資源簡介

考點 22 功和功率 機車啟動問題
1. 高考真題考點分布
題型 考點考查 考題統計
選擇題 正功負功 2024 年海南卷
計算題 功和功率計算 2024 年福建卷
選擇題 功率計算 2024 年浙江卷
2. 命題規律及備考策略
【命題規律】高考對功和功率的考查頻率較高，近今年主要以選擇題的形式出現，題目難度上有時容易有
時比較難，同時，計算題中也會經常出現有關功和功率的計算。
【備考策略】
1.掌握恒力功和變力功的計算。
2.掌握功率的計算，理解機車啟動問題。
【命題預測】重點關注變力做功和機車啟動問題。
一、功
1．定義：一個物體受到力的作用，如果在力的方向上發生了一段位移，就說這個力對物體做了功。
2．做功的兩個要素
(1)作用在物體上的力。
(2)物體在力的方向上發生的位移。
3．公式：W＝Flcosα。
(1)α 是力與位移方向之間的夾角，l 為物體對地的位移。
(2)該公式只適用于恒力做功。
4．功的正負
(1)當 0°≤α＜90°時，W＞0，力對物體做正功。
(2)當 90°＜α≤180°時，W＜0，力對物體做負功，或者說物體克服這個力做了功。
(3)當 α＝90°時，W＝0，力對物體不做功。
二、功率
1．定義：功與完成這些功所用時間的比值。
2．物理意義：描述力對物體做功的快慢。
3．公式
W
(1)P＝ ，P 為時間 t 內的平均功率。
t
(2)P＝Fv cos α(α 為 F 與 v 的夾角)。
①v 為平均速度，則 P 為平均功率。
②v 為瞬時速度，則 P 為瞬時功率。
4．發動機功率：機車發動機的功率 P＝Fv，F 為牽引力，并非機車所受的合力。
考點一 功的計算
考向 1 恒力功的計算
1．恒力功的計算方法
2．總功的計算方法
方法一：先求合力 F 合，再用 W 總＝F 合 lcos α 求功，此法要求 F 合為恒力。
方法二：先求各個力做的功 W1、W2、W3、…，再應用 W 總＝W1＋W2＋W3＋…求總功，注意代入“＋”“－”再
求和。
1．如圖所示，質量為m 的物體置于傾角為q 的斜面上，物體與斜面間的動摩擦因數為 ，在外力作用下，
斜面以加速度 a沿水平方向向左勻加速運動一段距離，運動中物體與斜面體始終相對靜止。關于物體，下
列說法正確的是（ ）
A．摩擦力一定不做功 B．摩擦力一定做負功
C．支持力一定做正功 D．合外力做功可能為零
【答案】C
【詳解】AB．當物塊與斜面間的摩擦力為零時，則mg tanq = ma0 即當 a = a0 = g tanq 時，物塊與斜面之間
無摩擦力，此時摩擦力不做功；若當 a > g tanq 時，物塊受摩擦力沿斜面向下，此時摩擦力與位移夾角小
于 90°，此時摩擦力做正功；若當 a < g tanq 時，物塊受摩擦力沿斜面向上，此時摩擦力與位移夾角大于
90°，此時摩擦力做負功，故 AB 錯誤；
C．支持力方向與斜面垂直，與位移夾角小于 90°，則支持力一定做正功，故 C 正確；
D．合外力為ma 不為零，方向水平，可知合外力做功不可能為零，故 D 錯誤。
故選 C。
2．如圖所示，傾角為q = 37°的斜面固定在水平桌面上，用平行斜面向上的推力F1將位于斜面底端的滑塊
推到斜面頂端，推力F1做的功至少為W0 。已知物塊與斜面間的動摩擦因數為 = 0.5， sin 37° = 0.6 ，
cos37° = 0.8，若用水平向左的推力F2 將物塊推到頂端，推力F2 做的功至少為（ ）
A．1.2W0 B．1.4W0 C．1.6W0 D．1.8W0
【答案】C
【詳解】對物塊做功最少，物塊應從斜面底端緩慢運動到斜面頂端，用平行斜面向上的推力將位于斜面底
端的物塊推到斜面頂端，對物塊受力分析如圖甲所示，根據受力平衡可得F1 = mg sinq + mg cosq = mg 設
斜面的長度為 L，則W0 = F1L = mgL對物塊受力分析如圖乙所示，根據受力平衡可得
mg sinq + mg cosq
F2 cosq = mg sinq + F2 sinq + mg cosq 解得F2 = = 2mgcosq - sinq 則
W = F2L cosq =1.6mgL =1.6W0 故選 C。
考向 2 變力做功的計算
方法 以例說法
應用 用力 F 把小球從 A 處緩慢拉到 B 處，F 做的功為 WF，則有 WF－mgl(1－cos θ)＝0，得 WF＝
動能 mgl(1－cos θ)
定理
質量為 m 的木塊在水平面內做半徑為 R 的圓周運動，運動一周克服摩擦力做的功 Wf＝Ff·Δx1＋
微元
Ff·Δx2＋Ff·Δx3＋…＝Ff(Δx1＋Δx2＋Δx3＋…)＝Ff·2πR
法
等效 h h
恒力 F 把物塊從 A 拉到 B，繩子對物塊做的功 W＝F·( － )
轉換 sin α sin β
法
kx1＋kx平均 2 彈簧由伸長 x1被繼續拉至伸長 x2的過程中，克服彈力做的功 W＝ ·(x －x )2 2 1
力法
一水平拉力 F0拉著一物體在水平面上運動的位移為 x0，圖線與橫軸所圍面積表示拉力所做的
圖像
功，W＝F0x0
法
3．在多年前的農村，人們往往會選擇讓驢來拉磨把食物磨成面，假設驢對磨桿的平均拉力為 600 N，半徑
r 為 0.5 m，轉動一周為 5 s，則（　　）
A．驢轉動一周拉力所做的功為 0
B．驢轉動一周拉力所做的功為 600 J
C．驢轉動一周拉力的平均功率為 120π W
D．磨盤邊緣的線速度為 0.1π m/s
【答案】C
【詳解】AB．驢轉動一周拉力所做的功為變力做功，根據變力做功得求解方法可得驢轉動一周拉力所做的
功為W = F ×2p r = 600 2 0.5 p J = 600p J 故 AB 錯誤；
W 600p
C．驢轉動一周拉力的平均功率為P = = W =120p W 故 C 正確；t 5
2p r
D．磨盤邊緣的線速度為 v = = 0.2p m/s故 D 錯誤。故選 C。
T
4．一質量為 4kg 的物體，在粗糙的水平面上受水平恒定的拉力 F 作用做勻速直線運動。物體運動一段時
間后拉力逐漸減小，當拉力減小到零時，物體剛好停止運動。如圖所示為拉力 F 隨位移 x 變化的關系圖
像，重力加速度大小取 10m/s2，則可以求得（　　）
A．物體做勻速直線運動的速度為 4m/s
B．整個過程拉力對物體所做的功為 4J
C．整個過程摩擦力對物體所做的功為-8J
D．整個過程合外力對物體所做的功為-4J
【答案】D
(2 + 4) 4
【詳解】B．F-x 圖線與橫軸所圍區域的面積表示拉力對物體所做的功，所以WF = J =12J 故 B 錯2
誤；
C．0~2m 階段，根據平衡條件可得F = f = 4N 所以整個過程中摩擦力對物體做的功為
Wf = - fx = -4 4J = -16J 故 C 錯誤；
D．整個過程中合外力所做的功為W合 = WF +Wf =12J + ( -16J) = -4J 故 D 正確。
1
A 2．根據動能定理可得W合 = 0 - mv0 解得 v0 = 2m/s故 A 錯誤。故選 D。2
考點二 對功率的理解與計算
考向 1 平均功率的計算
1. P= 利用 。
2.利用 P=Fvcos α,其中 v 為物體運動的平均速度,α 為 F 與 v 的夾角。
5．2024 年 4 月 1 日，無錫市政府與順豐公司、豐翼公司、中國郵政就《“低空＋物流”合作項目》進行簽
約，共同打造長三角低空經濟產業發展高地、全國低空經濟創新示范區。低空物流無人機配送首飛活動舉
行，啟動無人機快遞運輸和配送。活動現場有一架無人機在運送物資，已知質量為 6kg 的郵件在被無人機
從地面吊起后，在豎直方向運動的 v- t 圖像如圖所示（豎直向上為正方向），重力加速度大小 g =10m/s2 。
根據圖像下列判斷正確的是（　　）
A．在 10~30s 時間內郵件的機械能不變
B．46s 時郵件離地面的高度為 28m
C．在 0~10s 內無人機拉力做功的平均功率為 30.3W
D．在 30~36s 內無人機拉力對郵件做負功，其功率逐漸減小
【答案】C
【詳解】A．根據 v- t 圖像可知，在 10~30s 時間內郵件向上做勻速運動，郵件的動能不變，重力勢能增
加，所以郵件的機械能增加，故 A 錯誤；
B．根據 v- t 圖像與橫軸圍成的面積表示位移可知，46s 時郵件離地面的高度為
h 1= (20 + 36) 1m 1- 10 1.2m = 22m 故 B 錯誤；
2 2
C．根據 v- t
1
圖像可知0 ~ 10s內無人機的加速度大小為 a = m / s2 = 0.1m / s2 根據牛頓第二定律可得
10
F - mg = ma 1解得F = 60.6N 0 ~ 10s內的位移為 x = 1 10m = 5m則在0 ~ 10s內無人機拉力做功的平均功
2
P W Fx 60.6 5率為 = = = W = 30.3W 故 C 正確；
t t 10
D．在30 ~ 36s 內，根據 v- t 圖像可知無人機向上做勻減速運動，無人機拉力對郵件做正功，根據P = Fv可
知拉力的功率逐漸減小，故 D 錯誤。故選 C。
6．如圖甲所示，某水電站建筑工地用發動機沿傾斜光滑軌道將建材拉到大壩頂上，已知軌道的傾角
q = 37°，每次從大壩底端由靜止向上拉建材的過程中，發動機所做的功與位移的關系如圖乙所示。圖乙中
圖線為直線，當 x = 6m時發動機達到額定功率。已知每個建材的質量m =100kg ，重力加速度 g =10m/s2 ，
sin 37° = 0.6 ， cos37° = 0.8。下列說法正確的是（ ）
A．發動機的額定功率為5600W
B．發動機的額定功率為9432W
C．從 x = 0到 x = 6m過程中，發動機的平均功率為 2700W
D．從 x = 0到 x = 6m過程中，發動機的平均功率為 4671W
【答案】C
【詳解】AB．因W - x圖像的斜率等于拉力 F，可知建材在前 6s 所受的拉力恒定不變，則建材做勻加速直
DW 5400 1 2
線運動，拉力為F = = N = 900N對建材受力分析，由動能定理W - mgx sin 37° = mv - 0代入數
Dx 6 2 1
據解得 v1 = 6m/s 所以發動機的額定功率為P額 = Fv1 = 900 6W = 5400W 故 AB 錯誤；
x 0 + vCD．從 x = 0到 x = 6m過程中，由運動學公式 = 1 t 建材向上運動的時間為 t = 2s所以在這過程中，發
2
W 5400
動機的平均功率為P = = W = 2700W 故 C 正確，D 錯誤。故選 C。
t 2
考向 2 瞬時功率的計算
1.利用公式 P=Fvcos α,其中 v 為 t 時刻的瞬時速度,α 為 F 與 v 的夾角。
2.利用公式 P=FvF,其中 vF為物體的速度 v 在力 F 方向上的分速度。
3.利用公式 P=Fvv,其中 Fv為物體受到的外力 F 在速度 v 方向上的分力。
7．2024 年 4 月 20 日，在世界田聯鉆石聯賽廈門站女子鉛球比賽中，中國選手以 19 米 72 的成績奪得冠
軍。若把鉛球的運動簡化為如圖所示的模型：質量為 m 的鉛球從離水平地面一定高度的 O 點被拋出，拋
出時鉛球的速度大小為 v0、與水平方向的夾角為 θ，經過一段時間鉛球落地，落地時鉛球的速度方向與水
平方向的夾角為 α，不計空氣阻力，重力加速度大小為 g。下列說法正確的是（　　）
v0 cosq tanaA．鉛球在空中運動的時間為 g
cos2q tana + sinqcosq v2
B 0．鉛球的水平位移大小為
g
C．鉛球落地前瞬間重力做功的瞬時功率為mgv0sinq
v20 tan
2a
D．鉛球的拋出點離水平地面的高度為
2g
【答案】B
【詳解】A．鉛球被拋出時的豎直分速度大小 vy = v0sinq 水平分速度大小 vx = v0cosq 落地前瞬間豎直分速度
vy + v v v tana v cosq tana y v0 sinq + cosq tana大小 y =

x = 0 因此鉛球在空中運動的時間 t = = 選項 A 錯誤；g g
B cos
2q tana + sinqcosq v20
．鉛球的水平位移大小 x = vxt = 選項 B 正確；g
C．鉛球落地前瞬間重力做功的瞬時功率P = mgv y = mgv0cosq tana 選項 C 錯誤；
v v v cosq 1 1
v2 cos2q - cos2a
D．鉛球落地時的速度大小 = x = 0 由動能定理有mgh = mv2 - mv2 0 0 解得cosa cosa 2 2 h = 2gcos2a
選項 D 錯誤。故選 B。
8．如圖所示，光滑的四分之一圓弧軌道固定在豎直平面內，最高點 P 與圓心 O 在同一水平線上，圓弧軌
道半徑為 R，重力加速度為 g，質量為 m 的滑塊（可視為質點），從圓弧軌道最高點 P 由靜止開始無初速
下滑到最低點 Q 的過程中，滑塊所受重力的瞬時功率最大值為（　　）
A 2mg gR B 2mg 3gR C mg 2gR D mg 2 2gR． ． ． ．
3 3 2 2
【答案】B
1 2
【詳解】設滑塊滑動圓弧軌道某位置與 O 連線與豎直方向夾角為q 時，速度大小為 v，則mgR cosq = mv
2
6 3
重力瞬時功率PG = mgv sinq 聯立可得PG = mg 2gR sinq cosq 求導得，當si n q = ，即cos q =
3 3
2mg 3gR
時，滑塊所受重力的瞬時功率有最大值，其值為P = 故選 B。G 3
考點三 機車啟動
考向 1 兩種機車啟動方式計算
以恒定功率啟動 以恒定加速度啟動
P t 圖像
和
v t 圖像
P
v↑ F F－F 阻＝ ↓
過程 v a＝ 不變 F 不變m
OA 分析 F－F v↑阻
a＝ ↓ P＝Fv↑直到 P 額＝Fv1
段 m
運動 v1
加速度減小的加速運動 勻加速直線運動，維持時間 t0＝
性質 a
P
F＝F 阻 a
額
＝0 v↑ F＝ ↓
過程 v
P
AB 分析 vm＝ F－F 阻F 阻 a＝ ↓
段 m
運動
以 vm做勻速直線運動 加速度減小的加速運動
性質
F＝F 阻 a＝0
BC 段 無 P 額
以 vm＝ 做勻速運動F 阻
9．質量為 m 的列車，以大小為 v0的初速度在長直軌道上做勻加速直線運動，經過時間 t 后，列車的速度
大小為 v，此時牽引力的功率為 P。假設列車行駛過程所受的阻力大小恒為 F，則列車在時間 t 內（　　）
A．牽引力逐漸減小
P
B．牽引力的大小F =牽 v
1
C．阻力所做的功W阻 = Ft v0 + v 2
W 1 mv2 1D．牽引力所做的功 = - mv2牽 2 2 0
【答案】B
【詳解】AB．根據題意可知，列車以恒定加速度在平直軌道上運動，由牛頓第二定律得F牽 - F = ma 可
P
知，牽引力大小不變，由P = F v牽 可得F =牽 故 A 錯誤，B 正確；v
v + v
C．根據題意可知，，列車以恒定加速度在平直軌道上運動，則經過時間 t 后，運動的距離為 x = 0 t 阻力
2
所做的功W = -Fx
1
= - Ft v0 + v 故 C 錯誤；2
1 1
D 2 2．在 t 時間內，根據動能定理有W -W牽 阻 = mv - mv2 2 0
故 D 錯誤。故選 B。
10．一質量為 m 的汽車沿一傾角為 θ 的斜坡直線行駛，下坡時若關掉油門，則汽車的速度保持不變；若以
恒定的功率 P 上坡，則從靜止啟動做加速運動，發生位移 s 時速度達到最大值。設汽車在上坡和下坡過程
中所受阻力的大小保持不變，重力加速度為 g，則下列說法正確的是（　　）
A．上坡過程可能為勻加速直線運動
P
B．上坡過程中，汽車的最大速度為 2mg sinq
C．關掉油門后的下坡過程，汽車的機械能守恒
D．上坡過程中，設汽車的最大速度為 vm，則汽車從靜止啟動到速度達到最大過程中，所用時間一定
2s
大于 vm
【答案】B
【詳解】A．上坡過程以恒定的功率 P 從靜止啟動做加速運動，由P = Fv，F - f - mg sinq = ma 可知，速
度增大，牽引力減小，加速度減小，不是勻加速直線運動，A 錯誤；
B．上坡過程當 a = 0時速度達到最大，下坡過程關掉油門能勻速運動，滿足 f = mg sinq 聯立解得上坡過程
P
中，汽車的最大速度為 vm = 2mg sinq ，B 正確；
C．關掉油門后的下坡過程，由于阻力做負功，汽車的機械能減小，C 錯誤；
v 2s
D．上坡過程中，設汽車的最大速度為 vm，若汽車做勻加速直線運動滿足 s = vt1 = m t t =2 1
可得 1 v 而實際上m
汽車做加速度減小的加速運動，相同位移所用時間較短，如圖所示
t t 2s 2s即 < 1 = v 故所用時間一定小于 v ，D 錯誤。故選 B。m m
考向 2 機車啟動的圖像問題
恒定功率啟動 a-1/v 圖像 恒定加速度啟動 F-1/v 圖像
P 1 Ff ①AB 段牽引力不變，做勻加速直線運動；
由 F－Ff＝ma，P＝Fv 可得：a＝ · － ，m v m ②BC 圖線的斜率 k 表示功率 P，知 BC 段功率不變，牽
P
①斜率 k＝ 引力減小，加速度減小，做加速度減小的加速運動；
m
③B 點橫坐標對應勻加速運動的末速度為 1/v1；
Ff
②縱截距 b=－
m ④C 點橫坐標對應運動的最大速度 1/v2，此時牽引力等于
阻力。
1 F
③ c= = f橫截距
vm P
11．如圖甲所示，創客小組制作了一款太陽能遙控小車，小車質量為 0.2kg，某次性能測試時，小車由靜
1
止開始沿平直路面行駛，行駛過程中小車受到的阻力恒定，其加速度 a和車速倒數 的關系如圖乙所示。
v
已知小車能達到的最大車速為2m / s，太陽能電池電能轉化為機械能的效率是 50%。下列說法正確的是
（ ）
A．小車勻加速運動的時間為 2s B．太陽能電池的最大輸出功率為 0.8W
C．小車所受阻力為 0.4N D．小車車速為1.5m / s時，牽引力的功率為 0.3W
【答案】B
【詳解】A 2．由圖乙可知，小車由靜止開始運動時，先做加速度為a0 = 1m / s 的勻加速運動，直到速度達到
v
v1 =1m / s
1
，此后小車的加速度開始減小，設小車勻加速運動的時間為 t1 ，由 v1 = a0t1可得 t1 = =1sa 故 A 錯0
誤；
B．小車勻加速運動階段，牽引力的功率不斷增大，當小車速度為1m / s 時，牽引力功率達到最大，設為
P0 。設小車變加速運動階段某一時刻的速度為 v，加速度為 a，受到的牽引力為F ，牽引力功率為 P ，受
P P 1 f
到的阻力為 f ，有P = Fv由牛頓第二定律，有 F - f = ma 可得 - f = ma 整理得 a = × - 由圖乙可知該
v m v m
1
階段 a - 圖像為傾斜直線，圖線斜率
v k = 2m
2 / s3 為定值，可知速度達到 v1 =1m / s后，小車以恒定功率P0
P
行駛，由 k = 可得P = P0 = km = 0.4W故小車牽引力的最大功率Pm 0
= 0.4W又太陽能電池電能轉化為機械
P
能的效率h = 50% 0，由h = 100%P 可得P電m = 0.8W故 B 正確；電m
P
C．當小車加速度減小到 0 時，速度達到最大值 v2 = 2m / s ，又P = F2v2，F2 - f = 0可得 f = = 0.2Nv 故 C2
錯誤；
D．小車速度由1m / s 增加到2m / s過程中，牽引力的功率始終是P = 0.4W ，故 D 錯誤。故選 B。
12．加快發展新質生產力是新時代可持續發展的必然要求，我國新能源汽車的迅猛發展就是最好的例證。
某新能源汽車生產廠家在平直公路上測試汽車性能，t＝0 時刻駕駛汽車由靜止啟動， t1 = 6s時汽車達到額
1
定功率， t2 = 14s時汽車速度達到最大，如圖是車載電腦生成的汽車牽引力 F 隨速率倒數 變化的關系圖v
1
像。已知汽車和司機的總質量 m＝2000kg，所受阻力與總重力的比值恒為 ，重力加速度 g = 10m/s2 ，下
4
列說法正確的是（　　）
A．汽車啟動后做勻加速直線運動，直到速度達到最大
B．汽車在 BC 段做勻加速直線運動，在 AB 段做勻速運動
C．汽車達到的最大速度大小為 15m/s
D．從啟動到速度達到最大過程中汽車通過的距離為 150m
【答案】D
1
【詳解】AB．由圖可知汽車在 AB 段汽車牽引力不變，根據牛頓第二定律F - mg = ma解得 a = 2.5m/s2 可
4
知汽車在 AB 段做勻加速直線運動，汽車在 BC 段牽引力逐漸減小，做加速度減小的加速運動，故汽車啟
動后先做勻加速直線運動，后做加速度減小的加速運動，直到速度達到最大，故 AB 錯誤；
D． t1 = 6s時汽車的速度為 v1 = at1 =15m/s
3
汽車額定功率為P = Fv1 =10 10 15W =1.5 10
5 W汽車達到的最
v P P 1.5 10
5
= = = m/s = 30m/s
大速度大小為 m f 1 mg 1
C
2000 10 故 錯誤；
4 4
1
D 2．汽車做勻加速直線運動的位移為 x1 = at1 = 45m從啟動到速度達到最大過程中，根據動能定理2
P(t - t ) 1- mgx 1= mv2 12 1 2 m - mv
2
1 解得 x2 =105m 汽車通過的距離為 x = x1 + x2 =150m 故 D 正確。故選 D。4 2 2
1．俯臥撐是一項深受學生們喜歡的課外健身運動，做中距俯臥撐（下左圖）時雙臂基本與肩同寬，做寬
距俯臥撐（下右圖）時雙臂大約在 1.5 倍肩寬。某位同學正在嘗試用不同姿勢的做俯臥撐；對于該同學做
俯臥撐的過程，下列說法中正確的是（ ）
A．在俯臥撐向下運動的過程中，地面對手掌的支持力小于手掌對地面的壓力
B．寬距俯臥撐比中距俯臥撐省力
C．在俯臥撐向上運動的過程中，地面對該同學的支持力做正功
D．在做俯臥撐運動的過程中，地面對該同學的沖量不為零
【答案】D
【詳解】A．地面對手掌的支持力與手掌對地面的壓力是一對相互作用力，大小相等，故 A 錯誤；
B．寬距俯臥撐雙臂間距大于肩寬，手臂間的夾角變大，作用力比中距俯臥撐作用力大，故 B 錯誤；
C．在俯臥撐向上運動的過程中，地面對該同學手掌的支持力的作用點沒有發生位移，所以地面對該同學
的支持力不做功，故 C 錯誤；
D．在做俯臥撐運動的過程中，根據 I = Nt 可知地面對該同學的沖量不為零，故 D 正確。故選 D。
2．滑塊以一定的初速度沿粗糙斜面從底端 A 上滑，到達最高點 B 后返回到底端 A。利用頻閃儀對上滑和
下滑過程進行拍攝，頻閃照片的示意圖分別如圖甲、乙所示，比較甲、乙兩圖對應的運動過程，下列說法
正確的是（　　）
A．圖甲過程可能表示下滑過程
B．圖甲、乙兩過程的加速度大小之比為 4:3
C．圖甲、乙兩過程中摩擦力做的功之比為 4:3
D．圖甲、乙兩過程分別經過 A 點時的速度大小之比為 4:3
【答案】D
【詳解】AB．根據甲、乙兩圖可知，圖甲、乙兩過程的時間之比為 3:4，位移大小之比為 1:1，根據
x 1= at 2
2
可知圖甲、乙兩過程的加速度大小之比為 16:9，圖甲過程的加速度更大，應表示上滑過程，故 AB 錯誤；
C．根據摩擦力做的功Wf = - fx甲、乙兩過程對應的摩擦力大小相等，位移大小相等，因此摩擦力做的功
相等，故 C 錯誤；
D．根據 v2 = 2ax可知，圖甲、乙兩過程分別經過 A 點時的速度大小之比為 4:3，故 D 正確。故選 D。
3．如圖甲所示，傾角為q 的斜面體固定在水平面上，其中斜面的長度為 l0 ，一質量為 m 可視為質點的物
塊從靜止開始由斜面體的頂端 A 滑到底端 B，物塊與斜面體之間的動摩擦因數與到 A 點的距離 x 按圖乙所
示的規律變化。則物塊在斜面的中點速度大小為（　　）。
A． gl0 8sinq - 0 cosq B． gl0 4sinq - 0 cosq
C gl 8sinq - cosq gl 4sinq - cosq ． 0 0 D． 0 0
2 2
【答案】D
【詳解】由圖乙可知該過程中，物塊與斜面體之間的動摩擦因數隨位移均勻增加，則物塊從 A 到斜面中點
1
的過程中動摩擦因數的平均值為 = 0 ，則摩擦力的平均值為 f = 0mg cosq 則物塊由 A 滑到斜面中點4 4
1 1
的過程中克服摩擦力做的功為Wf = fl0 = mg cosq = 0mgl0 cosq 對物體由 A 到斜面中點的過程中，由動2 8
1
能定理得 mgl0 sinq
1
- 0mgl0 cosq
1
= mv2 gl 4sinq - cosq 解得 0 0 故選 D。
2 8 2 v = 2
4．某塊石頭陷入淤泥過程中，其所受的阻力 F 與深度 h 的關系為F = kh + F0 （k，F0 已知），石頭沿豎直
方向做直線運動，當 h = h0 時，石頭陷入淤泥過程中克服阻力做的功為（　　）
A．F0h
1 1
0 B． kF0 C．F0h0 + kh
2
0 D． kh2 2 0 + F0 h0
【答案】C
F + kh + F
【詳解】所受的阻力 F 與深度 h 的關系為線性關系，則有W = Fh0 = 0 0 0 h
1 2
2 0
= F0h0 + kh2 0
故選 C。
5．如圖所示，小球在水平拉力 F 的作用下以恒定速率在豎直平面內由 P 點運動到 Q 點。在此過程中
（　　）
A．繩子拉力做正功 B．拉力 F 的瞬時功率逐漸增大
C．小球的機械能守恒 D．小球的動量逐漸增大
【答案】B
【詳解】A．小球在運動過程中，繩子拉力方向與速度方向始終垂直，則繩子拉力不做功，故 A 錯誤；
B．繩子拉力不做功，根據動能定理有WF -WG = 0克 則有WF = WG克水平拉力做的功與克服重力做功相等，則
水平拉力的功率等于克服重力做功的功率，令速度重力方向與圓周切線間的銳角為q ，則有根據功率的定
義式有P = mgv cosq 小球做勻速圓周運動由 P 點運動到 Q 點，q 逐漸減小，則拉力 F 的瞬時功率逐漸增
大，故 B 正確；
C．小球在運動過程中，速度大小不變，動能不變，高度升高，重力勢能增大，則小球的機械能增大，故
C 錯誤；
D．根據 p = mv 速度大小一定，則小球的動量大小不變，故 D 錯誤。故選 B。
6．如圖所示，小球甲在真空中做自由落體運動，另一相同的小球乙在油中由靜止開始下落，它們都由高
度為 h1 的地方下落到高度為 h2 的地方，在這兩種情況下，下列說法正確的是（ ）
A．甲球的重力勢能變化量大 B．甲球的機械能變化大
C．甲球的重力平均功率小 D．甲球的動能變化量大
【答案】D
【詳解】A．兩球下落高度相同，由W = mgh可知，重力做功相等，重力勢能的變化量等于重力做的功，
可知重力勢能的變化相等，故 A 錯誤；
B．在真空中，機械能守恒，重力勢能完全轉化為動能，而在液體中，阻力做功，機械能不守恒，重力勢
能轉化為動能和內能，甲球機械能守恒，乙球機械能變小，故 B 錯誤；
- mgh
C．兩球下落高度相同，由W = mgh可知，重力做功相等，甲球運動時間短，根據P = 可知，甲球的重
t
力平均功率大，故 C 錯誤；
D．甲球下落過程中只有重力做功，乙球下落過程中除重力做功外，還克服阻力做功，根據動能定理
W合 = DEk ，可知甲球的動能變化量大，故 D 正確。故選 D。
7．2022 年 6 月，中國海軍第三艘航母“福建”號已經下水了。新航母采用了大量的造船新科技、新材料和
新工藝。艦上擁有三條電磁彈射器，大大提高了脫載機的起飛速度。如圖所示，“福建艦”正在沿直線航
行，某時刻速度為 v1，加速度為 a1，一段時間 t 后速度變為 v2 v2 > v1 ，加速度為 a2，且 a1、 a2均不為
零。在這段時間內位移為 s。設其質量為 m，發動機的輸出功率恒為 P，所受阻力恒為 f，則下列關系式正
確的是（　　）
1 2 1 2 f PA．Pt - fs = mv2 - mv1 B． =2 2 v2
v
C． s = 1
+ v2 Pt D． a
2 1
=
mv1
【答案】A
1 2 1 2
【詳解】A．發動機的輸出功率恒為 P，所受阻力恒為 f，根據動能定理有Pt - fs = mv
2 2
- mv1 故 A 正2
P
確；B．速度為 v2，加速度為 a2，則有P = F2v2，F2 - f = ma2 解得 f = - mav 2 故 B 錯誤；2
C．發動機的輸出功率一定，速度增大，牽引力減小，加速度減小，航母做加速度減小的變加速直線運
動，根據速度時間圖像，其圖像與時間軸所圍幾何圖形的面積大于對應勻加速直線運動的位移，可知
s v + v> 1 2 t 故 C 錯誤；
2
P f
D．速度為 v1，加速度為 a1，則有P = F1v1，F1 - f = ma1解得 a1 = -mv m 故 D 錯誤。故選 A。1
8．復興號動車組在世界上首次實現時速 350km 自動駕駛功能，成為我國高鐵自主創新的又一重大標志性
成果。一列動車的初速度為 v0，以額定功率在平直軌道上運動，經過一段時間動車達到最大速度 4v0 。若
行駛過程中動車所受阻力大小與其速率成正比，則車速為 v0和 2v0 時動車的加速度大小之比為（　　）
A．2∶1 B．3∶1 C．3∶2 D．5∶2
【答案】D
P
【詳解】動車以額定功率在平直軌道上運動，動車達到最大速度 4v0，加速度為零，有 4v0 = ， f = kg4vf 0
a 5
解得P = 16kv20 當車速為 v0和 2v0時，則P = F1gv0 = F2 g2v0 ，F1 - kv0 = ma1 ，F2 - kg2v
1
0 = ma2聯立解得 =a2 2
故選 D。
9．如圖所示，用跨過光滑定滑輪的纜繩將海面上一艘失去動力的小船沿直線拖向岸邊。已知拖動纜繩的
電動機功率恒為 P，小船的質量為 m，小船受到的阻力大小恒為 f，經過 A 點時的速度大小為 v0，與繩的
夾角為q ，小船從 A 點沿直線加速運動到 B 點經歷時間為 t，A、B 兩點間距離為 d，纜繩質量忽略不計
（　　）
v
A．小船經過 A 點時，電動機收繩的速度 0
cosq
P
B．小船在 A 點時，纜繩對小船的拉力為 v0 cosq
C．小船從 A 點運動到 B 點的全過程阻力做功 fd
D．小船從 A 點運動到 B 點的全過程合力做功Pt - fd
【答案】BD
【詳解】AB．小船在 A 點時的速度可以分解為沿繩子方向的速度和垂直于繩子方向的速度，電動機收繩的
P P
速度 v = v0 cosq 電動機對繩的拉力為F = =v v0 cosq
故 A 錯誤，B 正確；
C．小船從 A 點運動到 B 點阻力做功 Wf=-fd 故 C 錯誤；
D．小船從 A 點運動到 B 點，電動機牽引纜繩對小船做功 W＝Pt 小船從 A 點運動到 B 點的全過程合力做功
W合 = Pt - fd 故 D 正確。故選 BD。
10．如圖甲所示，一輕質彈簧的一端固定在傾角為 30°的足夠長的固定光滑斜面底端，另一端與質量為 1kg
的物塊 A 連接，質量為 4kg 的物塊 B 緊靠（不粘連）物塊 A 靜止在斜面上，此時彈簧的壓縮量為 0.5m。
某時刻對物塊 B 施加沿斜面向上的力 F，使物塊 B 做勻加速直線運動，一段時間后物塊 A、B 分離，物塊
B 所受力 F 隨物塊 B 的位移 x 變化的關系如圖乙所示。若彈簧的形變始終在彈性限度內，取重力加速度
g = 10m/s2 。下列說法正確的是（　　）
A．圖乙中的F0 = 4N
B．彈簧的勁度系數為 50N/m
C．從物塊 B 開始運動至與物塊 A 分離的過程中，拉力 F 做的功為 2.66J
D．從物塊 B 開始運動至與物塊 A 分離的過程中，物塊 B 增加的機械能為 10.08J
【答案】BD
【詳解】AB．開始物塊A 、B靜止，對物塊A 、B受力分析，根據平衡的條件得 mA + mB g sin 30° = kx1由
題意知 x1 = 0.5m，解得 k = 50N / m 由乙圖可知，當拉力F1 = 28N時，拉力開始恒定不變，說明此時物塊
A 、B分離，對物塊B受力分析，由牛頓第二定律得F1 - mBg sin 30° = mBa解得 a = 2m / s2 當施加的力為F0
時，對物塊A 、B整體受力分析，由牛頓第二定律得F0 + kx1 - mA + mB g sin 30° = mA + mB a解得
F0 =10N故 A 錯誤，B 正確；
C．物塊A 、B分離瞬間，物塊A 、B之間的作用力為零，設此時彈簧壓縮量為 x2，對物塊A 受力分析，
由牛頓第二定律得 kx2 - mAg sin 30° = mAa 解得 x2 = 0.14m從物塊B開始運動至與物塊A 分離的過程中，由
F + F
于拉力F 在F0 到F1均勻變化，拉力F 做的功為W = 0 1 x2 1 - x2 解得W = 6.84J故 C 錯誤；
D 2．設物塊 A、B 分離瞬間二者的速度大小為 v，對物塊 A、B 由勻變速直線運動的規律得 v = 2a x1 - x2 解
得 v =1.2m / s從物塊B開始運動至與物塊A 分離的過程中，物塊 B 增加的動能
1 1
DEk = m
2
Bv = 4 1.2
2 J = 2.88J 物塊 B 增加的勢能
2 2
DEp = mBg x1 - x2 sin 30° = 4 10 0.5 - 0.14
1
J = 7.2J 物塊B增加的機械能為
2
E = Ek + Ep = 2.88J + 7.2J =10.08J 故 D 正確；故選 BD。
11．如圖所示，輕質定滑輪固定在天花板上，物體 P 和 Q 用不可伸長的輕繩相連，懸掛在定滑輪上，物
體 Q 的質量為 m，且物體 Q 的質量大于物體 P 的質量。t=0 時刻將兩物體由靜止釋放，物體 Q 的加速度
1
大小為 2 g，t0時刻輕繩突然斷裂，物體 P 能夠達到的最高點恰與物體 Q 釋放位置處于同一高度。重力加
速度大小為 g，不計摩擦和空氣阻力，兩物體均可視為質點。下列說法正確的是（ ）
A．物體 P 和 Q 的質量之比為 1：2
3
B．t=0 2時刻，P、Q 兩物體相距 gt
8 0
1
C．2t 20時刻，物體 P 重力的功率為 mg t4 0
1
D 2 2．從開始到繩突然斷裂過程中，物體 Q 克服繩的拉力所做的功為 mg t
8 0
【答案】BD
1
【詳解】A．兩物體剛釋放瞬間，對 P、Q 分別由牛頓第二定律有 mQg-FT=mQa，FT-mPg=mPa 其中 a = g 聯2
1 mP 1
立方程可得F =T = mg ， m 3故 A 錯誤；2 Q
1
B．在 t0時刻兩物體的速度 v0 = gt
1 1 1
0 P 上升的高度 h1 = × gt
2
0 = gt
2
細繩斷裂后 P 上升的高度
2 2 2 4 0
h v
2
0 1
2 = = gt
2
0 t=0 時刻，P、Q 兩物體相距Dh = h h
3
+ = gt 2 故 B 正確；
2g 8 1 2 8 0
1
C．2t0時刻，即繩子斷裂后再經過 t0時間，則此時物體 P 的速度 v1 = v0 - gt0 = - gt0 方向向下，則此時物2
體 P 重力的功率為P = mP gv
1
1 = mg
1
gt 10 = mg
2t0 故 C 錯誤；3 2 6
1
D 2 2．從開始到繩突然斷裂過程中，物體 Q 克服繩的拉力所做的功為W = FT h1 = mg t0 故 D 正確。故選8
BD。
12．放在粗糙水平地面上的物體受到水平拉力的作用，在 0~6s 內其速度與時間的圖像和該拉力的功率與時
間的圖像如圖甲、乙所示。下列說法正確的是（　　）
A．0~6s 內拉力做功為 100J
B．0~6s 內物體的位移大小為 30m
C．滑動摩擦力的大小為 5N
D．0~6s 內滑動摩擦力做功為-50J
【答案】BD
4 + 6
【詳解】B． v- t 圖線下方的面積表示位移，由甲圖可得，0 ~ 6s內物體的位移大小為 s = 6m = 30m
2
故 B 正確；
1
A．P - t 圖線下方的面積表示拉力所做的功，由乙圖可得W = ( 30 2 +10 4)J = 70J 故 A 錯誤；
2
P 10 5
C．2~6s 內物體做勻速直線運動，拉力等于阻力，滿足P = Fv = fv解得 f = = N = N 故 C 錯誤；
v 6 3
D．摩擦力所做的功為Wf = - fs = -50J故 D 正確。故選 BD。
13．跳繩是一種健身運動。一位同學在原地跳繩過程中，離開地面后豎直方向的速率-時間圖像如圖所示。
已知該同學的質量 m 和圖像中的數據 t0 ，重力加速度為 g，不計阻力，下列對該同學跳繩過程中的說法正
確的是（　　）
9
A gt 2．該同學重心上升的最大高度為
100 0
9
B．該同學重心上升的最大高度為 gt 2
200 0
3
C 2．該同學克服重力做功的平均功率約為 mg t
40 0
9
D 2．該同學克服重力做功的平均功率約為 mg t
200 0
【答案】BD
3 3
【詳解】AB．根據豎直上拋規律，可知離開地面后瞬間速度為 v = g t0 = gt0 速度時間圖像與時間軸10 10
v 3 t
圍成的面積表示位移，可知該同學重心上升的最大高度 h = 10
0 9
= gt 2 故 B 正確，A 錯誤；
2 200 0
W 9
CD 2．一個周期內克服重力做功W = mgh克服重力做功的平均功率P = t 解得P = mg t0 故 C 錯誤，D 正0 200
確。故選 BD 。
14．如圖所示，我國的高鐵技術處于世界領先水平，動車組由動車和拖車組合而成，提供動力的車廂叫動
車，不提供動力的車廂叫拖車。假設動車組各車廂的質量均為 m，動車組在水平直軌道上運行過程中受到
的阻力與車重成正比，比例系數為 k，其中每節動車的額定功率都為 P。某列動車組由 8 節車廂組成，其
中第 1、5 節車廂為動車，其余為拖車，則下列關于該動車組的說法，正確的是（　　）
P
A．動車組運行的最大速率為 8kmg
P
B．動車組運行的最大速率為 4kmg
C．兩節動車以額定功率使動車組做勻加速運動時，第 2、3 節與第 5、6 節車廂間的作用力之比為3: 2
D．兩節動車以額定功率使動車組做勻加速運動時，第 2、3 節與第 5、6 節車廂間的作用力之比為 2 : 3
【答案】BD
【詳解】AB．以最大速率行駛時，牽引力等阻力，牽引力F總 = 8kmg 而總功率為 2P，故最大速率
v 2P P= =
8kmg 4kmg 故 A 錯誤，B 正確；
CD．當兩節動車都以額定功率使動車組做勻加速運動時，設第 2、3 節車廂間的作用力為F23，5、6 節車廂
間的作用力為F56，加速度為 a，每節動車產生的牽引力為 F，每節車廂所受的阻力為 kmg ，將第 6、7、8
節車廂作為整體分析，由牛頓第二定律可得 F56 - 3kmg = 3ma 將第 3、4、5、6、7、8 節車廂作為整體分
析，由牛頓第二定律可得F23 + F - 6kmg = 6ma 對整列動車組，由牛頓第二定律可得 2F -8kmg = 8ma聯立
解得 F23 : F56 = 2 : 3故 C 錯誤，D 正確。故選 BD。
15．如圖所示，是小朋友非常喜歡的一款電動玩具小車，我們可以通過玩具小車在水平面上的運動來研究
功率問題。已知小車質量為 m，小車剛達到額定功率開始計時，且此后小車保持功率不變，小車的 v- t 圖
3
象如圖甲所示， t0 時刻小車的速度達到最大速度的 倍，小車速度由 v0增加到最大值的過程中，小車的牽4
引力 F 與速度 v 的關系圖象如圖乙所示，運動過程中小車所受阻力恒定，下列說法正確的是（　　）
A．小車的額定功率為 4F0v0
B．小車的最大速度為3v0
F
C． t0 時刻，小車加速度大小為 0m
4mv2
D．0 - t0 時間內，小車運動的位移大小為 s = 4v0t0 - 0F0
【答案】AD
【詳解】A．根據題意可知，當 v = v0 時，有F1 = 4F0 由功率公式P = F1v 可知P額 = 4F0v0故 A 正確；
B．當小車以最大速度勻速運動時F2 = F0 且F2 = f 根據P額 = F2vmax = fvmax 即4F0v0 = F0vmax = fvmax 可得
vmax = 4v0 故 B 錯誤；
3
C．由 A、B 選項可知 vmax = 4v0 ，P額 = 4F0v0則根據公式P = Fv可得小車速度達到最大速度的 倍時，此時4
P
F 額 = 4F0v0 4=
的牽引力 3 3 3 = F3 0 又 f = F0 根據牛頓第二定律F3 - f = ma a
F
= 0
v C 4v 聯立解得 故 錯誤；max 0 3m4 4
D 1 3
2 1 4mv2
．在0 : t0 時間內，位移為 s，根據動能定理P額t0 - fs = m

v

max ÷ - mv
2
0 解得 s = 4v t -
0 D
2 è 4 2
0 0 F 故 正0
確。故選 AD。
16．圖甲起重機某次從 t = 0時刻由靜止開始提升質量為m =150kg 的物體，其 a - t 圖像如圖乙所示，5~10s
內起重機的功率為額定功率，不計其它阻力，重力加速度為 g = 10m/s2 ，則以下說法正確的是（　　）
A．物體在 0~10s 內運動的最大速度為 10m/s
B．起重機的額定功率為 18000W
C．5~10s 內起重機對物體做的功等于 0~5s 內起重機對物體做功的 1.5 倍
D．5~10s 內起重機對物體做的功等于 0~5s 內起重機對物體做功的 2 倍
【答案】BD
【詳解】A．由 a - t 圖像可知，物體在0 ~ 5s 做勻加速直線運動，5s 時物體的速度為
v1 = at1 = 2 5m/s =10m/s由于5s 后物體繼續做加速度逐漸減小的加速運動，可知物體在0 ~ 10s內運動的最
大速度大于10m/s，故 A 錯誤；
B．由 a - t 圖像可知，在5s 時，物體結束做勻加速運動，此時起重機功率達到最大功率，根據牛頓第二定
律可得F - mg = ma 解得F =1800N 則起重機的額定功率為P額 = Fv1 =1800 10W =18000W 故 B 正確；
v 10
CD．0 ~ 5s 內，物體的位移為 x1 = 1 t1 = 5m = 25m 0 ~ 5s 內起重機對物體做的功為2 2
W1 = Fx1 =1800 25J = 45000J 5 ~ 10s 內起重機保持額定功率不變，則5 ~ 10s 內起重機對物體做的功
W2 = P額t =18000 5J = 90000J可得 2W1 = W2 故 D 正確，C 錯誤。故選 BD。
17．（2024·浙江·高考真題）一個音樂噴泉噴頭出水口的橫截面積為 2 10-4 m2 ，噴水速度約為 10m/s，水的
密度為1 103 kg/m3，則該噴頭噴水的功率約為（　　）
A．10W B．20W C．100W D．200W
【答案】C
【詳解】設Δt 時間內從噴頭流出的水的質量為m = rSv·Δt 噴頭噴水的功率等于Δt 時間內噴出的水的動能增
1
W mv
2
加量，即P = = 2 聯立解得P = 100W故選 C。
Δt Δt
18．（2024·廣東·高考真題）如圖所示，探測器及其保護背罩通過彈性輕繩連接降落傘。在接近某行星表面
時以60m/s的速度豎直勻速下落。此時啟動“背罩分離”，探測器與背罩斷開連接，背罩與降落傘保持連
1
接。已知探測器質量為 1000kg，背罩質量為 50kg 1，該行星的質量和半徑分別為地球的 和
10 2
。地球表面
重力加速度大小取 g = 10m/s2 。忽略大氣對探測器和背罩的阻力。下列說法正確的有（　　）
A．該行星表面的重力加速度大小為 4m/s2
B．該行星的第一宇宙速度為7.9km/s
C．“背罩分離”后瞬間，背罩的加速度大小為80m/s2
D．“背罩分離”后瞬間，探測器所受重力對其做功的功率為 30kW
【答案】AC
Mm GM 1
A G = mg g = 1【詳解】 ．在星球表面，根據 2 可得 2 行星的質量和半徑分別為地球的 和 2 。地球表R R 10
面重力加速度大小取 g = 10m/s2 ，可得該行星表面的重力加速度大小 g = 4m/s2故 A 正確；
2
B Mm v GM．在星球表面上空，根據萬有引力提供向心力G 2 = m 可得星球的第一宇宙速度 v = 行星的質R R R
1 1 5
量和半徑分別為地球的 和 2 ，可得該行星的第一宇宙速度10 v行 = v
地球的第一宇宙速度為7.9km/s ，
5 地
5
所以該行星的第一宇宙速度 v = 7.9km/s故 B 錯誤；行 5
C．“背罩分離”前，探測器及其保護背罩和降落傘整體做勻速直線運動，對探測器受力分子，可知探測器與
保護背罩之間的作用力F = mg = 4000N “背罩分離”后，背罩所受的合力大小為 4000N，對背罩，根據牛頓
第二定律F = m a解得a = 80m/s2 故 C 正確；
D．“背罩分離”后瞬間探測器所受重力對其做功的功率P = mg v =1000 4 60W = 240kW 故 D 錯誤。故選
AC。考點 22 功和功率 機車啟動問題
1. 高考真題考點分布
題型 考點考查 考題統計
選擇題 正功負功 2024 年海南卷
計算題 功和功率計算 2024 年福建卷
選擇題 功率計算 2024 年浙江卷
2. 命題規律及備考策略
【命題規律】高考對功和功率的考查頻率較高，近今年主要以選擇題的形式出現，題目難度上有時容易有
時比較難，同時，計算題中也會經常出現有關功和功率的計算。
【備考策略】
1.掌握恒力功和變力功的計算。
2.掌握功率的計算，理解機車啟動問題。
【命題預測】重點關注變力做功和機車啟動問題。
一、功
1．定義：一個物體受到力的作用，如果在力的方向上發生了一段位移，就說這個力對物體做了功。
2．做功的兩個要素
(1)作用在物體上的力。
(2)物體在力的方向上發生的位移。
3．公式：W＝Flcosα。
(1)α 是力與位移方向之間的夾角，l 為物體對地的位移。
(2)該公式只適用于恒力做功。
4．功的正負
(1)當 0°≤α＜90°時，W＞0，力對物體做正功。
(2)當 90°＜α≤180°時，W＜0，力對物體做負功，或者說物體克服這個力做了功。
(3)當 α＝90°時，W＝0，力對物體不做功。
二、功率
1．定義：功與完成這些功所用時間的比值。
2．物理意義：描述力對物體做功的快慢。
3．公式
W
(1)P＝ ，P 為時間 t 內的平均功率。
t
(2)P＝Fv cos α(α 為 F 與 v 的夾角)。
①v 為平均速度，則 P 為平均功率。
②v 為瞬時速度，則 P 為瞬時功率。
4．發動機功率：機車發動機的功率 P＝Fv，F 為牽引力，并非機車所受的合力。
考點一 功的計算
考向 1 恒力功的計算
1．恒力功的計算方法
2．總功的計算方法
方法一：先求合力 F 合，再用 W 總＝F 合 lcos α 求功，此法要求 F 合為恒力。
方法二：先求各個力做的功 W1、W2、W3、…，再應用 W 總＝W1＋W2＋W3＋…求總功，注意代入“＋”“－”再
求和。
1．如圖所示，質量為m 的物體置于傾角為q 的斜面上，物體與斜面間的動摩擦因數為 ，在外力作用下，
斜面以加速度 a沿水平方向向左勻加速運動一段距離，運動中物體與斜面體始終相對靜止。關于物體，下
列說法正確的是（ ）
A．摩擦力一定不做功 B．摩擦力一定做負功
C．支持力一定做正功 D．合外力做功可能為零
2．如圖所示，傾角為q = 37°的斜面固定在水平桌面上，用平行斜面向上的推力F1將位于斜面底端的滑塊
推到斜面頂端，推力F1做的功至少為W0 。已知物塊與斜面間的動摩擦因數為 = 0.5， sin 37° = 0.6 ，
cos37° = 0.8，若用水平向左的推力F2 將物塊推到頂端，推力F2 做的功至少為（ ）
A．1.2W0 B．1.4W0 C．1.6W0 D．1.8W0
考向 2 變力做功的計算
方法 以例說法
應用 用力 F 把小球從 A 處緩慢拉到 B 處，F 做的功為 WF，則有 WF－mgl(1－cos θ)＝0，得 WF＝
動能 mgl(1－cos θ)
定理
質量為 m 的木塊在水平面內做半徑為 R 的圓周運動，運動一周克服摩擦力做的功 Wf＝Ff·Δx1＋
微元
Ff·Δx2＋Ff·Δx3＋…＝Ff(Δx1＋Δx2＋Δx3＋…)＝Ff·2πR
法
等效 h h
恒力 F 把物塊從 A 拉到 B，繩子對物塊做的功 W＝F·( － )
轉換 sin α sin β
法
kx1＋kx平均 2 彈簧由伸長 x1被繼續拉至伸長 x2的過程中，克服彈力做的功 W＝ ·(x －x )2 2 1
力法
一水平拉力 F0拉著一物體在水平面上運動的位移為 x0，圖線與橫軸所圍面積表示拉力所做的
圖像
功，W＝F0x0
法
3．在多年前的農村，人們往往會選擇讓驢來拉磨把食物磨成面，假設驢對磨桿的平均拉力為 600 N，半徑
r 為 0.5 m，轉動一周為 5 s，則（　　）
A．驢轉動一周拉力所做的功為 0
B．驢轉動一周拉力所做的功為 600 J
C．驢轉動一周拉力的平均功率為 120π W
D．磨盤邊緣的線速度為 0.1π m/s
4．一質量為 4kg 的物體，在粗糙的水平面上受水平恒定的拉力 F 作用做勻速直線運動。物體運動一段時
間后拉力逐漸減小，當拉力減小到零時，物體剛好停止運動。如圖所示為拉力 F 隨位移 x 變化的關系圖
像，重力加速度大小取 10m/s2，則可以求得（　　）
A．物體做勻速直線運動的速度為 4m/s
B．整個過程拉力對物體所做的功為 4J
C．整個過程摩擦力對物體所做的功為-8J
D．整個過程合外力對物體所做的功為-4J
考點二 對功率的理解與計算
考向 1 平均功率的計算
1. 利用 P= 。
2.利用 P=Fvcos α,其中 v 為物體運動的平均速度,α 為 F 與 v 的夾角。
5．2024 年 4 月 1 日，無錫市政府與順豐公司、豐翼公司、中國郵政就《“低空＋物流”合作項目》進行簽
約，共同打造長三角低空經濟產業發展高地、全國低空經濟創新示范區。低空物流無人機配送首飛活動舉
行，啟動無人機快遞運輸和配送。活動現場有一架無人機在運送物資，已知質量為 6kg 的郵件在被無人機
從地面吊起后，在豎直方向運動的 v- t 圖像如圖所示（豎直向上為正方向），重力加速度大小 g =10m/s2 。
根據圖像下列判斷正確的是（　　）
A．在 10~30s 時間內郵件的機械能不變
B．46s 時郵件離地面的高度為 28m
C．在 0~10s 內無人機拉力做功的平均功率為 30.3W
D．在 30~36s 內無人機拉力對郵件做負功，其功率逐漸減小
6．如圖甲所示，某水電站建筑工地用發動機沿傾斜光滑軌道將建材拉到大壩頂上，已知軌道的傾角
q = 37°，每次從大壩底端由靜止向上拉建材的過程中，發動機所做的功與位移的關系如圖乙所示。圖乙中
圖線為直線，當 x = 6m時發動機達到額定功率。已知每個建材的質量m =100kg ，重力加速度 g =10m/s2 ，
sin 37° = 0.6 ， cos37° = 0.8。下列說法正確的是（ ）
A．發動機的額定功率為5600W
B．發動機的額定功率為9432W
C．從 x = 0到 x = 6m過程中，發動機的平均功率為 2700W
D．從 x = 0到 x = 6m過程中，發動機的平均功率為 4671W
考向 2 瞬時功率的計算
1.利用公式 P=Fvcos α,其中 v 為 t 時刻的瞬時速度,α 為 F 與 v 的夾角。
2.利用公式 P=FvF,其中 vF為物體的速度 v 在力 F 方向上的分速度。
3.利用公式 P=Fvv,其中 Fv為物體受到的外力 F 在速度 v 方向上的分力。
7．2024 年 4 月 20 日，在世界田聯鉆石聯賽廈門站女子鉛球比賽中，中國選手以 19 米 72 的成績奪得冠
軍。若把鉛球的運動簡化為如圖所示的模型：質量為 m 的鉛球從離水平地面一定高度的 O 點被拋出，拋
出時鉛球的速度大小為 v0、與水平方向的夾角為 θ，經過一段時間鉛球落地，落地時鉛球的速度方向與水
平方向的夾角為 α，不計空氣阻力，重力加速度大小為 g。下列說法正確的是（　　）
v
A 0
cosq tana
．鉛球在空中運動的時間為 g
cos2q tana + sinqcosqB v
2
0
．鉛球的水平位移大小為
g
C．鉛球落地前瞬間重力做功的瞬時功率為mgv0sinq
v2tan2a
D．鉛球的拋出點離水平地面的高度為 0
2g
8．如圖所示，光滑的四分之一圓弧軌道固定在豎直平面內，最高點 P 與圓心 O 在同一水平線上，圓弧軌
道半徑為 R，重力加速度為 g，質量為 m 的滑塊（可視為質點），從圓弧軌道最高點 P 由靜止開始無初速
下滑到最低點 Q 的過程中，滑塊所受重力的瞬時功率最大值為（　　）
A 2mg gR． B 2mg 3gR． C mg 2gR． D mg 2 2gR．
3 3 2 2
考點三 機車啟動
考向 1 兩種機車啟動方式計算
以恒定功率啟動 以恒定加速度啟動
P t 圖像
和
v t 圖像
P
v↑ F F－F 阻＝ ↓
過程 v a＝ 不變 F 不變m
OA 分析 F－F v↑阻
a＝ ↓ P＝Fv↑直到 P 額＝Fv1
段 m
運動 v1
加速度減小的加速運動 勻加速直線運動，維持時間 t0＝
性質 a
P
F＝F 阻 a
額
＝0 v↑ F＝ ↓
過程 v
P
AB 分析 vm＝ F－F 阻F 阻 a＝ ↓
段 m
運動
以 vm做勻速直線運動 加速度減小的加速運動
性質
F＝F 阻 a＝0
BC 段 無 P 額
以 vm＝ 做勻速運動F 阻
9．質量為 m 的列車，以大小為 v0的初速度在長直軌道上做勻加速直線運動，經過時間 t 后，列車的速度
大小為 v，此時牽引力的功率為 P。假設列車行駛過程所受的阻力大小恒為 F，則列車在時間 t 內（　　）
A．牽引力逐漸減小
P
B．牽引力的大小F =牽 v
C．阻力所做的功W
1
阻 = Ft v0 + v 2
1 2 1D 2．牽引力所做的功W = mv - mv牽 2 2 0
10．一質量為 m 的汽車沿一傾角為 θ 的斜坡直線行駛，下坡時若關掉油門，則汽車的速度保持不變；若以
恒定的功率 P 上坡，則從靜止啟動做加速運動，發生位移 s 時速度達到最大值。設汽車在上坡和下坡過程
中所受阻力的大小保持不變，重力加速度為 g，則下列說法正確的是（　　）
A．上坡過程可能為勻加速直線運動
P
B．上坡過程中，汽車的最大速度為 2mg sinq
C．關掉油門后的下坡過程，汽車的機械能守恒
D．上坡過程中，設汽車的最大速度為 vm，則汽車從靜止啟動到速度達到最大過程中，所用時間一定
2s
大于 vm
考向 2 機車啟動的圖像問題
恒定功率啟動 a-1/v 圖像 恒定加速度啟動 F-1/v 圖像
P 1 Ff ①AB 段牽引力不變，做勻加速直線運動；
由 F－Ff＝ma，P＝Fv 可得：a＝ · － ，m v m ②BC 圖線的斜率 k 表示功率 P，知 BC 段功率不變，牽
P
①斜率 k＝ 引力減小，加速度減小，做加速度減小的加速運動；
m
③B 點橫坐標對應勻加速運動的末速度為 1/v1；
Ff
②縱截距 b=－
m ④C 點橫坐標對應運動的最大速度 1/v2，此時牽引力等于
F 阻力。1
③ f橫截距 c= =
vm P
11．如圖甲所示，創客小組制作了一款太陽能遙控小車，小車質量為 0.2kg，某次性能測試時，小車由靜
1
止開始沿平直路面行駛，行駛過程中小車受到的阻力恒定，其加速度 a和車速倒數 的關系如圖乙所示。
v
已知小車能達到的最大車速為2m / s，太陽能電池電能轉化為機械能的效率是 50%。下列說法正確的是
（ ）
A．小車勻加速運動的時間為 2s B．太陽能電池的最大輸出功率為 0.8W
C．小車所受阻力為 0.4N D．小車車速為1.5m / s時，牽引力的功率為 0.3W
12．加快發展新質生產力是新時代可持續發展的必然要求，我國新能源汽車的迅猛發展就是最好的例證。
某新能源汽車生產廠家在平直公路上測試汽車性能，t＝0 時刻駕駛汽車由靜止啟動， t1 = 6s時汽車達到額
1
定功率， t2 = 14s時汽車速度達到最大，如圖是車載電腦生成的汽車牽引力 F 隨速率倒數 變化的關系圖v
1
像。已知汽車和司機的總質量 m＝2000kg，所受阻力與總重力的比值恒為 ，重力加速度 g = 10m/s2 ，下
4
列說法正確的是（　　）
A．汽車啟動后做勻加速直線運動，直到速度達到最大
B．汽車在 BC 段做勻加速直線運動，在 AB 段做勻速運動
C．汽車達到的最大速度大小為 15m/s
D．從啟動到速度達到最大過程中汽車通過的距離為 150m
1．俯臥撐是一項深受學生們喜歡的課外健身運動，做中距俯臥撐（下左圖）時雙臂基本與肩同寬，做寬
距俯臥撐（下右圖）時雙臂大約在 1.5 倍肩寬。某位同學正在嘗試用不同姿勢的做俯臥撐；對于該同學做
俯臥撐的過程，下列說法中正確的是（ ）
A．在俯臥撐向下運動的過程中，地面對手掌的支持力小于手掌對地面的壓力
B．寬距俯臥撐比中距俯臥撐省力
C．在俯臥撐向上運動的過程中，地面對該同學的支持力做正功
D．在做俯臥撐運動的過程中，地面對該同學的沖量不為零
2．滑塊以一定的初速度沿粗糙斜面從底端 A 上滑，到達最高點 B 后返回到底端 A。利用頻閃儀對上滑和
下滑過程進行拍攝，頻閃照片的示意圖分別如圖甲、乙所示，比較甲、乙兩圖對應的運動過程，下列說法
正確的是（　　）
A．圖甲過程可能表示下滑過程
B．圖甲、乙兩過程的加速度大小之比為 4:3
C．圖甲、乙兩過程中摩擦力做的功之比為 4:3
D．圖甲、乙兩過程分別經過 A 點時的速度大小之比為 4:3
3．如圖甲所示，傾角為q 的斜面體固定在水平面上，其中斜面的長度為 l0 ，一質量為 m 可視為質點的物
塊從靜止開始由斜面體的頂端 A 滑到底端 B，物塊與斜面體之間的動摩擦因數與到 A 點的距離 x 按圖乙所
示的規律變化。則物塊在斜面的中點速度大小為（　　）。
A． gl0 8sinq - 0 cosq B． gl0 4sinq - 0 cosq
C gl0 8sinq - 0 cosq D gl0 4sinq - ． ． 0 cosq
2 2
4．某塊石頭陷入淤泥過程中，其所受的阻力 F 與深度 h 的關系為F = kh + F0 （k，F0 已知），石頭沿豎直
方向做直線運動，當 h = h0 時，石頭陷入淤泥過程中克服阻力做的功為（　　）
1
A 2
1
．F0h0 B． kF0 C．F0h0 + kh0 D． kh2 2 0 + F0 h0
5．如圖所示，小球在水平拉力 F 的作用下以恒定速率在豎直平面內由 P 點運動到 Q 點。在此過程中
（　　）
A．繩子拉力做正功 B．拉力 F 的瞬時功率逐漸增大
C．小球的機械能守恒 D．小球的動量逐漸增大
6．如圖所示，小球甲在真空中做自由落體運動，另一相同的小球乙在油中由靜止開始下落，它們都由高
度為 h1 的地方下落到高度為 h2 的地方，在這兩種情況下，下列說法正確的是（ ）
A．甲球的重力勢能變化量大 B．甲球的機械能變化大
C．甲球的重力平均功率小 D．甲球的動能變化量大
7．2022 年 6 月，中國海軍第三艘航母“福建”號已經下水了。新航母采用了大量的造船新科技、新材料和
新工藝。艦上擁有三條電磁彈射器，大大提高了脫載機的起飛速度。如圖所示，“福建艦”正在沿直線航
行，某時刻速度為 v1，加速度為 a1，一段時間 t 后速度變為 v2 v2 > v1 ，加速度為 a2，且 a1、 a2均不為
零。在這段時間內位移為 s。設其質量為 m，發動機的輸出功率恒為 P，所受阻力恒為 f，則下列關系式正
確的是（　　）
1
A 2
1 2 P
．Pt - fs = mv - mv B． f =
2 2 2 1 v2
v + v
C． s = 1 2
P
t D． a
2 1
=
mv1
8．復興號動車組在世界上首次實現時速 350km 自動駕駛功能，成為我國高鐵自主創新的又一重大標志性
成果。一列動車的初速度為 v0，以額定功率在平直軌道上運動，經過一段時間動車達到最大速度 4v0 。若
行駛過程中動車所受阻力大小與其速率成正比，則車速為 v0和 2v0 時動車的加速度大小之比為（　　）
A．2∶1 B．3∶1 C．3∶2 D．5∶2
9．如圖所示，用跨過光滑定滑輪的纜繩將海面上一艘失去動力的小船沿直線拖向岸邊。已知拖動纜繩的
電動機功率恒為 P，小船的質量為 m，小船受到的阻力大小恒為 f，經過 A 點時的速度大小為 v0，與繩的
夾角為q ，小船從 A 點沿直線加速運動到 B 點經歷時間為 t，A、B 兩點間距離為 d，纜繩質量忽略不計
（　　）
v
A．小船經過 A 點時，電動機收繩的速度 0
cosq
P
B．小船在 A 點時，纜繩對小船的拉力為 v0 cosq
C．小船從 A 點運動到 B 點的全過程阻力做功 fd
D．小船從 A 點運動到 B 點的全過程合力做功Pt - fd
10．如圖甲所示，一輕質彈簧的一端固定在傾角為 30°的足夠長的固定光滑斜面底端，另一端與質量為 1kg
的物塊 A 連接，質量為 4kg 的物塊 B 緊靠（不粘連）物塊 A 靜止在斜面上，此時彈簧的壓縮量為 0.5m。
某時刻對物塊 B 施加沿斜面向上的力 F，使物塊 B 做勻加速直線運動，一段時間后物塊 A、B 分離，物塊
B 所受力 F 隨物塊 B 的位移 x 變化的關系如圖乙所示。若彈簧的形變始終在彈性限度內，取重力加速度
g = 10m/s2 。下列說法正確的是（　　）
A．圖乙中的F0 = 4N
B．彈簧的勁度系數為 50N/m
C．從物塊 B 開始運動至與物塊 A 分離的過程中，拉力 F 做的功為 2.66J
D．從物塊 B 開始運動至與物塊 A 分離的過程中，物塊 B 增加的機械能為 10.08J
11．如圖所示，輕質定滑輪固定在天花板上，物體 P 和 Q 用不可伸長的輕繩相連，懸掛在定滑輪上，物
體 Q 的質量為 m，且物體 Q 的質量大于物體 P 的質量。t=0 時刻將兩物體由靜止釋放，物體 Q 的加速度
1
大小為 2 g，t0時刻輕繩突然斷裂，物體 P 能夠達到的最高點恰與物體 Q 釋放位置處于同一高度。重力加
速度大小為 g，不計摩擦和空氣阻力，兩物體均可視為質點。下列說法正確的是（ ）
A．物體 P 和 Q 的質量之比為 1：2
3
B．t=0 時刻，P、Q gt 2兩物體相距
8 0
1
C．2t 20時刻，物體 P 重力的功率為 mg t4 0
1
D 2 2．從開始到繩突然斷裂過程中，物體 Q 克服繩的拉力所做的功為 mg t
8 0
12．放在粗糙水平地面上的物體受到水平拉力的作用，在 0~6s 內其速度與時間的圖像和該拉力的功率與時
間的圖像如圖甲、乙所示。下列說法正確的是（　　）
A．0~6s 內拉力做功為 100J
B．0~6s 內物體的位移大小為 30m
C．滑動摩擦力的大小為 5N
D．0~6s 內滑動摩擦力做功為-50J
13．跳繩是一種健身運動。一位同學在原地跳繩過程中，離開地面后豎直方向的速率-時間圖像如圖所示。
已知該同學的質量 m 和圖像中的數據 t0 ，重力加速度為 g，不計阻力，下列對該同學跳繩過程中的說法正
確的是（　　）
9
A 2．該同學重心上升的最大高度為 gt
100 0
9
B gt 2．該同學重心上升的最大高度為
200 0
3
C 2．該同學克服重力做功的平均功率約為 mg t
40 0
9
D 2．該同學克服重力做功的平均功率約為 mg t
200 0
14．如圖所示，我國的高鐵技術處于世界領先水平，動車組由動車和拖車組合而成，提供動力的車廂叫動
車，不提供動力的車廂叫拖車。假設動車組各車廂的質量均為 m，動車組在水平直軌道上運行過程中受到
的阻力與車重成正比，比例系數為 k，其中每節動車的額定功率都為 P。某列動車組由 8 節車廂組成，其
中第 1、5 節車廂為動車，其余為拖車，則下列關于該動車組的說法，正確的是（　　）
P
A．動車組運行的最大速率為 8kmg
P
B．動車組運行的最大速率為 4kmg
C．兩節動車以額定功率使動車組做勻加速運動時，第 2、3 節與第 5、6 節車廂間的作用力之比為3: 2
D．兩節動車以額定功率使動車組做勻加速運動時，第 2、3 節與第 5、6 節車廂間的作用力之比為 2 : 3
15．如圖所示，是小朋友非常喜歡的一款電動玩具小車，我們可以通過玩具小車在水平面上的運動來研究
功率問題。已知小車質量為 m，小車剛達到額定功率開始計時，且此后小車保持功率不變，小車的 v- t 圖
3
象如圖甲所示， t0 時刻小車的速度達到最大速度的 倍，小車速度由 v0增加到最大值的過程中，小車的牽4
引力 F 與速度 v 的關系圖象如圖乙所示，運動過程中小車所受阻力恒定，下列說法正確的是（　　）
A．小車的額定功率為 4F0v0
B．小車的最大速度為3v0
F
C． t0 時刻，小車加速度大小為 0m
2
D．0 - t0 時間內，小車運動的位移大小為 s 4v t
4mv
= 00 0 - F0
16．圖甲起重機某次從 t = 0時刻由靜止開始提升質量為m =150kg 的物體，其 a - t 圖像如圖乙所示，5~10s
內起重機的功率為額定功率，不計其它阻力，重力加速度為 g = 10m/s2 ，則以下說法正確的是（　　）
A．物體在 0~10s 內運動的最大速度為 10m/s
B．起重機的額定功率為 18000W
C．5~10s 內起重機對物體做的功等于 0~5s 內起重機對物體做功的 1.5 倍
D．5~10s 內起重機對物體做的功等于 0~5s 內起重機對物體做功的 2 倍
17．（2024·浙江·高考真題）一個音樂噴泉噴頭出水口的橫截面積為 2 10-4 m2 ，噴水速度約為 10m/s，水的
密度為1 103 kg/m3，則該噴頭噴水的功率約為（　　）
A．10W B．20W C．100W D．200W
18．（2024·廣東·高考真題）如圖所示，探測器及其保護背罩通過彈性輕繩連接降落傘。在接近某行星表面
時以60m/s的速度豎直勻速下落。此時啟動“背罩分離”，探測器與背罩斷開連接，背罩與降落傘保持連
1
接。已知探測器質量為 1000kg，背罩質量為 50kg 1，該行星的質量和半徑分別為地球的 和 。地球表面
10 2
重力加速度大小取 g = 10m/s2 。忽略大氣對探測器和背罩的阻力。下列說法正確的有（　　）
A．該行星表面的重力加速度大小為 4m/s2
B．該行星的第一宇宙速度為7.9km/s
C．“背罩分離”后瞬間，背罩的加速度大小為80m/s2
D．“背罩分離”后瞬間，探測器所受重力對其做功的功率為 30kW

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