資源簡介

第 07 講 探索勾股定理（第 1 課時）（2 個知識點+13 大題型+18
道強化訓練）
課程標準 學習目標
1.勾股定理的真麻煩發； 1.掌握勾股定理的證明方法；
2.勾股定理的逆定理； 2.掌握勾股數的概念；
3.用勾股定理構造三角形證明； 3、學會用勾股定理構造圖形解決問題；
4、勾股定理逆定理；
知識點 01：勾股定理
1.勾股定理：直角三角形兩直角邊的平方和等于斜邊的平方．如果用 a ，b， c 分別表示直角三角形的兩直
角邊和斜邊，那么 a2 b2 c2．
數學小史：勾股定理是我國最早發現的，中國古代把直角三角形中較短的直角邊稱為勾，
較長的直角邊稱為股，斜邊稱為弦，“勾股定理”因此而得名．（在西方文獻中又稱為畢達
哥拉斯定理）。據《周髀算經》記載，公元前 1000 多年就發現“勾三股四弦五”的結論。
2.。注意：（1）“直角三角形”是勾股定理的前提條件，解題時，首先看題目中有沒有具備這個
條件，只有具有這個條件，才能利用勾股定理求第三條邊。
（2）在應用勾股定理時要注意它的變式：
a 2 b2 c 2 a 2 c 2 b2 b2 c 2 a 2；c 2 (a b)2 2ab
（3）應用勾股定理時要分清直角三角形中的直角邊和斜邊，在一些直角三角形中斜邊不一定是用字母 c表
示，只有當 C 900 時， a 2 b2 c 2 ，若 B 900 ，則 a 2 c 2 b2 。
（4）在實際問題中，若圖中無直角，可通過添加輔助線來構造直角三角形。
2.勾股定理的驗證
方法一：將四個全等的直角三角形拼成如圖（1）所示的正方形．
　　　 圖（1）中 ，所以 ．
　　　　　
方法二：將四個全等的直角三角形拼成如圖（2）所示的正方形．
　　　　 　　圖（2）中 ，所以 ．
　　　　　　
方法三：如圖（3）所示，將兩個直角三角形拼成直角梯形．
　　　　　　
　　　　 ，所以 ．
【即學即練 1】
1．若Rt△ABC 的兩邊長為5和12，則第三邊長為（ ）
A．13 B． 26 C． 119 D．13或 119
【即學即練 2】
2．如圖，在四邊形 ABCD中， DAB BCD 90°，分別以四邊形 ABCD的四條邊為邊向外作四個正方形，
面積分別為 a，b ， c，d ．若 a 2，b c 10，則d 為（ ）
A．8 B．9 C．12 D．20
知識點 02：勾股定理的逆定理
1.勾股定理的逆定理：如果一個三角形的三邊長分別為 , , ，且 2 + 2 = 2，那么這個三角形是直角
三角形．
勾股定理與其逆定理的區別與聯系：
區別：勾股定理是以“一個三角形是直角三角形”為條件，進而得到這個三角形三邊的數量關系，即 2 +
2 = 2；勾股定理的逆定理是以“一個三角形的三邊滿足 2 + 2 = 2”為條件，進而得出這個三角形是直角
三角形，是識別一個三角形是直角三角形的重要依據。
聯系：（1）兩者都與三角形三邊關系 2 + 2 = 2有關；（2）兩者都與直角三角形有關。
2. 勾股數
滿足關系 2 + 2 = 2的三個正整數 , , 稱為勾股數。
常見的勾股數有：（1）3，4,5； （2）6,8,10； （3）9，12,15； （4）5,12,13； （5）8,15,17； （6）
7,24,25；
【即學即練 3】
3．下列條件中，不能判定VABC 為直角三角形的是（ ）
A． A : B : C 7 : 3 :11 B． A+ B C
C． a : b : c 7 : 24 : 25 D．a2 9,b2 1,c 10
【即學即練 4】
4．已知VABC ， A， B， C 的對邊分別是 a，b ， c，下列命題的逆命題成立的是（ ）
A．若 A C B ，則VABC 為直角三角形
B．若 a : b : c 3: 4 : 5，則 C 90°
C．若VABC 為直角三角形，則 A : B : C 5 : 2 : 3
D 2．若 a b c b c ，則VABC 是直角三角形
題型 01 勾股定理的證明方法
1．勾股定理是數學定理中證明方法最多的定理之一，也是用代數思想解決幾何問題的最重要的工具之一，
下列圖形中可以證明勾股定理的有（ ）
A．①②③ B．②③④ C．①②④ D．①③④
2．在勾股定理的學習過程中，我們已經學會了運用圖形驗證著名的勾股定理，這種根據圖形直觀推論或驗
證數學規律和公式的方法，簡稱為“無字證明”，它體現了數形結合的思想．下列選項中的圖形，不能證明勾
股定理得是（ ）
A． B． C． D．
3．如圖所示的趙爽弦圖是由四個全等的直角三角形和小正方形拼的大正方形．如果直角三角形中較短的直
角邊長為 a，較長的直角邊長為b ，大正方形的邊長是 41,b a 1，那么 ab ．
4．到目前為止，勾股定理的證明已超過 400 種，其中一種簡潔易懂方法叫做“常春證法”，兩個直角三角形
如圖擺放，已知RtDABC≌RtDDEF ，點 F 落在 AC 上，點 C 與點 E 重合，斜邊 AB 與斜邊CD交于點 M，
連接 AD ，BD，若 AC＝9，BC＝5，則四邊形 ABCD的面積為 ．
5．勾股定理神秘而美妙，它的證法多樣，且巧妙各有不同，其中的“面積法”給了小聰以靈感．他驚喜地發
現：當兩個全等的直角三角形如圖（1）或圖（2）擺放時，都可以用“面積法”來證明勾股定理．
下面是小聰利用圖（1）證明勾股定理的過程：
將兩個全等的直角三角形按如圖（1）所示擺放，其中 DAB 90°．求證： a2 b2 c2．
題型 02 以弦圖為背景的計算題
1．如圖是我國古代著名的“趙爽弦圖”的示意圖，此圖是由四個全等的直角三角形拼接而成，其中 AE 5，
BE 12，則EF 的值是( )
A．7 2 B． 13 C． 2 3 D．7
2．用四個全等的直角三角形鑲嵌而成的正方形如圖所示，已知大正方形的面積為 49，小正方形的面積為
4，若 x ，y 表示直角三角形的兩直角邊長 (x > y)，給出以下四個結論：① x2 y2 49；② x y 2；③ 2xy 45；
④ x y 9，其中正確的結論是（ ）
A．①②③ B．①②③④ C．①③ D．②④
3．如圖，“趙爽弦圖”是由四個全等的直角三角形和一個小正方形構成的大正方形，若直角三角形的兩邊長
分別為 3 和 5，則小正方形的面積為 ．
4．如圖 1，四個全等的直角三角形圍成一個大正方形，中間是一個小正方形，這個圖形是我國漢代趙爽在
注解《周髀算經》時給出的，人們稱它為“趙爽弦圖”，若圖 1 中的直角三角形的長直角邊為 5，大正方形的
面積為 29，連接圖 2 中四條線段得到如圖 3 的新圖案，求圖 3 中陰影部分的面積
5．我國三國時期的杰出數學家趙爽在注解《周髀算經》時，巧妙地運用弦圖證明了勾股定理．如圖，在10 15
的正方形網格中，將弦圖 ABCD放大，使點 A，B，C，D 的對應點分別為 A ，B ，C ， D ．
(1) A C 與 AC 的比值為 　 　；
(2)補全弦圖 A B C D ．
題型 03 勾股定理與無理數
1．如圖，在RtVOAB 中，OA 2， AB 1，OA在數軸上，以原點O為圓心，斜邊OB 的長為半徑畫弧，交
負半軸于一點，則這個點表示的實數是（ ）
A． 5 B． 5 C． 2 D． 2
2．如圖，正方形OABC 的邊長為1，OA在數軸上，以原點O為圓心，對角線OB 的長為半徑畫弧，交正半
軸于一點，則這個點表示的實數是（ ）
A．1 B．1.5 C． 3 D． 2
3．如圖，已知OA OB, AC ^ OB 于點C，點C對應的數是 2, AC 1，那么數軸上點B所表示的數是 ．
4．如圖，在數軸上作一個5 5的正方形網格，以原點O為圓心，陰影正方形的邊長 AO 為半徑畫弧，交數
軸正半軸于點 B ，則點 B 在數軸上表示的數為 ．
5．我們在學習有理數時，可以根據有理數在數軸上的位置關系比較有理數的大小，某數學興趣小組發現可
以用相同的方法比較無理數的大小，請根據他們的探究過程，完成下列問題．
(1)借助網格，并用尺規畫出 5 與 13 ﹣1 在數軸上的位置；
(2)根據 5 與 13 1在數軸上的位置，可得 5 ______ 13 1；
(3)若 a 為 13 的小數部分，b 為 13 的整數部分，求 a b 13 ．
題型 04 用勾股定理構造圖形解決問題
1．一個長方形抽屜長 20cm ，寬30cm，貼抽屜底面放一根木棒，那么這根木棒最長（不計木棒粗細）可以
是（ ）
A．30cm B．35cm C．36cm D．37cm
2．如圖，學校有一塊長方形花圃，有極少數人為了避開拐角走“捷徑”，在花圃內走出了一條“路”．他們僅
僅少走了幾步路，卻踩傷了花草．他們少走的路長為（ ）
A． 2m B．3m C．3.5m D． 4m
3．如圖，長方體盒內長、寬、高分別是8cm 、6cm、 21cm ，盒內可放木棒最長的長度是 ．
4．一座城墻高12m，墻外有一條寬5m的護城河，那么一架云梯至少要 m 才能到達城墻的頂端．
5．如圖，某自動感應門的正上方 A 處裝著一個感應器，離地的高度 AB 為 2.5米，當人體進入感應器的感應
范圍內時，感應門就會自動打開．一個身高1.6米的學生CD正對門，緩慢走到離門1.2米的地方時 (BC =1.2
米），感應門自動打開， AD 為多少米？
題型 05 勾股數問題
1．下列各組數據中，是勾股數的是（ ）
A． 3， 4 ， 5 B．6，7，8 C．1，2，3 D．9，12，15
2．有三個正整數，如果其中兩個數的平方的和等于第三個數的平方，那么這三個數就是勾股數，例如：3，
4，5 這三個數，因為32 9 ，42 16 ，52 25，可以計算得出32 42 52，所以 3，4，5 是勾股數．運用上
述信息進行判斷，下列選項中是勾股數的是（ ）
A．1，2，3 B．6，8，10 C．3，5，7 D．2，2，4
3．勾股定理最早出現在商高的《周髀算經》：“勾廣三，股修四，經隅五”．觀察下列勾股數：3，4，5：5，
12，13；7，24，25；…這類勾股數的特點是：勾為奇數，弦與股相差為 1．柏拉圖研究了勾為偶數，弦與
股相差為 2 的一類勾股數，如 6，8，10；8，15，17；…若此類勾股數的勾為 2m （m 3，m 為正整數），
則其股是 （結果用含 m 的式子表示）．
4．我們知道，以 3，4，5 為邊長的三角形是直角三角形，稱 3，4，5 為勾股數組，記為 3,4,5 ，可以看作
22 1,2 2,22 1 ；同時 8，6，10 也為勾股數組，記為 8,6,10 ，可以看作 32 1,3 2,32 1 ．類似的，依
次可以得到第三個勾股數組 15,8,17 ．請根據上述勾股數組規律，寫出第 5 個勾股數組： ．
5．定義： , , 為正實數，若 c2 a2 b2，則稱 c為“和諧勾股數”， a,b為 c的“兄弟勾股數”．如52 32 42，
則5是“和諧勾股數”，3，4是5的“兄弟勾股數”．
(1)數10______“和諧勾股數”（填“是”或“不是”）；
(2)已知VABC的三邊 , , 滿足 a2 b2 c2 2a 2b 2 2c 4 0 ．求證： c是“和諧勾股數”．
題型 06 勾股定理與網格問題
1．如圖，4 4方格紙中小正方形的邊長為 1．A ，B 兩點在格點上，請在圖中格點上找到點C ，使得VABC
的面積為 2．滿足條件的點C 的個數是（ ）
A．2 B．4 C．5 D．6
2．如圖，大正方形是由邊長為 1 的小正方形拼成的，A，B，C，D 四個點是小正方形的頂點，以其中三個
點為頂點，可以構成等腰三角形的個數是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
3．如圖，在一個由 4×4 個邊長為 1 的小正方形組成的正方形網絡，陰影部分面積是 ．
4．如圖，方格紙中小正方形的邊長為 1，VABC 的三個頂點都在小正方形的格點上，優秀同學在觀察探究
ABC ABC 4時發現：①V 的形狀是等腰三角形；②V 的周長是 2 10 2 ；③點 C 到 邊的距離是 105 ．你
認為優秀同學觀察的結論正確的序號是 ．
5．如圖，網格紙中每個小正方形的邊長均為 1，線段 AB ，CD的端點均在小正方形的頂點上：
(1)在圖中畫出以 AB 為斜邊的等腰直角VABE ，點 E 在小正方形的頂點上；
(2)在圖中畫出以CD為腰的等腰VCDF ，其VCDF 的面積為 4，點 F 在正方形的頂點上；
(3)連接EF ，請直寫出線段 EF 的長．
題型 07 勾股定理與折疊問題
1．如圖，長方形 ABCD中，AB 3cm ，AD 9cm，將此長方形折疊，使點 B 與點 D 重合，折痕為EF ．則
VABE 的面積為 （ ）
A．6cm2 B．8cm2 C．10cm2 D．12cm2
2． 在長方形 ABCD中， AB 8，BC 10，E 是CD邊上一點，連接 BE ，把VBEC 沿 BE 翻折，點C 恰好
落在 AD 邊上的F 處，延長EF ，與 ABF 的平分線交于點M ，BM 交 AD 于點 N ，則 NF 的長度為（　　）
10 15
A． 2 2 B． C．4 D．3 4
3． 如圖，在三角形紙片 ABC 中， ACB 90°， BC 5 ， AB 12，點 E 在線段 AB 上，將VABC 沿著CE
折疊，CA的對應邊CD剛好過點 B，則 BE 的長 ．
4．如圖，有一個長方形紙片 ABCD，AB 6cm, BC 10cm，點 E 為CD上一點，將紙片沿 AE 折疊，BC 的
對應邊B C 恰好經過點 D，則線段DE 的長為 cm．
5．如圖，紙片 ABCD為長方形紙片，把紙片 ABCD折疊，使點 B 恰好落在CD邊上的 E 處，折痕為 AF ．已
知 AB 10， AD 8．
(1)求DE 的長．
(2)求 BF 的長．
題型 08 利用勾股定理求兩條線段的平方和（差）
1．在△ABC 中，∠C＝90°，AB＝3，則 AB2+BC2+AC2的值為（ ）
A．6 B．9 C．12 D．18
2．如圖，在△ABC 中，AB＝6，AC＝9，AD⊥BC 于 D，M 為 AD 上任一點，則 MC2－MB2等于（ ）
A．29 B．32 C．36 D．45
3．對角線互相垂直的四邊形叫做“垂美”四邊形，現有如圖所示的“垂美”四邊形 ABCD，對角線 AC，BD交
于點O，若 AD 3， BC 8，則 AB2 CD2 ．
4．如圖，四邊形 ABCD 的對角線 AC，BD 交于點 O．若 AC ^ BD ，AB 4，CD 5 ，則BC 2 AD2 ．
5．如圖，在VABC 中， AD ^ BC ．
(1)求證： AB2 - AC 2 = BD2 -CD2；
(2)當 AB 8，BC 6， AC 2 13時，求 AD 的值．
題型 09 利用勾股定理證明線段平方關系
1．如圖，在VABC 中， AB BC AC ， AE CD ， 與BE相交于點 P，BQ ^ AD 于 Q．則BP與BQ的
關系為（　　）
A．BP2 2BQ2 B．3BP2 4BQ2 C． 4BP2 3BQ2 D． 2BP2 3BQ2
2．對角線互相垂直的四邊形叫做“垂美”四邊形，現有如圖所示的“垂美”四邊形 ABCD，對角線 AC，BD交
于點O．若 AD 1，BC 4，則 AB2 CD2 等于（ ）
A．15 B．16 C．17 D． 20
3．對角線互相垂直的四邊形叫做“垂美”四邊形，如圖，在“垂美”四邊形 ABCD中，對角線 AC，BD 交于點
O，若 AD 7，BC 24，則 AB2 CD2 ．
4．如圖，在四邊形 ABCD中，對角線分別為 AC ， ，且 AC ^ BD 于點O，若 AD＝2，BC＝6，則
AB2 CD2＝ ．
5．如圖，在VABC 中， AB AC ， AD ^ BC 于點 D， CBE 45°，BE 分別交 AC ， AD 于點 E、F，連接
CF ．
(1)判斷VBCF 的形狀，并說明理由；
(2)若 AF BC ，求證：BF 2 EF 2 AE2 ．
題型 10 以直角三角形三邊為邊長的圖形面積
1．如圖，在Rt△ABC 中， ACB 90°，以Rt△ABC 的三邊為邊向外作三個正方形，其面積分別用 S ，S ，S
表示．若 S 10，S 3，則S 的值是（ ）
A．3 B．5 C．7 D．9
2．有一個面積為 1 的正方形，經過一次“生長”后，在它的左右肩上生出兩個小正方形（如圖 1），其中，三
個正方形圍成的三角形是直角三角形，再經過一次“生長”后，生出了 4 個正方形（如圖 2），如果按此規律
繼續“生長”下去，它將變得“枝繁葉茂”；在“生長”了 2023 次后形成的圖形中所有正方形的面積和是（ ）
A．2021 B．2022 C．2023 D．2024
3．在直線 L 上依次擺放著七個正方形（如圖所示）．已知斜放置的三個正方形的面積分別 1、4、9，正放置
的四個正方形的面積依次為 S1， S2， S3 ， S4 ，則 S1 S2 S3 S4 的值是 ．
4．如圖，在Rt△ABC 中，分別以這個三角形的三邊為邊長向外側作正方形，面積分別記為 S1, S2 , S3 ，若
S3 S2 S1 18．則圖中陰影部分的面積為
5．如圖，在Rt△ABC 中， ABC 90°，分別以VABC 的三邊為直徑畫半圓，
(1)若 AB 8， AC 10，求兩個月形圖案（陰影部分）的面積的和．
(2)求證：兩個月形圖案（陰影部分）的面積的和等于VABC 的面積．
題型 11 用勾股定理解三角形
1．如圖，在Rt△ABC 中， C 90°, D 為 AB 的中點，連接CD，若CD 5, AC 6，則BC 的長為（ ）
A．5 2 B．8 C．5 3 D．10
2．如圖，在四邊形 ABCD中，連接 AC ，已知 AD DC 4， AB 7 ， ABC 90°， AB∥CD，則BC
（ ）
A． 7 B．5 C． 33 D．2
3．把兩塊同樣大小的含 45°角的三角尺，按如圖方式放置，其中一塊三角尺的銳角頂點與另一塊的直角頂
點重合于點 A，且另三個銳角頂點 B，C，D 在同一直線上，若 AB 2 2 ，則CD ．
4．如圖，在VABC 中， AB AC, BC 4,△DEF 的周長是 8， AF ^ BC 于點F , BE ^ AC 于點E ，且點D是
AB 的中點，則 AF 等于 ．
5．如圖，在VABC 中， AB AC ，BD ^ AC 于點 D．
(1)若 A 42° ，求 DBC 的度數；
(2)若CD 1，BC 2 2 ，求BD，AB 的長．
題型 12 利用勾股定理的逆定理求解
1．如圖，已知VABC 中， AB 的垂直平分線交BC 于點 D， AC 的垂直平分線交BC 于點 E，點 M，N 為垂
足，若BD
3
，DE 2 5， EC 2 ，則 AC 的長為（ ）2
A 3 10． B 3 6 3 5． C． D．3 2
2 2 2
2．如圖，老李家有一塊草坪，家里想整理它，需要知道其面積，老李測量了草坪各邊得知：AB 3米，BC 4
米， AD 12 米，CD 13米，且 AB ^ CB．則這塊草坪的面積是（ ）
A．36m2 B． 26m2 C．30m2 D． 40m2
3．如圖，在VABC 中， AB 3, AC 5， AD 是邊BC 上的中線， AD 2，則△ACB的面積是 ．
4．如圖，在四邊形 ABCD中， AB 3，BC 13，CD 12， AD 4，且 A 90°，則四邊形 ABCD的面積
是 ．
5．如圖，VABC 中， AB AC ，BC 長為 10，點D是 AC 上的一點，BD 8，CD 6．
(1)求證：BD ^ AC ；
(2)求線段 AB 的長．
題型 13 勾股定理逆定理的實際應用
1．我國南宋著名數學家秦九韶的著作《數書九章》里記載有這樣一道題：“問有沙田一塊，有三斜，其中
小斜五里，中斜十二，大斜十三，欲知為田幾何？”這道題講的是：有一塊空角形沙田，三條邊長分別為 5，
12，13，問該沙田的面積為（ ）
A．60 B．75 C．30 D．78
2．小數同學向東走 5 米，沿另一個方向又走了 12 米，再沿著第三個方向走了 13 米回到原地，那么小數同
學向東走 5 米后所走的方向是（ ）
A．向北 B．向南 C．向西 D．向南或向北
3．如圖，在 B 港有甲、乙兩艘漁船，若甲船沿北偏東60°的方向以每小時8海里速度前進，乙船沿南偏東某
方向以每小時15海里的速度前進， 2小時后甲船到M 島，乙船到 P 島，兩島相距34海里，則乙船沿
方向航行．
4．如圖，某港口C 在南北方向的海岸線上，快、慢兩艘船同時離開港口，各自沿一固定方向航行，已知快、
慢兩船每小時分別航行 12 海里和 5 海里，2 小時后兩船分別位于點 A ， B 處，且相距 26 海里，如果知道
快船沿北偏西50°方向航行，那么乙船沿 方向航行．
5．臺風“煙花”登錄我國沿海地區，風力強，累計降雨量大，影響范圍大，有極強的破壞力．如圖，臺風“煙
花”中心沿東西方向 由A 向 B 移動，已知點C 為一海港，且點C 與直線 上的兩點A 、 B 的距離分別為
AC 300km，BC 400km，又 AB 500km ，經測量，距離臺風中心 260km及以內的地區會受到影響．
(1)求 ACB 的度數；
(2)海港C 受臺風影響嗎？為什么？
(3)若臺風中心的移動速度為 25 千米 / 時，則臺風影響該海港持續的時間有多長？
1．在Rt△ABC 中，斜邊BC 4，則 AB2 AC 2 BC 2 的值為（ ）
A．32 B．28 C．8 D．4
2．已知VABC 的三邊分別是 a、b、c，下列條件中不能判斷VABC 為直角三角形的是（ ）
A． A+ B C B． A: B: C 1: 2: 3
C． a2 b2 c2 D． a2 5，b2 12，c2 13
3．已知RtVABC 的兩條直角邊分別為 6，8，現將RtVABC 按如圖所示的方式折疊，使點A 與點 B 重合，則 BE
的長為（ ）
25 15 25 15
A． B． C． D．
2 2 4 4
4．如圖，在VABC 中， AC 2， B 45°， C 30°，則BC 的長度為（　　）
A． 3 B．2 C．1 3 D．3
5．如圖，在對角線互相垂直的四邊形 ABCD中， ACD 60°， ABD 45°．A 到CD距離為 6，D 到 AB 距
離為 4，則四邊形 ABCD面積等于（ ）
A．6 6 B．12 6 C．8 6 D．16 6
6．如圖， BAC BDC 90°，點E 為BC 的中點，EF ^ AD 于點F ，若BC 10，AD 6，則△AED 的
面積為（　　）
A．6 B．10 C．12 D．15
7．一直角三角形兩邊長為 a，b，且滿足 a 1 b 2 0 ，則其第三邊長為 ．
8．如圖所示，在VABC中， C 90°，AC AB 10，BC 3，求 AC 的長度．在這個問題中，可求得 AC
的長度為 ．
9．如圖，分別以VABC 各邊為邊在VABC 外作正方形，S1，S2，S3 分別表示這三個正方形的面積，已知 S1 81，
S2 144， S3 225，則VABC 是 三角形．
10．如圖所示的“趙爽弦圖”是由四個全等直角三角形和一個小正方形拼成的一個大正方形，設直角三角形較
2
長直角邊長為 a，較短直角邊長為b ，若 a b 21，小正方形的面積為 6，則大正方形的面積為 ．
11．如圖，在VABC 中，點 D 是BC 邊上一點，連接 AD ，把△ABD 沿著 AD 翻折，得到VAB D，B D 與 AC
交于點 M，且 M 為DB 的中點，連接BB 交 AD 于點 N，若 AB 4 2 ， AN 4，SVAB M 7，則點 B 到DB
的距離為 ．
12．如圖，邊長為 2 的正VABC ，兩頂點 A、B 分別在直角 MON 的兩邊上滑動，點 C 在 MON 的內部，
則OC 的長的最大值為 ；
13．若 a，b 是一直角三角形的兩邊長，且滿足等式 2 2a 4 3 2 a b 5．
(1)求 a，b 的值；
(2)求第三邊的長．
9
14．如圖，在VABC中，CD ^ AB 于D， AC 4，BC 3，DB ，求 的長．
5
15．如圖， AB AC,CD ^ AB, BE ^ AC ，垂足分別為 D，E．
(1)求證：VABE≌VACD ；
(2)若 AE 6,CD 8，求BD的長．
16．勾股定理是數學史上的兩個寶藏之一，小亮學習了數方格、借助于面積的方法知道了勾股定理，學習
之余，他又對Rt△ABC （ ACB 90°）進行了一系列的探究、猜想、驗證和運用，請你和他一起完成下面
的過程：
(1)填空：
①如圖 1，將Rt△ABC 放置在邊長都為 1 的正方形網格中，則 S1、S2、S3 之間的關系是______．
②如圖 2，假設以Rt△ABC 的三邊向形外作等邊三角形為：△ACD、△BCF、△AEB ，若 AC 6, BC 8，則
S1、S2、S3 之間的關系是_______．
(2)如圖 3，以Rt△ABC 的三邊為直徑向形外作半圓，若BC a, AC b, AB c，那么你在（1）中所發現的
S1、S2、S3 之間的關系是否還成立，并說明理由．
(3)如圖 4，以Rt△ABC 的三邊為直徑向形外作半圓，已知陰影部分的面積為 8，則 SVABC ______．（直接填
寫出結果）
17．我們定義：如果兩個等腰三角形頂角相等，且頂角頂點互相重合，則稱此圖形為“手拉手全等模型”．因
為頂點相連的四條邊，形象的可以看作兩雙手，所以通常稱為“手拉手全等模型”．
(1)例如，如圖 1，VABC 與VADE 都是等腰三角形，其中 BAC DAE ，則△ABD≌△________
（________）；
(2)類比：如圖 2，已知VABC 與VADE 都是等腰三角形， AB AC ， AD AE ，且 BAC DAE ，求證：
BD CE ；
(3)拓展：如圖 3， BAC DAE 90°， AB AC ， AD AE ，試探索線段CD，BD， AD 之間滿足的等
量關系，并證明結論．
18．定義：如果三角形有兩個內角的差為60°，那么這樣的三角形叫做“準等邊三角形”．
【理解概念】
（1）頂角為120°的等腰三角形 “準等邊三角形”．（填“是”或“不是”）
【鞏固新知】
（2）已知VABC 是“準等邊三角形”，其中 A 35°， C > 90°．求 B 的度數．
【解決問題】
（3）如圖，在Rt△ABC 中， ACB 90°， A 30°，BC 1 3 ，點 D 在 AC 邊上，若△BCD是“準等
邊三角形”，直接寫出BD的長．第 07 講 探索勾股定理（第 1 課時）（2 個知識點+13 大題型+18
道強化訓練）
課程標準 學習目標
1.勾股定理的真麻煩發； 1.掌握勾股定理的證明方法；
2.勾股定理的逆定理； 2.掌握勾股數的概念；
3.用勾股定理構造三角形證明； 3、學會用勾股定理構造圖形解決問題；
4、勾股定理逆定理；
知識點 01：勾股定理
1.勾股定理：直角三角形兩直角邊的平方和等于斜邊的平方．如果用 a ，b， c 分別表示直角三角形的兩直
角邊和斜邊，那么 a2 b2 c2．
數學小史：勾股定理是我國最早發現的，中國古代把直角三角形中較短的直角邊稱為勾，
較長的直角邊稱為股，斜邊稱為弦，“勾股定理”因此而得名．（在西方文獻中又稱為畢達
哥拉斯定理）。據《周髀算經》記載，公元前 1000 多年就發現“勾三股四弦五”的結論。
2.。注意：（1）“直角三角形”是勾股定理的前提條件，解題時，首先看題目中有沒有具備這個
條件，只有具有這個條件，才能利用勾股定理求第三條邊。
（2）在應用勾股定理時要注意它的變式：
a 2 b2 c 2 a 2 c 2 b2 b2 c 2 a 2；c 2 (a b)2 2ab
（3）應用勾股定理時要分清直角三角形中的直角邊和斜邊，在一些直角三角形中斜邊不一定是用字母 c表
示，只有當 C 900 時， a 2 b2 c 2 ，若 B 900 ，則 a 2 c 2 b2 。
（4）在實際問題中，若圖中無直角，可通過添加輔助線來構造直角三角形。
2.勾股定理的驗證
方法一：將四個全等的直角三角形拼成如圖（1）所示的正方形．
　　　 圖（1）中 ，所以 ．
　　　　　
方法二：將四個全等的直角三角形拼成如圖（2）所示的正方形．
　　　　 　　圖（2）中 ，所以 ．
　　　　　　
方法三：如圖（3）所示，將兩個直角三角形拼成直角梯形．
　　　　　　
　　　　 ，所以 ．
【即學即練 1】
1．若Rt△ABC 的兩邊長為5和12，則第三邊長為（ ）
A．13 B． 26 C． 119 D．13或 119
【答案】D
【分析】分兩種情況考慮：若12為直角邊，可得出5也為直角邊，第三邊為斜邊，利用勾股定理求出斜邊，
即為第三邊；若12為斜邊，可得5和第三邊都為直角邊，利用勾股定理即可求出第三邊．
【詳解】解：①若12為直角邊，可得5為直角邊，第三邊為斜邊，
根據勾股定理得第三邊為 52 122 13；
②若12為斜邊，5和第三邊都為直角邊，
根據勾股定理得第三邊為 122 52 119 ，
則第三邊長為13或 119 ．
故選：D．
【點睛】此題主要考查了勾股定理，利用了分類討論的思想，熟練掌握勾股定理是解本題的關鍵．
【即學即練 2】
2．如圖，在四邊形 ABCD中， DAB BCD 90°，分別以四邊形 ABCD的四條邊為邊向外作四個正方形，
面積分別為 a，b ， c，d ．若 a 2，b c 10，則d 為（ ）
A．8 B．9 C．12 D．20
【答案】A
【分析】連接BD，由勾股定理得BD2 AB2 AD2 BC 2 CD2 ，代入 a，b，c，d 整理可得答案．
【詳解】解：如圖，連接BD，
由題意可知： a AB2 ，b BC 2 ， c CD2 ， d AD2，
在Rt△ABD 和RtVBCD中，
∵BD2 AB2 AD2 BC 2 CD2 ，即 a d b c ，
∴ d 10 2 8，
故選：A．
【點睛】本題主要考查的是勾股定理的靈活運用，解答的關鍵是利用兩個直角三角形公共的斜邊．
知識點 02：勾股定理的逆定理
1.勾股定理的逆定理：如果一個三角形的三邊長分別為 , , ，且 2 + 2 = 2，那么這個三角形是直角
三角形．
勾股定理與其逆定理的區別與聯系：
區別：勾股定理是以“一個三角形是直角三角形”為條件，進而得到這個三角形三邊的數量關系，即 2 +
2 = 2；勾股定理的逆定理是以“一個三角形的三邊滿足 2 + 2 = 2”為條件，進而得出這個三角形是直角
三角形，是識別一個三角形是直角三角形的重要依據。
聯系：（1）兩者都與三角形三邊關系 2 + 2 = 2有關；（2）兩者都與直角三角形有關。
2. 勾股數
滿足關系 2 + 2 = 2的三個正整數 , , 稱為勾股數。
常見的勾股數有：（1）3，4,5； （2）6,8,10； （3）9，12,15； （4）5,12,13； （5）8,15,17； （6）
7,24,25；
【即學即練 3】
3．下列條件中，不能判定VABC 為直角三角形的是（ ）
A． A : B : C 7 : 3 :11 B． A+ B C
C． a : b : c 7 : 24 : 25 D．a2 9,b2 1,c 10
【答案】A
【分析】根據三角形的內角和定理和勾股定理的逆定理逐項判斷即得答案.
【詳解】解：A、∵ A : B : C 7 : 3 :11，
11 11
∴此三角形的最大角為 C 180° 180° > 90° ，
3 7 11 21
∴VABC 不是直角三角形；
B、∵ A+ B C ， A B C 180°，
∴ 2 C 180°，即 C 90°，
∴VABC 為直角三角形；
C、∵ a : b : c 7 : 24 : 25，
∴設 a 7k,b 24k,c 25k ，
a2 b2 7k 2∵ 24k 2 25k 2 c2，
∴VABC 為直角三角形；
D、∵a2 9,b2 1,c 10 ，
2
∴ a2 b2 1 9 10 10 c2 ，
∴VABC 為直角三角形；
故選：A.
【點睛】本題考查了三角形的內角和定理和勾股定理的逆定理，屬于常考題型，熟練掌握勾股定理的逆定
理是解題的關鍵.
【即學即練 4】
4．已知VABC ， A， B， C 的對邊分別是 a，b ， c，下列命題的逆命題成立的是（ ）
A．若 A C B ，則VABC 為直角三角形
B．若 a : b : c 3: 4 : 5，則 C 90°
C．若VABC 為直角三角形，則 A : B : C 5 : 2 : 3
D a2．若 b c b c ，則VABC 是直角三角形
【答案】C
【分析】先寫出每個命題的逆命題，然后利用直角三角形的性質和判定方法分別判斷得出答案．
【詳解】解：A 選項的逆命題為：若VABC 為直角三角形，則 A C B ，不成立，不合題意；
B 選項的逆命題為：若 C 90°，則 a : b : c 3: 4 : 5，不成立，不合題意；
C 選項的逆命題為：若 A : B : C 5 : 2 : 3 ，則VABC 為直角三角形，
∵ A : B : C 5 : 2 : 3
∴ A 180
5
° 90°，故VABC 為直角三角形，
10
∴選項成立，符合題意；
D 2、選項的逆命題為：若VABC 是直角三角形，則 a b c b c ，不成立，不合題意；
故選：C．
【點睛】此題主要考查了命題與定理，正確掌握直角三角形的性質和判定方法是解題關鍵．
題型 01 勾股定理的證明方法
1．勾股定理是數學定理中證明方法最多的定理之一，也是用代數思想解決幾何問題的最重要的工具之一，
下列圖形中可以證明勾股定理的有（ ）
A．①②③ B．②③④ C．①②④ D．①③④
【答案】D
【分析】此題考查了勾股定理的證明，熟練掌握利用圖形面積相等證明勾股定理是解題的關鍵．利用同一
個圖形的面積的不同表示方法進行驗證即可．
S 1 a b 2 1 a2 2ab b2 1 1 1 1【詳解】解：① 梯形 2 2， S梯形 ab ab c 2ab c ，2 2 2 2 2 2
1
∴ a2 2ab b2 1 2ab c2 ，2 2
整理得 a2 b2 c2，
故①滿足題意；
②沒有體現直角三角形斜邊的長度，故②不符合題意；
S c2 S 1 ab 4 b a 2 a2 b2③ 正方形 或 正方形 ，2
∴ a2 b2 c2，
故③符合題意；
2 1 2 2
④ S正方形 a b a2 2ab b2 或 S正方形 ab 4 c 2ab c ，2
∴ a2 2ab b2 2ab c2，
∴ a2 b2 c2，
故④滿足題意；
故選：D
2．在勾股定理的學習過程中，我們已經學會了運用圖形驗證著名的勾股定理，這種根據圖形直觀推論或驗
證數學規律和公式的方法，簡稱為“無字證明”，它體現了數形結合的思想．下列選項中的圖形，不能證明勾
股定理得是（ ）
A． B． C．
D．
【答案】C
【分析】本題考查勾股定理的證明，根據各個圖形，利用面積的不同表示方法，列式證明結論 a2 b2 c2，
找出不能證明的那個選項．
2 1 2
【詳解】解：A、通過大正方形面積的不同表示方法，可以列式 a b 4 ab c ，可得 a2 b2 c2，可2
以證明勾股定理，不符合題意；
1
B 2、通過大正方形面積的不同表示方法，可以列式 c 4 ab b a 2 a2 b2 ，可得 a2 b22 c
2，可以證
明勾股定理，不符合題意；
C 2、通過大正方形面積的不同表示方法，可以列式 a b a2 2ab b2 ，不能證明勾股定理，符合題意；
D a b
2
、通過梯形的面積的不同表示方法，可以列式 2 1 ab 1 c2 ，可得 a2 b2 c2，可以證明勾股定
2 2 2
理，不符合題意；
故選：C．
3．如圖所示的趙爽弦圖是由四個全等的直角三角形和小正方形拼的大正方形．如果直角三角形中較短的直
角邊長為 a，較長的直角邊長為b ，大正方形的邊長是 41,b a 1，那么 ab ．
【答案】20
【分析】由題意可知:大正方形的邊長為 41，b a 1，根據勾股定理和正方形的面積以及題目給出的已知
數據即可求 ab的長度．
【詳解】解：由題意可知：大正方形的邊長為： 41，
直角三角形邊長分別為 a，b
\根據勾股定理可得： a2 b2 41，
又Qb a 1，
可得： a 4，b 5，
\ab 5．
故答案為：20
【點睛】本題考查勾股定理的證明，解題的關鍵是熟練運用幾何直觀和圖形面積，本題屬于基礎題形．
4．到目前為止，勾股定理的證明已超過 400 種，其中一種簡潔易懂方法叫做“常春證法”，兩個直角三角形
如圖擺放，已知RtDABC≌RtDDEF ，點 F 落在 AC 上，點 C 與點 E 重合，斜邊 AB 與斜邊CD交于點 M，
連接 AD ，BD，若 AC＝9，BC＝5，則四邊形 ABCD的面積為 ．
【答案】53
【分析】根據全等三角形的性質可得DF＝AC＝9，CF＝BC＝5，再根據四邊形 ABCD的面積等于DDAC 的
面積與DDBC 的面積的和，列出算式計算即可求解．
【詳解】解：∵RtDABC≌RtDDEF ，
∴DF＝AC＝9，CF＝BC＝5，
1 1
∴ S四邊形ABCD SDDAC SDDBC = 9 9+ 5 5=53 ．2 2
故答案為：53．
【點睛】本題考查了勾股定理的證明，關鍵是求出DF＝AC＝9，CF＝BC＝5，以及由圖形得到四邊形 ABCD
的面積等于DDAC 的面積與DDBC 的面積的和．
5．勾股定理神秘而美妙，它的證法多樣，且巧妙各有不同，其中的“面積法”給了小聰以靈感．他驚喜地發
現：當兩個全等的直角三角形如圖（1）或圖（2）擺放時，都可以用“面積法”來證明勾股定理．
下面是小聰利用圖（1）證明勾股定理的過程：
將兩個全等的直角三角形按如圖（1）所示擺放，其中 DAB 90°．求證： a2 b2 c2．
【答案】見解析
【分析】此題考查了勾股定理的證明，用兩種方法表示出四邊形的面積是解本題的關鍵．證明勾股定理時，
用幾個全等的直角三角形拼成一個規則的圖形，然后利用大圖形的面積等于幾個小圖形的面積和，化簡整
理即可得到勾股定理表達式．
【詳解】證明：如圖（1），連接DB，過點D作BC 邊上的高DF ，則DF EC b a ．
QS 1 2 1四邊形ADCB S△ACD S△ABC b ab，2 2
S S S 1 1ADCB VADB VDCB c
2 a b a
四邊形 ，2 2
1 1 1 1
\ b2 ab c2 a b a ，
2 2 2 2
\a2 b2 c2 ．
題型 02 以弦圖為背景的計算題
1．如圖是我國古代著名的“趙爽弦圖”的示意圖，此圖是由四個全等的直角三角形拼接而成，其中 AE 5，
BE 12，則EF 的值是( )
A．7 2 B． 13 C． 2 3 D．7
【答案】A
【分析】本題考查了勾股定理；12和5為兩條直角邊長時，求出小正方形的邊長7 ，即可利用勾股定理得出
EF 的值．
【詳解】解：Q AE 5，BE 12，即12和5為兩條直角邊長時，
小正方形的邊長 12 5 7 ，
\EF 72 72 7 2
故選：A．
2．用四個全等的直角三角形鑲嵌而成的正方形如圖所示，已知大正方形的面積為 49，小正方形的面積為
4，若 x ，y 表示直角三角形的兩直角邊長 (x > y)，給出以下四個結論：① x2 y2 49；② x y 2；③ 2xy 45；
④ x y 9，其中正確的結論是（ ）
A．①②③ B．①②③④ C．①③ D．②④
【答案】A
【分析】本題考查了勾股定理的應用，完全平方公式，算術平方根的應用．本題利用算術平方根的含義可
判斷②，再利用勾股定理可判斷①，利用等面積法可判斷③，結合完全平方公式可判斷④，從而可得答案．
【詳解】解：如圖，
∴ x y CE 4 2，故②符合題意，
∵VABC 為直角三角形，
∴根據勾股定理： x2 y2 AB2 49，故①符合題意，
由圖可知，四個直角三角形的面積與小正方形的面積之和為大正方形的面積，
4 1可得： xy 4 49，
2
即 2xy 45；故③符合題意；
ì2xy 45
∵ íx2 y
2 49，
∴ x2 2xy y2 45 49 94，
整理得， x y 2 94，
∵ x y > 0，
∴ x y 94 ；故④不符合題意，
∴正確結論有①②③．
故選：A．
3．如圖，“趙爽弦圖”是由四個全等的直角三角形和一個小正方形構成的大正方形，若直角三角形的兩邊長
分別為 3 和 5，則小正方形的面積為 ．
【答案】1 或 4
【分析】本題考查了勾股定理、正方形的性質；分兩種情況：①5 為斜邊時，由勾股定理求出另一直角邊長
為 4，小正方形的邊長 4 3 1，即可得出小正方形的面積；②3 和 5 為兩條直角邊長時，求出小正方形的
邊長 2，即可得出小正方形的面積；即可得出結果．
【詳解】解：分兩種情況：
①5 為斜邊時，
由勾股定理得：另一直角邊長 52 32 4 ，
\小正方形的邊長 4 3 1，
\小正方形的面積 12 1；
②3 和 5 為兩條直角邊長時，
小正方形的邊長 5 3 2，
\小正方形的面積 22 4；
綜上所述：小正方形的面積為 1 或 4；
故答案為：1 或 4．
4．如圖 1，四個全等的直角三角形圍成一個大正方形，中間是一個小正方形，這個圖形是我國漢代趙爽在
注解《周髀算經》時給出的，人們稱它為“趙爽弦圖”，若圖 1 中的直角三角形的長直角邊為 5，大正方形的
面積為 29，連接圖 2 中四條線段得到如圖 3 的新圖案，求圖 3 中陰影部分的面積
【答案】21
【分析】本題主要考查了勾股定理中趙爽弦圖模型．利用勾股定理，求出 AB CD 2，從而得到
S△ADC 2，再由陰影部分的面積等于大正方形的面積減去空白部分面積，即可求解．
【詳解】解：如圖，
根據題意得：BC 5, AC 2 29， ABC 90°， AB CD，
∴ AB AC 2 BC 2 2，
∴CD 2，
S 1∴ VADC CD AB 2，2
∴陰影部分的面積為 29 4 2 21．
故答案為：21
5．我國三國時期的杰出數學家趙爽在注解《周髀算經》時，巧妙地運用弦圖證明了勾股定理．如圖，在10 15
的正方形網格中，將弦圖 ABCD放大，使點 A，B，C，D 的對應點分別為 A ，B ，C ， D ．
(1) A C 與 AC 的比值為 　 　；
(2)補全弦圖 A B C D ．
【答案】(1)2
(2)見解析
【分析】本題考查勾股定理與網格，解題的關鍵是讀懂題意，理解弦圖證明勾股定理．
（1）觀察正方形 ABCD和正方形 A B C D 的關系可得答案；
（2）按要求補全圖形即可．
【詳解】（1）解：∵ AB BC CD AD 12 22 5 ，
A B B C C D A D 22 42 2 5 ，
∴ A B 2AB，B C 2BC ，C D 2CD ， A D 2AD ，
∴正方形 ABCD放大為原來的 2 倍即得正方形 A B C D ，
∴ A C 與 AC 的比值為 2；
故答案為：2；
（2）解：補全弦圖 A B C D 如下：
題型 03 勾股定理與無理數
1．如圖，在RtVOAB 中，OA 2， AB 1，OA在數軸上，以原點O為圓心，斜邊OB 的長為半徑畫弧，交
負半軸于一點，則這個點表示的實數是（ ）
A． 5 B． 5 C． 2 D． 2
【答案】B
【分析】本題考查了勾股定理和用數軸上的點表示無理數，熟練掌握知識點是解題的關鍵，先利用勾股定
理求出OB 的長度，再根據在數軸的正負半軸求解即可．
【詳解】在RtVOAB 中，OA 2， AB 1，
∴OB AB2 OA2 5 ，
∵以原點O為圓心，斜邊OB 的長為半徑畫弧，交負半軸于一點，
∴這個點表示的實數是 5 ，
故選：B．
2．如圖，正方形OABC 的邊長為1，OA在數軸上，以原點O為圓心，對角線OB 的長為半徑畫弧，交正半
軸于一點，則這個點表示的實數是（ ）
A．1 B．1.5 C． 3 D． 2
【答案】D
【分析】本題考查了實數與數軸，勾股定理，利用勾股定理求出OB 即求解，掌握勾股定理的應用是解題的
關鍵．
【詳解】解：∵四邊形OABC 為正方形，
∴OA AB 1， OAB 90°，
∴OB = 12 +12 = 2 ，
∴這個點表示的實數是 2，
故選：D ．
3．如圖，已知OA OB, AC ^ OB 于點C，點C對應的數是 2, AC 1，那么數軸上點B所表示的數是 ．
【答案】 5
【分析】本題考查實數與數軸，勾股定理與無理數，勾股定理求出OA的長，進而得到OB 的長，即可得出
結果．
【詳解】解：由題意，得：OB OA OC 2 AC 2 5 ，
∴點 B 所表示的數是 5 ；
故答案為： 5 ．
4．如圖，在數軸上作一個5 5的正方形網格，以原點O為圓心，陰影正方形的邊長 AO 為半徑畫弧，交數
軸正半軸于點 B ，則點 B 在數軸上表示的數為 ．
【答案】 13
【分析】本題考查勾股定理、數軸上點表示無理數等知識，在網格中由勾股定理求出 AO 13，結合尺規
作圖得到OB 13，即可得到答案，熟練掌握勾股定理求線段長的求法及數軸上點表示的無理數是解決問
題的關鍵．
【詳解】解：在5 5的正方形網格， AO 22 32 13 ，
Q以原點O為圓心，陰影正方形的邊長 AO 為半徑畫弧，交數軸正半軸于點 B ，
\OB 13 ，即點 B 在數軸上表示的數為 13 ，
故答案為： 13 ．
5．我們在學習有理數時，可以根據有理數在數軸上的位置關系比較有理數的大小，某數學興趣小組發現可
以用相同的方法比較無理數的大小，請根據他們的探究過程，完成下列問題．
(1)借助網格，并用尺規畫出 5 與 13 ﹣1 在數軸上的位置；
(2)根據 5 與 13 1在數軸上的位置，可得 5 ______ 13 1；
(3)若 a 為 13 的小數部分，b 為 13 的整數部分，求 a b 13 ．
【答案】(1)見解析
(2)＜
(3)4
【分析】本題考查了實數與數軸，勾股定理，準確的用數軸上的點表示實數并用數軸比較大小及估算無理
數大小是本題解題關鍵．
（1）以 5 為斜邊的直角三角形的直角邊為 1 和 2，以 13 為斜邊的直角三角形的直角邊為 2 和 3，以此為
已知尺規作圖即可；
（2）由（1）中數軸可直觀比較；
（3）求出 13 的小數部分和整數部分，再代入計算即可．
【詳解】（1）如圖，點 A 為 5 ，點 B 為 13 1，
（2）∵數軸上右邊的點大于左邊的點，
∴由圖得，為 5 < 13 1，
故答案為：＜；
（3）∵3 < 13 < 4，
∴ 13 的整數部分為 3，小數部分為 13 3，
∴ a 13 3，b 3，
∴ 13 3 3 13
13 9
4．
題型 04 用勾股定理構造圖形解決問題
1．一個長方形抽屜長 20cm ，寬30cm，貼抽屜底面放一根木棒，那么這根木棒最長（不計木棒粗細）可以
是（ ）
A．30cm B．35cm C．36cm D．37cm
【答案】C
【分析】本題考查了勾股定理的應用，熟練掌握勾股定理是解題的關鍵．根據勾股定理即可得到結論．
【詳解】解：Q 202 302 1300，362 1296,372 1369，
\這根木棒最長（不計木棒粗細）可以是36cm，
故選：C．
2．如圖，學校有一塊長方形花圃，有極少數人為了避開拐角走“捷徑”，在花圃內走出了一條“路”．他們僅
僅少走了幾步路，卻踩傷了花草．他們少走的路長為（ ）
A． 2m B．3m C．3.5m D． 4m
【答案】D
【分析】本題主要考查了勾股定理的應用，明確少走的路為 AC BC AB是解本題的關鍵．利用勾股定理
求出 AB 的長，再根據少走的路長為 AC BC AB，計算即可．
【詳解】解：Q ACB 90°， AC 5m，BC 12m ，
\ AB AC 2 BC 2 52 122 13 m ，
\少走的路長為 AC BC AB 5 12 13 4 m ，
故選：D．
3．如圖，長方體盒內長、寬、高分別是8cm 、6cm、 21cm ，盒內可放木棒最長的長度是 ．
【答案】11cm /11 厘米
【分析】兩次運用勾股定理：兩直角邊的平方和等于斜邊的平方即可解決．
【詳解】解：長和寬組成的長方形的對角線長為 62 82 10cm．
這根最長的棍子和矩形的高，以及長和寬組成的長方形的對角線組成了直角三角形．
盒內可放木棒最長的長度是 ( 21)2 102 11cm．
故答案為：11cm．
【點睛】此題考查勾股定理的應用，解題關鍵在于理解最長的棍子和矩形的高，以及長和寬組成的長方形
的對角線長組成了直角三角形．
4．一座城墻高12m，墻外有一條寬5m的護城河，那么一架云梯至少要 m 才能到達城墻的頂端．
【答案】13
【分析】根據已知得出兩條直角邊，再利用勾股定理求出梯子的高度即可．
【詳解】解：根據題意，
∵一座城墻高12m，墻外有一條寬5m的護城河，
由勾股定理，則
一架云梯至少要 122 52 13米；
故答案為：13
【點睛】此題主要考查了勾股定理的應用，正確的記憶勾股定理確定好斜邊與直角邊是解決問題的關鍵．
5．如圖，某自動感應門的正上方 A 處裝著一個感應器，離地的高度 AB 為 2.5米，當人體進入感應器的感應
范圍內時，感應門就會自動打開．一個身高1.6米的學生CD正對門，緩慢走到離門1.2米的地方時 (BC =1.2
米），感應門自動打開， AD 為多少米？
【答案】 2.5米
【分析】過點D作DE ^ AB于點E ，構造RtVADE ，利用勾股定理求得 AD 的長度即可．
【詳解】解：如圖，過點D作DE ^ AB于點E ，
Q AB 2.5米，BE CD 1.6米，ED BC 1.2 米，
\ AE = AB - BE = 2.5-1.6 = 0.9（米）．
在RtVADE 中，由勾股定理得到： AD AE2 DE2 0.92 1.22 2.5（米），
答： AD 為 2.5米．
【點睛】本題考查了勾股定理的應用，解題的關鍵是作出輔助線，構造直角三角形，利用勾股定理求得線
段 AD 的長度．
題型 05 勾股數問題
1．下列各組數據中，是勾股數的是（ ）
A． 3， 4 ， 5 B．6，7，8 C．1，2，3 D．9，12，15
【答案】D
【分析】本題考查勾股定理逆定理，兩條較短線段的平方和等于較長線段的平方．
根據勾股定理逆定理判斷即可．
【詳解】解：A、 ( 3)2 ( 4)2 ( 5)2，不能組成直角三角形，不符合題意；
B、62 72 82 ，不能組成直角三角形，不符合題意；
C、1 2 3，不能組成三角形，不符合題意；
D、92 122 152，能組成直角三角形，符合題意；
故選：D．
2．有三個正整數，如果其中兩個數的平方的和等于第三個數的平方，那么這三個數就是勾股數，例如：3，
4，5 這三個數，因為32 9 ，42 16 ，52 25，可以計算得出32 42 52，所以 3，4，5 是勾股數．運用上
述信息進行判斷，下列選項中是勾股數的是（ ）
A．1，2，3 B．6，8，10 C．3，5，7 D．2，2，4
【答案】B
【分析】本題考查勾股數，根據題意給出的勾股數的定義，進行判斷即可．
【詳解】解：A、12 22 32 ，不符合題意；
B、62 82 102，符合題意；
C、32 52 72，不符合題意；
D、 22 22 42 ，不符合題意；
故選 B．
3．勾股定理最早出現在商高的《周髀算經》：“勾廣三，股修四，經隅五”．觀察下列勾股數：3，4，5：5，
12，13；7，24，25；…這類勾股數的特點是：勾為奇數，弦與股相差為 1．柏拉圖研究了勾為偶數，弦與
股相差為 2 的一類勾股數，如 6，8，10；8，15，17；…若此類勾股數的勾為 2m （m 3，m 為正整數），
則其股是 （結果用含 m 的式子表示）．
【答案】 a m2 1
【分析】本題考查了勾股數的定義及求法：滿足 a2 b2 c2的三個正整數稱為勾股數；根據題意得 2m 為偶
數，設其股是 a，則玄為 a 2，根據勾股定理列方程即可得到結論．
【詳解】解：∵m 為正整數，
∴ 2m 為偶數，
設其股是 a，則弦為 a 2，
根據勾股定理得， (2m)2 a2 (a 2)2 ，
解得： a m2 1，
故答案為： a m2 1．
4．我們知道，以 3，4，5 為邊長的三角形是直角三角形，稱 3，4，5 為勾股數組，記為 3,4,5 ，可以看作
22 1,2 2,22 1 ；同時 8，6，10 2 2也為勾股數組，記為 8,6,10 ，可以看作 3 1,3 2,3 1 ．類似的，依
次可以得到第三個勾股數組 15,8,17 ．請根據上述勾股數組規律，寫出第 5 個勾股數組： ．
【答案】 35,12,37
【分析】本題考查數字型規律探究、勾股數，能從數字等式中找到變化規律是解答的關鍵．
根據給出的 3 組數以及勾股數的定義即可得出答案．
【詳解】解：上述四組勾股數組的規律是：32 42 52 ,62 82 102 ,82 152 172，
2 2 2即 n 1 2n 2 n2 1 ，
2 2 2∴ 6 1 2 6 2 62 1
所以第 5 個勾股數組為 35,12,37 ，
故答案為： 35,12,37 ．
5．定義： , , 為正實數，若 c2 a2 b2，則稱 c為“和諧勾股數”， a,b為 c的“兄弟勾股數”．如52 32 42，
則5是“和諧勾股數”，3，4是5的“兄弟勾股數”．
(1)數10______“和諧勾股數”（填“是”或“不是”）；
(2)已知VABC的三邊 , , 滿足 a2 b2 c2 2a 2b 2 2c 4 0 ．求證： c是“和諧勾股數”．
【答案】(1)是
(2)證明過程見詳解
【分析】本題主要考查勾股定理的運用，定義新運算，理解定義新運算的規則，掌握勾股定理的運用是解
題的關鍵．
（1）根據定義，運用勾股定理即可求解；
（2）運用完全平方公式，偶次冪的非負性，分別算出 a，b，c 的值，根據定義新運算的方法即可求解．
【詳解】（1）解：∵102 62 82，
∴10是“和諧勾股數”，
故答案為：是；
（2）證明：已知 a2 b2 c2 2a 2b 2 2c 4 0 ，
∴ a2 2a 1 b2 2b 1 c2 2 2c 2 0，
2 2 2
∴ a 1 b 1 c 2 0，
2
∵ a 1 2 0， b 1 2 0 ， c 2 0 ，
∴a 1，b 1， c 2 ，都是正實數，
2
∵ a2 1，b2 1， c2 2 2 ，
∴ c2 a2 b2，
∴ c是“和諧勾股數”．
題型 06 勾股定理與網格問題
1．如圖，4 4方格紙中小正方形的邊長為 1．A ，B 兩點在格點上，請在圖中格點上找到點C ，使得VABC
的面積為 2．滿足條件的點C 的個數是（ ）
A．2 B．4 C．5 D．6
【答案】D
【分析】本題考查了網格與三角形面積，勾股定理，利用數形結合的思想解決問題是關鍵．由勾股定理可
知， AB 2 2 ，再根據三角形面積找出與 距離 2的格點即可．
【詳解】解：如圖，滿足條件的點有 6 個；
故選：D．
2．如圖，大正方形是由邊長為 1 的小正方形拼成的，A，B，C，D 四個點是小正方形的頂點，以其中三個
點為頂點，可以構成等腰三角形的個數是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【分析】此題綜合考查了勾股定理及等腰三角形的定義．根據勾股定理分別求得每兩個點之間的距離的平
方，再進一步利用等腰三角形的定義進行分析．
【詳解】解：根據勾股定理，
得 AB 22 42 2 5, AC 1 22 5, AD 1 32 10, BC 5, BD 1 32 10,CD 32 42 5，
\ AD BD ，則△ABD 是等腰三角形，BC CD ，則△BCD是等腰三角形，
共 2 個等腰三角形．
故選：B．
3．如圖，在一個由 4×4 個邊長為 1 的小正方形組成的正方形網絡，陰影部分面積是 ．
【答案】10
【分析】此題考查了勾股定理及正方形的面積的計算．結合網格圖，利用勾股定理求正方形邊長是解此題
的關鍵．先利用勾股定理計算得EF 長，再利用正方形面積公式即可求得答案．
【詳解】∵△AEF 為直角三角形，由勾股定理得：
EF AE2 AF 2 12 32 10 ，
故易知陰影為正方形，
故 S EF 2 ( 10)2陰影 10.
故答案為：10
4．如圖，方格紙中小正方形的邊長為 1，VABC 的三個頂點都在小正方形的格點上，優秀同學在觀察探究
時發現：①VABC
4
的形狀是等腰三角形；②VABC 的周長是 2 10 2 ；③點 C 到 邊的距離是 105 ．你
認為優秀同學觀察的結論正確的序號是 ．
【答案】①③/③①
【分析】①結合圖形及等腰三角形的判定進行分析即可；
②利用勾股定理求得各邊的長度，從而可判斷；
③求得VABC 的面積，再求點 C 到 邊的距離即可判斷．
本題主要考查等腰三角形的性質，勾股定理，解答的關鍵是對相應的知識的掌握與運用．
【詳解】
解： 方格紙中小正方形的邊長為 1，VABC 的三個頂點都在小正方形的格點上，
∴ AB 12 32 10 ，
BC = 12 +32 = 10 ，
∴ AB BC ，
∴VABC 是等腰三角形，
故①結論正確；
∵ AC 22 22 2 2 ，
∴VABC 的周長為： AB BC AC 10 10 2 2 2 10 2 2 ，
故②的結論錯誤；
S 32 1∵ △ABC 1 3
1
2 2 1 1 3
2 2 2
9 3 3 2
2 2
4，
∴點 C 到 AB 邊的距離為：2 4 10
4
10 ，
5
故③結論正確．
故答案為：①③．
5．如圖，網格紙中每個小正方形的邊長均為 1，線段 AB ，CD的端點均在小正方形的頂點上：
(1)在圖中畫出以 AB 為斜邊的等腰直角VABE ，點 E 在小正方形的頂點上；
(2)在圖中畫出以CD為腰的等腰VCDF ，其VCDF 的面積為 4，點 F 在正方形的頂點上；
(3)連接EF ，請直寫出線段 EF 的長．
【答案】(1)如圖所示
(2)如圖所示
(3)5
【分析】本題考查勾股定理、等腰三角形的判定與性質，熟悉網格特點和等腰三角形的判定與性質是解答
的關鍵．
（1）根據網格特點和勾股定理及其逆定理，結合等腰三角形的判定作圖即可；
（2）根據網格特點和勾股定理，結合等腰三角形的判定與性質作圖即可；
（3）利用網格特點和勾股定理求解即可．
【詳解】（1）解：如圖，VABE 即為所求：
證明： AB2 42 22 20 ，BE 2 AE 2 32 12 10，
∴ AE2 BE2 AB2 ， AE BE ，
∴VABE 是等腰直角三角形；
（2）解：如圖，VCDF 即為所求：
理由：CD2 CF 2 42 12 17，
∴CD CF
1
，則VCDF 是等腰三角形， SVCDF 2 4 4 ．2
（3）解：EF 2 32 42 25，則 EF 5．
題型 07 勾股定理與折疊問題
1．如圖，長方形 ABCD中，AB 3cm ，AD 9cm，將此長方形折疊，使點 B 與點 D 重合，折痕為EF ．則
VABE 的面積為 （ ）
A．6cm2 B．8cm2 C．10cm2 D．12cm2
【答案】A
【分析】本題考查勾股定理與折疊問題根據折疊的性質，得到BE DE ，設 AE x，在Rt△BAE 中，利用
勾股定理求出 AE 的長，利用面積公式求出VABE 的面積即可．
【詳解】解：∵四邊形 ABCD為長方形，
∴ BAE 90°，
∵折疊，
∴BE DE ，
設 AE x，則： BE DE 9 x ，
在Rt 2△BAE 中，BE2 AE2 AB2 ，即： 9 x x2 32 ，
解得： x 4cm ；
即： AE 4cm ，
1 1
∴VABE 2的面積為 AB × AE 3 4 6cm ．
2 2
故選：A．
2． 在長方形 ABCD中， AB 8，BC 10，E 是CD邊上一點，連接 BE ，把VBEC 沿 BE 翻折，點C 恰好
落在 AD 邊上的F 處，延長EF ，與 ABF 的平分線交于點M ，BM 交 AD 于點 N ，則 NF 的長度為（　　）
10 15
A． 2 2 B． C．4 D．3 4
【答案】B
【分析】本題考查折疊的性質，角平分線的性質，過點 N 作 NG ^ BF ，可得 AN NG ，設 AN NG x，
勾股定理求出 AF 的長，表示出FN 的長，等積法列出方程求出 x 的值即可．
【詳解】解：過點 N 作 NG ^ BF ，
∵長方形 ABCD，
∴ A 90°，
∵ BM 平分 ABF ，
∴ NA NG，
由翻折可得BC BF 10，
由勾股定理，得： AF BF 2 AB2 6，
設 AN NG x，
∴FN AF AN 6 x，
1
∵ SVBNF FN × AB
1
BF × NG，
2 2
∴8 6 x 10x，
解得： x
8
，
3
∴FN 6
8 10
；
3 3
故選：B．
3． 如圖，在三角形紙片 ABC 中， ACB 90°， BC 5 ， AB 12，點 E 在線段 AB 上，將VABC 沿著CE
折疊，CA的對應邊CD剛好過點 B，則 BE 的長 ．
10 1
【答案】 /3
3 3
【分析】本題主要考查了勾股定理與折疊問題，熟練掌握勾股定理，用勾股定理列方程是解題的關鍵．先
根據勾股定理求出 AC 的長，再根據折疊的性質得CD AC 13，ED EA，設 BE 為 x，將ED用含 x 的代
數式表示出來，然后在VBDE 中根據勾股定理列方程即可求出 BE 的長．
【詳解】解：∵在VABC 中 ACB 90°， BC 5 ， AB 12
\ AC AB2 BC 2 13，
根據折疊的性質得CD AC 13，ED EA，
∴BD CD BC 13 5 8，
設BE x ，則DE AE 12 x，
在 Rt Rt△BDE 中，根據勾股定理得BE2 BD2 DE2
\ x2 82 12 x 2 ，
x 10解得
3
10
故答案為： ．
3
4．如圖，有一個長方形紙片 ABCD，AB 6cm, BC 10cm，點 E 為CD上一點，將紙片沿 AE 折疊，BC 的
對應邊B C 恰好經過點 D，則線段DE 的長為 cm．
10 1
【答案】 /3
3 3
【分析】本題考查了折疊的性質，勾股定理．
根據折疊的性質可得 AB AB 6cm,CE C E, B C CB 10cm, B B 90°，然后在RtVAB D中，由勾
股定理求出 B D 的長，則可得出C D的長，再在RtVEC D 利用勾股定理進行計算即可求DE 的長．
【詳解】解：∵四邊形 ABCD是長方形，
∴ AD BC 10cm,CD AB 6cm, B C 90°，
根據折疊的性質，得 AB AB 6cm,CE C E, B C CB 10cm, B B 90°，
在RtVAB D中，由勾股定理，得B D AD2 AB 2 8cm ，
∴C D 10 8 2cm，
在RtVEC D 中， C E2 C D2 DE2，
∴ 6 DE 2 22 DE2，
10
解得DE ．
3
10
故答案是：
3
5．如圖，紙片 ABCD為長方形紙片，把紙片 ABCD折疊，使點 B 恰好落在CD邊上的 E 處，折痕為 AF ．已
知 AB 10， AD 8．
(1)求DE 的長．
(2)求 BF 的長．
【答案】(1)6
(2)5
【分析】本題考查折疊性質、勾股定理，熟練掌握折疊性質是解答的關鍵．
（1）根據長方形的性質和折疊性質得到 AE AB 10 ，EF BF ，在RtVADE 中，利用勾股定理求解即可；
（2）設BF x，則在Rt△CEF 中，EF x，CF BC BF 8 x ，CE CD DE 10 6 4，由勾股定理
列方程求解 x 值即可．
【詳解】（1）解：由題意，CD AB 10，BC AD 8， ABC C D 90° ，
由折疊性質得 AE AB 10 ，EF BF ，
在RtVADE 中，DE2 AE2 AD2 102 82 36 ，
∴DE 6 ；
（2）解：設BF x，
在Rt△CEF 中，EF x，CF BC BF 8 x ，CE CD DE 10 6 4，
2
由勾股定理得CE2 CF 2 EF 2 ，則 42 8 x x2 ，
解得 x 5，
故BF 5．
題型 08 利用勾股定理求兩條線段的平方和（差）
1．在△ABC 中，∠C＝90°，AB＝3，則 AB2+BC2+AC2的值為（ ）
A．6 B．9 C．12 D．18
【答案】D
【分析】根據 C 90°，利用勾股定理可得 AB2 BC 2 AC 2 ，據此求解即可．
【詳解】解：如圖示， C 90°
∴在RtVABC 中， AB2 BC 2 AC 2
∴ AB2 BC 2 AC 2 AB2 AB2 2AB2 2 32 18，
故選：D．
【點睛】本題主要考查了勾股定理的性質，掌握直角三角形中，三角形的三邊長 a，b ， c滿足 a2 b2 c2
是解題的關鍵．
2．如圖，在△ABC 中，AB＝6，AC＝9，AD⊥BC 于 D，M 為 AD 上任一點，則 MC2－MB2等于（ ）
A．29 B．32 C．36 D．45
【答案】D
【分析】在 Rt△ABD 及 Rt△ADC 中可分別表示出 BD2及 CD2，在 Rt△BDM 及 Rt△CDM 中分別將 BD2及
CD2的表示形式代入表示出 BM2和 MC2，然后作差即可得出結果．
【詳解】解：在 Rt△ABD 和 Rt△ADC 中，
BD2＝AB2 AD2，CD2＝AC2 AD2，
在 Rt△BDM 和 Rt△CDM 中，
BM2＝BD2＋MD2＝AB2 AD2＋MD2，MC2＝CD2＋MD2＝AC2 AD2＋MD2，
∴MC2 MB2＝（AC2 AD2＋MD2） （AB2 AD2＋MD2）
＝AC2 AB2
＝45．
故選：D．
【點睛】本題考查了勾股定理的知識，題目有一定的技巧性，比較新穎，解答本題需要認真觀察，分別兩
次運用勾股定理求出 MC2和 MB2是本題的難點，重點還是在于勾股定理的熟練掌握．
3．對角線互相垂直的四邊形叫做“垂美”四邊形，現有如圖所示的“垂美”四邊形 ABCD，對角線 AC，BD交
于點O，若 AD 3， BC 8，則 AB2 CD2 ．
【答案】73
【分析】本題考查勾股定理的應用，從題中抽象出勾股定理這一數學模型是解題關鍵．
在Rt△COB 和RtVAOB 中，根據勾股定理得BO2 CO2 CB2，OD2 OA2 AD2，進一步得
BO2 CO2 OD2 OA2 64 9 73，再根據 AB2 BO2 AO2，CD2 OC 2 OD2 ，然后根據等量代換即可
解答．
【詳解】解：∵BD ^ AC ，
∴ COB AOB AOD COD 90°，
在Rt△COB 和RtVAOB 中，根據勾股定理得：BO2 CO2 CB2，OD2 OA2 AD2，
∴CB2 AD2 BO2 CO2 OD2 OA2 64 9 73，
∵ AB2 BO2 AO2，CD2 OC 2 OD2 ，
∴ AB2 CD2 BO2 AO2 OC 2 OD2 BO2 OD2 AO2 OC 2 CB2 AD2 73 .
故答案為：73．
4．如圖，四邊形 ABCD 的對角線 AC，BD 交于點 O．若 AC ^ BD ，AB 4，CD 5 ，則BC 2 AD2 ．
【答案】21
【分析】根據勾股定理即可解答．
【詳解】解：Q AC ^ BD， AB 4，CD 5 ，
\在RtVAOB 中，OA2 +OB2 = AB2 = 42 =16 ，
2
\在RtVCOD 中，OC 2 +OD2 = CD2 = 5 = 5，
又Q在RtVAOD中，OA2 OD2 AD2，
在RtVBOC 中，OB2 OC 2 BC 2 ，
\BC 2 + AD2
= OB2 +OC 2 + OA2 +OD2
= OB2 +OA2 + OC 2 +OD2
AB2 CD2
16 5
21．
【點睛】本題考查了勾股定理的應用，靈活應用勾股定理是解題關鍵．
5．如圖，在VABC 中， AD ^ BC ．
(1)求證： AB2 - AC 2 = BD2 -CD2；
(2)當 AB 8，BC 6， AC 2 13時，求 AD 的值．
【答案】(1)證明見解析；
(2) AD 4 3；
【分析】本題考查了勾股定理和平方差公式的相關證明和計算及解二元一次方程組，熟練掌握和運用勾股
定理是解決問題的關鍵．
（1）在Rt△ABD 和RtVADC 中，分別運用勾股定理可得 AB2 AD2 BD2， AC 2 AD2 CD2 ，利用 AD 邊
相等，聯立兩式移項即得證．
（2）根據第一問的結論，可求出BD2 -CD2 的值，利用平方差公式，結合 BC BD CD 6 ，可求得
BD CD ，而BD CD 6 ，由此可求得BD、CD，由勾股定理即可求出 AD ．
【詳解】（1）證明：Q AD ^ BC ，
\ 在Rt△ABD 和RtVADC 中，根據勾股定理得，
AB2 AD2 BD2， AC 2 AD2 CD2 ，
\ AB2 BD2 = AD2 = AC 2 CD2 ，
移項得： AB2 - AC 2 = BD2 -CD2．
故 AB2 - AC 2 = BD2 -CD2．
（2）解：Q AB2 - AC 2 = BD2 -CD2， AB 8， AC 2 13
\ BD2 -CD2 = AB2 - AC2 = 82 - (2 13)2 = 64 - 52 =12，
\ BD2 -CD2 = (BD +CD（) BD -CD) =12，
Q BC 6，即BD CD 6 ，
\ BD CD 2 ，
ìBD CD 6 ìBD 4
\ íBD CD 2，解得 í ， CD 2
\ AD2 AB2 BD2 82 42 64 16 48，
\ AD 4 3．
題型 09 利用勾股定理證明線段平方關系
1．如圖，在VABC 中， AB BC AC ， AE CD ， 與BE相交于點 P，BQ ^ AD 于 Q．則BP與BQ的
關系為（　　）
A．BP2 2BQ2 B．3BP2 4BQ2 C． 4BP2 3BQ2 D． 2BP2 3BQ2
【答案】B
【分析】此題考查了等邊三角形的性質，勾股定理及全等三角形的判定及性質等知識點的綜合運用能力，
證明VADC ≌VBEA是解題的關鍵．
【詳解】解：∵ AB BC AC ，
∴VABC 是等邊三角形．
∴ BAC C 60°．
∵ AB AC，AE CD，
∴VADC ≌VBEA（SAS），
∴ ABE CAD ．
∵ CAD BAD 60°，
∴ ABE BAD 60°．
∴ BPQ 60°．
∵BQ ^ AD ，
∴ PBQ 30°．
∴BP 2PQ ，
∵ BQP 90°，
∴BP2 PQ2 BQ2 ，
2
∴BP2 1 BP

÷ BQ
2
è 2
∴3BP2 4BQ2
故選：B．
2．對角線互相垂直的四邊形叫做“垂美”四邊形，現有如圖所示的“垂美”四邊形 ABCD，對角線 AC，BD交
于點O．若 AD 1，BC 4，則 AB2 CD2 等于（ ）
A．15 B．16 C．17 D． 20
【答案】C
【分析】根據垂美四邊形的性質，勾股定理的運用即可求解，本題主要考查勾股定理的運用，掌握勾股定
理的計算是解題的關鍵．
【詳解】解：∵四邊形 ABCD是“垂美”四邊形，即 AC ^ BD ，
∴在RtVAOB 中， AB2 OA2 OB2 ，在RtVCOD 中，CD2 OC 2 OD2 ，
∴ AB2 CD2 OA2 OB2 OC 2 OD2 ，
在RtVAOD中， AD2 1 OA2 OD2 ，在RtVBOC 中，BC 2 42 OB2 OC 2 ，
∴ AD2 BC 2 OA2 OB2 OC 2 OD2，
∴ AB2 CD2 AD2 BC 2 1 42 17，
故選：C ．
3．對角線互相垂直的四邊形叫做“垂美”四邊形，如圖，在“垂美”四邊形 ABCD中，對角線 AC，BD 交于點
O，若 AD 7，BC 24，則 AB2 CD2 ．
【答案】625
【分析】本題考查的是垂直的定義，勾股定理的應用，正確理解“垂美”四邊形的定義、靈活運用勾股定理是
解題的關鍵．根據垂直的定義和勾股定理解答即可．
【詳解】解：由題意得： AC ^ BD ，
\ AOD AOB BOC COD 90°,
由勾股定理得， AB2 CD2 AO2 BO2 CO2 DO2 ,
\ AD2 BC 2 AO2 DO2 BO2 CO2 ,
\ AB2 CD2 AD2 BC 2 ,
Q AD 7，BC 24
\ AB2 CD2 72 242 625
故答案為：625．
4．如圖，在四邊形 ABCD中，對角線分別為 AC ， ，且 AC ^ BD 于點O，若 AD＝2，BC＝6，則
AB2 CD2＝ ．
【答案】40
【分析】 、 分別是兩個直角三角形的斜邊。
在RtDAOB中， AB2 OA2 OB2 ，
在RtDCOD中，CD2 OC 2 OD2 ，
AB2 CD2 OA2 OB2 OC 2 OD2 (OA2 OD2 ) (OB2 OC 2 ) AD2 BC 2
進而求解．
【詳解】在RtDAOB中和RtDCOD中， AB2 OA2 OB2 ，CD2 OC 2 OD2 ，
AB2 CD2 OA2 OB2 OC 2 OD2
(OA2 OD2 ) (OB2 OC 2 )
AD2 BC 2
62 22
40
故答案為：40．
【點睛】本題考查了勾股定理的應用，掌握勾股定理是解題的關鍵．
5．如圖，在VABC 中， AB AC ， AD ^ BC 于點 D， CBE 45°，BE 分別交 AC ， AD 于點 E、F，連接
CF ．
(1)判斷VBCF 的形狀，并說明理由；
(2)若 AF BC ，求證：BF 2 EF 2 AE2 ．
【答案】(1)VBCF 為等腰直角三角形，理由見解析
(2)證明見解析
【分析】本題考查的是勾股定理，全等三角形的性質和判定，等腰三角形和等腰直角三角形的性質和判定，
第二問正確作出輔助線是關鍵．
（1）先根據等腰三角形三線合一的性質得BD CD，得 AD 垂直平分BC ，則BF CF ，再利用 CBE 45°
即可證明；
（2）在 BF 上取一點 H，使 BH EF ，連接CH ，證明VCHB≌VAEF SAS ，得 AE CH ， AEF BHC ，
由等腰三角形三線合一的性質得EF FH ，最后由勾股定理和等量代換可得結論．
【詳解】（1）解：VBCF 為等腰直角三角形，理由如下：
∵ AB AC ， AD ^ BC
∴BD CD，
∴ AD 垂直平分BC ，
∴BF CF ，
∵ CBE 45°，
∴ BCF CBF 45°，
∴ CFB 180° 45° 45° 90°，
∴VBCF 為等腰直角三角形；
（2）解：在 BF 上取一點 H，使BH EF ，連接CH ，
∵VBCF 為等腰直角三角形， AD ^ BC ，
∴ CFB 90°， CFD BFD 45°，
∴ AFE 45°，
在VCHB 和△AEF 中，
ì BH EF

í CBH AFE 45°，

BC AF
∴VCHB≌VAEF SAS ，
∴ AE CH ， AEF BHC ，
∴ CEF CHE，
∴CE CH ，
又∵ CFB 90°，
∴EF FH ，
Rt△CFH 中，由勾股定理得：CF 2 FH 2 CH 2 ，
∴BF 2 EF 2 AE2 ．
題型 10 以直角三角形三邊為邊長的圖形面積
1．如圖，在Rt△ABC 中， ACB 90°，以Rt△ABC 的三邊為邊向外作三個正方形，其面積分別用 S ，S ，S
表示．若 S 10，S 3，則S 的值是（ ）
A．3 B．5 C．7 D．9
【答案】C
【分析】本題主要考查了勾股定理，正方形面積，根據勾股定理，結合正方形的面積公式即可求解
【詳解】解：在Rt△ABC 中，由勾股定理得，BC 2 AB2 AC 2 ，
∵以Rt△ABC 的三邊為邊向外作三個正方形，其面積分別用 S ，S ，S 表示．
∴ AB2 10, AC 2 3 ,
∴BC 2 10 3 7,
∴ S2 7 ,
故選：C
2．有一個面積為 1 的正方形，經過一次“生長”后，在它的左右肩上生出兩個小正方形（如圖 1），其中，三
個正方形圍成的三角形是直角三角形，再經過一次“生長”后，生出了 4 個正方形（如圖 2），如果按此規律
繼續“生長”下去，它將變得“枝繁葉茂”；在“生長”了 2023 次后形成的圖形中所有正方形的面積和是（ ）
A．2021 B．2022 C．2023 D．2024
【答案】D
【分析】本題主要考查了勾股定理．設第一個直角三角形的兩條直角邊是 a，b ，斜邊是 c．則
a2 b2 c2 1，“生長”1 次后，以直角三角形兩條直角邊為邊長的正方形的面積和等于以斜邊為邊長的正方
形的面積，“生長”2 次后，所有的正方形的面積和是3 1 3，從而得出規律．
【詳解】解：設第一個直角三角形的兩條直角邊是 a，b ，斜邊是 c．
根據勾股定理，得 a2 b2 c2 1，
由圖 1 可知，“生長”1 次后，以直角三角形兩條直角邊為邊長的正方形的面積和等于以斜邊為邊長的正方形
的面積，
即所有正方形的面積和是 2 1 2，
由圖 2 可知，“生長”2 次后，所有的正方形的面積和是3 1 3，
L
“生長”了 2023 次后形成的圖形中所有的正方形的面積和是 2024 1 2024．
故選：D．
3．在直線 L 上依次擺放著七個正方形（如圖所示）．已知斜放置的三個正方形的面積分別 1、4、9，正放置
的四個正方形的面積依次為 S1， S2， S3 ， S4 ，則 S1 S2 S3 S4 的值是 ．
【答案】10
【分析】本題考查了全等三角形的判定與性質，考查了勾股定理的靈活運用，本題中證明
AB2 DE 2 DE 2 CD2 CE 2 是解題的關鍵．
證△ABC ≌△CDE ，得 AB2 DE 2 DE 2 CD2 CE 2 ，同理FG2 LK 2 HL2，S1 S2 S3 S4 9 1 10．
【詳解】解：如圖所示，
在VABC 和VCDE中，
ìEC AC

í ECD CAB ，

ACB CED
\△ABC≌△CDE(ASA)，
\ AB CD ，BC DE ，
\ AB2 DE2 DE2 CD2 CE2 9，
同理可證FG2 LK 2 HL2 1，
\S1 S2 S
2 2
3 S4 CE HL 9 1 10．
故答案為：10．
4．如圖，在Rt△ABC 中，分別以這個三角形的三邊為邊長向外側作正方形，面積分別記為 S1, S2 , S3 ，若
S3 S2 S1 18．則圖中陰影部分的面積為
9
【答案】
2
【分析】本題考查了勾股定理，解題的關鍵是由勾股定理得出 S3 S1 S2 是解題的關鍵．
由勾股定理得出 S3 S1 S2 ，再根據 S3 S2 S1 18可得出 S2的值，即可求解．
【詳解】解：由勾股定理得：BC 2 AC 2 AB2 ，
即 S3 S1 S2 ，
Q S3 S2 S1 18，
\S2 9，
1
由圖形可知，陰影部分的面積為 S2 ，2
9
∴陰影部分的面積為 ，
2
9
故答案為： ．
2
5．如圖，在Rt△ABC 中， ABC 90°，分別以VABC 的三邊為直徑畫半圓，
(1)若 AB 8， AC 10，求兩個月形圖案（陰影部分）的面積的和．
(2)求證：兩個月形圖案（陰影部分）的面積的和等于VABC 的面積．
【答案】(1) 24；
(2)證明見解析．
1
【分析】（1）根據勾股定理求出BC AC 2 AB2 6，可得 SVABC AB·BC 24，設以 AB、BC、AC 為直2
徑的半圓分別為①、②、③，分別求出 S 、S 、S ，最后根據 S陰影 S S SVABC S① ② ③ ① ② ③ 即可求解；
（ 2）由勾股定理得 AB2 BC 2 AC 2 ，設以 AB、BC、AC 為直徑的半圓分別為①、②、③，可得
S 1 AB
2 π π
π AB2 S BC 2 S
π
AC 2 S S π AB2 BC 2 π， AC 2
① 2 2 ÷ 8 ②
， ③ ，進而得到8 8 ① ② 8 ，即得è 8
S S S ，即可得 S陰影 S S SVABC S S① ② ③ ① ② ③ VABC ；
本題考查了勾股定理，圓的面積公式，三角形的面積公式，熟練掌握勾股定理是解題的關鍵．
【詳解】（1）解：∵ ABC 90°，
∴BC AC 2 AB2 102 82 6，
S 1 1∴ VABC AB·BC 8 6 24，2 2
設以 AB、BC、AC 為直徑的半圓分別為①、②、③，
1
則 S π 8 1 2 2 8π ， S π 6 2 2 9 1 25 π ， S π 10 2 2 π① 2 ② 2 2 ③ ，2 2
S S S S S 8π 9 π 24 25∴ 陰影 VABC π 24① ② ③ ；2 2
（2）證明：∵ ABC 90°，
∴ AB2 BC 2 AC 2 ，
設以 AB、BC、AC 為直徑的半圓分別為①、②、③，
S 1
2
π AB π則 2
① 2 2 ÷
AB ，
è 8
π 2 π 2
同理得， S BC ， S AC② 8 ③
，
8
π
∴ S S AB2 BC 2 π AC 2① ② ，8 8
∴ S S S① ② ③，
∴ S陰影 S S SVABC S S① ② ③ VABC ．
題型 11 用勾股定理解三角形
1．如圖，在Rt△ABC 中， C 90°, D 為 AB 的中點，連接CD，若CD 5, AC 6，則BC 的長為（ ）
A．5 2 B．8 C．5 3 D．10
【答案】B
【分析】本題考查直角三角形的性質，勾股定理，熟練掌握直角三角形斜邊的中線等于斜邊 的一半和勾股
定理是解題的關鍵．
先根據直角三角形的性質求得 AB 2CD 10，再由勾股定理求解即可．
【詳解】解：∵在Rt△ABC 中， C 90°，D 為 AB 的中點，CD 5，
∴ AB 2CD 10，
∴BC AB2 AC 2 102 62 8，
故選：B．
2．如圖，在四邊形 ABCD中，連接 AC ，已知 AD DC 4， AB 7 ， ABC 90°， AB∥CD，則BC
（ ）
A． 7 B．5 C． 33 D．2
【答案】A
【分析】本題主要考查了勾股定理，角平分線的性質，全等三角形的性質與判定，等邊對等角等等，過點 C
作CE ^ AD交 AD 的延長線于點 E，先由等邊對等角和平行線的性質證明 BAC CAD ，即 AC 平分
BAD ．再由角平分線的性質得到BC CE ，則可證明VABC≌VAEC AAS 得到 AE AB 7 ，則
DE AE AD 7 4 3，再利用勾股定理求解即可．
【詳解】解：如圖，過點 C 作CE ^ AD交 AD 的延長線于點 E．
∵ AD DC 4，
\ DAC ACD ．
∵ AB∥CD，
\ BAC ACD ，
\ BAC CAD ，即 AC 平分 BAD ．
∵ ABC 90°，即BC ^ AB，且CE ^ AD，
\ BC CE ．
∴VABC≌VAEC AAS
\ AE AB 7 ，
\ DE AE AD 7 4 3．
在Rt△DEC 中，由勾股定理得CE DC 2 DE2 42 32 7 ，
\ BC CE 7 ．
故選 A．
3．把兩塊同樣大小的含 45°角的三角尺，按如圖方式放置，其中一塊三角尺的銳角頂點與另一塊的直角頂
點重合于點 A，且另三個銳角頂點 B，C，D 在同一直線上，若 AB 2 2 ，則CD ．
【答案】 2 3 2 / 2 2 3
【分析】本題主要考查了等腰三角形的判定及勾股定理的綜合應用，充分利用等腰直角三角形這一條件，
作邊BC 的高，構造直角三角形RtVADF 是本題的重點．根據等腰三角形的判定，可知Rt△ABC 也是等腰
三角形，從而求出BC 的長，作BC 邊上的高，求出 BF 和 AF ，再利用勾股定理求出DF ，最后利用
CD BF DF BC 計算即可．
【詳解】解：過點 A 作 AF ^ BC 于 F，如下圖所示，
在Rt△ABC 中， B 45°，
∴ AB AC ，
2
∴BC 2AB 4，BF AF AB 2，
2
又∵VABC 和VEAD是兩個同樣大小的含 45°角的三角尺，
∴ AD BC 4，
∴在RtVADF 中，根據勾股定理得，DF AD2 AF 2 2 3 ，
∴CD BF DF BC 2 2 3 4 2 3 2，
故答案為： 2 3 2．
4．如圖，在VABC 中， AB AC, BC 4,△DEF 的周長是 8， AF ^ BC 于點F , BE ^ AC 于點E ，且點D是
AB 的中點，則 AF 等于 ．
【答案】4 2
【分析】根據直角三角形斜邊上的中線以及等腰三角形的性質即可求出答案．本題考查勾股定理，直角三
角形斜邊上的中線，解題的關鍵是熟練運用直角三角形斜邊上的中線，等腰三角形的性質，本題屬于中等
題型．
【詳解】解：Q AB AC ， AF ^ BC ，
1
\ AF 是VABC 的中線，CF BF BC 2，
2
QD是 AB 的中點，
\DF 是VABC 的中位線，
設 AB AC 2x，
\DF x，
QBE ^ AC ，點D是 AB 的中點，點F 是BC 的中點，
1 1
\ DE AB x ，EF BC 22 ，2
QVDEF 的周長為 8，
\ x x 2 8，
\ x 3，
\ AC 6，
由勾股定理可知： AF AC 2 CF 2 62 22 4 2 ，
故答案為：4 2
5．如圖，在VABC 中， AB AC ，BD ^ AC 于點 D．
(1)若 A 42° ，求 DBC 的度數；
(2)若CD 1，BC 2 2 ，求BD，AB 的長．
【答案】(1) 21°
(2) BD 7 ， AB 4
【分析】（1）先根據等邊對等角和三角形內角和定理求出 C 69°，再根據三角形外角的性質進行求解即
可；
（2）先利用勾股定理求出BD 7 ，設 AB AC x ，則 AD x 1，在Rt△ABD 中，由勾股定理得
x2 (x 1)2 ( 7)2，解方程即可得到答案．
本題主要考查了勾股定理，等腰三角形的性質，三角形內角和定理，三角形外角的性質，設未知數構建方
程是解題的關鍵．
【詳解】（1）解：∵在VABC 中， AB AC ， A 42° ，
180° A
∴ ABC C 69°，
2
∵BD ^ AC ，
即 ADB 90°，
∴ DBC 90° C 21°；
（2）解：∵在Rt△DBC 中， BDC=90° ，CD 1，BC 2 2 ，
∴BD2 BC 2 CD2 7．
設 AB AC x ，則 AD AC CD x 1，
在Rt△ABD 中，由勾股定理得： AB2 AD2 BD2，
∴ x2 x 1 2 7．
解得 x 4．
∴ AB 4．
題型 12 利用勾股定理的逆定理求解
1．如圖，已知VABC 中， AB 的垂直平分線交BC 于點 D， AC 的垂直平分線交BC 于點 E，點 M，N 為垂
足，若BD
3
，DE 2， EC 5 2 ，則 AC 的長為（ ）2
A 3 10 B 3 6 3 5． ． C． D．3 2
2 2 2
【答案】A
【分析】本題考查了線段垂直平分線的性質和勾股定理及其逆定理的應用．判斷三角形是否為直角三角形，
已知三角形三邊的長，只要利用勾股定理的逆定理加以判斷即可．本題難點是添加輔助線構造直角三角形．
根據線段垂直平分線的性質得出 AD ， AE 的長，利用勾股定理逆定理得出VADE 是直角三角形，進而利用
勾股定理解答即可．
【詳解】解：連接 AD ， AE ，
∵ AB 的垂直平分線交BC 于點 D， AC 的垂直平分線交BC 于點 E，
3 5
∴ AD BD ， AE EC ，
2 2
∵DE 2，
2 2
∴ AD2 DE2 3 2 25 5 2 2 ÷
2
4 2 ÷
AE ，
è è
∴VADE 是直角三角形，
∴ ADE 90°，
2 2
3 5 3 10
由勾股定理可得： AC AD2 DC 2 ÷ 2 ÷ ，
è 2 è 2 2
故選：A．
2．如圖，老李家有一塊草坪，家里想整理它，需要知道其面積，老李測量了草坪各邊得知：AB 3米，BC 4
米， AD 12 米，CD 13米，且 AB ^ CB．則這塊草坪的面積是（ ）
A．36m2 B． 26m2 C．30m2 D． 40m2
【答案】A
【分析】本題考查了勾股定理和勾股定理的逆定理．解題的關鍵是在應用勾股定理解決實際問題時勾股定
理與方程的結合是解決實際問題常用的方法，是從題中抽象出勾股定理這一數學模型，畫出準確的示意
圖．體會數形結合的思想的應用．連接 AC ，根據勾股定理，求得 AC ，再根據勾股定理的逆定理，判斷VACD
是直角三角形．這塊草坪的面積等于兩個直角三角形的面積之和．
【詳解】解：連接 AC ，如圖，
Q AB ^ BC ，
\ ABC 90°，
Q AB 3米，BC 4米，
\ AC 5米，
QCD 13米，DA 12 米，
\AC2 AD2 CD2 ，
\VACD 為直角三角形，
\這塊草坪的面積 SVABC SVACD 3 4 2 5 12 2 6 30 36cm
2
，
故選：A．
3．如圖，在VABC 中， AB 3, AC 5， AD 是邊BC 上的中線， AD 2，則△ACB的面積是 ．
【答案】6
【分析】如圖所示，延長 AD 至E ，使得 AD DE ，連接CE，可證VABD≌VECD(SAS) ，可得
S△ACB S△ACD S△ABD S△ACD S△CDE S△ACE ，根據勾股定理的逆定理可證△ACE是直角三角形，由此即可
求解．
【詳解】解：如圖所示，延長 AD 至E ，使得 AD DE ，連接CE，
∴ AE 2AD 2 2 4，
∵ AD 是邊BC 上的中線，
∴BD CD，
在△ABD,△ECD 中，
∵ AD ED ， ADB EDC ，BD CD，
∴VABD≌VECD(SAS) ，
∴ AB CE 3，
∴ S△ACB S△ACD S△ABD S△ACD S△CDE S△ACE ，
在△ACE中， AC 5,CE 3, AE 4，
∴CE2 AE2 AC 2 ，即32 42 52，
∴△ACE是直角三角形，
S 1 1∴ △ACE CEgAE 3 4 6，即△ACB的面積是62 2
故答案為：6 ．
【點睛】本題主要考查勾股定理的逆定理，理解題意，構造邊的關系，掌握勾股定理逆定理的運用是解題
的關鍵．
4．如圖，在四邊形 ABCD中， AB 3，BC 13，CD 12， AD 4，且 A 90°，則四邊形 ABCD的面積
是 ．
【答案】36
【分析】本題利用了勾股定理和它的逆定理及直角三角形的面積公式求解．連接BD，知四邊形的面積是
VADB和△BCD的面積和，由已知得其符合勾股定理的逆定理從而得到△BCD是一個直角三角形．則四邊
形面積可求．
【詳解】解：連接BD，
則BD AB2 AD2 32 42 5，
Q52 122 132 ，即BD2 CD2 BC 2，
\△BCD 為直角三角形，
\ 1 1 1 1四邊形的面積 SVADB SVBCD AD × AB BD ×CD 3 4 5 12 36，2 2 2 2
故答案為：36．
5．如圖，VABC 中， AB AC ，BC 長為 10，點D是 AC 上的一點，BD 8，CD 6．
(1)求證：BD ^ AC ；
(2)求線段 AB 的長．
【答案】(1)見解析
(2) 253
【分析】此題主要考查了勾股定理，以及勾股定理逆定理，關鍵是掌握勾股定理的逆定理：如果三角形的
三邊長 a，b ， c滿足 a2 b2 c2，那么這個三角形就是直角三角形．
（1）根據勾股定理的逆定理即可得到結論；
（2）設 AB x ，則 AB AC x ，得到 AD x 6，根據勾股定理列方程即可得到結論．
【詳解】（1）證明：QBC 10 ，BD 8，CD 6，
\ BD2 CD2 82 62 102 BC 2 ，
\ BDC 90°，
\BD ^ AC ；
（2）解：設 AB x ，則 AB AC x ，
QCD 6，
\ AD x 6，
Q AB2 BD2 AD2 ，
\ x2 82 (x 6)2 ，
x 25解得： ，
3
AB 25\ ．
3
題型 13 勾股定理逆定理的實際應用
1．我國南宋著名數學家秦九韶的著作《數書九章》里記載有這樣一道題：“問有沙田一塊，有三斜，其中
小斜五里，中斜十二，大斜十三，欲知為田幾何？”這道題講的是：有一塊空角形沙田，三條邊長分別為 5，
12，13，問該沙田的面積為（ ）
A．60 B．75 C．30 D．78
【答案】C
【分析】本題考查了勾股定理的逆定理，先利用勾股定理的逆定理證明這塊沙田是直角三角形，從而得出
直角邊為 5，12，斜邊為 13，最后根據三角形面積公式計算即可．
【詳解】解：∵一塊三角形沙田，三條邊長分別為 5，12，13，
∴52 122 169，132 169，
∴52 122 132 ，
∴這塊沙田是直角三角形，
直角邊為 5，12，斜邊為 13，
1
∴這塊沙田的面積為 5 12 30
2
故選：C．
2．小數同學向東走 5 米，沿另一個方向又走了 12 米，再沿著第三個方向走了 13 米回到原地，那么小數同
學向東走 5 米后所走的方向是（ ）
A．向北 B．向南 C．向西 D．向南或向北
【答案】D
【分析】本題主要考查勾股定理的逆定理應用，作出圖形是解題的關鍵．根據題意畫出圖形，利用勾股定
理的逆定理即可得到答案．
【詳解】解：如圖， AB 5, BC BD 12, AC AD 13，
Q52 122 132 ，
\ ABC ABD 90°，
故小數同學向東走 5 米后所走的方向是向南或向北，
故選 D．
3．如圖，在 B 港有甲、乙兩艘漁船，若甲船沿北偏東60°的方向以每小時8海里速度前進，乙船沿南偏東某
方向以每小時15海里的速度前進， 2小時后甲船到M 島，乙船到 P 島，兩島相距34海里，則乙船沿
方向航行．
【答案】南偏東30°
【分析】本題主要考查了勾股定理逆定理，以及方向角，解題關鍵是掌握勾股定理的逆定理：如果三角形
的三邊長 a，b，c 滿足 a2 b2 c2，那么這個三角形就是直角三角形．
首先根據速度和時間計算 BM 、BP的路程，再根據勾股定理逆定理證明 AOB 90°，進而可得答案．
【詳解】解：由題意得：甲船的路程：BM 8 2 16（海里），
乙船的路程：BP 15 2 30 （海里），
∵302 162 342 ，
∴ MBP 90°，
∵ BM 是北偏東60°方向，
∴BP是南偏東30°．
故答案為：南偏東30°．
4．如圖，某港口C 在南北方向的海岸線上，快、慢兩艘船同時離開港口，各自沿一固定方向航行，已知快、
慢兩船每小時分別航行 12 海里和 5 海里，2 小時后兩船分別位于點 A ， B 處，且相距 26 海里，如果知道
快船沿北偏西50°方向航行，那么乙船沿 方向航行．
【答案】南偏西 40°
【分析】本題主要考查勾股定理的逆定理及方位角，熟練掌握勾股定理的逆定理及方位角是解題的關鍵．
根據勾股定理逆定理求出 APB 90°，進而可得 BCF 180° ACB ACN 40°，然后問題可求解．
【詳解】解：如圖所示，
由題意得： AC 2 12 24（海里），BC 2 5 10（海里）， ACN 50°， AB 26 海里，
∴ AC 2 BC 2 676 AB2 ，
∴ ACB 90°，
∴ BCF 180° ACB ACN 40°，
∴乙船沿南偏西 40°方向航行．
故答案為：南偏西 40°．
5．臺風“煙花”登錄我國沿海地區，風力強，累計降雨量大，影響范圍大，有極強的破壞力．如圖，臺風“煙
花”中心沿東西方向 由A 向 B 移動，已知點C 為一海港，且點C 與直線 上的兩點A 、 B 的距離分別為
AC 300km，BC 400km，又 AB 500km ，經測量，距離臺風中心 260km及以內的地區會受到影響．
(1)求 ACB 的度數；
(2)海港C 受臺風影響嗎？為什么？
(3)若臺風中心的移動速度為 25 千米 / 時，則臺風影響該海港持續的時間有多長？
【答案】(1)90°
(2)受臺風影響；理由見解析
(3)8 小時
【分析】本題考查的是勾股定理在實際生活中的運用．
（1）利用勾股定理的逆定理得出VABC 是直角三角形，進而得出 ACB 的度數；
（2）利用三角形面積得出CD的長，進而得出海港C 是否受臺風影響；
（3）利用勾股定理得出ED以及EF 的長，進而得出臺風影響該海港持續的時間．
【詳解】（1）Q AC 300，BC 400， AB 500，
\ AC 2 BC 2 AB2 ，
VABC 是直角三角形， ACB 90°；
（2）海港C 受臺風影響，理由：過點C 作CD ^ AB 于D，
∵VABC 是直角三角形，
\ AC BC CD AB，
\300 400 500 CD ，
\CD 240，
Q以臺風中心為圓心周圍 260以內為受影響區域，
\海港C 受臺風影響；
（3）當EC 260，FC 260時，正好影響C 港口，
QED EC 2 CD2 2602 2402 100 ，
\EF 2ED 200，
Q臺風的速度為 25 千米 / 小時，
\200 25 8（小時）．
答：臺風影響該海港持續的時間為 8 小時．
1．在Rt△ABC 中，斜邊BC 4，則 AB2 AC 2 BC 2 的值為（ ）
A．32 B．28 C．8 D．4
【答案】A
【分析】本題考查了勾股定理．直接根據勾股定理得出 BC 2 AB2 AC 2 16即可求解．
【詳解】解：在Rt△ABC 中，斜邊BC 4，
\ BC 2 AB2 AC 2 16 ，
\ AB2 AC 2 BC 2 16 16 32，
故選：A．
2．已知VABC 的三邊分別是 a、b、c，下列條件中不能判斷VABC 為直角三角形的是（ ）
A． A+ B C B． A: B: C 1: 2: 3
C． a2 b2 c2 D． a2 5，b2 12，c2 13
【答案】D
【分析】本題考查了勾股定理的逆定理，三角形內角和定理；根據勾股定理的逆定理，三角形內角和定理，
進行計算逐一判斷即可解答．
【詳解】解：A、∵ A B C 180°， A+ B C
∴ C C 180°
∴ C 90°，即VABC 為直角三角形，故該選項不符合題意；
B、∵ A B C 180°， A: B: C 1: 2: 3
∴ C 180
3
° 90°
1 2 3
即VABC 為直角三角形，故該選項不符合題意；
C、∵ a2 b2 c2
∴ a2 c2 b2 ，即VABC 為直角三角形，故該選項不符合題意；
D、∵ a2 5，b2 12，c2 13
∴ a2 b2 c2，
∴VABC 不是直角三角形，故該選項符合題意；
故選：D．
3．已知RtVABC 的兩條直角邊分別為 6，8，現將RtVABC 按如圖所示的方式折疊，使點A 與點 B 重合，則 BE
的長為（ ）
25 15 25 15
A． B． C． D．
2 2 4 4
【答案】C
【分析】本題考查了圖形的翻折變換，勾股定理，解題中應注意折疊是一種對稱變換，屬于軸對稱，根據
軸對稱的性質，折疊前后圖形的形狀和大小不變．
根據圖形翻折變換的性質可知， AE BE ，設 AE x，則BE x,CE 8 x ，再RtVBCE 中利用勾股定理即
可求出 BE 的長度．
【詳解】解：∵VADE 翻折后與VBDE 完全重合，
\ AE BE ，
設 AE x，則BE x,CE 8 x ，
∵在RtVBCE 中，CE2 BC 2 BE2 ，
2
即 8 x 62 x2 ，
解得， x
25
，
4
\ BE 25
4 ，
故選：C．
4．如圖，在VABC 中， AC 2， B 45°， C 30°，則BC 的長度為（　　）
A． 3 B．2 C．1 3 D．3
【答案】C
【分析】本題考查了解直角三角形、30°角所對的直角邊等于斜邊的一半；解題的關鍵是熟練掌握“30°角所
對的直角邊等于斜邊的一半”．過A 作 AD ^ BC 于D，在RtVADC 與Rt△ADB 中結合30°角所對的直角邊等
于斜邊的一半及等腰直角三角形的性質求出CD、BD即可．
【詳解】解：過A 作 AD ^ BC 于D，
\ ADB ADC 90°
在RtVADC 中， C 30°， AC 2，
1
\ AD AC 1，
2
\CD AC 2 AD2 22 12 3，
在Rt△ADB 中， B 45°， AD 1，
\BD AD 1，
\BC BD CD 1 3 ．
故選：C．
5．如圖，在對角線互相垂直的四邊形 ABCD中， ACD 60°， ABD 45°．A 到CD距離為 6，D 到 AB 距
離為 4，則四邊形 ABCD面積等于（ ）
A．6 6 B．12 6 C．8 6 D．16 6
【答案】C
【分析】題目主要考查勾股定理解三角形，直角三角形的特征，四邊形面積，根據題意，作出輔助線，得
出 AC 4 3，BD 4 2 是解題關鍵．
分別過點 A 和 D 作 和 邊上的高 AE, DF ，利用勾股定理得出 AC 4 3，BD 4 2 ，然后求解即可．
【詳解】解：如圖，分別過點 A 和 D 作 和 邊上的高 AE, DF ．
在RtVACE中， ACD 60°， AE 6，
∴ CAE 30°，
∴ AC 2CE ，
∴ 2CE 2 CE2 62，
解得：CE 2 3 ，
∴ AC 4 3．
在RtVBDF 中， ABD 45°， DF 4，
∴BF DF 4 ，
∴BD 42 42 4 2 ．
Q AC ^ BD，
1 1
∴四邊形 ABCD面積 AC BD 4 3 4 2 8 6 .
2 2
故選：C．
6．如圖， BAC BDC 90°，點E 為BC 的中點，EF ^ AD 于點F ，若BC 10，AD 6，則△AED 的
面積為（　　）
A．6 B．10 C．12 D．15
【答案】C
【分析】本題考查了直角三角形斜邊上的中線，等腰三角形的判定與性質，三角形的面積，先利用直角三
1
角形斜邊上的中線性質可得 AE DE BC 5，再利用等腰三角形的三線合一性質可得 AF 3，然后在
2
RtVAFE 中，利用勾股定理求出EF 的長，最后利用三角形的面積進行計算即可解答，熟練掌握直角三角形
斜邊上的中線，以及等腰三角形的判定與性質是解題的關鍵．
【詳解】解：∵ BAC BDC 90°，點E 為BC 的中點，BC 10，
∴ AE
1
BC 5 1，DE BC 5，
2 2
∴ AE DE 5，
∵EF ^ AD ，
1
∴ AF AD 3，
2
在RtVAFE 中，EF AE2 AF 2 52 32 4，
1
∴△AED 的面積 AD·EF
2
1
6 4
2
12 ，
故選：C ．
7．一直角三角形兩邊長為 a，b，且滿足 a 1 b 2 0 ，則其第三邊長為 ．
【答案】 3或 1
【分析】本題考查的是勾股定理、非負數的性質．根據非負數的性質求出 a、b ，根據勾股定理計算即可．
【詳解】解：當 a，b 是兩直角邊，
Q a 1 b 2 0 ，
\a 1 0，b 2 0，
解得， a 1，b 2 ，
當 a，b 都是直角邊時，由勾股定理得，斜邊 a2 b2 3 ，
當b 2 為斜邊時，第三邊 b2 a2 1，
故答案為： 3或 1．
8．如圖所示，在VABC中， C 90°，AC AB 10，BC 3，求 AC 的長度．在這個問題中，可求得 AC
的長度為 ．
91
【答案】
20
【分析】本題考查的是勾股定理的應用，在應用勾股定理解決實際問題時勾股定理與方程的結合是解決實
際問題常用的方法，關鍵是從題中抽象出勾股定理這一數學模型，畫出準確的示意圖．領會數形結合的思
想的應用．
設 AC x，可知 AB 10 x，再根據勾股定理即可得出結論．
【詳解】解：設 AC x，
∵ AC AB 10，
∴ AB 10 x．
∵在VABC中， C 90°，
2 2∴ AC BC 2 AB2 ，即 x2 32 10 x ．
91
解得： x
20
91
故答案為 ．
20
9．如圖，分別以VABC 各邊為邊在VABC 外作正方形，S1，S2，S3 分別表示這三個正方形的面積，已知 S1 81，
S2 144， S3 225，則VABC 是 三角形．
【答案】直角
2 2 2
【分析】本題考查直角三角形的判定，正方形的面積 邊長 邊長，則 S1 AC 、S2 BC 、S3 AB ，由所
給數據可知 AC 2 BC 2 AB2 ，結合勾股定理逆定理的知識求解即可．
【詳解】解：QS1 81， S2 144， S3 225，
\S1 S2 S3，
\ AC 2 BC 2 AB2 ，
\VABC 是直角三角形．
故答案為：直角．
10．如圖所示的“趙爽弦圖”是由四個全等直角三角形和一個小正方形拼成的一個大正方形，設直角三角形較
2
長直角邊長為 a，較短直角邊長為b ，若 a b 21，小正方形的面積為 6，則大正方形的面積為 ．
27
【答案】
2
【分析】本題考查了勾股定理，由題意可知，中間小正方形的邊長為 a b，根據勾股定理以及題目給出的
已知數據即可求出大正方形的面積為 a2 b2 ．
【詳解】解：由題意可知，中間小正方形的邊長為 a b，
\ a b 2 6，即 a2 b2 2ab 6①，
a b 2∵ 21，
\a2 b2 2ab 21②，
2 2
① ②得 2 a b 27 ，
2 2 27
∴大正方形的面積 a b ，
2
27
故答案為： ．
2
11．如圖，在VABC 中，點 D 是BC 邊上一點，連接 AD ，把△ABD 沿著 AD 翻折，得到VAB D，B D 與 AC
交于點 M，且 M 為DB 的中點，連接BB 交 AD 于點 N，若 AB 4 2 ， AN 4，SVAB M 7，則點 B 到DB
的距離為 ．
24
【答案】
5
【分析】本題考查圖形的折疊，勾股定理，由三角形中線求三角形面積，由M是DB 的中點，可知 SVAMB SVADM ，
再由折疊可知 SVABD SVAB D ，可求 SVAB D 14，再求出BN B N 4，BB 8，則 SVABN 8，SVBDN 6，可
求 ND 3，在Rt△BDN 中，BD 5，再由折疊可知B D BD 5，設 B 到 B D 的距離為 h，由
S 1 1VB BD BB DN B D h，即可求點 B 到DB 的距離．2 2
【詳解】解：由折疊可知， AD ^ BB ，BN NB ，
QM 是DB 的中點，
\SVAMB SVADM ，
QS△AB M 7，
\SVADM 7，
\SVAB D 14，
由折疊可知， SVABD SVAB D ，
\SVABD 14，
Q ANB 90°，AB 4 2，AN 4，
\BN B N 4，
\BB 8，
\S 1VABN 4 4 8，2
\SVBDN 14 8 6，
6 1\ 4 ND，
2
\ ND 3，
在Rt△BDN 中，BD BN 2 ND2 42 32 5，
QB D BD，
\B D 5，
設 B 到 B D 的距離為 h，
S 1 1\ VB BD BB DN B D h，2 2
\8 3 5h，
24
\h ，
5
24
∴點 B 到DB 的距離為 ，
5
24
故答案為： ．
5
12．如圖，邊長為 2 的正VABC ，兩頂點 A、B 分別在直角 MON 的兩邊上滑動，點 C 在 MON 的內部，
則OC 的長的最大值為 ；
【答案】 3 1 /1 3
【分析】本題考查了等邊三角形的性質，三角形的三邊關系，根據題意作出輔助線判定出當O、D、C 三
點共線時，OC 最長是解題的關鍵．取 AB 的中點D，連接CD，OD ，根據直角三角形斜邊上的中線等于
斜邊的一半求出OD 的長度，再根據等邊三角形的性質求出CD的長，然后根據三角形任意兩邊之和大于第
三邊可得OD CD > OC ，判定當O、D、C 三點共線時，OC 最長，然后求解即可．
【詳解】解：如圖，取 AB 的中點D，連接CD，OD ，
Q AOB 90°，點D為 AB 的中點，
\OD 1 AD BD 2 1
2 ，
Q等邊三角形 ABC 的邊長為 2，CD為中線，
\CD ^ AB，
2
\CD AC AD2 3 ，
在VODC 中，OD CD > OC ，
\當O、D、C 三點共線時，OC 最長，最大值為 3 1，
\OC 的最大值為： 3 1，
故答案為： 3 1
13．若 a，b 是一直角三角形的兩邊長，且滿足等式 2 2a 4 3 2 a b 5．
(1)求 a，b 的值；
(2)求第三邊的長．
【答案】(1) a 2,b 5
(2) 21或 29
【分析】本題主要考查了算術平方根的性質，勾股定理：
（1）根據算術平方根的性質可得 2a 4 0,2 a 0，從而得到 a 2，即可求解；
（2）分兩種情況：若第三邊為斜邊，若b 5為斜邊，結合勾股定理，即可求解．
【詳解】（1）解：∵ 2 2a 4 3 2 a b 5，
∴ 2a 4 0,2 a 0，
∴ a 2，
∴b 5 0，
∴b 5；
（2）解：若第三邊為斜邊，第三邊的長為 22 52 29 ；
若b 5為斜邊，第三邊的長為 52 22 21；
綜上所述，第三邊的長為 21或 29 ．
9
14．如圖，在VABC中，CD ^ AB 于D， AC 4，BC 3，DB ，求 的長．
5
16
【答案】
5
【分析】本題主要考查勾股定理的運用，掌握勾股定理的計算是解題的關鍵．
根據CD ^ AB ，在RtVBCD 中運用勾股定理求出 的值，在RtVADC 中運用勾股定理即可求出 的值．
【詳解】解：∵CD ^ AB ，
∴ ADC BDC 90° ，
2
在RtVBCD 中，CD BC 2 BD2 9 12 32 ÷ ，
è 5 5
2
在RtVADC 中， AD AC 2 CD2 12 42 16 ÷ ，
è 5 5
16
∴ 的長為 ．
5
15．如圖， AB AC,CD ^ AB, BE ^ AC ，垂足分別為 D，E．
(1)求證：VABE≌VACD ；
(2)若 AE 6,CD 8，求BD的長．
【答案】(1)見解析
(2) 4
【分析】本題考查全等三角形的判定和性質，勾股定理：
（1）直接利用AAS證明VABE≌VACD ，即可；
（2）根據全等三角形的性質和勾股定理進行求解即可．
【詳解】（1）解：∵CD ^ AB, BE ^ AC ，
∴ ADC BEA 90° ，
又∵ A A, AB AC ，
∴VABE≌VACD AAS ；
（2）∵VABE≌VACD AAS ， AE 6,CD 8，
∴ AD AE 6，CD BE 8，
在RtVAEB 中，由勾股定理，得： AB AE2 BE2 10，
∴BD AB AD 10 6 4．
16．勾股定理是數學史上的兩個寶藏之一，小亮學習了數方格、借助于面積的方法知道了勾股定理，學習
之余，他又對Rt△ABC （ ACB 90°）進行了一系列的探究、猜想、驗證和運用，請你和他一起完成下面
的過程：
(1)填空：
①如圖 1，將Rt△ABC 放置在邊長都為 1 的正方形網格中，則 S1、S2、S3 之間的關系是______．
②如圖 2，假設以Rt△ABC 的三邊向形外作等邊三角形為：△ACD、△BCF、△AEB ，若 AC 6, BC 8，則
S1、S2、S3 之間的關系是_______．
(2)如圖 3，以Rt△ABC 的三邊為直徑向形外作半圓，若BC a, AC b, AB c，那么你在（1）中所發現的
S1、S2、S3 之間的關系是否還成立，并說明理由．
(3)如圖 4，以Rt△ABC 的三邊為直徑向形外作半圓，已知陰影部分的面積為 8，則 SVABC ______．（直接填
寫出結果）
【答案】(1)① S1 S2 S3 ；② S1 S2 S3
(2) S1 S2 S3 還成立，理由見解析
(3)8
【分析】（1）①根據正方形的面積公式、勾股定理，理由網格計算，得到答案；
②由勾股定理和等邊三角形的面積公式可求解；
（2）由勾股定理和半圓的面積公式可求解；
（3）由面積的和差關系可求解．
【詳解】（1）解：① S1 S2 S3 ，理由如下：
由網格可知： S1 2
2 32 13， S2 2
2 4 S 2， 3 3 9，
\S1、 S2、 S3 之間的關系是 S1 S2 S3 ，
故答案為： S1 S2 S3 ；
② S1 S2 S3 ，理由如下：
QS 31 AB
2 S 3 AC 2 S 3， 2 ， CB
2 ， AB2 AC 2 BC 2 ，
4 4 3 4
S 3 2 3\ 2 S3 AC BC
2 3 (AC 2 BC 2 ) 3 AB2 S ；
4 4 4 4 1
故答案為： S1 S2 S3 ；
（2）解： S1 S2 S3 還成立，理由如下：
1 AB 2 1 2 2QS p p AB2 S 1 p AC 1， p AC 2 S
1
p BC 11 ÷ 2 ， p BC
2 ， AB2 AC 2 BC 2 ，
2 è 2 8 2 ÷ 3 ÷è 2 8 2 è 2 8
\S2 S
1
3 p AC
2 1 p BC 2 1 1 p (AC 2 BC 2 ) p AB2 S
8 8 8 8 1；
\S1 S2 S3；
（3）解：Q
1 2 1 2 1 2
圖中陰影部分的面積 S△ABC p AC p BC p AB8 8 8 ， AB
2 AC 2 BC 2 ，
\8 S△ABC ．
故答案為：8．
【點睛】此題是三角形綜合題，考查了勾股定理，等邊三角形的性質，等腰直角三角形的性質，圓的性質，
勾股定理等知識，利用勾股定理找到面積的數量關系是解題的關鍵．
17．我們定義：如果兩個等腰三角形頂角相等，且頂角頂點互相重合，則稱此圖形為“手拉手全等模型”．因
為頂點相連的四條邊，形象的可以看作兩雙手，所以通常稱為“手拉手全等模型”．
(1)例如，如圖 1，VABC 與VADE 都是等腰三角形，其中 BAC DAE ，則△ABD≌△________
（________）；
(2)類比：如圖 2，已知VABC 與VADE 都是等腰三角形， AB AC ， AD AE ，且 BAC DAE ，求證：
BD CE ；
(3)拓展：如圖 3， BAC DAE 90°， AB AC ， AD AE ，試探索線段CD，BD， AD 之間滿足的等
量關系，并證明結論．
【答案】(1) ACE ，SAS
(2)見解析
(3) BD2 CD2 2AD2，見解析
【分析】（1）先證 BAD CAE ，再根據SAS即可證明△ABD≌△ACE ；
（2）先證 BAD CAE ，再根據SAS即可證明VBAD≌VCAE ；
（3）連接CE，先證VBAD≌VCAE ，則可得 B ACE 45° ，BD CE ，進而可得BD2 CD2 2AD2．
本題主要考查了全等三角形的判定和性質，以及勾股定理．熟練掌握以上知識是解題的關鍵．
【詳解】（1）解：∵VABC 與VADE 都是等腰三角形，
∴ AB AC ， AD AE
又∵ BAC DAE
∴ BAC CAD DAE CAD ，即 BAD CAE ，
ìAB AC
在VBAD和VCAE

中， í BAD CAE ，

AD AE
∴△ABD≌△ACE(SAS)．
故答案為： ACE ， SAS
（2）證明：∵ BAC DAE ，
∴ BAC CAD DAE CAD，即 BAD CAE ，
ìAB AC
在VBAD和VCAE

中， í BAD CAE ，

AD AE
∴△BAD≌△CAE(SAS)，
∴BD CE ；
（3）解：BD2 CD2 2AD2，理由如下：
連接CE，如圖所示：
∵ BAC DAE 90°， AB AC ， AD AE ，
∴ BAC CAD DAE CAD ， B ACB 45°，DE 2AD，
∴ BAD CAE ，
∴△ABD≌△ACE(SAS)，
∴ B ACE 45° ，BD CE ，
∴ DCE 90°，
在RtVDCE中，由勾股定理得：CD2 CE2 DE2 ，
∴BD2 CD2 2AD2．
18．定義：如果三角形有兩個內角的差為60°，那么這樣的三角形叫做“準等邊三角形”．
【理解概念】
（1）頂角為120°的等腰三角形 “準等邊三角形”．（填“是”或“不是”）
【鞏固新知】
（2）已知VABC 是“準等邊三角形”，其中 A 35°， C > 90°．求 B 的度數．
【解決問題】
（3）如圖，在Rt△ABC 中， ACB 90°， A 30°，BC 1 3 ，點 D 在 AC 邊上，若△BCD是“準等
邊三角形”，直接寫出BD的長．
【答案】（1）不是（2） B 的度數為50°或 42.5° 2 3 6（3）BD的長為 或 2 2
3
【分析】（1）根據等腰三角形的性質，求得三角形的內角，再根據“準等邊三角形”即可求解；
（2）分兩種情況求解， C A 60°或 C B 60°，分別求解即可；
（3）△BCD是“準等邊三角形”，分兩種情況， C CBD 60°或 BDC CBD 60°，分別求解即可．
【詳解】解：（1）∵等腰三角形的頂角為120°，
∴等腰三角形的兩個底角度數分別為30°，30°，
∴頂角為120°的等腰三角形不是“準等邊三角形”；
（2）∵VABC 是“準等邊三角形”， A 35°， C > 90°，
∴分兩種情況：
當 C A 60°時，
∴ C A 60° 95°，
∴ B 180° C A 50°；
當 C B 60°時，
∵ A 35°，
∴ C B 180° A 145°，
∴ 2 B 85°，
∴ B 42.5°；
綜上所述： B 的度數為50°或 42.5°；
3 BD 2 3 6（ ） 的長為 或 2 2 ．
3
∵ ACB 90°， A 30°，BC 1 3 ，
∴ ABC 90° A 60°， AB 2BC 2 2 3 ，
∵△BCD是“準等邊三角形”，
∴分兩種情況：
當 C CBD 60°時，
∴ CBD C 60° 30°，
∴BD 2CD，
∵CD2 BC 2 BD2，
2
∴CD2 1 3 2CD 2，
解得：CD 3 3 CD 3 3 或 （舍去），
3 3
BD 2CD 2 3 6∴ ；
3
當 BDC CBD 60°時，
過點 D 作DE ^ AB，垂足為 E，
∵ C 90°，
∴ BDC CBD 90°，
∴ 2 BDC 150°，
∴ BDC 75°，
∴ ABD BDC A 45°，
∴VBDE 是等腰直角三角形，
∴BE DE ，BD 2DE
設 DE BE x ，
在RtVADE 中， A 30°，
∴ AE 3DE 3x ，
∵BE AE AB ，
∴ x 3x 2 2 3，
解得： x 2，
∴BE DE 2 ，
∴BD 2DE 2 2 ；
BD 2 3 6綜上所述： 的長為 或 2 2 ．
3
【點睛】此題考查了等腰三角形的判定與性質，三角形內角和定理，含 30 度直角三角形的性質，勾股定理，
解題的關鍵是熟練掌握相關基本性質，利用分類討論的思想求解問題．

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