資源簡介

(共74張PPT)
習題課
第二章
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與圓有關的最值問題
1.能用直線與圓的方程解決一些簡單的最值問題(重難點).
2.初步了解用代數方法處理幾何問題的思想.
學習目標
海上某基站信號覆蓋范圍達60公里.一艘船由于機械故障在海上遇險，想要求救，卻發現手機沒有信號.已知基站在海面上的信號覆蓋范圍是以基站為圓心的一個圓及其內部區域，那么船到達信號區域的最短路程是多少呢？(引出課題：探究與圓有關的最值問題.)
導 語
一、與距離有關的最值問題
二、與面積有關的最值問題
課時對點練
三、利用數學式的幾何意義求解最值問題
隨堂演練
內容索引
與距離有關的最值問題
一
1.圓外一點到圓上任意一點距離的最小值＝ ，最大值＝ .
d－r
d＋r
2.直線與圓相離，圓上任意一點到直線距離的最小值＝ ，最大值
＝ .
d－r
d＋r
3.過圓內一定點的直線被圓截得的弦長的最小值＝___________，最大值＝ .
2r
4.直線與圓相離，過直線上一點作圓的切線，切線長的最小值＝_______.
(1)當直線l：(2m＋1)x＋(m＋1)y－7m－4＝0(m∈R)被圓C：(x－1)2＋(y－2)2＝25截得的弦最短時，m的值為______.
例 1
直線l的方程可化為(2x＋y－7)m＋x＋y－4＝0，
√
由已知得點(x1，y1)在圓(x－2)2＋y2＝5上，點(x2，y2)在直線x－2y＋4＝0上，
故(x1－x2)2＋(y1－y2)2表示圓(x－2)2＋y2＝5上的點和直線x－2y＋4＝0上點的距離的平方，
(1)形如(x－a)2＋(y－b)2形式的最值問題，可轉化為動點(x，y)到定點(a，b)的距離的平方的最值問題.
(2)定點到圓上動點距離的最值可以先計算定點到圓心的距離，然后利用數形結合確定距離的最值.
反
思
感
悟
(1)從點P(1，－2)向圓x2＋y2－2mx－2y＋m2＝0作切線，當切線長最短時，m的值為
A.－1 B.1 C.2 D.0
跟蹤訓練 1
x2＋y2－2mx－2y＋m2＝0可化為(x－m)2＋(y－1)2＝1，圓心C(m,1)，半徑為1，
√
即當m＝1時，|CP|最小，切線長最短.
(2)過點(3,1)作圓(x－2)2＋(y－2)2＝4的弦，其中最短弦長為______.
設點A(3,1)，易知圓心C(2,2)，半徑r＝2.
當弦過點A(3,1)且與CA垂直時為最短弦，
二
與面積有關的最值問題
(1)已知點O(0,0)，A(0,2)，點M是圓(x－3)2＋(y＋1)2＝4上的動點，則△OAM面積的最小值為_____.
根據題意，得圓(x－3)2＋(y＋1)2＝4的圓心為(3，－1)，半徑r＝2，
O(0,0)，A(0,2)，OA所在的直線是y軸，
當M到直線AO的距離最小時，△OAM的面積最小，
則M到直線AO的距離的最小值d＝3－2＝1，
例 2
1
(2)已知點P(x，y)是直線kx＋y＋4＝0(k>0)上一動點，PA，PB是圓C：x2＋y2－2y＝0的兩條切線，A，B是切點，若四邊形PACB的最小面積是2，則k＝_____.
2
圓C：x2＋y2－2y＝0的圓心為C(0,1)，半徑r＝1，
由圓的性質可知，四邊形PACB的面積S＝2S△PBC，
則|PB|min＝2，
所以當|PC|取最小值時，|PB|最小.
又點P(x，y)是直線kx＋y＋4＝0上的動點，
當CP垂直于直線kx＋y＋4＝0時，|PC|最小，即為圓心C(0,1)到直線的距離，
求圓的面積的最值問題，一般轉化為尋求圓的半徑相關的函數關系或者幾何圖形的關系，借助函數求最值的方法，如配方法、基本不等式法等求解，有時可以通過轉化思想，利用數形結合思想求解.
反
思
感
悟
直線y＝kx＋3與圓O：x2＋y2＝1相交于A，B兩點，則△OAB面積的最大值為
跟蹤訓練 2
√
利用數學式的幾何意義求解最值問題
三
已知點P(x，y)在圓C：x2＋y2－6x－6y＋14＝0上.
(1)求 的最大值和最小值；
例 3
方程x2＋y2－6x－6y＋14＝0可化為(x－3)2＋(y－3)2＝4.
表示圓上的點P與原點連線所在直線的斜率，如圖(1)
所示，顯然PO(O為坐標原點)與圓相切時，斜率最大或
最小.
(2)求x2＋y2＋2x＋3的最大值與最小值；
x2＋y2＋2x＋3＝(x＋1)2＋y2＋2，它表示圓上的點P到點E(－1,0)的距離的平方再加2，所以當點P與點E的距離最大或最小時，所求式子取得最大值或最小值，如圖(2)所示，顯然點E在圓C的外
部，所以點P與點E距離的最大值|P1E|＝|CE|＋2，點P與
點E距離的最小值|P2E|＝|CE|－2.
(3)求x＋y的最大值與最小值.
設x＋y＝b，則b表示動直線y＝－x＋b在y軸上的截距，如圖(3)所示，顯然當動直線y＝－x＋b與圓(x－3)2＋(y－3)2＝4相切時，b取得最大值或最小值，此時圓心C(3,3)到切線x＋y＝b的距離等于圓的半徑2，
反
思
感
悟
(多選)已知實數x，y滿足方程x2＋y2－4x＋1＝0，則下列說法正確的是
跟蹤訓練 3
√
√
1.知識清單：
(1)與距離、面積有關的最值問題.
(2)利用數學式的幾何意義解圓的最值問題.
2.方法歸納：數形結合、轉化思想.
3.常見誤區：忽略隱含條件導致范圍變大.
隨堂演練
四
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1.圓x2＋y2＝4上的點到直線4x－3y＋25＝0的距離的取值范圍是
A.[3,7] B.[1,9] C.[0,5] D.[0,3]
√
x2＋y2＝4，圓心(0,0)，半徑r＝2，
所以圓上的點到直線的距離的最小值為5－2＝3，
最大值為5＋2＝7，所以圓上的點到直線的距離的取值范圍為[3,7].
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2.已知O為坐標原點，點P在單位圓上，過點P作圓C：(x－4)2＋(y－3)2＝4的切線，切點為Q，則|PQ|的最小值為
√
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根據題意，圓C：(x－4)2＋(y－3)2＝4，其圓心C(4,3)，半徑r＝2，過點P作圓C：(x－4)2＋(y－3)2＝4的切線，切點為Q，
當|PC|最小時，|PQ|最小，
又由點P在單位圓上，
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4.已知圓C1：x2＋y2＋4x－4y＝0，動點P在圓C2：x2＋y2－4x－12＝0上，則△PC1C2面積的最大值為______.
課時對點練
五
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基礎鞏固
1.已知過點(1,1)的直線l與圓x2＋y2－4x＝0交于A，B兩點，則|AB|的最小值為
將圓的方程x2＋y2－4x＝0化為標準方程為(x－2)2＋y2＝4，
√
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2.已知直線l：x－y＋4＝0與圓C：(x－1)2＋(y－1)2＝2，則圓C上的點到直線l的距離的最小值為
√
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3.點P在圓C1：x2＋y2－8x－4y＋11＝0上，點Q在圓C2：x2＋y2＋4x＋2y＋1＝0上，則|PQ|的最小值是
√
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圓x2＋y2－8x－4y＋11＝0化為標準方程為(x－4)2＋(y－2)2＝9，
圓心為C1(4,2)，半徑為3；
圓x2＋y2＋4x＋2y＋1＝0化為標準方程為(x＋2)2＋(y＋1)2＝4，
圓心為C2(－2，－1)，半徑為2，
∴兩圓外離，
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4.已知實數x，y滿足方程x2＋y2－4x－1＝0，則y－2x的最小值和最大值分別為
A.－9,1 B.－10,1 C.－9,2 D.－10,2
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y－2x可看作是直線y＝2x＋b在y軸上的截距，
如圖所示，
解得b＝－9或b＝1，所以y－2x的最大值為1，
最小值為－9.
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5.過直線4x＋3y＋10＝0上一點P作圓C：x2＋y2－2x＝0的切線，切點為A，B，則四邊形PACB的面積的最小值為
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如圖所示，由切線性質可知，PA⊥AC，PB⊥BC，△PAC≌△PBC，
由圓的標準方程為(x－1)2＋y2＝1，得圓心為C(1,0)，半徑r＝1，
則當|PC|取最小值，即|PC|＝d時，S四邊形PACB最小.
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6.(多選)已知點P在圓(x－5)2＋(y－5)2＝16上，點A(4,0)，B(0,2)，則
A.點P到直線AB的距離小于10
B.點P到直線AB的距離大于2
√
√
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過點B作圓M的兩條切線，切點分別為N，Q，如圖
所示，
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7.在平面直角坐標系Oxy中，以點(1,0)為圓心且與直線mx－y－2m－1＝0(m∈R)相切的所有圓中，半徑最大的圓的標準方程為______________.
∵直線mx－y－2m－1＝0恒過定點(2，－1)，
(x－1)2＋y2＝2
∴半徑最大的圓的標準方程為(x－1)2＋y2＝2.
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8.已知圓C：(x－4)2＋(y－3)2＝4和兩點A(－m,0)，B(m,0)(m>0).若圓C上存在點M，使得AM⊥MB，則m的最小值為_______.
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根據題意，點A(－m,0)，B(m,0)(m>0)，
則AB的中點為(0,0)，|AB|＝2m，
若圓C上存在點M，使得AM⊥MB，
則圓C與圓O有交點，
必有|m－2|≤|OC|≤m＋2，
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又由m>0，
解得3≤m≤7，
即m的最小值為3.
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9.已知M為圓C：x2＋y2－4x－14y＋45＝0上任意一點，且點Q(－2,3).
(1)求|MQ|的最大值和最小值；
由圓C的方程x2＋y2－4x－14y＋45＝0化為標準方程得(x－2)2＋(y－7)2＝8，
設直線MQ的方程為y－3＝k(x＋2)，
即kx－y＋2k＋3＝0，
由直線MQ與圓C有交點，
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10.已知直線l：3x＋4y＋1＝0，一個圓與x軸正半軸、y軸正半軸都相切，且圓心C到直線l的距離為3.
(1)求圓的方程；
∵圓與x，y軸正半軸都相切，
∴圓的方程可設為(x－a)2＋(y－a)2＝a2(a>0)，
∵圓心C到直線l的距離為3，
∴圓的方程為(x－2)2＋(y－2)2＝4.
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(2)P是直線l上的動點，PE，PF是圓的兩條切線，E，F分別為切點，求四邊形PECF的面積的最小值.
PE，PF是圓的兩條切線，
E，F分別為切點(圖略)，
∴△PCE≌△PCF，
∴S四邊形PECF＝2S△PCE，PE是圓的切線，且E為切點，
∴PE⊥CE，|CE|＝2，|PE|2＝|PC|2－|CE|2＝|PC|2－4，
∴當斜邊PC取最小值時，PE也最小，即四邊形PECF的面積最小.
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|PC|min即為C到l的距離，由(1)知|PC|min＝3，
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綜合運用
11.若圓(x＋1)2＋(y－2)2＝8關于直線2ax＋by＋6＝0對稱，則由點M(a，b)向圓所作的切線長的最小值為
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13.已知圓O：x2＋y2＝4，直線l過點(1,1)且與圓O交于A，B兩點，當△AOB的面積最大時，直線l的方程為_____________.
x＋y－2＝0
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當直線l的斜率存在時，
設l的方程為y－1＝k(x－1)，k≠1，
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當且僅當4－d2＝d2，
即d2＝2時，S△OAB取得最大值2，
∴S△OAB的最大值為2，
則直線l的方程為x＋y－2＝0.
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14.已知直線l：x－y＝1與圓M：x2＋y2－2x＋2y－1＝0相交于A，C兩點，點B，D分別在圓M上運動，且位于直線AC兩側，則四邊形ABCD面積的最大值為______.
又B，D兩點在圓上，并且位于直線l的兩側，四邊形ABCD的面積可以看成是△ABC和△ACD的面積之和，
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拓廣探究
15.點A是圓C1：(x－2)2＋y2＝1上的任一點，圓C2是過點(5,4)且半徑為1的動圓，點B是圓C2上的任一點，則AB長度的最小值為
A.1 B.2 C.3 D.4
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由題可知點C2的軌跡方程是(x－5)2＋(y－4)2＝1，
即得點C2是圓C3：(x－5)2＋(y－4)2＝1上的動點，
又由題知點B是圓C2上的動點，
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(1)求圓C的標準方程；
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所以a＝－1，
即r＝2，
所以圓C的標準方程為(x＋1)2＋y2＝4.
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(2)已知N(2,1)，經過原點且斜率為正數的直線l1與圓C交于P(x1，y1)，Q(x2，y2).
設直線l1：y＝kx(k>0)，與圓聯立方程組可得(1＋k2)x2＋2x－3＝0，
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②求|PN|2＋|QN|2的最大值.
|PN|2＋|QN|2＝(x1－2)2＋(y1－1)2＋(x2－2)2＋(y2－1)2
＝(x1－2)2＋(kx1－1)2＋(x2－2)2＋(kx2－1)2
令t＝3＋k(t>3)，
則k＝t－3，
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16習題課　與圓有關的最值問題
[學習目標]　1.能用直線與圓的方程解決一些簡單的最值問題(重難點).2.初步了解用代數方法處理幾何問題的思想．
導語
海上某基站信號覆蓋范圍達60公里．一艘船由于機械故障在海上遇險，想要求救，卻發現手機沒有信號．已知基站在海面上的信號覆蓋范圍是以基站為圓心的一個圓及其內部區域，那么船到達信號區域的最短路程是多少呢？(引出課題：探究與圓有關的最值問題．)
一、與距離有關的最值問題
知識梳理
1．圓外一點到圓上任意一點距離的最小值＝d－r，最大值＝d＋r.
2．直線與圓相離，圓上任意一點到直線距離的最小值＝d－r，最大值＝d＋r.
3．過圓內一定點的直線被圓截得的弦長的最小值＝2，最大值＝2r.
4．直線與圓相離，過直線上一點作圓的切線，切線長的最小值＝.
例1　(1)當直線l：(2m＋1)x＋(m＋1)y－7m－4＝0(m∈R)被圓C：(x－1)2＋(y－2)2＝25截得的弦最短時，m的值為________．
答案　－
解析　直線l的方程可化為(2x＋y－7)m＋x＋y－4＝0，
令
解得定點坐標為M(3,1)，因為圓心C為(1,2)，當直線l與CM垂直時，直線被圓截得的弦長最短，kCM＝＝－，kl＝－，所以kCM×kl＝×＝－1，解得m＝－.
(2)在平面直角坐標系Oxy中，已知(x1－2)2＋y＝5，x2－2y2＋4＝0，則(x1－x2)2＋(y1－y2)2的最小值為(　　)
A. B. C. D.
答案　B
解析　由已知得點(x1，y1)在圓(x－2)2＋y2＝5上，點(x2，y2)在直線x－2y＋4＝0上，
故(x1－x2)2＋(y1－y2)2表示圓(x－2)2＋y2＝5上的點和直線x－2y＋4＝0上點的距離的平方，
而距離的最小值為－＝，
故(x1－x2)2＋(y1－y2)2的最小值為.
反思感悟　(1)形如(x－a)2＋(y－b)2形式的最值問題，可轉化為動點(x，y)到定點(a，b)的距離的平方的最值問題．
(2)定點到圓上動點距離的最值可以先計算定點到圓心的距離，然后利用數形結合確定距離的最值．
跟蹤訓練1　(1)從點P(1，－2)向圓x2＋y2－2mx－2y＋m2＝0作切線，當切線長最短時，m的值為(　　)
A．－1 B．1 C．2 D．0
答案　B
解析　x2＋y2－2mx－2y＋m2＝0可化為(x－m)2＋(y－1)2＝1，圓心C(m,1)，半徑為1，
切線長最短時，|CP|最小，|CP|＝，
即當m＝1時，|CP|最小，切線長最短．
(2)過點(3,1)作圓(x－2)2＋(y－2)2＝4的弦，其中最短弦長為________．
答案　2
解析　設點A(3,1)，易知圓心C(2,2)，半徑r＝2.
當弦過點A(3,1)且與CA垂直時為最短弦，
|CA|＝＝.
∴半弦長＝＝＝.
∴最短弦長為2.
二、與面積有關的最值問題
例2　(1)已知點O(0,0)，A(0,2)，點M是圓(x－3)2＋(y＋1)2＝4上的動點，則△OAM面積的最小值為________．
答案　1
解析　根據題意，得圓(x－3)2＋(y＋1)2＝4的圓心為(3，－1)，半徑r＝2，
O(0,0)，A(0,2)，OA所在的直線是y軸，
當M到直線AO的距離最小時，△OAM的面積最小，
則M到直線AO的距離的最小值d＝3－2＝1，
則△OAM的面積最小值S＝×|OA|×d＝1.
(2)已知點P(x，y)是直線kx＋y＋4＝0(k>0)上一動點，PA，PB是圓C：x2＋y2－2y＝0的兩條切線，A，B是切點，若四邊形PACB的最小面積是2，則k＝________.
答案　2
解析　圓C：x2＋y2－2y＝0的圓心為C(0,1)，半徑r＝1，
由圓的性質可知，四邊形PACB的面積S＝2S△PBC，
又四邊形PACB的最小面積是2，則S△PBC的最小值S＝1＝r|PB|min＝
|PB|min，
則|PB|min＝2，
因為|PB|＝＝，
所以當|PC|取最小值時，|PB|最小．
又點P(x，y)是直線kx＋y＋4＝0上的動點，
當CP垂直于直線kx＋y＋4＝0時，|PC|最小，即為圓心C(0,1)到直線的距離，
所以＝＝，解得k＝±2，因為k>0，所以k＝2.
反思感悟　求圓的面積的最值問題，一般轉化為尋求圓的半徑相關的函數關系或者幾何圖形的關系，借助函數求最值的方法，如配方法、基本不等式法等求解，有時可以通過轉化思想，利用數形結合思想求解．
跟蹤訓練2　直線y＝kx＋3與圓O：x2＋y2＝1相交于A，B兩點，則△OAB面積的最大值為(　　)
A．1 B. C. D.
答案　B
解析　設圓心到直線的距離為d(0則|AB|＝2，
所以S△ABO＝·2·d＝，
由基本不等式，可得S△ABO＝≤＝，
當且僅當d＝時，等號成立．
三、利用數學式的幾何意義求解最值問題
例3　已知點P(x，y)在圓C：x2＋y2－6x－6y＋14＝0上．
(1)求的最大值和最小值；
(2)求x2＋y2＋2x＋3的最大值與最小值；
(3)求x＋y的最大值與最小值．
解　方程x2＋y2－6x－6y＋14＝0可化為(x－3)2＋(y－3)2＝4.
(1)表示圓上的點P與原點連線所在直線的斜率，如圖(1)所示，顯然PO(O為坐標原點)與圓相切時，斜率最大或最小．
設切線方程為y＝kx(由題意知，斜率一定存在)，即kx－y＝0，由圓心C(3,3)到切線的距離等于半徑2，可得＝2，解得k＝，所以的最大值為，最小值為.
(2)x2＋y2＋2x＋3＝(x＋1)2＋y2＋2，它表示圓上的點P到點E(－1,0)的距離的平方再加2，所以當點P與點E的距離最大或最小時，所求式子取得最大值或最小值，如圖(2)所示，顯然點E在圓C的外部，所以點P與點E距離的最大值|P1E|＝|CE|＋2，點P與點E距離的最小值|P2E|＝|CE|－2.又|CE|＝＝5，所以x2＋y2＋2x＋3的最大值為(5＋2)2＋2＝51，最小值為(5－2)2＋2＝11.
(3)設x＋y＝b，則b表示動直線y＝－x＋b在y軸上的截距，如圖(3)所示，顯然當動直線y＝－x＋b與圓(x－3)2＋(y－3)2＝4相切時，b取得最大值或最小值，此時圓心C(3,3)到切線x＋y＝b的距離等于圓的半徑2，則＝2，即|b－6|＝2，解得b＝6±2，所以x＋y的最大值為6＋2，最小值為6－2.
反思感悟　(1)形如u＝形式的最值問題，可轉化為過點(x，y)和(a，b)的動直線斜率的最值問題．
(2)形如l＝ax＋by形式的最值問題，可轉化為動直線y＝－x＋的截距的最值問題．
跟蹤訓練3　(多選)已知實數x，y滿足方程x2＋y2－4x＋1＝0，則下列說法正確的是(　　)
A．y－x的最大值為－2
B．x2＋y2的最大值為7＋4
C.的最大值為
D．x＋y的最大值為2＋
答案　AB
解析　對于A，設z＝y－x，則y＝x＋z，z表示直線y＝x＋z的縱截距，當直線與圓(x－2)2＋y2＝3有公共點時，≤，解得－－2≤z≤－2，所以y－x的最大值為－2，故A說法正確；
對于B，x2＋y2的幾何意義是表示圓上的點到原點距離的平方，易知原點到圓心的距離為2，則原點到圓上的最大距離為2＋，所以x2＋y2的最大值為(2＋)2＝7＋4，故B說法正確；
對于C，設＝k，把y＝kx代入圓的方程得
(1＋k2)x2－4x＋1＝0，則Δ＝16－4(1＋k2)≥0，解得－≤k≤，的最大值為，故C說法錯誤；
對于D，設m＝x＋y，則y＝－x＋m，m表示直線y＝－x＋m的縱截距，當直線與圓(x－2)2＋y2＝3有公共點時，≤，解得－＋2≤m≤＋2，所以x＋y的最大值為＋2，故D說法錯誤．
1．知識清單：
(1)與距離、面積有關的最值問題．
(2)利用數學式的幾何意義解圓的最值問題．
2．方法歸納：數形結合、轉化思想．
3．常見誤區：忽略隱含條件導致范圍變大．
1．圓x2＋y2＝4上的點到直線4x－3y＋25＝0的距離的取值范圍是(　　)
A．[3,7] B．[1,9] C．[0,5] D．[0,3]
答案　A
解析　x2＋y2＝4，圓心(0,0)，半徑r＝2，
圓心到直線4x－3y＋25＝0的距離d＝＝5，
所以圓上的點到直線的距離的最小值為5－2＝3，
最大值為5＋2＝7，所以圓上的點到直線的距離的取值范圍為[3,7]．
2．已知O為坐標原點，點P在單位圓上，過點P作圓C：(x－4)2＋(y－3)2＝4的切線，切點為Q，則|PQ|的最小值為(　　)
A. B．2 C．2 D．4
答案　B
解析　根據題意，圓C：(x－4)2＋(y－3)2＝4，其圓心C(4,3)，半徑r＝2，過點P作圓C：(x－4)2＋(y－3)2＝4的切線，切點為Q，則|PQ|＝，當|PC|最小時，|PQ|最小，又由點P在單位圓上，則|PC|的最小值為|OC|－1＝－1＝4，則|PQ|的最小值為＝2.
3．點M(x，y)在圓x2＋(y－2)2＝1上運動，則的取值范圍是(　　)
A．[，＋∞)
B. (－∞，－]
C. (－∞，－]∪[，＋∞)
D. [－，]
答案　C
解析　將看作圓上動點(x，y)與原點O(0,0)連線的斜率，設＝k，如圖，可得k≥或k≤－.
4．已知圓C1：x2＋y2＋4x－4y＝0，動點P在圓C2：x2＋y2－4x－12＝0上，則△PC1C2面積的最大值為________．
答案　4
解析　因為C1(－2,2)，r1＝2，C2(2,0)，r2＝4，
所以|C1C2|＝＝2，
當PC2⊥C1C2時，△PC1C2的面積最大，其最大值為×2×4＝4.
[分值：100分]
單選題每小題5分，共40分；多選題每小題6分，共6分
1．已知過點(1,1)的直線l與圓x2＋y2－4x＝0交于A，B兩點，則|AB|的最小值為(　　)
A. B．2 C．2 D．4
答案　C
解析　將圓的方程x2＋y2－4x＝0化為標準方程為(x－2)2＋y2＝4，
則圓心為(2,0)，半徑r＝2，則圓心(2,0)到定點(1,1)的距離為，
|AB|的最小值為2＝2.
2．已知直線l：x－y＋4＝0與圓C：(x－1)2＋(y－1)2＝2，則圓C上的點到直線l的距離的最小值為(　　)
A. B. C．1 D．3
答案　A
解析　由題意知，圓C上的點到直線l的距離的最小值等于圓心(1,1)到直線l的距離減去圓的半徑，即－＝.
3．點P在圓C1：x2＋y2－8x－4y＋11＝0上，點Q在圓C2：x2＋y2＋4x＋2y＋1＝0上，則|PQ|的最小值是(　　)
A．5 B．1 C．3－5 D．3＋5
答案　C
解析　圓x2＋y2－8x－4y＋11＝0化為標準方程為(x－4)2＋(y－2)2＝9，
圓心為C1(4,2)，半徑為3；
圓x2＋y2＋4x＋2y＋1＝0化為標準方程為(x＋2)2＋(y＋1)2＝4，
圓心為C2(－2，－1)，半徑為2，
∴兩圓的圓心距為|C1C2|＝＝＝＝3>5，
∴兩圓外離，
∴|PQ|的最小值是兩圓的圓心距減去兩圓半徑的和，即3－5.
4．已知實數x，y滿足方程x2＋y2－4x－1＝0，則y－2x的最小值和最大值分別為(　　)
A．－9,1 B．－10,1 C．－9,2 D．－10,2
答案　A
解析　y－2x可看作是直線y＝2x＋b在y軸上的截距，如圖所示，
當直線y＝2x＋b與圓x2＋y2－4x－1＝0相切時，b取得最大值或最小值，此時＝，解得b＝－9或b＝1，所以y－2x的最大值為1，最小值為－9.
5．過直線4x＋3y＋10＝0上一點P作圓C：x2＋y2－2x＝0的切線，切點為A，B，則四邊形PACB的面積的最小值為(　　)
A. B. C. D．2
答案　C
解析　如圖所示，由切線性質可知，PA⊥AC，PB⊥BC，△PAC≌△PBC，
所以S四邊形PACB＝2·|PA|·|AC|，
由圓的標準方程為(x－1)2＋y2＝1，得圓心為C(1,0)，半徑r＝1，
則點C到直線的距離d＝＝，
|PA|＝＝，
則S四邊形PACB＝2·|PA|·|AC|＝，
則當|PC|取最小值，即|PC|＝d時，S四邊形PACB最小．
故(S四邊形PACB)min＝＝.
6．(多選)已知點P在圓(x－5)2＋(y－5)2＝16上，點A(4,0)，B(0,2)，則(　　)
A．點P到直線AB的距離小于10
B．點P到直線AB的距離大于2
C．當∠PBA最小時，|PB|＝3
D．當∠PBA最大時，|PB|＝3
答案　ACD
解析　設圓(x－5)2＋(y－5)2＝16的圓心為M(5,5)，由題易得直線AB的方程為＋＝1，即x＋2y－4＝0，則圓心M到直線AB的距離d＝＝>4，所以直線AB與圓M外離，所以點P到直線AB的距離的最大值為4＋d＝4＋<5＋＝10，故A正確；
易知點P到直線AB的距離的最小值為d－4＝－4<－4＝1，故B不正確；
過點B作圓M的兩條切線，切點分別為N，Q，如圖所示，
連接MB，MN，MQ，則當∠PBA最小時，點P與N重合，|PB|＝＝＝3，當∠PBA最大時，點P與Q重合，|PB|＝3，故C，D都正確．
7．(5分)在平面直角坐標系Oxy中，以點(1,0)為圓心且與直線mx－y－2m－1＝0(m∈R)相切的所有圓中，半徑最大的圓的標準方程為________________．
答案　(x－1)2＋y2＝2
解析　∵直線mx－y－2m－1＝0恒過定點(2，－1)，
∴圓心(1,0)到直線mx－y－2m－1＝0的最大距離為d＝＝，
∴半徑最大為，
∴半徑最大的圓的標準方程為(x－1)2＋y2＝2.
8．(5分)已知圓C：(x－4)2＋(y－3)2＝4和兩點A(－m,0)，B(m,0)(m>0)．若圓C上存在點M，使得AM⊥MB，則m的最小值為________．
答案　3
解析　根據題意，點A(－m,0)，B(m,0)(m>0)，
則AB的中點為(0,0)，|AB|＝2m，
則以AB的中點為圓心，半徑r＝×|AB|的圓為x2＋y2＝m2，設該圓為圓O，
若圓C上存在點M，使得AM⊥MB，
則圓C與圓O有交點，
必有|m－2|≤|OC|≤m＋2，
即
又由m>0，
解得3≤m≤7，
即m的最小值為3.
9．(10分)已知M為圓C：x2＋y2－4x－14y＋45＝0上任意一點，且點Q(－2,3)．
(1)求|MQ|的最大值和最小值；(4分)
(2)若M(m，n)，求的最大值和最小值．(6分)
解　(1)由圓C的方程x2＋y2－4x－14y＋45＝0化為標準方程得(x－2)2＋(y－7)2＝8，
∴圓心C的坐標為(2,7)，半徑r＝2，
又|QC|＝＝4，
∴|MQ|max＝4＋2＝6，
|MQ|min＝4－2＝2.
(2)由題意可知表示直線MQ的斜率，
設直線MQ的方程為y－3＝k(x＋2)，
即kx－y＋2k＋3＝0，
則＝k.
由直線MQ與圓C有交點，
得≤2，
可得2－≤k≤2＋，
∴的最大值為2＋，最小值為2－.
10．(12分)已知直線l：3x＋4y＋1＝0，一個圓與x軸正半軸、y軸正半軸都相切，且圓心C到直線l的距離為3.
(1)求圓的方程；(5分)
(2)P是直線l上的動點，PE，PF是圓的兩條切線，E，F分別為切點，求四邊形PECF的面積的最小值．(7分)
解　(1)∵圓與x，y軸正半軸都相切，
∴圓的方程可設為(x－a)2＋(y－a)2＝a2(a>0)，
∵圓心C到直線l的距離為3，
由點到直線的距離公式，得d＝＝3，
解得a＝2，
∴圓的方程為(x－2)2＋(y－2)2＝4.
(2)PE，PF是圓的兩條切線，
E，F分別為切點(圖略)，
∴△PCE≌△PCF，
∴S四邊形PECF＝2S△PCE，PE是圓的切線，且E為切點，
∴PE⊥CE，|CE|＝2，|PE|2＝|PC|2－|CE|2＝|PC|2－4，
∴當斜邊PC取最小值時，PE也最小，即四邊形PECF的面積最小．|PC|min即為C到l的距離，
由(1)知|PC|min＝3，
∴|PE|＝32－4＝5，即|PE|min＝，
∴(S△PCE)min＝|EC|·|PE|min＝×2×＝，
∴四邊形PECF的面積的最小值為2.
11．若圓(x＋1)2＋(y－2)2＝8關于直線2ax＋by＋6＝0對稱，則由點M(a，b)向圓所作的切線長的最小值為(　　)
A. B．3 C. D．2
答案　A
解析　由圓(x＋1)2＋(y－2)2＝8關于直線2ax＋by＋6＝0對稱，得圓心(－1,2)在直線2ax＋by＋6＝0上，可得b＝a－3，點M(a，b)到圓心的距離為，則由點M(a，b)向圓所作的切線長為＝，當a＝2時，所求的切線長取得最小值為.
12．已知實數x，y滿足方程y＝，則的最大值為(　　)
A．0 B．1 C. D．2
答案　C
解析　方程y＝化為(x－2)2＋y2＝3(y≥0)，表示的圖形是一個半圓，令＝k，即y＝kx，
如圖所示，當直線與半圓相切時，k＝(負值舍去)，所以的最大值為.
13．(5分)已知圓O：x2＋y2＝4，直線l過點(1,1)且與圓O交于A，B兩點，當△AOB的面積最大時，直線l的方程為________________．
答案　x＋y－2＝0
解析　當直線l的斜率不存在時，l的方程為x＝1，則A，B的坐標為(1，)，(1，－)，
∴S△OAB＝×2×1＝，
當直線l的斜率存在時，
設l的方程為y－1＝k(x－1)，k≠1，
則圓心到直線l的距離為
d＝＝，
由平面幾何知識得|AB|＝2，
∴S△OAB＝|AB|×d＝×2×d
＝×d≤＝2，
當且僅當4－d2＝d2，
即d2＝2時，S△OAB取得最大值2，
∵<2，
∴S△OAB的最大值為2，
此時，由＝，解得k＝－1.
則直線l的方程為x＋y－2＝0.
14．(5分)已知直線l：x－y＝1與圓M：x2＋y2－2x＋2y－1＝0相交于A，C兩點，點B，D分別在圓M上運動，且位于直線AC兩側，則四邊形ABCD面積的最大值為________．
答案　
解析　把圓M：x2＋y2－2x＋2y－1＝0化為標準方程為(x－1)2＋(y＋1)2＝3，圓心M(1，－1)，半徑r＝.直線l與圓相交，由點到直線的距離公式得弦心距d＝＝，由勾股定理得半弦長＝＝，
所以弦長|AC|＝2×＝.
又B，D兩點在圓上，并且位于直線l的兩側，四邊形ABCD的面積可以看成是△ABC和△ACD的面積之和，當B，D為如圖所示位置，即BD為弦AC的垂直平分線(即為直徑)時，兩三角形的面積之和最大，即四邊形ABCD的面積最大，最大面積為S＝|AC|×|BE|＋|AC|×|DE|＝|AC|×|BD|＝××2＝.
15．點A是圓C1：(x－2)2＋y2＝1上的任一點，圓C2是過點(5,4)且半徑為1的動圓，點B是圓C2上的任一點，則AB長度的最小值為(　　)
A．1 B．2 C．3 D．4
答案　B
解析　由題可知點C2的軌跡方程是(x－5)2＋(y－4)2＝1，
即得點C2是圓C3：(x－5)2＋(y－4)2＝1上的動點，
又由題知點B是圓C2上的動點，
如圖可得|AB|min＝－1－1－1＝2.
16．(12分)已知圓心在x軸上的圓C與直線l：4x＋3y－6＝0切于點M.
(1)求圓C的標準方程；(4分)
(2)已知N(2,1)，經過原點且斜率為正數的直線l1與圓C交于P(x1，y1)，Q(x2，y2)．
①求證：＋為定值；(3分)
②求|PN|2＋|QN|2的最大值．(5分)
(1)解　由圓心在x軸上的圓C與直線l：4x＋3y－6＝0切于點M，設C(a,0)，
則kCM＝，
直線l：4x＋3y－6＝0的斜率為－，
所以·＝－1，
所以a＝－1，
所以C(－1,0)，|CM|＝
＝2，
即r＝2，
所以圓C的標準方程為(x＋1)2＋y2＝4.
(2)①證明　設直線l1：y＝kx(k>0)，與圓聯立方程組可得(1＋k2)x2＋2x－3＝0，
Δ＝4＋12(1＋k2)>0，x1＋x2＝－，x1x2＝－，
則＋＝＝為定值．
②解　|PN|2＋|QN|2＝(x1－2)2＋(y1－1)2＋(x2－2)2＋(y2－1)2
＝(x1－2)2＋(kx1－1)2＋(x2－2)2＋(kx2－1)2
＝(1＋k2)(x1＋x2)2－2(1＋k2)x1x2－(4＋2k)(x1＋x2)＋10
＝＋16，
令t＝3＋k(t>3)，
則k＝t－3，
所以＋16＝＋16
＝＋16≤＋16＝2＋22，
當且僅當t＝，即t＝時取等號，此時k＝－3，
所以|PN|2＋|QN|2的最大值為2＋22.習題課　與圓有關的最值問題
[學習目標]　1.能用直線與圓的方程解決一些簡單的最值問題(重難點).2.初步了解用代數方法處理幾何問題的思想．
一、與距離有關的最值問題
知識梳理
1．圓外一點到圓上任意一點距離的最小值＝____________，最大值＝____________.
2．直線與圓相離，圓上任意一點到直線距離的最小值＝____________，最大值＝____________.
3．過圓內一定點的直線被圓截得的弦長的最小值＝__________，最大值＝____________.
4．直線與圓相離，過直線上一點作圓的切線，切線長的最小值＝__________.
例1　(1)當直線l：(2m＋1)x＋(m＋1)y－7m－4＝0(m∈R)被圓C：(x－1)2＋(y－2)2＝25截得的弦最短時，m的值為________．
(2)在平面直角坐標系Oxy中，已知(x1－2)2＋y＝5，x2－2y2＋4＝0，則(x1－x2)2＋(y1－y2)2的最小值為(　　)
A. B. C. D.
反思感悟　(1)形如(x－a)2＋(y－b)2形式的最值問題，可轉化為動點(x，y)到定點(a，b)的距離的平方的最值問題．
(2)定點到圓上動點距離的最值可以先計算定點到圓心的距離，然后利用數形結合確定距離的最值．
跟蹤訓練1　(1)從點P(1，－2)向圓x2＋y2－2mx－2y＋m2＝0作切線，當切線長最短時，m的值為(　　)
A．－1 B．1 C．2 D．0
(2)過點(3,1)作圓(x－2)2＋(y－2)2＝4的弦，其中最短弦長為________．
二、與面積有關的最值問題
例2　(1)已知點O(0,0)，A(0,2)，點M是圓(x－3)2＋(y＋1)2＝4上的動點，則△OAM面積的最小值為________．
(2)已知點P(x，y)是直線kx＋y＋4＝0(k>0)上一動點，PA，PB是圓C：x2＋y2－2y＝0的兩條切線，A，B是切點，若四邊形PACB的最小面積是2，則k＝________.
反思感悟　求圓的面積的最值問題，一般轉化為尋求圓的半徑相關的函數關系或者幾何圖形的關系，借助函數求最值的方法，如配方法、基本不等式法等求解，有時可以通過轉化思想，利用數形結合思想求解．
跟蹤訓練2　直線y＝kx＋3與圓O：x2＋y2＝1相交于A，B兩點，則△OAB面積的最大值為(　　)
A．1 B. C. D.
三、利用數學式的幾何意義求解最值問題
例3　已知點P(x，y)在圓C：x2＋y2－6x－6y＋14＝0上．
(1)求的最大值和最小值；
(2)求x2＋y2＋2x＋3的最大值與最小值；
(3)求x＋y的最大值與最小值．
反思感悟　(1)形如u＝形式的最值問題，可轉化為過點(x，y)和(a，b)的動直線斜率的最值問題．
(2)形如l＝ax＋by形式的最值問題，可轉化為動直線y＝－x＋的截距的最值問題．
跟蹤訓練3　(多選)已知實數x，y滿足方程x2＋y2－4x＋1＝0，則下列說法正確的是(　　)
A．y－x的最大值為－2
B．x2＋y2的最大值為7＋4
C.的最大值為
D．x＋y的最大值為2＋
1．知識清單：
(1)與距離、面積有關的最值問題．
(2)利用數學式的幾何意義解圓的最值問題．
2．方法歸納：數形結合、轉化思想．
3．常見誤區：忽略隱含條件導致范圍變大．
1．圓x2＋y2＝4上的點到直線4x－3y＋25＝0的距離的取值范圍是(　　)
A．[3,7] B．[1,9] C．[0,5] D．[0,3]
2．已知O為坐標原點，點P在單位圓上，過點P作圓C：(x－4)2＋(y－3)2＝4的切線，切點為Q，則|PQ|的最小值為(　　)
A. B．2 C．2 D．4
3．點M(x，y)在圓x2＋(y－2)2＝1上運動，則的取值范圍是(　　)
A．[，＋∞)
B. (－∞，－]
C. (－∞，－]∪[，＋∞)
D. [－，]
4．已知圓C1：x2＋y2＋4x－4y＝0，動點P在圓C2：x2＋y2－4x－12＝0上，則△PC1C2面積的最大值為________．

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