資源簡介

第 08 講 探索勾股定理（第 2 課時）（1 個知識點(diǎn)+12 大題型+18
道強(qiáng)化訓(xùn)練）
課程標(biāo)準(zhǔn) 學(xué)習(xí)目標(biāo)
①勾股定理的應(yīng)用 1. 掌握勾股定理的應(yīng)用；
知識點(diǎn) 01：勾股定理的應(yīng)用
勾股定理的作用
已知直角三角形的任意兩條邊長，求第三邊；
用于解決帶有平方關(guān)系的證明問題；
3． 與勾股定理有關(guān)的面積計算；
4．勾股定理在實際生活中的應(yīng)用．
【即學(xué)即練 1】
1．如圖所示的是一個長方體筆筒，底面的長、寬分別為8cm 和6cm，高為10cm，將一支長為18cm的簽字
筆放入筆筒內(nèi)，則簽字筆露在筆筒外的的長度最少為（ ）
A．10cm B． 18 -10 2 cm C．8cm D．10 2cm
【答案】B
【分析】長方體內(nèi)斜對角線是最長的，當(dāng)簽字筆在筆筒里對角放置的時候露在外面的長度最小，求出筆筒
的對角線長度即可得簽字筆露在外面的最短長度．
【詳解】解：由題意知：筆筒底面對角長為 62 + 82 = 10 cm ，
∴筆筒的對角線長： 102 +102 =10 2 cm ，
∵簽字筆長18cm，
∴簽字筆露在筆筒外面的最短長度是： 18 -10 2 cm．
故選：B．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了勾股定理的應(yīng)用，熟練掌握勾股定理是解題的關(guān)鍵．
【即學(xué)即練 2】
2．如圖，這是一個供滑板愛好者使用的U 形池，該U 形池可以看作是一個長方體去掉一個“半圓柱”而成，
中間可供滑行部分的截面是弧長為12m 的半圓，其邊緣 AB = CD = 20m（邊緣的寬度忽略不計），點(diǎn)E 在CD
上，CE = 4m.一滑板愛好者從A 點(diǎn)滑到E 點(diǎn)，則他滑行的最短距離為（ ）
A． 28m B． 24m C． 20m D．18m
【答案】C
【分析】滑行的距離最短，即是沿著 AE 的線段滑行，我們可將半圓展開為矩形來研究，展開后，A 、 D、
E 三點(diǎn)構(gòu)成直角三角形，AE 為斜邊，AD 和DE 為直角邊，寫出 AD 和DE 的長，根據(jù)題意，由勾股定理即
可得出 AE 的距離．
【詳解】解：將半圓面展開可得：
AD =12 米，DE = DC - CE = AB - CE =16米，
在Rt△ADE 中，
AE = 122 +162 = 20（米）．
即滑行的最短距離為 20米．
故選：C．
【點(diǎn)睛】本題考查了平面展開 - 最短路徑問題，U 型池的側(cè)面展開圖是一個矩形，此矩形的寬是半圓的弧長，
矩形的長等于 AB = CD = 20m.本題就是把U 型池的側(cè)面展開成矩形，“化曲面為平面”，用勾股定理解決．
題型 01 求梯子滑落高度
1．如圖，將長為10m 的梯子 斜靠在墻上，使其頂端 A 距離地面 6m．若將梯子頂端 A 向上移動 2m，則
梯子底端 B 向左移動（ ）
A．10m B．6m C．4m D．2m
【答案】D
【分析】本題考查了勾股定理的應(yīng)用，根據(jù)題意畫出對應(yīng)幾何圖形，求出B C 即可求解.
【詳解】解：如圖所示：
由題意得： AC = 6 m， AB =10 m，
∴BC = AB2 - AC 2 = 8 m，
∵ A C = 6 + 2 = 8 m， A B =10 m，
∴B C = A B 2 - A C 2 = 6 m，
∴梯子底端 B 向左移動了：BC - B C = 2m
故選：D
2．如圖：5 米長的滑梯 開始在 B 點(diǎn)距墻面水平距離 3 米，當(dāng)向后移動 1 米，A 點(diǎn)也隨著向下滑
一段距離，則下滑的距離 （大于、小于或等于）1 米．
【答案】等于
【分析】本題主要考查勾股定理的應(yīng)用，勾股定理：兩直角邊的平方和等于斜邊的平方．
直接利用勾股定理得出 AO 的長，進(jìn)而求出OA 的長，即可得出答案．
【詳解】解：由題意可得： AB = 5m, BO = 3m ，
故 AO = 52 - 32 = 4(m) ，
∵當(dāng) B 向后移動 1 米，
\OB = 4m ，
\ A O = 52 - 42 = 3(m) ，
則 AA =1m．
故A 下滑的距離為 1 米，
故答案為：等于．
3．如圖，一架 2.5m 長的梯子斜靠在墻上，此時梯足 B 距底端 O 為 0.7m．
(1)求OA的長度．
(2)如果梯子下滑 0.4m，則梯子滑出的距離是否等于 0.4m？請通過計算來說明理由．
【答案】(1)OA的長度為 2.4m
(2)不等于，滑出的距離為 0.8m，理由見解析
【分析】本題考查勾股定理的應(yīng)用：
（1）直接利用勾股定理求出OA的長即可；
（2）勾股定理求出OD 的長，進(jìn)而求出BD的長，進(jìn)行判斷即可．
【詳解】（1）解：由題意，得： AOB = 90°,OB = 0.7m, AB = CD = 2.5m，
由勾股定理，得：OA = AB2 - OB2 = 2.4m；
（2）不等于，理由如下：
由題意，得： AC = 0.4m ，
∴OC = OA - AC = 2m，
在RtVCOD 中，由勾股定理，得：OD = CD2 - OC 2 =1.5m ，
∴BD = OD - OB = 0.8 0.4；
故不等于 0.4m．
題型 02 求旗桿高度
1．某興趣小組要測量學(xué)校旗桿的高度，他們發(fā)現(xiàn)系在旗桿頂端的繩子剛好垂到地面，若緊拉繩子的末端向
后退 6m后發(fā)現(xiàn)繩子末端到地面的距離為 2m，則旗桿的高度是（　　）
A．5m B．10m C．13m D．17m
【答案】B
【分析】本題主要考查了勾股定理的應(yīng)用，解決問題的關(guān)鍵是熟練掌握勾股定理解直角三角形．
【詳解】解：如圖，設(shè)旗桿的高度 AB 為 xm ，則繩子 AC 的長度為 xm ，過點(diǎn) C 作CE ^ AB 于點(diǎn) E，
則EC = BD = 6m，CD = EB = 2m ，
在Rt△AEC 中，
2
根據(jù)勾股定理可得 x - 2 + 62 = x2，
解得 x =10 ，
\旗桿的高度是10m，
故選：B．
2．如圖 1，在綜合實踐小組測量旗桿高度的活動中，同學(xué)們發(fā)現(xiàn)旗桿上的繩子垂到地面還多出了 1 米，如
圖 2，當(dāng)把繩子向外拉直并使繩子底端剛好落到點(diǎn)C 處，經(jīng)過測量此時繩子底端C 到旗桿底部A 的距離是 5
米，則旗桿 AB 的高度為 米
【答案】12
【分析】本題主要考查了勾股定理的實際應(yīng)用，設(shè)旗桿的高度為 x 米，則 AB = x 米，BC = x +1 米，在
Rt△ABC 中，由勾股定理得 x +1 2 = x2 + 52 ，解方程即可得到答案．
【詳解】解：設(shè)旗桿的高度為 x 米，則 AB = x 米，BC = x +1 米，
由題意得： AC = 5米，
在Rt△ABC 中，由勾股定理得 AC 2 = AB2 + BC 2 ，
∴ x +1 2 = x2 + 52 ，
解得 x =12 ，
∴ AB =12米，
∴旗桿的高度為 12 米，
故答案為：12．
3．小龍在放風(fēng)箏時想測量風(fēng)箏離地面的垂直高度，通過如圖勘測，得到如下記錄：①測得水平距離BC 的
長為 12 米；②根據(jù)手中剩余線的長度計算出風(fēng)箏線 AB 的長為 13 米；③小龍牽線放風(fēng)箏的手到地面的距離
CD長為 1.5 米．
(1)求風(fēng)箏到地面的距離線段 AD 的長；
(2)如果小龍想要風(fēng)箏沿CA方向再上升 4 米，BC 和CD的長度不變，則他應(yīng)該再放出_____米線．
【答案】(1)6.5
(2)2
【分析】本題考查勾股定理的應(yīng)用．
（1）先用勾股定理求 AC ，再求 AD 即可；
（2）先求上升 4 米后的 AC 的長度，再用勾股定理求線長，最后求差即可．
【詳解】（1）解：Q AC ^ BC
\ ACB = 90°
Q AB = 13, BC = 12
\ AC = 132 -122 = 5
QCD =1.5
\ AD = AC +CD = 5+1.5 = 6.5；
（2）Q風(fēng)箏沿CA方向再上升 4 米
\ AC = 5+ 4 = 9
\ AB = 92 +122 =15
\他應(yīng)該再放出線長為15 - 13 = 2 （米）．
故答案為：2．
題型 03 求小鳥飛行距離
1．如圖，有兩棵樹 AB 和CD（都與水平地面 AC 垂直），樹 AB 高 8 米，樹梢 D 到樹 AB 的水平距離DE
（DE ^ AB）的長度為 8 米， AE = CD = 2米，一只小鳥從樹梢 D 飛到樹梢 B，則它至少要飛行的長度為
（ ）
A．10 米 B．9 米 C．8 米 D．7 米
【答案】A
【分析】本題考查了勾股定理的應(yīng)用，正確作出輔助線構(gòu)造直角三角形是解題的關(guān)鍵．連接BD，求出BE = 6
米，然后由勾股定理求出BD的長即可．
【詳解】解：如圖，連接BD，
∵DE ^ AB
∴ BED = 90°
∵樹 AB 高 8 米， AE = CD = 2米，
∴BE = 6米，
∵DE = 8米，
∴BD = 62 + 82 =10米，
故選 A．
2．如圖，有兩棵樹，一棵高為 20米，另一棵高為10米，兩樹相距 24米．若一只小鳥從一棵樹的樹梢飛到
另一棵樹的樹梢，那么小鳥至少飛行 米．
【答案】26
【分析】本題考查了勾股定理與實際問題，根據(jù)題意構(gòu)建模型，過點(diǎn) B 作BA ^ CD ，交CD于點(diǎn) A，由題意
可得CD = 20m，BE =10m，DE = 24m ，根據(jù)題意可證明四邊形 ADEB 是矩形， AB = DE = 24m ，
AD = BE =10m，可得 AC =10m，在RtVBAC 中， BAC = 90°，根據(jù)勾股定理得BC = 26m，即可得，掌
握兩點(diǎn)之間線段最短，矩形的判定，勾股定理，根據(jù)題意構(gòu)建出模型是解題的關(guān)鍵．
【詳解】解：如圖所示，過點(diǎn) B 作BA ^ CD ，交CD于點(diǎn) A，
由題意可得CD = 20m，BE =10m，DE = 24m ，
∵ BAD = ADE = DEB = 90°，
∴四邊形 ADEB 是矩形，
∴ AB = DE = 24m， AD = BE =10m，
∴ AC = CD - AD = 20 -10 =10(m)，
在RtVBAC 中， BAC = 90°，根據(jù)勾股定理得，
BC = AC 2 + AB2 = 102 + 242 = 26(m) ，
即一只小鳥從一棵樹的樹梢飛到另一棵樹的樹梢，那么小鳥至少飛行 26m，
故答案為： 26．
3．如圖，有兩棵樹，一棵樹高 AC 是 10 米，另一棵樹高 BD 是 4 米，兩樹相距 8 米（即 CD=8 米），一只
小鳥從一棵樹的樹梢 A 點(diǎn)處飛到另一棵樹的樹梢 B 點(diǎn)處，則小鳥至少要飛行多少米？
【答案】小鳥至少飛行了 10 米
【分析】根據(jù)“兩點(diǎn)之間線段最短”可知：小鳥沿著兩棵樹的樹梢進(jìn)行直線飛行，所行的路程最短，運(yùn)用勾股
定理可將兩點(diǎn)之間的距離求出．
【詳解】解：如圖，大樹高為 AC=10 米，小樹高為 BD=4 米，
過點(diǎn) B 作 BE⊥AC 于 E，則四邊形 EBDC 是矩形，連接 AB，
∴EC=BD=4（米），EB=CD=8（米），
∴AE=AC-EC=10-4=6（米），
在RtVAEB中， AB = AE2 + BE2 =10（米），
答：小鳥至少飛行了 10 米．
【點(diǎn)睛】本題考查勾股定理的應(yīng)用，善于觀察題目的信息是解題的關(guān)鍵．
題型 04 求大樹折斷前的高度
1．《九章算術(shù)》是中國傳統(tǒng)數(shù)學(xué)的重要著作之一，奠定了中國傳統(tǒng)數(shù)學(xué)的基本框架．其中記載了一道“折竹
抵地”問題；今有竹高一丈，末折抵地，去根三尺．問折高者幾何？大意是；“一根竹子，原高一丈（一丈
=10 尺），中部有一處折斷，竹稍恰好抵地，抵地處離竹子底部 3 尺遠(yuǎn)，”問折斷處離地面的高度是多少尺？
（　　）
9 91 109
A．4 B． C． D．
2 20 20
【答案】C
【分析】此題主要考查了勾股定理的應(yīng)用．根據(jù)題意結(jié)合勾股定理得出折斷處離地面的高度即可．
【詳解】解：設(shè)折斷處離地面 x 尺，
根據(jù)題意可得： x2 + 32 = (10 - x)2 ，
91
解得： x = 20 ．
91
答：折斷處離地面 尺．
20
故選：C．
2．如圖，風(fēng)雨過后一棵大樹被折斷，折斷處離地面的高度為0.8m，倒下后樹頂端著地點(diǎn)A 距樹底端 B 的距
離為1.5m，一只蝸牛從樹頂端的A 處出發(fā)，以 20cm / min 的速度沿樹干向上爬行，則它爬到折斷處C 所需的
時間為 min ．
【答案】8.5
【分析】本題考查的是勾股定理的應(yīng)用，根據(jù)勾股定理求出 AC 的長是解答此題的關(guān)鍵．
由勾股定理求出 AC 的長，即可解決問題．
【詳解】解：在Rt△ABC 中， BC = 0.8m， AB =1.5m，
\ AC = AB2 + BC 2 = 1.52 + 0.82 =1.7 m =170cm ，
\170 20 = 8.5(min)，
即爬到折斷處C 所需的時間為8.5min，
故答案為：8.5.
3．如圖，《九章算術(shù)》中記載了一個“折竹抵地”問題：今有竹高一丈，末折抵地，去本三尺，問折者高幾何
意思是：有一根竹子，原高一丈（1 丈=10尺），現(xiàn)被風(fēng)折斷，尖端落在地上，竹尖與竹根的距離三尺，求
折斷處離地面的高度．
【答案】 4.55尺
【分析】本題主要考查了勾股定理的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是熟練掌握勾股定理，在一個直角三角形中，兩條
直角邊分別為 a、b，斜邊為 c，那么 a2 + b2 = c2．設(shè)竹子折斷處離地面 x 尺，則斜邊為 (10 - x)尺，根據(jù)勾股
定理列出方程，解方程即可．
【詳解】解：設(shè)竹子折斷處離地面 x 尺，則斜邊為 (10 - x)尺，
根據(jù)勾股定理得 x2 + 32 = (10 - x)2 ，
解得： x = 4.55
答：折斷處離地面的高度是 4.55尺．
題型 05 解決水杯中筷子問題
1．一支鉛筆斜放在圓柱體的筆筒中，如圖所示，筆筒的內(nèi)部底面直徑是6cm，內(nèi)壁高8cm ．若這支鉛筆在
筆筒外面部分長度是5cm，則這支鉛筆的長度是（ ） cm．
A．10 B．15 C．20 D．25
【答案】B
【分析】首先根據(jù)題意畫出圖形，利用勾股定理計算出 AC 的長度．然后結(jié)合題意即可求解．
此題主要考查了勾股定理的應(yīng)用，正確得出筆筒內(nèi)鉛筆的長度是解決問題的關(guān)鍵．
【詳解】解：如圖：
根據(jù)題意可得圖形： AB = 8cm, BC = 6cm,
在Rt△ABC 中： AC = AB2 + BC 2 =10cm ，
∵這支鉛筆在筆筒外面部分長度是5cm，
∴這支鉛筆的長度是10 + 5 =15 cm ．
故選：B．
2．如圖，已知釣魚桿 AC 的長為 5 米，露在水面上的魚線BC 長為 3 米，某釣魚者想看看魚鉤上的情況，把
魚竿 AC 轉(zhuǎn)動到 AC 的位置，此時露在水面上的魚線B C 長度為 4 米，則BB 的長為 米．
【答案】1
【分析】本題主要考查了勾股定理的應(yīng)用，根據(jù)勾股定理分別求出 AB 和 AB ，再根據(jù) BB = AB - AB 即可得
出答案，根據(jù)勾股定理求出 AB 和 AB 是解題的關(guān)鍵．
【詳解】在Rt△ABC 中， AC = 5m，BC = 3m ，
∴ AB = AC 2 - BC 2 = 52 - 32 = 4 m ，
在Rt△AB C 中， AC = 5m ，B C = 4m，
∴ AB = AC 2 - B C 2 = 52 - 42 = 3 m ，
∴BB = AB - AB = 4 - 3 =1 m ，
故答案為：1．
3．如圖，一個直徑為10cm（即 BC =10cm ）的圓柱形杯子，在杯子底面的正中間點(diǎn) E 處豎直放一根筷子，
筷子露出杯子外1cm（即 FG = 1cm），當(dāng)筷子GE 倒向杯壁時（筷子底端不動），筷子頂端正好觸到杯壁 D，
求筷子GE 的長度．
【答案】13cm
【分析】設(shè)杯子的高度是 xcm，則筷子的高度為 x +1 cm ，根據(jù)勾股定理列出方程，解方程即可得到答案，
根據(jù)勾股定理列出方程是解題的關(guān)鍵．
【詳解】解：設(shè)杯子的高度是 xcm，則筷子的高度為 x +1 cm ，
∵杯子的直徑為10cm，
∴DF = 5cm ，
在RtVDEF 中，由勾股定理得：
x2 + 52 = (x +1)2 ，
解得 x =12 ，
∴筷子EG =12 +1 =13 cm ．
答：筷子GE 的長度為13cm ．
題型 06 解決航海問題
1．兩只蝸牛從同一地點(diǎn)同時出發(fā)，一只以3m / min 的速度向北直行，一只以 4m / min的速度向東直行，1min
后兩只蝸牛相距（ ）
A．5m B．3 2m C． 4 2m D． 4.5m
【答案】A
【分析】本題考查勾股定理，分別計算一分鐘兩只蝸牛行走的路程，再根據(jù)勾股定理計算即可．
【詳解】解：3 1 = 3， 4 1 = 4，
∵一只以3m / min 的速度向北直行，一只以 4m / min的速度向東直行，
∴夾角為直角，
∵32 + 42 = 52，
∴1min 后兩只蝸牛相距5m，
故選：A．
2．如圖，甲、乙兩船同時從港口A 出發(fā)，甲船以30海里 / 時的速度沿北偏東35°方向航行，乙船沿南偏東55°
方向航行， 2小時后，甲船到達(dá)C 島，乙船到達(dá) B 島，若C ， B 兩島相距100海里，乙船的速度是 海
里 / 時．
【答案】40
【分析】根據(jù)已知判定 CAB 為直角，根據(jù)路程公式求得 AC 的長．再根據(jù)勾股定理求得 的長，從而根
據(jù)公式求得其速度．
本題考查了直角三角形的判定及方向角的掌握情況，關(guān)鍵是根據(jù)勾股定理解答．
【詳解】解：如圖，
Q甲的速度是30海里 / 時，時間是 2小時，
\ AC = 60海里．
Q EAC = 35°， FAB = 55°，
\ CAB = 90°．
QBC =100海里，
\ AB = BC 2 - AC 2 = 1002 - 602 = 80海里．
Q乙船也用 2小時，
\乙船的速度是 40 海里 / 時，
故答案為：40．
3．某天，暴風(fēng)雨突然來襲，海上搜救中心接到海面上遇險船只從 A，B 兩地發(fā)出的求救信號．搜救中心及
時派出甲、乙兩艘搜救艇同時從港口 O 出發(fā)，甲搜救艇以 12 海里/時的速度沿北偏東 40°的方向向 A 地出發(fā)，
乙搜救艇以 16 海里/時的速度沿南偏東50°的方向向 B 地出發(fā)，2 小時后，甲、乙兩艘搜救艇同時到達(dá)遇險
船只 A，B 處．求此時甲、乙兩艘搜救艇之間的距離 AB ．
【答案】此時甲、乙兩艘搜救艇之間的距離 AB 是 40 海里
【分析】本題主要考查了方向角的有關(guān)計算，勾股定理的應(yīng)用，先根據(jù)題意得出 1 = 40°， 2 = 50°，
OA = 2 12 = 24（海里），OB = 2 16 = 32（海里），證明VAOB 為直角三角形，再根據(jù)勾股定理求出結(jié)果即
可．
【詳解】解：由題意，得：
1 = 40°， 2 = 50°，OA = 2 12 = 24（海里），OB = 2 16 = 32（海里），
∴ AOB =180° - 1- 2
=180° - 40° - 50°
= 90°，
在RtVAOB 中，由勾股定理得： AB2 = OA2 + OB2 =1600 ，
∴ AB = 1600 = 40（海里），
答：此時甲、乙兩艘搜救艇之間的距離 AB 是 40 海里．
題型 07 求河寬
1．為了培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)，提高學(xué)生發(fā)現(xiàn)問題，分析問題，解決問題的能力．2024 年昭通市某學(xué)校
的 156 班組織了一次課外研學(xué)活動．在研學(xué)活動中，王宇同學(xué)欲控制遙控輪船勻速垂直橫渡一條河，但由
于水流的影響，實際上岸地點(diǎn) F 與欲到達(dá)地點(diǎn) E 相距 10 米，結(jié)果輪船在水中實際航行的路程HF 比河的寬
度EH 多 2 米，則河的寬度EH 是（ ）．
A．8 米 B．12 米 C．16 米 D．24 米
【答案】D
【分析】本題考查了勾股定理的應(yīng)用，根據(jù)題意可知△EFH 為直角三角形，根據(jù)勾股定理列方程就可求出
直角邊EH 的長度．
【詳解】解：根據(jù)題意可知 EF =10 米，
設(shè)EH = x ，則HF = x + 2，
Rt△EFH 中，由勾股定理得FH 2 = EF 2 + EH 2 ，
x + 2 2即 =102 + x2，
解得 x = 24．
∴該河的寬度EH 為 24 米．
故選：D．
2．《九章算術(shù)》是古代數(shù)學(xué)著作，書中記載：“今有開門去閫（讀 kǔn，門檻）一尺，不合二寸，問：門廣
幾何？”題目大意是如圖①、圖②（圖②為圖①的俯視示意圖），今推開雙門，門框上點(diǎn)C 和點(diǎn)D到門檻 AB
的距離DE 為 1 尺（1 尺=10寸），雙門間的縫隙CD為 2 寸，則門寬 AB 的長是 寸．
【答案】101
3．為實現(xiàn)核心素養(yǎng)導(dǎo)向的教學(xué)目標(biāo)，走向綜合性、實踐性的課程教學(xué)變革，某中學(xué)推進(jìn)項目式學(xué)習(xí)，組織
八年級數(shù)學(xué)研學(xué)小組進(jìn)行了“測量隧道長度”的項目式學(xué)習(xí)活動．
項目主題 測量隧道的長度 AB
測量工具 測角儀、測距儀等
測量示意圖
數(shù)據(jù)說明 ACB + ABC = 90°，BC = 750米， AC = 210米
特別說明 測量過程中注意保障人身安全！
請你根據(jù)以上測量結(jié)果，計算隧道的長度 AB ．
【答案】720 米
【分析】該題主要考查了勾股定理的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是讀懂題意．
根據(jù)題意證明VABC 為直角三角形，再根據(jù)勾股定理即可求解．
【詳解】解：Q ACB + ABC = 90°，
\ BAC =180° - ACB + ABC = 90°，
\VABC 為直角三角形．
QBC = 750 米， AC = 210米，
\ AB = BC 2 - AC 2 = 7502 - 2102 = 720（米）．
即隧道的長度 AB 為 720 米．
題型 08 求臺階上地毯長度
1．如圖，要為一段高為 5 米， 長為 13 米的樓梯鋪上紅地毯，則紅地毯的長度至少為（ ）
A．18 米 B．17 米 C．13 米 D．12 米
【答案】B
【分析】本題考查了勾股定理的應(yīng)用，與實際生活相聯(lián)系，熟練掌握勾股定理是解題關(guān)鍵．
當(dāng)?shù)靥轰仢M樓梯時其長度的和應(yīng)該是樓梯的水平寬度與垂直高度的和，根據(jù)勾股定理求得水平寬度，然后
求得地毯的長度即可．
【詳解】解：由勾股定理得：
樓梯的水平寬度= 132 - 52 =12米，
Q地毯鋪滿樓梯是其長度的和應(yīng)該是樓梯的水平寬度與垂直高度的和，
∴地毯的長度至少是12 + 5 = 17米．
故選 B．
2．某樓梯如圖所示，欲在樓梯上鋪設(shè)紅色地毯，已知這種地毯每平方米售價為 30 元，樓梯寬為 2m，則地
毯的長為 m，購買這種地毯至少需要 元．
【答案】 7 420
【分析】根據(jù)勾股定理可求得水平直角邊的長．從而根據(jù)地毯的面積乘以每平方米的價格即可得到其所需
的錢數(shù)．
【詳解】解：已知直角三角形的一條直角邊是 3m，斜邊是 5m，
根據(jù)勾股定理得到：水平的直角邊是 52 - 32 =4(m)，
地毯水平的部分的和是水平邊的長，豎直的部分的和是豎直邊的長，
則購買這種地毯的長是 3+4=7(m)，
則面積是 2×7=14 (m2)，
總錢數(shù)是 14×30=420（元）．
故答案為：7；420．
【點(diǎn)睛】本題考查了勾股定理，生活中的平移現(xiàn)象，正確計算地毯的長度是解決本題的關(guān)鍵．
3．如圖有一個四級臺階，它的每一級的長、寬分別為 18 分米、4 分米．
(1)如果給臺階表面 8 個矩形區(qū)域鋪上定制紅毯，需要定制紅毯的面積為 432 平方分米，那么每一級臺階的
高為多少分米？
(2)A 和 C 是這個臺階上兩個相對的端點(diǎn)，臺階角落點(diǎn) A 處有一只螞蟻，想到臺階頂端點(diǎn) C 處去吃美味的食
物，則螞蟻沿著臺階面從點(diǎn) A 爬行到點(diǎn) C 的最短路程為多少分米？
【答案】(1)每一級臺階的高為 2 分米．
(2)螞蟻沿著臺階面從點(diǎn) A 爬行到點(diǎn) C 的最短路程為 30 分米．
【分析】（1）設(shè)每一級臺階的高為 x 分米，根據(jù)題意列方程即可得到結(jié)論；
（2）先將圖形平面展開，再用勾股定理根據(jù)兩點(diǎn)之間線段最短進(jìn)行解答．
【詳解】（1）解：設(shè)每一級臺階的高為 x 分米，
根據(jù)題意得，18×（4＋x）×4＝432，
解得 x＝2，
答：每一級臺階的高為 2 分米；
（2）四級臺階平面展開圖為長方形，長為 18 分米，寬為（2＋4）×4＝24 分米，
則螞蟻沿臺階面從點(diǎn) A 爬行到 C 點(diǎn)最短路程是此長方形的對角線長．
由勾股定理得：AC＝ 182 + 242 = 30（分米），
答：螞蟻沿著臺階面從點(diǎn) A 爬行到點(diǎn) C 的最短路程為 30 分米．
【點(diǎn)睛】本題考查了平面展開 最短路徑問題，用到臺階的平面展開圖，只要根據(jù)題意判斷出長方形的長和
寬即可解答．
題型 09 判斷汽車是否超速
1．如圖，小蓓要趕上去實踐活動基地的校車，她從點(diǎn) A 知道校車自點(diǎn) B 處沿 x 軸向原點(diǎn) O 方向勻速駛來，
她立即從 A 處搭一輛出租車，去截汽車．若點(diǎn) A 的坐標(biāo)為（2，3），點(diǎn) B 的坐標(biāo)為（8，0），汽車行駛速度
與出租車相同，則小蓓最快截住汽車的坐標(biāo)為（　　）
17
A．（3，0） B．（3.5，0） C．（ ，0） D．（5，0）
4
【答案】C
【分析】在 D 點(diǎn)小蓓與汽車相遇，則小蓓的行進(jìn)路線為 AD，設(shè) OD＝x，在直角△ACD 中，AD 為斜邊，已
知 AC，CD，即可求 AD，且 BC＝OB﹣OC＝8，根據(jù) BD＝AD 的等量關(guān)系可以求得 x，即可求相遇點(diǎn) D 的
坐標(biāo)．
【詳解】解：作出題目中給出的圖形：
已知 AC＝3，OC＝2，OB＝8，
在 D 點(diǎn)小蓓與汽車相遇，設(shè) OD＝x，
則 CD＝x﹣2，
在直角△ACD 中，AD 為斜邊，
則 AD2＝AC2+CD2，
AD＝ 32 + (x - 2)2
∵OD＝x，則 BD＝8﹣x，
存在 8﹣x＝ 32 + (x - 2)2 ，
兩邊平方得到，3x2+4x﹣16＝0
17
解得：x＝ ，
4
17
故 D 點(diǎn)坐標(biāo)（ ，0）
4
故選 C．
【點(diǎn)睛】本題考查了勾股定理在實際生活中的運(yùn)用，考查了根據(jù)題意畫出圖形的能力，本題中找到汽車行
駛速度為摩托車速度的 2 倍的等量關(guān)系，并且根據(jù)其求 D 點(diǎn)坐標(biāo)是解題的關(guān)鍵．
2．如圖，一輛小汽車在一條城市街路上直道行駛，某一時刻剛好行駛到路對面車速檢測儀A 處的正前方30m
的C 處，過了5s 后，測得小汽車與車速檢測儀間的距離為50m，則這輛小汽車的速度是 m / s．
【答案】8
【分析】本題考查了勾股定理的應(yīng)用，在Rt△ACB 中，根據(jù)題意 AC = 30, AB = 50，勾股定理求得BC ，再
根據(jù)路程除以時間等于速度，即可求解．
【詳解】解：依題意，在RtVABC 中， AC = 30m， AB = 50m；
據(jù)勾股定理可得：BC = AB2 - AC 2 = 40 m ，
40
故小汽車的速度為 v = = 8m / s．
5
故答案為：8．
3．學(xué)生安全是近幾年社會關(guān)注的重大問題，其中交通安全隱患主要是超速．如圖，某校門前一條直線公路
建成通車，在該路段MN 限速5m/s ，為了檢測車輛是否超速，在公路MN 旁設(shè)立了觀測點(diǎn) C，從觀點(diǎn) C 測
得一小車從點(diǎn) A 到達(dá)點(diǎn) B 行駛了10s．若測得 CAN = 45°， CBN = 60°，BC =100m ．此車超速了嗎？請
說明理由．
【答案】此車沒有超速，詳見解析
【分析】此題考查了勾股定理，等腰直角三角形的性質(zhì)，含30°角直角三角形的性質(zhì)，
1
過點(diǎn) C 作CH ^ MN 于點(diǎn) H．求出 BCH = 30°，得到BH = BC = 50m，勾股定理求出
2
CH = BC 2 - BH 2 = 50 3m，然后得到 AH = CH = 50 3m， AB = AH - BH = 50 3 -1 m ，然后求出小車
平均速度，然后比較求解即可．
【詳解】解：過點(diǎn) C 作CH ^ MN 于點(diǎn) H．
∵ CBN = 60°
∴ BCH = 30°
BH 1∴ = BC = 50m，
2
∴CH = BC 2 - BH 2 = 50 3m
∵ CAN = 45°
∴ ACH = 45°
∴VACH 是等腰直角三角形
∴ AH = CH = 50 3m
∴ AB = AH - BH = 50 3 -1 m
AB 50 3 -1 ∴小車平均速度= = = 5 3 -1 m/s
10 10
而5 3 -1 < 5
∴此車沒有超速．
題型 10 判斷是否受臺風(fēng)影響
1．如圖，鐵路MN 和公路 PQ在點(diǎn)O處交會，公路 PQ上點(diǎn)A 距離點(diǎn)O是 270m，與MN 這條鐵路的距離是
200m．如果火車行駛時，周圍 250m 以內(nèi)會受到噪音的影響，那么火車在鐵路MN 上沿ON 方向以72km / h
的速度行駛時，點(diǎn)A 處受噪音影響的時間是（ ）
A．15 秒 B．13.5 秒 C．12.5 秒 D．10 秒
【答案】A
【分析】過點(diǎn) A 作 AC ^ ON ，設(shè)在點(diǎn) B 處開始受噪音影響，在點(diǎn) D 處開始不受噪音影響，則
AB = AD = 250m ，BD = 2BC ，根據(jù)勾股定理求出求出BC 的長，進(jìn)而得到BD的長，即可得出居民樓受噪
音影響的時間．
【詳解】解：如圖：過點(diǎn) A 作 AC ^ ON ，設(shè)在點(diǎn) B 處開始受噪音影響，在點(diǎn) D 處開始不受噪音影響，則
AB = AD = 250m ，BD = 2BC ，
∵公路 PQ上點(diǎn)A 距離點(diǎn)O是 270m，與MN 這條鐵路的距離是 200m，
∴ AC = 200m ，
∵ AB = AD = 250m ，
∴由勾股定理得：BC = AB2 - AC 2 =150m，CD = AD2 - AC 2 =150m，
∴BD = BC + CD = 300m ，
∵ 72km/h = 20m/s ，
∴A 處受噪音影響的時間為：300 20 =15s ．
故選：A
【點(diǎn)睛】本題主要考查勾股定理的應(yīng)用，根據(jù)題意構(gòu)建直角三角形是解題的關(guān)鍵．
2．若有一列長為 460m的火車，沿鐵路AB以50m / min 的速度從點(diǎn)A行駛到點(diǎn)B，點(diǎn)C為一所學(xué)校，AC = 300m，
BC = 400m， AB = 500m，已知距離火車 250m 以內(nèi)會受到噪音的影響．
（1）學(xué)校 C 到鐵路 AB 的距離是 m．
（2）火車在 AB 路段行駛時，學(xué)校 C 受到火車噪音影響的時間是 min ．
（3）如果火車在下課時間穿過該路段，并確保學(xué)校受到火車噪音影響的時間控制在 10 分鐘以內(nèi)
（ t 10min），那么其行駛速度至少應(yīng)增加到 m / min．
【答案】 240 12 60
【分析】（1）利用勾股定理的逆定理證明VABC 為直角三角形，再通過直角三角形面積的兩種表示方法求
解即可；
（2）利用勾股定理求出DE, DF 長度，繼而得出EF 長，再利用時間等于路程除以速度求解即可；
（3）用EF 長加上火車長，除以 10 分鐘即可求解．
【詳解】（1）過點(diǎn) C 作CD ^ AB ，垂足為 D，如圖，
∵ AC = 300m，BC = 400m， AB = 500m，
∴ AB2 = AC 2 + BC 2 ，
∴VABC 是直角三角形，
S 1∴ VABC = AC × BC
1
= AB ×CD ，即300 400 = 500CD，
2 2
解得CD = 240m，
故答案為：240；
（2）如圖，
當(dāng)CE = CF = 250m 時，正好影響學(xué)校，
∴ED = CE2 - CD2 = 2502 - 2402 = 70m = FD ，
∴EF =140m，
∵有一列長為 460m的火車，沿鐵路 AB 以50m / min 的速度從點(diǎn) A 行駛到點(diǎn) B，
∴ 140 + 460 50 =12min ，
故答案為：12；
（3）如果火車在下課時間穿過該路段，并確保學(xué)校受到火車噪音影響的時間控制在 10 分鐘以內(nèi)
（ t 10min），
∴ 140 + 460 10 = 60m / min ，
∴其行駛速度至少應(yīng)增加到60m / min ．
【點(diǎn)睛】本題考查了勾股定理及其逆定理，有理數(shù)混合運(yùn)算的應(yīng)用，準(zhǔn)確理解題意是解題的關(guān)鍵．
3．某市夏季經(jīng)常受臺風(fēng)天氣影響，臺風(fēng)是一種自然災(zāi)害，它以臺風(fēng)中心為圓心在周圍上千米的范圍內(nèi)形成
極端氣候，有極強(qiáng)的破壞力．如圖，有一臺風(fēng)中心沿東西方向 AB 由點(diǎn) A 行駛向點(diǎn) B，已知點(diǎn) C 為一海港，
當(dāng) AC ^ BC 時，A 點(diǎn)到 B，C 兩點(diǎn)的距離分別為500km和300km，以臺風(fēng)中心為圓心周圍 250km以內(nèi)為受
影響區(qū)域．
(1)求BC ；
(2)海港 C 受臺風(fēng)影響嗎？為什么？
(3)若臺風(fēng)的速度為35km / h，則臺風(fēng)影響該海港持續(xù)的時間有多長？
【答案】(1) 400km
(2)海港 C 受臺風(fēng)影響，理由見解析；
(3)4 小時
【分析】本題考查的是勾股定理在實際生活中的運(yùn)用，解答此類題目的關(guān)鍵是構(gòu)造出直角三角形，再利用
勾股定理解答．
（1）依據(jù)三角形中三邊的關(guān)系確定 ACB 的度數(shù)；
（2）利用三角形面積得出CD的長，進(jìn)而得出海港 C 是否受臺風(fēng)影響；
（3）利用勾股定理得出ED以及EF 的長，進(jìn)而得出臺風(fēng)影響該海港持續(xù)的時間．
【詳解】（1）解：Q AC ^ BC ，
\ ACB = 90°，
Q AB = 500km ， AC = 300km，
\BC = AB2 - AC 2 = 5002 - 3002 = 400 km ；
（2）解：海港 C 受臺風(fēng)影響，理由如下：
過點(diǎn) C 作CD ^ AB ，
Q 1 AC 1 BC = CD AB，
2 2
\300 400 = 500 CD ，
\CD = 240 km ，
Q以臺風(fēng)中心為圓心周圍 250km以內(nèi)為受影響區(qū)域，
\海港 C 受臺風(fēng)影響；
（3）解：當(dāng)EC = 250km，F(xiàn)C = 250km時，正好影響 C 港口，
QED = EC 2 - CD2 = 70 km ，F(xiàn)D = FC 2 - CD2 = 70 km ，
\ EF = 140km，
Q臺風(fēng)的速度為35km / h，
\140 35 = 4小時，
答：海港 C 受臺風(fēng)影響的時間會持續(xù) 4 小時．
題型 11 選址使兩地距離相等
1．如圖，高速公路上有A 、B 兩點(diǎn)相距10km ，C 、D為兩村莊，已知DA = 4km，CB = 6km．DA ^ AB于
A ，CB ^ AB于 B ，現(xiàn)要在 AB 上建一個服務(wù)站E ，使得C 、D兩村莊到E 站的距離相等，則EA的長是
（ ） km．
A．4 B．5 C．6 D． 20
【答案】C
【分析】本題考查了勾股定理的應(yīng)用，熟練掌握勾股定理是本題的關(guān)鍵．
根據(jù)題意設(shè)出 BE 的長為 xkm ，再由勾股定理列出方程求解即可．
【詳解】解：設(shè)BE = x ，則 AE = 10 - x km，
由勾股定理得：在RtVADE 中，DE2 = AD2 + AE2 = 42 + (10 - x)2 ，
在RtVBCE 中，CE2 = BC 2 + BE2 = 62 + x2 ，
由題意可知：DE = CE ，
所以： 62 + x2 = 42 + (10 - x)2 ，
解得： x = 4km．
所以，EB的長是 4km．
所以，EA =10 - 4 = 6 km ．
故選：C．
2．如圖，在筆直的鐵路上 A，B 兩點(diǎn)相距 20km，C、D 為兩村莊，DA = 8km ，CB =14km ，DA ^ AB于點(diǎn)
A，CB ^ AB于 B，現(xiàn)要在 AB 上建一個中轉(zhuǎn)站 E，使得 C、D 兩村到 E 站的距離相等，求 AE = km．
13 3 133【答案】13.3 / /
10 10
【分析】設(shè) AE = xkm，即可得到EB = (20 - x)km ，結(jié)合DA ^ AB于點(diǎn) A，CB ^ AB于 B 根據(jù)勾股定理列式
求解即可得到答案；
【詳解】解：設(shè) AE = xkm，則EB = (20 - x)km ，
∵DA ^ AB，CB ^ AB，DA = 8km ，CB =14km ，
∴DE2 = x2 + 82 = x2 + 64，DE2 = (20 - x)2 +142 = x2 - 40x + 596，
∵C、D 兩村到 E 站的距離相等，
∴ x2 - 40x + 596 = x2 + 64，解得： x = 13.3，
故答案為：13.3；
【點(diǎn)睛】本題考查勾股定理的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是根據(jù)相等列等式求解．
3．如圖，開州大道上A ， B 兩點(diǎn)相距14km，C ，D為兩商場，DA ^ AB于A ，CB ^ AB于 B ．已知
DA = 8km ，CB = 6km ．現(xiàn)在要在公路 AB 上建一個土特產(chǎn)產(chǎn)品收購站E ，使得C ，D兩商場到E 站的距離
相等，
(1)求E 站應(yīng)建在離A 點(diǎn)多少 km處？
(2)若某人從商場D以5km / h的速度勻速步行到收購站E ，需要多少小時？
【答案】(1) E 站應(yīng)建在離A 站6km處
(2)需要 2 小時
【分析】本題考查了勾股定理的應(yīng)用，利用勾股定理正確建立方程是解題關(guān)鍵．
（1）先根據(jù)垂直的定義可得 A = B = 90°，再根據(jù)勾股定理可得 AE2 + AD2 = DE2 ，BE2 + BC 2 = CE2 ，
從而可得 AE2 + AD2 = BE2 + BC 2 ，設(shè) AE = xkm，則BE = 14 - x km，據(jù)此建立方程，解方程即可得；
（2）由勾股定理求出DE ，用路程除以速度即可得出時間．
【詳解】（1）解：∵使得C ，D兩村到E 站的距離相等，
∴DE = CE ，
∵DA ^ AB，CB ^ AB，
∴ A = B = 90°，
∴ AE2 + AD2 = DE2 ，BE2 + BC 2 = CE2 ，
∴ AE2 + AD2 = BE2 + BC 2 ，
設(shè) AE = xkm，則BE = AB - AE = 14 - x km ，
∵DA = 8km ，CB = 6km ，
∴ x2 + 82 = 14 - x 2 + 62，
解得： x = 6，
∴ AE = 6km ，
答：E 站應(yīng)建在離A 站6km處；
（2）解：QDE = AE2 + AD2 =10km，
\10 5 = 2（小時）
答：需要 2 小時．
題型 12 最短路徑問題
1．如圖是一塊長、寬、高分別是6cm、4cm 和3cm 的長方體木塊，一只螞蟻要從長方體木塊的一個頂點(diǎn)A 處，
沿著長方體的表面到長方體上和頂點(diǎn)A 相對的頂點(diǎn) B 處吃食物，那么它需要爬行的最短路徑的長是（ ）
A． 3+ 2 13 cm B． 97cm C． 85cm D． 109cm
【答案】C
【分析】展成平面圖形，根據(jù)兩點(diǎn)之間線段最短，可求出解．本題考查平面展開路徑問題、勾股定理，本
題關(guān)鍵知道螞蟻爬行的路線不同，求出的值就不同，有三種情況，可求出值找到最短路線．
【詳解】解： AB 就是螞蟻爬的最短路線．
但有三種情況：
當(dāng)： AD = 3， DB = 4 + 6 = 10．
AB = 32 +102 = 109cm ．
當(dāng) AD = 4， DB = 6 + 3 = 9．
AB = 97cm ．
當(dāng) AD = 6， DB = 3 + 4 = 7
AB = 85cm．
∵ 109 > 97 > 85
∴第三種情況最短．
故選：C．
2．如圖，圓柱形杯子容器高為18cm，底面周長為24cm ，在杯子內(nèi)壁離杯底 4cm 的點(diǎn) B 處有一滴蜂蜜，
此時一只螞蟻正好在杯子外壁，離杯子上沿 2cm 與蜂蜜相對的點(diǎn)A 處，則螞蟻從外壁A 處到達(dá)內(nèi)壁 B 處的
最短距離為 cm．
【答案】20
【分析】本題主要考查了勾股定理的實際應(yīng)用，軸對稱最短路徑問題，作點(diǎn) A 關(guān)于直線EF 的對稱點(diǎn) A ，作
A D ^ BE 交 BE 延長線于 E，連接 A B交EF 于 F，則 A B的長即為所求，據(jù)此利用勾股定理求解即可．
【詳解】解；如圖所示，將圓柱展開，
作點(diǎn) A 關(guān)于直線EF 的對稱點(diǎn) A ，作 A D ^ BE 交 BE 延長線于 E，連接 A B交EF 于 F，
1
由題意得， A D = 24 = 12cm，BD = 2 +18 - 4 = 16cm ，
2
∴由勾股定理得 A B = A D2 + BD2 = 20cm ，
故答案為： 20．
3．【問題背景】如圖 1，深圳市洪湖公園內(nèi)有一大湖，湖心有一人造小島，那是鳥兒們的樂園，湖四周各有
一條步道．為了提升公園內(nèi)人與自然的和諧品質(zhì)，盡量避免人類活動影響鳥類生活，現(xiàn)對步道進(jìn)行升級改
造，要求步道離小島至少 40 米．為了測得步道離島的距離，施工人員計劃實施如下方案：如圖 2，記小島
為點(diǎn) P，首先在筆直的步道 l1上找一處 A（ AP ^ l1），一工人沿步道 l1從點(diǎn) A 出發(fā)直走 80 米到達(dá) B 處，又繼
續(xù)前行 80 米到達(dá)點(diǎn) C 處，接著從 C 處沿與步道 l1垂直的方向行走，當(dāng)?shù)竭_(dá) D 處時，P、B、D 剛好在同一
直線上，最后工人測得CD的長為 75 米．
請根據(jù)以上信息，回答下面的問題：
【問題探究】
（1）求小島離步道 l1的垂直距離PA．
【問題拓展】
（2）在第（1）問的條件下，如圖 3，有相鄰的另一條筆直步道 l2，小島 P 到 l2的距離PM = a 米，點(diǎn) A 到 L
的距離 AN = 80 - a 米，在MN 之間有一任意點(diǎn) E，當(dāng)PE + AE的最小值為 100 米時，
①M(fèi)N = 米（直接寫出結(jié)果）．②為了避免人類活動影響鳥類生活，請問步道 l2是否符合要求？請用學(xué)過的
數(shù)學(xué)知識說明原因．
【方法遷移】
（3）若將 x，3- x ，2，2 分別看作四條線段的長，結(jié)合圖 2，構(gòu)造適當(dāng)?shù)膸缀螆D形求代數(shù)式
x2 + 4 + 3- x 2 + 4 的最小值為 （直接寫出）．
【答案】（1）75 米；（2）①60 米；②不符合，理由見解析；（3）5
【分析】本題考查三角形全等的應(yīng)用，求最小距離，靈活構(gòu)造幾何圖形，借助三角形全等、勾股定理是正
確解決本題的關(guān)鍵．
（1）根據(jù)題意，證明VPBA≌VCBD ASA ，即可得出結(jié)論；
（2）①延長PM 至 Q，使PM = MQ = a 米，連接 AQ ．過 Q 作QH ∥ l2交 AN 的延長線于 H，過 P 作PG ^ AN
于 G，當(dāng) A、Q、E 三點(diǎn)共線時PE + AE有最小值 AQ ，利用勾股定理即可求出；
HQ = MN = PG = 60 MP 1 PQ 35 35②由①可知， 米，用勾股定理計算出 = = 米， < 40，即可判斷步道 l 不
2 2 2 2
符合要求；
（3）將 x，3- x ，2，2 分別看作四條線段的長，結(jié)合圖 2，構(gòu)造對應(yīng)的幾何圖形即可求出代數(shù)式的最小值．
【詳解】解：（1）由題可知，PA ^ l1，DC ^ l1，
\ PAB = DCB = 90°，
又∵P、B、D 三點(diǎn)在同一條直線上，
\ PBA = DBC ，
又Q AB = BC = 80米，
\VPBA≌VCBD ASA ，
\PA = CD = 75米
（2）①M(fèi)N = 60米
如圖 3，延長PM 至 Q，使PM = MQ = a 米，連接 AQ ．
過 Q 作QH ∥ l2交 AN 的延長線于 H，過 P 作PG ^ AN 于 G，
∵PM ^ l2，PM = MQ 即 l2垂直平分 PQ，
\ PE = EQ ，
\PE + AE = QE + AE AQ，
當(dāng) A、Q、E 三點(diǎn)共線時PE + AE有最小值 AQ ，
即 AQ = 100米
∵ AN ^ l2，QH ∥ l2
\ AN ^ QH 即 AHQ = 90°，
∴四邊形MNHQ 和四邊形MNGP均為長方形，
\HN = QM = MP = NG = a 米，HQ = MN = PG ，
∴HA = HN + NA = a + 80 - a = 80 米
∴在Rt△AHQ中，HQ2 = AQ2 - AH 2 =1002 -802 = 602 即HQ = 60 米，
\MN = 60 米，
②QPG ^ AN ，
\ PGA = 90°，
由①可知，HQ = MN = PG = 60米，
∴在Rt△PGA中，GA2 = PA2 - PG2 = 752 - 602 =135 15，
\GA = 45米，
\GH = AH - AG = 80 - 45 = 35米，
\PQ = 35米，
MP 1 PQ 35∴ = = 米，
2 2
35
顯然， < 40，
2
∴步道 l2不符合要求．
（3）由（2）同理可得，Q x2 + 4 + 3- x 2 + 4 = x - 2 2 + 0 - 2 2 + 3 - x 2 + 0 - 2 2 = 5，
\ x2 + 4 + 3 - x 2 + 4 的最小值為 5．
1．如圖是一個三級臺階，它的每一級的長、寬、高分別為 20dm、3dm、2dm．A 和 B 是這個臺階上兩個相對
的端點(diǎn)，點(diǎn) A 處有一只螞蟻，則螞蟻沿著臺階面爬行到點(diǎn) B 的最短路程為（　　）
A． 481dm B． 20dm C． 25dm D．35dm
【答案】C
【分析】本題的是平面展開﹣最短路徑問題，解答此類問題時要先根據(jù)題意把立體圖形展開成平面圖形后，
再確定兩點(diǎn)之間的最短路徑．一般情況是兩點(diǎn)之間，線段最短．在平面圖形上構(gòu)造直角三角形解決問題．先
將圖形平面展開，再由勾股定理根據(jù)兩點(diǎn)之間線段最短進(jìn)行解答．
【詳解】解：三級臺階平面展開圖為長方形，長為 20dm，
則螞蟻沿臺階面爬行到 B 點(diǎn)最短路程是此長方形的對角線長．
設(shè)螞蟻沿臺階面爬行到 B 點(diǎn)最短路程為 xdm，
2 2 2由勾股定理得： x = 20 + é 2 + 3 3ù = 252，
解得： x = 25 dm ．
故選：C．
2．如圖，在學(xué)校工地的一根空心鋼管外表面距離左側(cè)管口 2cm 的點(diǎn)M 處有一只小蜘蛛，它要爬行到鋼管內(nèi)
表面距離右側(cè)管口5cm的點(diǎn) N 處覓食，已知鋼管橫截面的周長為18cm，長為15cm，則小蜘蛛需要爬行的
最短距離是（ ）
A．5cm B． 4cm C．9 5cm D．15cm
【答案】C
【分析】本題考查勾股定理，理解幾何體側(cè)面展開圖等，根據(jù)題意先畫出幾何體的側(cè)面展開圖，利用勾股
定理即可求解，熟練掌握知識點(diǎn)的應(yīng)用是解題的關(guān)鍵．
【詳解】如圖，作點(diǎn) N 關(guān)于右側(cè)管口的對稱點(diǎn) N1 ，連接MN1，
由題意得： AM = BC = 2cm，BD = 15cm， ND = N1D = 5cm，
∴CN1 =15 + 5 - 2 =18 cm ，
∵鋼管橫截面的周長為18cm，
∴MC = 9cm，
在RtVMN1C 中，由勾股定理得：MN 2 21 = MC + N1C = 9
2 +182 = 9 5 cm ，
∴小蜘蛛需要爬行的最短距離是9 5cm．
故選：C ．
3．著名畫家畢加索的作品《女孩》中充滿著幾何圖形，她手中所握的帆船模型就是我們熟悉的三角形組合
而成，如圖，在△ABD 中， AB = AD , AE ^ BD ，若BC =10,CD = 6，則 AC 2 - AD2 的值為（ ）
A．16 B．24 C．32 D．60
【答案】D
【分析】本題考查的是等腰三角形的性質(zhì)，勾股定理的應(yīng)用，平方差公式的應(yīng)用，先證明DE = BE ，
AD2 = AE2 + DE2 ， AC 2 = AE2 + CE2 ，再結(jié)合平方差公式可得答案；
【詳解】解：∵ AB = AD , AE ^ BD ，
∴DE = BE ， AD2 = AE2 + DE2 ， AC 2 = AE2 + CE2 ，
∴ AC 2 - AD2 = CE2 - DE2
= CE + DE CE - DE
= CE + BE ×CD
= BC ×CD
∵BC =10,CD = 6，
∴ AC 2 - AD2 =10 6 = 60；
故選 D
4．勾股定理是用代數(shù)思想解決幾何問題最重要的工具，也是數(shù)形結(jié)合的紐帶之一．如圖，當(dāng)秋千靜止時，
踏板 B 離地的垂直高度BE = 0.8m ，將它往前推3m 至 C 處時(即水平距離CD = 3m )，踏板離地的垂直高度
CF = 2.6m ，它的繩索始終拉直，則繩索 AC 的長是（ ）
A．3.4m B．3.6m C．3.8m D． 4.2m
【答案】A
【分析】本題考查了勾股定理的應(yīng)用，熟練掌握勾股定理是解題關(guān)鍵．由題意可知，DE = CF = 2.6m ，
BE = 0.8m ，CD = 3m，設(shè) AB = AC = x m ，根據(jù)勾股定理列方程求解即可．
【詳解】解：由題意可知，DE = CF = 2.6m ，BE = 0.8m ，CD = 3m，
\ BD = 1.8m ，
設(shè) AB = AC = x m ，則 AD = x -1.8 m，
由勾股定理得： AD2 + CD2 = AC 2 ，
\ x -1.8 2 + 32 = x2 ，
解得： x = 3.4 ，
即繩索 AC 的長是3.4m，
故：A．
5．如圖，圓柱形筆筒的內(nèi)部底面直徑是9cm，內(nèi)壁高為12cm．將一根長18cm的鉛筆放置于筆筒中（鉛筆
的直徑忽略不計），鉛筆露在筆筒外的長度為 acm ，則 a的取值范圍是（ ）
A．9 < a <12 B．6 a 12 C．3 < a < 9 D．3 a 6
【答案】D
【分析】此題主要考查了勾股定理的應(yīng)用，根據(jù)杯子內(nèi)筷子的長度取值范圍得出杯子外面長度的取值范圍，
即可得出答案．
【詳解】解：Q將一根長為18cm的筷子，置于底面直徑為9cm，高為12cm的圓柱形水杯中，
\在杯子中筷子最短是等于杯子的高，最長是等于杯子斜邊長度，
\當(dāng)杯子中筷子最短是等于杯子的高時， a =18 -12 = 6 cm ，
最長時等于杯子斜邊長度是： 122 + 92 =15 cm ，
此時 a =18 -15 = 3 cm ，
\h 的取值范圍是：3 a 6，
故選：D．
6．如圖，釣魚竿 AB 的長為 2 2 米，露在水面上的魚線BC 長為 1 米．當(dāng)釣魚者把釣魚竿 AB 轉(zhuǎn)到 AB 的位
置時，露在水面上的魚線B C 長為 2 米，則CC 的長為（ ）
A．1 米 B． ( 7 - 2) 米 C． 7 米 D． (2 2 - 2) 米
【答案】B
【分析】此題考查了勾股定理的實際應(yīng)用，根據(jù)勾股定理分別求出 AC, AC ，即可得到CC 的長度，熟練掌
握勾股定理的計算是解題的關(guān)鍵
【詳解】解：在Rt△ABC 中， ACB = 90°, AB = 2 2, BC =1，
∴ AC = AB2 - BC 2 = 7 ，
在Rt△AB C 中， AC B = 90°, AB = 2 2, B C = 2 ，
∴ AC = AB 2 - B C 2 = 2
∴CC = AC - AC = 7 - 2 米，
故選 B
7．如圖，象棋盤中各個小正方形的邊長為 1．“馬”從圖中的位置出發(fā)，不走重復(fù)路線，按照馬走日的規(guī)則，
走兩步后的落點(diǎn)與出發(fā)點(diǎn)間的最遠(yuǎn)距離為 ．
【答案】 2 5
【分析】本題考查了勾股定理，熟練掌握勾股定理是解題的關(guān)鍵．根據(jù)勾股定理即可得到結(jié)論．
【詳解】解：如圖，
走兩步后的落點(diǎn)與出發(fā)點(diǎn)間的最遠(yuǎn)距離的點(diǎn)為 A 處，最遠(yuǎn)距離為 42 + 22 = 2 5 ．
故答案為： 2 5 ．
8．如圖，圓柱的底面周長是10cm，圓柱高為12cm，一只螞蟻如果要沿著圓柱的表面從下底面點(diǎn) A 爬到與
之相對的上底面點(diǎn) B，那么它爬行的最短路程為 ．
【答案】13cm /13 厘米
【分析】本題考查勾股定理的應(yīng)用—最短路徑問題，將圓柱體展開，利用勾股定理求出最短路徑的長即可．
【詳解】解：把圓柱沿母線展開，點(diǎn) B 展開后的對應(yīng)點(diǎn)為B ，利用兩點(diǎn)之間線段最短可判斷螞蟻爬行的最
短路徑為 AB ，如圖所示：
由題意，得： AC =12cm, B C
1
= 10 = 5cm，
2
在Rt△ACB 中，由勾股定理，得： AB = 52 +122 =13cm；
故答案為：13cm ．
9．如圖，已知 A，B，C 是海上的三座小島，島 B 在島 A 的北偏東38°方向上，距離為 12 海里，島 C 在島
A 的北偏東方向上，距離為 13 海里，島 B 和島 C 之間的距離為 5 海里，則島 B 在島 C 的北偏西 方
向上.
【答案】52° /52 度
【分析】本題主要考查了方向角、勾股定理的逆定理，平行線的性質(zhì)，關(guān)鍵是根據(jù)勾股定理的逆定理得
ABC = 90°．
先根據(jù)勾股定理的逆定理得 ABC = 90°，再根據(jù)方向角的定義和平行線的性質(zhì)計算即可．
【詳解】解：如圖，過點(diǎn) C 作CF∥EB
QAB =12海里， AC =13海里， BC = 5 海里，
\ AB2 + BC 2 = AC 2 ，
\ ABC = 90°，
Q BAD = 38° ， AD P BE ，
\ ABE = BAD = 38°，
\ CBE = 52°，
∵BE∥CF ，
\ BCF = CBE = 52°，
\島 B 在島C 的北偏西52°方向上．
故答案為：52°．
10．在筆直的鐵路上A 、B 兩點(diǎn)相距 25km，C 、D為兩村莊，DA =10km，CB =15km，DA ^ AB于A ，CB ^ AB
于 B ，現(xiàn)要在 AB 上建一個中轉(zhuǎn)站E ，使得C 、D兩村到E 站的距離相等．則E 應(yīng)建在距A km．
【答案】15
【分析】此題主要考查了勾股定理的應(yīng)用．利用DE = CE ，再結(jié)合勾股定理求出即可．
【詳解】解：設(shè) AE = xkm，則BE =( 25 - x) km，
QDE = CE ，
\ AD2 + AE2 = BE2 + BC 2 ，
故102 + x2 = (25 - x)2 +152 ，
解得； x =15．
故答案為：15．
11．如圖，透明的圓柱形容器（容器厚度忽略不計）的高為12cm，底面周長為10cm，在容器內(nèi)壁離容器底
部3cm 的點(diǎn) B 處有一飯粒，此時一只螞蟻正好在容器外壁，且離容器上沿3cm 的點(diǎn)A 處，則螞蟻吃到飯粒
需爬行的最短路徑是 cm．
【答案】13
【分析】本題考查了最短路徑問題，將圓柱側(cè)面展開，作出點(diǎn)A 關(guān)于EF 的對稱點(diǎn) A ，根據(jù)兩點(diǎn)之間線段最
短可知 A B的長度即為所求，利用勾股定理求出 A B即可求解，利用軸對稱找到螞蟻吃到飯粒需爬行的最短
路徑是解題的關(guān)鍵．
【詳解】解：將圓柱側(cè)面展開，作出點(diǎn)A 關(guān)于EF 的對稱點(diǎn) A ，如圖，
∵高為12cm，底面周長為10cm，
此時螞蟻正好在容器外壁，離容器上沿3cm 與飯粒相對的點(diǎn)A 處，
∴ A D = 5cm ，BD =12 - 3 + 3 =12cm，
連接 A B，則 A B即為最短距離，
∵ A B = A D2 + BD2 = 122 + 52 =13cm，
∴螞蟻吃到飯粒需爬行的最短路徑是13cm ，
故答案為：13．
12．如圖 1 是一種伸縮式的鞋架，它有平放和斜放兩種使用方式．鞋架每側(cè)有 6 根長度相等的支架，支點(diǎn)
O，P，Q 為各支架的中點(diǎn)．鞋架平放得圖 2，面板BH 的長為24cm ，此時鞋架高度為54cm，則支架 AD 的
長為 cm；鞋架斜放得圖 3，此時調(diào)節(jié)桿 AL 的端點(diǎn) L 正好卡在面板BH 的調(diào)節(jié)孔點(diǎn) G 處，
AL =13cm，HG =10cm， AOB = 60°，則鞋架最高點(diǎn) H 到地面MN 的距離是 cm．
【答案】 30 46 3
【分析】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)，等邊三角形的判定及性質(zhì)，勾股定理，直角三角形的特征等；過 O
作OK ^ AB ，由等腰三角形的性質(zhì)得 AK = KB =12，由勾股定理得 AO = AK 2 + OK 2 即可求解；連接 AB ，
1
過H作HR ^ AB ，可判定VALB 是等邊三角形，由直角三角形的特征得RB = HB，由勾股定理得HR = 3RB，
2
即可求解；掌握相關(guān)的性質(zhì)，作出恰當(dāng)?shù)妮o助線，構(gòu)建直角三角形，熟練利用勾股定理進(jìn)行求解是解題的
關(guān)鍵．
【詳解】解：如圖，過 O 作OK ^ AB ，
\AK = KB =12，
OK = 54 6 = 9，
\ AO = AK 2 + OK 2
= 122 + 92
=15，
\ AD = 2AO = 30 （ cm）；
如圖，連接 AB ，過 H 作HR ^ AB ，
Q ALB = AOB = 60°， LA = LB ，
\VALB 是等邊三角形，
\ LBA = 60°，
\ RHB = 30°，
1
\RB = HB
2
1
= 10 +13
2
23
=
2 ，
\HR = HB2 - RB2
= 3RB
23 3
= ，
2
\H 到地面MN 的距離為：
4HR 4 23 3=
2
= 46 3 （ cm）；
故答案：30， 46 3 ．
13．如圖，有一個繩索拉直的木馬秋干，繩索 AB 的長度為 5 米，若將它往水平方向向前推進(jìn) 3 米（即 DE = 3
米），且繩索保持拉直的狀態(tài)，求此時木馬上升的高度．
【答案】木馬上升的高度為 1 米
【分析】本題主要考查了勾股定理的應(yīng)用．過點(diǎn) C 作CF ^ AB于點(diǎn) F，則CF = DE = 3米，在Rt△ACF 中，
由勾股定理可得 BF 的長，即可求解．
【詳解】解：如圖，過點(diǎn) C 作CF ^ AB于點(diǎn) F，則CF = DE = 3米，
由題意得： AC = AB = 5米，
在Rt△ACF 中，由勾股定理得：
AF = AC 2 - CF 2 = 52 - 32 = 4米，
則BF = AB - AF = 5 - 4 =1米，
即木馬上升的高度為 1 米．
14．如圖，一輛小汽車在一條限速 40 km/h 的街路上沿直道行駛，某一時刻剛好行駛到路面車速檢測儀 A 的
正前方 60 m處的 C 點(diǎn)，測得小汽車所在的 B 點(diǎn)與車速檢測儀 A 之間的距離為 100 m．
(1)求 B，C 間的距離．
(2)這輛小汽車超速了嗎？請說明理由．
【答案】(1)B，C 間的距離為 80 m
(2)這輛小汽車沒有超速
【分析】】此題主要考查了勾股定理的應(yīng)用；
（1）根據(jù)勾股定理求出 BC 的長；
（2）直接求出小汽車的時速，進(jìn)而比較得出答案．
【詳解】（1）解：在Rt△ABC 中，
∵ AC = 60，AB =100，
∴BC = AB2 - AC 2 = 1002 - 602 = 80，
答：B，C 間的距離為 80 m；
（2）這輛小汽車沒有超速．
理由：∵小汽車速度為80 8 =10 m/s = 36km/h，
36 < 40，
∴這輛小汽車沒有超速．
15．一架方梯長 25 米，如圖，斜靠在一面墻上，梯子底端離墻 7 米，
(1)這個梯子的頂端距地面有多高？
(2)如果梯子的頂端下滑了 4 米，那么梯子的底端在水平方向滑動了幾米？
【答案】(1)梯子頂端距離地面的高度為 24 米
(2)梯子的底端在水平方向滑動了 8 米
【分析】本題主要考查了勾股定理在解直角三角形中的應(yīng)用，熟練掌握并正確計算是解題的關(guān)鍵．
（1）利用勾股定理可以得出梯子的頂端距離地面的高度；
（2）由（1）可以得出梯子的初始高度，下滑 4 米后，可得出梯子的頂端距離地面的高度，再次使用勾股
定理，可以得出梯子的底端在水平方向滑動的距離．
【詳解】（1）解：根據(jù)勾股定理：
梯子頂端距離地面的高度為： AB = 252 - 72 = 24m ；
（2）梯子下滑了 4 米，
即梯子頂端距離地面的高度為： 24 - 4 = 20米，
根據(jù)勾股定理得：BC = 252 - 202 =15米，
\CC =15- 7 = 8m．
即梯子的底端在水平方向滑動了 8 米．
16．“兒童散學(xué)歸來早，忙趁東風(fēng)放紙鳶”．又到了放風(fēng)箏的最佳時節(jié)．某校八年級（1）班的小明和小亮學(xué)
習(xí)了“勾股定理”之后，為了測得風(fēng)箏的垂直高度CE，他們進(jìn)行了如下操作：①測得水平距離BD的長為 15
米；②根據(jù)手中剩余線的長度計算出風(fēng)箏線BC 的長為 25米；③牽線放風(fēng)箏的小明的身高為1.6米．
(1)求風(fēng)箏的垂直高度CE；
(2)如果小明想風(fēng)箏沿CD方向下降 12 米，則他應(yīng)該往回收線多少米？
【答案】(1)風(fēng)箏的高度CE為 21.6米；
(2)他應(yīng)該往回收線 8 米．
【分析】本題考查了勾股定理的應(yīng)用；
（1）利用勾股定理求出CD的長，再加上DE 的長度，即可求出CE的高度；
（2）根據(jù)勾股定理即可得到結(jié)論．
【詳解】（1）解：在Rt△CDB 中，
由勾股定理得，CD2 = BC 2 - BD2 = 252 -152 = 400，
所以，CD = 20（負(fù)值舍去），
所以，CE = CD + DE = 20 +1.6 = 21.6（米 ) ，
答：風(fēng)箏的高度CE為 21.6米；
（2）解：由題意得，CM =12，
\DM = 8，
\BM = DM 2 + BD2 = 82 +152 =17（米 ) ，
\BC - BM = 25 -17 = 8（米 ) ，
\他應(yīng)該往回收線 8 米．
17．在一條東西走向的河流一側(cè)有一村莊C ，河邊原有兩個取水點(diǎn) A, B，其中 AB = AC ，由于某種原因，
由C 到A 的路現(xiàn)在已經(jīng)不通，該村為方便村民取水，決定在河邊新建一個取水點(diǎn)D（ A, D, B 在同一條直線
上），并新修一條路CD，測得CB = 6.5千米，CD = 6千米，BD = 2.5千米．
(1)求 CDB 的度數(shù)；
(2)求原來的路線 AC 的長．
【答案】(1)90°
(2)8.45 千米
【分析】本題主要考查了勾股定理以及勾股定理的逆定理的應(yīng)用，熟練掌握相關(guān)知識是解題關(guān)鍵．
（1）利用勾股定理的逆定理推導(dǎo)△BCD為直角三角形，即可獲得答案；
（2）設(shè) AB = AC = x ，則 AD = x - 2.5，在Rt△ACD 中，利用勾股定理解得 x 的值，即可獲得答案．
【詳解】（1）解：根據(jù)題意，可知CB = 6.5千米，CD = 6千米，BD = 2.5千米，
∵BD2 + CD2 = 2.52 + 62 = 42.25，CB2 = 6.52 = 42.25，
∴BD2 + CD2 = CB2，
∴△BCD為直角三角形， CDB = 90°；
（2）由（1）可知， CDB = 90°，即CD ^ AB ，
設(shè) AB = AC = x ，則 AD = AB - BD = x - 2.5，
在Rt△ACD 中，可有 AD2 + CD2 = AC 2 ，
即 x - 2.5 2 + 62 = x2，解得 x = 8.45，
∴ AB = AC = 8.45千米，
即原來的路線 AC 的長為 8.45 千米．
18．如圖所示，在一次夏令營活動中，小明從營地 A 點(diǎn)出發(fā)，沿北偏東60°方向走了500 3 米到達(dá) B 點(diǎn)，然
后再沿北偏西30°方向走了 500 米到達(dá)目的地 C 點(diǎn)．
(1)判斷VABC 的形狀；
(2)求 A、C 兩點(diǎn)之間的距離；
(3)確定目的地 C 在營地 A 的什么方向．
【答案】(1)VABC 的形狀是直角三角形，
(2) A 、C 兩點(diǎn)之間的距離是 1000 米；
(3)目的地C 在營地A 的北偏東30°方向上．
【分析】（1）求出 FBC ，根據(jù)平角的定義求出 CBA即可；
（2）根據(jù)勾股定理求出 AC 即可；
（3）根據(jù) AC =1000，BC = 500，求出 CAB = 30°即可．
【詳解】（1）解：VABC 的形狀是直角三角形，
理由是：EF∥ AD ，
\ EBA = DAB = 60°，
Q FBC = 30°，
\ ABC = 180° - FBC - EBA = 90° ，
\VABC 的形狀是直角三角形；
（2）解： AB = 500 3，BC = 500，由勾股定理得：
AC = AB2 + BC 2 = 1000，
答：A 、C 兩點(diǎn)之間的距離是 1000 米；
（3）解：取 AC 的中點(diǎn)G ，連接BG ，
QBC = 500 ， AC =1000， ABC = 90°，
BG AG CG 1∴ = = = AC = 500，
2
∴VBCG 是等邊三角形，
∴ ACB = 60°，
∴ CAB = 30°，
DAC = DAB - CAB = 60° - 30° = 30°，
即目的地C 在營地A 的北偏東30°方向上．
【點(diǎn)睛】本題綜合考查了勾股定理，等邊三角形的判定和性質(zhì)，方向角，兩點(diǎn)之間的距離等知識點(diǎn)，關(guān)鍵
是能熟練地根據(jù)性質(zhì)進(jìn)行推理和計算．第 08 講 探索勾股定理（第 2 課時）（1 個知識點(diǎn)+12 大題型+18
道強(qiáng)化訓(xùn)練）
課程標(biāo)準(zhǔn) 學(xué)習(xí)目標(biāo)
①勾股定理的應(yīng)用 1. 掌握勾股定理的應(yīng)用；
知識點(diǎn) 01：勾股定理的應(yīng)用
勾股定理的作用
已知直角三角形的任意兩條邊長，求第三邊；
用于解決帶有平方關(guān)系的證明問題；
3． 與勾股定理有關(guān)的面積計算；
4．勾股定理在實際生活中的應(yīng)用．
【即學(xué)即練 1】
1．如圖所示的是一個長方體筆筒，底面的長、寬分別為8cm 和6cm，高為10cm，將一支長為18cm的簽字
筆放入筆筒內(nèi)，則簽字筆露在筆筒外的的長度最少為（ ）
A．10cm B． 18 -10 2 cm C．8cm D．10 2cm
【即學(xué)即練 2】
2．如圖，這是一個供滑板愛好者使用的U 形池，該U 形池可以看作是一個長方體去掉一個“半圓柱”而成，
中間可供滑行部分的截面是弧長為12m 的半圓，其邊緣 AB = CD = 20m（邊緣的寬度忽略不計），點(diǎn)E 在CD
上，CE = 4m.一滑板愛好者從A 點(diǎn)滑到E 點(diǎn)，則他滑行的最短距離為（ ）
A． 28m B． 24m C． 20m D．18m
題型 01 求梯子滑落高度
1．如圖，將長為10m 的梯子 斜靠在墻上，使其頂端 A 距離地面 6m．若將梯子頂端 A 向上移動 2m，則
梯子底端 B 向左移動（ ）
A．10m B．6m C．4m D．2m
2．如圖：5 米長的滑梯 開始在 B 點(diǎn)距墻面水平距離 3 米，當(dāng)向后移動 1 米，A 點(diǎn)也隨著向下滑
一段距離，則下滑的距離 （大于、小于或等于）1 米．
3．如圖，一架 2.5m 長的梯子斜靠在墻上，此時梯足 B 距底端 O 為 0.7m．
(1)求OA的長度．
(2)如果梯子下滑 0.4m，則梯子滑出的距離是否等于 0.4m？請通過計算來說明理由．
題型 02 求旗桿高度
1．某興趣小組要測量學(xué)校旗桿的高度，他們發(fā)現(xiàn)系在旗桿頂端的繩子剛好垂到地面，若緊拉繩子的末端向
后退 6m后發(fā)現(xiàn)繩子末端到地面的距離為 2m，則旗桿的高度是（　　）
A．5m B．10m C．13m D．17m
2．如圖 1，在綜合實踐小組測量旗桿高度的活動中，同學(xué)們發(fā)現(xiàn)旗桿上的繩子垂到地面還多出了 1 米，如
圖 2，當(dāng)把繩子向外拉直并使繩子底端剛好落到點(diǎn)C 處，經(jīng)過測量此時繩子底端C 到旗桿底部A 的距離是 5
米，則旗桿 AB 的高度為 米
3．小龍在放風(fēng)箏時想測量風(fēng)箏離地面的垂直高度，通過如圖勘測，得到如下記錄：①測得水平距離BC 的
長為 12 米；②根據(jù)手中剩余線的長度計算出風(fēng)箏線 AB 的長為 13 米；③小龍牽線放風(fēng)箏的手到地面的距離
CD長為 1.5 米．
(1)求風(fēng)箏到地面的距離線段 AD 的長；
(2)如果小龍想要風(fēng)箏沿CA方向再上升 4 米，BC 和CD的長度不變，則他應(yīng)該再放出_____米線．
題型 03 求小鳥飛行距離
1．如圖，有兩棵樹 AB 和CD（都與水平地面 AC 垂直），樹 AB 高 8 米，樹梢 D 到樹 AB 的水平距離DE
（DE ^ AB）的長度為 8 米， AE = CD = 2米，一只小鳥從樹梢 D 飛到樹梢 B，則它至少要飛行的長度為
（ ）
A．10 米 B．9 米 C．8 米 D．7 米
2．如圖，有兩棵樹，一棵高為 20米，另一棵高為10米，兩樹相距 24米．若一只小鳥從一棵樹的樹梢飛到
另一棵樹的樹梢，那么小鳥至少飛行 米．
3．如圖，有兩棵樹，一棵樹高 AC 是 10 米，另一棵樹高 BD 是 4 米，兩樹相距 8 米（即 CD=8 米），一只
小鳥從一棵樹的樹梢 A 點(diǎn)處飛到另一棵樹的樹梢 B 點(diǎn)處，則小鳥至少要飛行多少米？
題型 04 求大樹折斷前的高度
1．《九章算術(shù)》是中國傳統(tǒng)數(shù)學(xué)的重要著作之一，奠定了中國傳統(tǒng)數(shù)學(xué)的基本框架．其中記載了一道“折竹
抵地”問題；今有竹高一丈，末折抵地，去根三尺．問折高者幾何？大意是；“一根竹子，原高一丈（一丈
=10 尺），中部有一處折斷，竹稍恰好抵地，抵地處離竹子底部 3 尺遠(yuǎn)，”問折斷處離地面的高度是多少尺？
（　　）
9 91 109
A．4 B． C． D．
2 20 20
2．如圖，風(fēng)雨過后一棵大樹被折斷，折斷處離地面的高度為0.8m，倒下后樹頂端著地點(diǎn)A 距樹底端 B 的距
離為1.5m，一只蝸牛從樹頂端的A 處出發(fā)，以 20cm / min 的速度沿樹干向上爬行，則它爬到折斷處C 所需的
時間為 min ．
3．如圖，《九章算術(shù)》中記載了一個“折竹抵地”問題：今有竹高一丈，末折抵地，去本三尺，問折者高幾何
意思是：有一根竹子，原高一丈（1 丈=10尺），現(xiàn)被風(fēng)折斷，尖端落在地上，竹尖與竹根的距離三尺，求
折斷處離地面的高度．
題型 05 解決水杯中筷子問題
1．一支鉛筆斜放在圓柱體的筆筒中，如圖所示，筆筒的內(nèi)部底面直徑是6cm，內(nèi)壁高8cm ．若這支鉛筆在
筆筒外面部分長度是5cm，則這支鉛筆的長度是（ ） cm．
A．10 B．15 C．20 D．25
2．如圖，已知釣魚桿 AC 的長為 5 米，露在水面上的魚線BC 長為 3 米，某釣魚者想看看魚鉤上的情況，把
魚竿 AC 轉(zhuǎn)動到 AC 的位置，此時露在水面上的魚線B C 長度為 4 米，則BB 的長為 米．
3．如圖，一個直徑為10cm（即 BC =10cm ）的圓柱形杯子，在杯子底面的正中間點(diǎn) E 處豎直放一根筷子，
筷子露出杯子外1cm（即 FG = 1cm），當(dāng)筷子GE 倒向杯壁時（筷子底端不動），筷子頂端正好觸到杯壁 D，
求筷子GE 的長度．
題型 06 解決航海問題
1．兩只蝸牛從同一地點(diǎn)同時出發(fā)，一只以3m / min 的速度向北直行，一只以 4m / min的速度向東直行，1min
后兩只蝸牛相距（ ）
A．5m B．3 2m C． 4 2m D． 4.5m
2．如圖，甲、乙兩船同時從港口A 出發(fā)，甲船以30海里 / 時的速度沿北偏東35°方向航行，乙船沿南偏東55°
方向航行， 2小時后，甲船到達(dá)C 島，乙船到達(dá) B 島，若C ， B 兩島相距100海里，乙船的速度是 海
里 / 時．
3．某天，暴風(fēng)雨突然來襲，海上搜救中心接到海面上遇險船只從 A，B 兩地發(fā)出的求救信號．搜救中心及
時派出甲、乙兩艘搜救艇同時從港口 O 出發(fā)，甲搜救艇以 12 海里/時的速度沿北偏東 40°的方向向 A 地出發(fā)，
乙搜救艇以 16 海里/時的速度沿南偏東50°的方向向 B 地出發(fā)，2 小時后，甲、乙兩艘搜救艇同時到達(dá)遇險
船只 A，B 處．求此時甲、乙兩艘搜救艇之間的距離 AB ．
題型 07 求河寬
1．為了培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)，提高學(xué)生發(fā)現(xiàn)問題，分析問題，解決問題的能力．2024 年昭通市某學(xué)校
的 156 班組織了一次課外研學(xué)活動．在研學(xué)活動中，王宇同學(xué)欲控制遙控輪船勻速垂直橫渡一條河，但由
于水流的影響，實際上岸地點(diǎn) F 與欲到達(dá)地點(diǎn) E 相距 10 米，結(jié)果輪船在水中實際航行的路程HF 比河的寬
度EH 多 2 米，則河的寬度EH 是（ ）．
A．8 米 B．12 米 C．16 米 D．24 米
2．《九章算術(shù)》是古代數(shù)學(xué)著作，書中記載：“今有開門去閫（讀 kǔn，門檻）一尺，不合二寸，問：門廣
幾何？”題目大意是如圖①、圖②（圖②為圖①的俯視示意圖），今推開雙門，門框上點(diǎn)C 和點(diǎn)D到門檻 AB
的距離DE 為 1 尺（1 尺=10寸），雙門間的縫隙CD為 2 寸，則門寬 AB 的長是 寸．
3．為實現(xiàn)核心素養(yǎng)導(dǎo)向的教學(xué)目標(biāo)，走向綜合性、實踐性的課程教學(xué)變革，某中學(xué)推進(jìn)項目式學(xué)習(xí)，組織
八年級數(shù)學(xué)研學(xué)小組進(jìn)行了“測量隧道長度”的項目式學(xué)習(xí)活動．
項目主題 測量隧道的長度 AB
測量工具 測角儀、測距儀等
測量示意圖
數(shù)據(jù)說明 ACB + ABC = 90°，BC = 750米， AC = 210米
特別說明 測量過程中注意保障人身安全！
請你根據(jù)以上測量結(jié)果，計算隧道的長度 AB ．
題型 08 求臺階上地毯長度
1．如圖，要為一段高為 5 米， 長為 13 米的樓梯鋪上紅地毯，則紅地毯的長度至少為（ ）
A．18 米 B．17 米 C．13 米 D．12 米
2．某樓梯如圖所示，欲在樓梯上鋪設(shè)紅色地毯，已知這種地毯每平方米售價為 30 元，樓梯寬為 2m，則地
毯的長為 m，購買這種地毯至少需要 元．
3．如圖有一個四級臺階，它的每一級的長、寬分別為 18 分米、4 分米．
(1)如果給臺階表面 8 個矩形區(qū)域鋪上定制紅毯，需要定制紅毯的面積為 432 平方分米，那么每一級臺階的
高為多少分米？
(2)A 和 C 是這個臺階上兩個相對的端點(diǎn)，臺階角落點(diǎn) A 處有一只螞蟻，想到臺階頂端點(diǎn) C 處去吃美味的食
物，則螞蟻沿著臺階面從點(diǎn) A 爬行到點(diǎn) C 的最短路程為多少分米？
題型 09 判斷汽車是否超速
1．如圖，小蓓要趕上去實踐活動基地的校車，她從點(diǎn) A 知道校車自點(diǎn) B 處沿 x 軸向原點(diǎn) O 方向勻速駛來，
她立即從 A 處搭一輛出租車，去截汽車．若點(diǎn) A 的坐標(biāo)為（2，3），點(diǎn) B 的坐標(biāo)為（8，0），汽車行駛速度
與出租車相同，則小蓓最快截住汽車的坐標(biāo)為（　　）
17
A．（3，0） B．（3.5，0） C．（ ，0） D．（5，0）
4
2．如圖，一輛小汽車在一條城市街路上直道行駛，某一時刻剛好行駛到路對面車速檢測儀A 處的正前方30m
的C 處，過了5s 后，測得小汽車與車速檢測儀間的距離為50m，則這輛小汽車的速度是 m / s．
3．學(xué)生安全是近幾年社會關(guān)注的重大問題，其中交通安全隱患主要是超速．如圖，某校門前一條直線公路
建成通車，在該路段MN 限速5m/s ，為了檢測車輛是否超速，在公路MN 旁設(shè)立了觀測點(diǎn) C，從觀點(diǎn) C 測
得一小車從點(diǎn) A 到達(dá)點(diǎn) B 行駛了10s．若測得 CAN = 45°， CBN = 60°，BC =100m ．此車超速了嗎？請
說明理由．
題型 10 判斷是否受臺風(fēng)影響
1．如圖，鐵路MN 和公路 PQ在點(diǎn)O處交會，公路 PQ上點(diǎn)A 距離點(diǎn)O是 270m，與MN 這條鐵路的距離是
200m．如果火車行駛時，周圍 250m 以內(nèi)會受到噪音的影響，那么火車在鐵路MN 上沿ON 方向以72km / h
的速度行駛時，點(diǎn)A 處受噪音影響的時間是（ ）
A．15 秒 B．13.5 秒 C．12.5 秒 D．10 秒
2．若有一列長為 460m的火車，沿鐵路AB以50m / min 的速度從點(diǎn)A行駛到點(diǎn)B，點(diǎn)C為一所學(xué)校，AC = 300m，
BC = 400m， AB = 500m，已知距離火車 250m 以內(nèi)會受到噪音的影響．
（1）學(xué)校 C 到鐵路 AB 的距離是 m．
（2）火車在 AB 路段行駛時，學(xué)校 C 受到火車噪音影響的時間是 min ．
（3）如果火車在下課時間穿過該路段，并確保學(xué)校受到火車噪音影響的時間控制在 10 分鐘以內(nèi)
（ t 10min），那么其行駛速度至少應(yīng)增加到 m / min．
3．某市夏季經(jīng)常受臺風(fēng)天氣影響，臺風(fēng)是一種自然災(zāi)害，它以臺風(fēng)中心為圓心在周圍上千米的范圍內(nèi)形成
極端氣候，有極強(qiáng)的破壞力．如圖，有一臺風(fēng)中心沿東西方向 AB 由點(diǎn) A 行駛向點(diǎn) B，已知點(diǎn) C 為一海港，
當(dāng) AC ^ BC 時，A 點(diǎn)到 B，C 兩點(diǎn)的距離分別為500km和300km，以臺風(fēng)中心為圓心周圍 250km以內(nèi)為受
影響區(qū)域．
(1)求BC ；
(2)海港 C 受臺風(fēng)影響嗎？為什么？
(3)若臺風(fēng)的速度為35km / h，則臺風(fēng)影響該海港持續(xù)的時間有多長？
題型 11 選址使兩地距離相等
1．如圖，高速公路上有A 、B 兩點(diǎn)相距10km ，C 、D為兩村莊，已知DA = 4km，CB = 6km．DA ^ AB于
A ，CB ^ AB于 B ，現(xiàn)要在 AB 上建一個服務(wù)站E ，使得C 、D兩村莊到E 站的距離相等，則EA的長是
（ ） km．
A．4 B．5 C．6 D． 20
2．如圖，在筆直的鐵路上 A，B 兩點(diǎn)相距 20km，C、D 為兩村莊，DA = 8km ，CB =14km ，DA ^ AB于點(diǎn)
A，CB ^ AB于 B，現(xiàn)要在 AB 上建一個中轉(zhuǎn)站 E，使得 C、D 兩村到 E 站的距離相等，求 AE = km．
3．如圖，開州大道上A ， B 兩點(diǎn)相距14km，C ，D為兩商場，DA ^ AB于A ，CB ^ AB于 B ．已知
DA = 8km ，CB = 6km ．現(xiàn)在要在公路 AB 上建一個土特產(chǎn)產(chǎn)品收購站E ，使得C ，D兩商場到E 站的距離
相等，
(1)求E 站應(yīng)建在離A 點(diǎn)多少 km處？
(2)若某人從商場D以5km / h的速度勻速步行到收購站E ，需要多少小時？
題型 12 最短路徑問題
1．如圖是一塊長、寬、高分別是6cm、4cm 和3cm 的長方體木塊，一只螞蟻要從長方體木塊的一個頂點(diǎn)A 處，
沿著長方體的表面到長方體上和頂點(diǎn)A 相對的頂點(diǎn) B 處吃食物，那么它需要爬行的最短路徑的長是（ ）
A． 3+ 2 13 cm B． 97cm C． 85cm D． 109cm
2．如圖，圓柱形杯子容器高為18cm，底面周長為24cm ，在杯子內(nèi)壁離杯底 4cm 的點(diǎn) B 處有一滴蜂蜜，
此時一只螞蟻正好在杯子外壁，離杯子上沿 2cm 與蜂蜜相對的點(diǎn)A 處，則螞蟻從外壁A 處到達(dá)內(nèi)壁 B 處的
最短距離為 cm．
3．【問題背景】如圖 1，深圳市洪湖公園內(nèi)有一大湖，湖心有一人造小島，那是鳥兒們的樂園，湖四周各有
一條步道．為了提升公園內(nèi)人與自然的和諧品質(zhì)，盡量避免人類活動影響鳥類生活，現(xiàn)對步道進(jìn)行升級改
造，要求步道離小島至少 40 米．為了測得步道離島的距離，施工人員計劃實施如下方案：如圖 2，記小島
為點(diǎn) P，首先在筆直的步道 l1上找一處 A（ AP ^ l1），一工人沿步道 l1從點(diǎn) A 出發(fā)直走 80 米到達(dá) B 處，又繼
續(xù)前行 80 米到達(dá)點(diǎn) C 處，接著從 C 處沿與步道 l1垂直的方向行走，當(dāng)?shù)竭_(dá) D 處時，P、B、D 剛好在同一
直線上，最后工人測得CD的長為 75 米．
請根據(jù)以上信息，回答下面的問題：
【問題探究】
（1）求小島離步道 l1的垂直距離PA．
【問題拓展】
（2）在第（1）問的條件下，如圖 3，有相鄰的另一條筆直步道 l2，小島 P 到 l2的距離PM = a 米，點(diǎn) A 到 L
的距離 AN = 80 - a 米，在MN 之間有一任意點(diǎn) E，當(dāng)PE + AE的最小值為 100 米時，
①M(fèi)N = 米（直接寫出結(jié)果）．②為了避免人類活動影響鳥類生活，請問步道 l2是否符合要求？請用學(xué)過的
數(shù)學(xué)知識說明原因．
【方法遷移】
（3）若將 x，3- x ，2，2 分別看作四條線段的長，結(jié)合圖 2，構(gòu)造適當(dāng)?shù)膸缀螆D形求代數(shù)式
x2 + 4 + 3- x 2 + 4 的最小值為 （直接寫出）．
1．如圖是一個三級臺階，它的每一級的長、寬、高分別為 20dm、3dm、2dm．A 和 B 是這個臺階上兩個相對
的端點(diǎn)，點(diǎn) A 處有一只螞蟻，則螞蟻沿著臺階面爬行到點(diǎn) B 的最短路程為（　　）
A． 481dm B． 20dm C． 25dm D．35dm
2．如圖，在學(xué)校工地的一根空心鋼管外表面距離左側(cè)管口 2cm 的點(diǎn)M 處有一只小蜘蛛，它要爬行到鋼管內(nèi)
表面距離右側(cè)管口5cm的點(diǎn) N 處覓食，已知鋼管橫截面的周長為18cm，長為15cm，則小蜘蛛需要爬行的
最短距離是（ ）
A．5cm B． 4cm C．9 5cm D．15cm
3．著名畫家畢加索的作品《女孩》中充滿著幾何圖形，她手中所握的帆船模型就是我們熟悉的三角形組合
而成，如圖，在△ABD 中， AB = AD , AE ^ BD ，若BC =10,CD = 6，則 AC 2 - AD2 的值為（ ）
A．16 B．24 C．32 D．60
4．勾股定理是用代數(shù)思想解決幾何問題最重要的工具，也是數(shù)形結(jié)合的紐帶之一．如圖，當(dāng)秋千靜止時，
踏板 B 離地的垂直高度BE = 0.8m ，將它往前推3m 至 C 處時(即水平距離CD = 3m )，踏板離地的垂直高度
CF = 2.6m ，它的繩索始終拉直，則繩索 AC 的長是（ ）
A．3.4m B．3.6m C．3.8m D． 4.2m
5．如圖，圓柱形筆筒的內(nèi)部底面直徑是9cm，內(nèi)壁高為12cm．將一根長18cm的鉛筆放置于筆筒中（鉛筆
的直徑忽略不計），鉛筆露在筆筒外的長度為 acm ，則 a的取值范圍是（ ）
A．9 < a <12 B．6 a 12 C．3 < a < 9 D．3 a 6
6．如圖，釣魚竿 AB 的長為 2 2 米，露在水面上的魚線BC 長為 1 米．當(dāng)釣魚者把釣魚竿 AB 轉(zhuǎn)到 AB 的位
置時，露在水面上的魚線B C 長為 2 米，則CC 的長為（ ）
A．1 米 B． ( 7 - 2) 米 C． 7 米 D． (2 2 - 2) 米
7．如圖，象棋盤中各個小正方形的邊長為 1．“馬”從圖中的位置出發(fā)，不走重復(fù)路線，按照馬走日的規(guī)則，
走兩步后的落點(diǎn)與出發(fā)點(diǎn)間的最遠(yuǎn)距離為 ．
8．如圖，圓柱的底面周長是10cm，圓柱高為12cm，一只螞蟻如果要沿著圓柱的表面從下底面點(diǎn) A 爬到與
之相對的上底面點(diǎn) B，那么它爬行的最短路程為 ．
9．如圖，已知 A，B，C 是海上的三座小島，島 B 在島 A 的北偏東38°方向上，距離為 12 海里，島 C 在島
A 的北偏東方向上，距離為 13 海里，島 B 和島 C 之間的距離為 5 海里，則島 B 在島 C 的北偏西 方
向上.
10．在筆直的鐵路上A 、B 兩點(diǎn)相距 25km，C 、D為兩村莊，DA =10km，CB =15km，DA ^ AB于A ，CB ^ AB
于 B ，現(xiàn)要在 AB 上建一個中轉(zhuǎn)站E ，使得C 、D兩村到E 站的距離相等．則E 應(yīng)建在距A km．
11．如圖，透明的圓柱形容器（容器厚度忽略不計）的高為12cm，底面周長為10cm，在容器內(nèi)壁離容器底
部3cm 的點(diǎn) B 處有一飯粒，此時一只螞蟻正好在容器外壁，且離容器上沿3cm 的點(diǎn)A 處，則螞蟻吃到飯粒
需爬行的最短路徑是 cm．
12．如圖 1 是一種伸縮式的鞋架，它有平放和斜放兩種使用方式．鞋架每側(cè)有 6 根長度相等的支架，支點(diǎn)
O，P，Q 為各支架的中點(diǎn)．鞋架平放得圖 2，面板BH 的長為24cm ，此時鞋架高度為54cm，則支架 AD 的
長為 cm；鞋架斜放得圖 3，此時調(diào)節(jié)桿 AL 的端點(diǎn) L 正好卡在面板BH 的調(diào)節(jié)孔點(diǎn) G 處，
AL =13cm，HG =10cm， AOB = 60°，則鞋架最高點(diǎn) H 到地面MN 的距離是 cm．
13．如圖，有一個繩索拉直的木馬秋干，繩索 AB 的長度為 5 米，若將它往水平方向向前推進(jìn) 3 米（即 DE = 3
米），且繩索保持拉直的狀態(tài)，求此時木馬上升的高度．
14．如圖，一輛小汽車在一條限速 40 km/h 的街路上沿直道行駛，某一時刻剛好行駛到路面車速檢測儀 A 的
正前方 60 m處的 C 點(diǎn)，測得小汽車所在的 B 點(diǎn)與車速檢測儀 A 之間的距離為 100 m．
(1)求 B，C 間的距離．
(2)這輛小汽車超速了嗎？請說明理由．
15．一架方梯長 25 米，如圖，斜靠在一面墻上，梯子底端離墻 7 米，
(1)這個梯子的頂端距地面有多高？
(2)如果梯子的頂端下滑了 4 米，那么梯子的底端在水平方向滑動了幾米？
16．“兒童散學(xué)歸來早，忙趁東風(fēng)放紙鳶”．又到了放風(fēng)箏的最佳時節(jié)．某校八年級（1）班的小明和小亮學(xué)
習(xí)了“勾股定理”之后，為了測得風(fēng)箏的垂直高度CE，他們進(jìn)行了如下操作：①測得水平距離BD的長為 15
米；②根據(jù)手中剩余線的長度計算出風(fēng)箏線BC 的長為 25米；③牽線放風(fēng)箏的小明的身高為1.6米．
(1)求風(fēng)箏的垂直高度CE；
(2)如果小明想風(fēng)箏沿CD方向下降 12 米，則他應(yīng)該往回收線多少米？
17．在一條東西走向的河流一側(cè)有一村莊C ，河邊原有兩個取水點(diǎn) A, B，其中 AB = AC ，由于某種原因，
由C 到A 的路現(xiàn)在已經(jīng)不通，該村為方便村民取水，決定在河邊新建一個取水點(diǎn)D（ A, D, B 在同一條直線
上），并新修一條路CD，測得CB = 6.5千米，CD = 6千米，BD = 2.5千米．
(1)求 CDB 的度數(shù)；
(2)求原來的路線 AC 的長．
18．如圖所示，在一次夏令營活動中，小明從營地 A 點(diǎn)出發(fā)，沿北偏東60°方向走了500 3 米到達(dá) B 點(diǎn)，然
后再沿北偏西30°方向走了 500 米到達(dá)目的地 C 點(diǎn)．
(1)判斷VABC 的形狀；
(2)求 A、C 兩點(diǎn)之間的距離；
(3)確定目的地 C 在營地 A 的什么方向．

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