資源簡介

第 12 講 特殊三角形必考題型匯總（17 大題型）
【精選浙江地區(qū)最新考試題型】
【必考題型一 根據(jù)軸對稱圖形的特征進行求解】
1．如圖，VABC 與VA B C 關(guān)于直線 l對稱， A = 45°, B =110° ，則 C 度數(shù)為（ ）
A．15° B． 20° C． 25° D．35°
2．如圖，點 P 是 AOB內(nèi)部一點，點P ，P 分別是點 P 關(guān)于OA，OB 的對稱點，且P P = 8cm，則VPMN
的周長為（ ）
A．5cm B．6cm C．7cm D．8cm
3．如圖，在VABC 中，點 D，E 分別在邊 AB ，BC 上，點 A 與點 E 關(guān)于直線CD對稱．若 AB = 7 ，
AC = 9，BC =13，則VDBE的周長為 ．
4．如圖，在VABC 中， C = 90°， AC = BC = 4，射線 BC 上有一點 P ，M ， N 分別為點 P 關(guān)于直線 AB ，
AC 的對稱點，連接 BM ，若BM = 3BN ，則BP的長為 ．
5．如圖，在8 8的正方形網(wǎng)格中，每個小正方形的邊長都為 1，網(wǎng)格中有一格點VABC （即三角形的頂點
都在格點上）．
(1)在圖中作出VABC 關(guān)于直線 l 對稱的△A1B1C1；
(2)若有一格點 P 到點 A，B 的距離相等，則網(wǎng)格中滿足條件的點 P 有__________個；
(3)在直線 l 上找到一點 Q，使QB + QC 的值最小．
6．如圖，VABC 和VADE 關(guān)于直線MN 對稱，BC 與DE 的交點F 在直線MN 上．
(1)圖中點C 的對應(yīng)點是點 ， B 的對應(yīng)角是 ；
(2)若DE = 5，BF = 2，則CF 的長為 ；
(3)若 BAC =108° ， BAE = 30°，求 EAF 的度數(shù)．
【必考題型二 等腰三角形的判定】
1．在VABC 中， AB = AC ， A = 36°，D 為線段 AC 上一點，且點 D 到 AB 、BC 距離相等，則△ABD 的
形狀為（ ）
A．等邊三角形 B．直角三角形 C．等腰三角形 D．銳角三角形
2．VABC 的三邊分別是 a，b，c，不能判定是等腰三角形的是（ ）
A． A : B : C = 2 : 2 : 3 B． a : b : c = 2 : 2 : 3
C． B = 50°， C = 80° D． 2 A = B + C
3．在VABC 中，若 B = 50°，∠C = 65°，則VABC 等腰三角形．（填“是”或“不是”）
4．如圖， AD 是VABC 的邊BC 上的高，下列條件中能推出VABC 是等腰三角形的是 ．（把所有正
確答案的序號都填寫在橫線上）
① BAD = ACD ；② BAD = CAD ；③ AB + BD = AC + CD．
5．如圖，在銳角VABC 中，點 E 是 AB 邊上一點，BE = CE ， AD ^ BC 于點 D， AD 與 EC 交于點 G．
(1)求證：△AEG 是等腰三角形．
(2)若BE =10，CD = 3，G 為CE中點，求 AG 的長．
6．已知：如圖VABC 中 AC = 6cm，AB = 8cm，BD平分 ABC ，CD平分 ACB ，過 D 作直線平行于BC
交 AB ， AC 于 E，F(xiàn)．
(1)求證：△DFC 是等腰三角形；
(2)求△AEF 的周長．
【必考題型三 等腰三角形的性質(zhì)】
1．如圖，點 D 是等腰RtVABC 的邊BC 上的一點，過點 B 作BE ^ AD于點 E，連接 ，若 AE = 4，則 SVAEC
的值是（ ）
A．4 B．8 C．12 D．16
2．如圖，VABC 中， AB = AE ，且 AD ^ BC ，EF 垂直平分 AC ，交 AC 于點F ，交BC 于點E ，若VABC
周長為 16， AC = 6 ，則DC 為（ ）
A．5 B．8 C．9 D．10
3．如圖，在Rt△ABC 中， ACB = 90°，以點 B 為圓心，BC 的長為半徑畫弧，交 AB 于點 D，連結(jié)CD．若
ACD = 20°，則 A = °．
4．如圖，將等腰VABC ( A是銳角)沿BD對折，使得點A 落在射線BC 上的E 點處，再將△DCE 沿CD對
折得到VDCF ，若DF 剛好垂直于BC ，則 A的大小為 ° .
5．如圖，在VABC 與VADE 中，E 在BC 邊上， AD = AB ， AE = AC ， 1 = 2，
(1)求證：△ABC ≌△ADE．
(2)若 EAC = 36°，求 BED的度數(shù)．
6．如圖，已知 AB = AD ， BAD = CAE ， B = D， AD 與BC 交于點 P ，點C 在DE 上．
(1)求證： AC = AE ；
(2)若 B = 36°， APC = 72°．
①求 E的度數(shù)；
②求證：CP = CE ．
【必考題型四 等邊三角形的判定】
1．在VABC 中， A = 60°，添加下列一個條件后，仍不能判定VABC 為等邊三角形的是（ ）
A． AB = AC B． AD ^ BC C． B = C D． A = C
2．下列三角形：①有兩個角等于60°的三角形；②有一個角等于60°的等腰三角形；③三個角都相等的三角
形；④三邊都相等的三角形．其中是等邊三角形的有（ ）
A．①②③ B．①②④ C．①③ D．①②③④
3．在VABC 中， AB = AC ，要使VABC 是等邊三角形需添加一個條件，這個條件可以是 ．（只需寫出
一種情況）
4．如圖，在VABC 中， AB = AC， A =120°，DE ，GF 分別是 AB ， AC 的中垂線，BC = 30cm ，則
EG = cm．
5．如圖所示，在 VABC 中， B = 60°，AB = AC ，點D，E分別在BC，AB 上，且 BD = AE，AD 與CE
交于點 F．
(1)求證： VABC 是等邊三角形；
(2)求證： AD = CE；
(3)求 ∠DFC 的大小．
6．如圖，點 E 在VABC 的外部，點 D 在BC 上，DE 交 AC 于點 F， 2 = 3， AE = AC ，DE = BC ．
(1)求證：△ABC ≌△ADE ．
(2)若 2 = 60°，猜想△ABD 的形狀并證明．
【必考題型五 等邊三角形的性質(zhì)】
1．如圖，△DAC 和VEBC 均是等邊三角形，A、C、B 三點共線，AE 與 BD 相交于點 P，AE 與 BD 分別與
CD，CE 交于點 M，N．則下列結(jié)論：①VACE≌VDCB ；②DC∥EB；③ AC = DN ；④ EM = BN ；⑤
CMN = 80°．其中正確的結(jié)論有（ ）
A．1 個 B．2 個 C．3 個 D．4 個
2．如圖，過邊長為3的等邊VABC 的邊 AB 上一點 P ，作PE ^ AC 于E ，Q為BC 延長線上一點，且
CQ = PA，連接 PQ交 AC 于點D，則DE 的長為（ ）
3 5
A．1 B． C． 2 D．
2 2
3．如圖，點 P、M、N 分別在等邊三角形 ABC 的各邊上，且MP ^ AB 于點 P，MN ^ BC 于點 M， NP ^ AC
于點 N，若 AB =16cm，則CM 的長為 ．
4．如圖，在等邊VABC中，D 為 BC 延長線上一點，E 為 上一點，過點 B 作 BF P AC ，連接 DF ， EF ，
且 DFE = 60°．若BF = 5 ，BD = 5，則BE的長度是 ．
5．以VABC 的邊 AB、AC 為邊向外分別作等邊△ABD 、等邊△ACE，連接DC、BE ，DC 與 BE 交于 O，
連接 AO ．
(1)求證：BE = CD；
(2)求證：OA平分 DOE ；
(3)請問線段DO 與線段BO、AO之間有什么數(shù)量關(guān)系？請說明理由．
6．如圖，點 O 是等邊VABC 內(nèi)一點，D 是VABC 外的一點， AOB =110°， BOC = a ，VBOC≌VADC ，
連接OD ．
(1)求證：VOCD是等邊三角形；
(2)當a =150°時，試判斷△AOD的形狀，并說明理由；
(3)探究：當a 為多少度時，△AOD是等腰三角形．
【必考題型六 格點中的等腰三角形】
1．如圖，在3 3的方格中，A，B 兩點都在小方格的格點上，若點 C 也在格點上，且VABC 是等腰三角形，
那么點 C 的個數(shù)最多是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
2．如圖，點 A，B 是 4×4 網(wǎng)格中的格點，網(wǎng)格中的每個小正方形的邊長為 1，如果以 A，B，C 為頂點的三
角形是等腰三角形，則滿足條件的所有格點 C 有（ ）個．
A．6 B．7 C．8 D．9
3．如圖，在3 4正方形的網(wǎng)格中，點 A，B 在小方格的頂點上，要在小方格的頂點上確定一點C ，且使VABC
是等腰三角形，則點C 的個數(shù)為
．
4．如圖，由 36 個完全相同的小正方形組成的網(wǎng)格中，點 A，B 在格點上，在網(wǎng)格的格點上找到點 C，使VABC
為等腰三角形，這樣的點 C 共有 個．
5．在如圖所示的方格紙中，VABC 是格點三角形，請按以下要求畫格點三角形．
(1)在圖 1 中畫一個△ABD ，使得△ABD 和VABC 全等．
(2)在圖 2 中畫一個等腰VABE ，使得VABE 和VABC 的面積相等．
6．在如圖的5 5的正三角形網(wǎng)格中，每個小正三角形的邊長為 1，如圖，VABC 的頂點均在格點上，請按
要求作格點圖形．
(1)在圖（甲）中，在小正三角形頂點上求作點 P，使得△APC 與VABC 全等；
(2)在圖（乙）中，在 AC 右側(cè)的小正三角形頂點上求作點 G（除 E 點外），使VACG 為等腰三角形且
GA = GC ．
【必考題型七 逆命題和逆定理】
1．定理“等腰三角形的兩個底角相等”的逆定理是（ ）
A．有兩個角不相等的三角形不是等腰三角形 B．不是等腰三角形的兩個角不相等．
C．有兩個底角相等的三角形是等腰三角形 D．有兩個角相等的三角形是等腰三角形．
2．“等腰三角形的兩個底角相等”的逆命題是（　　）
A．在同一個三角形中，等邊對等角
B．兩個角互余的三角形是等腰三角形
C．如果一個三角形有兩個角相等，那么這個三角形是等腰三角形
D．如果一個三角形有兩個底角相等，那么這個三角形是等腰三角形
3．命題“如果 x 1，那么 x2 1”的逆命題是 命題．（選填“真”或“假”）
4．定理“等腰三角形底邊上的高線與中線互相重合”的逆命題是 命題（填“真”或“假”）．
5．小穎同學(xué)要證明命題“角的平分線上的點到這個角的兩邊距離相等”是正確的，她先畫出了如圖所示的圖
形，并寫出了不完整的已知和求證：
已知：如圖， ABP = CBP，點 D 在射線BP上， ，
求證： ．
(1)補全圖形，已知和求證；
(2)按小穎的想法寫出證明過程．
(3)請寫出“角的平分線上的點到這個角的兩邊距離相等”的逆命題，它是真命題嗎？并加以證明．
6．數(shù)學(xué)證明是一個嚴謹?shù)倪^程，例如在證明命題“線段垂直平分線上的點到線段兩端的距離相等”時，我們
進行了分類討論，使證明過程完整且正確．下面是小明同學(xué)根據(jù)題意畫出的圖形，并寫出了不完整的已知
和求證．
已知：如圖，直線 l 為線段 AB 的垂直平分線，點 P 為 l 上一點．
求證：______________________．
請你補全求證，并寫出證明過程．
【必考題型八 含 30°角的直角三角形】
1．如圖，在VABC 中， ACB = 90°， A = 30°，CE、CD分別是△ACB的角平分線和高線，交 于點
E、D，則 DCE 的值為（ ）
A．15° B． 20° C． 25° D．30°
2．如圖，已知 AOB = 60°，OC 平分 AOB，點 P 在OC 上，PD ^ OA于點 D，OP = 6，點 E 是射線OB
上的動點，則PE的最小值為（　　）
A．4 B．2 C．5 D．3
3．如圖，一副三角板拼在一起，O 為 AD 的中點， AB = 4．將VABO 沿 BO 對折至△A BO ，M 為 BC 上的
動點，則 A'M 的最小值為 ．
4．如圖 MAN = 60°，若VABC的頂點 B 在射線 AM 上，且 AB = 2 ，動點C 從點A 出發(fā)，以每秒1個單位沿
射線 AN 運動．
（1）當運動時間 t是 秒時，VABC是直角三角形．
（2）當運動時間 t的取值范圍是 秒時，VABC是鈍角三角形．
5．如圖，VABC 中，D 是BC 邊的中點，BE ^ AC ，CF ^ AB，垂足分別是點 E，F(xiàn)，連接DE ，DF ．
(1)求證：DE = DF ．
(2)若 A = 75°， BC = 8，連接EF ，求VDEF 的面積．
6．如圖 1，VABC 是等邊三角形，D，E 為 AC 上兩點，且 AD = CE ，延長BC 至點F ，使CF = CD ，連結(jié)
BD, EF ．
(1)如圖 2，當 D，E 兩點重合時，求證：BD = DF ；
(2)如圖 3，延長FE交線段 于點G ．
①求 DGE 的度數(shù)；
②若 AD = 2, AB = 6，求點 C 到EF 的距離．
【必考題型九 斜邊的中線等于斜邊的一半】
1．如圖， AD ， BE 均為VABC 的高，且 AB = AC ，連結(jié)DE 交 AB 于點 O，若 C = 28°，則 OEB的度數(shù)
為（ ）
A．62° B．60° C．58° D．56°
2．如圖，在Rt△ABC 中，BC 的中垂線與BC 交于點 D，與 AC 交于點 E，連接 BE ，F(xiàn) 為 BE 的中點，若
DF = 2，則 AE 的長為（ ）
A．5 B． 2 3 C．4 D．3
3．如圖，在四邊形 ABCD中，O 是CD的中點， AC = AD, CAD = CBD = 90°，若CD = 2AB ，則
DCB = ．
4．如圖，在Rt△ABC 中， ACB = 90°，D為 AB 的中點， B = 30°，點E 在BC 上，且CE = AC ，則 CDE
的大小為 ．
5．在VABC 中， AD 是BC 邊上的高，E 、F 分別為 AC
1
、 BE 邊上的中點，且 BD = AC ．
2
(1)求證：DF ^ BE；
(2)若 DAC = 52°，求 BDF 的度數(shù)．
6．如圖，在等邊三角形 ABC 中，D 是 AB 上的一點，E 是CB 延長線上一點，連接CD、DE ，已知
EDB = ACD ．
(1)求證：VDEC 是等腰三角形．
(2)當 BDC = 5 EDB ，EC = 8時，求△EDC 的面積．
【必考題型十 直角三角形全等的判定】
1．如圖，在VABC 中，AB =10cm，AC =14cm，邊BC 的垂直平分線DE 交VABC 的外角 CAM 的平分線
于點 D，垂足為 E，DF ^ AC 于點 F，DG ^ AM 于點 G，連接CD．則 AG 的長是（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
2．如圖，在Rt△ABC 中，∠C = 90o ，BP平分 ABC 交 AC 于點 P，PE ^ AB于點E ，若 BC = 8，
AC = 6 ，則△AEP 的周長為（ ）
A．4 B．6 C．8 D．10
3．如圖， AE 是 CAM 的角平分線，點 B 在射線 AM 上，DE 是線段BC 的中垂線交 AE 于 E，
EF ^ AM ．若 ACB = 23°, CBE = 21°，則 BEF = ．
4．如圖，在VABC 中， AD ^ BC 于點 D，在 AD 上取點 F，使得BF = AC =10, DF = CD = 6，連接 BF 并延
長交 AC 于點 E，則BE = ．
5．如圖，已知 AD ， AF 分別是兩個鈍角VABC 和VABE 的高，如果 AD = AF ， AC = AE ．
求證：
(1) BD = BF
(2) BC = BE
6．如圖，在VABC 中， AD 平分 BAC ， C = 90°，DE ^ AB于 E，BD = DF ．
(1)求證：CF = EB．
(2)若 BAD = 20°，求 CDF 的度數(shù)．
【必考題型十一 勾股定理的證明方法】
1．我國是最早了解勾股定理的國家之一．據(jù)《周髀算經(jīng)》記載，勾股定理的公式與證明是在商代由商高發(fā)
現(xiàn)的，故又稱之為“商高定理”；三國時代的蔣銘祖對《蔣銘祖算經(jīng)》內(nèi)的勾股定理作出了詳細注釋，并給出
了另外一個證明．下面四幅圖中，不能證明勾股定理的是（ ）
A． B．
C． D．
2．如圖，在四邊形 ABDE 中， AB∥DE ， AB ^ BD，點C 是邊 上一點， BC = DE = a ，CD = AB = b，
1 1 1
AC = CE = c．下列結(jié)論：①VABC ≌ VCDE；② ACE = 90 2° 2；③ a + b - c = 2 ab ；④該圖可以驗
2 2 2
證勾股定理．其中正確的結(jié)論個數(shù)是（ ）
A．4 B．3 C．2 D．1
3．勾股定理的證明方法多樣，如圖是“水車翼輪法”證明勾股定理：將正方形 ACFG 沿分割線 JK ，LM 分割
成四個全等四邊形，再將這四個四邊形和正方形 ABED 拼成大正方形BCHI ．若 AB = 2.BC = 29 ，則 AL
的長為 ．
4．清代數(shù)學(xué)家李銳在其著作《勾股算術(shù)細草》中利用三個正方形出入相補的方法證明了勾股定理．如圖，
在Rt△ABC 中， ACB = 90°，AC 和BC 為邊，按如圖所示的方式作正方形 ABKH ，ACIG 和BCFD ，KH
與CI 交于點 J， 與DF 交于點 E，KH 與CI 交于點 J，AB 與DF 交于點 E．若四邊形BCFE 和VHIJ 的面
積和為 5，四邊形 ACJH 和VBDE 的面積和為 12，則 AC + BC 的值為 ．
5．如圖，對任意符合條件的直角三角形 BAC ，繞其銳角頂點逆時針旋轉(zhuǎn)90°得VDAE，所以 BAE = 90°，
且四邊形 ACFD是一個正方形，它的面積和四邊形 ABFE 面積相等，而四邊形 ABFE 面積等于Rt△BAE 和
Rt△BFE的面積之和，根據(jù)圖形寫出一種證明勾股定理的方法．
6．勾股定理在幾何問題中有著廣泛地應(yīng)用，大約公元 222 年，中國古代數(shù)學(xué)家趙爽在《周髀算經(jīng)》一書中
介紹了勾股定理的證明方法．具體用用四個完全一樣直角三角形可以拼成圖 1 的大正方形，采用面積法證
明 c2 = a2 + b2 ．
（1）類比證明：伽菲爾德（1881 年任美國第 20 屆總統(tǒng)）于 1876 年 4 月 1 日《新英格蘭教育日志》上證明
勾股定理．在VABC 和VCDE中，CE ^ AC ，易證△ABC ≌△CDE ．
請你用兩種不同的方法表示梯形 ABDE 的面積（圖 2），并證明： c2 = a2 + b2 ；
（2）嘗試畫圖：正方形網(wǎng)格中的每個小正方形邊長都是 1，每個小格的頂點叫做格點，以格點為頂點分別
按下列要求畫三角形．
①畫一個三角形，使它的三邊長都是有理數(shù)；②畫一個三邊長都為無理數(shù)的直角三角形；③畫一個鈍角三
角形，使它的面積為 4．
（3）拓展應(yīng)用：如圖 3，在直線 l 上依次擺放五個正方形．已知斜放兩個正方形的面積分別是 2、3，正放
三個正方形的面積依次是 S1， S2， S3 ，則 S1 + 2S2 + S3 = ______（直接寫出答案）
【必考題型十二 用勾股定理解三角形】
1．著名畫家畢加索的作品《女孩》中充滿著幾何圖形，她手中所握的帆船模型就是我們熟悉的三角形組合
而成，如圖，在△ABD 中， AB = AD , AE ^ BD ，若BC =10,CD = 6，則 AC 2 - AD2 的值為（ ）
A．16 B．24 C．32 D．60
2．如圖，在等腰直角三角形 ABC 紙片中， C = 90°，D 是BC 的中點，將VABC 折疊，使點 A 與點 D 重
合，EF 為折痕．若 AB = 2 ，則 的長為（ ）
3 5 3
A B 1． ． C． D．
4 8 8 4
3．如圖，VABC 是等邊三角形，點E 為 AC 上一點，且 CBE =15° ，現(xiàn)將△CBE 沿直線 BE 折疊得到
VDBE，BD與 AC 交于F ，GH 垂直平分 BE ，若EC = 2，則BG = ．
4．如圖，在VABC 中， ACB = 60°，BC = 3，分別以 ， AC 為邊在VABC 外作等邊△ABD 和等邊
△ACE，連結(jié)BE， ．
（1）若 BEC = 25°，則∠CBE = °；
（2）若 AC = 4，則 的長為 ．
5．如圖，在VABC 中 (AB < BC) ，過點C 作CD∥ AB ，在CD上截取CD = CB ，CB 上截取CE = AB ，連接
DE ，DB．
(1)求證：VABC≌VECD．
(2)若 A = 90°， AB = 3，CD = 5，求BD的長．
6．如圖 1，VABC 2中，CD ^ AB 于 D，且BD : AD : CD = 2 : 3 : 4，若 SVACD = 24cm ．
(1)求BD和 AC 的長；
(2)如圖 2，動點 M 從點 B 出發(fā)以每秒的速度沿線段BA向點 A 運動，同時動點 N 從點 A 出發(fā)以相同速度沿
線段 AC 向點 C 運動，當其中一點到達終點時整個運動都停止．設(shè)點 M 運動的時間為 t（秒）．
①若VAMN 是以點 A 為頂點的等腰三角形時，求 t 的值；
②若點 E 是邊 AC 上一點，且DE = EC ，問在點 M 運動的過程中，VMDE 能否成為等腰三角形？若能，求
出 t 的值；若不能，請說明理由．
【必考題型十三 勾股定理中的折疊問題】
1．如圖所示，有一塊直角三角形紙片， C = 90°， AB = 5cm，BC = 3cm，將斜邊 AB 翻折，使點 B 落在
直角邊 AC 的延長線上的點 E 處，折痕為 AD ，則CD的長為（ ）
A．1cm 4
5
B． cm C3 ．1.5cm D． cm3
2．如圖，在Rt△ABC 中， B = 90°，AB = 9，BC = 6．將VABC 折疊，使點A 落在BC 的中點D處，折痕
為MN ，則線段DN 的長為（ ）
A 3 13
9
． B． C．5 D．4
2 2
3．如圖，在直角三角形紙片 ABC 中，∠C = 90o ，AC = 6 ，BC = 8，點D在邊BC 上，以 AD 為折痕，將△ABD
折疊得到VAB D， AB 與邊BC 相交于點E ．若 △DEB 為直角三角形， 則BD的長是
4．如圖，在Rt△ABC 中， BAC = 90°，AB = 3，AC = 4，點D是邊BC 上一點，將△ABD 沿直線 AD 折疊，
點 B 的對應(yīng)點為點B ，當 B D 平行于VABC 的一條邊時，BD的長為 ．
5．如圖，將長方形紙片 ABCD沿對角線 AC 折疊，使點 B 落在點 E 處， AB = 4， BC = 8
(1)試判斷折疊后重疊部分VAFC 的形狀，并說明理由．
(2)求重疊部分VAFC 的面積．
6．如圖，已知長方形紙片 ABCD，AB = 4，BC = 3，點 P 在BC 邊上，將△CDP沿DP折疊，點C 落在點E
處，PE，DE 分別交 AB 于點O，F(xiàn) ，且OP = OF ．
(1)求證：△BOP≌△EOF ；
(2)求證：CP = BF ；
(3)求DF 的長．
【必考題型十四 勾股定理的逆定理】
1．如圖，在VABC 中， AB = 2，BC = 3，以 AC 為邊作正方形 ACDE ，若正方形 ACDE 的面積是 13，則陰
影部分的面積為（ ）
A．3 B．6 C．10 D．16
2．已知VABC 的三邊長分別為 a，b ， c，且 a - 6 + b -8 + c -10 2 = 0，則VABC 是（　　）
A．以 a為斜邊的直角三角形 B．以b 為斜邊的直角三角形
C．以 c為斜邊的直角三角形 D．等邊三角形
3．如圖，正方形 ABDE 的面積是 169 平方厘米，正方形CAFG面積是 144 平方厘米，正方形BCHK 的面積
是 25 平方厘米，則陰影四邊形 AGHP 的面積是 平方厘米．
4．如圖，以VABC 的每一條邊為邊，在邊 AB 的同側(cè)作三個正三角形△ABD 、VBCE 和△ACF ．已知這三
個正三角形構(gòu)成的圖形中，甲、乙陰影部分的面積和等于丙、丁陰影部分的面積和．則
FCE = °．
5．如圖，在四邊形 ABCD中， ABC = 90°， AB = 3 ，BC＝2 ，CD = 7 ，DA = 14 ，求四邊形 ABCD
的面積．
6．筆直的河流一側(cè)有一營地 C，河邊有兩個漂流點 A，B，其中 AB = AC ．由于周邊施工，由 C 到 A 的路
現(xiàn)在已經(jīng)不通．為方便游客，在河邊新建一個漂流點 H（A，H，B 在同一直線上），并新修一條路CH ，測
得BC =10千米，CH = 8千米，BH = 6 千米．
(1)判斷VBCH的形狀，并說明理由；
(2)求原路線 AC 的長．
【必考題型十五 勾股定理的應(yīng)用】
1．如圖，在離水面點 A 高度為8m 的岸上點 C 處，有人用繩子拉船靠岸，開始時繩子BC 的長為17m，此
人以1m/ s的速度收繩，7s后船移動到點 D 的位置，則船向岸邊移動了（ ）（假設(shè)繩子是直的）．
A．9 米 B．8 米 C．7 米 D．6 米
2．如圖所示，將一根長為24cm 的筷子，置于底面直徑為15cm，高8cm 的圓柱形水杯中， 設(shè)筷子露在杯
子外面的長度為 h，則 h 的取值范圍是（　　）
A． h 17cm B． h 8cm C．15cm h 16cm D．7cm h 16cm
3．如圖，有兩條公路 OM、ON 相交成 30°角，沿公路 OM 方向離 O 點 160 米處有一所學(xué)校 A，當重型運輸
卡車 P 沿道路 ON 方向行駛時，在以 P 為圓心，100 米為半徑的圓形區(qū)域內(nèi)都會受到卡車噪聲的影響，且卡
車 P 與學(xué)校 A 的距離越近噪聲影響越大．若已知重型運輸卡車 P 沿道路 ON 方向行駛的速度為 36 千米/時，
則對學(xué)校 A 的噪聲影響最大時卡車 P 與學(xué)校 A 的距離是 米；重型運輸卡車 P 沿道路 ON 方向行駛一次給
學(xué)校 A 帶來噪聲影響的時間是 秒．
4．《九章算術(shù)》有一問題∶“今有垣高一丈，倚木于垣，上與垣齊．引木卻行一尺，其木至地．問木長幾
何？”其內(nèi)容可表述為∶“有一面墻，高 1 丈．將一根木桿斜靠在墻上，使木桿的上端與墻的上端對齊，下端
落在地面上，如果使木桿下端從此時的位置向遠離墻的方向移動 1 尺，則木桿上端恰好沿著墻滑落到地面
上，則木桿長為 尺．”（說明：1 丈=10 尺）
5．【問題情境】某數(shù)學(xué)興趣小組想測量學(xué)校旗桿的高度．
【實踐發(fā)現(xiàn)】數(shù)學(xué)興趣小組實地勘察發(fā)現(xiàn)：系在旗桿頂端的繩子垂到了地面，并多出了一段，但這條繩子
的長度未知，
【實踐探究】設(shè)計測量方案：
第一步：先測量比旗桿多出的部分繩子的長度，測得多出部分繩子的長度是 1 米；
第二步，把繩子向外拉直，繩子的底端恰好接觸地面的點 C，再測量繩子底端 C 與旗桿根部 B 點之間的距
離，測得距離為 5 米；
【問題解決】設(shè)旗桿的高度 為 x 米，通過計算請你求旗桿的高度．
6．如圖一架 25 米長的梯子 AB 斜靠在一面墻上，梯子底端 B 到墻底的垂直距離BC 為 7 米．
(1)求這個梯子的頂端 A 到地面的距離 AC 的值；
(2)如果梯子的頂端 A 沿墻 AC 豎直下滑 4 米到點 D 處，求梯子的底端 B 在水平方向滑動了多少米？
【必考題型十六 最短路徑問題】
1．如圖，長方體的底面邊長分別為 2 厘米和 4 厘米，高為 5 厘米．若一只螞蟻從 P 點開始經(jīng)過 4 個側(cè)面爬
行一圈到達 Q 點，則螞蟻爬行的最短路徑長為（ ）厘米．
A．8 B．10 C．12 D．13
2．如圖是放在地面上的一個長方體盒子，其中 AB =18cm，BC =12cm ，BF =10cm ，點 M 在棱 AB 上，
且 AM = 6cm ，N 是 FG 的中點，一只螞蟻要沿著長方體盒子的表面從點 M 爬行到點 N，它需要爬行的最短
路程為（ ）
A． 20cm B．2 106cm C． 12 + 2 34 cm D．18cm
3．如圖，在公路 l 的一側(cè)有 A，B 兩個工廠，A，B 到公路的垂直距離分別為1km和3km ，A，B 之間的水平
距離為3km ．現(xiàn)要在公路 l上建一個運輸點，使A，B兩廠到運輸點的總路線最短，則最短總路線為 km．
4．如圖，在VMNG中，MN = 4 2 ， M = 75°，MG = 3，點O是VMNG內(nèi)一點，則點O到VMNG三個頂
點的距離和的最小值是 ．
5．如圖，長方體的長為 20cm ，寬為10cm，高為15cm，點 B 與點C 之間的距離為5cm，一只螞蟻要沿著長
方體的表面從點A 爬到點 B 去吃一滴蜜糖．
(1)求點A 到點 B 的距離；
(2)螞蟻從點A 爬到點 B 的最短路程是多少？
6．葛藤是一種刁鉆的植物．它自己腰托不硬，為了爭奪雨露陽光，常常繞著樹干盤旋而上，它還有一手絕
招，就是繞樹盤旋上升的路段，總是沿著最短路線——盤旋前進的，難道植物也懂得數(shù)學(xué)嗎？閱讀以上信
息，你能設(shè)計一種方法解決下列問題嗎？
(1)如圖，如果樹干的周長（即底面圓的周長）為 30cm，從點 A 繞一圈到點 B，葛藤升高 40cm，則它爬行
路程是多少厘米？
(2)如果樹干的周長（即底面圓的周長）為 40cm，繞一圈爬行 50cm，則爬行一圈升高多少厘米？如果爬行
10 圈到達樹頂，則樹干高多少厘米？
【必考題型十七 特殊三角形壓軸大題】
1．如圖 1，在等邊VABC 中，線段 AM 為BC 邊上的高線．動點D在線段 AM （點D與點A 重合除外）上
時，以CD為一邊且在CD的下方作等邊VCDE，連結(jié) BE ．
(1)判斷 AD 與 BE 是否相等，請說明理由；
(2)如圖 2，若 AB =12, P,Q 兩點在直線 BE 上且滿足CP = CQ =10，試求 PQ的長．
(3)在第（2）小題的條件下，當點D在線段 AM 的延長線（或反向延長線）上時，判斷 PQ的長是否為定值，
若是，請畫出圖形并求出 PQ的長；若不是，請簡單說明理由．
2．圖，在VABC 中， B = 90°， AB =16cm， BC =12cm ， AC = 20cm ， P 、Q是VABC 邊上的兩個動點，
其中點 P 從點A 開始沿 A B 方向運動，且速度為每秒1cm，點Q從點 B 開始沿B C A方向運動，且
速度為每秒 2cm ，它們同時出發(fā)，設(shè)出發(fā)的時間為 t秒．
(1) BP = _____（用 t 的代數(shù)式表示）
(2)當點Q在邊BC 上運動時，出發(fā)幾秒后，△PQB 是等腰三角形？
(3)當點Q在邊CA上運動時，出發(fā) 　　秒后，△BCQ 是以BC 或BQ為底邊的等腰三角形？
3．
【基礎(chǔ)鞏固】（1）如圖 1，在 VABC 與 VADE 中， AB = AC, AD = AE, BAC = DAE ，求證：
△AEC≌△ADB ；
【嘗試應(yīng)用】（2）如圖 2，在 VABC 與 VADE 中， AB = AC, AD = AE, BAC = DAE = 90°, B、D、E
三 點在一條直線上， AC 與 BE 交于點 F ，若點 F 為 AC 中點，
① 求 BEC 的大小； ②CE = 2 ，求 △ACE 的面積；
【拓展提高】（3）如圖 3， VABC 與 VADE 中， AB = AC, DA = DE, BAC = ADE = 90°, BE 與 CA
交于點 F , DC = DF ,VBCF 的面積為 32，求 AF 的長．
4．如圖 1，已知VABC ， ACB = 90°， ABC = 45°，分別以 AB 、BC 為邊向外作△ABD 與VBCE ，且 DA = DB ，
EB = EC ， ADB = BEC = 90°，連接DE 交 AB 于點F ．
(1)探究： AF 與 BF 的數(shù)量關(guān)系，請寫出你的猜想，并加以證明．
(2)如圖 2，若 ABC = 30°， ADB = BEC = 60°，題目中的其他條件不變，（1）中得到的結(jié)論是否發(fā)生變化？
請寫出你的猜想并加以證明；
(3)如圖 3，若 ADB = BEC = m ABC ，題目中的其他條件不變，使得（1）中得到的結(jié)論仍然成立，請直接
寫出m 的值．第 12 講 特殊三角形必考題型匯總（17 大題型）
【精選浙江地區(qū)最新考試題型】
【必考題型一 根據(jù)軸對稱圖形的特征進行求解】
1．如圖，VABC 與VA B C 關(guān)于直線 l對稱， A = 45°, B =110° ，則 C 度數(shù)為（ ）
A．15° B． 20° C． 25° D．35°
【答案】C
【分析】本題考查了軸對稱的性質(zhì)、三角形內(nèi)角和定理，由軸對稱的性質(zhì)可得 B = B =110°，再由三角
形內(nèi)角和定理進行計算即可．熟練掌握軸對稱的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
【詳解】解：Q VABC 和VA B C 關(guān)于直線 l對稱， B =110°，
\ B = B =110°，
又∵ A = 45° ，
\ C =180° - A - B =180° - 45° -110° = 25°，
故選：C．
2．如圖，點 P 是 AOB內(nèi)部一點，點P ，P 分別是點 P 關(guān)于OA，OB 的對稱點，且P P = 8cm，則VPMN
的周長為（ ）
A．5cm B．6cm C．7cm D．8cm
【答案】D
【分析】根據(jù)軸對稱的性質(zhì)可得PM = P M , PN = P N ，再根據(jù)三角形的周長計算方法即可解答．
【詳解】解：∵點P ，P 分別是點 P 關(guān)于OA，OB 的對稱點，
∴PM = P M , PN = P N ，
∴VPMN 的周長= PM + MN + PN = P M + MN + P N = P P = 8cm，
故選：D．
【點睛】本題主要考查了軸對稱的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是掌握對稱軸上的點與對應(yīng)點連線相等．
3．如圖，在VABC 中，點 D，E 分別在邊 AB ，BC 上，點 A 與點 E 關(guān)于直線CD對稱．若 AB = 7 ，
AC = 9，BC =13，則VDBE的周長為 ．
【答案】11
【分析】本題主要考查了軸對稱的性質(zhì)．根據(jù)軸對稱的性質(zhì)可得 AD = DE ， AC = CE = 9 ，進而得出
BE = BC - CE = 4，再根據(jù)三角形的周長公式，即可求解．
【詳解】解：∵點 A 與點 E 關(guān)于直線CD對稱，
∴ AD = DE ， AC = CE = 9 ，
∵BC =13，
∴BE = BC - CE =13- 9 = 4 ，
∴VDBE的周長= BD + DE + BE = BD + AD + BE = AB + BE = 7 + 4 =11．
故答案為：11．
4．如圖，在VABC 中， C = 90°， AC = BC = 4，射線 BC 上有一點 P ，M ， N 分別為點 P 關(guān)于直線 AB ，
AC 的對稱點，連接 BM ，若BM = 3BN ，則BP的長為 ．
【答案】6 或12 /12 或 6
【分析】分兩種情形：如圖 1 中，當點 N 在線段BC 上時，如圖 2 中，當點 N 在CB 的延長線上時，分別求
解可得結(jié)論．
【詳解】解：如圖 1 中，當點 N 在線段BC 上時．
QM ， N 分別為點 P 關(guān)于直線 AB ， AC 的對稱點，
\ BM = BP，CN = CP，
QBM = 3BN ，
\ PB = 3BN ，
\ BN = CN = PC = 2，
\PB = 6．
如圖 2 中，當點 N 在CB 的延長線上時，同理可得 PB = 3BN ，
設(shè) PC = CN = x ，則BN = x - 4，PB = 4 + x，
\4 + x = 3(x - 4) ，
\ x = 8，
\ PB = 4 + 8 = 12．
故答案為：6 或 12．
【點睛】本題考查軸對稱變換，等腰直角三角形的性質(zhì)等知識，解題的關(guān)鍵是理解題意，靈活運用所學(xué)知
識解決問題．
5．如圖，在8 8的正方形網(wǎng)格中，每個小正方形的邊長都為 1，網(wǎng)格中有一格點VABC （即三角形的頂點
都在格點上）．
(1)在圖中作出VABC 關(guān)于直線 l 對稱的△A1B1C1；
(2)若有一格點 P 到點 A，B 的距離相等，則網(wǎng)格中滿足條件的點 P 有__________個；
(3)在直線 l 上找到一點 Q，使QB + QC 的值最小．
【答案】(1)見解析
(2)4
(3)見解析
【分析】本題主要考查軸對稱作圖、軸對稱-最短路線問題、線段垂直平分線的性質(zhì)等知識點，熟練掌握軸
對稱的性質(zhì)以及線段垂直平分線的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
（1）根據(jù)軸對稱的性質(zhì)作出對應(yīng)點 A1, B1,C1，然后順次連接即可；
（2）利用網(wǎng)格，作線段 AB 的垂直平分線，所經(jīng)過的格點即為滿足條件的點 P 的位置；
（3）連接CB1 ，交直線 l 于點 Q，連接BQ，此時QB + QC 的值最小．
【詳解】（1）解：如圖：△A1B1C1即為所求．
（2）解：如圖：P1，P2，P3，P4 滿足到點 A，B 的距離相等，
∴網(wǎng)格中滿足條件的點 P 有 4 個．
故答案為：4．
（3）解：如圖，點 Q 即為所求．
6．如圖，VABC 和VADE 關(guān)于直線MN 對稱，BC 與DE 的交點F 在直線MN 上．
(1)圖中點C 的對應(yīng)點是點 ， B 的對應(yīng)角是 ；
(2)若DE = 5，BF = 2，則CF 的長為 ；
(3)若 BAC =108° ， BAE = 30°，求 EAF 的度數(shù)．
【答案】(1)E， D
(2)3
(3)39°
【分析】本題主要考查了軸對稱，成軸對稱的兩個圖形的全等性：
（1）觀察圖形可直接得出答案；
（2）根據(jù)成軸對稱的兩個圖形的全等性可得△ABC ≌△ADE ，根據(jù)全等三角形對應(yīng)邊相等即可求解；
（3）根據(jù) BAC =108° ， BAE = 30°，推出 CAE =108° - 30° = 78°，根據(jù)對稱性得到 EAF = CAF ，推
EAF 1出 = CAE = 39°．
2
【詳解】（1）解：∵VABC 和VADE 關(guān)于直線MN 對稱，
∴圖中點 C 的對應(yīng)點是點 E， B 的對應(yīng)角是 D；
故答案為：E， D．
（2）解：∵VABC 和VADE 關(guān)于直線MN 對稱，
∴△ABC ≌△ADE ，
∴BC = DE = 5，
∵BF = 2，
∴CF = BC - BF = 3．
故答案為：3．
（3）解：∵ BAC =108° ， BAE = 30°，
∴ CAE =108° - 30° = 78°，
根據(jù)對稱性知， EAF = CAF ，
1
∴ EAF = CAE = 39°．
2
【必考題型二 等腰三角形的判定】
1．在VABC 中， AB = AC ， A = 36°，D 為線段 AC 上一點，且點 D 到 AB 、BC 距離相等，則△ABD 的
形狀為（ ）
A．等邊三角形 B．直角三角形 C．等腰三角形 D．銳角三角形
【答案】C
【分析】根據(jù)等邊對等角求出 ABC = 72°，再根據(jù)角平分線的判定得到點 D 在 ABC 的平分線上，即可求
出 ABD = A，即可證明等腰三角形．
【詳解】解：∵ AB = AC ， A = 36°，
∴∠ABC =∠ACB
1
= 180° - 36° = 72°，
2
∵點 D 到 AB 、BC 距離相等，
∴點 D 在 ABC 的平分線上，
∴ ABD
1
= ABC = 36° = A，
2
∴△ABD 為等腰三角形，
故選 C．
【點睛】本題考查了等腰三角形的判定和性質(zhì)，角平分線的判定，解題的關(guān)鍵是利用等腰三角形的性質(zhì)求
出相應(yīng)角度，且能判定角平分線．
2．VABC 的三邊分別是 a，b，c，不能判定是等腰三角形的是（ ）
A． A : B : C = 2 : 2 : 3 B． a : b : c = 2 : 2 : 3
C． B = 50°， C = 80° D． 2 A = B + C
【答案】D
【分析】根據(jù)等腰三角形的判定，三角形內(nèi)角和定理，進行計算逐一判斷即可解答．
2 360
【詳解】解：A、因為 A : B : C = 2 : 2 : 3， A + B + C =180°，所以 A = B =180° = 2 + 2 + 3 ÷ ÷
°，
è è 7
所以VABC 是等腰三角形；
B、因為 a : b : c = 2 : 2 : 3，所以設(shè) a = b = 2x，則有兩邊相等的VABC 是等腰三角形；
C、因為 A + B + C =180°，所以 A =180° - B - C =180° - 50° -80° = 50°，則 A = B ，所以VABC
是等腰三角形；
D、因為 2 A = B + C ， A + B + C =180°，則 A + 2 A =180°，那么 A = 60°， B + C =120° ，
不能判定是等腰三角形．
故選：D.
【點睛】本題考查了等腰三角形的判定，三角形內(nèi)角和定理，熟練掌握等腰三角形的判定，以及三角形內(nèi)
角和定理是解題的關(guān)鍵．
3．在VABC 中，若 B = 50°，∠C = 65°，則VABC 等腰三角形．（填“是”或“不是”）
【答案】是
【分析】本題主要考查了等腰三角形的判定，三角形內(nèi)角和定理．根據(jù)三角形內(nèi)角和定理可得 A的度數(shù)，
從而得到 A = C ，進而得到BC = AB，即可求解．
【詳解】解：∵ B = 50°，∠C = 65°，
∴ A =180° - B - C = 65°，
∴ A = C ，
∴BC = AB，
∴VABC 是等腰三角形．
故答案為：是
4．如圖， AD 是VABC 的邊BC 上的高，下列條件中能推出VABC 是等腰三角形的是 ．（把所有正
確答案的序號都填寫在橫線上）
① BAD = ACD ；② BAD = CAD ；③ AB + BD = AC + CD．
【答案】②③/③②
【分析】本題主要考查的是等腰三角形的判定和三角形全等的判定，解題關(guān)鍵是結(jié)合圖形靈活解決問題．由
BAD = ACD 無法確定VABC 是等腰三角形；根據(jù)ASA 證明△ABD≌△ACD可判定VABC 是等腰三角形；
延長DB至點 E，使 BE = AB ，延長DC 至點 F，使CF = AC ，連接 AE, AF ．先證明 E = F ，再證明
∠ABC = ACB ，可判定VABC 是等腰三角形．
【詳解】解：①無法判定VABC 是等腰三角形；
②當 BAD = CAD 時，
Q AD 是 BAC 的平分線，
∴ BAD = CAD ．
∵ AD 是邊BC 上的高，
∴ ADB = ADC = 90°．
∴ AD = AD，
∴VABD≌VACD ASA ，
∴ AB = AC ，
\VBAC 是等腰三角形；
③如答圖，延長DB至點 E，使 BE = AB ，延長DC 至點 F，使CF = AC ，連接 AE, AF ．
Q AB + BD = CD + AC ，
\DE = DF ．
又Q AD ^ BC ，
∴ AD 是EF 的垂直平分線，
∴ AE = AF ，
\ E = F ．
Q AB = BE ，
\ ABC = 2 E ．
同理 ACB = 2 F ，
\ ABC = ACB ，
∴ AB = AC ，
VABC 是等腰三角形．
故答案為：②③．
5．如圖，在銳角VABC 中，點 E 是 AB 邊上一點，BE = CE ， AD ^ BC 于點 D， AD 與 EC 交于點 G．
(1)求證：△AEG 是等腰三角形．
(2)若BE =10，CD = 3，G 為CE中點，求 AG 的長．
【答案】(1)見解析
(2)8
【分析】本題主要考查了全等三角形的判定與性質(zhì)、等腰三角形的判定與性質(zhì)等知識點，正確添加適當?shù)?br/>輔助線是解題的關(guān)鍵．
（1）根據(jù)垂直定義可得 ADB = ADC = 90°，從而利用直角三角形的兩個銳角互余可得
B + BAD = 90°， DCG + DGC = 90°，再利用等腰三角形的性質(zhì)可得 B = DCG，然后利用等角的余
角相等可得 BAD = DGC ，再根據(jù)對頂角相等可得 AGE = DGC ，從而可得 BAD = AGE ，最后利用
等角對等邊即可解答；
（2）如圖：過點 E 作EF ^ AG ，垂足為 F，利用等腰三角形的三線合一性質(zhì)可得 AG = 2FG，再根據(jù)線段
1
中點的定義可得 EG = GC = EC = 52 ，然后利用
AAS證明△EFG≌△CDG，從而利用全等三角形的性質(zhì)可得
FG = DG ，最后在Rt△CDG 中，利用勾股定理求出DG 的長，從而求出 FG 的長即可解答．
【詳解】（1）證明：∵ AD ^ BC ，
∴ ADB = ADC = 90°，
∴ B + BAD = 90°， DCG + DGC = 90°，
∵EB = EC ，
∴ B = DCG，
∴ BAD = DGC ，
∵ AGE = DGC ，
∴ BAD = AGE ，
∴EA = EG，
∴△AEG 是等腰三角形；
（2）解：圖：過點 E 作EF ^ AG ，垂足為 F，
∴ EFG = 90°，
∵EA = EG，EF ^ AG，
∴ AG = 2FG，
∵G 為CE中點，
∴EG = GC
1
= EC ，
2
∵EB = EC =10，
∴GC
1
= EC = 5，
2
∵ EFG = CDG = 90°， EGF = CGD ，
∴VEFG≌VCDG AAS ，
∴ FG = DG ，
在Rt△CDG 中，CD = 3，
∴DG = CG2 - CD2 = 52 - 32 = 4，
∴FG = DG = 4，
∴ AG = 2FG = 8，
∴ AG 的長為 8．
6．已知：如圖VABC 中 AC = 6cm，AB = 8cm，BD平分 ABC ，CD平分 ACB ，過 D 作直線平行于BC
交 AB ， AC 于 E，F(xiàn)．
(1)求證：△DFC 是等腰三角形；
(2)求△AEF 的周長．
【答案】(1)見解析
(2)14cm
【分析】本題考查了等腰三角形的判定，平行線的性質(zhì)，角平分線的定義等，熟練掌握等腰三角形的判定
是解題的關(guān)鍵．
（1）首先根據(jù)平行線的性質(zhì)可得 FDC = DCB ，再根據(jù)角平分線的定義可得 FCD= BCD ，可得
FCD = FDC ，據(jù)此即可證得；
（2）同理（1）可得DE = BE ，根據(jù)△AEF 的周長= AE + AF + DE + DF = AB + AC ，求解即可．
【詳解】（1）證明：QEF P BC ，
\ FDC = DCB ，
QCD 平分 ACB ，
\ FCD = DCB，
\ FDC = FCD，
\FD = FC ，
∴△DFC 是等腰三角形；
（2）QEF P BC ，
\ EDB = DBC ，
Q BD平分 ABC ，
\ EBD = DBC ，
\ EDB = EBD ，
\ED = EB，
Q AC = 6cm， AB = 8cm，
∴△AEF 的周長為： AE+EF+AF
= AE+ED+FD+AF
= AE+EB+FC+AF
= AB+AC
= 8 + 6
=14 cm ．
【必考題型三 等腰三角形的性質(zhì)】
1．如圖，點 D 是等腰RtVABC 的邊BC 上的一點，過點 B 作BE ^ AD于點 E，連接 ，若 AE = 4，則 SVAEC
的值是（ ）
A．4 B．8 C．12 D．16
【答案】B
【分析】本題考查全等三角形的判定和性質(zhì)，等腰直角三角形嗎，三角形的面積，過C 作CH ^ AD于 H ，
由VABC是等腰直角三角形， 得到 BAC = 90°, AB = AC ， 由余角的性質(zhì)推出 CAH = ABE ， 由AAS
推出VABE≌VCAH ， 得到CH = AE = 4，即可求出面積．
【詳解】解：過C 作CH ^ AD于 H ，
∵VABC是等腰直角三角形，
∴ BAC = 90°, AB = AC ，
∵BE ^ AD于E ，
∴ CAH + BAE = ABE + BAE = 90°，
∴ CAH = ABE ，
∵ AHC = AEB = 90°, AB = AC ，
∴VABE≌VCAH AAS ，
∴CH = AE = 4，
S 1 1\ VACE = AE ×CH = 4 4 = 8，2 2
故選：B．
2．如圖，VABC 中， AB = AE ，且 AD ^ BC ，EF 垂直平分 AC ，交 AC 于點F ，交BC 于點E ，若VABC
周長為 16， AC = 6 ，則DC 為（ ）
A．5 B．8 C．9 D．10
【答案】A
【分析】本題考查的是線段垂直平分線的性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)．根據(jù)三角形的周長公式求出 AB + BC ，
根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)得到EA = EC ，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到BD = DE，結(jié)合圖形計算，得到答
案．
【詳解】解：QVABC 周長為 16，
\ AB + BC + AC = 16，
Q AC = 6，
\ AB + BC =10，
QEF 垂直平分 AC ，
\ EA = EC ，
Q AB = AE ， AD ^ BC ，
\BD = DE，
1
\ AB + BD = AE + DE = (AB + BC) = 5，
2
\DC = DE + EC = AE + DE = 5，
故選：A．
3．如圖，在Rt△ABC 中， ACB = 90°，以點 B 為圓心，BC 的長為半徑畫弧，交 AB 于點 D，連結(jié)CD．若
ACD = 20°，則 A = °．
【答案】50
【分析】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)，三角形的內(nèi)角和定理，正確的理解題意是解題的關(guān)鍵．根據(jù)三角
形的內(nèi)角和定理和等腰三角形的性質(zhì)即可求解．
【詳解】解：Q在Rt△ABC 中， ACB = 90°， ACD = 20°，
\ BCD = 70°，
∵BC = BD ，
∴ BDC = BCD = 70°，
∴ B =180° - BCD - BDC = 40°，
\ A =180° - B - ACB = 50°．
故答案為：50．
4．如圖，將等腰VABC ( A是銳角)沿BD對折，使得點A 落在射線BC 上的E 點處，再將△DCE 沿CD對
折得到VDCF ，若DF 剛好垂直于BC ，則 A的大小為 ° .
【答案】45
【分析】本題考查了翻折變換，等腰三角形的性質(zhì)，外角的性質(zhì)．由等腰三角形的性質(zhì)可得
∠ABC = ACB ，由折疊的性質(zhì)可得 A = E = F ， DCE = DCF ，由外角性質(zhì)可求
BCF = A = E = F ，由直角三角形的性質(zhì)可求解．
【詳解】解：Q AB = AC ，
\ ABC = ACB ，
Q將等腰VABC ( A是銳角)沿BD對折，使得點A 落在射線BC 上的E 點處，
\ A = E，
Q將△DCE 沿CD對折得到VDCF ，
\ E = F ， DCE = DCF ，
Q DCE = ABC + A， DCF = ACB + BCF ，
\ BCF = A，
\ BCF = A = E = F ，
QDF ^ BC ，
\ BCF = F = 45°，
\ A = 45°，
故答案為： 45．
5．如圖，在VABC 與VADE 中，E 在BC 邊上， AD = AB ， AE = AC ， 1 = 2，
(1)求證：△ABC ≌△ADE．
(2)若 EAC = 36°，求 BED的度數(shù)．
【答案】(1)證明見解析；
(2)36°．
【分析】（1）根據(jù)SAS即可證明△ABC ≌△ADE．
（2）先根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到 AE = AC ，則 AEC = C = 72°，根據(jù)平角的定義即可求出 BED的度
數(shù)．
本題主要考查了全等三角形的判定和性質(zhì)．熟練掌握全等三角形的判定和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
【詳解】（1）Q 1 = 2，
\ BAE + 1 = BAE + 2，即 BAC = DAE ，
ìAB = AD

在VABC 和VADE 中， í BAC = DAE，

AC = AE
\VABC ≌VADE(SAS)，
（2）Q AE = AC ，
\ AEC = C ，
又 EAC = 36°，
∴ AEC = C
1
= 180° - EAC = 72°，
2
又△ABC ≌△ADE ，
\ C = AED = 72°，
\ BED =180° - ( AED + AEC) =180° - (72° + 72°) = 36°．
6．如圖，已知 AB = AD ， BAD = CAE ， B = D， AD 與BC 交于點 P ，點C 在DE 上．
(1)求證： AC = AE ；
(2)若 B = 36°， APC = 72°．
①求 E的度數(shù)；
②求證：CP = CE ．
【答案】(1)見解析
(2)①72°　　②見解析
【分析】本題主要考查全等三角形的判定及性質(zhì)、三角形外角的性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)：
（1）可證△BAC≌△DAE ，即可求得答案；
（2）①結(jié)合 BAD = APC - B， E = ACE 即可求得答案；②可先證△ACP≌△AEC ．
【詳解】（1）∵ BAD = CAE ， BAC = BAD + DAC ， DAE = CAE + DAC ，
∴ BAC = DAE
在VBAC 和VDAE中，
ì B = D

íAB = AD ，

BAC = DAE
∴VBAC≌VDAE SAS ，
∴ AC = AE ．
（2）①∵ B = 36°， APC = 72°，
∴ BAD = APC - B = 36°
∴ CAE = BAD = 36°
∵ AC = AE ，
∴ E = ACE
1
= 180° - CAE = 72°；
2
②∵△BAC≌△DAE ，
∴ ACB = E ，
在△ACP和△AEC 中，
ì APC = ACE

í ACB = E

AC = AE
∴VACP≌VAEC AAS ，
∴CP = CE ．
【必考題型四 等邊三角形的判定】
1．在VABC 中， A = 60°，添加下列一個條件后，仍不能判定VABC 為等邊三角形的是（ ）
A． AB = AC B． AD ^ BC C． B = C D． A = C
【答案】B
【分析】本題考查了等邊三角形的判定，三角形內(nèi)角和定理，等邊對等角，掌握等邊三角形的定義是解題
關(guān)鍵．根據(jù)選項所給條件逐一判斷即可．
1
【詳解】解：A、 AB = AC ，則 B = C = 180° - A = 60° ，VABC2 為等邊三角形，不符合題意；
B、 AD ^ BC ，若D不是BC 的中點時，則VABC 不是等邊三角形，符合題意；
C、 B
1
= C = 180° - A = 60° ，VABC2 為等邊三角形，不符合題意；
D、 A = C = 60°，則 B=60°，VABC 為等邊三角形，不符合題意；
故選：B．
2．下列三角形：①有兩個角等于60°的三角形；②有一個角等于60°的等腰三角形；③三個角都相等的三角
形；④三邊都相等的三角形．其中是等邊三角形的有（ ）
A．①②③ B．①②④ C．①③ D．①②③④
【答案】D
【分析】根據(jù)等邊三角形的判定定理可進行求解．
【詳解】解：①有兩個角等于60°的三角形是等邊三角形；②有一個角等于60°的等腰三角形是等邊三角形；
③三個角都相等的三角形是等邊三角形，可根據(jù)三角形內(nèi)角和為180°求得每個內(nèi)角的度數(shù)為60°；④三邊都
相等的三角形是等邊三角形；綜上所述：是等邊三角形的有①②③④；
故選 D．
【點睛】本題主要考查等邊三角形的判定定理，熟練掌握等邊三角形的判定是解題的關(guān)鍵．
3．在VABC 中， AB = AC ，要使VABC 是等邊三角形需添加一個條件，這個條件可以是 ．（只需寫出
一種情況）
【答案】 BAC = 60°（答案不唯一）
【分析】本題主要考查了等邊三角形的判定，熟練掌握等邊三角形的判定條件是解題關(guān)鍵．由等邊三角形
的定義判定：三條邊都相等的三角形是等邊三角形；判定定理 1：三個角都相等的三角形是等邊三角形；判
定定理 2：有一個角是60°的等腰三角形是等邊三角形．據(jù)此即可獲得答案．
【詳解】解：∵在VABC 中， AB = AC ，
∴VABC 是等腰三角形，
要使VABC 是等邊三角形，只需添加 AB 、 AC 的夾角 BAC = 60°即可．
故答案為： BAC = 60°（答案不唯一）．
4．如圖，在VABC 中， AB = AC， A =120°，DE ，GF 分別是 AB ， AC 的中垂線，BC = 30cm ，則
EG = cm．
【答案】10
【分析】本題考查垂直平分線的性質(zhì)和等邊三角形的證明，熟練掌握垂直平分線的性質(zhì)和等邊三角形的判
1
定是解題的關(guān)鍵，連接 AE ， AG ，易證得△AEG 為等邊三角形，即可得到EG = BC ，進而得到答案．
3
【詳解】解：連接 AE ， AG ，如圖所示，
∵ BAC =120° ， AB = AC ，
∴ B = C = 30° ，
∵DE ，GF 分別是 AB ， AC 的中垂線，
∴BE = AE, AG = CG ，
∴ B = EAB = 30°, C = GAC = 30° ，
∴ EAG = BAC - EAB - GAC = 120° - 30° - 30° = 60°，
在VABE 和VACG 中，
ì B = C

í EAB = GAC ，

AB = AC
∴VABE ≌ VACG，
∴ AE = AG，
∵ EAG = 60°，
∴△AEG 是等邊三角形，
∴EG = AE = AG = BE = CG ，
EG 1 BC 1∴ = = 30 = 10 ，
3 3
故答案為：10．
5．如圖所示，在 VABC 中， B = 60°，AB = AC ，點D，E分別在BC，AB 上，且 BD = AE，AD 與CE
交于點 F．
(1)求證： VABC 是等邊三角形；
(2)求證： AD = CE；
(3)求 ∠DFC 的大小．
【答案】(1)見解析
(2)見解析
(3) DFC = 60°
【分析】本題考查了全等三角形的性質(zhì)和判定，等邊三角形的判定與性質(zhì)，三角形外角性質(zhì)．
（1）根據(jù)等邊三角形的判定解答即可；
（2）求出 B = CAE，AC = AB，根據(jù)SAS證出VABD≌VCAE 即可；
（3）根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得出 BAD = ACE，根據(jù)三角形外角性質(zhì)推出 DFC = BAC ，即可得出答
案．
【詳解】（1）證明：∵ B = 60°，AB = AC ，
∴VABC 是等邊三角形；
（2）∵VABC 是等邊三角形，
∴ B = CAE = ACB = 60°，AC = AB ，
在△ABD 和VCAE 中，
ìAB = AC

í B = CAE ，

BD = AE
∴VABD≌VCAE SAS ，
∴ AD = CE ．
（3）∵VABD≌VCAE ，
∴ BAD = ACE，
∴ DFC = FAC + ACE = FAC + BAD = CAE = 60°．
6．如圖，點 E 在VABC 的外部，點 D 在BC 上，DE 交 AC 于點 F， 2 = 3， AE = AC ，DE = BC ．
(1)求證：△ABC ≌△ADE ．
(2)若 2 = 60°，猜想△ABD 的形狀并證明．
【答案】(1)見解析
(2)等邊三角形，見解析
【分析】本題主要考查了三角形全等的判定和性質(zhì)，等邊三角形的判定，解題的關(guān)鍵是熟練掌握三角形全
等的判定和性質(zhì)．
（1）根據(jù)SAS證明三角形全等即可；
（2）根據(jù)△ABC ≌△ADE ，得出 AB = AD ， B = ADE，求出 ADB
1
= BDE = 60°
2 ，即可證明結(jié)論．
【詳解】（1）證明：∵ 2 + AFE + E =180°，
∴ E = 180° - 2 - AFE ，
∵ 3+ CFD + C =180°，
∴ C = 180° - 3 - CFD，
∵ 2 = 3， AFE = CFD ，
∴ E = C ，
在VABC 和VADE 中，
ìAC = AE

í C = E ，

BC = DE
∴VABC≌VADE SAS ；
（2）解：△ABD 是等邊三角形，理由如下：
∵ 3 = 2 = 60°，
∴ BDE = 180° - 3 = 120° ，
∵△ABC ≌△ADE ，
∴ AB = AD ， B = ADE，
∴ B = ADB，
∴ ADB = ADE ，
1
∴ ADB = BDE = 60°2 ，
∴△ABD 是等邊三角形．
【必考題型五 等邊三角形的性質(zhì)】
1．如圖，△DAC 和VEBC 均是等邊三角形，A、C、B 三點共線，AE 與 BD 相交于點 P，AE 與 BD 分別與
CD，CE 交于點 M，N．則下列結(jié)論：①VACE≌VDCB ；②DC∥EB；③ AC = DN ；④ EM = BN ；⑤
CMN = 80°．其中正確的結(jié)論有（ ）
A．1 個 B．2 個 C．3 個 D．4 個
【答案】C
【分析】本題主要考查了三角形全等的判定和性質(zhì)，等邊三角形的判定和性質(zhì)，平行線的判定，解題的關(guān)
鍵是熟練掌握三角形全等的判定方法，證明VACE≌VDCB ，VCME≌VCNB．
根據(jù)SAS證明VACE≌VDCB 即可判斷①正確；根據(jù)平行線的性質(zhì)證明DC∥EB即可判斷②正確；證明
VCME≌VCNB，得出ME = BN ，即可判斷④正確；根據(jù)ME = BN ，AE = BD ，得出 AM = DN ，根據(jù) AC > AM ，
得出 AC > DN ，即可判斷③錯誤；根據(jù)CM = CN ， MCN = 60°，求出VCMN 為等邊三角形，得出 CMN = 60°，
即可判斷⑤錯誤．
【詳解】解：∵△DAC 和VEBC 均是等邊三角形，
∴ AC = DC ，CE = CB ， DAC = ACD = BCE = 60°，
∴ ACD + DCE = DCE + ECB，
∴ ACE = DCB ，
∴VACE≌VDCB SAS ，故①正確；
∵A、C、B 三點共線， DCA = CBE = 60°，
∴DC∥EB，故②正確；
∵VACE≌VDCB ，
∴ AE = BD ， AEC = DBC ，
∵ DCE =180° - 60° - 60° = 60°，
∴ MCE = NCB = 60°，
∵CE = CB ，
∴VCME≌VCNB，
∴CM = CN ，ME = BN ，故④正確；
∵ME = BN ， AE = BD ，
∴ AE - ME = DB - BN ，
∴ AM = DN ，
∵ AC > AM ，
∴ AC > DN ，故③錯誤；
∵CM = CN ， MCN = 60°，
∴VCMN 為等邊三角形，
∴ CMN = 60°，故⑤錯誤；
綜上分析可知，正確的有 3 個．
故選：C．
2．如圖，過邊長為3的等邊VABC 的邊 AB 上一點 P ，作PE ^ AC 于E ，Q為BC 延長線上一點，且
CQ = PA，連接 PQ交 AC 于點D，則DE 的長為（ ）
3 5
A．1 B． C． 2 D．
2 2
【答案】B
【分析】作PF P BC 交 AC 于點F ，利用等邊三角形的性質(zhì)和三線合一可得VAPF 是等邊三角形、PE是
VAPF 的中線，則有 AE = EF
1
= AF 、PA = PF = AF = CQ，根據(jù) AFP = ACB = 60°可得
2
PFD = QCD =120° FDP CDQ PFD QCD DF DC AC - AF 3- AF，又 = 可判定△ ≌△ ，則 = = = ，代入
2 2
DE = DF + EF 即可求解．
【詳解】作PF P BC 交 AC 于點F ，
QVABC 是等邊三角形，
\ A = ABC = ACB = 60°，
QPF∥BC ，
\ APF = ABC = 60° = ACB = AFP ，
\△APF 是等邊三角形，
\PA = PF = AF ，
又QPE ^ AC ，
\PE 是VAPF 的中線，
\ AE = EF 1= AF
2 ，
QCQ = PA，
\PF = PA = CQ，
Q AFP = ACB = 60°，
\ PFD = QCD =120°，
Q在VPFD和VQCD中，
ì FDP = CDQ

í PFD = QCD

PF = QC
\VPFD≌VQCD AAS ，
\DF = DC AC - AF 3- AF= = ，
2 2
3- AF AF 3
\DE = DF + EF = + = ．
2 2 2
故選：B．
【點睛】本題考查的知識點是等邊三角形的性質(zhì)與判定、三線合一、全等三角形的性質(zhì)與判定，解題關(guān)鍵
是利用輔助線構(gòu)造等邊三角形，利用等邊三角形的性質(zhì)判定全等后求DE 的長．
3．如圖，點 P、M、N 分別在等邊三角形 ABC 的各邊上，且MP ^ AB 于點 P，MN ^ BC 于點 M， NP ^ AC
于點 N，若 AB =16cm，則CM 的長為 ．
16
【答案】 cm
3
【分析】由VABC 是等邊三角形，MP ^ AB ，MN ^ BC ， PN ^ AC 可證明VPMN 是等邊三角形，得出
PN = PM = MN ，進而證明△PBM≌△MCN≌△NAP ，得出PA = BM = CN ，PB = MC = AN ，再由
MPB = 90° ， PMB
16
= 30°，得出 BM = 2PB，結(jié)合 AB =16，可求出 PB = MC = 3 ．本題考查了全等三角形
的判定與性質(zhì)，掌握全等三角形的判定方法是解決問題的關(guān)鍵．
【詳解】解：∵VABC 是等邊三角形，
\ A = B = C = 60°，
QMP ^ AB，MN ^ BC ， PN ^ AC ，
\ MPB = NMC = PNA = 90°，
\ PMB = MNC = APN = 30°，
\ NPM = PMN = MNP = 60° ，
\VPMN 是等邊三角形，
\ PN = PM = MN ，
\VPBM≌VMCN≌VNAP(AAS)，
\PA = BM = CN ，PB = MC = AN ，
\BM + PB = AB =16cm ，
Q MPB = 90°， PMB = 30°，
\ BM = 2PB ，
\2PB + PB =16cm ，
PB 16\ = cm ，
3
\MC 16= cm，
3
16
故答案為： cm
3
4．如圖，在等邊VABC中，D 為 BC 延長線上一點，E 為 上一點，過點 B 作 BF P AC ，連接 DF ， EF ，
且 DFE = 60°．若BF = 5 ，BD = 5，則BE的長度是 ．
【答案】5 - 5 / - 5 + 5
【分析】本題考查等邊三角形的判定和性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，在 的延長線上截取BG = BF ，
連接FG ，證明VBFG為等邊三角形，然后推導(dǎo)VDFB≌VEFG ，即可解題．
【詳解】解：在 的延長線上截取BG = BF ，連接FG ，
∵VABC是等邊三角形，
∴ A = ACB = 60°，
∵BF P AC ，
∴ DBF = ACB = 60°， GBF = A = 60°，
又∵BG = BF ，
∴VBFG為等邊三角形，
∴ GFB = G = 60° = DBF ，BF = FG = 5 ，
又∵ DFE = 60° = DBF ，
∴ DFB = EFG ，
∴VDFB≌VEFG ，
∴EG = DB = 5，
∴BE = GE - DG = 5 - 5 ．
5．以VABC 的邊 AB、AC 為邊向外分別作等邊△ABD 、等邊△ACE，連接DC、BE ，DC 與 BE 交于 O，
連接 AO ．
(1)求證：BE = CD；
(2)求證：OA平分 DOE ；
(3)請問線段DO 與線段BO、AO之間有什么數(shù)量關(guān)系？請說明理由．
【答案】(1)見解析
(2)見解析
(3)OD = OA + OB ，理由見解析
【分析】本題考查了等邊三角形的判定及性質(zhì)、全等三角形的判定及性質(zhì)、角平分線的判定、三角形內(nèi)角
和綜合：
（1）根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)得 AB = AD ， AE = AC BAD = BDA = DBA = CAE = 60°，再利用SAS
證得△ABE≌△ADC ，進而可求證結(jié)論；
（2）過點A 分別作 AM ^ BE ， AN ^ DC ，由（1）知：△ABE≌△ADC ， SVABE = SVADC ，BE = DC ，進而
可證 AM = AN ，再根據(jù)角平分線的判定即可求證結(jié)論；
（3）在OD 上截取一點G ，使得OG = OA，由（1）知：△ABE≌△ADC ，可得 ADC = ABE ，進而可得
BDA = 60°，則可得 BOD = 60°，由（2）知： AOD = BOD = AOE = 60°，則可得VAOG 是等邊三
角形，再利用SAS可得VDAG≌VBAO ，進而可得DG = BO ，根據(jù)OD = OG + DG = OA + OB即可求解；
熟練掌握相關(guān)的判定及性質(zhì)，添加適當?shù)妮o助線是解題的關(guān)鍵．
【詳解】（1）證明：QVABD和△ACE都是等邊三角形，
\ AB = AD， AE = AC ， BAD = BDA = DBA = CAE = 60°，
\ BAC + CAE = BAC + BAD ，
\ BAE = DAC ，
在VABE 和△ADC 中，
ì AB = AD

í BAE = DAC ，

AE = AC
\VABE≌VADC SAS ，
\BE = DC ．
（2）證明：過點A 分別作 AM ^ BE ， AN ^ DC ，如圖：
由（1）知：△ABE≌△ADC ，
\SVABE = SVADC ，BE = DC ，
1
\ × BE 1× AM = × DC × AN ，
2 2
\ AM = AN ，
\點A 在 DOE 的平分線上，即OA平分 DOE ．
（3）OD = OA + OB ，理由如下：
在OD 上截取一點G ，使得OG = OA，如圖：
由（1）知：△ABE≌△ADC ，
\ ADC = ABE ，
\ ADC + BDO = ABE + BDO = BDA = 60° ，
\ BOD =180° - BDO - DBA - ABE =180° - DBA - ADC + BDO =180° - 60° - 60° = 60°，
由（2）知： AOD = BOD = AOE = 60°，
QOG = OA，
\△AOG 是等邊三角形，
\ AG = AO, GAO = 60°，
Q DAB = GAO = 60°，
\ DAG = BAO，
又Q AD = AB, AG = AO，
\VDAG≌VBAO SAS ，
\DG = BO，
\OD = OG + DG = OA + OB ．
6．如圖，點 O 是等邊VABC 內(nèi)一點，D 是VABC 外的一點， AOB =110°， BOC = a ，VBOC≌VADC ，
連接OD ．
(1)求證：VOCD是等邊三角形；
(2)當a =150°時，試判斷△AOD的形狀，并說明理由；
(3)探究：當a 為多少度時，△AOD是等腰三角形．
【答案】(1)見解析
(2)△AOD是直角三角形，理由見解析
(3)當a =125°或140°或110°時，△AOD是等腰三角形
【分析】本題考查了全等三角形的性質(zhì)，等邊三角形的判定與性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)與判定等知識．
（1）根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到OC = DC ， BCO = ACD，再證明 OCD = 60°，即可證明VOCD是等
邊三角形；
（2）先求出 ODC = 60°，根據(jù)全等的性質(zhì)得到 ADC =150°，即可求出 ADO = 90°，從而得到△AOD是
直角三角形；
（3）分別表示出 AOD =190° -a ， ADO = a - 60°， OAD =180° - AOD - ADO = 50°，分①
AO = AD，②DO = AD ，③ AO = DO 三種情況討論即可求解．
【詳解】（1）解：∵VBOC≌VADC ，
∴OC = DC ， BCO = ACD，
∵VABC 是等邊三角形，
∴ ACB = 60°，
∴ OCD = ACD + ACO = BCO + ACO = 60°，
∴VOCD是等邊三角形；
（2）解：△AOD是直角三角形．
理由如下：
∵VOCD是等邊三角形，
∴ ODC = 60°，
∵VBOC≌VADC ， a =150°，
∴ ADC = BOC = a = 150°，
∴ ADO = ADC - ODC =150° - 60° = 90°，
∴△AOD是直角三角形；
（3）解：∵VOCD是等邊三角形，
∴ COD = ODC = 60°，
∵ AOB =110°， ADC = BOC = a ，
∴ AOD = 360° - AOB - BOC - COD = 360° -110° -a - 60° = 190° -a ，
ADO = ADC - ODC = a - 60°，
∴ OAD =180° - AOD - ADO =180° - 190° -a - a - 60° = 50°．
①當 AO = AD時，則 AOD = ADO ，即190° -a = a - 60°，∴a =125°；
②當DO = AD 時，則 AOD = OAD ，即190° -a = 50°，∴a =140°；
③當 AO = DO 時，則 ADO = OAD ，即a - 60° = 50°，∴a =110°．
綜上所述：當a =125°或140°或110°時，△AOD是等腰三角形．
【必考題型六 格點中的等腰三角形】
1．如圖，在3 3的方格中，A，B 兩點都在小方格的格點上，若點 C 也在格點上，且VABC 是等腰三角形，
那么點 C 的個數(shù)最多是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【分析】本題考查了等腰三角形的判定，分 為腰和 為底兩種情況考慮，畫出圖形，即可找出點的個數(shù)，
解題的關(guān)鍵是畫出圖形，利用數(shù)形結(jié)合解決問題．
【詳解】解：如圖，當 為腰時，點 C 的個數(shù)有 2 個，
當 為底時，點 C 的個數(shù)有 1 個，
∴點 C 的個數(shù)有 3 個，
故選：C．
2．如圖，點 A，B 是 4×4 網(wǎng)格中的格點，網(wǎng)格中的每個小正方形的邊長為 1，如果以 A，B，C 為頂點的三
角形是等腰三角形，則滿足條件的所有格點 C 有（ ）個．
A．6 B．7 C．8 D．9
【答案】C
【分析】本題考查了等腰三角形的判定，分三種情況：當BA = BC 時；當 AB = AC 時；當CA = CB 時；即可
解答．
【詳解】解：如圖：
分三種情況：
當BA = BC 時，以點 B 為圓心，以BA長半徑作圓，交正方形網(wǎng)格的格點為C1，C2 ；
當 AB = AC 時，以點A 為圓心，以 AB 長半徑作圓，交正方形網(wǎng)格的格點為C3，C4 ；
當CA = CB 時，作 AB 的垂直平分線，交正方形網(wǎng)格的格點為C5 ，C6 ，C7 ，C8 ；
綜上所述：滿足條件的所有格點C 有 8 個，
故選：C ．
3．如圖，在3 4正方形的網(wǎng)格中，點 A，B 在小方格的頂點上，要在小方格的頂點上確定一點C ，且使VABC
是等腰三角形，則點C 的個數(shù)為
．
【答案】8
【分析】根據(jù)等腰三角形的判定找出符合條件的所有點 C 即可得到答案．
【詳解】解：如圖所示：
點 C 在C1、C2 、C3、C4 位置上時， AC = BC ；
點 C 在C5 、C6 位置時， AB = AC ；
點 C 在C7 、C8 位置上時， AB = BC ，
即滿足條件的點C 的個數(shù)為 8，
故答案為：8．
【點睛】本題考查了等腰三角形的判定，能找出符合條件的所有點是解題關(guān)鍵，注意有兩邊相等的三角形
是等腰三角形．
4．如圖，由 36 個完全相同的小正方形組成的網(wǎng)格中，點 A，B 在格點上，在網(wǎng)格的格點上找到點 C，使VABC
為等腰三角形，這樣的點 C 共有 個．
【答案】10
【分析】首先由勾股定理可求得 AB 的長，然后分別從BA = BC, AB = AC,CA = CB 去分析求解即可求得答案．
【詳解】解：如圖所示：
①若BA = BC ，則符合要求的有：C1,C2 共 2 個點；
②若 AB = AC ，則符合要求的有：C3,C4 共 2 個點；
③若CA = CB ，則符合要求的有：C5 ,C6 ,C7 ,C8 ,C9 ,C10 共 6 個點．
∴這樣的 C 點有 10 個．
故答案為：10．
【點睛】本題考查了等腰三角形的判定，解題關(guān)鍵是分類的數(shù)學(xué)思想．
5．在如圖所示的方格紙中，VABC 是格點三角形，請按以下要求畫格點三角形．
(1)在圖 1 中畫一個△ABD ，使得△ABD 和VABC 全等．
(2)在圖 2 中畫一個等腰VABE ，使得VABE 和VABC 的面積相等．
【答案】(1)見解析
(2)見解析
【分析】本題主要考查全等三角形的判定，同底等高面積相等等知識：
（1）根據(jù)“SSS ”可作△ABD ，使得△ABD 和VABC 全等；
（2）過點 C 作 AB 的平行線，即可作等腰VABE ，同樣，在 AB 的另一側(cè)也可作等腰VABE
【詳解】（1）解：如圖，△ABD 即為所作：
（2）解：如圖，等腰VABE 即為所作
6．在如圖的5 5的正三角形網(wǎng)格中，每個小正三角形的邊長為 1，如圖，VABC 的頂點均在格點上，請按
要求作格點圖形．
(1)在圖（甲）中，在小正三角形頂點上求作點 P，使得△APC 與VABC 全等；
(2)在圖（乙）中，在 AC 右側(cè)的小正三角形頂點上求作點 G（除 E 點外），使VACG 為等腰三角形且
GA = GC ．
【答案】(1)見解析
(2)見解析
【分析】（1）如圖（甲），在CE上取 P ，使CP = AB， 由 AB∥CP，可得 BAC = PCA，證明
VAPC≌VABC SAS ，則點 P 即為所求；
（2）如圖（乙），連接DE ，則DE 是線段 AC 的垂直平分線，取DE 與格點的一個交點為G ，則 AG = CG ，
點G 即為所求．
【詳解】（1）解：如圖（甲），在CE上取 P ，使CP = AB，
由題意知， AB∥CP，
∴ BAC = PCA，
∵ AB = CP， BAC = PCA， AC = CA，
∴VAPC≌VCBA SAS ，
∴點 P 即為所求；
（2）解：如圖（乙），連接DE ，
∵ AE=CE，AD=CD，
∴DE 是線段 AC 的垂直平分線，
取DE 與格點的一個交點為G ，連接 AG，CG ，
∴ AG = CG ，
∴點G 即為所求．
【點睛】本題考查了平行線的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，垂直平分線的判定與性質(zhì)，作等腰三角形
等知識．熟練掌握平行線的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，垂直平分線的判定與性質(zhì)，作等腰三角形是
解題的關(guān)鍵．．
【必考題型七 逆命題和逆定理】
1．定理“等腰三角形的兩個底角相等”的逆定理是（ ）
A．有兩個角不相等的三角形不是等腰三角形 B．不是等腰三角形的兩個角不相等．
C．有兩個底角相等的三角形是等腰三角形 D．有兩個角相等的三角形是等腰三角形．
【答案】D
【分析】本題主要考查了一個定理的逆定理，交換定理的題設(shè)和結(jié)論得到的命題如果正確就是原定理的逆
定理，據(jù)此求解即可．
【詳解】解：定理“等腰三角形的兩個底角相等”的逆定理是“有兩個角相等的三角形是等腰三角形”，
故選 D．
2．“等腰三角形的兩個底角相等”的逆命題是（　　）
A．在同一個三角形中，等邊對等角
B．兩個角互余的三角形是等腰三角形
C．如果一個三角形有兩個角相等，那么這個三角形是等腰三角形
D．如果一個三角形有兩個底角相等，那么這個三角形是等腰三角形
【答案】C
【分析】此題考查命題的逆命題，一個命題的題設(shè)和結(jié)論是另一個命題的結(jié)論和題設(shè)，則該命題是原命題
的逆命題，根據(jù)逆命題的定義直接解答即可．
【詳解】“等腰三角形的兩個底角相等”的逆命題是如果一個三角形有兩個角相等，那么這個三角形是等腰三
角形，
故選：C．
3．命題“如果 x 1，那么 x2 1”的逆命題是 命題．（選填“真”或“假”）
【答案】假
【分析】本題主要考查命題與定理，正確的命題叫真命題，錯誤的命題叫做假命題．注意，判定一個命題
是假命題舉反例．
先根據(jù)逆命題的概念寫出原命題的逆命題，再根據(jù)有理數(shù)的平方、有理數(shù)的大小比較法則判斷即可．
【詳解】解：命題“如果 x 1，那么 x2 1”的逆命題是如果 x2 1，那么 x 1，是假命題，
例如：當 x = -2時， (-2)2 >1，而-2 < 1，
故答案為：假．
4．定理“等腰三角形底邊上的高線與中線互相重合”的逆命題是 命題（填“真”或“假”）．
【答案】真
【分析】本題主要考查了判斷一個三角形逆命題的真假，線段垂直平分線的性質(zhì)與判定，等腰三角形的定
義，先把原命題的結(jié)論和條件互換寫出原命題的逆命題，進而判斷命題的真假即可．
【詳解】解：原命題的逆命題為，一邊上的高線和中線重合的三角形是等腰三角形，該命題是真命題，
根據(jù)題意可知該邊上的高線垂直平分該邊，則高線在的頂點到該邊兩端的距離相等，即此三角形是等腰三
角形，
故答案為：真．
5．小穎同學(xué)要證明命題“角的平分線上的點到這個角的兩邊距離相等”是正確的，她先畫出了如圖所示的圖
形，并寫出了不完整的已知和求證：
已知：如圖， ABP = CBP，點 D 在射線BP上， ，
求證： ．
(1)補全圖形，已知和求證；
(2)按小穎的想法寫出證明過程．
(3)請寫出“角的平分線上的點到這個角的兩邊距離相等”的逆命題，它是真命題嗎？并加以證明．
【答案】(1)見解析
(2)見解析
(3)在一個角的內(nèi)部，到角的兩邊距離相等的點在這個角的平分線上．它是真命題，證明見解析
【分析】（1）根據(jù)角平分線的性質(zhì)直接畫圖，直接填寫已知條件和結(jié)論即可；
（2）通過證明全等三角形得到邊相等即可；
（3）根據(jù)逆命題的定義直接寫出逆命題，然后證明全等三角形，再證明角平分線即可．
【詳解】（1）補全圖形如圖所示．
已知：如圖， ABP = CBP，點 D 在射線BP上，DE ^ BA，DF ^ BC ，垂足分別為 E，F(xiàn)．
求證：DE = DF ．
（2）∵DE ^ BA， DF ^ BC ．
∴ DEB = DFB = 90°．
在VBED和△BFD 中，
ì DEB = DFB

í ABP = CBP

BD = BD
∴VBED≌VBFD(AAS)．
∴DE = DF ．
（3）在一個角的內(nèi)部，到角的兩邊距離相等的點在這個角的平分線上．
它是真命題．
已知：如圖，點 P 為 ABC 內(nèi)一點，PD ^ AB，PE ^ BC ，垂足分別為 D，E，且PD = PE ．
求證：BP平分 ABC ．
證明：∵PD ^ AB，PE ^ BC ，垂足分別為 D，E．
∴ BDP = BEP = 90°．
在Rt△ DBP 和RtVEBP 中，
ìPD = PE
í
BP = BP
∴RtVDBP≌RtVEBP(HL)．
∴ 1 = 2（全等三角形的對應(yīng)角相等）．
∴BP平分 ABC ．
【點睛】此題考查角平分線的性質(zhì)和判定，解題關(guān)鍵是通過全等三角形證明對應(yīng)邊和對應(yīng)角的等量關(guān)系
6．數(shù)學(xué)證明是一個嚴謹?shù)倪^程，例如在證明命題“線段垂直平分線上的點到線段兩端的距離相等”時，我們
進行了分類討論，使證明過程完整且正確．下面是小明同學(xué)根據(jù)題意畫出的圖形，并寫出了不完整的已知
和求證．
已知：如圖，直線 l 為線段 AB 的垂直平分線，點 P 為 l 上一點．
求證：______________________．
請你補全求證，并寫出證明過程．
【答案】PA = PB ，證明過程見解析
【分析】根據(jù)垂直的定義和全等三角形的判定和性質(zhì)定理即可得到結(jié)論．
【詳解】求證：PA = PB ，
證明：如圖，設(shè)直線 l與 AB 的交點為D，
Q直線 l為線段 AB 的垂直平分線，
\PD ^ AB， AD = BD ，
\ ADP = BDP = 90°，
在DAPD 與DBPD 中，
ìAD = BD

í ADP = BDP，

PD = PD
∴VAPD @VBDP （SAS），
\PA = PB．
故答案為：PA = PB ．
【點睛】本題考查了線段垂直平分線的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，熟練掌握全等三角形的判定和性
質(zhì)定理是解題的關(guān)鍵．
【必考題型八 含 30°角的直角三角形】
1．如圖，在VABC 中， ACB = 90°， A = 30°，CE、CD分別是△ACB的角平分線和高線，交 于點
E、D，則 DCE 的值為（ ）
A．15° B． 20° C． 25° D．30°
【答案】A
【分析】本題考查了三角形內(nèi)角和定理，角平分線的性質(zhì)，高的性質(zhì)，根據(jù)三角形內(nèi)角和定理可得
B = 60°，根據(jù)高的性質(zhì)可得 BCD = 30°，根據(jù)角平分線的性質(zhì)可得 BCE = 45°，根據(jù)
DCE = BCE - BCD 即可求解．
【詳解】解：∵VABC中， ACB = 90°， A = 30°，
∴ B = 60°，
∵ 是 ACB 的角平分線， 是高，
BCE 1∴ = ACB = 45°， BCD = 30°，
2
∵ DCE = BCE - BCD = 45° - 30° =15°，
∴ DCE的值為15°，
故選：A ．
2．如圖，已知 AOB = 60°，OC 平分 AOB，點 P 在OC 上，PD ^ OA于點 D，OP = 6，點 E 是射線OB
上的動點，則PE的最小值為（　　）
A．4 B．2 C．5 D．3
【答案】D
【分析】題考查了垂線段最短以及角平分線的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是掌握角平分線的性質(zhì)及垂線段最短的實
際應(yīng)用．過 P 作PH ^ OB ，根據(jù)垂線段最短即可求出PE最小值．
【詳解】解∶∵ AOB = 60°，OC 平分 AOB，
∴ AOC = 30°，
∵PD ^ OA，OP = 6，
∴ PD
1
= OP = 3
2 ，
過 P 作PH ^ OB 于點 H ，
∵PD ^ OA，OC 平分 AOB，
∴PD = PH = 3，
∵點E 是射線OB 上的動點，
∴PE的最小值為 3，
故選：C．
3．如圖，一副三角板拼在一起，O 為 AD 的中點， AB = 4．將VABO 沿 BO 對折至△A BO ，M 為 BC 上的
動點，則 A'M 的最小值為 ．
【答案】 6 - 2 / - 2 + 6
【分析】本題主要考查了圖形的折疊問題，直角三角形的性質(zhì)，等邊三角形的判定和性質(zhì)等知識．由折疊
的性質(zhì)可得 AB = A B = 2, ABO = A BO，可證得VABO 是等邊三角形，從而得到
A BM =135° - 60° - 60° =15°，根據(jù)題意得：當 A M ^ BC 時，A M 最短，過 M 作MH ^ A B 于 H，取 A B
的中點 N，連接MN ，根據(jù)直角三角形的性質(zhì)可得BN = NM = A N = 2, B = NMB =15°， A NM = 30°，
1
從而得到 MH = MN = 2，進而得到 NH = MN 2 - MH 2 = 3 ， A H = A N - NH = 2 - 3，再由勾股定理，2
即可求解．
【詳解】解：由折疊的性質(zhì)得： AB = A B = 2, ABO = A BO，
∵O 為 AD 的中點，
∴OA = OB，
∵ A = 60°，
∴VABO 是等邊三角形，
∴ ABO = A BO = 60°，
∵ ABD = 90°, CBD = 45°，
∴ ABC = ABD + CBD =135°，
∴ A BM =135° - 60° - 60° =15°，
根據(jù)題意得：當 A M ^ BC 時， A M 最短，
過 M 作MH ^ A B 于 H，取 A B的中點 N，連接MN ，如圖，
在Rt△A BM 中，N 是斜邊 A B的中點，
∴BN = NM = A N = 2 ，
∴ B = NMB =15°，
∴ A NM = 30°，
1
∴MH = MN = 2，
2
∴ NH = MN 2 - MH 2 = 3 ，
∴ A H = A N - NH = 2 - 3，
∴ A M = A H 2 + HM 2 = 6 - 2 ．
故答案為： 6 - 2
4．如圖 MAN = 60°，若VABC的頂點 B 在射線 AM 上，且 AB = 2 ，動點C 從點A 出發(fā)，以每秒1個單位沿
射線 AN 運動．
（1）當運動時間 t是 秒時，VABC是直角三角形．
（2）當運動時間 t的取值范圍是 秒時，VABC是鈍角三角形．
【答案】 1或 4 0 < t <1或 t > 4
【分析】本題考查了含30度角的直角三角形的性質(zhì)，三角形的分類；
（1）過 B 作BE ^ AN 于E ，BF ^ AM ， BF 交 AN 于F ，根據(jù)含30度角的直角三角形的性質(zhì)求得 AE, AF
的長即可求解；
（2）根據(jù)（1）的結(jié)論，結(jié)合圖形，即可求解．
【詳解】解：如圖，過 B 作BE ^ AN 于E ，BF ^ AM ， BF 交 AN 于F ，
則 AEB = 90°， ABF = 90°，
Q MAN = 60°，
\ ABE = 30°， AFB = 30°，
Q AB = 2 ，
\ AE 1= AB =1， AF = 2AB = 4，
2
∴當運動時間 t為1或 4時，VABC是直角三角形．
故答案為：1或 4．
（2）由（1）可得 AE =1， AF = 4 ；
\當運動時間 t的取值范圍是0 < t <1或 t > 4秒時，VABC 是鈍角三角形．
故答案為：1< t < 4．
5．如圖，VABC 中，D 是BC 邊的中點，BE ^ AC ，CF ^ AB，垂足分別是點 E，F(xiàn)，連接DE ，DF ．
(1)求證：DE = DF ．
(2)若 A = 75°， BC = 8，連接EF ，求VDEF 的面積．
【答案】(1)見解析
(2) 4
【分析】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)，直角三角形斜邊中線的性質(zhì)，含30°的直角三角形的性質(zhì)等知識，
解題的關(guān)鍵是：
1
（1）利用直角三角形斜邊中線的性質(zhì)可得出DE = DF = BC ，即可得證；
2
（2）利用三角形內(nèi)角和定理、等邊對等角可求出 FDB + EDC =150°，進而求出∴ EDF = 30°，作
EG ^ DF ，垂足為 G，利用含30°的直角三角形的性質(zhì)求出EG = 2 ，然后利用三角形面積公式求解即可．
【詳解】（1）證明：QBE ^ AC,CF ^ AB，點 D 是BC 的中點．
\DE 1= BC 1，DF = BD = BC ，
2 2
\DE = DF ，
\VDEF 為等腰三角形；
（2）解：連接EF ，
∵ A = 75°
∴ ABC + ACB =105°，
1
由（1）知BD = DF = BC ，
2
∴ DBF = BFD ，
∴ BDF =180° - 2 DBF ，
同理 EDC =180° - 2 BCA，
∴ FDB + EDC =180° - 2 ABC +180° - 2 BCA =150°，
∴ EDF =180° -150° = 30°，
作EG ^ DF ，垂足為 G，
∵ BC = 8
∴DE = 4 = DF ，
∴EG = 2 ，
S 1∴ △DEF = 4 2 = 4．2
6．如圖 1，VABC 是等邊三角形，D，E 為 AC 上兩點，且 AD = CE ，延長BC 至點F ，使CF = CD ，連結(jié)
BD, EF ．
(1)如圖 2，當 D，E 兩點重合時，求證：BD = DF ；
(2)如圖 3，延長FE交線段 于點G ．
①求 DGE 的度數(shù)；
②若 AD = 2, AB = 6，求點 C 到EF 的距離．
【答案】(1)見解析
(2)①60° 2 21；②
7
1
【分析】（1）先根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)和等腰三角形的性質(zhì)得到 DBC = ABC = 30°， F = CDF ，再
2
根據(jù)三角形的外角性質(zhì)得到 F = 30° = DBC ，進而利用等角對等邊可證得結(jié)論；
（2）①過 D 作DH ∥BC 交 AB 于 H，證明VADH 是等邊三角形，得到DH = AH = AD = CE ，進而
BH = CD = CF ，再證明VBDH≌VFEC SAS 得到 DBH = EFC ，利用三角形外角性質(zhì)可求解；
②如圖 3，過 F 作FM ^ AC 交 AC 延長線于 M，過 C 作CN ^ EF 于 N，先求得CE = AD = AH = 2，
CF = BH = AB - AH = 4，在Rt△CMF 中，利用含30度角的直角三角形求得CM = 2，MF = 2 3 ，在Rt△EMF
中，利用勾股定理求得EF = 2 7 ，然后利用等面積法求得CN 即可．
【詳解】（1）證明：如圖 2，∵VABC 是等邊三角形，
∴ ABC = ACB = BAC = 60°， AB = BC = AC ，
∵ AD = CD = CF
∴ DBC
1
= ABC = 30°， F = CDF ，
2
∵ ACB = CDF + F = 2 F ，
∴ F = 30° = DBC ，
∴BD = DF ；
（2）解：①,如圖 3，過 D 作DH ∥BC 交 AB 于 H，
∴ ADH = ACB = 60° ， AHD = ABC = 60°，
∴ AHD = ADH = A = 60°，
∴VADH 是等邊三角形， BHD = ECF =120°，
∴DH = AH = AD = CE ，
∴ AB - AH = AC - AD，則BH = CD = CF ，
在△BDH 和VFEC 中，
ìDH = CE

í BHD = ECF ，

BH = CF
∴VBDH≌VFEC SAS ，
∴ DBH = EFC
∴ DGE = GBF + EFC = GBF + DBH = ABC = 60°；
②如圖 3，過 F 作FM ^ AC 交 AC 延長線于 M，過 C 作CN ^ EF 于 N，
∵ AD = 2, AB = 6，
∴CE = AD = AH = 2，
∵VBDH≌VFEC ，
∴CF = BH = AB - AH = 4，
在Rt△CMF 中， CFM = ECF - M = 120° - 90° = 30°，
1
∴CM = CF = 2，
2 MF = CF
2 - CM 2 = 42 - 22 = 2 3 ，
在Rt△EMF 中，EM = CE + CM = 4，
∴EF = EM 2 + MF 2 = 42 + 2 3 2 = 2 7 ，
1 1
∵ SVECF = CE × MF = EF ×CN2 2
CN CE × MF 2 2 3 2 21∴ = = = ，
EF 2 7 7
即點 C 到 EF 2 21的距離為 ．
7
【點睛】本題考查等邊三角形的判定與性質(zhì)、三角形的外角性質(zhì)、等腰三角形的判定與性質(zhì)、全等三角形
的判定與性質(zhì)、含 30 度角的直角三角形的性質(zhì)、勾股定理等知識，熟練掌握相關(guān)知識的聯(lián)系與運用是解答
的關(guān)鍵．
【必考題型九 斜邊的中線等于斜邊的一半】
1．如圖， AD ， BE 均為VABC 的高，且 AB = AC ，連結(jié)DE 交 AB 于點 O，若 C = 28°，則 OEB的度數(shù)
為（ ）
A．62° B．60° C．58° D．56°
【答案】A
【分析】本題考查了垂直平分線性質(zhì)和判定，直角三角形性質(zhì)，等腰三角形性質(zhì)，根據(jù)題意得到 AD 垂直平
1
分線段BC ，得到BD = CD，結(jié)合直角三角形性質(zhì)得到DE = BD = CD = BC ，利用等腰三角形性質(zhì)得到
2
DEC = C = 28°，再根據(jù) OEB = BEC - DEC 求解，即可解題．
【詳解】解：Q AD 為VABC 的高，且 AB = AC ，
\ AD 垂直平分線段BC ，
\ BD = CD，
Q BE 為VABC 的高，即 BEC = 90°，
\DE = BD 1= CD = BC ，
2
Q C = 28°，
\ DEC = C = 28° ，
\ OEB = BEC - DEC = 62° ，
故選：A．
2．如圖，在Rt△ABC 中，BC 的中垂線與BC 交于點 D，與 AC 交于點 E，連接 BE ，F(xiàn) 為 BE 的中點，若
DF = 2，則 AE 的長為（ ）
A．5 B． 2 3 C．4 D．3
【答案】C
【分析】此題考查了直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半，中垂線的性質(zhì)，等角對等邊等性質(zhì)，
首先根據(jù)中垂線的性質(zhì)得到DE ^ BC ，BE = EC ，然后利用直角三角形的性質(zhì)得到BE = 2DF = 4，進而證
明出 A = ABE ，即可得到 AE = BE = 4．
【詳解】∵BC 的中垂線與BC 交于點 D，
∴DE ^ BC ，BE = EC
∵F 為 BE 的中點，
∴BE = 2DF = 4
∵BE = EC
∴ EBC = C
∵ ABC = 90°
∴∠ABE +∠CBE = 90°， A + C = 90°
∴ A = ABE
∴ AE = BE = 4．
故選：C．
3．如圖，在四邊形 ABCD中，O 是CD的中點， AC = AD, CAD = CBD = 90°，若CD = 2AB ，則
DCB = ．
【答案】75° /75 度
【分析】本題考查等腰三角形的判定和性質(zhì)，等邊三角形的判定和性質(zhì)，斜邊上的中線，根據(jù)三線合一，
斜邊上的中線推出VAOB 是等邊三角形，得到 AOB = 60°，進而推出 COB = 90° - 60° = 30°，再根據(jù)等邊
對等角，進行求解即可．
【詳解】解：∵ AC = AD, CAD = 90°，
∴CO = DO = AO, AO ^ CD，
∴ AOC=90°，
∵CD = 2AB ，
∴ AB = CO = AO ，
∵ CBD = 90°，O 是CD的中點，
∴CO = DO = BO，
∴ AB = BO = AO，
∴VAOB 是等邊三角形，
∴ AOB = 60°，
∴ COB = 90° - 60° = 30°，
∵CO = BO，
∴ DCB = OBC
1
= 180° - 30° = 75°．
2
故答案為：75°．
4．如圖，在Rt△ABC 中， ACB = 90°，D為 AB 的中點， B = 30°，點E 在BC 上，且CE = AC ，則 CDE
的大小為 ．
【答案】75°
【分析】本題考查直角三角形斜邊中線的性質(zhì)，含 30 度角的直角三角形，等腰三角形的判定和性質(zhì)等知識，
解題的關(guān)鍵是理解題意，靈活運用所學(xué)知識解決問題．
證明CD = CE ，求出 DCE = 30°，可得結(jié)論．
【詳解】解：Q ACB = 90°，D是 AB 的中點，
\CD = AD = DB ，
\ DCB = B = 30°，
Q AB = 2AC ，
\CA = CD ，
QCA = CE ，
\CD = CE ，
CDE 1\ = CED = (180° - 30°) = 75°
2 ．
故答案為：75°．
5．在VABC 中， AD 是BC 邊上的高，E 、F 分別為 AC 、 BE 邊上的中點，且 BD
1
= AC ．
2
(1)求證：DF ^ BE；
(2)若 DAC = 52°，求 BDF 的度數(shù)．
【答案】(1)詳見解析
(2) 71°
【分析】本題考查了等腰三角形的判定與性質(zhì)，直角三角形斜邊上的中線
（1）連接DE ，根據(jù)垂直定義可得 ADC = 90°，再利用直角三角形斜邊上的中線性質(zhì)可得
DE = CE 1= AC ，從而可得BD = DE，然后利用等腰三角形的三線合一性質(zhì)，即可解答；
2
（2）先利用直角三角形的兩個銳角互余可得 C = 38°，然后利用等腰三角形的性質(zhì)可得 C = EDC = 38°，
從而利用平角定義可得 BDE = 142°，再利用等腰三角形的三線合一性質(zhì)進行計算，即可解答．
【詳解】（1）證明：連接DE ，
Q AD ^ BC ，
\ ADC = 90°，
QDE 是 AC 的中線，
1
\ DE = CE = AC
2 ，
QBD 1= AC ，
2
\BD = DE，
Q點F 是 BE 的中點，
\DF ^ BE ；
（2）解：Q ADC = 90°， DAC = 52°，
\ C = 90° - DAC = 90° - 52° = 38°，
QDE = EC ，
\ C = EDC = 38°，
\ BDE = 180° - EDC = 142°，
QBD = DE ，點F 是 BE 的中點，
BDF 1\ = BDE = 71°
2 ，
\ BDF 的度數(shù)為 71°．
6．如圖，在等邊三角形 ABC 中，D 是 AB 上的一點，E 是CB 延長線上一點，連接CD、DE ，已知
EDB = ACD ．
(1)求證：VDEC 是等腰三角形．
(2)當 BDC = 5 EDB ，EC = 8時，求△EDC 的面積．
【答案】(1)見解析
(2)16
【分析】本題考查了等邊三角形的性質(zhì)，等腰三角形的判定與性質(zhì)，解決本題的關(guān)鍵是掌握等邊三角形的
性質(zhì)，等腰三角形的判定與性質(zhì)．
（1）根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)，即可證明結(jié)論；
（2）設(shè) EDB = a ，則 BDC = 5a ，得 E = DCE = 60° -a ，根據(jù)三角形內(nèi)角和定理可得a =15°，過 D
作DH ^ CE 于 H，根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)即可得DH 的長，進而可得結(jié)論．
【詳解】（1）證明：∵ ABC 是等邊三角形，
∴ ABC = ACB = 60°，
∵ E + EDB = ABC = 60°， ACD + DCB = 60°， EDB = ACD ，
∴ E = DCE ，
∴DE = DC ，
∴VDEC 是等腰三角形；
（2）解：設(shè) EDB = a ，則 BDC = 5a ，
∴ E = DCE = 60° -a ，
∴6a+ 60° -a+ 60° -a=180° ，
∴a =15°，
∴ E = DCE = 45°，
∴ EDC = 90°，
如圖，過 D 作DH ^ CE 于 H，
∵VDEC 是等腰直角三角形，
∴ EDH = E = 45°，
∴EH = HC = DH
1
= EC 1= 8 = 4，
2 2
1 1
∴ SVEDC = EC DH = 8 4 =16．2 2
【必考題型十 直角三角形全等的判定】
1．如圖，在VABC 中，AB =10cm，AC =14cm，邊BC 的垂直平分線DE 交VABC 的外角 CAM 的平分線
于點 D，垂足為 E，DF ^ AC 于點 F，DG ^ AM 于點 G，連接CD．則 AG 的長是（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】A
【分析】本題考查了全等三角形的性質(zhì)和判定，線段的垂直平分線定理，角平分線性質(zhì)等知識點，添加適
當?shù)妮o助線構(gòu)造全等三角形是解此題的關(guān)鍵．
連接BD，證RtVBDG≌RtVCDF ，得出BG = CF ，再證RtVADG≌RtVADF ，得 AG = AF ，然后證
AC = 2AG + AB，即可解決問題．
【詳解】解：如圖，連接BD，
QDE 垂直平分BC ，
\BD = CD ，
Q AD 平分 CAM ，DF ^ AC ，DG ^ AM ，
\DG = DF ，
在Rt△BDG 和Rt△CDF 中
ìDG = DF
íBD ， = CD
\RtVBDG≌RtVCDF
\BG = CF ，
在RtVADG和RtVADF 中，
ìDG = DF
í ，
AD = AD
\RtVADG≌RtVADF ，
\ AG = AF ，
QAC = AF + CF ，BG = AB + AG ，BG = CF ，
\ AC = AF + AB + AG ，
\ AC = 2AG + AB
Q AB =10cm ， AC =14cm，
1
\ AG = AC - AB 1= 14 -10 = 2 cm ．
2 2
故選：A．
2．如圖，在Rt△ABC 中，∠C = 90o ，BP平分 ABC 交 AC 于點 P，PE ^ AB于點E ，若 BC = 8，
AC = 6 ，則△AEP 的周長為（ ）
A．4 B．6 C．8 D．10
【答案】C
【分析】本題主要考查了角平分線的性質(zhì)、全等三角形的判定和性質(zhì)以及勾股定理．熟練掌握以上知識是
解題的關(guān)鍵．由∠C = 90o ，BC = 8， AC = 6 ，可得到 AB =10，由BP平分 ABC ，可得到PC = PE ，進而
得到△PBE ≌△PBC ，則可得BE = BC = 8， AE = 2，進而可得CVAEP = AE + AC ，即可得解．
【詳解】∵Rt△ABC 中，∠C = 90o ， BC = 8， AC = 6 ，
\ AB = BC 2 + AC 2 = 82 + 62 = 10，
∵BP平分 ABC ，∠C = 90o ，PE ^ AB，
∴PE = PC ， PEB = C = 90° ，
又QPB = PB，
\VPBE≌VPBC(HL)，
∴ BE = BC = 8，
\ AE = AB - BE = 10 - 8 = 2 ，
\CVAEP = AE + AP + PE = AE + AP + PC = AE + AC = 2 + 6 = 8．
故選：C．
3．如圖， AE 是 CAM 的角平分線，點 B 在射線 AM 上，DE 是線段BC 的中垂線交 AE 于 E，
EF ^ AM ．若 ACB = 23°, CBE = 21°，則 BEF = ．
【答案】 46° /46 度
【分析】連接CE，過 E 作ER ^ AC 于 R，交CD于 Q，根據(jù)角平分線性質(zhì)和線段垂直平分線的性質(zhì)得出
CE = BE ，ER = EF ，根據(jù)全等求出 RCE = EBF ，求出 EBF = 44°，即可求出答案．
【詳解】解：連接CE，過 E 作ER ^ AC 于 R，交CD于 Q，
∵DE 是線段BC 的中垂線，
∴ EDC = 90°，CE = BE ，
∴ ECB = CBE ，
∵ CBE = 21°，
∴ ECB = 21°，
∴ DEB = CED = 90°- 21°= 69°，
∵ER ^ AC ，ED ^ BC ，
∴ QRC = QDE = 90°，
∴ ACB + CQR = 90°， EQD + QED = 90°，
∵ CQR = EQD，
∴ ACB = QED ，
∵ ACB = 23° ，
∴ QED = 23°，
∵ AE 平分 CAM ，ER ^ AC ， EF ^ AM ，
∴ER = EF ，
在RtVERC 和Rt△EFB 中，
ìCE = BE
í
ER
，
= EF
∴RtVERC≌RtVEFB HL ，
∴ EBF = ACE = ACB + ECD = 23°+ 21°= 44°，
∵ EFB = 90°，
∴ BEF = 90°- EBF = 90°- 44°= 46°，
故答案為： 46°．
【點睛】本題考查了角平分線的性質(zhì)，線段垂直平分線的性質(zhì)，全等三角形的性質(zhì)和判定，三角形的內(nèi)角
和定理等知識點，能綜合運用知識點進行推理和計算是解此題的關(guān)鍵，注意： ① 線段垂直平分線上的點
到線段兩個端點的距離相等， ② 角平分線上的點到這個角的兩邊的距離相等．
4．如圖，在VABC 中， AD ^ BC 于點 D，在 AD 上取點 F，使得BF = AC =10, DF = CD = 6，連接 BF 并延
長交 AC 于點 E，則BE = ．
56
【答案】
5
【分析】此題考查了勾股定理，全等三角形的性質(zhì)和判定等知識，首先根據(jù)勾股定理求出 AD = 8，然后證
明出RtVCDA≌RtVFDB ，得到 CAD = FBD，BD = AD = 8，再證明BE ^ AC ，然后利用等面積法求出
BE 56= 即可．
5
【詳解】解：∵ AD ^ BC ，
∴ CDA = FDB = 90°，
∵ AC =10，CD = 6，
∴ AD = AC 2 - CD2 = 8，
∵ CDA = FDB = 90°，CD = FD， AC = BF ，
∴RtVCDA≌RtVFDB HL ，
∴ CAD = FBD ，BD = AD = 8 ,
∴BC = BD + CD =14，
∵ CAD + C = 90°，
∴ FBD + C = 90°，
∴ BEC = 90°，
∴BE ^ AC ，
∴ S
1 1
VABC = AC × BE = BC × AD，2 2
∴10BE =14 8，
解得BE
56
= ，
5
56
故答案為： ．
5
5．如圖，已知 AD ， AF 分別是兩個鈍角VABC 和VABE 的高，如果 AD = AF ， AC = AE ．
求證：
(1) BD = BF
(2) BC = BE
【答案】(1)見解析
(2)見解析
【分析】本題考查了直角三角形的全等判定與性質(zhì)，屬于簡單題，用HL的特殊方法證明三角形全等是解題
關(guān)鍵．
（1）證明RtVABD≌RtVABF ，即可求證；
（ 2）證明RtVADC≌RtVAFE 得CD = EF ，由（1）得BD = BF ，即可求證．
【詳解】（1）證明：∵ AD ， AF 分別是兩個鈍角VABC 和VABE 的高，
∴ D = F = 90°，
在RtVABD 和RtVABF 中,
ì AB = AB
í
AD
，
= AF
∴RtVABD≌RtVABF HL ，
∴BD = BF ；
（2）證明：在RtVADC 和RtVAFE 中,
ì AC = AE
í
AD
，
= AF
∴RtVADC≌RtVAFE HL ，
∴CD = EF ，
由（1）得BD = BF ，
∴BD - CD = BF - EF ，
即BC = BE ．
6．如圖，在VABC 中， AD 平分 BAC ， C = 90°，DE ^ AB于 E，BD = DF ．
(1)求證：CF = EB．
(2)若 BAD = 20°，求 CDF 的度數(shù)．
【答案】(1)詳見解析
(2) 40°
【分析】本題主要考查了三角形全等的判定和性質(zhì)，直角三角形兩銳角互余，角平分線的定義，角平分線
的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握三角形全等的判定方法，
（1）根據(jù)角平分線的性質(zhì)得出DC = DE ，證明RtVCDF≌RtVEDB HL ，得出CF = EB即可；
（2）根據(jù)角平分線的定義得出 BAC = 2 BAD = 40°，根據(jù)銳角三角形兩銳角互余得出
BDE = 90° - 50° = 40° ，根據(jù)Rt△CDF ≌ Rt△EDB ，得出 CDF 的度數(shù)即可．
【詳解】（1）證明：∵ AD 平分 BAC ， C = 90°，DE ^ AB，
∴DC = DE ，
在Rt△CDF 和RtVEDB中，
ìDF = DB
í
DC
，
= DE
∴RtVCDF≌RtVEDB HL ，
∴CF = EB；
（2）解：∵ AD 平分 BAC ， BAD = 20°，
∴ BAC = 2 BAD = 40°，
∴ B = 50°，
∵DE ^ AB，
∴ DEB = 90°，
∴ BDE = 90° - 50° = 40° ，
由（1）知：Rt△CDF ≌ Rt△EDB ，
∴ CDF = BDE = 40°．
【必考題型十一 勾股定理的證明方法】
1．我國是最早了解勾股定理的國家之一．據(jù)《周髀算經(jīng)》記載，勾股定理的公式與證明是在商代由商高發(fā)
現(xiàn)的，故又稱之為“商高定理”；三國時代的蔣銘祖對《蔣銘祖算經(jīng)》內(nèi)的勾股定理作出了詳細注釋，并給出
了另外一個證明．下面四幅圖中，不能證明勾股定理的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】本題主要考查了勾股定理的證明，完全平方公式的應(yīng)用，根據(jù)面積公式，逐項推理論證判斷即可．
【詳解】解：A．大正方形面積為： c2 ，也可以看做是 4 個直角三角形和一個小正方形組成，則其面積為：
1 ab 4 + b - a 2 = a2 + b2，∴ a2 + b2 = c2，可以證明勾股定理，故本選項不符合題意；2
1 1
B 2 2．梯形的面積為： a + b a + b = a + b
2 2 + ab，也可看作是 2 個直角三角形和一個等腰直角三角形組
1 1 2 1 2 1 2 1
成，則其面積為： ab 2 + c = ab + c ，∴ ab + c =
2 2 2 2 2 a
2 + b2 + ab，可以證明勾股定理，故本選項不
符合題意；
C 2．大正方形的面積為： a + b ，也可看作是 4 個直角三角形和一個小正方形組成，則其面積為：
1 ab 4 + c2 = 2ab + c2，∴ a + b 2 = 2ab + c2，∴ a2 + b2 = c2故本選項不符合題意；2
D．圖形中不涉及直角三角形，故無法證明勾股定理，故本選項符合題意；
故選：D．
2．如圖，在四邊形 ABDE 中， AB∥DE ， AB ^ BD，點C 是邊 上一點， BC = DE = a ，CD = AB = b，
1 1 1
AC = CE = c．下列結(jié)論：①VABC 2≌ VCDE 2；② ACE = 90°；③ a + b - c = 2 ab ；④該圖可以驗
2 2 2
證勾股定理．其中正確的結(jié)論個數(shù)是（ ）
A．4 B．3 C．2 D．1
【答案】A
【分析】本題考查了全等三角形的判定及性質(zhì)的運用，勾股定理的證明；證明△ABC≌△CDE(SAS) ，由全等
三角形的性質(zhì)可得出 BAC = DCE ， ACB = E ．再由圖形的面積逐項分析判斷即可求解．
【詳解】解：Q AB∥DE ， AB ^ BD，
\DE ^ BD，
\ B = D = 90°．
在VABC 和VCDE中，
ìAB = CD

í B = D = 90°，

BC = DE
\△ABC≌△CDE(SAS)，
\ BAC = DCE， ACB = E ．
Q BAC + ACB = 90°，
∴ DCE + ACB = 90°．
Q DCE + ACB + ACE =180°，
\ ACE = 90°，
故①②正確；
Q梯形 ABDE 的面積-直角三角形 ACE 的面積=兩個直角三角形的面積，
\ 1 (a b)2 1+ - c2 = 2 1 ab，
2 2 2
\a2 + b2 = c2 ， (a + b)2 c2 ，
故③④正確
故選：A．
3．勾股定理的證明方法多樣，如圖是“水車翼輪法”證明勾股定理：將正方形 ACFG 沿分割線 JK ，LM 分割
成四個全等四邊形，再將這四個四邊形和正方形 ABED 拼成大正方形BCHI ．若 AB = 2.BC = 29 ，則 AL
的長為 ．
3
【答案】
2
【分析】本題考查了勾股定理的證明，正確得出 AG - AL = OP + ON 是解題的關(guān)鍵．
【詳解】解：如圖，
在直角VABC 中，由勾股定理得，
2
AC = BC 2 - AB2 = 29 - 22 = 5，
\ AG = AC = 5，
Q將正方形 ACFG 沿分割線 JK ， LM 分割成四個全等四邊形，再將這四個四邊形和正方形 ABED 拼成大正
方形BCHI ，
\OP = AL NP = GL，
\ AG - AL = OP + ON ，
\5 - AL = AL + 2，
\ AL 3= ．
2
3
故答案為： ．
2
4．清代數(shù)學(xué)家李銳在其著作《勾股算術(shù)細草》中利用三個正方形出入相補的方法證明了勾股定理．如圖，
在Rt△ABC 中， ACB = 90°，AC 和BC 為邊，按如圖所示的方式作正方形 ABKH ，ACIG 和BCFD ，KH
與CI 交于點 J， 與DF 交于點 E，KH 與CI 交于點 J，AB 與DF 交于點 E．若四邊形BCFE 和VHIJ 的面
積和為 5，四邊形 ACJH 和VBDE 的面積和為 12，則 AC + BC 的值為 ．
【答案】 42
【分析】本題考查勾股定理的證明，整體思想的巧妙運用是解題的關(guān)鍵．可證明△AEF 與VHJI 全等，進而
得出VABC 的面積，再將所給的面積全部相加，得出正方形BCFD 和梯形 ACIH 的面積之和，用 AC 和BC
的長將其表示出來即可解決問題．
【詳解】解：由題知，
令BC = a, AC = b ，
∵四邊形 ABKH 和四邊形 ACIG 是正方形，
∴ BAH = CAG = 90°, AB = AH , AC = AG ，
∴ BAH - CAH = CAG - CAH ，
即 BAC = HAG．
在VBAC 和△ HAG中，
ìAB = AH

í BAC = HAG ，

AC = AG
∴VBAC≌VHAG SAS ，
∴HG = BC = a ．
∵ AF = b - a, IH = b - a ，
∴ AF = IH ．
∵ HAG + AHG = AHG + JHI = 90°，
∴ HAG = JHI ，
∴ BAC = JHI ．
在△EAF 和VJHI 中，
ì EFA = I

íAF = IH ，

BAC = JHI
∴VAEF≌VHJI ASA ，
∴ SVAEF = SVHJI ．
又∵四邊形BCFE 和VHIJ 的面積和為 5，
∴ S四邊形BCFE + SVAEF = 5，
即 SVABC = 5，
1
∴ ab = 5，
2
則 ab =10 ．
又∵四邊形BCFE 和VHIJ 的面積和為 5，四邊形 ACJH 和VBDE 的面積和為 12，
將四部分的面積相加得，
S正方形BDFC + S =17梯形ACIH ，
a2 b2 1∴ + - ab =17，
2
則 a2 + b2 = 22．
2
∴ a + b = a2 + b2 + 2ab = 22 + 2 10 = 42，
則 a + b = 42 （舍負），
即 AC + BC 的值為 42 ．
故答案為： 42 ．
5．如圖，對任意符合條件的直角三角形 BAC ，繞其銳角頂點逆時針旋轉(zhuǎn)90°得VDAE，所以 BAE = 90°，
且四邊形 ACFD是一個正方形，它的面積和四邊形 ABFE 面積相等，而四邊形 ABFE 面積等于Rt△BAE 和
Rt△BFE的面積之和，根據(jù)圖形寫出一種證明勾股定理的方法．
【答案】證明見解析．
【分析】利用四邊形 ABFE 面積等于Rt△BAE 和Rt△BFE的面積之和，化簡整理得到勾股定理．
【詳解】解：由圖可得：
S正方形ACFD = S四邊形ABFE = SRtVBAE + SRtVBFE ，
即： S正方形ACFD = SRtVBAE + SRtVBFE ，
b2 1 c2 b + a b - a ∴ = + ，
2 2
整理得： a2 + b2 = c2．
【點睛】此題考查了勾股定理的證明，解題的關(guān)鍵是根據(jù)所給圖形，找到相應(yīng)的等量關(guān)系．
6．勾股定理在幾何問題中有著廣泛地應(yīng)用，大約公元 222 年，中國古代數(shù)學(xué)家趙爽在《周髀算經(jīng)》一書中
介紹了勾股定理的證明方法．具體用用四個完全一樣直角三角形可以拼成圖 1 的大正方形，采用面積法證
明 c2 = a2 + b2 ．
（1）類比證明：伽菲爾德（1881 年任美國第 20 屆總統(tǒng)）于 1876 年 4 月 1 日《新英格蘭教育日志》上證明
勾股定理．在VABC 和VCDE中，CE ^ AC ，易證△ABC ≌△CDE ．
請你用兩種不同的方法表示梯形 ABDE 的面積（圖 2），并證明： c2 = a2 + b2 ；
（2）嘗試畫圖：正方形網(wǎng)格中的每個小正方形邊長都是 1，每個小格的頂點叫做格點，以格點為頂點分別
按下列要求畫三角形．
①畫一個三角形，使它的三邊長都是有理數(shù)；②畫一個三邊長都為無理數(shù)的直角三角形；③畫一個鈍角三
角形，使它的面積為 4．
（3）拓展應(yīng)用：如圖 3，在直線 l 上依次擺放五個正方形．已知斜放兩個正方形的面積分別是 2、3，正放
三個正方形的面積依次是 S1， S2， S3 ，則 S1 + 2S2 + S3 = ______（直接寫出答案）
【答案】（1）見解析；（2）圖見解析；（3）5
【分析】（1）先證△ABC ≌△CDE ，用兩種方法表示梯形面積，得出等式整理得到結(jié)論；
（2）①畫三邊分別為 3，4，5 的三角形即可；②畫三邊長為 5, 5, 10 的三角形；③根據(jù)面積畫鈍角三角
形即可；
（3）先證 S1 + S2 = 2 ，同理 S2 + S3 = 3，整體代入計算即可．
【詳解】解：（1）在VABC 和VCDE中，CE ^ AC ，
\ ACB + DCE = 90° = ACB + BAC ，
\ DCE = BAC ，
Q B = D = 90°, AC = CE，
\VABC≌VCDE ，
\ AB = CD = a,BC = DE = b, AC = CE = c，
S 1\ ABDE = ab 2
1
+ c2 , S 1ABDE = a + b a + b梯形 梯形 ，2 2 2
1 a b a b 1 1\ + + = ab 2 + c2 ，
2 2 2
整理，得： a2 + b2 = c2；
（2）如下圖：① AC = 4,BC = 3, AC = 5 ,VABC 即為所求；
②CD = DF = 22 +12 = 5,EF = 32 +12 = 10 , VDEF 即為所求；
③ S
1
VGHI = 2 4 = 4，VGHI 即為所求；2
（3）解： S1 + 2S2 + S3 = 5，理由如下：
如圖，
∵圖中的四邊形均為正方形，
∴ ABD = 90°，AB = DB， ACB = 90°，
∴ ABC + DBE = 90°， ABC + CAB = 90°，
∴ CAB = DBE ，
在VABC 和VBDE 中，
ì ACB = BED

í CAB = DBE

AB = DB
∴VABC ≌VBDE ，
∴ AC = BE ，
∵DE2 + BE2 = DB2 ，
∴DE2 + AC 2 = DB2，
∵ S1 = AC
2，S2 = DE
2，DB2 = 2，
∴ S1 + S2 = 2 ，
同理， S2 + S3 = 3，
∴ S1 + 2S2 + S3 = S1 + S2 + S2 + S3 = 2 + 3 = 5．
【點睛】本題考查了全等三角形判定與性質(zhì)、勾股定理的證明及勾股定理與無理數(shù)，熟練勾股定理及證明
是解題關(guān)鍵．
【必考題型十二 用勾股定理解三角形】
1．著名畫家畢加索的作品《女孩》中充滿著幾何圖形，她手中所握的帆船模型就是我們熟悉的三角形組合
而成，如圖，在△ABD 中， AB = AD , AE ^ BD ，若BC =10,CD = 6，則 AC 2 - AD2 的值為（ ）
A．16 B．24 C．32 D．60
【答案】D
【分析】本題考查的是等腰三角形的性質(zhì)，勾股定理的應(yīng)用，平方差公式的應(yīng)用，先證明DE = BE ，
AD2 = AE2 + DE2 ， AC 2 = AE2 + CE2 ，再結(jié)合平方差公式可得答案；
【詳解】解：∵ AB = AD , AE ^ BD ，
∴DE = BE ， AD2 = AE2 + DE2 ， AC 2 = AE2 + CE2 ，
∴ AC 2 - AD2 = CE2 - DE2
= CE + DE CE - DE
= CE + BE ×CD
= BC ×CD
∵BC =10,CD = 6，
∴ AC 2 - AD2 =10 6 = 60；
故選 D
2．如圖，在等腰直角三角形 ABC 紙片中， C = 90°，D 是BC 的中點，將VABC 折疊，使點 A 與點 D 重
合，EF 為折痕．若 AB = 2 ，則 的長為（ ）
3 5 3
A B 1． ． C． D．
4 8 8 4
【答案】C
【分析】題目主要考查翻折的性質(zhì)，等腰直角三角形的性質(zhì)及勾股定理解三角形，理解題意，綜合運用這
些知識點是解題關(guān)鍵．
根據(jù)題意得出 AF = DF ，再由等腰直角三角形確定 AC = BC =1，設(shè)CF = x，則 AF = DF =1- x ，利用勾股
定理求解即可．
【詳解】解：∵VDEF 是VAEF 翻折而成，
∴ AF = DF ，
∵VABC是等腰直角三角形， C = 90°， AB = 2 ，
∴ AC = BC =1，
∵D 是BC 的中點，
1
∴CD = ，
2
設(shè)CF = x，則 AF = DF =1- x ，
∴在RtVCDF 中，
2 2 1
2
由勾股定理得，CF + CD = DF 2，即 x2 + 2 2 ÷
= 1- x ，
è
x 3解得： = ，
8
故選：C．
3．如圖，VABC 是等邊三角形，點E 為 AC 上一點，且 CBE =15° ，現(xiàn)將△CBE 沿直線 BE 折疊得到
VDBE，BD與 AC 交于F ，GH 垂直平分 BE ，若EC = 2，則BG = ．
【答案】 2 3
【分析】本題考查了折疊的性質(zhì)，線段垂直平分線的性質(zhì)和勾股定理．連接GE ，則GB = GE ，推出
GBE = GEB = 15°，所以 DGE = 15° +15° = 30°，由折疊推出 D = C = 60°，DE = EC = 2，所以
DEG = 180° - 60° - 30° = 90°，即可求出GE = 2 3 ．
【詳解】解：連接GE ．
∵VABC 是等邊三角形，
∴ C = 60°，
由折疊可知， GBE = CBE =15° ， D = C = 60°，DE = EC = 2，
QGH 垂直平分 BE ，
\GB = GE ，
\ GBE = GEB = 15°，
\ DGE = 15° +15° = 30° ，
\ DEG = 180° - 60° - 30° = 90° ，
\DG = 2DE = 4，
\GE = DG2 - DE2 = 42 - 22 = 2 3 ，
\BG = 2 3 ．
故答案為： 2 3 ．
4．如圖，在VABC 中， ACB = 60°，BC = 3，分別以 ， AC 為邊在VABC 外作等邊△ABD 和等邊
△ACE，連結(jié)BE， ．
（1）若 BEC = 25°，則∠CBE = °；
（2）若 AC = 4，則 的長為 ．
【答案】 35° /35 度 37
【分析】本題考查等邊三角形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理，掌握全等三角形的判定定理
是解題的關(guān)鍵．
（1）根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)得到 ACE = 60°，然后根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理解題即可；
（2）根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)可以證明VDAC≌VBAE ，即可得到CD = BE ，過點 E 作EF ^ BC 于點 F，然
后利用勾股定理計算即可．
【詳解】（1）解：∵△ACE是等邊三角形，
∴ ACE = 60° = ACB ，
∴ BCE =120° ，
又∵ BEC = 25°，
∴ CBE =180° - BCE - BEC =180° -120° - 25° = 35°，
故答案為：35°；
（2）解：∵△ABD 和△ACE是等邊三角形，
∴ AD = AB ， AE = AC = CE = 4， DAB = CAE = 60°，
∴ DAC = BAE ，
∴VDAC≌VBAE ，
∴CD = BE ，
過點 E 作EF ^ BC 于點 F，
∵ BCE =120° ，
∴ CEF = BCE - F =120° - 90° = 30°，
∴CF
1
= CE = 2，
2
∴EF = EC 2 - CF 2 = 42 - 22 = 2 3 ，BF = BC + CF = 3 + 2 = 5，
∴CD = BE = EF 2 + BF 2 = 22 3 + 52 = 37 ．
故答案為： 37 ．
5．如圖，在VABC 中 (AB < BC) ，過點C 作CD∥ AB ，在CD上截取CD = CB ，CB 上截取CE = AB ，連接
DE ，DB．
(1)求證：VABC≌VECD．
(2)若 A = 90°， AB = 3，CD = 5，求BD的長．
【答案】(1)見解析
(2) 2 5
【分析】（1）由CD∥ AB 得 ABC = ECD ，而CD = CB ，CE = AB ，即可根據(jù)全等三角形的判定定理
“SAS ”證明VABC≌VECD；
（2）由 A = 90°，根據(jù)全等三角形的對應(yīng)角相等證明 BED = CED = A = 90°，然后利用勾股定理即可
解決問題．
此題考查全等三角形的判定與性質(zhì)、勾股定理、平行線的性質(zhì)，證明三角形全等是解題的關(guān)鍵．
【詳解】（1）證明：QCD∥AB ，CD = CB ，
\ ABC = ECD，
在VABC 和VECD 中，
ì CB = CD

í ABC = DCE ，

AB = EC
\VABC≌VECD SAS ．
（2）解：Q A = 90°，
\ CED = A = 90°，
\ BED =180° - CED = 90°，
QVABC≌VECD ，
\EC = AB = 3，CD = BC = 5，
\DE = AC = BC 2 - AB2 = 52 - 32 = 4，
\BE = BC - CE = 2，
\BD = DE2 + BE2 = 42 + 22 = 2 5 ．
6．如圖 1，VABC 中，CD ^ AB 于 D，且BD : AD : CD = 2 : 3 : 4 S 2，若 VACD = 24cm ．
(1)求BD和 AC 的長；
(2)如圖 2，動點 M 從點 B 出發(fā)以每秒的速度沿線段BA向點 A 運動，同時動點 N 從點 A 出發(fā)以相同速度沿
線段 AC 向點 C 運動，當其中一點到達終點時整個運動都停止．設(shè)點 M 運動的時間為 t（秒）．
①若VAMN 是以點 A 為頂點的等腰三角形時，求 t 的值；
②若點 E 是邊 AC 上一點，且DE = EC ，問在點 M 運動的過程中，VMDE 能否成為等腰三角形？若能，求
出 t 的值；若不能，請說明理由．
【答案】(1) BD = 4cm， AC = 10cm
49
(2)① t = 5；②9 或 10 或
6
【分析】（1）設(shè) BD = 2x，則 AD = 3x ，CD = 4x ，利用三角形的面積構(gòu)造關(guān)于 x 的方程，可求出 BD、CD、
AD ，然后利用勾股定理求出 AC 即可；
（2）①由VAMN 是以點 A 為頂點的等腰三角形，得出 AM = AN ，則可列出關(guān)于 t 的方程，解方程即可；
②利用等邊對等角、余角的性質(zhì)、等角對等邊可得出DE = AE = CE
1
= AC = 5cm ，由BD > DE可判斷點 M
2
不在BD上，當點 M 在 AD 時，分DE = DM ，ED = EM ，MD = ME 三種情況討論即可．
【詳解】（1）解：∵BD : AD : CD = 2 : 3 : 4，
∴設(shè) BD = 2x，則 AD = 3x ，CD = 4x ，
∵CD ^ AB ， SVACD = 24cm
2
，
1
∴ 3x 4x = 24，
2
解得 x = 2（負值舍去），
∴BD = 4cm， AD = 6cm ，CD = 8cm，
∴ AC = AD2 + CD2 =10cm；
（2）解：由（1）知：①∵VAMN 是以點 A 為頂點的等腰三角形，
∴ AM = AN ，
即10 - t = t ，
∴ t = 5；
②∵DE = CE ，
∴ DCE = CDE ，
又CD ^ AB ，
∴ CDE + ADE = 90°， ACD + D = 90°，
∴ ADE = A，
∴ AE = DE
1
∴DE = AE = CE = AC = 5cm ，
2
當點 M 在BD上，即0 t < 4時，VMDE 為鈍角三角形，但DM < BD < DE ；
當 t = 4時，點 M 運動到點 D，不構(gòu)成三角形
當點 M 在DA上，即 4 < t 10時，VMDE 為等腰三角形，有 3 種可能．
如果DE = DM ，則 t - 4 = 5，
∴ t = 9；
如果ED = EM ，則點 M 運動到點 A，
∴ t =10；
如果MD = ME = t - 4，
過點 E 作EF ^ AB于 F，如圖 3 所示：
∵ED = EA，
∴DF = AF
1
= AD = 3，
2
在RtVAEF 中，EF = 4；
∵BM = t，BF = 7，
∴FM = t - 7
則在Rt△EFM 中， t - 4 2 - t - 7 2 = 42，
t 49∴ = ．
6
49
綜上所述，符合要求的 t 值為 9 或 10 或 ．
6
【點睛】本題考查了等腰三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理，余角的性質(zhì)等知識，明確題意，添加合適輔助
線，合理分類討論是解題的關(guān)鍵．
【必考題型十三 勾股定理中的折疊問題】
1．如圖所示，有一塊直角三角形紙片， C = 90°， AB = 5cm，BC = 3cm，將斜邊 AB 翻折，使點 B 落在
直角邊 AC 的延長線上的點 E 處，折痕為 AD ，則CD的長為（ ）
A．1cm B 4． cm C．1.5cm
5
D cm
3 ． 3
【答案】B
【分析】本題主要考查了勾股定理與折疊．熟練掌握勾股定理解直角三角形，折疊的性質(zhì)，是解題關(guān)鍵．
由勾股定理求出 AC 值，根據(jù)折疊的性質(zhì)可得出CE值，在Rt△CDE 中根據(jù)DE = 3- CD運用勾股定理可求
出CD長．
【詳解】解：∵ C = 90°， AB = 5，BC = 3，
∴ AC = AB2 - BC2 = 4，
由折疊知， AE = AB = 5．
∴CE = AE - AC =1，
∵CD2 + CE2 = DE2 ，DE = BD = 3 - CD ，
∴CD2 +12 = 3- CD 2 ，
CD 4解得： = ，
3
CD 4的長為 cm3 ．
故選：B．
2．如圖，在Rt△ABC 中， B = 90°，AB = 9，BC = 6．將VABC 折疊，使點A 落在BC 的中點D處，折痕
為MN ，則線段DN 的長為（ ）
A 3 13
9
． B． C．5 D．4
2 2
【答案】C
【分析】本題主要考查的是翻折的性質(zhì)、勾股定理的應(yīng)用，熟練掌握勾股定理的運用，從而列出關(guān)于 x 的
方程是解題的關(guān)鍵．
設(shè)BN = x，由翻折的性質(zhì)可知 AN = DN = 9 - x，在RtVBDN 中利用勾股定理列方程求解即可得到答案．
【詳解】解：設(shè)BN = x，
由翻折的性質(zhì)可知 AN = DN = 9 - x，
∵D 是BC 的中點，
BD 1= 6 = 3，
2
在RtVBDN 中，由勾股定理得：DN 2 = DB2 + BN 2
即 (9 - x)2 = x2 + 33，
解得： x = 4，
∴DN = 9 - x = 5，
故選：C．
3．如圖，在直角三角形紙片 ABC 中，∠C = 90o ，AC = 6 ，BC = 8，點D在邊BC 上，以 AD 為折痕，將△ABD
折疊得到VAB D， AB 與邊BC 相交于點E ．若 △DEB 為直角三角形， 則BD的長是
【答案】2 或 5
【分析】本題考查了翻折的性質(zhì)，勾股定理，根據(jù)題意和勾股定理得 AB =10，以 AD 為折痕，將△ABD 折
疊得到VAB D，則 BD = DB ， AB = AB =10，分情況討論問題：當 B DE = 90°時，過點 B 作 B F ^ AF ，
垂足為 F，設(shè)BD = DB = x ，則 AF = 6+x，F(xiàn)B = 8 - x ，在Rt△ AFB 中，由勾股定理得，
AB 2 = AF 2 + FB 2 ，即可得102 = (6 + x)2 + (8 - x)2，進行計算即可得 BD = 2，當 B DE = 90°時，點 C 與點 E
重合，根據(jù) AB =10，AC = 6 得B E = 4，設(shè)BD = DB = x ，則CD = 8 - x，在RtVB DE 中，根據(jù)勾股定理得，
DB 2 = DE2 + B E2，可得 x2 = (8 - x)2 + 42 ，進行計算可得BD = 5，即可得；掌握翻折的性質(zhì)，勾股定理，
能考慮到分情況討論問題是解題的關(guān)鍵．
【詳解】解：在RtVABC 中，∠C = 90o ， AC = 6 ， BC = 8，根據(jù)勾股定理得，
AB = AC 2 +BC 2 = 62 +82 =10，
∵以 AD 為折痕，將△ABD 折疊得到VAB D，
∴BD = DB ， AB = AB =10，
如圖 1 所示，當 B DE = 90°時，過點B 作B F ^ AF ，垂足為 F，
設(shè)BD = DB = x ，則 AF = 6+x，F(xiàn)B = 8 - x ，
在RtVAFB 中，由勾股定理得， AB 2 = AF 2 + FB 2 ，
102 = (6 + x)2 + (8 - x)2，
100 = 36 +12x + x2 + 64 -16x + x2 ，
2x2 - 4x = 0，
x2 - 2x = 0，
x(x - 2) = 0
x1 = 2，x2 =（0 舍去），
∴ BD = 2，
如圖 2 所示，當 B DE = 90°時，點 C 與點 E 重合，
∵ AB =10， AC = 6 ，
∴B E = 4，
設(shè)BD = DB = x ，則CD = 8 - x，
在RtVB DE 中，根據(jù)勾股定理得，DB 2 = DE2 + B E2，
x2 = (8 - x)2 + 42 ，
x2 = 64 -16x + x2 +16，
16x = 80，
x = 5，
∴BD = 5，
綜上，BD的長為 2 或 5，
故答案為：2 或 5．
4．如圖，在Rt△ABC 中， BAC = 90°，AB = 3，AC = 4，點D是邊BC 上一點，將△ABD 沿直線 AD 折疊，
點 B 的對應(yīng)點為點B ，當 B D 平行于VABC 的一條邊時，BD的長為 ．
【答案】1 或 3
【分析】本題主要考查了折疊的性質(zhì)，平行線的性質(zhì)，等腰三角形的判定，勾股定理，三角形面積的計算，
分兩種情況進行討論：當B D∥ AC 時，當B D∥AB時，分別畫出圖形，求出結(jié)果即可．
【詳解】解：當B D∥ AC 時，如圖所示：
根據(jù)折疊可知： B = B ，AB = AB = 3，BD = B D ，
∵B D∥ AC ，
∴∠B =∠CAB ，
∴ CAB = B，
∵ B + C = 90°，
∴ CAB + C = 90°，
∴ AEC = 90°，
∴ AE ^ BC ，
∵在Rt△ABC 中， BAC = 90°， AB = 3， AC = 4，
∴BC = AC 2 + AB2 = 5，
1
∵ SVABC = AB AC
1
= BC AE ，
2 2
AE AB AC 3 4 12∴ = = = ，
BC 5 5
B E 3 12 3∴ = - = ，
5 5
在Rt△ABE 中，根據(jù)勾股定理得：
2
BE = AB2 - AE2 = 32 12 9- ÷ = ，
è 5 5
9
設(shè)BD = B D = x ，則DE = - x，
5
在Rt△DB E 中，根據(jù)勾股定理得：DB 2 = DE2 + B E2，
2 2
即 x2 9 3= - x

÷ +

，
è 5 è 5 ÷
解得： x =1，
∴BD =1；
當B D∥AB時，如圖所示：
根據(jù)折疊可知： ADB = ADB ，
∵B D∥AB，
∴ ADB = BAD ，
∴ ADB = BAD，
∴BD = AB = 3；
綜上分析可知：BD =1或 3．
故答案為：1 或 3．
5．如圖，將長方形紙片 ABCD沿對角線 AC 折疊，使點 B 落在點 E 處， AB = 4， BC = 8
(1)試判斷折疊后重疊部分VAFC 的形狀，并說明理由．
(2)求重疊部分VAFC 的面積．
【答案】(1)VAFC 是等腰三角形．理由見解析
(2)重疊部分VAFC 的面積為 10．
【分析】此題考查了圖形的折疊變換，等腰三角形的判定和勾股定理．
（1）先根據(jù)平行線的性質(zhì)得到 DAC = ACB ，再由圖形折疊的性質(zhì)可得到 ACB = ACE ，繼而可得出
DAC = ACE ，這即可判斷出后重疊部分三角形的形狀；
（2）設(shè) AF 長為 x，則CF = x，F(xiàn)D = 8 - x，在直角三角形CDF 中，利用勾股定理可求出 x，繼而利用三角
形面積公式進行計算求解．
【詳解】（1）解：VAFC 是等腰三角形．理由如下：
∵四邊形 ABCD是長方形，
∴ AD∥BC ，
∴ DAC = ACB ，
由圖形折疊的性質(zhì)可知： ACB = ACE ，
∴ DAC = ACE ．
∴VAFC 是等腰三角形；

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