資源簡介

考點 31 用單擺測量重力加速度的大小
1. 高考真題考點分布
題型 考點考查 考題統(tǒng)計
實驗題 用單擺測量重力加速度的大小 2024 年廣西卷
實驗題 用單擺測量重力加速度的大小 2023 年河北卷、重慶卷、全國新課標(biāo)卷
2. 命題規(guī)律及備考策略
【命題規(guī)律】各地高考對用單擺測量重力加速度的大小這個實驗考查近幾年頻度不是太高，考查難度不大。
【備考策略】
1.理解和掌握用單擺測量重力加速度的大小實驗原理，并會做出必要的誤差分析。
2.能夠在原型實驗基礎(chǔ)上，通過對實驗的改進或者創(chuàng)新，做出同類探究。
【命題預(yù)測】重點關(guān)注通過創(chuàng)新實驗實現(xiàn)用單擺測量重力加速度的大小。
1．實驗?zāi)康?br/>(1)練習(xí)使用停表和刻度尺。
(2)探究影響單擺運動周期的因素。
(3)學(xué)會用單擺測定當(dāng)?shù)刂亓铀俣取?br/>2．實驗原理
l 4π2l
當(dāng)擺角很小時，單擺做簡諧運動，其運動周期為 T＝2π ，由此得到 g＝ ，因此，只要測出擺長 l 和單
g T2
擺的周期 T，就可以求出當(dāng)?shù)氐闹亓铀俣?g 的值。
3．實驗器材
單擺、游標(biāo)卡尺、毫米刻度尺、停表。
4．實驗過程
(1)在細線的一端打一個比小球上的孔徑稍大一些的結(jié)，將細線穿過球上的小孔，并把細繩上端固定在鐵架
臺上，制成單擺。
(2)將鐵夾固定在鐵架臺上端，鐵架臺放在實驗桌邊，使鐵夾伸到桌面以外，讓擺球自然下垂，在單擺平衡
位置處做上標(biāo)記，如圖所示。
(3)用毫米刻度尺量出擺線長度 l′，用游標(biāo)卡尺測出金屬小球的直徑，即得出金屬小球半徑 r，計算出擺長 l＝
l′＋r。
(4)把單擺從平衡位置處拉開一個很小的角度(不超過 5°)，然后放開金屬小球，讓金屬小球擺動，待擺動平
穩(wěn)后測出單擺完成 30～50 次全振動所用的時間 t，計算出單擺的振動周期 T。
(5)根據(jù)單擺周期公式，計算當(dāng)?shù)氐闹亓铀俣取?br/>(6)改變擺長，重做幾次實驗。
5．?dāng)?shù)據(jù)處理
t 4π2l
(1)公式法：利用 T＝ 求出周期，算出三次測得的周期的平均值，然后利用公式 g＝ 求重力加速度。
N T2
g
(2)圖像法：根據(jù)測出的一系列擺長 l 對應(yīng)的周期 T，作 lT2 的圖像，由單擺周期公式得 l＝ T2，圖像應(yīng)是
4π2
一條通過原點的直線，如圖所示，求出圖線的斜率 k，即可利用 g＝4π2k 求重力加速度。
6．誤差分析
產(chǎn)生原因 減小方法
測量時間(單擺周期)及擺長時 ①多次測量求平均值
偶然誤差
產(chǎn)生誤差 ②從擺球經(jīng)過平衡位置時開始計時
①擺球要選體積小，密度大的
系統(tǒng)誤差 主要來源于單擺模型本身
②最大擺角要小于 5°
7．注意事項
(1)懸線頂端不能晃動，需用夾子夾住，保證懸點固定。
(2)單擺必須在同一平面內(nèi)振動，且擺角小于 5°。
(3)選擇在擺球擺到平衡位置處時開始計時，并數(shù)準(zhǔn)全振動的次數(shù)。
(4)小球自然下垂時，用毫米刻度尺量出懸線長 l′，用游標(biāo)卡尺測量小球的直徑，然后算出擺球的半徑 r，則
擺長 l＝l′＋r。
(5)一般選用 1 m 左右的細線。
考點一 教材原型實驗
考向 1 實驗原理與操作
1．某同學(xué)用單擺周期公式測當(dāng)?shù)刂亓铀俣鹊闹担M裝了幾種實驗裝置。
(1)下列最合理的裝置是________。
A． B． C． D．
(2)用游標(biāo)卡尺測量小球直徑，示數(shù)如圖甲所示，則擺球的直徑 d = mm。周期公式中的 l 是單擺的擺
長，其值等于擺線長與 之和（用 d 表示）。
(3)實驗中多次改變擺線長度，并測得對應(yīng)的周期 T，該同學(xué)誤將擺線長度當(dāng)成了擺長，作出T 2 - l 圖像如
1 4p 2 g
圖乙，該圖像的斜率為 （填“ g ”“ ”或“ 2 ”）。g 4p
d 4p 2
【答案】(1)D(2) 21.25 (3)
2 g
【詳解】（1）為了減小誤差，小球應(yīng)選取質(zhì)量大體積小即密度大的鐵球，還需要保證擺動過程中擺線的長
度不變，應(yīng)選用細絲線，且要保證擺動過程中擺點不發(fā)生移動固定，應(yīng)采取鐵夾夾住細絲線。故選 D。
（2）[1]由圖甲可知，擺球的直徑 d = 21mm + 5 0.05mm = 21.25mm [2]周期公式中的 l 是單擺的擺長，其值
d
等于擺線長與小球半徑，即 。
2
T 2p l + r 4p
2 4p 2r
（3）根據(jù)題意，由單擺的周期公式可得 = 2整理可得T = l + 則圖像
g T
2 - l 的斜率為
g g
4p 2
。
g
2．某實驗小組的同學(xué)用如圖所示的裝置做“用單擺測量重力加速度”的實驗。
(1)實驗室有如下器材可供選用：鐵架臺、足夠長的細線、夾子、球心開有小孔的鐵球和塑料球、游標(biāo)卡
尺、1m 長的毫米刻度尺和秒表。
上述器材中，實驗中不需要的是： ；
(2)在挑選合適的器材后開始實驗，操作步驟如下：
①用細線和擺球制作一個單擺，然后將細線纏繞在支柱上，使擺球自由下垂，擺球靜止后用米尺測量細線
懸點到擺球上邊緣的距離 L，然后用游標(biāo)卡尺測出小球的直徑 d = cm，如圖乙所示；
②將擺球從平衡位置拉開一個角度（小于 5°）后靜止釋放；
③待小球擺動穩(wěn)定后，記錄下小球第 1 次至第 51 次通過最低點的時間間隔 t = 37.5s ，得到單擺的振動周
期T = s；
④多次改變距離 L，重復(fù)上述實驗，得到一系列的周期測量值；
(3)以T 2 為橫軸、L 為縱軸，做出 L -T 2 圖像，如圖丙所示。已知圖像與橫軸的截距為 a、與縱軸的截距為-
b，則測量出的重力加速度 g = ；（用 a、b 和 π表示）
(4)在①~④的實驗操作中，有一處操作不當(dāng)，請你指出是哪個步驟 （填步驟前的序號）。
2
【答案】(1)球心開有小孔的塑料球(2) 1.64 1.5(3) 4bp (4)①
a
【詳解】（1）為減小空氣阻力對實驗的應(yīng)用，應(yīng)選用球心開有小孔的鐵球，故實驗中不需要的是球心開有
小孔的塑料球。
（2）[1]小球的直徑 d =16mm + 4 0.1mm =16.4mm =1.64cm
t 37.5
[2]小球第 1 次至第 51 次通過最低點的時間間隔為 25 個單擺周期，故單擺的振動周期T = = s=1.5s
25 25
d l
（3）細線懸點到擺球上邊緣的距離 L，則單擺擺長 l = L + 又根據(jù)單擺周期公式T = 2p 綜合解得
2 g
L g= 2 T
2 d b g- 又 L -T 2 圖像與橫軸的截距為 a、與縱軸的截距為-b，則 L -T 2 圖像斜率 k = = 解得4p 2 a 4p 2
2
g 4bp=
a
（4）實驗操作①中有一處操作不當(dāng)，用細線和擺球制作一個單擺，然后將細線纏繞在支柱上，單擺擺動
過程中，懸點不固定，擺長會發(fā)生變化，影響實驗結(jié)果。
考向 2 數(shù)據(jù)處理與誤差分析
3．某同學(xué)在“用單擺測定重力加速度”的實驗中
(1)該同學(xué)用游標(biāo)卡尺測得單擺小球的直徑為 cm；同學(xué)用秒表記錄的時間如圖所示，則秒表的示
數(shù)為 s；
(2)該同學(xué)又想出另一個辦法測重力加速度，他測出多組擺線長 L 與周期 T 的數(shù)據(jù)，根據(jù)實驗數(shù)據(jù)，作出了
T 2 - L的關(guān)系圖像，如圖所示，根據(jù)圖中數(shù)據(jù)，重力加速度為 m/s2（取p 2 = 9.86，結(jié)果保留三位
有效數(shù)字）
(3)如果該同學(xué)測得的 g 值偏大，可能的原因是___________
A．測擺線長時擺線拉得過緊
B．開始計時時，秒表按下稍晚
C．實驗中將 51 次全振動誤記為 50 次
D．?dāng)[線上端未牢固地系于懸點，振動中出現(xiàn)松動，使擺線長度增加了
【答案】(1) 1.070 96.8(2)9.86(3)AB
【詳解】（1）[1]該同學(xué)用游標(biāo)卡尺測得單擺小球的直徑為 d =10mm +14 0.05mm =10.70mm =1.070cm
[2]秒表的示數(shù)為 t =1min+ 36.8s = 96.8s
T 2p L
2
2 4p 4π2 4
（2）根據(jù)單擺周期公式 = 可得T = L所以，斜率為 k = = 解得 g = 9.86m/s2
g g g 0.99 -（- 0.01）
L 2
（3）AD．根據(jù)單擺周期公式T = 2p 4π L可得 g = 2 g 值偏大的原因可能是測擺線長時擺線拉得過緊，擺g T
4p 2Ln2
長測量值偏大，故 A 正確，D 錯誤；BC．設(shè)測量時間為 t，全振動次數(shù)為 n，則有 g = g 值偏大的原
t 2
因可能是開始計時時，秒表過遲按表或多記錄了全振動次數(shù)，故 B 正確，C 錯誤。故選 AB。
4．小明和小華用如圖甲所示的裝置做“用單擺測定重力加速度”的實驗。
(1)將單擺正確懸掛后進行如下操作，其中正確的是__________。
A．測量擺線長時用手將擺線沿豎直方向拉緊
B．實驗所用小球的質(zhì)量要盡量大，體積要盡量小
C．在擺球經(jīng)過平衡位置時開始計時
D．用秒表測量單擺完成 1 次全振動所用時間并作為單擺的周期
(2)小明根據(jù)測量擺線的長度 l 和對應(yīng)的周期 T，得到多組數(shù)據(jù)，作出了 l -T 2圖像，如圖乙所示。他認為根
4p 2b
據(jù)圖線可求得重力加速度 g = ，若不計空氣阻力和測量值的偶然誤差，則從理論上分析，他求得的
a2 - a1
重力加速度 g 真實值（選填“大于”“等于”或“小于”）。
(3)小華在實驗室發(fā)現(xiàn)單擺的擺角遠大于 5°，老師告訴他單擺在最大擺角q 較大時周期公式近似為
T = 2π 1 1+ sin
2 q l
÷ 。他測出擺長為 l 的同一單擺在不同最大擺角q 時的周期 T，并根據(jù)實驗數(shù)據(jù)描繪
è 4 2 g
出如圖丙所示的圖線。設(shè)圖線延長后與橫軸交點的坐標(biāo)為 b，則重力加速度的測量值 g = （用題
中所給字母 π、l、b 表示）。
2
【答案】(1)BC(2)等于(3) 4π l
b2
【詳解】（1）A．測量擺線長時用手將擺線沿豎直方向拉緊，擺長測量值偏大，故 A 錯誤；
B．為減小空氣阻力的影響，實驗所用小球的質(zhì)量要盡量大，體積要盡量小，故 B 正確；
C．在擺球經(jīng)過平衡位置時開始計時，速度最大，誤差最小，故 C 正確；
D．用秒表測量單擺完成 1 次全振動所用時間并作為單擺的周期，誤差較大，應(yīng)多次測量取平均值，故 D
錯誤。故選 BC。
（2）根據(jù)T = 2π l + r
g 2
g ，解得 l = 2 T - r 則出現(xiàn)圖線不過原點的原因是將擺線長當(dāng)做了單擺的擺長；由4π
g b 4π2b
圖像可知 4π2
=
a - a 解得
g = 可知他求得的重力加速度 g 等于真實值。
2 1 a2 - a1
1 q l
（3 q 2 ）單擺在最大擺角 較大時周期公式近似為T = 2π 1+ sin ÷ 根據(jù)單擺周期 T 和最大擺角q 的關(guān)
è 4 2 g
2
系圖，則 sin2 q 2 gT 4 b 0 2b g 4 g 4π l= - 該圖線延長后與橫軸交點的坐標(biāo)為 ，即 = - 解得 =
2 π l π l b2
考點二 創(chuàng)新實驗方案
考向 1 實驗原理的改進
5．重力加速度參數(shù)廣泛應(yīng)用于地球物理、空間科學(xué)、航空航天等領(lǐng)域．高精度的重力加速度值的測量對
重力場模型建立與完善、自然災(zāi)害預(yù)警、礦物勘探、大地水準(zhǔn)面繪制等領(lǐng)域有著重要的作用。某同學(xué)在“用
單擺周期公式測量重力加速度”的實驗中，利用了智能手機和兩個相同的圓柱體小磁粒進行了如下實驗：
（1）用鐵夾將擺線上端固定在鐵架臺上，將兩個小磁粒的圓柱底面吸在一起，細線夾在兩個小磁粒中
間，做成圖（a）所示的單擺；
（2）用刻度尺測量懸線的長度，用游標(biāo)卡尺測得小磁粒的底面直徑如圖 d＝ cm；算出擺長 L；
（3）將智能手機磁傳感器置于小磁粒平衡位置正下方，打開手機智能磁傳感器，測量磁感應(yīng)強度的變
化；
（4）將小磁粒由平衡位置拉開一個小角度，由靜止釋放，手機軟件記錄磁感應(yīng)強度的變化曲線如圖（b）
所示。試回答下列問題：
①由圖（b）可知，單擺的周期為 ；
②改變擺線長度 l，重復(fù)實驗操作，得到多組數(shù)據(jù)，畫出對應(yīng)的 2 的圖像，算出圖像的斜率為 k，則重力
加速度 g 的表達式為 。（用題中物理量的符號表示）
（5）某同學(xué)在家里做實驗時沒有找到規(guī)則的小磁鐵，于是他在細線上的某點 A 做了一個標(biāo)記，實驗中保
持標(biāo)記 A 點以下細線長度不變，通過改變懸點 O、A 間細線長度改變擺長。實驗中，測得懸點 O 到 A 點的
距離為 L1時對應(yīng)的周期為T1，懸點 O 到 A 點的距離為 L2時對應(yīng)的周期為T2，由此可測得當(dāng)?shù)氐闹亓铀?br/>度 g = （用 L1、 L2、T1、T2表示）。
4p 2 4p 2 L1 - L2
【答案】 1.14 2t0
k T 21 -T
2
2
【詳解】（2）[1] 小磁粒的底面直徑 d =11mm + 4 0.1mm =11.4mm =1.14cm
（4）①[2]根據(jù)單擺的運動規(guī)律一個周期內(nèi)應(yīng)該有兩個電磁感應(yīng)的最大值。由圖可得出，單擺的周期為
2t0 。
l d+ 4p 2 2p 2d 4p 2 4p 2②[3] 2根據(jù)T = 2p 2 可得T = l + 所以T
2 為縱坐標(biāo)，此時斜率 k = 得 g =
g g g g k
L + l L + l 4p 2 L - L
（5）[4] A 1 2設(shè) 到小磁粒重心距離為 l0 ，根據(jù)T 1 0 2 01 = 2p ，T = 2p 聯(lián)立解得 g =g 2 g T 21 -T
2
2
6．某實驗小組利用圖甲所示裝置測量當(dāng)?shù)刂亓铀俣取］p繩一端系住直徑為 d 的小球，另一端固定在鐵
架臺上O點，已知O點到小球球心的距離為 l，在O點正下方固定一個光電門，小球運動至最低點時光電
門能夠記錄下小球的遮光時間。實驗時，將小球拉起至輕繩和豎直方向夾角為q ，由靜止釋放小球，小球
擺至最低點時光電門光線正好射向小球球心，小球的遮光寬度可近似為d ，光電門記錄小球的遮光時間為
Dt ，試回答以下問題：
(1)用游標(biāo)卡尺測量小球的直徑如圖乙所示，則小球的直徑 d = mm；
(2)小球從釋放位置運動至最低點時的速度為v = ；（用題中相關(guān)物理量的字母表示）
1
(3)多次改變q 的數(shù)值，重復(fù)以上實驗過程并測量對應(yīng)的Dt ，得到 2 隨 cosq 變化的關(guān)系如圖丙所示，該（Dt）
圖線斜率的絕對值為 k ，可計算得重力加速度 g = 。 （用 k 、 l和d 表示）
d kd 2
【答案】(1)8.10(2) (3)
Dt 2l
【詳解】（1）由圖示游標(biāo)卡尺可知，其精確度為 0.05mm，所以小球直徑為 d = 8mm + 0.05 2mm = 8.10mm
d
（2）小球從釋放位置運動至最低點時的速度為 v =
Dt
1 1 2gl 2gl
（3）由動能定理mgl 1- cosq = mv2 可得 2 = 2 - 2 cosq 圖丙中圖線斜率的絕對值為 k，則可得2 Dt d d
k 2gl
2
= kd
d 2
可得 g =
2l
考向 2 實驗器材的創(chuàng)新
7．某同學(xué)利用雙線擺和光電計數(shù)器測量當(dāng)?shù)氐闹亓铀俣取嶒炑b置如圖甲所示，已知每根懸線長為 d，
兩懸點間相距 2s，金屬小球半徑為 r，圖中小球兩側(cè)為光電計數(shù)器。請回答下列問題：
(1)如圖甲所示的雙線擺能夠穩(wěn)定的在 （填“平行”或“垂直”）紙面的豎直平面內(nèi)穩(wěn)定的擺動。
(2)等效擺長 L = （用題目中的物理量符號表達）；
(3)如圖乙是用游標(biāo)卡尺測量小球的直徑則小球的直徑是 cm；
(4)根據(jù)實驗中測得的數(shù)據(jù)，畫出T 2 - L圖象如圖丙所示，取p = 3.14，根據(jù)圖象，可求得當(dāng)?shù)氐闹亓铀俣?br/>大小為 m/s2 （保留三位有效數(shù)字）；
【答案】(1)垂直(2) d 2 - s2 + r (3)1.54(4)9.86
【詳解】（1）由受力分析可知，如圖所示的雙線擺能夠穩(wěn)定的在垂直紙面的豎直平面內(nèi)穩(wěn)定擺動。
（2）擺長等于擺線的有效長度與小球的半徑之和，即等效擺長為 L = d 2 - s2 + r
（3）小球的直徑為 d =15mm + 4 0.1mm =15.4mm =1.54cm
L 2
4 2
4p
（ ）根據(jù)單擺的周期公式T = 2p 可得T = L由圖像可得，T 2 - L圖像的斜率
g g
4p 2k 4.8 - 3.2= = -2 解得當(dāng)?shù)氐闹亓铀俣却笮?g 9.86m/s
2
g (120 -80) 10
8．某同學(xué)通過實驗探究單擺周期與等效重力加速度定量關(guān)系，實驗裝置如圖（a）所示，鋼球、細線和輕
桿組成一個“桿線擺”，桿線擺可以繞著懸掛軸OO 來回擺動，其擺球的運動軌跡被約束在一個傾斜的平面
內(nèi)，這相當(dāng)于單擺在斜面上來回擺動，但避免了擺球在真實斜面上運動時所受的摩擦力。測量該傾斜平面
的傾角q ，能求出等效重力加速度 a 的大小，測量不同傾角下的單擺周期 T，便能檢驗 T 與 a 的定量關(guān)
系。已知重力加速度的大小為 g，將下列實驗補充完整：
（1）斜面傾角q 的測量。如圖（b），鐵架臺上裝一根鉛垂線。在鐵架臺的立柱跟鉛垂線平行的情況下把桿
線擺裝在立柱上，調(diào)節(jié)擺線的長度，使擺桿與立柱垂直，則此時擺桿是水平的。把鐵架臺底座一側(cè)墊高如
圖（c），立柱傾斜，繞立柱擺動的鋼球?qū)嶋H上是在傾斜平面上運動。測出靜止時擺桿與鉛垂線的夾角為
b ，則該傾斜平面與水平面的夾角q = 90° - b 。則等效重力加速度的大小a = （用 g、b 表示）；
（2）單擺周期 T 的測量。在圖（c）的情況下，盡量減小擺桿與立柱之間的摩擦，使該擺能較長時間繞立
柱自由擺動而不停下來。讓單擺做小角度下的振動，用停表測量單擺完成 20 個全振動所用的時間 t，則單
擺周期T = （用 t 表示）。同樣的操作進行三次，取平均值作為該周期的測量值；
在保持擺長一定的情況下，改變鐵架臺的傾斜程度，測出多組不同傾斜程度下q 的值及在該傾角下單擺的
1
周期 T 后，根據(jù)實驗數(shù)據(jù)繪制T - 圖像是一條過坐標(biāo)原點的傾斜直線，由此得出的結(jié)論
a
是 。
t
【答案】 gcosb 在擺長一定的情況下，單擺的周期與等效重力加速度的平方根成反
20
1
比，即T
a
【詳解】（1）[1]將重力分解為沿桿和垂直桿，可知，等效重力F = mg sinq 等效重力加速度的大小
a F= = g sinq = g cos b
m
t
（2）[2][3]單擺完成 20 個全振動所用的時間 t，則單擺周期T = 根據(jù)題圖可知等效重力加速度為
20
1
a=gsinθ T 2p L 2p L則根據(jù)單擺周期公式有 = = 繪制T - 圖像是一條過坐標(biāo)原點的傾斜直線，所以在
a a a
1
擺長一定的情況下，單擺的周期與等效重力加速度的平方根成反比，即T 。
a
9．在“用單擺測量重力加速度”的實驗中：
(1)為了較精確地測量重力加速度的值，以下三種單擺組裝方式最合理的是__________；
A． B． C．
(2)在擺球自然下垂的狀態(tài)下，用毫米刻度尺測得擺線長度為 l；用游標(biāo)卡尺測量擺球的直徑d ，示數(shù)如圖
甲所示，則 d = mm；
(3)將小球從平衡位置拉開一個小角度靜止釋放，使其在豎直面內(nèi)振動。待振動穩(wěn)定后，從小球經(jīng)過平衡位
置時開始計時，測量 N 次全振動的時間為 t ，由本次實驗數(shù)據(jù)可求得 g = （用 l、d 、 N 、 t 表
示）；
(4)若某次實驗測得 g 數(shù)值比當(dāng)?shù)毓J值大，原因可能是__________；
A．開始計時時，過早按下秒表
B．實驗時誤將 49 次全振動記為 50 次
C．?dāng)[線上端懸點未固定，振動中出現(xiàn)松動，擺線長度增加
(5)改變擺線長度 l，重復(fù)實驗，測得每次實驗時單擺的振動周期T ，作出T 2 - l 圖像為圖乙中的
（選填“ a ”“ b ”或“ c ”）。
4p 2 l d+ N 2
【答案】(1)C(2)16.3(3) 2 ÷è (4)B(5)a
t 2
【詳解】（1）擺球應(yīng)該選擇密度大的小鋼球，為了防止在實驗過程由于擺球的擺動導(dǎo)致擺長發(fā)生改變，懸
點要固定。故選 C。
（2）由圖甲，有擺球的直徑為 d =16mm + 3 0.1mm =16.3mm
t L d 4p 2 l d+ N 2
（3）由題意有小球單擺周期T = 由單擺周期公式T = 2p 其中 L = l + 得
N g 2 g = è 2
÷

t 2
（4）A．開始計時時，過早按下秒表，導(dǎo)致周期偏大，實驗測得 g 數(shù)值應(yīng)偏小，故 A 錯誤；
B．實驗時誤將 49 次全振動記為 50 次，導(dǎo)致周期偏小，實驗測得 g 數(shù)值應(yīng)偏大，故 B 正確；
C．?dāng)[線上端懸點未固定，振動中出現(xiàn)松動，擺線長度增加，但我們還是利用測量值來計算，所以實驗測
得 g 數(shù)值應(yīng)偏小，故 C 錯誤。
故選 B。
2 4p 2 2p 2d
（5）由上述分析可得T = l + 所以T 2 - l 圖線應(yīng)該為圖線 a。
g g
10．某實驗小組要測量當(dāng)?shù)氐闹亓铀俣取Ｓ捎跊]有擺球，小組成員找到了一塊外形不規(guī)則的小金屬掛件
代替擺球做了一個如圖所示的單擺。
(1)用刻度尺測量懸線的長 L1，將掛件拉開一個不大于5o的角度后釋放，用秒表測出 30 次全振動的總時間
t = 54.6s，則掛件振動的周期T1 = s。
(2)改變懸線的長，并測出懸線長 L2，重復(fù)（1）實驗，測出掛件振動的周期為T2，則當(dāng)?shù)氐闹亓铀俣葹?br/>g = （用 L1、 L2、T1、T2表示）。
(3)若多次改變懸線的長度重復(fù)實驗，測得每次實驗時懸線的長 L 及對應(yīng)的掛件振動的周期 T，作T 2 - L圖
像，得到的圖像是一條 （填“過原點”或“不過原點”）的傾斜直線，若圖像的斜率為 k，則當(dāng)?shù)氐闹?br/>力加速度為 g = 。
4p 2 L1 - L 22
【答案】(1)1.82(2) 2 2 (3) 不過原點
4p
T1 -T2 k
T t 54.6【詳解】（1）掛件振動的周期 1 = = s =1.82sn 30
L + r L + r L + r
（2）設(shè)擺線末端與小擺件重心間的距離為 r，根據(jù)T = 2p 可得T1 = 2p 1 ，T2 = 2p 2 聯(lián)g g g
4p 2 L1 - L 2 2g = 2 L + r3 [1] T = 2p 2 4p 4p立，解得 2 2 （ ） 由 整理，可得T = L + r 可知作T 2 - L圖像，得到T1 -T2 g g g
的圖像是一條不過原點的傾斜直線。
2 2
[2]圖像的斜率為 k
4p
= 4p則當(dāng)?shù)氐闹亓铀俣葹?g = 。
g k
11．某實驗小組利用單擺測量當(dāng)?shù)氐闹亓铀俣龋O(shè)計了如圖（a）所示的裝置：
①在O點安裝力傳感器并與細線的一個端點固定，細線另一端系一個小球 A；
②在O 點懸掛體積與A 相同的小球 B，調(diào)節(jié)連接 B 球的細線長度，使兩擺線的長度均為 L，兩細線保持自
然下垂且平行，A、B 兩球恰好接觸；
③將小球 A 小角度拉至同一豎直面內(nèi)的 C 點由靜止釋放，運動到最低點與 B 球發(fā)生對心正碰（A、B 每次
碰撞均為彈性碰撞，碰撞時間極短可忽略不計），不計空氣阻力。
(1)用 10 分度的游標(biāo)卡尺測量小球A 的直徑 d，游標(biāo)卡尺的示數(shù)如圖（b）所示，讀出 d = mm；
(2) A 、B球質(zhì)量分布均勻，碰撞時，要發(fā)生速度交換，則mA mB （選填“>”“=”或“<”）；
(3)在滿足（2）的條件下，得到的圖（c）是與拉力傳感器連接的計算機屏幕所顯示的F - t 圖像，根據(jù)圖像
可知擺球A 的運動周期T = ，測得重力加速度 g = （用 L、d、 t0 表示）。
p 2 (L d+ )
【答案】(1)17.6(2)=(3) 4t0 2
4t 20
【詳解】（1）游標(biāo)卡尺的示數(shù)為 d =17mm + 6 0.1mm =17.6mm
1 1 1
（2 2 2 2）根據(jù)兩球碰撞過程動量守恒、動能守恒，可得mAv0 = mAvA + mBvB ， mAv0 = mAvA + mBvB 解得2 2 2
v mA - mB 2mAA = v0， vB = vm + m m + m 0當(dāng)
mA = mB 時，碰撞時，要發(fā)生速度交換。
A B A B
（3）[1]由圖（c）可知 F 的變化周期為 4t0，則擺球A 的運動周期也是 4t0 。
L d+ p 2 (L
d
+ )
[2]根據(jù)T = 4t0 = 2p 2
解得 g = 2
g 4t 20
12．某研究小組用圖 1 所示的裝置進行“用單擺測量重力加速度”的實驗。
(1)用游標(biāo)卡尺測量擺球直徑，如圖 2 所示，則擺球的直徑 d = mm。
(2)甲同學(xué)測得擺長為 l，記錄下擺球 n 次全振動的時間為 t，可以測得重力加速度 g = （用 l、n、t、
π表示）。
(3)為提高測量準(zhǔn)確度，乙同學(xué)多次改變單擺的擺長 l 并測得相應(yīng)的周期 T，他根據(jù)測量數(shù)據(jù)畫出如圖 3 所
2 2
示的T 2 - l 圖像，根據(jù)圖線上任意兩點 A、B 的坐標(biāo) l1,T1 、 l2，T2 ，可求得重力加速度 g = （用
l1、T1、 l2、T2、 π表示）；該圖像不過原點的原因可能是 。
A．測周期時，將 49 次全振動記為 50 次
B．測周期時，將 50 次全振動記為 49 次
C．測擺長時，直接將懸點到小球上端的距離記為擺長
D．測擺長時，直接將懸點到小球下端的距離記為擺長
(4)丙同學(xué)為了研究“單擺做簡諧運動的周期與重力加速度的定量關(guān)系”，在伽利略用斜面“沖淡”重力思想的
啟發(fā)下，創(chuàng)設(shè)了“重力加速度”可以人為調(diào)節(jié)的實驗環(huán)境：如圖 4 所示，在水平地面上固定一傾角q 可調(diào)的
光滑斜面，把擺線固定于斜面上的 O 點，使擺線平行于斜面。拉開擺球至 A 點，靜止釋放后，擺球在
ABC 之間做簡諧運動，測得擺角為a 、擺球的擺動周期為 T。多次改變斜面的傾角q ，重復(fù)實驗，記錄
q 、a 和 T，為了能方便準(zhǔn)確地利用圖像處理數(shù)據(jù)進而獲得結(jié)論，應(yīng)繪制 圖像（寫出圖像的縱坐標(biāo)—
橫坐標(biāo)）。
2 2 4p 2 (l - l ) 1
【答案】(1)10.6(2) 4p n l2 (3)
2 1 C(4)T 2 -
t T 2 - T 22 1 sinq
【詳解】（1）10 分度的游標(biāo)卡尺精度為 0.1mm，則擺球的直徑為 d =10mm + 6 0.1mm =10.6mm
t l
（2）擺球 n 次全振動的時間為 t，則周期為T = 由單擺的周期公式T = 2p 聯(lián)立解得重力加速度為
n g
4p 2n2g l=
t 2
l 4p 2 4p 2 T 2 -T 2
（3）[1]根據(jù)單擺的周期公式T = 2p 2可得T = × l 則T 2 - l 圖像的斜率為 k = = 2 1 求得重力g g g l2 - l1
4p 2g (l2 - l加速度為 = 1
)
T 22 -T
2
1
[2] A．測周期時，將 49 次全振動記為 50 次，則周期的測量值偏小，導(dǎo)致重力加速度的測量值偏大，但
T 2 - l 依然過坐標(biāo)原點，故 A 錯誤；
B．測周期時，將 50 次全振動記為 49 次，則周期的測量值偏大，導(dǎo)致重力加速度的測量值偏小，但T 2 - l
依然過坐標(biāo)原點，故 B 錯誤；
4p 22 dC．測擺長時，直接將懸點到小球上端的距離記為擺長，擺長的測量少了小球的半徑，有T = × (l + )
g 2
則T 2 - l 圖像不過原點，有正的縱截距，故 C 正確；
2
D 2
4p d
．測擺長時，直接將懸點到小球下端的距離記為擺長，擺長的測量多了小球的半徑，有T = × (l - )
g 2
則T 2 - l 圖像不過原點，有負的縱截距，故 D 錯誤。故選 C。
l
（4）根據(jù)單擺的原理可知，等效重力加速度為 g = g sin q ，與擺角a 無關(guān)，則有T = 2p 變形可得
g sinq
4p 2T 2 l 1 1= × 2則為了能方便準(zhǔn)確地利用圖像處理數(shù)據(jù)進而測出重力加速度，應(yīng)繪制T - 圖像，利用
g sinq sinq
斜率求出。
13．某同學(xué)利用如圖甲所示裝置測量重力加速度 g。一根輕繩一端連接固定的拉力傳感器，另端連接一小
鋼球，如圖甲所示。拉起小鋼球至某一位置由靜止釋放，使小鋼球在豎直平面內(nèi)擺動記錄鋼球擺動過程中
拉力傳感器示數(shù)的最大值Tmax 和最小值Tmin。改變小鋼球的初始釋放位置，重復(fù)上述過程。根據(jù)測量數(shù)據(jù)在
直角坐標(biāo)系中繪制的Tmax -Tmin 圖像是一條直線，如圖乙所示：
(1)拉力傳感器示數(shù)的最大值Tmax 、最小值Tmin、小球質(zhì)量 m 以及重力加速度 g 的關(guān)系為Tmax = 。
(2)若小球質(zhì)量m = 60g ，由圖乙可得重力加速度 g 的數(shù)值為 m/s2 （結(jié)果保留三位有效數(shù)字）。
(3)由圖乙可得Tmax -Tmin 圖像直線的斜率與理論值之差的絕對值為 （結(jié)果保留一位小數(shù)），導(dǎo)致該差值
的主要因素為 。
【答案】(1) -2Tmin + 3mg (2)9.83(3) 0.1 小鋼球擺動過程中有空氣阻力
【詳解】（1）小鋼球由靜止釋放時，細線與豎直方向夾角為q ，細線拉力最小，此時Tmin = mgcosq 小球由
靜止運動到最低點的過程，根據(jù)動能定理有mgl 1- cosq 1= mv2 小球運動到最低點時細線拉力最大，則
2
v2Tmax - mg = m 聯(lián)立可得T = -2Tl max min
+ 3mg
（2）由圖乙得直線的縱截距為3mg =1.77
1.77 2
解得重力加速度 g = = 9.83m / s
3m
1.77 -1.35
（3）[1]由圖乙得直線的斜率為 k = - = -2.1該斜率的理論值為-2.0，兩者的差值為-0.1，絕對值
0.2
為0.1。
[2]導(dǎo)致該差值的主要因素為小鋼球擺動過程中有空氣阻力。
14．某同學(xué)做“用單擺測定重力加速度”的實驗。
(1)如圖甲所示，該同學(xué)用游標(biāo)卡尺測得單擺小球的直徑為 cm；同學(xué)用秒表記錄的時間如圖乙所
示，則秒表的示數(shù)為 s。
(2)①如果某同學(xué)在實驗時，用的擺球質(zhì)量分布不均勻，無法確定其重心位置。他第一次量得懸線長為 L1
（不計擺球半徑），測得周期為 T1；第二次量得懸線長為 L2，測得周期為 T2.根據(jù)上述數(shù)據(jù)可求得 g 值
為 。
4p 2 L L 4p 2 L1 - L2 4p 2 L 21+L2 4p T 2 -T 2 A． 1 2 　B． 2 2 　C． 2 2 　D 1 2．T1T2 T1 -T2 T1 +T2 L1 - L2
②該同學(xué)又想出另一個辦法測量重力加速度，他測出多組擺線長 L 與周期 T 的數(shù)據(jù)，根據(jù)實驗數(shù)據(jù)，作
出了 T2-L 的關(guān)系圖像如圖丙所示，理論上 T2-L 是一條過坐標(biāo)原點的直線，根據(jù)圖中數(shù)據(jù)，可算出重力加
速度的值為 m/s2（取 π2=9.86，結(jié)果保留三位有效數(shù)字），僅考慮該數(shù)據(jù)處理方法，他得到的加速度
g 與真實值相比 （選填“偏大”“偏小”或“相同”）。
【答案】(1) 1.070 96.8(2) B 9.86 相同
【詳解】（1）[1][2]用游標(biāo)卡尺測得單擺小球的直徑為 d=1cm＋0.05mm×14=1.070cm 同學(xué)用秒表記錄的時間
為 t=1min＋36.8s=96.8s
L L + d L + d 4p 2 L - L
（2）①[1] T = 2p 1 2根據(jù) 可得T = 2p 1 ，T = 2p 2 得 g = 故選 B。
g 1 g 2 g T 21 -T
2
2
2 4p
2 4p 2 4.00
②[2][3]根據(jù) T = L 可得 k= = (99.0 1.00) 10-2 =4 解得 g=9.86m/s
2.僅考慮該數(shù)據(jù)處理方法，沒有系
g g +
統(tǒng)誤差，則他得到的加速度 g 與真實值相比相同。
15．在“單擺測重力加速度”的實驗中，某同學(xué)想到利用手機傳感器、小鐵球、小磁粒進行以下實驗：
①如圖 1（a）所示將小磁粒吸附在小鐵球正下方使小磁粒軸線與擺線共線，用鐵夾將擺線上端固定在鐵
架臺上，組裝完成的實驗裝置如圖 1（b）所示；
②用刻度尺測量擺線長度為 l，沒有測量小鐵球直徑和小磁粒的厚度；
③將手機磁傳感器置于小磁粒平衡位置正下方，利用磁傳感器測量磁感應(yīng)強度隨時間的變化；
④將帶有小磁粒的鐵球由平衡位置拉開一個小角度，由靜止釋放，運行手機軟件記錄磁感應(yīng)強度的變化曲
線如圖 2 所示。
試回答以下問題：
(1)由圖 2 可知，單擺的周期為 ；
(2)改變擺線長度 l，重復(fù)步驟②③④的操作，可以得到多組周期 T 和擺線長度 l 的值，以 （選填
1
“T ”“ ”或者“T 2 ”）為縱坐標(biāo)，l 為橫坐標(biāo)，描點作圖。若得到的圖像如圖 3 所示，圖像的斜率為 k，則重T
力加速度的測量值為 ；
(3)使用上述數(shù)據(jù)處理方法，在不考慮其他測量誤差的情況下，步驟②的操作對重力加速度的測量值
（選填“有”或“無”）影響。
2
【答案】(1) 2t0 (2) T 2
4p (3)無
k
【詳解】（1）根據(jù)單擺的運動規(guī)律可知，一個周期內(nèi)應(yīng)該有兩個電磁感應(yīng)的最大值；由圖 2 可知，單擺的
周期為T = 2t0
l + r
（2）[1][2]設(shè)擺線下端與小鐵球和小磁粒整體的重心距離為 r ，根據(jù)單擺周期公式可得T = 2p 可得
g
4p 2 4p 2T 2 r= l + 則以T 2 為縱坐標(biāo)，l 為橫坐標(biāo)，描點作圖；若得到的圖像如圖 3 所示，圖像的斜率為 k，g g
4p 2k = 4p
2
則有 可得重力加速度的測量值為 g =
g k
（3）使用上述數(shù)據(jù)處理方法，在不考慮其他測量誤差的情況下，步驟②的操作不影響T 2 - l 圖像的斜率，
所以對重力加速度的測量值無影響。
16．如圖（a）所示，某興趣小組用單擺測量重力加速度。選用的實驗器材有：智能手機、小球、細線、
鐵架臺、夾子、游標(biāo)卡尺、刻度尺等，實驗操作如下：
①用鐵夾將細線上端固定在鐵架臺上，將小球豎直懸掛；
②用刻度尺測出擺線的長度為 l，用游標(biāo)卡尺測出小球直徑為 d；
③將智能手機置于小球平衡位置的正下方，啟用 APP《手機物理工坊》“近距秒表”功能；
④將小球由平衡位置拉開一個角度（θ<5°），靜止釋放，軟件同時描繪出小球與手機間距離隨時間變化的
圖像，如圖（b）所示。請回答下列問題：
(1)根據(jù)圖（b）可知，單擺的周期 T= s。
(2)改變擺線長度 l，重復(fù)步驟②、③、④的操作，可以得到多組 T 和 l 的值，進一步描繪出如圖（c）的
1
圖像，則該圖像以 為橫坐標(biāo)（選填“ ”、“T”或“T2”） ， 若圖線的斜率為 k，則重力加速度的測
T
量值為 。（用所測量字母 l、d 或 T、θ、k 等進行表示）
【答案】(1)2(2) T 2 4p 2k
【詳解】（1）根據(jù)單擺的運動規(guī)律一個周期內(nèi)應(yīng)該有兩個小球與手機間距離的最小值。由圖（b）可得
出，單擺的周期為 T=2s
l d+ g d
（2）[1]根據(jù)T = 2p 2 可得 l = 2 T
2 - 結(jié)合圖（c）的圖像，可知則該圖像以T 2 為橫坐標(biāo)。
g 4p 2
k g[2]若圖線的斜率為 k，則 = 2 可知重力加速度的測量值為 g = 4p
2k
4p
9．（2024 年湖北高考真題）某同學(xué)設(shè)計了一個測量重力加速度大小 g 的實驗方案，所用器材有：2g 砝碼
若干、托盤 1 個、輕質(zhì)彈簧 1 根、米尺 1 把、光電門 1 個、數(shù)字計時器 1 臺等。
具體步驟如下：
①將彈簧豎直懸掛在固定支架上，彈簧下面掛上裝有遮光片的托盤，在托盤內(nèi)放入一個砝碼，如圖（a）
所示。
②用米尺測量平衡時彈簧的長度 l，并安裝光電門。
③將彈簧在彈性限度內(nèi)拉伸一定長度后釋放，使其在豎直方向振動。
④用數(shù)字計時器記錄 30 次全振動所用時間 t。
⑤逐次增加托盤內(nèi)砝碼的數(shù)量，重復(fù)②③④的操作。
M
該同學(xué)將振動系統(tǒng)理想化為彈簧振子。已知彈簧振子的振動周期T = 2p ，其中 k 為彈簧的勁度系數(shù)，
k
M 為振子的質(zhì)量。
(1)由步驟④，可知振動周期T = 。
(2)設(shè)彈簧的原長為 l0 ，則 l 與 g、 l0 、T 的關(guān)系式為 l = 。
(3)由實驗數(shù)據(jù)作出的 l -T 2圖線如圖（b）所示，可得 g = m/s2 （保留三位有效數(shù)字，p 2取 9.87）。
(4)本實驗的誤差來源包括_____（雙選，填標(biāo)號）。
A．空氣阻力
B．彈簧質(zhì)量不為零
C．光電門的位置稍微偏離托盤的平衡位置
t 2
【答案】(1) (2) l gT0 + (3) 9.592 (4)AB30 4p
t
【詳解】（1）30 次全振動所用時間 t，則振動周期T =
30
M kT 2
（2）彈簧振子的振動周期T = 2p 可得振子的質(zhì)量M = 振子平衡時，根據(jù)平衡條件Mg = kDl2 可得k 4p
2 2
Dl gT= 2 則 l 與 g、 l0 、T
gT
的關(guān)系式為 l = l0 + Dl = l +4p 0 4p 2
gT 2 g g 0.542 - 0.474
（3）根據(jù) l = l0 + 整理可得 l = l + ×T
2 則 2圖像斜率 k = = 解得 g 9.59m/s2
4p 2 0 4p 2 l -T 4p 2 0.58 - 0.3
（4）A．空氣阻力的存在會影響彈簧振子的振動周期，是實驗的誤差來源之一，故 A 正確；
B．根據(jù)彈簧振子周期公式可知，振子的質(zhì)量影響振子的周期，通過光電門測量出的周期T 為振子考慮彈
簧質(zhì)量的真實周期，而根據(jù)（3）問求出的 l -T 2的關(guān)系是不考慮彈簧質(zhì)量的關(guān)系式子，二者的中的T 是不
相等的，所以彈簧質(zhì)量不為零是誤差來源之一，故 B 正確；
C．利用光電門與數(shù)字計時器的組合測量周期的原理：根據(jù)簡諧運動的規(guī)律可知，只要從開始計時起，振
子的速度第二次與開始計時的速度相等即為一個周期，與是否在平衡位置無關(guān)，故 C 錯誤。
故選 AB。
10．（2024 年遼寧高考真題）圖（a）為一套半圓拱形七色彩虹積木示意圖，不同顏色的積木直徑不同。某
同學(xué)通過實驗探究這套積木小幅擺動時周期 T 與外徑 D 之間的關(guān)系。
(1)用刻度尺測量不同顏色積木的外徑 D，其中對藍色積木的某次測量如圖（b）所示，從圖中讀出D =
cm。
(2)將一塊積木靜置于硬質(zhì)水平桌面上，設(shè)置積木左端平衡位置的參考點 O，將積木的右端按下后釋放，如
圖（c）所示。當(dāng)積木左端某次與 O 點等高時記為第 0 次并開始計時，第 20 次時停止計時，這一過程中積
木擺動了 個周期。
(3)換用其他積木重復(fù)上述操作，測得多組數(shù)據(jù)。為了探究 T 與 D 之間的函數(shù)關(guān)系，可用它們的自然對數(shù)作
為橫、縱坐標(biāo)繪制圖像進行研究，數(shù)據(jù)如下表所示：
顏色 紅 橙 黃 綠 青 藍 紫
ln D 2.9392 2.7881 2.5953 2.4849 2.197 L 1.792
lnT -0.45 -0.53 -0.56 -0.65 -0.78 -0.92 -1.02
根據(jù)表中數(shù)據(jù)繪制出 lnT - ln D圖像如圖（d）所示，則 T 與 D 的近似關(guān)系為______。
A．T D B．T D2 C．T
1
D．T
1

D D2
(4)請寫出一條提高該實驗精度的改進措施： 。
【答案】(1)7.54/7.55/7.56(2)10(3)A(4)見解析
【詳解】（1）刻度尺的分度值為 0.1cm，需要估讀到分度值下一位，讀數(shù)為D = 7.55cm
（2）積木左端兩次經(jīng)過參考點 O 為一個周期，當(dāng)積木左端某次與 O 點等高時記為第 0 次并開始計時，之
后每計數(shù)一次，經(jīng)歷半個周期，可知，第 20 次時停止計時，這一過程中積木擺動了 10 個周期。
（3）由圖（d）可知， lnT 與 ln D成線性關(guān)系，根據(jù)圖像可知，直線經(jīng)過 2.80，- 0.5 與 1.80，-1.0 ，則有
1lnT - -1.0 -0.5 - -1.0 1 1
= = 0.5解得 lnT = 0.5ln D -1.9 2則有
ln D -1.80 2.80 -1.80 lnT = ln D
2 D- ln e1.9 = ln 解得T = 1.9 D 可
e1.9 e
知T D 故選 A。
（4）為了減小實驗誤差，提高該實驗精度的改進措施：用游標(biāo)卡尺測量外徑 D、換用更光滑的硬質(zhì)水平
桌面、通過測量 40 次或 60 次左端與 O 點等高所用時間來求周期、適當(dāng)減小擺動的幅度。考點 31 用單擺測量重力加速度的大小
1. 高考真題考點分布
題型 考點考查 考題統(tǒng)計
實驗題 用單擺測量重力加速度的大小 2024 年廣西卷
實驗題 用單擺測量重力加速度的大小 2023 年河北卷、重慶卷、全國新課標(biāo)卷
2. 命題規(guī)律及備考策略
【命題規(guī)律】各地高考對用單擺測量重力加速度的大小這個實驗考查近幾年頻度不是太高，考查難度不大。
【備考策略】
1.理解和掌握用單擺測量重力加速度的大小實驗原理，并會做出必要的誤差分析。
2.能夠在原型實驗基礎(chǔ)上，通過對實驗的改進或者創(chuàng)新，做出同類探究。
【命題預(yù)測】重點關(guān)注通過創(chuàng)新實驗實現(xiàn)用單擺測量重力加速度的大小。
1．實驗?zāi)康?br/>(1)練習(xí)使用停表和刻度尺。
(2)探究影響單擺運動周期的因素。
(3)學(xué)會用單擺測定當(dāng)?shù)刂亓铀俣取?br/>2．實驗原理
l 4π2l
當(dāng)擺角很小時，單擺做簡諧運動，其運動周期為 T＝2π ，由此得到 g＝ ，因此，只要測出擺長 l 和單
g T2
擺的周期 T，就可以求出當(dāng)?shù)氐闹亓铀俣?g 的值。
3．實驗器材
單擺、游標(biāo)卡尺、毫米刻度尺、停表。
4．實驗過程
(1)在細線的一端打一個比小球上的孔徑稍大一些的結(jié)，將細線穿過球上的小孔，并把細繩上端固定在鐵架
臺上，制成單擺。
(2)將鐵夾固定在鐵架臺上端，鐵架臺放在實驗桌邊，使鐵夾伸到桌面以外，讓擺球自然下垂，在單擺平衡
位置處做上標(biāo)記，如圖所示。
(3)用毫米刻度尺量出擺線長度 l′，用游標(biāo)卡尺測出金屬小球的直徑，即得出金屬小球半徑 r，計算出擺長 l＝
l′＋r。
(4)把單擺從平衡位置處拉開一個很小的角度(不超過 5°)，然后放開金屬小球，讓金屬小球擺動，待擺動平
穩(wěn)后測出單擺完成 30～50 次全振動所用的時間 t，計算出單擺的振動周期 T。
(5)根據(jù)單擺周期公式，計算當(dāng)?shù)氐闹亓铀俣取?br/>(6)改變擺長，重做幾次實驗。
5．?dāng)?shù)據(jù)處理
t 4π2l
(1)公式法：利用 T＝ 求出周期，算出三次測得的周期的平均值，然后利用公式 g＝ 求重力加速度。
N T2
g
(2)圖像法：根據(jù)測出的一系列擺長 l 對應(yīng)的周期 T，作 lT2 的圖像，由單擺周期公式得 l＝ T2，圖像應(yīng)是
4π2
一條通過原點的直線，如圖所示，求出圖線的斜率 k，即可利用 g＝4π2k 求重力加速度。
6．誤差分析
產(chǎn)生原因 減小方法
測量時間(單擺周期)及擺長時 ①多次測量求平均值
偶然誤差
產(chǎn)生誤差 ②從擺球經(jīng)過平衡位置時開始計時
①擺球要選體積小，密度大的
系統(tǒng)誤差 主要來源于單擺模型本身
②最大擺角要小于 5°
7．注意事項
(1)懸線頂端不能晃動，需用夾子夾住，保證懸點固定。
(2)單擺必須在同一平面內(nèi)振動，且擺角小于 5°。
(3)選擇在擺球擺到平衡位置處時開始計時，并數(shù)準(zhǔn)全振動的次數(shù)。
(4)小球自然下垂時，用毫米刻度尺量出懸線長 l′，用游標(biāo)卡尺測量小球的直徑，然后算出擺球的半徑 r，則
擺長 l＝l′＋r。
(5)一般選用 1 m 左右的細線。
考點一 教材原型實驗
考向 1 實驗原理與操作
1．某同學(xué)用單擺周期公式測當(dāng)?shù)刂亓铀俣鹊闹担M裝了幾種實驗裝置。
(1)下列最合理的裝置是________。
A． B． C． D．
(2)用游標(biāo)卡尺測量小球直徑，示數(shù)如圖甲所示，則擺球的直徑 d = mm。周期公式中的 l 是單擺的擺
長，其值等于擺線長與 之和（用 d 表示）。
(3)實驗中多次改變擺線長度，并測得對應(yīng)的周期 T，該同學(xué)誤將擺線長度當(dāng)成了擺長，作出T 2 - l 圖像如
1 4p 2 g
圖乙，該圖像的斜率為 （填“ g ”“ ”或“ 2 ”）。g 4p
2．某實驗小組的同學(xué)用如圖所示的裝置做“用單擺測量重力加速度”的實驗。
(1)實驗室有如下器材可供選用：鐵架臺、足夠長的細線、夾子、球心開有小孔的鐵球和塑料球、游標(biāo)卡
尺、1m 長的毫米刻度尺和秒表。
上述器材中，實驗中不需要的是： ；
(2)在挑選合適的器材后開始實驗，操作步驟如下：
①用細線和擺球制作一個單擺，然后將細線纏繞在支柱上，使擺球自由下垂，擺球靜止后用米尺測量細線
懸點到擺球上邊緣的距離 L，然后用游標(biāo)卡尺測出小球的直徑 d = cm，如圖乙所示；
②將擺球從平衡位置拉開一個角度（小于 5°）后靜止釋放；
③待小球擺動穩(wěn)定后，記錄下小球第 1 次至第 51 次通過最低點的時間間隔 t = 37.5s ，得到單擺的振動周
期T = s；
④多次改變距離 L，重復(fù)上述實驗，得到一系列的周期測量值；
(3)以T 2 為橫軸、L 為縱軸，做出 L -T 2 圖像，如圖丙所示。已知圖像與橫軸的截距為 a、與縱軸的截距為-
b，則測量出的重力加速度 g = ；（用 a、b 和 π表示）
(4)在①~④的實驗操作中，有一處操作不當(dāng)，請你指出是哪個步驟 （填步驟前的序號）。
考向 2 數(shù)據(jù)處理與誤差分析
3．某同學(xué)在“用單擺測定重力加速度”的實驗中
(1)該同學(xué)用游標(biāo)卡尺測得單擺小球的直徑為 cm；同學(xué)用秒表記錄的時間如圖所示，則秒表的示
數(shù)為 s；
(2)該同學(xué)又想出另一個辦法測重力加速度，他測出多組擺線長 L 與周期 T 的數(shù)據(jù)，根據(jù)實驗數(shù)據(jù)，作出了
T 2 - L的關(guān)系圖像，如圖所示，根據(jù)圖中數(shù)據(jù)，重力加速度為 m/s2（取p 2 = 9.86，結(jié)果保留三位
有效數(shù)字）
(3)如果該同學(xué)測得的 g 值偏大，可能的原因是___________
A．測擺線長時擺線拉得過緊
B．開始計時時，秒表按下稍晚
C．實驗中將 51 次全振動誤記為 50 次
D．?dāng)[線上端未牢固地系于懸點，振動中出現(xiàn)松動，使擺線長度增加了
4．小明和小華用如圖甲所示的裝置做“用單擺測定重力加速度”的實驗。
(1)將單擺正確懸掛后進行如下操作，其中正確的是__________。
A．測量擺線長時用手將擺線沿豎直方向拉緊
B．實驗所用小球的質(zhì)量要盡量大，體積要盡量小
C．在擺球經(jīng)過平衡位置時開始計時
D．用秒表測量單擺完成 1 次全振動所用時間并作為單擺的周期
(2)小明根據(jù)測量擺線的長度 l 和對應(yīng)的周期 T，得到多組數(shù)據(jù)，作出了 l -T 2圖像，如圖乙所示。他認為根
4p 2b
據(jù)圖線可求得重力加速度 g = ，若不計空氣阻力和測量值的偶然誤差，則從理論上分析，他求得的
a2 - a1
重力加速度 g 真實值（選填“大于”“等于”或“小于”）。
(3)小華在實驗室發(fā)現(xiàn)單擺的擺角遠大于 5°，老師告訴他單擺在最大擺角q 較大時周期公式近似為
T = 2π 1 2 q l 1+ sin ÷ 。他測出擺長為 l 的同一單擺在不同最大擺角q 時的周期 T，并根據(jù)實驗數(shù)據(jù)描繪
è 4 2 g
出如圖丙所示的圖線。設(shè)圖線延長后與橫軸交點的坐標(biāo)為 b，則重力加速度的測量值 g = （用題
中所給字母 π、l、b 表示）。
考點二 創(chuàng)新實驗方案
考向 1 實驗原理的改進
5．重力加速度參數(shù)廣泛應(yīng)用于地球物理、空間科學(xué)、航空航天等領(lǐng)域．高精度的重力加速度值的測量對
重力場模型建立與完善、自然災(zāi)害預(yù)警、礦物勘探、大地水準(zhǔn)面繪制等領(lǐng)域有著重要的作用。某同學(xué)在“用
單擺周期公式測量重力加速度”的實驗中，利用了智能手機和兩個相同的圓柱體小磁粒進行了如下實驗：
（1）用鐵夾將擺線上端固定在鐵架臺上，將兩個小磁粒的圓柱底面吸在一起，細線夾在兩個小磁粒中
間，做成圖（a）所示的單擺；
（2）用刻度尺測量懸線的長度，用游標(biāo)卡尺測得小磁粒的底面直徑如圖 d＝ cm；算出擺長 L；
（3）將智能手機磁傳感器置于小磁粒平衡位置正下方，打開手機智能磁傳感器，測量磁感應(yīng)強度的變
化；
（4）將小磁粒由平衡位置拉開一個小角度，由靜止釋放，手機軟件記錄磁感應(yīng)強度的變化曲線如圖（b）
所示。試回答下列問題：
①由圖（b）可知，單擺的周期為 ；
②改變擺線長度 l，重復(fù)實驗操作，得到多組數(shù)據(jù)，畫出對應(yīng)的 2 的圖像，算出圖像的斜率為 k，則重力
加速度 g 的表達式為 。（用題中物理量的符號表示）
（5）某同學(xué)在家里做實驗時沒有找到規(guī)則的小磁鐵，于是他在細線上的某點 A 做了一個標(biāo)記，實驗中保
持標(biāo)記 A 點以下細線長度不變，通過改變懸點 O、A 間細線長度改變擺長。實驗中，測得懸點 O 到 A 點的
距離為 L1時對應(yīng)的周期為T1，懸點 O 到 A 點的距離為 L2時對應(yīng)的周期為T2，由此可測得當(dāng)?shù)氐闹亓铀?br/>度 g = （用 L1、 L2、T1、T2表示）。
6．某實驗小組利用圖甲所示裝置測量當(dāng)?shù)刂亓铀俣取］p繩一端系住直徑為 d 的小球，另一端固定在鐵
架臺上O點，已知O點到小球球心的距離為 l，在O點正下方固定一個光電門，小球運動至最低點時光電
門能夠記錄下小球的遮光時間。實驗時，將小球拉起至輕繩和豎直方向夾角為q ，由靜止釋放小球，小球
擺至最低點時光電門光線正好射向小球球心，小球的遮光寬度可近似為d ，光電門記錄小球的遮光時間為
Dt ，試回答以下問題：
(1)用游標(biāo)卡尺測量小球的直徑如圖乙所示，則小球的直徑 d = mm；
(2)小球從釋放位置運動至最低點時的速度為v = ；（用題中相關(guān)物理量的字母表示）
1
(3)多次改變q 的數(shù)值，重復(fù)以上實驗過程并測量對應(yīng)的Dt ，得到
（Dt）2
隨 cosq 變化的關(guān)系如圖丙所示，該
圖線斜率的絕對值為 k ，可計算得重力加速度 g = 。 （用 k 、 l和d 表示）
考向 2 實驗器材的創(chuàng)新
7．某同學(xué)利用雙線擺和光電計數(shù)器測量當(dāng)?shù)氐闹亓铀俣取嶒炑b置如圖甲所示，已知每根懸線長為 d，
兩懸點間相距 2s，金屬小球半徑為 r，圖中小球兩側(cè)為光電計數(shù)器。請回答下列問題：
(1)如圖甲所示的雙線擺能夠穩(wěn)定的在 （填“平行”或“垂直”）紙面的豎直平面內(nèi)穩(wěn)定的擺動。
(2)等效擺長 L = （用題目中的物理量符號表達）；
(3)如圖乙是用游標(biāo)卡尺測量小球的直徑則小球的直徑是 cm；
(4)根據(jù)實驗中測得的數(shù)據(jù)，畫出T 2 - L圖象如圖丙所示，取p = 3.14，根據(jù)圖象，可求得當(dāng)?shù)氐闹亓铀俣?br/>大小為 m/s2 （保留三位有效數(shù)字）；
8．某同學(xué)通過實驗探究單擺周期與等效重力加速度定量關(guān)系，實驗裝置如圖（a）所示，鋼球、細線和輕
桿組成一個“桿線擺”，桿線擺可以繞著懸掛軸OO 來回擺動，其擺球的運動軌跡被約束在一個傾斜的平面
內(nèi)，這相當(dāng)于單擺在斜面上來回擺動，但避免了擺球在真實斜面上運動時所受的摩擦力。測量該傾斜平面
的傾角q ，能求出等效重力加速度 a 的大小，測量不同傾角下的單擺周期 T，便能檢驗 T 與 a 的定量關(guān)
系。已知重力加速度的大小為 g，將下列實驗補充完整：
（1）斜面傾角q 的測量。如圖（b），鐵架臺上裝一根鉛垂線。在鐵架臺的立柱跟鉛垂線平行的情況下把桿
線擺裝在立柱上，調(diào)節(jié)擺線的長度，使擺桿與立柱垂直，則此時擺桿是水平的。把鐵架臺底座一側(cè)墊高如
圖（c），立柱傾斜，繞立柱擺動的鋼球?qū)嶋H上是在傾斜平面上運動。測出靜止時擺桿與鉛垂線的夾角為
b ，則該傾斜平面與水平面的夾角q = 90° - b 。則等效重力加速度的大小a = （用 g、b 表示）；
（2）單擺周期 T 的測量。在圖（c）的情況下，盡量減小擺桿與立柱之間的摩擦，使該擺能較長時間繞立
柱自由擺動而不停下來。讓單擺做小角度下的振動，用停表測量單擺完成 20 個全振動所用的時間 t，則單
擺周期T = （用 t 表示）。同樣的操作進行三次，取平均值作為該周期的測量值；
在保持擺長一定的情況下，改變鐵架臺的傾斜程度，測出多組不同傾斜程度下q 的值及在該傾角下單擺的
1
周期 T 后，根據(jù)實驗數(shù)據(jù)繪制T - 圖像是一條過坐標(biāo)原點的傾斜直線，由此得出的結(jié)論
a
是 。
9．在“用單擺測量重力加速度”的實驗中：
(1)為了較精確地測量重力加速度的值，以下三種單擺組裝方式最合理的是__________；
A． B． C．
(2)在擺球自然下垂的狀態(tài)下，用毫米刻度尺測得擺線長度為 l；用游標(biāo)卡尺測量擺球的直徑d ，示數(shù)如圖
甲所示，則 d = mm；
(3)將小球從平衡位置拉開一個小角度靜止釋放，使其在豎直面內(nèi)振動。待振動穩(wěn)定后，從小球經(jīng)過平衡位
置時開始計時，測量 N 次全振動的時間為 t ，由本次實驗數(shù)據(jù)可求得 g = （用 l、d 、 N 、 t 表
示）；
(4)若某次實驗測得 g 數(shù)值比當(dāng)?shù)毓J值大，原因可能是__________；
A．開始計時時，過早按下秒表
B．實驗時誤將 49 次全振動記為 50 次
C．?dāng)[線上端懸點未固定，振動中出現(xiàn)松動，擺線長度增加
(5)改變擺線長度 l，重復(fù)實驗，測得每次實驗時單擺的振動周期T ，作出T 2 - l 圖像為圖乙中的
（選填“ a ”“ b ”或“ c ”）。
10．某實驗小組要測量當(dāng)?shù)氐闹亓铀俣取Ｓ捎跊]有擺球，小組成員找到了一塊外形不規(guī)則的小金屬掛件
代替擺球做了一個如圖所示的單擺。
(1)用刻度尺測量懸線的長 L1，將掛件拉開一個不大于5o的角度后釋放，用秒表測出 30 次全振動的總時間
t = 54.6s，則掛件振動的周期T1 = s。
(2)改變懸線的長，并測出懸線長 L2，重復(fù)（1）實驗，測出掛件振動的周期為T2，則當(dāng)?shù)氐闹亓铀俣葹?br/>g = （用 L1、 L2、T1、T2表示）。
(3)若多次改變懸線的長度重復(fù)實驗，測得每次實驗時懸線的長 L 及對應(yīng)的掛件振動的周期 T，作T 2 - L圖
像，得到的圖像是一條 （填“過原點”或“不過原點”）的傾斜直線，若圖像的斜率為 k，則當(dāng)?shù)氐闹?br/>力加速度為 g = 。
11．某實驗小組利用單擺測量當(dāng)?shù)氐闹亓铀俣龋O(shè)計了如圖（a）所示的裝置：
①在O點安裝力傳感器并與細線的一個端點固定，細線另一端系一個小球 A；
②在O 點懸掛體積與A 相同的小球 B，調(diào)節(jié)連接 B 球的細線長度，使兩擺線的長度均為 L，兩細線保持自
然下垂且平行，A、B 兩球恰好接觸；
③將小球 A 小角度拉至同一豎直面內(nèi)的 C 點由靜止釋放，運動到最低點與 B 球發(fā)生對心正碰（A、B 每次
碰撞均為彈性碰撞，碰撞時間極短可忽略不計），不計空氣阻力。
(1)用 10 分度的游標(biāo)卡尺測量小球A 的直徑 d，游標(biāo)卡尺的示數(shù)如圖（b）所示，讀出 d = mm；
(2) A 、B球質(zhì)量分布均勻，碰撞時，要發(fā)生速度交換，則mA mB （選填“>”“=”或“<”）；
(3)在滿足（2）的條件下，得到的圖（c）是與拉力傳感器連接的計算機屏幕所顯示的F - t 圖像，根據(jù)圖像
可知擺球A 的運動周期T = ，測得重力加速度 g = （用 L、d、 t0 表示）。
12．某研究小組用圖 1 所示的裝置進行“用單擺測量重力加速度”的實驗。
(1)用游標(biāo)卡尺測量擺球直徑，如圖 2 所示，則擺球的直徑 d = mm。
(2)甲同學(xué)測得擺長為 l，記錄下擺球 n 次全振動的時間為 t，可以測得重力加速度 g = （用 l、n、t、
π表示）。
(3)為提高測量準(zhǔn)確度，乙同學(xué)多次改變單擺的擺長 l 并測得相應(yīng)的周期 T，他根據(jù)測量數(shù)據(jù)畫出如圖 3 所
示的T 2 2- l 圖像，根據(jù)圖線上任意兩點 A、B 的坐標(biāo) l1,T1 、 l2，T 22 ，可求得重力加速度 g = （用
l1、T1、 l2、T2、 π表示）；該圖像不過原點的原因可能是 。
A．測周期時，將 49 次全振動記為 50 次
B．測周期時，將 50 次全振動記為 49 次
C．測擺長時，直接將懸點到小球上端的距離記為擺長
D．測擺長時，直接將懸點到小球下端的距離記為擺長
(4)丙同學(xué)為了研究“單擺做簡諧運動的周期與重力加速度的定量關(guān)系”，在伽利略用斜面“沖淡”重力思想的
啟發(fā)下，創(chuàng)設(shè)了“重力加速度”可以人為調(diào)節(jié)的實驗環(huán)境：如圖 4 所示，在水平地面上固定一傾角q 可調(diào)的
光滑斜面，把擺線固定于斜面上的 O 點，使擺線平行于斜面。拉開擺球至 A 點，靜止釋放后，擺球在
ABC 之間做簡諧運動，測得擺角為a 、擺球的擺動周期為 T。多次改變斜面的傾角q ，重復(fù)實驗，記錄
q 、a 和 T，為了能方便準(zhǔn)確地利用圖像處理數(shù)據(jù)進而獲得結(jié)論，應(yīng)繪制 圖像（寫出圖像的縱坐標(biāo)—
橫坐標(biāo)）。
13．某同學(xué)利用如圖甲所示裝置測量重力加速度 g。一根輕繩一端連接固定的拉力傳感器，另端連接一小
鋼球，如圖甲所示。拉起小鋼球至某一位置由靜止釋放，使小鋼球在豎直平面內(nèi)擺動記錄鋼球擺動過程中
拉力傳感器示數(shù)的最大值Tmax 和最小值Tmin。改變小鋼球的初始釋放位置，重復(fù)上述過程。根據(jù)測量數(shù)據(jù)在
直角坐標(biāo)系中繪制的Tmax -Tmin 圖像是一條直線，如圖乙所示：
(1)拉力傳感器示數(shù)的最大值Tmax 、最小值Tmin、小球質(zhì)量 m 以及重力加速度 g 的關(guān)系為Tmax = 。
(2)若小球質(zhì)量m = 60g ，由圖乙可得重力加速度 g 的數(shù)值為 m/s2 （結(jié)果保留三位有效數(shù)字）。
(3)由圖乙可得Tmax -Tmin 圖像直線的斜率與理論值之差的絕對值為 （結(jié)果保留一位小數(shù)），導(dǎo)致該差值
的主要因素為 。
14．某同學(xué)做“用單擺測定重力加速度”的實驗。
(1)如圖甲所示，該同學(xué)用游標(biāo)卡尺測得單擺小球的直徑為 cm；同學(xué)用秒表記錄的時間如圖乙所
示，則秒表的示數(shù)為 s。
(2)①如果某同學(xué)在實驗時，用的擺球質(zhì)量分布不均勻，無法確定其重心位置。他第一次量得懸線長為 L1
（不計擺球半徑），測得周期為 T1；第二次量得懸線長為 L2，測得周期為 T2.根據(jù)上述數(shù)據(jù)可求得 g 值
為 。
4p 2 L1L 4p
2 L 2 2 2 2
A 2 B 1
- L2 4p L +L 4p T -T
． 　 ． 　C 1 2 1 2． 　D．
TT 2 2 2 21 2 T1 -T2 T1 +T2 L1 - L2
②該同學(xué)又想出另一個辦法測量重力加速度，他測出多組擺線長 L 與周期 T 的數(shù)據(jù)，根據(jù)實驗數(shù)據(jù)，作
出了 T2-L 的關(guān)系圖像如圖丙所示，理論上 T2-L 是一條過坐標(biāo)原點的直線，根據(jù)圖中數(shù)據(jù)，可算出重力加
速度的值為 m/s2（取 π2=9.86，結(jié)果保留三位有效數(shù)字），僅考慮該數(shù)據(jù)處理方法，他得到的加速度
g 與真實值相比 （選填“偏大”“偏小”或“相同”）。
15．在“單擺測重力加速度”的實驗中，某同學(xué)想到利用手機傳感器、小鐵球、小磁粒進行以下實驗：
①如圖 1（a）所示將小磁粒吸附在小鐵球正下方使小磁粒軸線與擺線共線，用鐵夾將擺線上端固定在鐵
架臺上，組裝完成的實驗裝置如圖 1（b）所示；
②用刻度尺測量擺線長度為 l，沒有測量小鐵球直徑和小磁粒的厚度；
③將手機磁傳感器置于小磁粒平衡位置正下方，利用磁傳感器測量磁感應(yīng)強度隨時間的變化；
④將帶有小磁粒的鐵球由平衡位置拉開一個小角度，由靜止釋放，運行手機軟件記錄磁感應(yīng)強度的變化曲
線如圖 2 所示。
試回答以下問題：
(1)由圖 2 可知，單擺的周期為 ；
(2)改變擺線長度 l，重復(fù)步驟②③④的操作，可以得到多組周期 T 和擺線長度 l 的值，以 （選填
1
“T ”“ ”或者“T 2 ”）為縱坐標(biāo)，l 為橫坐標(biāo)，描點作圖。若得到的圖像如圖 3 所示，圖像的斜率為 k，則重T
力加速度的測量值為 ；
(3)使用上述數(shù)據(jù)處理方法，在不考慮其他測量誤差的情況下，步驟②的操作對重力加速度的測量值
（選填“有”或“無”）影響。
16．如圖（a）所示，某興趣小組用單擺測量重力加速度。選用的實驗器材有：智能手機、小球、細線、
鐵架臺、夾子、游標(biāo)卡尺、刻度尺等，實驗操作如下：
①用鐵夾將細線上端固定在鐵架臺上，將小球豎直懸掛；
②用刻度尺測出擺線的長度為 l，用游標(biāo)卡尺測出小球直徑為 d；
③將智能手機置于小球平衡位置的正下方，啟用 APP《手機物理工坊》“近距秒表”功能；
④將小球由平衡位置拉開一個角度（θ<5°），靜止釋放，軟件同時描繪出小球與手機間距離隨時間變化的
圖像，如圖（b）所示。請回答下列問題：
(1)根據(jù)圖（b）可知，單擺的周期 T= s。
(2)改變擺線長度 l，重復(fù)步驟②、③、④的操作，可以得到多組 T 和 l 的值，進一步描繪出如圖（c）的
1
圖像，則該圖像以 為橫坐標(biāo)（選填“ ”、“T”或“T2”） ， 若圖線的斜率為 k，則重力加速度的測
T
量值為 。（用所測量字母 l、d 或 T、θ、k 等進行表示）
9．（2024 年湖北高考真題）某同學(xué)設(shè)計了一個測量重力加速度大小 g 的實驗方案，所用器材有：2g 砝碼
若干、托盤 1 個、輕質(zhì)彈簧 1 根、米尺 1 把、光電門 1 個、數(shù)字計時器 1 臺等。
具體步驟如下：
①將彈簧豎直懸掛在固定支架上，彈簧下面掛上裝有遮光片的托盤，在托盤內(nèi)放入一個砝碼，如圖（a）
所示。
②用米尺測量平衡時彈簧的長度 l，并安裝光電門。
③將彈簧在彈性限度內(nèi)拉伸一定長度后釋放，使其在豎直方向振動。
④用數(shù)字計時器記錄 30 次全振動所用時間 t。
⑤逐次增加托盤內(nèi)砝碼的數(shù)量，重復(fù)②③④的操作。
M
該同學(xué)將振動系統(tǒng)理想化為彈簧振子。已知彈簧振子的振動周期T = 2p ，其中 k 為彈簧的勁度系數(shù)，
k
M 為振子的質(zhì)量。
(1)由步驟④，可知振動周期T = 。
(2)設(shè)彈簧的原長為 l0 ，則 l 與 g、 l0 、T 的關(guān)系式為 l = 。
(3)由實驗數(shù)據(jù)作出的 l -T 2圖線如圖（b）所示，可得 g = m/s2 （保留三位有效數(shù)字，p 2取 9.87）。
(4)本實驗的誤差來源包括_____（雙選，填標(biāo)號）。
A．空氣阻力
B．彈簧質(zhì)量不為零
C．光電門的位置稍微偏離托盤的平衡位置
B．根據(jù)彈簧振子周期公式可知，振子的質(zhì)量影響振子的周期，通過光電門測量出的周期T 為振子考慮彈
簧質(zhì)量的真實周期，而根據(jù)（3）問求出的 l -T 2的關(guān)系是不考慮彈簧質(zhì)量的關(guān)系式子，二者的中的T 是不
相等的，所以彈簧質(zhì)量不為零是誤差來源之一，故 B 正確；
C．利用光電門與數(shù)字計時器的組合測量周期的原理：根據(jù)簡諧運動的規(guī)律可知，只要從開始計時起，振
子的速度第二次與開始計時的速度相等即為一個周期，與是否在平衡位置無關(guān)，故 C 錯誤。
故選 AB。
10．（2024 年遼寧高考真題）圖（a）為一套半圓拱形七色彩虹積木示意圖，不同顏色的積木直徑不同。某
同學(xué)通過實驗探究這套積木小幅擺動時周期 T 與外徑 D 之間的關(guān)系。
(1)用刻度尺測量不同顏色積木的外徑 D，其中對藍色積木的某次測量如圖（b）所示，從圖中讀出D =
cm。
(2)將一塊積木靜置于硬質(zhì)水平桌面上，設(shè)置積木左端平衡位置的參考點 O，將積木的右端按下后釋放，如
圖（c）所示。當(dāng)積木左端某次與 O 點等高時記為第 0 次并開始計時，第 20 次時停止計時，這一過程中積
木擺動了 個周期。
(3)換用其他積木重復(fù)上述操作，測得多組數(shù)據(jù)。為了探究 T 與 D 之間的函數(shù)關(guān)系，可用它們的自然對數(shù)作
為橫、縱坐標(biāo)繪制圖像進行研究，數(shù)據(jù)如下表所示：
顏色 紅 橙 黃 綠 青 藍 紫
ln D 2.9392 2.7881 2.5953 2.4849 2.197 L 1.792
lnT -0.45 -0.53 -0.56 -0.65 -0.78 -0.92 -1.02
根據(jù)表中數(shù)據(jù)繪制出 lnT - ln D圖像如圖（d）所示，則 T 與 D 的近似關(guān)系為______。
1 1
A．T D B．T D2 C．T D．T D D2
(4)請寫出一條提高該實驗精度的改進措施： 。

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