資源簡介

10.1 電勢能和電勢【八大題型】
【人教版 2019】
【題型 1 電勢能和電勢基本概念的理解】 ............................................................................................................2
【題型 2 電場力做功與電勢能的關系】 ................................................................................................................4
【題型 3 等量電荷周圍的電勢分布】 ....................................................................................................................8
【題型 4 勻強電場電勢的計算】 ..........................................................................Error! Bookmark not defined.
【題型 5 點電荷周圍電勢的表達式和電勢的疊加】 ..........................................Error! Bookmark not defined.
【題型 6 帶電粒子在點電荷電場中的運動】 ......................................................Error! Bookmark not defined.
【題型 7 運動軌跡判斷電勢高低】 ......................................................................Error! Bookmark not defined.
【題型 8 電勢相關的圖像問題】 ......................................................................Error! Bookmark not defined.24
知識點 1：靜電力做功的特點
在勻強電場中移動電荷時，靜電力所做的功與電荷的起始位置和終止位置有關，與電荷經過的路徑無
關．
知識點 2：電勢能
1．定義：電荷在電場中具有的勢能，用 Ep表示．
2．靜電力做功與電勢能變化的關系：靜電力做的功等于電勢能的變化量．表達式：WAB＝EpA－EpB.
(1)靜電力做正功，電勢能減少；
(2)靜電力做負功，電勢能增加．
3．電勢能的大小：電荷在某點的電勢能，等于把它從這點移動到零勢能位置時靜電力所做的功．
4．電勢能具有相對性
電勢能零點的規定：通常把電荷在離場源電荷無限遠處或把電荷在大地表面的電勢能規定為 0.
知識點 3：電勢
1．定義：電荷在電場中某一點的電勢能與它的電荷量之比．

2 ．公式：φ＝ .

3．單位：在國際單位制中，電勢的單位是伏特，符號是 V，1 V＝1 J/C.
4．電勢高低的判斷：沿著電場線方向電勢逐漸降低．
5．電勢的相對性：只有在規定了零電勢點之后，才能確定電場中某點的電勢，一般選大地或離場源電荷無
限遠處的電勢為 0.
6．電勢是標量，只有大小，沒有方向．
【題型 1 電勢能和電勢基本概念的理解】
【例 1】（2023·綿陽期中）電場是實際存在的，其存在方式與物質的存在方式不同。電場對放入其中的電
荷有力的作用，并使電荷具有一定的能量，下列能夠描述電場性質的物理量是（　　）
①電場力 ②電場強度 ③電勢能 ④電勢
A．①③ B．①④ C．②④ D．②③
【答案】C
【詳解】電場強度和電勢均只由電場決定，與試探電荷無關；根據
F = qE E， p = qj
可知電場力和電勢能與試探電荷的電荷量有關，所以能夠描述電場性質的物理量是電場強度和電勢。
故選 C。
【變式 1-1】（2023·楊浦期中）下面關于物理量的正負表述正確的是（　　）
A．功的正負表示大小
B．電勢能的正負表示大小
C．電量的正負表示方向
D．電勢的正負表示方向
【答案】B
【詳解】A．功的正負表示動力做功或阻力做功，不表示大小，故 A 錯誤；
B．電勢能的正負表示電勢能比零勢能大或小，其正負表示大小，故 B 正確；
C．電量的正負表示缺少電子或者多余電子，電荷量的正負不表示方向，故 C 錯誤；
D．電勢的正負表示某點的電勢比零電勢高或者低，電勢的正負不表示方向，故 D 錯誤。
故選 B。
【變式 1-2】關于點電荷產生的電場，下列說法正確的是（　　）
A．電勢降低的方向就是電場強度的方向
B．沿著電場線的方向，電場強度越來越小
C．取走電場中某點的試探電荷后，該點的電勢變為零
D．以點電荷為圓心、r 為半徑的球面上，各點的場強都不相同
【答案】D
【詳解】A．電場中電勢降低最快的方向才是電場強度的方向， 故 A 錯誤；
B．正點電荷的電場與負點電荷的電場方向不同，沿著電場線的方向，電勢都是越來越低，但只有電場線越
來越稀疏，場強才越來越小，故 B 錯誤；
C．電場中某點的電勢與試探電荷無關，只與場源電荷有關， 故 C 錯誤；
D．點電荷產生的電場中，以點電荷為圓心， r 為半徑的球面上，各點的場強大小都相等，但方向不同，故
場強不同， 故 D 正確。
故選 D。
【變式 1-3】下面是某同學對電場中的一些概念的理解，其中錯誤的是（　　）
A．電場中某點的電場強度與在該點放入的檢驗電荷的電量多少、帶電正負均無關
B．若選取無窮遠為零勢點，則在帶負電的場源電荷周圍，所有點的電勢全部為負
C．某點的電勢，在數值上等于將正電荷從該點移到無窮遠點（零勢點），電場力所做的功
D．電場中某電的電勢，與零勢點的選取有關；但這兩點的電勢差，與零勢點的選取無關
【答案】C
【詳解】A．電場強度是由場源電荷電荷量和到場源電荷距離有關，與檢驗電荷的電量多少、帶電正負均無
關，選項 A 正確，不符合題意；
B．帶負電的場源電荷在周圍空間產生的電場線均是由無窮遠處出發終止于負電荷，選取無窮遠為零電勢，
順著電場線電勢逐漸降低，所以若選取無窮遠為零勢點，則在帶負電的場源電荷周圍，所有點的電勢全部
為負，故 B 正確，不符合題意；
C．某點的電勢，在數值上等于將單位正電荷從該點移到無窮遠點(零勢點)，電場力所做的功，故 C 錯誤，
符合題意；
D．電勢是相對的，是相對零電勢點的，而電勢差由電場本身決定，具有絕對性，與零勢點的選取無關，選
項 D 正確，不符合題意。
故選 C。
【題型 2 電場力做功與電勢能的關系】
【例 2】如圖所示，質量均為m 的滑塊A、B,A不帶電，B 帶正電電荷量為 q,A套在固定豎直桿上，B 放在
絕緣水平面上并靠近豎直桿，A、B 間通過鉸鏈及長度為 L的剛性絕緣輕桿連接且靜止。現施加水平向右電
場強度為E 的勻強電場，B 開始沿水平面向右運動，已知A、B均視為質點，重力加速度為 g ，不計一切摩
擦。則在 A 下滑的過程中，下列說法不正確的是（　　）
qE
A．A 的機械能最小時，B 的加速度大小為
m
B．A 運動到最低點時，B 的速度為零
C．A、B 組成的系統機械能不守恒
D．A 運動到最低點時，滑塊 A 2gL qEL速度大小為 +
m
【答案】D
【詳解】A．桿先對 A 做負功后對 A 做正功，當桿的作用力為 0 時，A 的機械能最小，此時 B 僅受電場力，
qE
故 B 的加速度大小為 m ，故 A 正確；
B．根據關聯問題可知，A 到最低點時 B 的速度為 0，故 B 正確；
C．A、B 組成的系統因有電場力做功，故機械能不守恒，故 C 正確；
D．A 落地的瞬時，B 的速度為 0，根據系統能量守恒有
mgL + qEL 1= mv2
2
解得
v = 2gL 2qEL+
m
故 D 錯誤。
故選 D。
【變式 2-1】（2022·南京期末）如圖所示，OA 為豎直絕緣墻面，A 點固定電荷量為+Q的小球，電荷量為
+q 的小球 B 通過輕繩與 O 點相連，小球 B 處于靜止狀態。已知OA = OB，將小球 A 視為場源電荷，小球 B
視為試探電荷，若小球 B 的電荷量逐漸減小，則在 B 靠近 A 的過程中（　　）
A．小球 B 受到的靜電力大小逐漸減小
B．小球 B 所處位置的電場強度逐漸減小
C．小球 B 所受繩子 OB 的拉力逐漸減小
D．小球 B 所處位置的電勢逐漸減小
【答案】A
【詳解】AC．對小球 B 受力分析，三個力構成首尾相連的三角形，如圖所示
根據相似三角形可得
mg F T
= =
OA AB OB
由于重力mg 不變，OA、OB 不變， AB 逐漸減小，則小球 B 受到的靜電力大小逐漸減小，小球 B 所受繩子
OB 的拉力大小不變，故 A 正確，C 錯誤；
E k Q= 2
B．根據 r 可知， r 變小，則小球 B 所處位置的電場強度逐漸增大，故 B 錯誤；
E
E j =
p
D．在靠近過程中小球 B 受到的靜電力做負功，小球 B 的電勢能 p 增大，根據 q 且小球 B 的電荷量逐
漸減小，可知小球 B 所處位置的電勢逐漸增大，故 D 錯誤。
故選 A。
【變式 2-2】（2023·馬鞍山期末）如圖所示，在電場強度為50N / C 的勻強電場中有 A、B 兩點，A、B 兩
點間距離為 10cm，AB 和電場線方向夾角為60°，現將電荷量為 4 10-8 C 的負電荷從 A 點移到 B 點，下列說
法正確的是（ ）
A．靜電力對電荷做正功2.0 10-7 J ，電勢能減少2.0 10-7 J
B．靜電力對電荷做正功1.0 10-7 J ，電勢能減少1.0 10-7 J
C．電荷克服靜電力做功2.0 10-7 J ，電勢能增加2.0 10-7 J
D．電荷克服靜電力做功1.0 10-7 J ，電勢能增加1.0 10-7 J
【答案】D
【詳解】A、B 兩點的電勢差為
U AB = EdAB cos 60
o = 50 10 10-2 0.5V = 2.5V
將電荷量為 4 10
-8 C 的負電荷從 A 點移到 B 點，靜電力做功為
WAB = U ABq = 2.5 (-4) 10
-8 J = -1.0 10-7 J
故電荷克服靜電力做功1.0 10
-7 J -7，根據功能關系，電勢能增加1.0 10 J 。
故選 D。
【變式 2-3】（多）有三個完全相同的帶正電的絕緣小球 A、B、C（均可視為點電荷），質量為 m，帶電量
為 +q ，A、B 之間與 B、C 之間各裝有一根長為 L 的輕桿，輕桿兩端與小球均通過輕質鉸鏈連接。A、C 放
在光滑的絕緣水平地面上，A、B、C 恰構成正三角形且位于豎直面內并鎖定，如圖（a）所示。現解除鎖定，
直至 B 剛好落地，如圖（b）所示。已知重力加速度大小為 g，以無限遠處為零電勢點，距離電荷量為 Q 的
r k Q點電荷 處的電勢為 ，其中 k 為靜電力常量，多個點電荷產生的電場中某點的電勢，等于每個點電荷單
r
獨存在時該點電勢的代數和。下列說法正確的是（　　）
2
A．初始時刻，A、B 3kq、C 系統所具有的電勢能為
L
2
B．B 落地時，A、B、C 4kq系統所具有的電勢能為
3L
C．該過程中，A、B、C 系統的機械能守恒
D kq
2
．B 落地時的速度大小為 3gL +
mL
【答案】AD
【詳解】A．電勢能等于將電荷移到無窮遠，電場力做的功，故 A、B、C 系統的電勢能可認為分別將 C、B
小球搬到無窮遠電場力做的功。初始時刻，先將 C 球移到無窮遠，電場力做功等于
W 2kq q 2kq
2
11 = × =L L
再將 B 球移到無窮遠，電場力做功等于
W kq kq
2
12 = ×q =L L
故系統的電勢能等于做的總功，即
3kq2Ep1 = W11 +W12 = L
故 A 正確；
B．B 球剛好要落地時，將 C 球移到無窮遠，電場力做功等于
2
W kq kq 3kq21 = ×q + ×q =L 2L 2L
再將 B 球移到無窮遠，電場力做功等于
W kq
2
22 = ×q
kq
=
L L
故系統的電勢能等于做的總功，即
2
Ep2 = W21 +W
5kq
22 = 2L
故 B 錯誤；
C．該過程，系統電勢能減小，因此機械能增加，故 C 錯誤；
D．由能量守恒有
mg 3L + E 1p1 - E2 p2 = mv
2
2 B
解得
v 3gL kq
2
B = + mL
故 D 正確。
故選 AD。
【題型 3 等量電荷周圍的電勢分布】
【例 3】（2023·沈陽期末）如圖，兩個等量同種正點電荷位于圓的直徑 AC 上，直徑 BD 垂直于 AC，
CM=MO=ON=NA，下列說法正確的是（　　）
A．圓弧 ABCD 是等勢面
B．同一個試探電荷在 B、D 兩個位置所受的電場力相同
C．負電荷在 A 點的電勢能比其在 O 點的電勢能大
D．將帶正電的試探電荷從 О 點沿直線移到 D 點的過程中，該電荷的電勢能先增大后減小
【答案】C
【詳解】A．等量同種點電荷電勢分布如圖所示
由圖可知，A、C 點的電勢相等，B、D 點的電勢相等，圓弧 ABCD 不是等勢面，故 A 錯誤；
B．同一個試探電荷在 B、D 兩個位置所受的電場力大小相等，方向相反，故 B 錯誤；
C．根據電勢的分布可知，A 點的電勢低于 O 點的電勢，所以負電荷在 A 點的電勢能比其在 O 點的電勢能
大，故 C 正確；
D．在兩點電荷中垂線上 O 點電勢最高，所以將帶正電的試探電荷從 О 點沿直線移到 D 點的過程中，電勢
能減小，故 D 錯誤。
故選 C。
【變式 3-1】如圖，兩對等量異號點電荷 +q 、-q 固定于正方形的 4 個頂點上。L、N 是該正方形兩條對角線
與其內切圓的交點，O 為內切圓的圓心，M 為切點。則（　　）
A．L 和 N 兩點處的電場方向不垂直
B．M 點的電場方向平行于該點處的切線，方向向左
C．將一帶正電的試探電荷從 M 點移動到 O 點，電場力做正功
D．將一帶正電的試探電荷從 L 點移動到 N 點，電場力做功為零
【答案】B
【詳解】A．兩個正電荷在 N 點產生的場強方向由 N 指向 O，N 點處于兩負電荷連線的中垂線上，則兩負
電荷在 N 點產生的場強方向由 N 指向 O，則 N 點的合場強方向由 N 指向 O，同理可知，兩個負電荷在 L 處
產生的場強方向由 O 指向 L，L 點處于兩正電荷連線的中垂線上，兩正電荷在 L 處產生的場強方向由 O 指
向 L，則 L 處的合場方向由 O 指向 L，由于正方形兩對角線垂直平分，則 L 和 N 兩點處的電場方向相互垂
直，故 A 錯誤；
B．正方形底邊的一對等量異號電荷在 M 點產生的場強方向向左，而正方形上方的一對等量異號電荷在 M
點產生的場強方向向右，由于 M 點離上方一對等量異號電荷距離較遠，則 M 點的場方向向左，平行于該點
處的切線，故 B 正確；
C．由圖可知，M 和 O 點位于兩等量異號電荷的等勢線上，即 M 和 O 點電勢相等，所以將一帶正電的點電
荷從 M 點移動到 O 點，電場力不做功，故 C 錯誤；
D．由圖可知，L 點的電勢低于 N 點電勢，則將一帶正電的點電荷從 L 點移動到 N 點，電場力做功不為零，
故 D 錯誤。
故選 B。
【變式 3-2】（2023·威海期末）（多）如圖所示，兩個等量正點電荷形成的電場中，O 點為兩電荷連線的
中點，O、A、B、C 為以其中一正電荷為圓心的圓上四點，取無限遠處電勢為零。下列說法正確的是（　　）
A．A、C 兩點電場強度相同
B．A、C 兩點電勢相等
C．O 點的電勢為零
D．電子在 O 點的電勢能小于在 B 點的電勢能
【答案】BD
【詳解】A．根據對稱性，A、C 兩點電場強度大小相等，方向不同，故 A 錯誤；
B．A、C 兩點距兩個等量正點電荷的距離相等，則 A、C 兩點電勢相等，故 B 正確；
C．根據正點電荷電勢分布可知，左側正點電荷在 O 點的電勢大于零，右側正點電荷在 O 點的電勢大于零，
故 O 點的電勢大于零，故 C 錯誤；
D．根據正點電荷電勢分布可知，左側正點電荷在 O 點的電勢大于 B 點的電勢，右側正點電荷在 O 點的電
勢等于 B 點的電勢，則 O 點的電勢大于在 B 點的電勢，負電荷在高電勢處電勢能反而小，則電子在 O 點的
電勢能小于在 B 點的電勢能，故 D 正確。
故選 BD。
【變式 3-3】（2023·黔西期末）（多）如圖所示，圖甲中 a、b 為等量異種點電荷連線上關于中點O對稱
的兩點，圖乙中 c、 d 為等量同種正點電荷連線中垂線上關于O對稱的兩點，圖丙中 e、 f 在以正點電荷為
球心的球面上，圖丁中 g 、h為相距較近帶等量異種電荷平行板之間的兩點，則關于各點的電場強度、電勢
說法正確的是（　　）
A．圖甲中 a、b 兩點電場強度和電勢均相同
B．圖乙中 c、 d 兩點電場強度和電勢均相同
C．圖丙中 e、 f 兩點電場強度不同，電勢相同
D．圖丁中 g 、 h兩點電場強度相同，電勢不同
【答案】CD
【詳解】A．根據等量異種點電荷電場分布特點，結合對稱性可知，圖甲中 a、b 兩點電場強度大小相等，
方向相同，均向右；根據沿電場方向電勢降低可知， a點電勢高于b 點電勢，故 A 錯誤；
B．根據等量同種點電荷電場分布特點，結合對稱性可知，圖乙中 c、d 兩點電場強度大小相等，方向相反；
c、 d 兩點電勢相等，故 B 錯誤；
C．根據點電荷電場分布特點可知，圖丙中 e、 f 兩點電場強度大小相等，方向不同； e、 f 兩點處于等勢
面上，所以電勢相等，故 C 正確；
D．平行板間的電場為勻強電場，則 g 、 h兩點電場強度相同， g 點比 h點更靠近帶正電極板，則 g 點電勢
高于 h點電勢，故 D 正確。
故選 CD。
【題型 4 勻強電場電勢的計算】
【例 4】（2022·武漢期中）如圖所示，在勻強電場中有一平行四邊形 ABCD，已知 A、B、C 三點的電勢
分別為jA =12V，jB = 8V，jC = 2V ，則 D 點的電勢為（　　）
A．1V B．3V C．6V D．8V
【答案】C
【詳解】根據勻強電場的電勢分布特點可知
jA -jB = jD -jC
解得
jD = 6V
故選 C。
【變式 4-1】（2021·廣州期末）電場中的 a、b、c 三點在同一電場線上，如圖所示，其中 c 為 ab 的中點，
已知 a、b 兩點的電勢分別為ja 和jb ，且jb > ja > 0，則下列敘述正確的是（　　）
j +j
A．該電場在 c 點處的電勢一定為 a b
2
B．正電荷從 b 點運動到 a 點，電勢能一定減少
C．正電荷從 b 點運動到 c 點，電場力一定做正功
D．正電荷只受電場力作用從 a 點運動到 c 點，動能增加
【答案】BC
【詳解】A．a、b、c 三點在同一電場線上，若該電場是勻強電場，則在 c 點處的電勢為
j j= a +jbc 2
若該電場不是勻強電場，則在 c 點處的電勢
j j a +jbc 2
A 錯誤；
B．正電荷從 b 點運動到 a 點，因為
jb > ja > 0
所以
qja < qjb
即
Epa < Epb
正電荷從 b 點運動到 a 點，電勢能一定會減少，B 正確；
C．根據正電荷在電勢高處電勢能大，可知正電荷從 b 點運動到 c 點的過程中電勢能一定減小，而由能量守
恒得知，若正電荷只受電場力作用，電場力做正功，C 正確；
D．根據正電荷在電勢高處電勢能大，可知正電荷從 a 點運動到 c 點的過程中電勢能一定增大，而由能量守
恒得知，若正電荷只受電場力作用，其動能一定減小，D 錯誤。
故選 BC。
【變式 4-2】（2022·天津一模）如圖所示，A 、B 、C 、D為勻強電場中的四點，它們的連線構成正方形，
其中 AD 邊與電場線平行，O點為 AC 與BD連線的交點。一個電荷量為Q的正點電荷固定在O點，下列說
法正確的是（ ）
A．C 、D兩點的電場強度相同
B．A 、 B 兩點的電勢相等
C．將電子沿直線從 B 點移動到C 點，電場力做正功
D．將電子沿直線從C 點移動到D點，電勢能先減小后增大
【答案】BD
【詳解】如圖所示，在O點的正點電荷在A 、 B 、C 、D四點產生電場方向如圖所示
A．由圖可知C 、D兩點的電場強度方向不相同，故C 、D兩點的電場強度不相同，A 錯誤；
B．勻強電場在A 、 B 兩點的電勢相等，點電荷在A 、 B 兩點的電勢相等，故A 、 B 兩點的電勢相等，B 正
確；
C．點電荷在 B 、C 兩點的電勢相等，故將電子沿直線從 B 點移動到C 點，點電荷對電子做功為零，勻強電
場對電子做負功，故電場力做負功，C 錯誤；
D．CD邊與勻強電場方向垂直，將電子沿直線從C 點移動到D點，勻強電場對電子不做功，點電荷對電子
先做正功后做負功，故電勢能先減小后增大，D 正確；
故選 BD。
【變式 4-3】如圖所示，在一水平向右、電場強度為E =12N/C的勻強電場中有一電量為Q = +1.0 10-11C 點
電荷 M，以 M 為圓心、半徑為R = 0.1m的圓周上有 A、B 兩點，B 在 M 正上方，A 在 M 正右方，一電荷量
為 q = 0.5 10-15C的正點電荷從 A 運動到 B，靜電力常量 k = 9.0 109 N ×m2 /C2， sin 53° = 0.8、 cos53° = 0.6，
求：
（1）B 點的場強大小EB 及其方向與水平方向夾角q ；
（2）若取 A 點為零電勢點，則點電荷在 B 點的電勢能為多大？B 點的電勢又為多大？
【答案】（1）15N/C，37°；（2）6 10-16 J，1.2V
【詳解】（1）點電荷在 B 點的場強大小為
E k Q 9.0 109 1.0 10
-11
1 = 2 = R 0.12
= 9N/C
則 B 點的場強大小為
E 2 2 2 2B = E1 + E = 9 +12 N/C =15N/C
B 點的場強與水平方向夾角滿足
tanq E 3= 1 =
E 4
解得
q = 37°
（2）若取 A 點為零電勢點，正點電荷從 A 運動到 B，電場力做功為
WAB = -qER = -0.5 10
-15 12 0.1J = -6 10-16 J
又
WAB = -DEp = -(EpB - EpA ) = -EpB
解得點電荷在 B 點的電勢能為
EpB = 6 10
-16 J
根據
EpB = qjB
可得 B 點的電勢為
E -16
j 6 10B =
pB =
q 0.5 10-15
=1.2V
【題型 5 點電荷周圍電勢的表達式和電勢的疊加】
【例 5】（2023·吉林期末）（多）如圖所示， A、B、C、D 是正方形的四個頂點，在 A、B、C 三點放有
電荷量都為+q 的點電荷，正方形的兩條對角線 AC、BD 相交于 O 點，則關于 D 點和 O 點的電場強度和電
勢的判斷，以下說法正確的是（　　）
A．D 點電場強度大于 O 點的電場強度
B．D 點電場強度小于 O 點的電場強度
C．D 點電勢高于 O 點的電勢
D．D 點電勢低于 O 點的電勢
【答案】BD
【詳解】AB．令正方形的邊長為 a，根據電場強度的疊加原理有
E k q 2kqq 2 2 +1 kq O = 2 = 2ED = 2k 2 cos 45o + k q = 2a aa 2 22a 2a 2 ÷
， è
則有
ED < EO
故 A 錯誤，B 正確；
CD．在正點電荷產生的電場中，所有點的電勢都大于零，且離正點電荷越近，電勢越高，再根據點電荷電
場中某點的電勢等于各點電荷在該點電勢的代數和，可知
jD < jO
故 C 錯誤，D 正確。
故選 BD。
【變式 5-1】如圖所示，O 點為均勻帶電圓環的圓心，圓環的帶電量為-Q，直線 OA 垂直于圓環平面，圓
kQ
環的半徑 r = 3a ，O，A 兩點間的距離 L = 4a ，若取無窮遠處電勢為 0，點電荷電場中電勢j = ，Q 表示
r
點電荷的電荷量，r 表示與點電荷間的距離，k 為靜電力常量，下列判斷正確的是（ ）
A．O 點的電場強度為 0，電勢為 0
4kQ
B．A 點的電場強度大小為
125a2
4kQ
C．A 點的電勢大小為-
125a
D．電子在 O 點的電勢能小于在 A 點的電勢能
【答案】B
【詳解】A．將圓環分成 n 個微元，每個微元均能夠看為點電荷，電荷量為
q Q=
n
根據對稱性及場強疊加原理，則圓心 O 點的電場強度為 0；圓心 O 點的電勢為
j k nq QO = = -kr 3a
故 A 錯誤；
B．將圓環分成 n 個微元，每個微元均能夠看為點電荷，設微元到 A 點距離為 R ，連線與 x 軸夾角為q ，根
據對稱性及場強疊加原理，得 A 點的電場強度大小為
E kq kQ L kQ kQ 4a 4kQ= n cosq =
R2 R2
= 2 2 cosq = 2 =R 3a + 4a 25a 5a 125a2
故 B 正確；
C．由題意，可得 A 點的電勢大小為
j n kq kQ kQA = = - = -R R 5a
故 C 錯誤；
D．由前面分析可知
jA > jO
根據同一負電荷在電勢越低的地方電勢能越大，則電子在 O 點的電勢能大于在 A 點的電勢能，故 D 錯誤。
故選 B 。
【變式 5-2】（2023·濟寧期末）如圖所示，真空中正三角形三個頂點分別固定三個電荷量大小相同的點電
荷，其中 A 帶正電，B、C 帶負電，P、O、Q 為 BC 邊的四等分點。下列說法正確的是（　　）
A．P、Q 兩點電場強度相同
B．P、Q 兩點電勢相同
C．一正電荷沿直線從 P 點移動到 O 點的過程中靜電力做正功
D．一正電荷在 P 點的電勢能大于在 O 點的電勢能
【答案】B
【詳解】A．根據場強疊加以及對稱性可知，PQ 兩點的場強大小相同，但是方向不同，故 A 錯誤；
B．因 BC 處的負電荷在 PQ 兩點的合電勢相等，A 點的正電荷在 PQ 兩點的電勢也相等，則 PQ 兩點電勢相
等，故 B 正確；
CD．正電荷從 P 到 O，因 BC 兩電荷的合力對正電荷的庫侖力從 O 指向 P，則該力對正電荷做負功，A 點
的正電荷也對該正電荷做負功，可知三個電荷對正電荷的合力對其做負功，則正電荷的電勢能增加，即正
電荷在 P 點的電勢能比在 O 點小。故 CD 錯誤。
故選 B。
【變式 5-3】在電荷量為Q的點電荷產生的電場中，若將無限遠處的電勢規定為零時，則距離該點電荷 r 處
Q
的電勢為 k ，其中 k 為靜電力常量，多個點電荷產生的電場中某點的電勢，等于每個點電荷單獨存在的該
r
點的電勢的代數和。電荷量分別為Q1和Q2的兩個點電荷產生的電場的等勢線如圖中曲線所示（圖中數字的
單位是 V），已知一電荷量為 q =1.6 10-4 C 的正電荷以一定的初速度從 A 點運動到 B 點，求：
(1)判斷點電荷Q1與Q2的電性；（無需說明理由）
(2)該正電荷從 A 運動到 B 時電勢能的變化量；
(3)Q1與Q2的比值；
Q1
-5 = -2
【答案】(1)Q1 Q帶正電， 2帶負電 (2) DEp = -3.2 10 J (3) Q2
【詳解】（1）根據兩點電荷周圍的電勢分布可知：Q1 Q帶正電， 2帶負電。
（2）該正電荷從 A 運動到 B 時，由動能定理可得
W = qU AB
又
W = -DEp
其中
U AB = jA -jB = 0.2V
聯立解得
DE -5p = -3.2 10 J
（3）由圖中電勢為 0 的等勢線可知
k Q1 k Q+ 2 = 0
r1 r2
由圖中距離關系可知
r1 6=
r2 3
聯立解得
Q1 = -2
Q2
【題型 6 帶電粒子在點電荷電場中的運動】
【例 6】（2024·成都三模）如圖所示，豎直平面內足夠長的光滑絕緣傾斜桿底端固定有一點電荷 Q，M、N
為桿上的兩點。套在桿上的絕緣帶電小球從某點靜止釋放后，沿桿向上運動，先后通過了 M、N 兩點。由此
可以判斷（　　）
A．點電荷 Q 在 M 點處產生的場強方向一定沿桿向上
B．小球在 M 點的加速度一定大于在 N 點的加速度
C．小球在 M 點的電勢能一定大于在 N 點的電勢能
D．小球在 M 點的動能一定大于在 N 點的動能
【答案】C
【詳解】A．絕緣帶電小球先后通過了 M、N 兩點，故可知其與點電荷電性相同，由于電性未知，故電場力
方向即電場強度方向未知，故 A 錯誤；
B．根據
F kQq=
r 2
可知距離越遠庫侖力越小，根據牛頓第二定律可知，若在 M 點
F1 - mg sinq = maM
在 N 點，若此時庫侖力小于重力分力，則
mg sinq - F2 = maN
可知小球在 M 點的加速度與在 N 點的加速度大小未知，故 B 錯誤；
C．電場力做正功電勢能減小，故小球在 M 點的電勢能一定大于在 N 點的電勢能，故 C 正確；
D．由 C 項可知若從 M 點到 N 點加速度符號變化，則從釋放位置，到重力分力與電場力大小相同位置，合
外力做正功，動能增加；此后合外力做負功，動能減小，故先加速后減速，動能大小無法比較，故 D 錯誤。
故選 C。
【變式 6-1】（2023·杭州期中）如圖所示，虛線 a、b、c 是某靜電場中的三個等勢面，它們的電勢分別為
ja 、jb 和jc ，一帶正電粒子射入電場中，其運動軌跡如實線 KLMN 所示。由圖可知（ ）
A．粒子從 K 到 L 的過程中，電場力做負功 B．粒子從 L 到 M 的過程中，電場力做負功
C．粒子從 K 到 L 的過程中，電勢能減小 D．粒子從 L 到 M 的過程中，動能減少
【答案】A
【詳解】AC．根據圖中等勢面形狀可知此電場是點電荷形成，由帶正電粒子的軌跡可知，粒子受到的電場
力為斥力，則場源點電荷帶正電，粒子從 K 到 L 的過程中，電場力對粒子做負功，粒子的電勢能增加，故
A 正確，C 錯誤；
BD．粒子從 L 到 M 的過程中，電場力先做負功后做正功，所以粒子的動能先減小后增加，故 BD 錯誤。
故選 A。
【變式 6-2】如圖所示，在豎直平面內存在電荷量分別為+Q1和-Q2的兩個點電荷，兩點電荷連線水平，在
Q1，Q2之間放置內壁光滑的絕緣細管，細管的上、下端口恰好在 Q1，Q2連線的中垂線上。電荷量為+q 的
小球（可視為點電荷）以初速度 v0從上端管口無碰撞進入細管，小球在細管中運動的過程中機械能始終守
恒，且細管上、下端口高度差為 h，重力加速度為 g，則（　　）
A．細管各處的電勢為 0
B．小球在細管中運動時，電勢能先增大后減小
C．小球離開細管的速度大小為 v20 + 2gh
D．Q1【答案】C
【詳解】AB．帶電小球在運動過程中始終機械能守恒，則小球在運動過程中電勢能保持不變，故圖中細管
所在的弧線是同一等勢線，細管各處的電勢相等，但不一定為 0，故 AB 錯誤；
C．小球在細管中的機械能始終守恒，則有
1 mv20 + mgh
1
= mv2
2 2
解得
v = v20 + 2gh
故 C 正確；
D．小球機械能始終守恒，說明電場力不做功，即電場力與速度方向始終垂直，則小球在初始位置的電場強
度方向為右上方，說明+Q1 在該位置的電場強度大于-Q2 在該位置的電場強度，則有
Q1 > Q2
故 D 錯誤。
故選 C。
【變式 6-3】（2023·聊城期末）（多）如圖所示為兩個固定在同一水平面上的點電荷，距離為 d，電荷量
分別為+Q和-Q。在它們的水平中垂線上固定一根長為 L、內壁光滑的絕緣細管，有一電荷量為 +q 的小球
以初速度 v0 從管口射入，則小球（　　）
A．速度先增大后減小再增大
B．小球對管壁的作用力先變大后變小
C．小球的電勢能先增大后減小
8kQq
D．管壁對小球的彈力最大值為
d 2
【答案】BD
【詳解】A．電場力與彈力始終平衡，水平方向合力為 0，豎直方向只受重力，所以小球做自由落體運動，
速度一直增大，故 A 錯誤；
B．電場強度先增大后減小，電場力先增大后減小，小球對管壁的作用力與電場力等大反向，所以先變大后
變小，故 B 正確；
C E．電場力始終與速度垂直不做功，所以 p 不變，故 C 錯誤；
D．中點處為場強最大處，故需計算此處電場強度
E 2k Q 8kQ=
1 2
=
d 2
d

2 ֏
8kQq
2
則最大電場力為 d ，彈力等大反向，故 D 正確。
故選 BD。
【題型 7 運動軌跡判斷電勢高低】
【例 7】（2023·德州期末）2023 年 3 月，中國科學家通過冷凍電鏡技術解析了晶態冰中蛋白質三維結構。
電子顯微鏡是冷凍電鏡中的關鍵部分，其中一種電子透鏡的電場分布如圖所示，虛線為等勢面，相鄰等勢
面間電勢差相等，a、b 是軌跡上的兩點。現有一電子以某一初速度從 b 向 a 運動的過程中，下列說法正確
的是（　　）
A．電子透鏡的電場是正點電荷產生的
B．電子在 a 點的電勢能大于在 b 點的電勢能
C．電子在 a 點的動能大于在 b 點的動能
D．若該電子以某一初速度從 a 向 b 運動，則電子在 a 點的電勢能小于在 b 點的電勢能
【答案】B
【詳解】A．正點電荷的等勢面是以點電荷為球心的球面，沒有平面，所以電子透鏡的電場不是正點電荷產
生的，A 錯誤；
BC．電場線與等勢面垂直，負電荷所受電場力與電場強度方向相反，電子在 b 點所受電場力垂直于等勢面
向左，電子在 a 點所受電場力向左上方，電子從 b 到 a 過程中，電場力做負功，電勢能增大，動能減小，所
以，電子在 a 點的電勢能大于在 b 點的電勢能，電子在 a 點的動能小于在 b 點的動能，B 正確，C 錯誤；
D．若該電子以某一初速度從 a 向 b 運動，電場力做正功，電勢能減小，則電子在 a 點的電勢能大于在 b 點
的電勢能，D 錯誤。
故選 B。
【變式 7-1】（多）如圖所示，虛線 a、b、c 代表電場中的三個等勢面，相鄰等勢面之間的電勢之差相等，
實線為一帶負電的質點僅在靜電力作用下通過該區域時的運動軌跡，P、R、Q 是這條軌跡上的三點，R 同
時在等勢面 b 上，據此可知下列說法錯誤的是（　　）
A．三個等勢面中，c 的電勢最低
B．帶電質點在 P 點的電勢能比在 Q 點的小
C．帶電質點在 P 點的動能與電勢能之和比在 Q 點的小
D．帶電質點在 R 點的加速度方向垂直于等勢面 b
【答案】ABC
【詳解】AB．帶電粒子所受電場力指向軌跡彎曲的內側，電場線與等勢面垂直，且由于帶電粒子帶負電，
因此電場線指向左上方，根據沿電場線電勢降低，可知 a 等勢線的電勢最低，c 等勢線的電勢最高，負電荷
在電勢高的地方，電勢能小，所以帶電質點在 P 點的電勢能比在 Q 點的大，故 AB 錯誤；
C．只有電場力做功，所以帶電粒子在 P 點的動能與電勢能之和與在 Q 點的動能與電勢能之和相等，故 C
錯誤；
D．帶電質點在 R 點的受力方向沿著電場線的切線方向，電場線與等勢面垂直，故質點在 R 點的加速度方
向與等勢面垂直，故 D 正確。
本題選錯誤的，故選 ABC。
【變式 7-2】（2024·宜賓二模）（多）如圖所示，實線為兩個點電荷Q1和Q2產生的電場中的電場線（方
向未標出），c、d 是關于兩個點電荷連線對稱的兩點，一帶正電的離子（不計重力）沿 aob 運動，下列說
法正確的是（　　）
A．Q1的電荷量大于Q2的電荷量
B．Q1帶正電，Q2帶負電
C．c、d 兩點的電勢相同，場強也相同
D．正離子在 a 點的電勢能大于在 O 點的電勢能
【答案】AD
【詳解】A．Q1 Q周圍的電場線比 2 Q周圍的電場線密，說明Q1的電荷量大于 2的電荷量，A 正確；
B．帶正電的離子在電場中做曲線運動，電場力指向軌跡內側。且正電荷所受電場力與所處位置場強方向
Q Q
（即電場線切線方向）相同。由圖可知，電場線由 2指向Q1，所以Q1帶負電， 2帶正電，B 錯誤；
C．由電場線分布可知， c、 d 兩點的電勢相同，場強大小相等，方向不同，C 錯誤；
D．正離子從 a點運動到O點，電場力做正功，電勢能降低，即正離子在 a點的電勢能大于在O點的電勢能，
D 正確。
故選 AD。
【變式 7-3】（2024·南充一模）（多）兩個固定的點電荷 P、Q 所形成電場的等勢線如圖中的虛線所示，
一帶電粒子以某一初速度從圖中的 d 點進入電場，僅在靜電力的作用下運動，運動軌跡如圖中的實線所示。
下列說法正確的是（　　）
A．點電荷 P、Q 帶有等量同種電荷，粒子帶負電
B．粒子從 d 點到 a 點的運動過程中，靜電力先做正功后做負功
C．粒子從 d 點到 a 點運動的過程中，電勢能先增大后減小
D．粒子經過 a 點和 d 點時的速度相同
【答案】AC
【詳解】A．靠近點電荷 P、Q 處的等勢面電勢高，說明點電荷 P、Q 均帶正電，則點電荷 P、Q 帶同種電
荷；根據曲線運動的合外力指向軌跡的凹側，段合外力方向大致向下，段電場強度方向垂直等勢面向上，
可知粒子帶負電，故 A 正確；
BC．粒子從 d 點到 a 點運動的過程中，電勢先減小后增大，粒子帶負電，電場力先做負功后做正功，動能
先減小后增大，電勢能先增大后減小，故 B 錯誤，C 正確；
D U = 0．a 點和 d 點的電勢相等，即 da ，則粒子從 d 點到 a 點電場力所做總功為零，故粒子在 a 點和 d 點的
速度大小相等，但速度的方向不同，則兩點的速度不相同，故 D 錯誤。
故選 AC。
【題型 8 電勢相關的圖像問題】
【例 8】（2023·棗莊期末）在靜電場中，從原點 O 由靜止釋放一帶負電的微粒，它沿著 x 軸正方向運動，
依次經過 x 軸上的 x1、x2、x3、x4四點。已知微粒僅受電場力作用，該微粒的電勢能Ep 隨位置坐標 x 的變化
關系如圖所示。下列說法正確的是（ ）
A．x2和 x4兩點處的電場強度相同
B．由 x1運動到 x4的過程中，微粒的加速度先增大后減小
C．由 x1運動到 x4的過程中，微粒的動能先增大后減小
D．從 x1到 x2 過程中電場力對微粒做的功小于從 x1到 x4過程中電場力對微粒做的功
【答案】C
【詳解】A．根據
qE ×Dx = -DEp
解得
DEp = -qE
Dx
E
可知 p -x 圖像中圖線的斜率表示-qE 。由圖可知，x2 和 x4 兩點處的斜率不同，則它們的電場強度不相同。
故 A 錯誤；
B．根據
a qE=
m
x
可知，由 x1 運動到 4的過程中，圖線上各點的切線斜率先減小再增大，所以微粒的加速度先減小后增大。
故 B 錯誤；
C．依題意，微粒僅受電場力作用，電場力做功導致動能和電勢能的相互轉化，二者總量保持不變，由圖可
知由 x x1運動到 4的過程中，微粒的電勢能先減小后增大，所以其動能先增大后減小。故 C 正確；
D x．由圖可知，微粒在 x2和 4處的電勢能相等，根據
W電 = -DEp
可知從 x1到 x2過程中電場力對微粒做的功等于從 x x1到 4過程中電場力對微粒做的功。故 D 錯誤。
故選 C。
【變式 8-1】（多）如圖所示，A、B 兩個等量正的點電荷固定放置，O 為 A、B 連線中點，在 A、B 連線的
垂直平分線上 P 點，由靜止釋放一個負的點電荷，該點電荷僅在電場力作用下運動，取 P 點電勢為零，在
該點電荷從 P 點運動到 O 點過程中，速度隨時間、電勢能隨運動位移的關系可能正確的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】BC
【詳解】AB．v-t 圖像中圖線的斜率表示加速度，根據靜電場的疊加可知，PO間的電場強度可能一直減小，
也可能先增大后減小，根據
a F qE= =
m m
可知如果電場強度一直減小，則電場力一直減小，加速度一直減小，如果電場強度先增大后減小，則電場
力先增大后減小，加速度先增大后減小。故 A 錯誤；B 正確；
CD．根據電場力做功與電勢能變化的關系
W電 = qEx = -DEp
Ep - x可知 圖像中圖線的斜率表示電場力，由前面分析可知，電場力可能一直減小，也可能先增大后減小。
故 C 正確；D 錯誤。
故選 BC。
【變式 8-2】（多）在 x 軸上 O、P 兩點分別放置電荷量為 q1、 q2的點電荷，一個帶負電的試探電荷在兩電
荷連線上的電勢能Ep 隨 x 變化關系如圖所示，其中 A、B 兩點電勢能為零，BD 段中 C 點電勢能最大，則下
列說法中正確的是（ ）
A． q1是負電荷， q2是正電荷
B．B、C 間場強方向沿 x 軸正方向
C．C 點的電場強度大于 A 點的電場強度
D．將一個正點電荷從 B 點移到 D 點，電場力先做負功后做正功
【答案】AB
【詳解】A．由題圖可知，從 O 到 P 電勢能一直減小，試探電荷帶負電，則電勢一直增加，兩個點電荷必
q q
定是異種電荷，且 1是負電荷， 2是正電荷，故 A 正確；
B．由題圖可知，從 B 到 C 電勢能增加，試探電荷帶負電，則電勢降低，根據沿電場線方向電勢降低可知，
B、C 間電場強度方向沿 x 軸正方向，故 B 正確；
C．切線斜率表示電場力，可知 C 點場強為零，A 點的場強不等于零，則 A 點的場強大于 C 點的場強，故 C
錯誤；
D．由題圖可知，從 B 點到 D 點，試探電荷帶負電，電勢能先增大后減小，則電勢先降低后升高，將一個
正點電荷從 B 點移到 D 點，電勢能先減小后增大，則電場力先做正功后做負功，故 D 錯誤。
故選 AB。
【變式 8-3】（2024·廈門三模）（多）一帶正電的金屬板和一帶負電的放電極形成電場，電場線分布如圖
所示。一電子從 M 沿直線運動到 N，以放電極為原點，以 MN 方向為正方向建立 x 軸。該過程中，電場強
度大小 E、電子的加速度大小 a、電勢j 、電勢能Ep 隨 x 變化的圖像可能正確的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】BD
【詳解】A．由題知該電場為非勻強電場，電子從 M 沿直線運動到 N，電場線疏密程度非均勻變化，可知
題中電場強度E 隨位移 x 非線性變化，電場強度E 隨位移 x 在逐漸減小，A 錯誤；
B．電場強度E 隨位移 x 在逐漸減小，粒子所受電場力在逐漸減小，故粒子的加速度在逐漸減小，B 正確；
C．電子逆著電場線運動，電勢j 隨位移 x 在逐漸增大，C 錯誤；
D E．電子逆著電場線運動，電場力做正功，電勢能 p 隨位移 x 在逐漸減小，由于電場力減小，圖像斜率減小，
D 正確；
故選 BD。10.1 電勢能和電勢【八大題型】
【人教版 2019】
【題型 1 電勢能和電勢基本概念的理解】 ............................................................................................................2
【題型 2 電場力做功與電勢能的關系】 ..............................................................Error! Bookmark not defined.
【題型 3 等量電荷周圍的電勢分布】 ..................................................................Error! Bookmark not defined.
【題型 4 勻強電場電勢的計算】 ..........................................................................Error! Bookmark not defined.
【題型 5 點電荷周圍電勢的表達式和電勢的疊加】 ..........................................Error! Bookmark not defined.
【題型 6 帶電粒子在點電荷電場中的運動】 ......................................................Error! Bookmark not defined.
【題型 7 運動軌跡判斷電勢高低】 ......................................................................Error! Bookmark not defined.
【題型 8 電勢相關的圖像問題】 ..........................................................................Error! Bookmark not defined.
知識點 1：靜電力做功的特點
在勻強電場中移動電荷時，靜電力所做的功與電荷的起始位置和終止位置有關，與電荷經過的路徑無
關．
知識點 2：電勢能
1．定義：電荷在電場中具有的勢能，用 Ep表示．
2．靜電力做功與電勢能變化的關系：靜電力做的功等于電勢能的變化量．表達式：WAB＝EpA－EpB.
(1)靜電力做正功，電勢能減少；
(2)靜電力做負功，電勢能增加．
3．電勢能的大小：電荷在某點的電勢能，等于把它從這點移動到零勢能位置時靜電力所做的功．
4．電勢能具有相對性
電勢能零點的規定：通常把電荷在離場源電荷無限遠處或把電荷在大地表面的電勢能規定為 0.
知識點 3：電勢
1．定義：電荷在電場中某一點的電勢能與它的電荷量之比．

2 ．公式：φ＝ .

3．單位：在國際單位制中，電勢的單位是伏特，符號是 V，1 V＝1 J/C.
4．電勢高低的判斷：沿著電場線方向電勢逐漸降低．
5．電勢的相對性：只有在規定了零電勢點之后，才能確定電場中某點的電勢，一般選大地或離場源電荷無
限遠處的電勢為 0.
6．電勢是標量，只有大小，沒有方向．
【題型 1 電勢能和電勢基本概念的理解】
【例 1】（2023·綿陽期中）電場是實際存在的，其存在方式與物質的存在方式不同。電場對放入其中的電
荷有力的作用，并使電荷具有一定的能量，下列能夠描述電場性質的物理量是（　　）
①電場力 ②電場強度 ③電勢能 ④電勢
A．①③ B．①④ C．②④ D．②③
【變式 1-1】（2023·楊浦期中）下面關于物理量的正負表述正確的是（　　）
A．功的正負表示大小
B．電勢能的正負表示大小
C．電量的正負表示方向
D．電勢的正負表示方向
【變式 1-2】關于點電荷產生的電場，下列說法正確的是（　　）
A．電勢降低的方向就是電場強度的方向
B．沿著電場線的方向，電場強度越來越小
C．取走電場中某點的試探電荷后，該點的電勢變為零
D．以點電荷為圓心、r 為半徑的球面上，各點的場強都不相同
【變式 1-3】下面是某同學對電場中的一些概念的理解，其中錯誤的是（　　）
A．電場中某點的電場強度與在該點放入的檢驗電荷的電量多少、帶電正負均無關
B．若選取無窮遠為零勢點，則在帶負電的場源電荷周圍，所有點的電勢全部為負
C．某點的電勢，在數值上等于將正電荷從該點移到無窮遠點（零勢點），電場力所做的功
D．電場中某電的電勢，與零勢點的選取有關；但這兩點的電勢差，與零勢點的選取無關
【題型 2 電場力做功與電勢能的關系】
【例 2】如圖所示，質量均為m 的滑塊A、B,A不帶電，B 帶正電電荷量為 q,A套在固定豎直桿上，B 放在
絕緣水平面上并靠近豎直桿，A、B 間通過鉸鏈及長度為 L的剛性絕緣輕桿連接且靜止。現施加水平向右電
場強度為E 的勻強電場，B 開始沿水平面向右運動，已知A、B均視為質點，重力加速度為 g ，不計一切摩
擦。則在 A 下滑的過程中，下列說法不正確的是（　　）
qE
A．A 的機械能最小時，B 的加速度大小為
m
B．A 運動到最低點時，B 的速度為零
C．A、B 組成的系統機械能不守恒
D．A qEL運動到最低點時，滑塊 A 速度大小為 2gL +
m
【變式 2-1】（2022·南京期末）如圖所示，OA 為豎直絕緣墻面，A 點固定電荷量為+Q的小球，電荷量為
+q 的小球 B 通過輕繩與 O 點相連，小球 B 處于靜止狀態。已知OA = OB，將小球 A 視為場源電荷，小球 B
視為試探電荷，若小球 B 的電荷量逐漸減小，則在 B 靠近 A 的過程中（　　）
A．小球 B 受到的靜電力大小逐漸減小
B．小球 B 所處位置的電場強度逐漸減小
C．小球 B 所受繩子 OB 的拉力逐漸減小
D．小球 B 所處位置的電勢逐漸減小
【變式 2-2】（2023·馬鞍山期末）如圖所示，在電場強度為50N / C 的勻強電場中有 A、B 兩點，A、B 兩
點間距離為 10cm，AB 和電場線方向夾角為60°，現將電荷量為 4 10-8 C 的負電荷從 A 點移到 B 點，下列說
法正確的是（ ）
A．靜電力對電荷做正功2.0 10-7 J ，電勢能減少2.0 10-7 J
B．靜電力對電荷做正功1.0 10-7 J ，電勢能減少1.0 10-7 J
C．電荷克服靜電力做功2.0 10-7 J ，電勢能增加2.0 10-7 J
D．電荷克服靜電力做功1.0 10-7 J ，電勢能增加1.0 10-7 J
【變式 2-3】（多）有三個完全相同的帶正電的絕緣小球 A、B、C（均可視為點電荷），質量為 m，帶電量
為 +q ，A、B 之間與 B、C 之間各裝有一根長為 L 的輕桿，輕桿兩端與小球均通過輕質鉸鏈連接。A、C 放
在光滑的絕緣水平地面上，A、B、C 恰構成正三角形且位于豎直面內并鎖定，如圖（a）所示。現解除鎖定，
直至 B 剛好落地，如圖（b）所示。已知重力加速度大小為 g，以無限遠處為零電勢點，距離電荷量為 Q 的
點電荷 r 處的電勢為 k Q ，其中 k 為靜電力常量，多個點電荷產生的電場中某點的電勢，等于每個點電荷單
r
獨存在時該點電勢的代數和。下列說法正確的是（　　）
2
A．初始時刻，A、B C 3kq、 系統所具有的電勢能為
L
2
B．B 落地時，A、B C 4kq、 系統所具有的電勢能為
3L
C．該過程中，A、B、C 系統的機械能守恒
D B 3gL kq
2
． 落地時的速度大小為 +
mL
【題型 3 等量電荷周圍的電勢分布】
【例 3】（2023·沈陽期末）如圖，兩個等量同種正點電荷位于圓的直徑 AC 上，直徑 BD 垂直于 AC，
CM=MO=ON=NA，下列說法正確的是（　　）
A．圓弧 ABCD 是等勢面
B．同一個試探電荷在 B、D 兩個位置所受的電場力相同
C．負電荷在 A 點的電勢能比其在 O 點的電勢能大
D．將帶正電的試探電荷從 О 點沿直線移到 D 點的過程中，該電荷的電勢能先增大后減小
【變式 3-1】如圖，兩對等量異號點電荷 +q 、-q 固定于正方形的 4 個頂點上。L、N 是該正方形兩條對角線
與其內切圓的交點，O 為內切圓的圓心，M 為切點。則（　　）
A．L 和 N 兩點處的電場方向不垂直
B．M 點的電場方向平行于該點處的切線，方向向左
C．將一帶正電的試探電荷從 M 點移動到 O 點，電場力做正功
D．將一帶正電的試探電荷從 L 點移動到 N 點，電場力做功為零
【變式 3-2】（2023·威海期末）（多）如圖所示，兩個等量正點電荷形成的電場中，O 點為兩電荷連線的
中點，O、A、B、C 為以其中一正電荷為圓心的圓上四點，取無限遠處電勢為零。下列說法正確的是（　　）
A．A、C 兩點電場強度相同
B．A、C 兩點電勢相等
C．O 點的電勢為零
D．電子在 O 點的電勢能小于在 B 點的電勢能
【變式 3-3】（2023·黔西期末）（多）如圖所示，圖甲中 a、b 為等量異種點電荷連線上關于中點O對稱
的兩點，圖乙中 c、 d 為等量同種正點電荷連線中垂線上關于O對稱的兩點，圖丙中 e、 f 在以正點電荷為
球心的球面上，圖丁中 g 、h為相距較近帶等量異種電荷平行板之間的兩點，則關于各點的電場強度、電勢
說法正確的是（　　）
A．圖甲中 a、b 兩點電場強度和電勢均相同
B．圖乙中 c、 d 兩點電場強度和電勢均相同
C．圖丙中 e、 f 兩點電場強度不同，電勢相同
D．圖丁中 g 、 h兩點電場強度相同，電勢不同
【題型 4 勻強電場電勢的計算】
【例 4】（2022·武漢期中）如圖所示，在勻強電場中有一平行四邊形 ABCD，已知 A、B、C 三點的電勢
分別為jA =12V，jB = 8V，jC = 2V ，則 D 點的電勢為（　　）
A．1V B．3V C．6V D．8V
【變式 4-1】（2021·廣州期末）電場中的 a、b、c 三點在同一電場線上，如圖所示，其中 c 為 ab 的中點，
已知 a、b 兩點的電勢分別為ja 和jb ，且jb > ja > 0，則下列敘述正確的是（　　）
j +j
A．該電場在 c 點處的電勢一定為 a b
2
B．正電荷從 b 點運動到 a 點，電勢能一定減少
C．正電荷從 b 點運動到 c 點，電場力一定做正功
D．正電荷只受電場力作用從 a 點運動到 c 點，動能增加
【變式 4-2】（2022·天津一模）如圖所示，A 、B 、C 、D為勻強電場中的四點，它們的連線構成正方形，
其中 AD 邊與電場線平行，O點為 AC 與BD連線的交點。一個電荷量為Q的正點電荷固定在O點，下列說
法正確的是（ ）
A．C 、D兩點的電場強度相同
B．A 、 B 兩點的電勢相等
C．將電子沿直線從 B 點移動到C 點，電場力做正功
D．將電子沿直線從C 點移動到D點，電勢能先減小后增大
【變式 4-3】如圖所示，在一水平向右、電場強度為E =12N/C的勻強電場中有一電量為Q = +1.0 10-11C 點
電荷 M，以 M 為圓心、半徑為R = 0.1m的圓周上有 A、B 兩點，B 在 M 正上方，A 在 M 正右方，一電荷量
為 q = 0.5 10-15C的正點電荷從 A 運動到 B，靜電力常量 k = 9.0 109 N ×m2 /C2， sin 53° = 0.8、 cos53° = 0.6，
求：
（1）B 點的場強大小EB 及其方向與水平方向夾角q ；
（2）若取 A 點為零電勢點，則點電荷在 B 點的電勢能為多大？B 點的電勢又為多大？
【題型 5 點電荷周圍電勢的表達式和電勢的疊加】
【例 5】（2023·吉林期末）（多）如圖所示， A、B、C、D 是正方形的四個頂點，在 A、B、C 三點放有
電荷量都為+q 的點電荷，正方形的兩條對角線 AC、BD 相交于 O 點，則關于 D 點和 O 點的電場強度和電
勢的判斷，以下說法正確的是（　　）
A．D 點電場強度大于 O 點的電場強度
B．D 點電場強度小于 O 點的電場強度
C．D 點電勢高于 O 點的電勢
D．D 點電勢低于 O 點的電勢
【變式 5-1】如圖所示，O 點為均勻帶電圓環的圓心，圓環的帶電量為-Q，直線 OA 垂直于圓環平面，圓
j kQ環的半徑 r = 3a ，O，A 兩點間的距離 L = 4a ，若取無窮遠處電勢為 0，點電荷電場中電勢 = ，Q 表示
r
點電荷的電荷量，r 表示與點電荷間的距離，k 為靜電力常量，下列判斷正確的是（ ）
A．O 點的電場強度為 0，電勢為 0
4kQ
B．A 點的電場強度大小為
125a2
4kQ
C．A 點的電勢大小為-
125a
D．電子在 O 點的電勢能小于在 A 點的電勢能
【變式 5-2】（2023·濟寧期末）如圖所示，真空中正三角形三個頂點分別固定三個電荷量大小相同的點電
荷，其中 A 帶正電，B、C 帶負電，P、O、Q 為 BC 邊的四等分點。下列說法正確的是（　　）
A．P、Q 兩點電場強度相同
B．P、Q 兩點電勢相同
C．一正電荷沿直線從 P 點移動到 O 點的過程中靜電力做正功
D．一正電荷在 P 點的電勢能大于在 O 點的電勢能
【變式 5-3】在電荷量為Q的點電荷產生的電場中，若將無限遠處的電勢規定為零時，則距離該點電荷 r 處
Q
的電勢為 k ，其中 k 為靜電力常量，多個點電荷產生的電場中某點的電勢，等于每個點電荷單獨存在的該
r
點的電勢的代數和。電荷量分別為Q1和Q2的兩個點電荷產生的電場的等勢線如圖中曲線所示（圖中數字的
單位是 V），已知一電荷量為 q =1.6 10-4 C 的正電荷以一定的初速度從 A 點運動到 B 點，求：
(1)判斷點電荷Q1與Q2的電性；（無需說明理由）
(2)該正電荷從 A 運動到 B 時電勢能的變化量；
(3)Q1與Q2的比值；
【題型 6 帶電粒子在點電荷電場中的運動】
【例 6】（2024·成都三模）如圖所示，豎直平面內足夠長的光滑絕緣傾斜桿底端固定有一點電荷 Q，M、N
為桿上的兩點。套在桿上的絕緣帶電小球從某點靜止釋放后，沿桿向上運動，先后通過了 M、N 兩點。由此
可以判斷（　　）
A．點電荷 Q 在 M 點處產生的場強方向一定沿桿向上
B．小球在 M 點的加速度一定大于在 N 點的加速度
C．小球在 M 點的電勢能一定大于在 N 點的電勢能
D．小球在 M 點的動能一定大于在 N 點的動能
【變式 6-1】（2023·杭州期中）如圖所示，虛線 a、b、c 是某靜電場中的三個等勢面，它們的電勢分別為
ja 、jb 和jc ，一帶正電粒子射入電場中，其運動軌跡如實線 KLMN 所示。由圖可知（ ）
A．粒子從 K 到 L 的過程中，電場力做負功 B．粒子從 L 到 M 的過程中，電場力做負功
C．粒子從 K 到 L 的過程中，電勢能減小 D．粒子從 L 到 M 的過程中，動能減少
【變式 6-2】如圖所示，在豎直平面內存在電荷量分別為+Q1和-Q2的兩個點電荷，兩點電荷連線水平，在
Q1，Q2之間放置內壁光滑的絕緣細管，細管的上、下端口恰好在 Q1，Q2連線的中垂線上。電荷量為+q 的
小球（可視為點電荷）以初速度 v0從上端管口無碰撞進入細管，小球在細管中運動的過程中機械能始終守
恒，且細管上、下端口高度差為 h，重力加速度為 g，則（　　）
A．細管各處的電勢為 0
B．小球在細管中運動時，電勢能先增大后減小
C．小球離開細管的速度大小為 v20 + 2gh
D．Q1【變式 6-3】（2023·聊城期末）（多）如圖所示為兩個固定在同一水平面上的點電荷，距離為 d，電荷量
分別為+Q和-Q。在它們的水平中垂線上固定一根長為 L、內壁光滑的絕緣細管，有一電荷量為 +q 的小球
以初速度 v0 從管口射入，則小球（　　）
A．速度先增大后減小再增大
B．小球對管壁的作用力先變大后變小
C．小球的電勢能先增大后減小
8kQq
D．管壁對小球的彈力最大值為
d 2
【題型 7 運動軌跡判斷電勢高低】
【例 7】（2023·德州期末）2023 年 3 月，中國科學家通過冷凍電鏡技術解析了晶態冰中蛋白質三維結構。
電子顯微鏡是冷凍電鏡中的關鍵部分，其中一種電子透鏡的電場分布如圖所示，虛線為等勢面，相鄰等勢
面間電勢差相等，a、b 是軌跡上的兩點。現有一電子以某一初速度從 b 向 a 運動的過程中，下列說法正確
的是（　　）
A．電子透鏡的電場是正點電荷產生的
B．電子在 a 點的電勢能大于在 b 點的電勢能
C．電子在 a 點的動能大于在 b 點的動能
D．若該電子以某一初速度從 a 向 b 運動，則電子在 a 點的電勢能小于在 b 點的電勢能
【變式 7-1】（多）如圖所示，虛線 a、b、c 代表電場中的三個等勢面，相鄰等勢面之間的電勢之差相等，
實線為一帶負電的質點僅在靜電力作用下通過該區域時的運動軌跡，P、R、Q 是這條軌跡上的三點，R 同
時在等勢面 b 上，據此可知下列說法錯誤的是（　　）
A．三個等勢面中，c 的電勢最低
B．帶電質點在 P 點的電勢能比在 Q 點的小
C．帶電質點在 P 點的動能與電勢能之和比在 Q 點的小
D．帶電質點在 R 點的加速度方向垂直于等勢面 b
【變式 7-2】（2024·宜賓二模）（多）如圖所示，實線為兩個點電荷Q1和Q2產生的電場中的電場線（方
向未標出），c、d 是關于兩個點電荷連線對稱的兩點，一帶正電的離子（不計重力）沿 aob 運動，下列說
法正確的是（　　）
A．Q1的電荷量大于Q2的電荷量
B．Q1帶正電，Q2帶負電
C．c、d 兩點的電勢相同，場強也相同
D．正離子在 a 點的電勢能大于在 O 點的電勢能
【變式 7-3】（2024·南充一模）（多）兩個固定的點電荷 P、Q 所形成電場的等勢線如圖中的虛線所示，
一帶電粒子以某一初速度從圖中的 d 點進入電場，僅在靜電力的作用下運動，運動軌跡如圖中的實線所示。
下列說法正確的是（　　）
A．點電荷 P、Q 帶有等量同種電荷，粒子帶負電
B．粒子從 d 點到 a 點的運動過程中，靜電力先做正功后做負功
C．粒子從 d 點到 a 點運動的過程中，電勢能先增大后減小
D．粒子經過 a 點和 d 點時的速度相同
【題型 8 電勢相關的圖像問題】
【例 8】（2023·棗莊期末）在靜電場中，從原點 O 由靜止釋放一帶負電的微粒，它沿著 x 軸正方向運動，
依次經過 x 軸上的 x1、x2、x3、x4四點。已知微粒僅受電場力作用，該微粒的電勢能Ep 隨位置坐標 x 的變化
關系如圖所示。下列說法正確的是（ ）
A．x2和 x4兩點處的電場強度相同
B．由 x1運動到 x4的過程中，微粒的加速度先增大后減小
C．由 x1運動到 x4的過程中，微粒的動能先增大后減小
D．從 x1到 x2 過程中電場力對微粒做的功小于從 x1到 x4過程中電場力對微粒做的功
【變式 8-1】（多）如圖所示，A、B 兩個等量正的點電荷固定放置，O 為 A、B 連線中點，在 A、B 連線的
垂直平分線上 P 點，由靜止釋放一個負的點電荷，該點電荷僅在電場力作用下運動，取 P 點電勢為零，在
該點電荷從 P 點運動到 O 點過程中，速度隨時間、電勢能隨運動位移的關系可能正確的是（　　）
A． B． C． D．
【變式 8-2】（多）在 x 軸上 O、P 兩點分別放置電荷量為 q1、 q2的點電荷，一個帶負電的試探電荷在兩電
荷連線上的電勢能Ep 隨 x 變化關系如圖所示，其中 A、B 兩點電勢能為零，BD 段中 C 點電勢能最大，則下
列說法中正確的是（ ）
A． q1是負電荷， q2是正電荷
B．B、C 間場強方向沿 x 軸正方向
C．C 點的電場強度大于 A 點的電場強度
D．將一個正點電荷從 B 點移到 D 點，電場力先做負功后做正功
【變式 8-3】（2024·廈門三模）（多）一帶正電的金屬板和一帶負電的放電極形成電場，電場線分布如圖
所示。一電子從 M 沿直線運動到 N，以放電極為原點，以 MN 方向為正方向建立 x 軸。該過程中，電場強
度大小 E、電子的加速度大小 a、電勢j 、電勢能Ep 隨 x 變化的圖像可能正確的是（　　）
A． B． C． D．

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