W - 30W =10W
故 C 正確，D 錯誤。
故選 C。
【變式 4-2】（2024·南通期中）如圖所示為某白熾燈的 U-I 圖像，圖中 A 點的坐標為（I1，U1），過 A 點
的切線與橫軸交點的坐標為 I0。則（　　）
A．隨電壓的升高，白熾燈的電阻逐漸減小
U
B 1．對應 A 點，白熾燈的電阻為 I1
U
C．對應 A 1點，白熾燈的電阻為 I0
U
D．對應 A 1點，白熾燈的電阻為 I1 - I0
【答案】B
【詳解】BCD．根據歐姆定律
R U=
I
可知U - I 圖線上各點與坐標原點連線的斜率表示電阻，由圖可知，A 點時，白熾燈的電阻為
R U= 1
I1
故 B 正確，CD 錯誤；
A．隨著電壓的增大，圖線上各點與坐標原點連線的斜率逐漸增大，則隨電壓的升高，白熾燈的電阻逐漸增
大，故 A 錯誤。
故選 B。
【變式 4-3】兩個電阻 R1、R2的伏安特性曲線如圖所示，由圖可知（　　）
A．R1的電阻 R1=tan 45° Ω=1 Ω
B．R1的電阻為 2 Ω
C．當 U=1 V 時，R2的電阻小于 R1的電阻
D．當 U=1 V 時，R2的功率大于 R1的功率
【答案】B
【詳解】AB. R1是定值電阻，圖線斜率倒數表電阻，所以
R 11 = Ω = 2Ω0.5
故 A 錯誤，B 正確；
CD.當 U=1 V 時
R 12 = Ω = 2Ω0.5
所以此時兩電阻相等，由功率公式
2
P U=
R
可知此時兩電阻的功率也相等。故 CD 錯誤。
故選 B。
【題型 5 分壓接法的電路設計與應用條件】
【例 5】（2023·內江三模）如圖，用校準的兩個電壓表V1和V2 分別測量串聯電路中電阻 R 兩端 a、b 的電
壓，兩表的示數分別為12.8V和12.4V，由此可知，下列判斷中正確的是（　　）
A．a、b 兩點間的實際電壓可能為13.0V
B．a、b 兩點間的實際電壓可能為12.0V
C．電壓表V1的內阻小于電壓表V2 的內阻
D．電壓表V1和電壓表V2 的內阻大小無法比較
【答案】A
【詳解】AB．電壓表并入 a、b 兩點間后，導致 a、b 兩點間的合電阻小于 R，使 a、b 間分得的電壓小于原
來的電壓，則 a、b 兩點間的實際電壓大于 12.8V，可能為13.0V 。故 A 正確，B 錯誤；
CD．用電壓表V1測量時，a、b 間的電壓大，說明 a、b 間的合電阻比用電壓表V1測量時的大，則電壓表V1
的內阻大于電壓表V2 的內阻。故 CD 錯誤。
故選 A。
【變式 5-1】演示位移傳感器的工作原理如圖所示，物體 M 在導軌上平移時，帶動滑動變阻器的金屬滑桿
P，通過電壓表顯示的數據，來反映物體位移的大小。假設電壓表是理想的，則下列說法正確的是（　　）
A．物體 M 運動時，電源內的電流會發生變化
B．物體 M 運動時，電壓表的示數會發生變化
C．物體 M 不動時，電路中沒有電流
D．物體 M 不動時，AB 間電壓為 0V
【答案】B
【詳解】A．物體 M 運動時，回路的總電阻不變，電源內的電流不會發生變化，A 錯誤；
B．物體 M 運動時，滑動變阻器 AP 段的電阻發生變化，電壓表的示數會發生變化，B 正確；
C．物體 M 不動時，電路中有電流，C 錯誤；
D．物體 M 不動時，AB 間電壓等于電源兩端電壓，不等于 0，D 錯誤。
故選 B。
【變式 5-2】（2021·太原期中）如圖的滑動變阻器中 A、B 是電阻絲的兩個接線柱，C、D 是金屬桿的兩
個接線柱。滑動變阻器接入電路的方法有兩種，把 A 和 B 接線柱接入電路中，在 A、C 間接入用電器，這
種接法叫分壓接法。關于分壓接法，下列操作與現象正確的是（　　）
A．為保證用電器安全，閉合開關前，滑片 P 應滑到 B 端
B．當 P 由 A 向 B 移動時，用電器兩端的電壓將逐漸變大
C．當 P 由 B 向 A 移動時，用電器兩端的電壓將逐漸變大
D．若在 A、D 間接入用電器，則閉合開關前，滑片 P 應滑到 B 端
【答案】B
【詳解】A．為保證用電器安全，閉合開關前，應使接入電路的阻值最大，所以滑片 P 應滑到 A 端，故 A
錯誤；
B．當 P 由 A 向 B 移動時，AP 部分電路的阻值增大， PB 部分電路的阻值減小，因為用電器與 AP 部分并
聯，根據串并聯規律可知用電器兩端的電壓將逐漸變大，故 B 正確；
C．當 P 由 B 向 A 移動時，AP 部分電路的阻值減小， PB 部分電路的阻值增大，因為用電器與 AP 部分并
聯，根據串并聯規律可知用電器兩端的電壓將逐漸減小，故 C 錯誤；
D．若在 A、D 間接入用電器，為保證用電器安全，閉合開關前，應使接入電路的阻值最大，所以滑片 P 應
滑到 A 端，故 D 錯誤。
故選 B。
【變式 5-3】如圖所示是描繪小燈泡伏安特性曲線的電路圖，電源電動勢為 E，內阻不計，兩電表可看做是
理想電表，那么下列說法正確的是（　　）
A．閉合開關前變阻器的滑片應滑到最右端
B．閉合開關前變阻器的滑片應滑到最左端
C．將變阻器的滑片向右滑動時，小燈泡變亮
D．將變阻器的滑片向右滑動時，小燈泡變暗
【答案】BC
【詳解】AB．滑動變阻器采用分壓接法，閉合開關前應使滑片處在輸出電壓為 0 的位置， A 錯誤 B 正確；
CD．當滑片向右滑動時，滑動變阻器的阻值變大，根據串聯分壓，分得電壓變大，小燈泡兩端的電壓增大，
燈泡變亮， D 錯誤 C 正確。
故選 BC。
【題型 6 限流接法的電路設計與應用條件】
【例 6】（2022·甘肅學業考試）如圖所示的電路中，A、B 之間電壓 U 保持不變，R 是定值電阻，兩端電
壓為 UR，R1是滑動變阻器。下列說法正確的是（ ）
A．R1與 R 是并聯關系 B．滑片在最上端時電流表示數最大
C．滑片向下滑動時電壓 UR增大 D．改變滑片位置 UR的最小值可以為 0
【答案】C
【詳解】A．R1與 R 是串聯關系，故 A 錯誤；
B．滑片在最上端時，滑動變阻器接入電路阻值最大，電路電流最小，即電流表示數最小，故 B 錯誤；
C．滑片向下滑動時，滑動變阻器接入電路阻值減小，電路電流增大，根據
UR = IR
可知電壓 UR增大，故 C 正確；
D．改變滑片位置，電路電流不可能為 0，則 UR的最小值不可以為 0，故 D 錯誤。
故選 C。
【變式 6-1】（2022·北京期末）如圖所示，滑動變阻器的最大阻值是 R1，定值電阻的阻值是 R2，A、B 兩
端的電壓恒定為 U，R2兩端的電壓用 U2表示，則（　　）
A．開關 S 斷開時，滑片 P 從 a 移動到 b，U2從 0 變化到 U
B．開關 S 閉合時，滑片 P 從 a 移動到 b，U2從 0 變化到 U
C．若 R1比 R2小很多，開關 S 斷開時，滑片 P 從 a 移動到 b，U2的改變量遠小于 U
D．若 R1比 R2小很多，開關 S 閉合時，滑片 P 從 a 移動到 b，U2的改變量遠小于 U
【答案】C
【詳解】A．開關 S 斷開時，滑片 P 在 a 處，R2兩端的電壓最大，為 U，滑片 P 在 b 處，R2兩端的電壓最
R2
小，為 UR1 + R
。A 錯誤；
2
B．開關 S 閉合時，滑片 P 在 a 處，R2兩端的電壓最大，為 U，滑片 P 在 b 處，R2被短路，兩端的電壓最
小，為 0。U2從 U 變化到 0。B 錯誤；
C．開關 S 斷開時，滑片 P 從 a 移動到 b，U2的改變量為
DU2 = U
R
- 2 U R= 1 U
R1 + R2 R1 + R2
由于 R1比 R2小很多，所以
DU2 =U
C 正確；
D．開關 S 閉合時，滑片 P 從 a 移動到 b，U2的改變量為
DU2 = U - 0 = U
D 錯誤。
故選 C。
【變式 6-2】（2023·莆田期中）電位器是用來控制電路的電學器材，其工作原理類似于滑動變阻器，其中
P、O、Q 為三個接線柱，如圖為某電位器的示意圖。現將此電位器與一定值電阻、一理想的電流表串聯接
在一電源兩端，通過轉動滑動觸頭來改變電路中的電流。則下列說法正確的是（ ）
A．如果將 P、O 兩端接入電路，滑動觸頭順時針轉動時，接入電路的電阻變大
B．如果將 P、Q 兩端接入電路，滑動觸頭逆時針轉動時，電接入電路的電阻變大
C．如果將 P、Q 兩端接入電路，滑動觸頭順時針轉動時，電流表的示數減小
D．如果將 O、Q 兩端接入電路，滑動觸頭順時針轉動時，電流表的示數增大
【答案】AD
【詳解】A．如果將 P、O 兩端接入電路，滑動觸頭順時針轉動時，接入電路的電阻變大，故 A 正確；
BC．如果將 P、Q 兩端接入電路，接入電路的電阻為整個碳膜電阻，滑動觸頭逆時針轉動時，電阻不變，
則電流表的示數不變，故 BC 錯誤；
D．如果將 O、Q 兩端接入電路，滑動觸頭順時針轉動時，接入電路的電阻變小，則電流表的示數增大，故
D 正確。
故選 AD。
【變式 6-3】（2020·山西期中）如圖所示，a、b、c、d 是滑動變阻器的 4 個接線柱，現把此變阻器串聯接
入電路中并要求滑片 P 向接線柱 c 移動時，電路中的電流減小，則接入電路的接線柱可能是（　　）
A．a 和 b B．a 和 c C．b 和 c D．b 和 d
【答案】CD
【詳解】A．滑動變阻器是通過改變接入電路中電阻絲的長度來改變電阻大小的。連入電路時需要“一上一
下”選擇接線柱，若只接上面兩個接線柱或只接下面兩個接線柱均不能改變接入電路中電阻絲的長度，接 a
和b 時，不能改變電阻，也就不能改變電流，故 A 錯誤；
B．接入電路中的接線柱是 a和 c時，滑片 P 向接線柱 c移動時，滑動變阻器連入電路的電阻變小，電路中的
電流增大，故 B 錯誤；
C．接入電路中的接線柱是b 和 c時，滑片 P 向接線柱 c移動時，滑動變阻器連入電路的電阻變大，電路中的
電流減小，故 C 正確；
D．接入電路中的接線柱是b 和 d 時，滑片 P 向接線柱 c移動時，滑動變阻器連入電路的電阻變大，電路中
的電流減小，故 D 正確。
故選 CD。
【題型 7 利用伏安特性曲線求解實際功率的方法】
【例 7】某一規格小燈泡的伏安特性曲線如圖所示，現將它直接接在電源電動勢E = 3V ，內阻 r = 6W的電
源上，小燈泡的實際功率約為（　　）
A．0.17W B．0.35W C．0.71W D．1.41W
【答案】B
【詳解】根據題意可得電源的短路電流
I Em = = 0.5A = 500mAr
在小燈泡的伏安特性曲線圖像中作出電源的伏安特性曲線，如圖所示
小燈泡的伏安特性曲線與電源伏安特性曲線的交點表示將小燈泡接入該電源時小燈泡兩端的電壓和流過小
燈泡的電流，根據圖像可讀出小燈泡的電壓與電流分別為
U =1.1V ， I = 320mA = 0.32A
小燈泡的功率
P = UI =1.1 0.32W = 0.352W 0.35W
故選 B。
【變式 7-1】某次實驗，小明測得一小燈泡伏安特性曲線如圖所示，若將該燈泡與一電動勢 E=1.5V、內阻
r=1.5Ω 的電源連接，這個小燈泡實際消耗的功率最接近（　　）
A．0.15W B．0.25W C．0.35W D．0.45W
【答案】C
【詳解】電源的外電壓與電流的關系為
U = E - Ir =1.5 -1.5I
當電壓 U=0V 時，I=1A；當電流等于 0 時，電壓 U=1.5V，作電源的外電壓與電流的關系圖線如圖所示
交點為
U=1.0V，I=0.35A
則這個燈泡的實際功率
P = UI =1.0 0.35W = 0.35W
故選 C。
【變式 7-2】某直流電源與小燈泡L的U - I 圖像分別如圖 1 所示，將該直流電源、定值電阻 R 與小燈泡L連
接成如圖 2所示電路，小燈泡L的實際電功率為 P ，則（　　）
A．P > U0I0 B．P = U0I0
C．P < U0I0 D．條件不足，不能判定 P 與U0I0 的數值關系
【答案】C
【詳解】方法一：該直流電源與定值電阻 R 串聯后，等效電源電動勢不變，等效電源內阻增大，由U - I 圖
像（如答圖 1）可得，小燈泡L的實際電功率
P < U0I0
故選 C。
方法二：該直流電源與小燈泡L串聯，該直流電源的路端電壓
U1 = E - I1r = I1(R + RL )
小燈泡L兩端電壓
U2 = I1RL
可知
U1 > U2
結合U - I 圖像（如答圖 2）可得
I1 < I0 ，U2 < U0
故小燈泡L的實際電功率
P = I1U2 < U0I0
故選 C。
【變式 7-3】（2022·棗莊期中）在如圖甲所示的電路中，電源電動勢為 3.0V，內阻不計，L1、L2、L3為 3
個相同規格的小燈泡，這種小燈泡伏安特性曲線如題圖乙所示。當開關閉合后，下列判斷不正確的是（　　）
A．燈泡 L2工作時的電阻為 7.5Ω
B．燈泡 L2消耗的電功率為 0.375W
C．電路消耗的總功率為 1.35W
D．通過燈泡 L1的電流小于燈泡 L2電流的 2 倍
【答案】B
【詳解】A．由于電源內阻不計，可知燈泡 L2的電壓為：
U2 = U
E
3 = =1.5V2
根據乙圖可知，流過燈泡 L2的電流為 I2=0.20A，可得燈泡 L1電阻為
R U2 1.52 = = W = 7.5WI2 0.20
故 A 正確；
B．燈泡 L2消耗電功率為
P2 = U2I2 =1.5 0.20W = 0.30W
故 B 錯誤；
C．電路消耗總功率：
P = U (I1 + I2 ) = 3.0 (0.25 + 0.20)W =1.35W
故 C 正確；
D．由電路連接方式和 I-U 圖像可知
2I2=0.40A>I1
故 D 正確。
本題選不正確的，故選 B。
【題型 8 計算導體的電阻率】
1
【例 8】（2023·臺州期末）電阻率 r 的倒數稱為電導率，符號是s ，即s = r 。下列說法正確的是（　　）
A．電導率的大小一定與溫度無關 B．電導率的國際單位是Ω-1 ×m-1
C．材料的電導率與材料的形狀有關 D．材料的電導率越小，導電性能越強
【答案】B
【詳解】AC．材料的電導率與材料的形狀無關，由材料本身的性質決定，受溫度的影響，當溫度發生變化
時，電導率的大小會改變，故 AC 錯誤；
B．根據電阻定律
R l= r
S
可知，電阻率的單位是Ω ×m，則電導率的單位是Ω-1 ×m-1 ，故 B 正確。
D．電導率越小，材料的電阻率越大，其導電性能越差，故 D 錯誤。
故選 B。
【變式 8-1】（2023·甘南期中）電導儀是測量溶液電導率的儀器。由電導電極、測量系統、顯示系統組成，
其測量溶液電導率原理如圖所示，M、N 是兩片間距為 l =1cm，面積均為 S =1cm2 的正方形鉑片，把它們浸
沒在待測液體中，若通過兩根引線加上U = 3V的電壓時，測出電流 I = 0.6mA ，則這液體的電阻率為（　　）
A．1.25 104 Ω × m
B．1.8 10-4 Ω × m
C．2.5 104 Ω × m
D．5 104 Ω × m
【答案】D
【詳解】液體的電阻為
R U= = 5 106W
I
根據電阻的決定式得
r RS US= = = 5 104Ω ×m
l Il
故選 D。
【變式 8-2】（2014·青島期末）如圖甲所示為一測量電解液電阻率的玻璃容器，P、Q 為電極，設
a = 0.1m，b = 0.2m， c = 0.8m ，當里面注滿某種電解液，且 P、Q 加上電壓后，其U - I 圖線如圖乙所示，
當U = 10V時，下列說法正確的是（ ）
A．電解液的電阻為1000W B．電解液的電阻為 2000W
C．電阻率是50W×m D．電阻率是 25W×m
【答案】BC
【詳解】AB．根據歐姆定律
R U=
I
結合乙圖可知，U-I 圖像中圖線上某點與原點連線的切線斜率表示電阻，即
R 10= -3 Ω = 2000Ω5 10
故 A 錯誤，B 正確；
CD．由電阻定律
R r c=
ab
解得
r = 50Ω ×m
故 C 正確，D 錯誤。
故選 BC。
【變式 8-3】（多）科學家曾捕捉到的一種奇異的“顛倒閃電”，這種閃電被稱為“blue jet”，它不是從云層向
地面放電，而是從平流層底部直沖向平流層頂部。利用大氣空間相互作用監測器（ASIM），科學家還發現
藍色閃光持續時長約為 10 毫秒。已知一次閃電的電荷量約為 500 庫侖，平流層是距地表約 10~50 公里處的
大氣層，假設其底部和頂部之間電勢差約為 2 108伏特，放電區域直徑為 10 公里，則（　　）
A．該區域平流層的等效電阻約為 4000W
B．該區域平流層的平均漏電電流約為1.8 104 A
C．該區域平流層的平均電阻率約為7.9 106W × m
D．該區域平流層的平均電阻率約為1.7 105W × m
【答案】AC
【詳解】B．該區域平流層的平均漏電電流約為
I q 500= = A = 5.0 104 A
t 10 10-3
選項 B 錯誤；
A．該區域平流層的等效電阻約為
R U 2 10
8
= = W = 4000W
I 5.0 104
選項 A 正確 ；
CD．根據
R L= r
S
其中
L = 50km -10km = 4 104 m
S 1= p D2 1= 3.14 (104 )2 m2 = 7.85 107 m2
4 4
該區域平流層的平均電阻率約為
r RS 4000 7.85 10
7
= = 4 W×m = 7.9 10
6 W×m
L 4 10
選項 C 正確，D 錯誤。
故選 AC。11.2 導體的電阻 【八大題型】
【人教版 2019】
【題型 1 歐姆定律基本內容的理解】 ....................................................................................................................1
【題型 2 電阻定律基本內容的理解】 ....................................................................................................................3
【題型 3 線性元件的伏安特性曲線】 ....................................................................................................................5
【題型 4 非線性元件的伏安特性曲線】 ................................................................................................................6
【題型 5 分壓接法的電路設計與應用條件】 ........................................................................................................7
【題型 6 限流接法的電路設計與應用條件】 ........................................................................................................9
【題型 7 利用伏安特性曲線求解實際功率的方法】 ........................................Error! Bookmark not defined.1
【題型 8 導體電阻率的計算】 ..............................................................................................................................13
知識點 1：電阻
1．定義：導體兩端電壓與通過導體的電流之比．

2．公式：R＝ .

3．物理意義：反映了導體對電流的阻礙作用．
4．在導體的 U－I 圖像中，斜率反映了導體電阻的大小．
知識點 2：導體的電阻率
1．電阻定律
(1)內容：同種材料的導體，其電阻 R 與它的長度 l 成正比，與它的橫截面積 S 成反比；導體電阻還與
構成它的材料有關．

(2)公式：R＝ρ ，式中 ρ 是比例系數，叫作這種材料的電阻率．

2．電阻率
(1)電阻率是反映導體導電性能好壞的物理量．
(2)影響電阻率的兩個因素是材料和溫度．
(3)純金屬電阻率較小，合金的電阻率較大．由于用電器的電阻通常遠大于導線電阻，一般情況下，可
認為導線電阻為 0.
3．超導現象
一些金屬在溫度特別低時電阻可以降到 0，這種現象叫作超導現象．

知識點 3：R＝ 與 R＝ρ 的區別與聯系


區別與聯系 定義式：R＝ 決定式：R＝ρ

適用于粗細均勻的金屬導體或濃
區別 適用于純電阻元件
度均勻的電解液、等離子體

R＝ρ 是對 R＝ 的進一步說明，即導體的電阻與 U 和 I
聯系
無關，而是取決于導體本身的材料、長度和橫截面積
【題型 1 歐姆定律基本內容的理解】
【例 1】現有電動勢為 1.5V、內阻為 1.0Ω 的電池多節，準備用幾節這樣的電池串聯起來對一個工作電壓為
6.0V、工作電流為 0.1A 的用電器供電。電路還需要一個定值電阻來分壓，請計算最少需要用這種電池的節
數及這個電阻的阻值分別為（　　）
A．8；52Ω
B．7；38Ω
C．6；24Ω
D．5；10Ω
【變式 1-1】（2021·柳州學業考試）如圖的理想電流表和理想電壓表的示數分別是 0.2A 和 0.4V。此時小
燈泡的電阻為（　　）
A．0.5 Ω B．1.0 Ω C．1.5 Ω D．2.0 Ω
【變式 1-2】（2024·寧波期末）如圖所示是某導體的伏安特性曲線，由圖可知下列說法正確的是（　　）
A．導體的電阻是 25Ω
B．導體的電阻是 0.04Ω
C．當導體兩端的電壓是 10V 時，通過導體的電流是 2A
D．當通過導體的電流是 0.1A 時，導體兩端的電壓是 0.004V
【變式 1-3】（2024·益陽期末）（多）比值法定義是指用兩個量的比值來定義一個新的物理量，而新的物
理量反映物質的屬性，與參與定義的兩個物理量無關。下列各物理量的表達式中，是用比值法定義該物理
量的是（ ）
Q
A．電容C =
U
U
B．電流強度 I =
R
C．電場強度E
U
=
d
U
D．電阻R =
I
【題型 2 電阻定律基本內容的理解】
【例 2】一根粗細均勻的細鋼絲，原來的電阻為 R，則（ ）
1 1
A．截去 ，剩下部分的電阻變為 R
3 3
B．均勻拉長為原來的 2 倍，電阻變為 2R
1
C．對折后，電阻變為 R
2
D 1．均勻拉長使截面積為原來的 4 ，電阻變為 16R
【變式 2-1】“砷化鋸納米帶”是一種高科技新型材料，用它制造的電子元件可以有效減少因發熱而損失的電
1
能，據介紹該材料的電導率是石墨烯的 1000 倍。已知電導率s 就是電阻率 r 的倒數，即s = r ，下列說法正
確的是（ ）
A．電導率的單位是W×m
B．材料的電導率越大，其導電性能越強
C．材料的電導率大小與材料的長度、橫截面積等因素有關
D．材料的電導率只與材料本身有關，與溫度等因素無關
【變式 2-2】如圖所示，用某種金屬材料制成長為 a，寬為 b，厚為 c 的長方體，已知 a > b > c，關于該導體
的電阻下列說法正確的是（ ）
A．電流沿 AB 方向電阻最小 B．電流沿 CD 方向電阻最小
C．電流沿 EF 方向電阻最小 D．電流沿任何方向電阻都是一樣
【變式 2-3】（2024·衡水期末）水平桌面上有兩個柱型導體，它們的橫截面均為正方形，柱體高均為 h，
較大的柱體橫截面邊長為 a，較小的柱體橫截面邊長為 b，如圖所示，垂直柱體側面通入電流，關于較大的
柱體與較小的柱體，下列說法正確的是（ ）
A．若兩導體電阻率相同，則電阻之比為 a∶b
B．若兩導體電阻率相同，則電阻之比為 b∶a
C．若兩導體電阻相同，則兩導體電阻率也相同
D．若將電流方向改為豎直向下且兩導體電阻率相同，則電阻之比為 a2 : b2
【題型 3 線性元件的伏安特性曲線】
【例 3】如圖所示為電阻R1、R2 的 I -U 圖像，由圖可知（ ）
A．R1 > R2 B．R1 < R2
C．電壓增大，R2 的阻值變大 D．電壓增大，R2 的阻值變小
【變式 3-1】（2024·鹽城期末）某同學對四個電阻各進行了一次測量，把每個電阻兩端的電壓和通過它的
電流在平面直角坐標系中描點，得到了如圖所示中甲、乙、丙、丁四個點。則電阻最大的是（　　）
A．甲 B．乙 C．丙 D．丁
【變式 3-2】（2024·銀川期中）如圖所示為兩個定值電阻 A、B 的 U-I 圖線，下列說法正確的是（　　）
A．A 的電阻大，兩電阻并聯后的 U-I 圖線在區域Ⅱ
B．A 的電阻小，兩電阻串聯后的 U-I 圖線在區域Ⅰ
C．B 的電阻大，兩電阻串聯后的 U-I 圖線在區域Ⅰ
D．B 的電阻小，兩電阻并聯后的 U-I 圖線在區域Ⅲ
【變式 3-3】（2024·江門期中）（多）下圖是某導體的 I-U 圖像，下列說法正確的是（　　）
A．通過該導體的電流與其兩端的電壓成正比
B．此導體的電阻 R 不變
C．此導體的電阻 R=0.5Ω
D．在該導體的兩端加 6 V 的電壓時，每秒通過導體橫截面的電荷量是 3C
【題型 4 非線性元件的伏安特性曲線】
【例 4】（2024·益陽期末）如圖所示，為某一金屬導體的伏安特性曲線，由圖像可知（ ）
A．導體兩端電壓為 1V 時，電阻為 1Ω B．導體兩端電壓為 1V 時，電阻為 0.5Ω
C．導體兩端電壓為 2V 時，電阻為 1Ω D．導體兩端電壓為 2V 時，電阻為 0.5Ω
【變式 4-1】（2024·長沙期末）某一導體的伏安特性曲線如圖中 AB 曲線所示，其電阻會隨溫度的改變而
改變，下列說法正確的是（　　）
A．B 點對應的電阻為 12Ω
B．B 點對應的電阻為 0.25Ω
C．工作狀態從 A 變化到 B 時，導體的電阻因溫度的影響改變了 10Ω
D．工作狀態從 A 變化到 B 時，導體的電阻因溫度的影響改變了 9Ω
【變式 4-2】（2024·南通期中）如圖所示為某白熾燈的 U-I 圖像，圖中 A 點的坐標為（I1，U1），過 A 點
的切線與橫軸交點的坐標為 I0。則（　　）
A．隨電壓的升高，白熾燈的電阻逐漸減小
U
B．對應 A 1點，白熾燈的電阻為 I1
U
C 1．對應 A 點，白熾燈的電阻為 I0
U
D A 1．對應 點，白熾燈的電阻為 I1 - I0
【變式 4-3】兩個電阻 R1、R2的伏安特性曲線如圖所示，由圖可知（　　）
A．R1的電阻 R1=tan 45° Ω=1 Ω
B．R1的電阻為 2 Ω
C．當 U=1 V 時，R2的電阻小于 R1的電阻
D．當 U=1 V 時，R2的功率大于 R1的功率
【題型 5 分壓接法的電路設計與應用條件】
【例 5】（2023·內江三模）如圖，用校準的兩個電壓表V1和V2 分別測量串聯電路中電阻 R 兩端 a、b 的電
壓，兩表的示數分別為12.8V和12.4V，由此可知，下列判斷中正確的是（　　）
A．a、b 兩點間的實際電壓可能為13.0V
B．a、b 兩點間的實際電壓可能為12.0V
C．電壓表V1的內阻小于電壓表V2 的內阻
D．電壓表V1和電壓表V2 的內阻大小無法比較
【變式 5-1】演示位移傳感器的工作原理如圖所示，物體 M 在導軌上平移時，帶動滑動變阻器的金屬滑桿
P，通過電壓表顯示的數據，來反映物體位移的大小。假設電壓表是理想的，則下列說法正確的是（　　）
A．物體 M 運動時，電源內的電流會發生變化
B．物體 M 運動時，電壓表的示數會發生變化
C．物體 M 不動時，電路中沒有電流
D．物體 M 不動時，AB 間電壓為 0V
【變式 5-2】（2021·太原期中）如圖的滑動變阻器中 A、B 是電阻絲的兩個接線柱，C、D 是金屬桿的兩
個接線柱。滑動變阻器接入電路的方法有兩種，把 A 和 B 接線柱接入電路中，在 A、C 間接入用電器，這
種接法叫分壓接法。關于分壓接法，下列操作與現象正確的是（　　）
A．為保證用電器安全，閉合開關前，滑片 P 應滑到 B 端
B．當 P 由 A 向 B 移動時，用電器兩端的電壓將逐漸變大
C．當 P 由 B 向 A 移動時，用電器兩端的電壓將逐漸變大
D．若在 A、D 間接入用電器，則閉合開關前，滑片 P 應滑到 B 端
【變式 5-3】如圖所示是描繪小燈泡伏安特性曲線的電路圖，電源電動勢為 E，內阻不計，兩電表可看做是
理想電表，那么下列說法正確的是（　　）
A．閉合開關前變阻器的滑片應滑到最右端
B．閉合開關前變阻器的滑片應滑到最左端
C．將變阻器的滑片向右滑動時，小燈泡變亮
D．將變阻器的滑片向右滑動時，小燈泡變暗
【題型 6 限流接法的電路設計與應用條件】
【例 6】（2022·甘肅學業考試）如圖所示的電路中，A、B 之間電壓 U 保持不變，R 是定值電阻，兩端電
壓為 UR，R1是滑動變阻器。下列說法正確的是（ ）
A．R1與 R 是并聯關系 B．滑片在最上端時電流表示數最大
C．滑片向下滑動時電壓 UR增大 D．改變滑片位置 UR的最小值可以為 0
【變式 6-1】（2022·北京期末）如圖所示，滑動變阻器的最大阻值是 R1，定值電阻的阻值是 R2，A、B 兩
端的電壓恒定為 U，R2兩端的電壓用 U2表示，則（　　）
A．開關 S 斷開時，滑片 P 從 a 移動到 b，U2從 0 變化到 U
B．開關 S 閉合時，滑片 P 從 a 移動到 b，U2從 0 變化到 U
C．若 R1比 R2小很多，開關 S 斷開時，滑片 P 從 a 移動到 b，U2的改變量遠小于 U
D．若 R1比 R2小很多，開關 S 閉合時，滑片 P 從 a 移動到 b，U2的改變量遠小于 U
【變式 6-2】（2023·莆田期中）電位器是用來控制電路的電學器材，其工作原理類似于滑動變阻器，其中
P、O、Q 為三個接線柱，如圖為某電位器的示意圖。現將此電位器與一定值電阻、一理想的電流表串聯接
在一電源兩端，通過轉動滑動觸頭來改變電路中的電流。則下列說法正確的是（ ）
A．如果將 P、O 兩端接入電路，滑動觸頭順時針轉動時，接入電路的電阻變大
B．如果將 P、Q 兩端接入電路，滑動觸頭逆時針轉動時，電接入電路的電阻變大
C．如果將 P、Q 兩端接入電路，滑動觸頭順時針轉動時，電流表的示數減小
D．如果將 O、Q 兩端接入電路，滑動觸頭順時針轉動時，電流表的示數增大
【變式 6-3】（2020·山西期中）如圖所示，a、b、c、d 是滑動變阻器的 4 個接線柱，現把此變阻器串聯接
入電路中并要求滑片 P 向接線柱 c 移動時，電路中的電流減小，則接入電路的接線柱可能是（　　）
A．a 和 b B．a 和 c C．b 和 c D．b 和 d
【題型 7 利用伏安特性曲線求解實際功率的方法】
【例 7】某一規格小燈泡的伏安特性曲線如圖所示，現將它直接接在電源電動勢E = 3V ，內阻 r = 6W的電
源上，小燈泡的實際功率約為（　　）
A．0.17W B．0.35W C．0.71W D．1.41W
【變式 7-1】某次實驗，小明測得一小燈泡伏安特性曲線如圖所示，若將該燈泡與一電動勢 E=1.5V、內阻
r=1.5Ω 的電源連接，這個小燈泡實際消耗的功率最接近（　　）
A．0.15W B．0.25W C．0.35W D．0.45W
【變式 7-2】某直流電源與小燈泡L的U - I 圖像分別如圖 1 所示，將該直流電源、定值電阻 R 與小燈泡L連
接成如圖 2所示電路，小燈泡L的實際電功率為 P ，則（　　）
A．P > U0I0 B．P = U0I0
C．P < U0I0 D．條件不足，不能判定 P 與U0I0 的數值關系
【變式 7-3】（2022·棗莊期中）在如圖甲所示的電路中，電源電動勢為 3.0V，內阻不計，L1、L2、L3為 3
個相同規格的小燈泡，這種小燈泡伏安特性曲線如題圖乙所示。當開關閉合后，下列判斷不正確的是（　　）
A．燈泡 L2工作時的電阻為 7.5Ω
B．燈泡 L2消耗的電功率為 0.375W
C．電路消耗的總功率為 1.35W
D．通過燈泡 L1的電流小于燈泡 L2電流的 2 倍
【題型 8 計算導體的電阻率】
1
【例 8】（2023·臺州期末）電阻率 r 的倒數稱為電導率，符號是s ，即s = r 。下列說法正確的是（　　）
A．電導率的大小一定與溫度無關 B．電導率的國際單位是Ω-1 ×m-1
C．材料的電導率與材料的形狀有關 D．材料的電導率越小，導電性能越強
【變式 8-1】（2023·甘南期中）電導儀是測量溶液電導率的儀器。由電導電極、測量系統、顯示系統組成，
其測量溶液電導率原理如圖所示，M、N 是兩片間距為 l =1cm，面積均為 S =1cm2 的正方形鉑片，把它們浸
沒在待測液體中，若通過兩根引線加上U = 3V的電壓時，測出電流 I = 0.6mA ，則這液體的電阻率為（　　）
A．1.25 104 Ω × m
B．1.8 10-4 Ω × m
C．2.5 104 Ω × m
D．5 104 Ω × m
【變式 8-2】（2014·青島期末）如圖甲所示為一測量電解液電阻率的玻璃容器，P、Q 為電極，設
a = 0.1m，b = 0.2m， c = 0.8m ，當里面注滿某種電解液，且 P、Q 加上電壓后，其U - I 圖線如圖乙所示，
當U = 10V時，下列說法正確的是（ ）
A．電解液的電阻為1000W B．電解液的電阻為 2000W
C．電阻率是50W×m D．電阻率是 25W×m
【變式 8-3】（多）科學家曾捕捉到的一種奇異的“顛倒閃電”，這種閃電被稱為“blue jet”，它不是從云層向
地面放電，而是從平流層底部直沖向平流層頂部。利用大氣空間相互作用監測器（ASIM），科學家還發現
藍色閃光持續時長約為 10 毫秒。已知一次閃電的電荷量約為 500 庫侖，平流層是距地表約 10~50 公里處的
大氣層，假設其底部和頂部之間電勢差約為 2 108伏特，放電區域直徑為 10 公里，則（　　）
A．該區域平流層的等效電阻約為 4000W
B．該區域平流層的平均漏電電流約為1.8 104 A
C．該區域平流層的平均電阻率約為7.9 106W × m
D．該區域平流層的平均電阻率約為1.7 105W × m

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