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習(xí)題課
第二章
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對(duì)稱問(wèn)題
1.學(xué)會(huì)解決點(diǎn)點(diǎn)、點(diǎn)線、線線對(duì)稱問(wèn)題(重點(diǎn)).
2.會(huì)應(yīng)用對(duì)稱問(wèn)題解決最值問(wèn)題和反射問(wèn)題(難點(diǎn)).
學(xué)習(xí)目標(biāo)
1.點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱
點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱的本質(zhì)是中點(diǎn)坐標(biāo)公式：設(shè)點(diǎn)P(x1，y1)關(guān)于點(diǎn)Q(x0，y0)的
對(duì)稱點(diǎn)為P′(x2，y2)，則根據(jù)中點(diǎn)坐標(biāo)公式，有 可得對(duì)稱點(diǎn)
P′(x2，y2)的坐標(biāo)為(2x0－x1,2y0－y1).
2.點(diǎn)關(guān)于直線對(duì)稱
點(diǎn)P(x1，y1)關(guān)于直線l：Ax＋By＋C＝0對(duì)稱的點(diǎn)為P′(x2，y2)，連接PP′，交l于M點(diǎn)，則l垂直平分PP′，所以PP′⊥l，且M為PP′的中點(diǎn)，又因
為M在直線l上，故可得 解出(x2，y2)即可.
3.直線關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱
方法一：在已知直線上任取兩點(diǎn)，求出這兩點(diǎn)關(guān)于已知點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)，再由兩點(diǎn)式求出直線方程；
方法二：在已知直線上任取一點(diǎn)，求出該點(diǎn)關(guān)于已知點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)，再利用兩直線平行，由點(diǎn)斜式求出直線方程.
4.直線關(guān)于直線對(duì)稱
求直線l1：ax＋by＋c＝0關(guān)于直線l2：dx＋ey＋f＝0(兩直線不平行)的對(duì)稱直線l3.
第一步：聯(lián)立l1，l2的方程，算出交點(diǎn)P(x0，y0)；
第二步：在l1上任找一點(diǎn)(非交點(diǎn))Q(x1，y1)，利用點(diǎn)關(guān)于直線l2對(duì)稱算出對(duì)稱點(diǎn)Q′(x2，y2)；
第三步：利用兩點(diǎn)式寫出l3的方程.
5.常見(jiàn)的一些特殊的對(duì)稱
點(diǎn)(x，y)關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)為(x，－y)，關(guān)于y軸的對(duì)稱點(diǎn)為(－x，y).
點(diǎn)(x，y)關(guān)于直線y＝x的對(duì)稱點(diǎn)為(y，x)，關(guān)于直線y＝－x的對(duì)稱點(diǎn)為
(－y，－x).
點(diǎn)(x，y)關(guān)于直線x＝a的對(duì)稱點(diǎn)為(2a－x，y)，關(guān)于直線y＝b的對(duì)稱點(diǎn)為(x,2b－y).
點(diǎn)(x，y)關(guān)于點(diǎn)(a，b)的對(duì)稱點(diǎn)為(2a－x,2b－y).
點(diǎn)(x，y)關(guān)于直線x＋y＝k的對(duì)稱點(diǎn)為(k－y，k－x)，關(guān)于直線x－y＝k的對(duì)稱點(diǎn)為(k＋y，x－k).
一、幾類常見(jiàn)的對(duì)稱問(wèn)題
二、光的反射問(wèn)題
課時(shí)對(duì)點(diǎn)練
三、利用對(duì)稱解決有關(guān)最值問(wèn)題
隨堂演練
內(nèi)容索引
幾類常見(jiàn)的對(duì)稱問(wèn)題
一
已知直線l：y＝3x＋3，求：
(1)點(diǎn)P(4,5)關(guān)于l的對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)；
例 1
設(shè)點(diǎn)P關(guān)于直線l的對(duì)稱點(diǎn)為P′(x′，y′)，則線段PP′的中點(diǎn)在直線l上，且直線PP′垂直于直線l，
所以點(diǎn)P′的坐標(biāo)為(－2,7).
設(shè)點(diǎn)P關(guān)于直線l的對(duì)稱點(diǎn)為P′(x′，y′)，則線段PP′的中點(diǎn)在直線l上，且直線PP′垂直于直線l，
所以點(diǎn)P′的坐標(biāo)為(－2,7).
(2)直線y＝x－2關(guān)于l的對(duì)稱直線的方程；
在直線y＝x－2上任取一點(diǎn)M(2,0)，
設(shè)點(diǎn)M關(guān)于直線l的對(duì)稱點(diǎn)為M′(x0，y0)，
化簡(jiǎn)得7x＋y＋22＝0，即為所求直線的方程.
(3)直線l關(guān)于點(diǎn)A(3,2)的對(duì)稱直線的方程.
在直線l上取兩點(diǎn)E(0,3)，F(xiàn)(－1,0)，
則E，F(xiàn)關(guān)于點(diǎn)A(3,2)的對(duì)稱點(diǎn)分別為E′(6,1)，F(xiàn)′(7,4).
因?yàn)辄c(diǎn)E′，F(xiàn)′在所求直線上，
即3x－y－17＝0.
(1)點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)的對(duì)稱問(wèn)題通常利用中點(diǎn)坐標(biāo)公式.
點(diǎn)P(x，y)關(guān)于Q(a，b)的對(duì)稱點(diǎn)為P′(2a－x，2b－y).
(2)直線關(guān)于點(diǎn)的對(duì)稱直線通常用轉(zhuǎn)移法或取特殊點(diǎn)來(lái)求.
設(shè)l的方程為Ax＋By＋C＝0(A2＋B2≠0)和點(diǎn)P(x0，y0)，
則l關(guān)于P點(diǎn)的對(duì)稱直線方程為A(2x0－x)＋B(2y0－y)＋C＝0.
對(duì)稱問(wèn)題的解決方法
反
思
感
悟
(3)點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)，要抓住“垂直”和“平分”.
設(shè)P(x0，y0)，l：Ax＋By＋C＝0(A2＋B2≠0)，P關(guān)于l的對(duì)稱點(diǎn)Q可以通過(guò)條件：①PQ⊥l；②PQ的中點(diǎn)在l上來(lái)求得.
(4)求直線關(guān)于直線的對(duì)稱直線的問(wèn)題可轉(zhuǎn)化為點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱問(wèn)題.
反
思
感
悟
已知P(－1,2)，M(1,3)，直線l：y＝2x＋1.
(1)求點(diǎn)P關(guān)于直線l的對(duì)稱點(diǎn)R的坐標(biāo)；
跟蹤訓(xùn)練 1
設(shè)點(diǎn)P關(guān)于直線l的對(duì)稱點(diǎn)R的坐標(biāo)為(x，y)，
(2)求直線PM關(guān)于直線l對(duì)稱的直線方程.
因?yàn)镸(1,3)的坐標(biāo)滿足直線l的方程，
則直線MR即為所求的直線，由兩點(diǎn)式得所求直線方程為11x＋2y－17＝0.
二
光的反射問(wèn)題
一束光線從原點(diǎn)O(0,0)出發(fā)，經(jīng)過(guò)直線l：8x＋6y＝25反射后通過(guò)點(diǎn)P(－4,3)，求反射光線的方程及光線從O點(diǎn)到達(dá)P點(diǎn)所經(jīng)過(guò)的路程.
例 2
如圖，設(shè)原點(diǎn)關(guān)于l的對(duì)稱點(diǎn)A的坐標(biāo)為(a，b)，
由直線OA與l垂直和線段AO的中點(diǎn)在l上得
所以A的坐標(biāo)為(4,3).
因?yàn)榉瓷涔饩€的反向延長(zhǎng)線過(guò)A(4,3)，
又由反射光線過(guò)P(－4,3)，A，P兩點(diǎn)縱坐標(biāo)相等，
故反射光線所在直線的方程為y＝3.
由于反射光線為射線，
由光的性質(zhì)可知，光線從O到P的路程即為AP的長(zhǎng)度|AP|，
由A(4,3)，P(－4,3)知，|AP|＝4－(－4)＝8，
即光線從O點(diǎn)到達(dá)P點(diǎn)所經(jīng)過(guò)的路程為8.
根據(jù)平面幾何知識(shí)和光學(xué)知識(shí)，入射光線、反射光線上對(duì)應(yīng)的點(diǎn)是關(guān)于法線對(duì)稱的.利用點(diǎn)的對(duì)稱關(guān)系可以求解.
反
思
感
悟
如圖所示，已知點(diǎn)A(4，0)，B(0,4)，從點(diǎn)P(2,0)射出的光線經(jīng)直線AB反射后再射到直線OB上，最后經(jīng)直線OB反射
后又回到點(diǎn)P，則光線所經(jīng)過(guò)的路程是
跟蹤訓(xùn)練 2
√
由題意知，AB所在直線的方程為x＋y－4＝0.如圖，點(diǎn)P關(guān)于直線AB的對(duì)稱點(diǎn)為D(4,2)，點(diǎn)P關(guān)于y軸的對(duì)稱點(diǎn)為C(－2,0)，則光線所經(jīng)過(guò)的路程為|CD|＝
利用對(duì)稱解決有關(guān)最值問(wèn)題
三
在直線l：x－y－1＝0上求兩點(diǎn)P，Q.使得：
(1)P到A(4,1)與B(0,4)的距離之差最大；
例 3
∴a＋b－4＝0， ①
即2x＋y－9＝0.
易知||PB|－|PA||＝||PB′|－|PA||，當(dāng)且僅當(dāng)P，
B′，A三點(diǎn)共線時(shí)，||PB′|－|PA||最大.
(2)Q到A(4,1)與C(3,0)的距離之和最小.
如圖，設(shè)點(diǎn)C關(guān)于l的對(duì)稱點(diǎn)為C′，可求得C′的坐標(biāo)為(1,2)，
∴AC′所在直線的方程為x＋3y－7＝0.
易知|QA|＋|QC|＝|QA|＋|QC′|，當(dāng)且僅當(dāng)Q，A，C′三點(diǎn)共線時(shí)，|QA|＋|QC′|最小.
由平面幾何知識(shí)(三角形任意兩邊之和大于第三邊，任意兩邊之差的絕對(duì)值小于第三邊)可知，要解決在直線l上求一點(diǎn)，使這點(diǎn)到兩定點(diǎn)A，B的距離之差最大的問(wèn)題，若這兩點(diǎn)A，B位于直線l的同側(cè)，則只需求出直線AB的方程，再求它與已知直線的交點(diǎn)，即得所求的點(diǎn)的坐標(biāo)；若A，B兩點(diǎn)位于直線l的異側(cè)，則先求A，B兩點(diǎn)中某一點(diǎn)，如A關(guān)于直線l的對(duì)稱點(diǎn)A′，得直線A′B的方程，再求其與直線l的交點(diǎn)即可.對(duì)于在直線l上求一點(diǎn)P，使P到平面上兩點(diǎn)A，B的距離之和最小的問(wèn)題可用類似方法求解.
利用對(duì)稱性求距離的最值問(wèn)題
反
思
感
悟
已知兩點(diǎn)A(1,3)，B(4,5)，動(dòng)點(diǎn)M在直線y＝x上運(yùn)動(dòng)，則|MA|＋|MB|的最小值為_(kāi)____.
跟蹤訓(xùn)練 3
根據(jù)題意畫出圖象，如圖，
設(shè)點(diǎn)A關(guān)于直線y＝x的對(duì)稱點(diǎn)為A′(x，y)，
1.知識(shí)清單：
(1)關(guān)于點(diǎn)點(diǎn)、點(diǎn)線、線線的對(duì)稱問(wèn)題.
(2)反射問(wèn)題.
(3)利用對(duì)稱解決有關(guān)最值問(wèn)題.
2.方法歸納：轉(zhuǎn)化化歸、數(shù)形結(jié)合.
3.常見(jiàn)誤區(qū)：兩條直線關(guān)于直線外一點(diǎn)對(duì)稱，則這兩條直線一定平行，千萬(wàn)不要與兩條相交直線關(guān)于角平分線所在直線對(duì)稱混淆.
隨堂演練
四
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2
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1.點(diǎn)(3,9)關(guān)于直線x＋3y－10＝0對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)是
A.(－1，－3) B.(17，－9)
C.(－1,3) D.(－17,9)
√
設(shè)點(diǎn)(3,9)關(guān)于直線x＋3y－10＝0對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)為(a，b)，
所以該點(diǎn)的坐標(biāo)為(－1，－3).
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2.直線x－2y＋1＝0 關(guān)于直線x＝1對(duì)稱的直線方程是
A.x＋2y－1＝0 B.2x＋y－1＝0
C.2x＋y－3＝0 D.x＋2y－3＝0
√
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3.若點(diǎn)P(3,4)和點(diǎn)Q(a，b)關(guān)于直線x－y－1＝0對(duì)稱，則
A.a＝1，b＝－2 B.a＝2，b＝－1
C.a＝4，b＝3 D.a＝5，b＝2
√
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4.已知A(3,0)，B(0,3)，從點(diǎn)P(0,2)射出的光線經(jīng)x軸反射到直線AB上，又經(jīng)過(guò)直線AB反射回到P點(diǎn)，則光線所經(jīng)過(guò)的路程為
√
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4
由題意知直線AB的方程為x＋y＝3，點(diǎn)P(0，2)關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)為P1(0，－2)，設(shè)點(diǎn)P(0,2)關(guān)于直線AB的對(duì)稱點(diǎn)為P2(a，b)，如圖，
課時(shí)對(duì)點(diǎn)練
五
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基礎(chǔ)鞏固
1.已知點(diǎn)A(x,5)關(guān)于點(diǎn)(1，y)的對(duì)稱點(diǎn)為(－2，－3)，則點(diǎn)P(x，y)到原點(diǎn)的距離是
√
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2.點(diǎn)P(a，b)關(guān)于直線l：x＋y＋1＝0對(duì)稱的點(diǎn)仍在l上，則a＋b等于
A.－1 B.1
C.2 D.0
√
∵點(diǎn)P(a，b)關(guān)于直線l：x＋y＋1＝0對(duì)稱的點(diǎn)仍在l上，
∴點(diǎn)P(a，b)在直線l上，
∴a＋b＋1＝0，即a＋b＝－1.
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3.點(diǎn)P(2,5)關(guān)于直線l：x＋y＋1＝0的對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)為
A.(6，－3) B.(3，－6)
C.(－6，－3) D.(－6,3)
√
設(shè)點(diǎn)P(2,5)關(guān)于直線l的對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)為(x，y)，
故點(diǎn)P(2,5)關(guān)于直線l的對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)為(－6，－3).
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4.已知直線l：ax＋by＋c＝0與直線l′關(guān)于直線x＋y＝0對(duì)稱，則l′的方程為
A.bx＋ay－c＝0 B.bx－ay＋c＝0
C.bx＋ay＋c＝0 D.bx－ay－c＝0
√
在l的方程中以－x代替y，以－y代替x，即得l′的方程，則l′：a(－y)
＋b(－x)＋c＝0，
即bx＋ay－c＝0.
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5.直線2x＋3y－6＝0關(guān)于點(diǎn)(1，－1)對(duì)稱的直線方程是
A.2x＋3y＋7＝0 B.3x－2y＋2＝0
C.2x＋3y＋8＝0 D.3x－2y－12＝0
√
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∵直線2x＋3y－6＝0關(guān)于點(diǎn)(1，－1)對(duì)稱的直線斜率不變，
∴設(shè)對(duì)稱后的直線方程l′為2x＋3y＋c＝0，
又點(diǎn)(1，－1)到兩直線的距離相等，
化簡(jiǎn)得|c－1|＝7，解得c＝－6 或c＝8，
∴l(xiāng)′的方程為2x＋3y－6＝0(舍)或 2x＋3y＋8＝0，
即直線2x＋3y－6＝0關(guān)于點(diǎn)(1，－1)對(duì)稱的直線方程是2x＋3y＋8＝0.
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6.光線從點(diǎn)A(－3,5)射到x軸上，經(jīng)x軸反射后經(jīng)過(guò)點(diǎn)B(2，10)，則光線從A到B的路程為
點(diǎn)A(－3,5)關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)A′(－3，－5)，則光線從A到B的路程即|A′B|的長(zhǎng)，
√
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7.如圖，光線從P(a,0)(a>0)出發(fā)，經(jīng)過(guò)直線l：x－2y＝0反射到Q(b,0)，該光線又在Q點(diǎn)被x軸反射，若反射光線恰與直線l平行，且b≥22，則實(shí)數(shù)a的最小值是______.
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設(shè)點(diǎn)P關(guān)于直線l的對(duì)稱點(diǎn)為P′(x0，y0)，
因?yàn)樵赒點(diǎn)被x軸反射后的反射光線恰與直線l平行，
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即實(shí)數(shù)a的最小值是10.
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8.臺(tái)球運(yùn)動(dòng)中反彈球技法是常見(jiàn)的技巧，其中無(wú)旋轉(zhuǎn)反彈球是最簡(jiǎn)單的技法，主球撞擊目標(biāo)球后，目標(biāo)球撞擊臺(tái)邊之后按照光線反射的方向彈出，想要讓目標(biāo)球沿著理想的方向反彈，就要事先根據(jù)需要確認(rèn)臺(tái)邊的撞擊點(diǎn)，同時(shí)做到用力適當(dāng)，方向精確，這樣才能通過(guò)反彈來(lái)將目標(biāo)球成功擊入袋中.如圖，現(xiàn)有一目標(biāo)球從點(diǎn)A(－2,3)無(wú)
旋轉(zhuǎn)射入，經(jīng)過(guò)x軸(桌邊)上的點(diǎn)P反彈后，經(jīng)過(guò)點(diǎn)
B(5,7)，則點(diǎn)P的坐標(biāo)為_(kāi)_______.
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設(shè)P(x,0)，A點(diǎn)關(guān)于x軸對(duì)稱的點(diǎn)為A′(－2，－3)，
由題意知A′，B，P三點(diǎn)共線，
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9.已知點(diǎn)M(3,5)，在直線l：x－2y＋2＝0和y軸上各找一點(diǎn)P和Q，使△MPQ的周長(zhǎng)最小.
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由點(diǎn)M(3,5)及直線l，可求得點(diǎn)M關(guān)于l的對(duì)稱點(diǎn)為M1(5,1).
同樣可求得點(diǎn)M關(guān)于y軸的對(duì)稱點(diǎn)為M2(－3,5).
由M1及M2兩點(diǎn)可得到直線M1M2的方程為x＋2y－7＝0.
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10.已知直線l：x－y＋3＝0，一束光線從點(diǎn)A(1,2)處射向x軸上一點(diǎn)B，又從點(diǎn)B反射到l上的一點(diǎn)C，最后從點(diǎn)C反射回點(diǎn)A.
(1)試判斷由此得到的△ABC的個(gè)數(shù)；
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如圖，設(shè)B(m,0)，點(diǎn)A關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)為A′(1，－2)，點(diǎn)B關(guān)于直線x－y＋3＝0的對(duì)稱點(diǎn)為B′(－3，m＋3).
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當(dāng)m＝－3時(shí)，點(diǎn)B在直線x－y＋3＝0上，不能構(gòu)成三角形.
綜上，符合題意的△ABC只有1個(gè).
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(2)求直線BC的方程.
則直線A′B的方程為3x＋y－1＝0，
即直線BC的方程為3x＋y－1＝0.
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綜合運(yùn)用
11.已知點(diǎn)(1，－1)關(guān)于直線l1：y＝x的對(duì)稱點(diǎn)為A，設(shè)直線l2經(jīng)過(guò)點(diǎn)A，則當(dāng)點(diǎn)B(2，－1)到直線l2的距離最大時(shí)，直線l2的方程為
A.2x＋3y＋5＝0 B.3x－2y＋5＝0
C.3x＋2y＋5＝0 D.2x－3y＋5＝0
√
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設(shè)點(diǎn)B(2，－1)到直線l2的距離為d，
當(dāng)d＝|AB|時(shí)取得最大值，此時(shí)直線l2垂直于直線AB，
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12.若x，y滿足x＋y＋1＝0，則x2＋y2－2x－2y＋2的最小值為
√
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原多項(xiàng)式可化為(x－1)2＋(y－1)2，
其幾何意義為點(diǎn)P(x，y)和點(diǎn)Q(1,1)間距離的平方，且點(diǎn)P(x，y)在直線x＋y＋1＝0上.
設(shè)d為點(diǎn)Q到直線x＋y＋1＝0的距離，
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∴f(x)的幾何意義為點(diǎn)M(x,0)到兩定點(diǎn)A(－2,4)與B(－1,3)的距離之和，
設(shè)點(diǎn)A(－2,4)關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)為A′，
則A′(－2，－4).要求f(x)的最小值，可轉(zhuǎn)化為求|MA|＋|MB|的最小值，
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14.唐代詩(shī)人李頎的詩(shī)《古從軍行》開(kāi)頭兩句說(shuō)：“白日登山望烽火，黃昏飲馬傍交河.”詩(shī)中隱含著一個(gè)有趣的數(shù)學(xué)問(wèn)題——“將軍飲馬”問(wèn)題，即將軍在觀望烽火之后從山腳下某處出發(fā)，先到河邊讓馬飲水后再回到軍營(yíng)，怎樣走才能使總路程最短？在平面直角坐標(biāo)系中，設(shè)軍營(yíng)所在位置為B(－1，－4)，若將軍從點(diǎn)A(－1,2)處出發(fā)，河岸線所在直線方程為x＋y＝3.則“將軍飲馬”的最短總路程為
√
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如圖所示，
設(shè)點(diǎn)B關(guān)于直線x＋y＝3的對(duì)稱點(diǎn)為C(a，b)，
在直線x＋y＝3上取點(diǎn)P，
由對(duì)稱性可得|PB|＝|PC|，
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當(dāng)且僅當(dāng)A，P，C三點(diǎn)共線時(shí)，等號(hào)成立，
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拓廣探究
x－4y－1＝0
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又線段PQ的中點(diǎn)是(1,0)，
所以p，q為方程x2－2x－1＝0的根，
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由兩點(diǎn)式得直線PQ的方程為x－4y－1＝0.
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16.已知直線l：x－2y＋8＝0和兩點(diǎn)A(2,0)，B(－2，－4).
(1)在直線l上求一點(diǎn)P，使|PA|＋|PB|最??；
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設(shè)A關(guān)于直線l的對(duì)稱點(diǎn)為A′(m，n)，
故A′(－2,8).
因?yàn)镻為直線l上的一點(diǎn)，
則|PA|＋|PB|＝|PA′|＋|PB|≥|A′B|，
當(dāng)且僅當(dāng)B，P，A′三點(diǎn)共線時(shí)，|PA|＋|PB|取得最小值，為|A′B|，點(diǎn)P即是直線A′B與直線l的交點(diǎn)，
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故所求的點(diǎn)P的坐標(biāo)為(－2,3).
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(2)在直線l上求一點(diǎn)P，使||PB|－|PA||最大.
A，B兩點(diǎn)在直線l的同側(cè)，P是直線l上的一點(diǎn)，
則||PB|－|PA||≤|AB|，
當(dāng)且僅當(dāng)A，B，P三點(diǎn)共線時(shí)，||PB|－|PA||取得最大值，為|AB|，點(diǎn)P即是直線AB與直線l的交點(diǎn)，又直線AB的方程為y＝x－2，
故所求的點(diǎn)P的坐標(biāo)為(12,10).習(xí)題課　對(duì)稱問(wèn)題
[學(xué)習(xí)目標(biāo)]　1.學(xué)會(huì)解決點(diǎn)點(diǎn)、點(diǎn)線、線線對(duì)稱問(wèn)題(重點(diǎn)).2.會(huì)應(yīng)用對(duì)稱問(wèn)題解決最值問(wèn)題和反射問(wèn)題(難點(diǎn))．
1．點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱
點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱的本質(zhì)是中點(diǎn)坐標(biāo)公式：設(shè)點(diǎn)P(x1，y1)關(guān)于點(diǎn)Q(x0，y0)的對(duì)稱點(diǎn)為P′(x2，y2)，則根據(jù)中點(diǎn)坐標(biāo)公式，有可得對(duì)稱點(diǎn)P′(x2，y2)的坐標(biāo)為(2x0－x1,2y0－y1)．
2．點(diǎn)關(guān)于直線對(duì)稱
點(diǎn)P(x1，y1)關(guān)于直線l：Ax＋By＋C＝0對(duì)稱的點(diǎn)為P′(x2，y2)，連接PP′，交l于M點(diǎn)，則l垂直平分PP′，所以PP′⊥l，且M為PP′的中點(diǎn)，又因?yàn)镸在直線l上，故可得解出(x2，y2)即可．
3．直線關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱
方法一：在已知直線上任取兩點(diǎn)，求出這兩點(diǎn)關(guān)于已知點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)，再由兩點(diǎn)式求出直線方程；
方法二：在已知直線上任取一點(diǎn)，求出該點(diǎn)關(guān)于已知點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)，再利用兩直線平行，由點(diǎn)斜式求出直線方程．
4．直線關(guān)于直線對(duì)稱
求直線l1：ax＋by＋c＝0關(guān)于直線l2：dx＋ey＋f＝0(兩直線不平行)的對(duì)稱直線l3.
第一步：聯(lián)立l1，l2的方程，算出交點(diǎn)P(x0，y0)；
第二步：在l1上任找一點(diǎn)(非交點(diǎn))Q(x1，y1)，利用點(diǎn)關(guān)于直線l2對(duì)稱算出對(duì)稱點(diǎn)Q′(x2，y2)；
第三步：利用兩點(diǎn)式寫出l3的方程．
5．常見(jiàn)的一些特殊的對(duì)稱
點(diǎn)(x，y)關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)為(x，－y)，關(guān)于y軸的對(duì)稱點(diǎn)為(－x，y)．
點(diǎn)(x，y)關(guān)于直線y＝x的對(duì)稱點(diǎn)為(y，x)，關(guān)于直線y＝－x的對(duì)稱點(diǎn)為(－y，－x)．
點(diǎn)(x，y)關(guān)于直線x＝a的對(duì)稱點(diǎn)為(2a－x，y)，關(guān)于直線y＝b的對(duì)稱點(diǎn)為(x,2b－y)．
點(diǎn)(x，y)關(guān)于點(diǎn)(a，b)的對(duì)稱點(diǎn)為(2a－x,2b－y)．
點(diǎn)(x，y)關(guān)于直線x＋y＝k的對(duì)稱點(diǎn)為(k－y，k－x)，關(guān)于直線x－y＝k的對(duì)稱點(diǎn)為(k＋y，x－k)．
一、幾類常見(jiàn)的對(duì)稱問(wèn)題
例1　已知直線l：y＝3x＋3，求：
(1)點(diǎn)P(4,5)關(guān)于l的對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)；
(2)直線y＝x－2關(guān)于l的對(duì)稱直線的方程；
(3)直線l關(guān)于點(diǎn)A(3,2)的對(duì)稱直線的方程．
解　(1)設(shè)點(diǎn)P關(guān)于直線l的對(duì)稱點(diǎn)為P′(x′，y′)，則線段PP′的中點(diǎn)在直線l上，且直線PP′垂直于直線l，
即解得
所以點(diǎn)P′的坐標(biāo)為(－2,7)．
(2)解方程組得
則點(diǎn)在所求直線上．
在直線y＝x－2上任取一點(diǎn)M(2,0)，
設(shè)點(diǎn)M關(guān)于直線l的對(duì)稱點(diǎn)為M′(x0，y0)，
則 解得
點(diǎn)M′也在所求直線上．
由兩點(diǎn)式得直線方程為＝，
化簡(jiǎn)得7x＋y＋22＝0，即為所求直線的方程．
(3)在直線l上取兩點(diǎn)E(0,3)，F(xiàn)(－1,0)，
則E，F(xiàn)關(guān)于點(diǎn)A(3,2)的對(duì)稱點(diǎn)分別為E′(6,1)，F(xiàn)′(7,4)．因?yàn)辄c(diǎn)E′，F(xiàn)′在所求直線上，
所以由兩點(diǎn)式得所求直線方程為＝，
即3x－y－17＝0.
反思感悟　對(duì)稱問(wèn)題的解決方法
(1)點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)的對(duì)稱問(wèn)題通常利用中點(diǎn)坐標(biāo)公式．
點(diǎn)P(x，y)關(guān)于Q(a，b)的對(duì)稱點(diǎn)為P′(2a－x，2b－y)．
(2)直線關(guān)于點(diǎn)的對(duì)稱直線通常用轉(zhuǎn)移法或取特殊點(diǎn)來(lái)求．
設(shè)l的方程為Ax＋By＋C＝0(A2＋B2≠0)和點(diǎn)P(x0，y0)，
則l關(guān)于P點(diǎn)的對(duì)稱直線方程為A(2x0－x)＋B(2y0－y)＋C＝0.
(3)點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)，要抓住“垂直”和“平分”．
設(shè)P(x0，y0)，l：Ax＋By＋C＝0(A2＋B2≠0)，P關(guān)于l的對(duì)稱點(diǎn)Q可以通過(guò)條件：①PQ⊥l；②PQ的中點(diǎn)在l上來(lái)求得．
(4)求直線關(guān)于直線的對(duì)稱直線的問(wèn)題可轉(zhuǎn)化為點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱問(wèn)題．
跟蹤訓(xùn)練1　已知P(－1,2)，M(1,3)，直線l：y＝2x＋1.
(1)求點(diǎn)P關(guān)于直線l的對(duì)稱點(diǎn)R的坐標(biāo)；
(2)求直線PM關(guān)于直線l對(duì)稱的直線方程．
解　(1)設(shè)點(diǎn)P關(guān)于直線l的對(duì)稱點(diǎn)R的坐標(biāo)為(x，y)，
則有
解得 所以R的坐標(biāo)為 .
(2)因?yàn)镸(1,3)的坐標(biāo)滿足直線l的方程，
又點(diǎn)P關(guān)于直線l的對(duì)稱點(diǎn)為R，
則直線MR即為所求的直線，由兩點(diǎn)式得所求直線方程為11x＋2y－17＝0.
二、光的反射問(wèn)題
例2　一束光線從原點(diǎn)O(0,0)出發(fā)，經(jīng)過(guò)直線l：8x＋6y＝25反射后通過(guò)點(diǎn)P(－4,3)，求反射光線的方程及光線從O點(diǎn)到達(dá)P點(diǎn)所經(jīng)過(guò)的路程．
解　如圖，
設(shè)原點(diǎn)關(guān)于l的對(duì)稱點(diǎn)A的坐標(biāo)為(a，b)，
由直線OA與l垂直和線段AO的中點(diǎn)在l上得
解得
所以A的坐標(biāo)為(4,3)．
因?yàn)榉瓷涔饩€的反向延長(zhǎng)線過(guò)A(4,3)，
又由反射光線過(guò)P(－4,3)，A，P兩點(diǎn)縱坐標(biāo)相等，
故反射光線所在直線的方程為y＝3.
聯(lián)立
解得即交點(diǎn)Q，
由于反射光線為射線，
故反射光線的方程為y＝3.
由光的性質(zhì)可知，
光線從O到P的路程即為AP的長(zhǎng)度|AP|，
由A(4,3)，P(－4,3)知，|AP|＝4－(－4)＝8，
即光線從O點(diǎn)到達(dá)P點(diǎn)所經(jīng)過(guò)的路程為8.
反思感悟　根據(jù)平面幾何知識(shí)和光學(xué)知識(shí)，入射光線、反射光線上對(duì)應(yīng)的點(diǎn)是關(guān)于法線對(duì)稱的．利用點(diǎn)的對(duì)稱關(guān)系可以求解．
跟蹤訓(xùn)練2　如圖所示，已知點(diǎn)A(4，0)，B(0,4)，從點(diǎn)P(2,0)射出的光線經(jīng)直線AB反射后再射到直線OB上，最后經(jīng)直線OB反射后又回到點(diǎn)P，則光線所經(jīng)過(guò)的路程是(　　)
A．2 B．6 C．3 D．2
答案　A
解析　由題意知，AB所在直線的方程為x＋y－4＝0.如圖，點(diǎn)P關(guān)于直線AB的對(duì)稱點(diǎn)為D(4,2)，點(diǎn)P關(guān)于y軸的對(duì)稱點(diǎn)為C(－2,0)，則光線所經(jīng)過(guò)的路程為|CD|＝2.
三、利用對(duì)稱解決有關(guān)最值問(wèn)題
例3　在直線l：x－y－1＝0上求兩點(diǎn)P，Q.使得：
(1)P到A(4,1)與B(0,4)的距離之差最大；
(2)Q到A(4,1)與C(3,0)的距離之和最?。?br/>解　(1)如圖，設(shè)點(diǎn)B關(guān)于l的對(duì)稱點(diǎn)B′的坐標(biāo)為(a，b)，連接BB′，則kBB′·kl＝－1，即×1＝－1，
∴a＋b－4＝0，①
∵BB′的中點(diǎn)在直線l上，
∴－－1＝0，即a－b－6＝0.②
由①②得
∴點(diǎn)B′的坐標(biāo)為(5，－1)．
于是AB′所在直線的方程為＝，
即2x＋y－9＝0.
易知||PB|－|PA||＝||PB′|－|PA||，當(dāng)且僅當(dāng)P，B′，A三點(diǎn)共線時(shí)，||PB′|－|PA||最大．
∴聯(lián)立直線l與AB′的方程，解得x＝，y＝，
即直線l與AB′的交點(diǎn)坐標(biāo)為.
故點(diǎn)P的坐標(biāo)為.
(2)如圖，設(shè)點(diǎn)C關(guān)于l的對(duì)稱點(diǎn)為C′，可求得C′的坐標(biāo)為(1,2)，
∴AC′所在直線的方程為x＋3y－7＝0.
易知|QA|＋|QC|＝|QA|＋|QC′|，當(dāng)且僅當(dāng)Q，A，C′三點(diǎn)共線時(shí)，|QA|＋|QC′|最?。?br/>∴聯(lián)立直線AC′與l的方程，解得x＝，y＝，
即直線AC′與l的交點(diǎn)坐標(biāo)為.
故點(diǎn)Q的坐標(biāo)為.
反思感悟　利用對(duì)稱性求距離的最值問(wèn)題
由平面幾何知識(shí)(三角形任意兩邊之和大于第三邊，任意兩邊之差的絕對(duì)值小于第三邊)可知，要解決在直線l上求一點(diǎn)，使這點(diǎn)到兩定點(diǎn)A，B的距離之差最大的問(wèn)題，若這兩點(diǎn)A，B位于直線l的同側(cè)，則只需求出直線AB的方程，再求它與已知直線的交點(diǎn)，即得所求的點(diǎn)的坐標(biāo)；若A，B兩點(diǎn)位于直線l的異側(cè)，則先求A，B兩點(diǎn)中某一點(diǎn)，如A關(guān)于直線l的對(duì)稱點(diǎn)A′，得直線A′B的方程，再求其與直線l的交點(diǎn)即可．對(duì)于在直線l上求一點(diǎn)P，使P到平面上兩點(diǎn)A，B的距離之和最小的問(wèn)題可用類似方法求解．
跟蹤訓(xùn)練3　已知兩點(diǎn)A(1,3)，B(4,5)，動(dòng)點(diǎn)M在直線y＝x上運(yùn)動(dòng)，則|MA|＋|MB|的最小值為_(kāi)_______．
答案　
解析　根據(jù)題意畫出圖象，如圖，
設(shè)點(diǎn)A關(guān)于直線y＝x的對(duì)稱點(diǎn)為A′(x，y)，
所以
解得即A′(3,1)，
連接A′B，則|A′B|即為|MA|＋|MB|的最小值，|A′B|＝＝.
1．知識(shí)清單：
(1)關(guān)于點(diǎn)點(diǎn)、點(diǎn)線、線線的對(duì)稱問(wèn)題．
(2)反射問(wèn)題．
(3)利用對(duì)稱解決有關(guān)最值問(wèn)題．
2．方法歸納：轉(zhuǎn)化化歸、數(shù)形結(jié)合．
3．常見(jiàn)誤區(qū)：兩條直線關(guān)于直線外一點(diǎn)對(duì)稱，則這兩條直線一定平行，千萬(wàn)不要與兩條相交直線關(guān)于角平分線所在直線對(duì)稱混淆．
1．點(diǎn)(3,9)關(guān)于直線x＋3y－10＝0對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)是(　　)
A．(－1，－3) B．(17，－9)
C．(－1,3) D．(－17,9)
答案　A
解析　設(shè)點(diǎn)(3,9)關(guān)于直線x＋3y－10＝0對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)為(a，b)，
則由
解得
所以該點(diǎn)的坐標(biāo)為(－1，－3)．
2．直線x－2y＋1＝0 關(guān)于直線x＝1對(duì)稱的直線方程是(　　)
A．x＋2y－1＝0 B．2x＋y－1＝0
C．2x＋y－3＝0 D．x＋2y－3＝0
答案　D
解析　在直線 x－2y＋1＝0上任取兩點(diǎn)，不妨取點(diǎn)(1,1)，，
這兩點(diǎn)關(guān)于直線x＝1對(duì)稱的點(diǎn)分別為 (1,1)，，
兩對(duì)稱點(diǎn)所在直線的方程為 y－1＝－(x－1)，即 x＋2y－3＝0.
3．若點(diǎn)P(3,4)和點(diǎn)Q(a，b)關(guān)于直線x－y－1＝0對(duì)稱，則(　　)
A．a(chǎn)＝1，b＝－2 B．a(chǎn)＝2，b＝－1
C．a(chǎn)＝4，b＝3 D．a(chǎn)＝5，b＝2
答案　D
解析　由
解得
4．已知A(3,0)，B(0,3)，從點(diǎn)P(0,2)射出的光線經(jīng)x軸反射到直線AB上，又經(jīng)過(guò)直線AB反射回到P點(diǎn)，則光線所經(jīng)過(guò)的路程為(　　)
A．2 B．6 C．3 D.
答案　D
解析　由題意知直線AB的方程為x＋y＝3，點(diǎn)P(0，2)關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)為P1(0，－2)，設(shè)點(diǎn)P(0,2)關(guān)于直線AB的對(duì)稱點(diǎn)為P2(a，b)，如圖，
∴
解得∴P2(1,3)，
∴光線所經(jīng)過(guò)的路程為|PQ|＋|QM|＋|MP|＝|P1P2|＝＝.
[分值：100分]
單選題每小題5分，共50分
1．已知點(diǎn)A(x,5)關(guān)于點(diǎn)(1，y)的對(duì)稱點(diǎn)為(－2，－3)，則點(diǎn)P(x，y)到原點(diǎn)的距離是(　　)
A．4 B. C. D.
答案　D
解析　根據(jù)中點(diǎn)坐標(biāo)公式得
解得
所以點(diǎn)P的坐標(biāo)為(4,1)，則點(diǎn)P(x，y)到原點(diǎn)的距離d＝＝.
2．點(diǎn)P(a，b)關(guān)于直線l：x＋y＋1＝0對(duì)稱的點(diǎn)仍在l上，則a＋b等于(　　)
A．－1 B．1 C．2 D．0
答案　A
解析　∵點(diǎn)P(a，b)關(guān)于直線l：x＋y＋1＝0對(duì)稱的點(diǎn)仍在l上，
∴點(diǎn)P(a，b)在直線l上，
∴a＋b＋1＝0，即a＋b＝－1.
3．點(diǎn)P(2,5)關(guān)于直線l：x＋y＋1＝0的對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)為(　　)
A．(6，－3) B．(3，－6)
C．(－6，－3) D．(－6,3)
答案　C
解析　設(shè)點(diǎn)P(2,5)關(guān)于直線l的對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)為(x，y)，
則解得
故點(diǎn)P(2,5)關(guān)于直線l的對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)為(－6，－3)．
4．已知直線l：ax＋by＋c＝0與直線l′關(guān)于直線x＋y＝0對(duì)稱，則l′的方程為(　　)
A．bx＋ay－c＝0 B．bx－ay＋c＝0
C．bx＋ay＋c＝0 D．bx－ay－c＝0
答案　A
解析　在l的方程中以－x代替y，以－y代替x，即得l′的方程，則l′：a(－y)＋b(－x)＋c＝0，
即bx＋ay－c＝0.
5．直線2x＋3y－6＝0關(guān)于點(diǎn)(1，－1)對(duì)稱的直線方程是(　　)
A．2x＋3y＋7＝0 B．3x－2y＋2＝0
C．2x＋3y＋8＝0 D．3x－2y－12＝0
答案　C
解析　∵直線2x＋3y－6＝0關(guān)于點(diǎn)(1，－1)對(duì)稱的直線斜率不變，
∴設(shè)對(duì)稱后的直線方程l′為2x＋3y＋c＝0，
又點(diǎn)(1，－1)到兩直線的距離相等，
∴＝，
化簡(jiǎn)得|c－1|＝7，解得c＝－6 或c＝8，
∴l(xiāng)′的方程為2x＋3y－6＝0(舍)或 2x＋3y＋8＝0，
即直線2x＋3y－6＝0關(guān)于點(diǎn)(1，－1)對(duì)稱的直線方程是2x＋3y＋8＝0.
6．光線從點(diǎn)A(－3,5)射到x軸上，經(jīng)x軸反射后經(jīng)過(guò)點(diǎn)B(2，10)，則光線從A到B的路程為(　　)
A．5 B．2 C．5 D．10
答案　C
解析　點(diǎn)A(－3,5)關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)A′(－3，－5)，則光線從A到B的路程即|A′B|的長(zhǎng)，
|A′B|＝＝5.
即光線從A到B的路程為5.
7．(5分)如圖，光線從P(a,0)(a>0)出發(fā)，經(jīng)過(guò)直線l：x－2y＝0反射到Q(b,0)，該光線又在Q點(diǎn)被x軸反射，若反射光線恰與直線l平行，且b≥22，則實(shí)數(shù)a的最小值是________．
答案　10
解析　設(shè)點(diǎn)P關(guān)于直線l的對(duì)稱點(diǎn)為P′(x0，y0)，
則解得
即P′，
因?yàn)樵赒點(diǎn)被x軸反射后的反射光線恰與直線l平行，
所以kP′Q＝－，即＝－，
化簡(jiǎn)得a＝b，
因?yàn)閎≥22，所以a＝b≥×22＝10，
即實(shí)數(shù)a的最小值是10.
8．(5分)臺(tái)球運(yùn)動(dòng)中反彈球技法是常見(jiàn)的技巧，其中無(wú)旋轉(zhuǎn)反彈球是最簡(jiǎn)單的技法，主球撞擊目標(biāo)球后，目標(biāo)球撞擊臺(tái)邊之后按照光線反射的方向彈出，想要讓目標(biāo)球沿著理想的方向反彈，就要事先根據(jù)需要確認(rèn)臺(tái)邊的撞擊點(diǎn)，同時(shí)做到用力適當(dāng)，方向精確，這樣才能通過(guò)反彈來(lái)將目標(biāo)球成功擊入袋中．如圖，現(xiàn)有一目標(biāo)球從點(diǎn)A(－2,3)無(wú)旋轉(zhuǎn)射入，經(jīng)過(guò)x軸(桌邊)上的點(diǎn)P反彈后，經(jīng)過(guò)點(diǎn)B(5,7)，則點(diǎn)P的坐標(biāo)為_(kāi)_______．
答案　
解析　設(shè)P(x,0)，A點(diǎn)關(guān)于x軸對(duì)稱的點(diǎn)為A′(－2，－3)，
則kA′P＝＝，kA′B＝＝，
由題意知A′，B，P三點(diǎn)共線，
∴kA′P＝kA′B，即＝，解得x＝，
故P點(diǎn)的坐標(biāo)為.
9．(10分)已知點(diǎn)M(3,5)，在直線l：x－2y＋2＝0和y軸上各找一點(diǎn)P和Q，使△MPQ的周長(zhǎng)最?。?br/>解　由點(diǎn)M(3,5)及直線l，可求得點(diǎn)M關(guān)于l的對(duì)稱點(diǎn)為M1(5,1)．同樣可求得點(diǎn)M關(guān)于y軸的對(duì)稱點(diǎn)為M2(－3,5)．由M1及M2兩點(diǎn)可得到直線M1M2的方程為x＋2y－7＝0.
解方程組得交點(diǎn)P.令x＝0，得M1M2與y軸的交點(diǎn)Q.所以當(dāng)P和Q的坐標(biāo)分別為，時(shí)，△MPQ的周長(zhǎng)最?。?br/>10．(12分)已知直線l：x－y＋3＝0，一束光線從點(diǎn)A(1,2)處射向x軸上一點(diǎn)B，又從點(diǎn)B反射到l上的一點(diǎn)C，最后從點(diǎn)C反射回點(diǎn)A.
(1)試判斷由此得到的△ABC的個(gè)數(shù)；(7分)
(2)求直線BC的方程．(5分)
解　(1)如圖，設(shè)B(m,0)，點(diǎn)A關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)為A′(1，－2)，點(diǎn)B關(guān)于直線x－y＋3＝0的對(duì)稱點(diǎn)為B′(－3，m＋3)．
根據(jù)光學(xué)知識(shí)，知點(diǎn)C在直線A′B上，點(diǎn)C又在直線B′A上，且直線A′B的方程為
y＝(x－m)．
由得x＝.
又直線AB′的方程為y－2＝(x－1)，
由得x＝.
所以＝，即3m2＋8m－3＝0，
解得m＝或－3.
當(dāng)m＝時(shí)，符合題意；
當(dāng)m＝－3時(shí)，點(diǎn)B在直線x－y＋3＝0上，不能構(gòu)成三角形．綜上，符合題意的△ABC只有1個(gè)．
(2)由(1)得m＝，
則直線A′B的方程為3x＋y－1＝0，
即直線BC的方程為3x＋y－1＝0.
11．已知點(diǎn)(1，－1)關(guān)于直線l1：y＝x的對(duì)稱點(diǎn)為A，設(shè)直線l2經(jīng)過(guò)點(diǎn)A，則當(dāng)點(diǎn)B(2，－1)到直線l2的距離最大時(shí)，直線l2的方程為(　　)
A．2x＋3y＋5＝0 B．3x－2y＋5＝0
C．3x＋2y＋5＝0 D．2x－3y＋5＝0
答案　B
解析　設(shè)A(a，b)，則
解得所以A(－1,1)．
設(shè)點(diǎn)B(2，－1)到直線l2的距離為d，
當(dāng)d＝|AB|時(shí)取得最大值，此時(shí)直線l2垂直于直線AB，
又kl2＝－＝－＝，
所以直線l2的方程為y－1＝(x＋1)，即3x－2y＋5＝0.
12．若x，y滿足x＋y＋1＝0，則x2＋y2－2x－2y＋2的最小值為(　　)
A．2 B. C．3 D．4
答案　B
解析　原多項(xiàng)式可化為(x－1)2＋(y－1)2，其幾何意義為點(diǎn)P(x，y)和點(diǎn)Q(1,1)間距離的平方，且點(diǎn)P(x，y)在直線x＋y＋1＝0上．設(shè)d為點(diǎn)Q到直線x＋y＋1＝0的距離，由|PQ|≥d，得≥，即x2＋y2－2x－2y＋2≥.故所求的最小值為.
13．著名數(shù)學(xué)家華羅庚曾說(shuō)過(guò)：“數(shù)形結(jié)合百般好，隔離分家萬(wàn)事休．”事實(shí)上，有很多代數(shù)問(wèn)題可以轉(zhuǎn)化為幾何問(wèn)題加以解決，如：可以轉(zhuǎn)化為平面上點(diǎn)M(x，y)與點(diǎn)N(a，b)間的距離．結(jié)合上述觀點(diǎn)，可得f(x)＝＋的最小值為(　　)
A．2 B．5 C．4 D．8
答案　B
解析　∵f(x)＝＋
＝＋，
∴f(x)的幾何意義為點(diǎn)M(x,0)到兩定點(diǎn)A(－2,4)與B(－1,3)的距離之和，
設(shè)點(diǎn)A(－2,4)關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)為A′，
則A′(－2，－4)．要求f(x)的最小值，可轉(zhuǎn)化為求|MA|＋|MB|的最小值，
利用對(duì)稱思想可知|MA|＋|MB|≥|A′B|＝＝5，當(dāng)且僅當(dāng)A′，M，B三點(diǎn)共線時(shí)等號(hào)成立，
即f(x)＝＋的最小值為5.
14．唐代詩(shī)人李頎的詩(shī)《古從軍行》開(kāi)頭兩句說(shuō)：“白日登山望烽火，黃昏飲馬傍交河．”詩(shī)中隱含著一個(gè)有趣的數(shù)學(xué)問(wèn)題——“將軍飲馬”問(wèn)題，即將軍在觀望烽火之后從山腳下某處出發(fā)，先到河邊讓馬飲水后再回到軍營(yíng)，怎樣走才能使總路程最短？在平面直角坐標(biāo)系中，設(shè)軍營(yíng)所在位置為B(－1，－4)，若將軍從點(diǎn)A(－1,2)處出發(fā)，河岸線所在直線方程為x＋y＝3.則“將軍飲馬”的最短總路程為(　　)
A. B. C．2 D．10
答案　C
解析　如圖所示，
設(shè)點(diǎn)B關(guān)于直線x＋y＝3的對(duì)稱點(diǎn)為C(a，b)，
由題意可得
解得即C(7,4)，
在直線x＋y＝3上取點(diǎn)P，
由對(duì)稱性可得|PB|＝|PC|，
所以|PA|＋|PB|＝|PA|＋|PC|≥|AC|＝＝2，
當(dāng)且僅當(dāng)A，P，C三點(diǎn)共線時(shí)，等號(hào)成立，
因此，“將軍飲馬”的最短總路程為2.
15．(5分)若函數(shù)y＝的圖象上存在兩點(diǎn)P，Q關(guān)于點(diǎn)(1,0)對(duì)稱，則直線PQ的方程是________．
答案　x－4y－1＝0
解析　根據(jù)題意，設(shè)P，Q，
又線段PQ的中點(diǎn)是(1,0)，
所以
整理得
所以p，q為方程x2－2x－1＝0的根，
解得x＝1±，
所以P，Q
或P，Q.
由兩點(diǎn)式得直線PQ的方程為x－4y－1＝0.
16．(13分)已知直線l：x－2y＋8＝0和兩點(diǎn)A(2,0)，B(－2，－4)．
(1)在直線l上求一點(diǎn)P，使|PA|＋|PB|最??；(6分)
(2)在直線l上求一點(diǎn)P，使||PB|－|PA||最大．(7分)
解　(1)設(shè)A關(guān)于直線l的對(duì)稱點(diǎn)為A′(m，n)，
則解得
故A′(－2,8)．
因?yàn)镻為直線l上的一點(diǎn)，
則|PA|＋|PB|＝|PA′|＋|PB|≥|A′B|，
當(dāng)且僅當(dāng)B，P，A′三點(diǎn)共線時(shí)，|PA|＋|PB|取得最小值，為|A′B|，點(diǎn)P即是直線A′B與直線l的交點(diǎn)，
則得
故所求的點(diǎn)P的坐標(biāo)為(－2,3)．
(2)A，B兩點(diǎn)在直線l的同側(cè)，P是直線l上的一點(diǎn)，
則||PB|－|PA||≤|AB|，
當(dāng)且僅當(dāng)A，B，P三點(diǎn)共線時(shí)，||PB|－|PA||取得最大值，為|AB|，點(diǎn)P即是直線AB與直線l的交點(diǎn)，又直線AB的方程為y＝x－2，則得
故所求的點(diǎn)P的坐標(biāo)為(12,10)．習(xí)題課　對(duì)稱問(wèn)題
[學(xué)習(xí)目標(biāo)]　1.學(xué)會(huì)解決點(diǎn)點(diǎn)、點(diǎn)線、線線對(duì)稱問(wèn)題(重點(diǎn)).2.會(huì)應(yīng)用對(duì)稱問(wèn)題解決最值問(wèn)題和反射問(wèn)題(難點(diǎn))．
1．點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱
點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱的本質(zhì)是中點(diǎn)坐標(biāo)公式：設(shè)點(diǎn)P(x1，y1)關(guān)于點(diǎn)Q(x0，y0)的對(duì)稱點(diǎn)為P′(x2，y2)，則根據(jù)中點(diǎn)坐標(biāo)公式，有可得對(duì)稱點(diǎn)P′(x2，y2)的坐標(biāo)為(2x0－x1,2y0－y1)．
2．點(diǎn)關(guān)于直線對(duì)稱
點(diǎn)P(x1，y1)關(guān)于直線l：Ax＋By＋C＝0對(duì)稱的點(diǎn)為P′(x2，y2)，連接PP′，交l于M點(diǎn)，則l垂直平分PP′，所以PP′⊥l，且M為PP′的中點(diǎn)，又因?yàn)镸在直線l上，故可得解出(x2，y2)即可．
3．直線關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱
方法一：在已知直線上任取兩點(diǎn)，求出這兩點(diǎn)關(guān)于已知點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)，再由兩點(diǎn)式求出直線方程；
方法二：在已知直線上任取一點(diǎn)，求出該點(diǎn)關(guān)于已知點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)，再利用兩直線平行，由點(diǎn)斜式求出直線方程．
4．直線關(guān)于直線對(duì)稱
求直線l1：ax＋by＋c＝0關(guān)于直線l2：dx＋ey＋f＝0(兩直線不平行)的對(duì)稱直線l3.
第一步：聯(lián)立l1，l2的方程，算出交點(diǎn)P(x0，y0)；
第二步：在l1上任找一點(diǎn)(非交點(diǎn))Q(x1，y1)，利用點(diǎn)關(guān)于直線l2對(duì)稱算出對(duì)稱點(diǎn)Q′(x2，y2)；
第三步：利用兩點(diǎn)式寫出l3的方程．
5．常見(jiàn)的一些特殊的對(duì)稱
點(diǎn)(x，y)關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)為(x，－y)，關(guān)于y軸的對(duì)稱點(diǎn)為(－x，y)．
點(diǎn)(x，y)關(guān)于直線y＝x的對(duì)稱點(diǎn)為(y，x)，關(guān)于直線y＝－x的對(duì)稱點(diǎn)為(－y，－x)．
點(diǎn)(x，y)關(guān)于直線x＝a的對(duì)稱點(diǎn)為(2a－x，y)，關(guān)于直線y＝b的對(duì)稱點(diǎn)為(x,2b－y)．
點(diǎn)(x，y)關(guān)于點(diǎn)(a，b)的對(duì)稱點(diǎn)為(2a－x,2b－y)．
點(diǎn)(x，y)關(guān)于直線x＋y＝k的對(duì)稱點(diǎn)為(k－y，k－x)，關(guān)于直線x－y＝k的對(duì)稱點(diǎn)為(k＋y，x－k)．
一、幾類常見(jiàn)的對(duì)稱問(wèn)題
例1　已知直線l：y＝3x＋3，求：
(1)點(diǎn)P(4,5)關(guān)于l的對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)；
(2)直線y＝x－2關(guān)于l的對(duì)稱直線的方程；
(3)直線l關(guān)于點(diǎn)A(3,2)的對(duì)稱直線的方程．
反思感悟　對(duì)稱問(wèn)題的解決方法
(1)點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)的對(duì)稱問(wèn)題通常利用中點(diǎn)坐標(biāo)公式．
點(diǎn)P(x，y)關(guān)于Q(a，b)的對(duì)稱點(diǎn)為P′(2a－x，2b－y)．
(2)直線關(guān)于點(diǎn)的對(duì)稱直線通常用轉(zhuǎn)移法或取特殊點(diǎn)來(lái)求．
設(shè)l的方程為Ax＋By＋C＝0(A2＋B2≠0)和點(diǎn)P(x0，y0)，
則l關(guān)于P點(diǎn)的對(duì)稱直線方程為A(2x0－x)＋B(2y0－y)＋C＝0.
(3)點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)，要抓住“垂直”和“平分”．
設(shè)P(x0，y0)，l：Ax＋By＋C＝0(A2＋B2≠0)，P關(guān)于l的對(duì)稱點(diǎn)Q可以通過(guò)條件：①PQ⊥l；②PQ的中點(diǎn)在l上來(lái)求得．
(4)求直線關(guān)于直線的對(duì)稱直線的問(wèn)題可轉(zhuǎn)化為點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱問(wèn)題．
跟蹤訓(xùn)練1　已知P(－1,2)，M(1,3)，直線l：y＝2x＋1.
(1)求點(diǎn)P關(guān)于直線l的對(duì)稱點(diǎn)R的坐標(biāo)；
(2)求直線PM關(guān)于直線l對(duì)稱的直線方程．
二、光的反射問(wèn)題
例2　一束光線從原點(diǎn)O(0,0)出發(fā)，經(jīng)過(guò)直線l：8x＋6y＝25反射后通過(guò)點(diǎn)P(－4,3)，求反射光線的方程及光線從O點(diǎn)到達(dá)P點(diǎn)所經(jīng)過(guò)的路程．
反思感悟　根據(jù)平面幾何知識(shí)和光學(xué)知識(shí)，入射光線、反射光線上對(duì)應(yīng)的點(diǎn)是關(guān)于法線對(duì)稱的．利用點(diǎn)的對(duì)稱關(guān)系可以求解．
跟蹤訓(xùn)練2　如圖所示，已知點(diǎn)A(4，0)，B(0,4)，從點(diǎn)P(2,0)射出的光線經(jīng)直線AB反射后再射到直線OB上，最后經(jīng)直線OB反射后又回到點(diǎn)P，則光線所經(jīng)過(guò)的路程是(　　)
A．2 B．6 C．3 D．2
三、利用對(duì)稱解決有關(guān)最值問(wèn)題
例3　在直線l：x－y－1＝0上求兩點(diǎn)P，Q.使得：
(1)P到A(4,1)與B(0,4)的距離之差最大；
(2)Q到A(4,1)與C(3,0)的距離之和最小．
反思感悟　利用對(duì)稱性求距離的最值問(wèn)題
由平面幾何知識(shí)(三角形任意兩邊之和大于第三邊，任意兩邊之差的絕對(duì)值小于第三邊)可知，要解決在直線l上求一點(diǎn)，使這點(diǎn)到兩定點(diǎn)A，B的距離之差最大的問(wèn)題，若這兩點(diǎn)A，B位于直線l的同側(cè)，則只需求出直線AB的方程，再求它與已知直線的交點(diǎn)，即得所求的點(diǎn)的坐標(biāo)；若A，B兩點(diǎn)位于直線l的異側(cè)，則先求A，B兩點(diǎn)中某一點(diǎn)，如A關(guān)于直線l的對(duì)稱點(diǎn)A′，得直線A′B的方程，再求其與直線l的交點(diǎn)即可．對(duì)于在直線l上求一點(diǎn)P，使P到平面上兩點(diǎn)A，B的距離之和最小的問(wèn)題可用類似方法求解．
跟蹤訓(xùn)練3　已知兩點(diǎn)A(1,3)，B(4,5)，動(dòng)點(diǎn)M在直線y＝x上運(yùn)動(dòng)，則|MA|＋|MB|的最小值為_(kāi)_______．
1．知識(shí)清單：
(1)關(guān)于點(diǎn)點(diǎn)、點(diǎn)線、線線的對(duì)稱問(wèn)題．
(2)反射問(wèn)題．
(3)利用對(duì)稱解決有關(guān)最值問(wèn)題．
2．方法歸納：轉(zhuǎn)化化歸、數(shù)形結(jié)合．
3．常見(jiàn)誤區(qū)：兩條直線關(guān)于直線外一點(diǎn)對(duì)稱，則這兩條直線一定平行，千萬(wàn)不要與兩條相交直線關(guān)于角平分線所在直線對(duì)稱混淆．
1．點(diǎn)(3,9)關(guān)于直線x＋3y－10＝0對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)是(　　)
A．(－1，－3) B．(17，－9)
C．(－1,3) D．(－17,9)
2．直線x－2y＋1＝0 關(guān)于直線x＝1對(duì)稱的直線方程是(　　)
A．x＋2y－1＝0 B．2x＋y－1＝0
C．2x＋y－3＝0 D．x＋2y－3＝0
3．若點(diǎn)P(3,4)和點(diǎn)Q(a，b)關(guān)于直線x－y－1＝0對(duì)稱，則(　　)
A．a(chǎn)＝1，b＝－2 B．a(chǎn)＝2，b＝－1
C．a(chǎn)＝4，b＝3 D．a(chǎn)＝5，b＝2
4．已知A(3,0)，B(0,3)，從點(diǎn)P(0,2)射出的光線經(jīng)x軸反射到直線AB上，又經(jīng)過(guò)直線AB反射回到P點(diǎn)，則光線所經(jīng)過(guò)的路程為(　　)
A．2 B．6 C．3 D.

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