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/ 讓教學更有效 精品試卷 | 數學
專題3.2.實數
1、了解無理數與實數的相關概念與實數的分類；
2、了解在有理數范圍內的運算及運算法則、運算性質等在實數內仍然成立；
3、能熟練地進行實數運算；在實數運算時，根據問題的要求取其近似值，轉化有理數計算；
4、能估計一個無理數的大致范圍，并能通過估算比較兩個數的大小。
模塊1：知識梳理 2
模塊2：核心考點 3
考點1.無理數的相關概念與識別 3
考點2.實數的概念理解及實數的分類 4
考點3.實數的性質 5
考點4.實數的估算 6
考點5.實數與數軸 7
考點6.實數的大小比較 9
模塊3：能力培優 10
1、有理數與無理數
有限小數和無限循環小數都稱為有理數。無限不循環小數又叫無理數。
（1）無理數的特征：無理數的小數部分位數無限。無理數的小數部分不循環，不能表示成分數的形式。
（2）常見的無理數有三種形式：
①含類，如；.②開方開不盡的數，如；③看似有規律，實則無循環節的數，如：1.313113111…….
2、實數
1）有理數和無理數統稱為實數。
2）實數的分類
實數 實數
3）實數與數軸上的點的關系
在實數范圍內，每一個實數都可以用數軸上的點表示；反過來，數軸上的每一個點都表示一個實數。
故實數和數軸上的點一一對應。
4）實數的性質（重點）：有理數的相反數、絕對值、倒數的定義完全適用于實數。
（1）與互為相反數，且互為相反數的兩個數的絕對值相等。
（2）與互為倒數，正數的倒數是正數，負數的倒數是負數，零沒有倒數。
（3）絕對值的非負性：。
5）兩個實數比較大小
①在數軸上表示的兩個實數，右邊的數比左邊的數大。
②數軸上，如果點A，點B所對應的數分別為a，b，那么A,B兩點的距離。
6）估算無理數的方法：（1）通過平方運算，采用“夾逼法”，確定真正值所在范圍；
（2）根據問題中誤差允許的范圍內取出近似值。
需要記憶常用數的近似值：≈1.414 ≈1.732 ≈2.236
考點1.無理數的相關概念與識別
例1．（23-24七年級上·浙江寧波·期中）下列說法正確的是（ ）
A．是16的一個平方根 B．兩個無理數的和一定是無理數
C．無限小數是無理數 D．0沒有算術平方根
【答案】A
【分析】此題考查了實數的運算，平方根，算術平方根及實數的概念，利用有理數、無理數的性質，以及平方根定義判斷即可．
【詳解】解：A、16的平方根是，符合題意；
B、兩個無理數的和不一定是無理數，如：，不符合題意；
C、無限不循環小數是無理數，，不符合題意；
D、0的算術平方根是0，不符合題意，故選：A．
變式1．（23-24七年級上·山東青島·期末）在實數，，，中，其中無理數的個數是（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】B
【分析】此題主要考查了無理數的定義，根據無理數的定義判斷即可；熟知無理數的常見形式是關鍵．
【詳解】解：根據無理數的定義可知：，，是無理數；故選：．
變式2．（24-25八年級上·安徽蕪湖·開學考試）下列說法正確的是（ ）
A．，，都是無理數 B．帶根號的數都是無理數
C．無理數是開方開不盡的數 D．無理數都是實數
【答案】D
【分析】本題考查的是無理數的定義，注意帶根號的要開不盡方才是無理數，無限不循環小數為無理數．根據無理數的定義對各選項進行逐一分析即可．
【詳解】是有理數，故選項A和B錯誤；
π是無理數但不是開方開不盡的數，故選項C錯誤；
無理數都是實數，故選項D正確．故答案為：D．
變式3．（23-24七年級上·山東東營·期末）下列說法正確的是（ ）
A．帶根號的數都是無理數 B．無限小數都是無理數
C．兩個無理數之和一定是無理數 D．兩個無理數之積不一定是無理數
【答案】D
【分析】本題考查了無理數，熟練掌握無理數的定義和運算是解題關鍵．根據無理數的定義和運算逐項判斷即可得．
【詳解】解：A、帶根號的數不一定是無理數，如是有理數，此項錯誤；
B、無限不循環小數都是無理數，此項錯誤；
C、兩個無理數的和不一定是無理數，如，此項錯誤；
D、兩個無理數之積不一定是無理數，如，此項正確；故選：D．
考點2.實數的概念理解及實數的分類
例1．（23-24七年級上·江蘇無錫·階段練習）把下列各數分別填入相應的集合里．
，0，，227，，，，
(1)正有理數集合：{ …}；(2)無理數集合：{ …}
(3)非負整數集合：{ …}；(4)分數集合：{ …}
【答案】(1)(2)，(3)0，227(4)，，
【分析】本題考查了有理數的分類：整數和分數的統稱；有理數還可以分為0和正有理數、負有理數，據此作答即可．
【詳解】（1）解：正有理數集合：{…}
（2）解：無理數集合：{，}
（3）解：非負整數集合：{0，227…}
（4）解：分數集合：{，，…}
變式1．（23-24七年級上·江蘇無錫·階段練習）把下列各數分別填入相應的大括號
，0，，，，，，，，
正有理數集合：｛ …｝ 非正整數集合：｛ …｝
負分數集合：｛ …｝ 無理數集合：｛ …｝
【答案】正有理數集合：{，，…}；非正整數集合：{，0，…}；負分數集合：{，…}；無理數集合：{0.1010010001…，…}
【分析】根據正有理數，非正整數，負分數，無理數的定義，進行解答即可．
【詳解】正有理數集合：{，，，…}非正整數集合：{，0，，…}；
負分數集合：{，，…}；無理數集合：{0.1010010001…，，…}．
【點睛】此題考查正有理數，非正整數，負分數，無理數的定義，解題關鍵在于掌握其性質定義．
變式2．（23-24七年級上·江蘇泰州·階段練習）把下列各數填入相應的數集內．
正數集合：｛ …｝無理數集合：｛ …｝
分數集合：｛ …｝非負整數集合：｛ …｝
【答案】；；；；
【分析】有理數與無理數統稱實數，實數分為正實數，0，負實數，整數與分數統稱有理數，0與正整數是非負整數，根據概念逐一填入即可．
【詳解】解：∵，，，
正數集合： 無理數集合：
分數集合： 非負整數集合：．
【點睛】本題考查的是實數的分類與概念，熟記實數的分類是解本題的關鍵．
考點3.實數的性質
例1．（24-25八年級上·河南南陽·階段練習）的絕對值是 ，的相反數是 ．
【答案】 / /
【分析】本題主要考查了實數的性質，根據相反數和絕對值的定義求解即可．
【詳解】解：的絕對值是；的相反數是
故答案為：；．
變式1．（2024·湖北武漢·模擬預測）實數的負倒數是（　　）
A．5 B． C． D．
【答案】C
【分析】本題考查負倒數的定義，根據負倒數的定義，即可得答案，掌握乘積為的兩個數互為負倒數是解答本題的關鍵．
【詳解】解：的負倒數是：，故選：C．
變式2．（23-24八年級下·河南商丘·期中）的相反數為（ ）
A．6 B． C． D．
【答案】C
【分析】本題考查相反數的定義，根據只有符號不同的兩個數互為相反數，a的相反數是進行解答即可．
【詳解】解：的相反數為，故選：C．
變式3．（23-24七年級下·天津西青·期中）的絕對值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本題考查絕對值的計算．根據絕對值的性質：正數的絕對值是它本身，負數的絕對值是它的相反數，0的絕對值是0即可計算出結果．
【詳解】解：．故選：B．
考點4.實數的估算
例1．（2024七年級上·浙江·專題練習）估計的值（ ）
A．在4和5之間 B．在5和6之間 C．在6和7之間 D．在7和8之間
【答案】C
【分析】本題考查的是估算無理數的大小，先計算出原式，再根據，可得，即可得．
【詳解】解：原式，，，，故選：C．
變式1．（2023·江蘇南京·一模）與最接近的整數是（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】B
【分析】本題考查了估算無理數的大小，熟練掌握無理數的估算方法是解本題的關鍵．
運用算術平方根的知識進行估算求解即可．
【詳解】解： ，，即與最接近的整數是3，故選B．
變式2．（2024·陜西商洛·模擬預測）若a，b是兩個連續的整數且，則的值為 ．
【答案】9
【分析】此題考查了無理數的估算，估算出，a，b是兩個連續的整數且，據此得到，代入即可得到答案．
【詳解】解：∵，∴∴
由題意可知，a，b是兩個連續的整數且，∴∴故答案為：9
變式3．（23-24八年級上·福建泉州·期中）已知小數部分為m，小數部分為n，則 ．
【答案】1
【分析】本題考查了無理數的估算，找出整數部分為2，則小數部分為，的整數部分為2，則小數部分為．
【詳解】，，
整數部分為2，則小數部分為，的整數部分為2，則小數部分為．
，，，故答案為：1．
考點5.實數與數軸
例1．（23-24八年級上·廣東佛山·階段練習）如圖，數軸上A，B兩點對應的實數分別是1和，若點A與點C到點B的距離相等，則點C所對應的實數為（ ）

A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本題考查的是實數與數軸，根據題意求出的長，確定點C對應的實數．
【詳解】解：∵A、B兩點所對應的實數分別是1和，∴，
∵，∴，∴，∴點C對應的實數是，故選：A．
變式1．（22-23八年級上·山東青島·期中）已知下列結論，其中正確的結論是（ ）
①在數軸上只能表示無理數；②任何一個無理數都能用數軸上的點表示；③實數與數軸上的點一一對應；④有理數有無限個，無理數有有限個．
A．①② B．②③ C．③④ D．②③④
【答案】B
【分析】本題主要考查實數．熟練掌握實數的概念，有理數的概念和性質，無理數的概念和性質，數軸的概念和性質。是解決問題的關鍵．根據實數與數軸的關系，實數的概念，有理數的概念和性質，無理數的概念和性質，數軸的概念和性質，逐一判斷，即得．
【詳解】解：數軸上除了還能表示有理數與其它無理數，故①項錯誤；
任何一個無理數都能用數軸上的點表示，故②項正確；實數與數軸上的點一一對應，故③項正確；
整數和分數統稱有理數，無限不循環小數為無理數，
∴無理數也有無限個，故④項錯誤．∴正確的是②③．故選：B．
變式2．（2024七年級上·浙江·專題練習）如圖：數軸上表示1、的對應點分別為A、B，且點A為線段的中點，則點C表示的數是（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本題考查的是實數與數軸，設C點表示的數為x，再根據中點坐標公式求出x的值即可．
【詳解】解：設C點表示的數為x，則1，解得：．故選：D．
變式3．（24-25八年級上·河南南陽·階段練習）如圖，在數軸上點和點之間的所有整數之和等于 ．
【答案】
【分析】本題主要考查了實數與數軸，無理數的估算，根據無理數的估算方法得到，進而得到，據此確定在數軸上點和點之間的所有整數有，再把這些整數求和即可得到答案．
【詳解】解：∵，∴，∴
∴在數軸上點和點之間的所有整數有，
∴在數軸上點和點之間的所有整數之和等于，故答案為：．
考點6.實數的大小比較
例1．（22-23八年級下·遼寧本溪·開學考試）比較實數的大小： 3（填“”，“”或“”）．
【答案】
【分析】本題主要考查了實數比較大小，熟知實數比較大小的方法是解題的關鍵．
【詳解】解：∵，∴，故答案為：．
變式1．（2024七年級上·浙江·專題練習）比較大小： 9．（填“”、“ ”或“”
【答案】
【分析】本題考查實數比大小，能夠熟練的將9寫成的形式是解題的關鍵，然后再比較大小即可．
【詳解】解：，，即，故答案為：．
變式2．（23-24七年級上·黑龍江哈爾濱·期末）比較大小： ．
【答案】
【分析】本題主要考查了實數的大小比較，熟練掌握實數的大小比較法則是解題的關鍵．根據實數的運算及不等式的性質求解即可．
【詳解】解：，，，，故答案為：
變式3．（23-24八年級下·河南鄭州·開學考試）請寫出一個大于且小于的整數 ．
【答案】2（答案不唯一）
【分析】本題考查了無理數估值．先確定比小的最大整數，再根據題意寫出符合的整數．
【詳解】解：∵，，∴，，
則大于小于的整數有：2或3或4．故答案為：2（答案不唯一）．
全卷共25題 測試時間：70分鐘 試卷滿分：120分
一、選擇題（本大題共10小題，每小題3分，共30分）在每小題所給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．
1．（24-25八年級上·遼寧沈陽·開學考試）實數3.14，，，0.505005000…，中，無理數有（ ）個
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【分析】本題考查了無理數的定義，無限不循環小數即為無理數，據此逐個分析，即可作答．
【詳解】解：無理數：，，0.505005000…，∴無理數有3個故選：C
2．（23-24八年級下·浙江紹興·期末）關于數“ ”，下列說法正確的是（ ）
A．它是一個無理數 B．它是一個有理數 C．它是一個整數 D．它是一個分數
【答案】A
【分析】本題考查了實數，根據無理數的定義，有理數的定義逐個判斷即可．
【詳解】解：數“ ” 是一個無理數，故選：A
3．（23-24八年級上·山東濟南·開學考試）下列說法正確的個數為（　　）
①有理數與無理數的差都是有理數；②無限小數都是無理數；③無理數都是無限小數；
④兩個無理數的和不一定是無理數；⑤無理數分為正無理數、零、負無理數．
A．2個 B．3個 C．4個 D．5個
【答案】A
【分析】本題考查了有理數、無理數的概念和性質，熟練掌握有理數、無理數的概念和性質是解題的關鍵．
根據有理數、無理數的概念和性質進行分析，判斷每個說法的正確性即可．
【詳解】解：①有理數與無理數的差不一定是有理數，例如：，故該項不正確；
②無限小數不都是無理數，無限循環小數是有理數，故該項不正確；
③無理數都是無限小數，故該項正確；
④兩個無理數的和不一定是無理數，例如是有理數，故該項正確；
⑤無理數分為正無理數、零、負無理數，0不是無理數，故該項不正確；
故正確的個數有2個；故選：A
4．（23-24九年級下·海南省直轄縣級單位·開學考試）實數的倒數是（ ）
A．3 B． C． D．
【答案】C
【分析】本題考查的是實數的倒數的含義，根據乘積為1的兩個數互為倒數可得答案．
【詳解】解：實數的倒數是，故答案為：C
5．（2024七年級上·浙江·專題練習）無理數的相反數是（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本題考查實數的性質，根據只有符號不同的兩個數互為相反數，進行判斷即可．
【詳解】解：無理數的相反數是，故選：A.
6．（23-24八年級下·遼寧沈陽·開學考試）的絕對值是（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本題考查實數的性質，熟練掌握實數的性質是解題關鍵．據負數的絕對值等于它的相反數即可得．
【詳解】解：的絕對值是，故選：A．
7．（23-24七年級下·廣西南寧·開學考試）為正整數，且，則的值為（ ）
A．2 B．3 C．4 D．8
【答案】B
【分析】根據判斷的值即可．本題主要考查估算無理數的大小，熟練掌握平方數是解題的關鍵．
【詳解】解：，，
為正整數，且，，故選：B．
8．（2024七年級上·浙江·專題練習）如圖，在數軸上表示實數的點可能是（　　）
A．點P B．點Q C．點M D．點N
【答案】B
【分析】本題考查了實數與數軸和估算無理數的大小等知識點，先估算出的范圍，再結合數軸得出即可．
【詳解】解：∵，∴，故選：B．
9．（24-25八年級上·重慶·階段練習）估算的范圍是（ ）
A．2和3之間 B．3和4之間 C．4和5之間 D．5和6之間
【答案】C
【分析】本題主要考查了無理數的估算，根據無理數的估算方法求出的范圍即可得到答案．
【詳解】解：∵，∴，∴，故選：C．
10．（23-24七年級下·貴州遵義·階段練習）的整數部分為，小數部分為，則的值為（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本題考查了無理數的估算、求代數式的值，先估算出，從而即可得出、的值，代入計算即可得出答案．
【詳解】解：∵，∴，即，
∵的整數部分為，小數部分為，∴，，
∴，故選：A．
二、填空題（本大題共8小題，每小題3分，共24分．不需寫出解答過程，請把答案直接填寫在橫線上）
11．（2024七年級上·浙江·專題練習）填空：
（1）的相反數是 ，絕對值是 ；
（2）的相反數是 ，絕對值是 ；
（3）若，則 ．
【答案】
【分析】本題考查了相反數和求一個數的絕對值，根據相反數和絕對值的定義即可得出答案．
【詳解】解：（1）的相反數是，絕對值是；
（2）的相反數是 ，絕對值是；
（3）∵，∴．
故答案為：（1）；（2）；（3）．
12．（23-24七年級上·浙江·期中）寫出兩個無理數，使它們的和為5： ．
【答案】和（答案不唯一）
【分析】此題主要考查了無理數的定義，注意帶根號的要開不盡方才是無理數，無限不循環小數為無理數．如，，（每兩個8之間依次多1個等形．根據無理數的意義，可得答案．
【詳解】解：，故答案為：和（答案不唯一）．
13．（2024·河南南陽·模擬預測）請你寫出一個大于 且小于的無理數： ．
【答案】（答案不唯一）
【分析】本題考查了估算無理數的大小和無理數的定義，根據無理數的定義和實數的大小比較寫出符合條件的數即可，熟練掌握知識點的應用是解題的關鍵．
【詳解】解：設這個數為，∴，即，
∴可以取，故答案為：．（答案不唯一）
14．（23-24七年級上·山東菏澤·階段練習）給出下列說法：①0是最小的整數；②有理數不是正數就是負數；③正整數、負整數、正分數、負分數統稱有理數；④非負數就是正數；⑤無限小數不都是有理數；⑥正數中沒有最小的數，負數中沒有最大的數．其中正確的說法是 ．
【答案】2
【分析】根據實數的分類逐個分析即可解答．
【詳解】解：①整數包括正整數和負整數，則0是最小的整數,故①錯誤；
②有理數分為正數、負數和0,故②錯誤；
③正整數、負整數、正分數、負分數、0統稱為有理數，故③錯誤；
④非負數包含正數和0，故④錯誤；
⑤無限小數不都是有理數，無限不循環小數是無理數，循環小數一定是有理數；故⑤正確；
⑥正數中沒有最小的數，負數中沒有最大的數．正確；
綜上，正確的有⑤和⑥，共2個．故答案為2．
【點睛】本題主要考查了實數的分類，熟練掌握實數的相關概念是解題的關鍵．
15．（22-23九年級下·上海·階段練習） （選填“＞”或“=”或“＜”）
【答案】＞
【分析】本題考查了實數的大小比較，解題的關鍵是掌握實數的大小比較法則．根據算術平方根的意義得出，進而即可求出答案．
【詳解】解：，∵，，故答案為：＞．
16．（23-24七年級上·四川眉山·階段練習）把下列各數填在相應的大括號內：
，1，
正數集合{ }；負分數集合{ }；
非負整數集合{ }．
【答案】 1， 1，
【分析】本題主要考查了實數的分類，熟練掌握各類數的定義是解題的關鍵．
根據實數的分類進行判斷即可．
【詳解】解：正數：1，；負分數：；非負整數：1，．
故答案為：1，；；1，．
17．（23-24七年級上·江蘇蘇州·期末） ， ．
【答案】
【分析】本題考查了絕對值的概念與性質，根據絕對值的性質即可求解．
【詳解】解：，，故答案為：，．
18．（23-24八年級上·陜西咸陽·階段練習）若的整數部分為 ．
【答案】1
【分析】本題考查了無理數的估算，先利用夾逼法估算的取值范圍，進而估算的取值范圍，即可找出其整數部分．
【詳解】解：∵，∴，即，
∴，∴，∴的整數部分為1，故答案為：1．
三、解答題（本大題共7小題，共66分．請在答題卡指定區域內作答，解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟）
19．（23-24七年級上·河南周口·階段練習）在，，0，，2，，（兩個 2 之間依次多一個1），中．
(1)是有理數的有_______________；(2)是無理數的有______________________；
(3)是整數的有 _____________________；(4)是分數的有__________________ ．
【答案】(1)，0，2，，(2)，，（兩個 2 之間依次多一個1）
(3)，0，2，(4)
【分析】本題考查了實數的分類，解題的關鍵是掌握無限不循環小數是無理數，根據有理數，無理數，整數和分數的定義，即可解答．
【詳解】（1）解：是有理數的有，0，2，，；故答案為：，0，2，，；
（2）解：是無理數的有，，（兩個 2 之間依次多一個1）；
故答案為：，，（兩個 2 之間依次多一個1）；
（3）解：是整數的有，0，2，；故答案為：，0，2，；
（4）解：是分數的有；故答案為：．
20.（2024七年級上·浙江·專題練習）把表示下列各數的點畫在數軸上，再按從小到大的順序，用“”號把這些數連接起來：
3，，，0，，．

【答案】見解析，
【分析】本題考查了化簡多重符號，實數與數軸，利用數軸比較實數大小，先計算，，再利用數軸表示數的方法表示所給的6個數，然后寫出它們的大小關系．
【詳解】解：，，用數軸表示為：
，
它們的大小關系為：．
21．（24-25七年級上·浙江·課后作業）如圖，數軸上點A，B，C，D，E，F對應的實數分別為a，b，c，d，e，f．
(1)點A表示的數是______，表示的點可能是______；
(2)點______表示的數最小，點______表示的數的絕對值最大；
(3)若點D是的中點，，則點E表示的數是______；
(4)點G為數軸上一點，若點G到點C的距離為3，則點G對應的數是______．
【答案】(1)，E；(2)B，F；(3)；(4)或4．
【分析】（）根據數軸可以直接寫出點表示的數，由，可得表示的點可能是點E；
（2）利用數軸上兩點間的距離即可求解；（3）點D是的中點，，得到，又由點A表示的數是，可確定點E表示的數；（4）利用數軸上兩點間的距離即可求解；
此題主要考查了數軸，絕對值的意義，點在數軸上位置確定，解題的關鍵是熟練掌握畫數軸以及在數軸上表示數，用數軸表示數時要注意畫數軸有三個基本要素：原點、正方向、單位長度．
【詳解】（1）解：由數軸可得， 點A表示的數是，
∵，∴表示的點可能是點E，故答案為：，E；
（2）解：由數軸可得，在原點左側，點B到原點的距離最大，∴點B表示的數最小，
在數軸上，點F到原點的距離最大，∴點F表示的數的絕對值最大，故答案為：B，F；
（3）解：∵點D是的中點，，∴，∴點A表示的數是，
∴點E表示的數是，故答案為：；
（4）解：由數軸可知，點C表示的數是1，
∵點G到點C的距離為3，∴點G對應的數是或，故答案為：或．
22．（23-24七年級下·貴州遵義·期中）閱讀下面的文字，解答問題，如圖（1），把兩個邊長為的小正方形分別沿對角線剪開，將所得的4個直角三角形拼在一起，就可以得到一個面積為的大正方形，試根據這個研究方法回答下列問題：
(1)所得到的面積為的大正方形的邊長就是原先邊長為的小正方形的對角線長，因此，可得小正方形的對角線長為______；
(2)由此，我們得到了一種方法，能在數軸上畫出無理數所對應的點，則圖（2）中A，B兩點表示的數分別為______，______；
(3)通過動手操作，小張同學把長為5，寬為1的長方形如圖（3）所示進行裁剪并拼成一個正方形，則圖中陰影部分正方形的邊長為______；請用（2）中相同的方法在圖（4）的數軸上找到表示的點（保留作圖痕跡）．
【答案】(1)(2)，(3)1，作圖見解析
【分析】本題主要考查了實數與數軸，實數與數軸是一一對應的，正確理解算術平方根的定義、實數與數軸的關系及正確進行實數運算是解題關鍵．（1）直接利用算術平方根的定義解答；
（2）先表示出線段的長度，再通過計算得出點所表示的數；（3）根據題意可得圖中陰影部分正方形的邊長，先確定長為的線段表示方法，再在數軸上找表示的點．
【詳解】（1）解：∵面積為的大正方形的邊就是原先邊長為的小正方形的對角線長，
∴小正方形的對角線長等于大正方形的面積的算術平方根，即，故答案為：；
（2）解：如圖，設數軸原點為，數1表示的點為，
∵圖中小正方形對角線長為，∴，
∴，，
∴，兩點表示的數分別為和，故答案為：，；
（3）解：根據圖3作法，則圖中陰影部分正方形的邊長為；
圖3拼成的大正方形面積為5，則大正方形邊長為，
即圖3裁出的長方形的對角線長為，則可利用如下圖所示作圖：
其中，，，∴，∴點表示的數為．
23．（22-23七年級下·云南紅河·階段練習）閱讀理解：
，即．
的整數部分為2，小數部分為
的整數部分為的小數部分為．
解決問題：(1)的整數部分是_______，小數部分是_______．
(2)已知：是的小數部分，是的小數部分，求的值．
【答案】(1)3；(2)1
【分析】本題主要考查了無理數的估算，對于（1），根據閱讀內容解答即可；
對于（2），先根據小數部分的理解求出a，b，可得答案．
【詳解】（1）∵，∴，
∴的整數部分是3，小數部分是．故答案為：3，；
（2）∵，∴的小數部分為，
∴的小數部分為，∴．
∵小數部分為，∴的小數部分為，
∴，∴．
24．（22-23七年級下·廣西南寧·期中）閱讀材料，完成下列任務：
因為無理數是無限不循環小數，因此無理數的小數部分我們不可能全部地寫出來比如：、等，而常用的“…”或者“≈”的表示方法都不夠百分百準確．
材料一：，即，．
的整數部分為1，小數部分為．
材料二：我們還可以用以下方法求一個無理數的近似值．
我們知道面積是2的正方形的邊長是，易知，因此可設可畫出如圖示意圖．
解：由圖中面積計算，，
，．
是的小數部分，小數部分的平方很小，直接省略，
得方程，解得，即．
解決問題：(1)利用材料一中的方法，求的小數部分；(2)利用材料二中的方法，借助面積為5的正方形探究的近似值．（畫出示意圖，標明數據，并寫出求解過程）
【答案】(1)(2)，見解析
【分析】本題考查了無理數的估算，解題關鍵是準確理解題目給出的方法，熟練進行計算．
（1）根據材料一中的方法求解即可；（2）利用材料二中的方法畫出圖形，寫出過程即可．
【詳解】（1）解：，即
的整數部分為9．的小數部分為．
（2）解：∵面積是5的正方形的邊長是， ，∴可設
畫出示意圖如圖所示
由圖中面積計算，，，
是的小數部分，小數部分的平方很小，直接省略，
∴得方程，解得，即
25．（23-24七年級下·黑龍江哈爾濱·期末）閱讀下列材料：∵，即，∴的整數部分為2，小數部分為．規定實數m的整數部分記為．小數部分記為如：，．
解答以下問題：(1)_________，_________；(2)求的值．
【答案】(1)3，；(2)1．
【分析】本題考查了估算無理數的大小，解題的關鍵是理解題意，掌握估算無理數大小的方法，正確計算．
（1）根據得，即可得的整數部分為3，根據得，即可得的整數部分為；（2）根據得，可得，根據題意得，進行計算即可得．
【詳解】（1）解：∵，即，的整數部分為3，∴，
∵，即，的整數部分為，∴，故答案為：3，；
（2）解：∵，即，的整數部分為，
∴，∴．
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專題3.2 實數
1、了解無理數與實數的相關概念與實數的分類；
2、了解在有理數范圍內的運算及運算法則、運算性質等在實數內仍然成立；
3、能熟練地進行實數運算；在實數運算時，根據問題的要求取其近似值，轉化有理數計算；
4、能估計一個無理數的大致范圍，并能通過估算比較兩個數的大小。
模塊1：知識梳理 2
模塊2：核心考點 3
考點1.無理數的相關概念與識別 3
考點2.實數的概念理解及實數的分類 4
考點3.實數的性質 5
考點4.實數的估算 6
考點5.實數與數軸 7
考點6.實數的大小比較 9
模塊3：能力培優 10
1、有理數與無理數
有限小數和無限循環小數都稱為有理數。無限不循環小數又叫無理數。
（1）無理數的特征：無理數的小數部分位數無限。無理數的小數部分不循環，不能表示成分數的形式。
（2）常見的無理數有三種形式：
①含類，如；.②開方開不盡的數，如；③看似有規律，實則無循環節的數，如：1.313113111…….
2、實數
1）有理數和無理數統稱為實數。
2）實數的分類
實數 實數
3）實數與數軸上的點的關系
在實數范圍內，每一個實數都可以用數軸上的點表示；反過來，數軸上的每一個點都表示一個實數。
故實數和數軸上的點一一對應。
4）實數的性質（重點）：有理數的相反數、絕對值、倒數的定義完全適用于實數。
（1）與互為相反數，且互為相反數的兩個數的絕對值相等。
（2）與互為倒數，正數的倒數是正數，負數的倒數是負數，零沒有倒數。
（3）絕對值的非負性：。
5）兩個實數比較大小
①在數軸上表示的兩個實數，右邊的數比左邊的數大。
②數軸上，如果點A，點B所對應的數分別為a，b，那么A,B兩點的距離。
6）估算無理數的方法：（1）通過平方運算，采用“夾逼法”，確定真正值所在范圍；
（2）根據問題中誤差允許的范圍內取出近似值。
需要記憶常用數的近似值：≈1.414 ≈1.732 ≈2.236
考點1.無理數的相關概念與識別
例1．（23-24七年級上·浙江寧波·期中）下列說法正確的是（ ）
A．是16的一個平方根 B．兩個無理數的和一定是無理數
C．無限小數是無理數 D．0沒有算術平方根
變式1．（23-24七年級上·山東青島·期末）在實數，，，中，其中無理數的個數是（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
變式2．（24-25八年級上·安徽蕪湖·開學考試）下列說法正確的是（ ）
A．，，都是無理數 B．帶根號的數都是無理數
C．無理數是開方開不盡的數 D．無理數都是實數
變式3．（23-24七年級上·山東東營·期末）下列說法正確的是（ ）
A．帶根號的數都是無理數 B．無限小數都是無理數
C．兩個無理數之和一定是無理數 D．兩個無理數之積不一定是無理數
考點2.實數的概念理解及實數的分類
例1．（23-24七年級上·江蘇無錫·階段練習）把下列各數分別填入相應的集合里．
，0，，227，，，，
(1)正有理數集合：{ …}；(2)無理數集合：{ …}
(3)非負整數集合：{ …}；(4)分數集合：{ …}
變式1．（23-24七年級上·江蘇無錫·階段練習）把下列各數分別填入相應的大括號
，0，，，，，，，，
正有理數集合：｛ …｝ 非正整數集合：｛ …｝
負分數集合：｛ …｝ 無理數集合：｛ …｝
變式2．（23-24七年級上·江蘇泰州·階段練習）把下列各數填入相應的數集內．
正數集合：｛ …｝無理數集合：｛ …｝
分數集合：｛ …｝非負整數集合：｛ …｝
考點3.實數的性質
例1．（24-25八年級上·河南南陽·階段練習）的絕對值是 ，的相反數是 ．
變式1．（2024·湖北武漢·模擬預測）實數的負倒數是（　　）
A．5 B． C． D．
變式2．（23-24八年級下·河南商丘·期中）的相反數為（ ）
A．6 B． C． D．
變式3．（23-24七年級下·天津西青·期中）的絕對值是（ ）
A． B． C． D．
考點4.實數的估算
例1．（2024七年級上·浙江·專題練習）估計的值（ ）
A．在4和5之間 B．在5和6之間 C．在6和7之間 D．在7和8之間
變式1．（2023·江蘇南京·一模）與最接近的整數是（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
變式2．（2024·陜西商洛·模擬預測）若a，b是兩個連續的整數且，則的值為 ．
變式3．（23-24八年級上·福建泉州·期中）已知小數部分為m，小數部分為n，則 ．
考點5.實數與數軸
例1．（23-24八年級上·廣東佛山·階段練習）如圖，數軸上A，B兩點對應的實數分別是1和，若點A與點C到點B的距離相等，則點C所對應的實數為（ ）

A． B． C． D．
變式1．（22-23八年級上·山東青島·期中）已知下列結論，其中正確的結論是（ ）
①在數軸上只能表示無理數；②任何一個無理數都能用數軸上的點表示；③實數與數軸上的點一一對應；④有理數有無限個，無理數有有限個．
A．①② B．②③ C．③④ D．②③④
變式2．（2024七年級上·浙江·專題練習）如圖：數軸上表示1、的對應點分別為A、B，且點A為線段的中點，則點C表示的數是（　　）
A． B． C． D．
變式3．（24-25八年級上·河南南陽·階段練習）如圖，在數軸上點和點之間的所有整數之和等于 ．
考點6.實數的大小比較
例1．（22-23八年級下·遼寧本溪·開學考試）比較實數的大小： 3（填“”，“”或“”）．
變式1．（2024七年級上·浙江·專題練習）比較大小： 9．（填“”、“ ”或“”
變式2．（23-24七年級上·黑龍江哈爾濱·期末）比較大小： ．
變式3．（23-24八年級下·河南鄭州·開學考試）請寫出一個大于且小于的整數 ．
全卷共25題 測試時間：70分鐘 試卷滿分：120分
一、選擇題（本大題共10小題，每小題3分，共30分）在每小題所給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．
1．（24-25八年級上·遼寧·開學考試）實數3.14，，，0.505005000…，中，無理數有（ ）個
A．1 B．2 C．3 D．4
2．（23-24八年級下·浙江紹興·期末）關于數“ ”，下列說法正確的是（ ）
A．它是一個無理數 B．它是一個有理數 C．它是一個整數 D．它是一個分數
3．（23-24八年級上·山東濟南·開學考試）下列說法正確的個數為（　　）
①有理數與無理數的差都是有理數；②無限小數都是無理數；③無理數都是無限小數；
④兩個無理數的和不一定是無理數；⑤無理數分為正無理數、零、負無理數．
A．2個 B．3個 C．4個 D．5個
4．（23-24九年級下·海南省直轄縣級單位·開學考試）實數的倒數是（ ）
A．3 B． C． D．
5．（2024七年級上·浙江·專題練習）無理數的相反數是（　　）
A． B． C． D．
6．（23-24八年級下·遼寧沈陽·開學考試）的絕對值是（　　）
A． B． C． D．
7．（23-24七年級下·廣西南寧·開學考試）為正整數，且，則的值為（ ）
A．2 B．3 C．4 D．8
8．（2024七年級上·浙江·專題練習）如圖，在數軸上表示實數的點可能是（　　）
A．點P B．點Q C．點M D．點N
9．（24-25八年級上·重慶·階段練習）估算的范圍是（ ）
A．2和3之間 B．3和4之間 C．4和5之間 D．5和6之間
10．（23-24七年級下·貴州遵義·階段練習）的整數部分為，小數部分為，則的值為（ ）
A． B． C． D．
二、填空題（本大題共8小題，每小題3分，共24分．不需寫出解答過程，請把答案直接填寫在橫線上）
11．（2024七年級上·浙江·專題練習）填空：
（1）的相反數是 ，絕對值是 ；
（2）的相反數是 ，絕對值是 ；
（3）若，則 ．
12．（23-24七年級上·浙江·期中）寫出兩個無理數，使它們的和為5： ．
13．（2024·河南南陽·模擬預測）請你寫出一個大于 且小于的無理數： ．
14．（23-24七年級上·山東菏澤·階段練習）給出下列說法：①0是最小的整數；②有理數不是正數就是負數；③正整數、負整數、正分數、負分數統稱有理數；④非負數就是正數；⑤無限小數不都是有理數；⑥正數中沒有最小的數，負數中沒有最大的數．其中正確的說法是 ．
15．（22-23九年級下·上海·階段練習） （選填“＞”或“=”或“＜”）
16．（23-24七年級上·四川眉山·階段練習）把下列各數填在相應的大括號內：
，1，
正數集合{ }；負分數集合{ }；
非負整數集合{ }．
17．（23-24七年級上·江蘇蘇州·期末） ， ．
18．（23-24八年級上·陜西咸陽·階段練習）若的整數部分為 ．
三、解答題（本大題共7小題，共66分．請在答題卡指定區域內作答，解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟）
19．（23-24七年級上·河南周口·階段練習）在，，0，，2，，（兩個 2 之間依次多一個1），中．
(1)是有理數的有_______________；(2)是無理數的有______________________；
(3)是整數的有 _____________________；(4)是分數的有__________________ ．
20.（2024七年級上·浙江·專題練習）把表示下列各數的點畫在數軸上，再按從小到大的順序，用“”號把這些數連接起來：
3，，，0，，．

21．（24-25七年級上·浙江·課后作業）如圖，數軸上點A，B，C，D，E，F對應的實數分別為a，b，c，d，e，f．
(1)點A表示的數是______，表示的點可能是______；
(2)點______表示的數最小，點______表示的數的絕對值最大；
(3)若點D是的中點，，則點E表示的數是______；
(4)點G為數軸上一點，若點G到點C的距離為3，則點G對應的數是______．
22．（23-24七年級下·貴州遵義·期中）閱讀下面的文字，解答問題，如圖（1），把兩個邊長為的小正方形分別沿對角線剪開，將所得的4個直角三角形拼在一起，就可以得到一個面積為的大正方形，試根據這個研究方法回答下列問題：
(1)所得到的面積為的大正方形的邊長就是原先邊長為的小正方形的對角線長，因此，可得小正方形的對角線長為______；
(2)由此，我們得到了一種方法，能在數軸上畫出無理數所對應的點，則圖（2）中A，B兩點表示的數分別為______，______；
(3)通過動手操作，小張同學把長為5，寬為1的長方形如圖（3）所示進行裁剪并拼成一個正方形，則圖中陰影部分正方形的邊長為______；請用（2）中相同的方法在圖（4）的數軸上找到表示的點（保留作圖痕跡）．
23．（22-23七年級下·云南紅河·階段練習）閱讀理解：
，即．的整數部分為2，小數部分為
的整數部分為的小數部分為．
解決問題：(1)的整數部分是_______，小數部分是_______．
(2)已知：是的小數部分，是的小數部分，求的值．
24．（22-23七年級下·廣西南寧·期中）閱讀材料，完成下列任務：
因為無理數是無限不循環小數，因此無理數的小數部分我們不可能全部地寫出來比如：、等，而常用的“…”或者“≈”的表示方法都不夠百分百準確．
材料一：，即，．
的整數部分為1，小數部分為．
材料二：我們還可以用以下方法求一個無理數的近似值．
我們知道面積是2的正方形的邊長是，易知，因此可設可畫出如圖示意圖．
解：由圖中面積計算，，
，．
是的小數部分，小數部分的平方很小，直接省略，
得方程，解得，即．
解決問題：(1)利用材料一中的方法，求的小數部分；(2)利用材料二中的方法，借助面積為5的正方形探究的近似值．（畫出示意圖，標明數據，并寫出求解過程）
25．（23-24七年級下·黑龍江哈爾濱·期末）閱讀下列材料：∵，即，∴的整數部分為2，小數部分為．規定實數m的整數部分記為．小數部分記為如：，．
解答以下問題：(1)_________，_________；(2)求的值．
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