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《二叉樹的抽象數據類型》作業
一、選擇題
1. 下列關于二叉樹的描述中，正確的是：
A. 二叉樹的每個節點都有兩個子節點
B. 二叉樹的每個節點都可以沒有子節點
C. 二叉樹的左子樹和右子樹都是二叉樹
D. 以上說法都正確
答案：D
解析：二叉樹是每個節點最多有兩個子節點的有序樹。這意味著每個節點可以有0個、1個或2個子節點。因此，選項A錯誤，因為并不是每個節點都必須有兩個子節點。選項B正確，因為節點可以沒有子節點。選項C也正確，因為二叉樹的定義允許左子樹和右子樹也是二叉樹。所以，選項D“以上說法都正確”是正確的。
2. 在二叉樹中，度為2的節點是指：
A. 該節點只有兩個子節點
B. 該節點有一個或兩個子節點
C. 該節點有兩個子節點且分別位于左右子樹
D. 以上說法都不對
答案：C
解析：在二叉樹中，度為2的節點特指那些有兩個子節點的節點，并且這兩個子節點分別位于其左右子樹。選項A不完全準確，因為它沒有指明子節點的位置。選項B雖然包含了度為2的節點，但也包含了度為1的節點（只有一個子節點的情況），因此不夠精確。選項D顯然錯誤。
3. 一棵滿二叉樹的特點是：
A. 每個節點都有兩個子節點
B. 每個節點都沒有子節點
C. 每層節點數都是最大節點數
D. 以上說法都不對
答案：C
解析：滿二叉樹是一種特殊的二叉樹，其中每一層的節點數都是該層可能的最大節點數。這意味著除了最后一層外，其他每一層都是完全填滿的，而最后一層的節點則從左到右依次排列，不存在中斷。選項A描述的是滿二叉樹的一個特點，但不是其定義；選項B與滿二叉樹的定義相悖；選項C正確描述了滿二叉樹的特點。
4. 若一棵二叉樹共有15個節點，則該二叉樹的最大深度為：
A. 3
B. 4
C. 5
D. 6
答案：B
解析：二叉樹的最大深度可以通過節點總數來估算。對于滿二叉樹，當深度為n時，最多有$2^n - 1$個節點。反之，如果知道節點總數N，則可以通過求解不等式$2^n - 1 \geq N$來找到滿足條件的最小整數n作為最大深度的估計值。對于本題，$2^4 - 1 = 15$，所以最大深度為4。
5. 在二叉樹的先序遍歷中，訪問節點的順序是：
A. 根-左子樹-右子樹
B. 左子樹-根-右子樹
C. 根-右子樹-左子樹
D. 右子樹-根-左子樹
答案：A
解析：二叉樹的先序遍歷是指首先訪問根節點，然后遞歸地先序遍歷左子樹，最后遞歸地先序遍歷右子樹。因此，訪問順序是根-左子樹-右子樹。
6. 若一棵二叉樹的中序遍歷結果為有序序列，則該二叉樹一定是：
A. 二叉搜索樹
B. 平衡二叉樹
C. 滿二叉樹
D. 以上都不對
答案：A
解析：二叉搜索樹是一種特殊的二叉樹，其中任意節點的左子樹中的值都小于該節點的值，而右子樹中的值都大于該節點的值。當中序遍歷二叉搜索樹時，得到的序列是有序的。這是因為中序遍歷首先遍歷左子樹（較小的值），然后訪問根節點，最后遍歷右子樹（較大的值）。因此，如果一棵二叉樹的中序遍歷結果是有序序列，那么它一定是二叉搜索樹。
二、填空題
7. 二叉樹的每個節點最多有______個子節點。
答案：兩
解析：根據二叉樹的定義，每個節點最多有兩個子節點，分別稱為左子節點和右子節點。
8. 在二叉樹中，一個節點的直接后繼是指其______節點。
答案：父
解析：在二叉樹中，一個節點的直接后繼（或稱父節點）是指通過一個邊直接連接到該節點的上一層節點。
9. 若一棵二叉樹共有n個節點，則該二叉樹的最小深度為______。
答案：log (n+1)的向下取整
解析：二叉樹的最小深度可以通過求解不等式$2^{d-1} < n \leq 2^d - 1$來得到，其中d為最小深度。解得d=log (n+1)的向下取整。
10. 在二叉樹的后序遍歷中，訪問節點的順序是______。
答案：左子樹-右子樹-根
解析：二叉樹的后序遍歷是指首先遞歸地后序遍歷左子樹，然后遞歸地后序遍歷右子樹，最后訪問根節點。因此，訪問順序是左子樹-右子樹-根。
11. 若一棵二叉樹的層序遍歷結果為[A, B, C, D, E, F, G]，則該二叉樹的先序遍歷結果為______。
答案：ABCDEFG
解析：層序遍歷是按照從上到下、從左到右的順序訪問二叉樹的每一層節點。由于題目中給出的層序遍歷結果已經按照這種順序排列了所有節點，因此先序遍歷的結果也將是相同的順序，即ABCDEFG。但請注意，這個結論僅適用于完全二叉樹或滿二叉樹的情況。對于非完全二叉樹，先序遍歷和層序遍歷的結果可能會有所不同。
122. 在二叉樹中，若一個節點沒有左子節點，則該節點的左指針域為______。
答案：空（NULL）
解析：在二叉樹中，若一個節點沒有左子節點，則該節點的左指針域通常被設置為空（NULL），表示該位置沒有存儲任何有效信息。
13. 若一棵二叉樹的中序遍歷結果為[B, A, D, C, E, F, G]，則該二叉樹的根節點是______。
答案：A
解析：在二叉樹的中序遍歷中，根節點總是位于左子樹和右子樹之間。由于中序遍歷結果是[B, A, D, C, E, F, G]，其中A將序列分為兩部分[B]和[D, C, E, F, G]，因此A是根節點。
14. 在二叉樹中，若一個節點沒有右子節點，則該節點的右指針域為______。
答案：空（NULL）
解析：與左指針域類似，若一個節點沒有右子節點，則該節點的右指針域也被設置為空（NULL）。
15. 若一棵二叉樹的后序遍歷結果為[D, G, F, E, C, B, A]，則該二叉樹的最左邊的葉子節點是______。
答案：D
解析：在二叉樹的后序遍歷中，最左邊的葉子節點總是最先被訪問。由于后序遍歷結果是[D, G, F, E, C, B, A]，其中D是第一個被訪問的節點且沒有右子節點（因為在訪問D之后立即訪問了G），因此D是最左邊的葉子節點。
16. 在二叉樹中，若一個節點既有左子節點又有右子節點，則該節點的度為______。
答案：2
解析：根據二叉樹的度的定義，一個節點的度是指其擁有的子節點個數。若一個節點既有左子節點又有右子節點，則其度為2。
簡答題：
1. 什么是二叉樹的抽象數據類型？
答案：二叉樹的抽象數據類型（ADT）定義了一組操作和屬性，用于描述二叉樹的基本結構和行為。這包括節點的定義、樹的構建、遍歷方法等。
解析：通過定義ADT，我們可以抽象地討論二叉樹而不考慮其具體的實現細節，這有助于理解二叉樹的概念并在不同的上下文中應用它。
2. 在二叉樹中，什么是根節點？
答案：根節點是二叉樹的最頂層節點，它是整個樹結構的入口點，沒有父節點。
解析：根節點是訪問和操作二叉樹的起點，對于樹的任何操作通常都是從根節點開始的。
3. 什么是葉節點？
答案：葉節點是二叉樹中沒有子節點的節點，它們位于樹的最底層。
解析：葉節點代表了樹結構的終端，它們是數據存儲的位置，不參與進一步的分支。
4. 什么是二叉樹的高度？
答案：二叉樹的高度是從根節點到最遠葉節點的最長路徑上的邊數。
解析：高度是衡量二叉樹“深度”的一個指標，對于平衡性和性能分析很重要。
5. 什么是滿二叉樹？
答案：滿二叉樹是每個節點要么有0個子節點，要么有2個子節點的二叉樹。
解析：滿二叉樹具有特定的形態特征，它在存儲和搜索方面表現出高效的性能。
論述題：
6. 討論二叉樹的遍歷方式及其應用場景。
答案：二叉樹的遍歷主要有前序遍歷、中序遍歷和后序遍歷三種方式。前序遍歷先訪問根節點，然后遞歸地遍歷左子樹和右子樹；中序遍歷先遞歸地遍歷左子樹，然后訪問根節點，最后遞歸地遍歷右子樹；后序遍歷先遞歸地遍歷左子樹和右子樹，最后訪問根節點。這些遍歷方式在不同的場景下有不同的應用，例如在表達式解析、文件系統組織和數據庫索引中都有廣泛應用。
解析：不同的遍歷方式反映了對樹結構的不同視角和訪問順序，選擇合適的遍歷方式可以優化算法的性能和效率。
7. 分析二叉樹與數組之間的轉換方法。
答案：二叉樹可以通過層次遍歷轉換為數組，其中每個元素對應于樹中的節點，按照層級順序存儲。相反，給定一個數組，也可以通過構造法將其轉換為對應的完全二叉樹或滿二叉樹。這種轉換基于二叉樹節點編號與數組索引之間的數學關系。
解析：二叉樹與數組之間的轉換提供了一種在不同數據結構之間遷移數據的方法，這對于編程和算法設計非常有用。
8. 探討如何利用二叉樹實現排序算法。
答案：二叉搜索樹可以用來實現有效的排序算法。通過將待排序的元素插入到二叉搜索樹中，然后在中序遍歷時訪問這些元素，可以得到一個有序序列。這種方法的時間復雜度為O(n log n)，因為它結合了二叉搜索樹的插入操作和中序遍歷。
解析：二叉搜索樹的性質使得它成為實現排序算法的理想選擇，尤其是當需要動態插入和刪除操作時。
9. 描述如何檢測和處理二叉樹中的平衡問題。
答案：平衡二叉樹是一種特殊類型的二叉搜索樹，其中任何節點的兩個子樹的高度差不超過1。為了檢測和處理平衡問題，可以使用平衡因子來評估每個節點的平衡狀態，并通過旋轉操作來調整不平衡的子樹。AVL樹是一種常見的平衡二叉樹實現，它通過維護節點的平衡因子來確保整體的平衡性。解析：保持二叉樹的平衡對于維持高效的搜索、插入和刪除操作至關重要。通過適當的檢測和調整機制，可以避免樹退化成鏈表，從而保持良好的性能。
21世紀教育網 www.21cnjy.com 精品試卷·第 2 頁 （共 2 頁）
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