資源簡介

第 01 講 認識三角形（7 個知識點+17 大題型+18 道強化訓練）
課程標準 學習目標
1、了解三角形的概念；了解三角形的
1、了解三角形的概念；了解三角形的重心概念；
重心概念；了解三角形的穩定性；
了解三角形的穩定性；
2、理解三角形的分類；理解三角形及
2、理解三角形的分類；理解三角形及與三角形
與三角形有關的線段的概念；
有關的線段的概念；
3、掌握并證明三角形兩邊的和大于
3、掌握并證明三角形兩邊的和大于第三邊；
第三邊；
4、理解三角形內角、外角的概念；
4、理解三角形內角、外角的概念；
探索并證明三角形的內角和定理；
5、探索并證明三角形的內角和定理；
知識點 01 三角形的概念
由不在同一直線上的三條線段首尾順次相接所組成的圖形叫做三角形；
記作：△ABC，如圖：其中：線段 AB，AC，CA 是三角形的邊，A，B，C 是三角形的頂點，
∠A，∠B， ∠C 是相鄰兩邊組成的角，叫做三角形的內角，簡稱三角形的角．
【即學即練 1】
1．（23-24 七年級下·全國·課后作業）下面是一位同學用三根木棒拼成的圖形，其中是三角形的是（　　）
A． B．
C． D．
知識點 2 三角形的分類：
等腰三角形：在等腰三角形中，相等的兩邊都叫做腰，另一邊叫做底邊，兩腰 的夾角叫做頂
角，腰和底邊的夾角叫做底角。
【即學即練 2】
2．（23-24 七年級下·河北邢臺·階段練習）如圖所示，小手蓋住了一個三角形的一部分，則這個三角形是
（ ）
A．直角三角形 B．銳角三角形
C．鈍角三角形 D．等邊三角形
知識點 3 三角形的三邊關系：
三角形任意兩邊的和大于第三邊，任意兩邊的差小于第三邊。
【拓展：三邊關系的運用】
①判斷三條線段能否組成三角形；
②當已知三角形的兩邊長時，可求第三邊的取值范圍。
【即學即練 3】
3．（23-24 七年級下·海南海口·期末）如圖 1 是一根細鐵絲圍成的正方形，其邊長為 2，現將該細鐵絲圍成
一個三角形（如圖 2 所示），則 AB 的長可能為（ ）
A．3.5 B．4 C．4.5 D．5
知識點 4 三角形的穩定性
①三角形的形狀是固定的，三角形的這個性質叫三角形的穩定性。三角形具有穩定性，而四
邊形沒有穩定性。
②三角形的穩定性有廣泛的運用：橋梁、起重機、人字形屋頂、桌椅等
【即學即練 4】
4．（23-24 七年級下·山西運城·期末）2024 年年初，山西省最長的跨黃河大橋——臨猗黃河大橋完成合攏任
務，如圖是橋身的一部分，橋身采用三角形鋼結構架，這其中蘊含的數學道理是（ ）
A．三線合一 B．三角形的穩定性
C．垂線段最短 D．三角形兩邊之和大于第三邊
知識點 5 三角形的重要線段
【即學即練 5】
5．（22-23 七年級下·湖北恩施·期中）如圖，三角形 ABC 中， AC ^ BC ，D 為BC 邊上的任意一點，連接
AD ，E 為線段 AD 上的一個動點，過點 E 作EF ^ AB點 F． BC = 6，AB = 10，AC = 8，則CE + EF 的最小值為
（　　）
A．6 B．4.8 C．2.4 D．5
【即學即練 6】
6．（24-25 七年級上·山東·隨堂練習）如圖所示，在VABC 中，AB = 8，AC = 6 ，AD 是VABC 的中線，則△ABD
與△ADC 的周長之差為（　　）
A．14 B．1 C．2 D．7
知識點 6 三角形的內角
①三角形內角和定理：三角形三個內角的和等于 180 度。
②證明方法：剪拼成平角、通過做平行線構造平角、構造兩平行線下的同旁內角。
測量法： 剪角拼角法 ：
【即學即練 7】
7．（23-24 八年級上·河北石家莊·階段練習）下面是一道習題，需要填寫符號處的內容，下列填寫正確的是
（ ）
已知：VABC ．求證： A + B + ACB =180°．
證明：如圖，過點 C 作DE∥ AB ．
∵DE∥ AB （已知），
∴ B = ★， A = ■（①）．
∵ 1+ 2 + ACB = 180°（②），
∴ A + B + ACB =180°（等量代換）．
A．★處填 2 B．■處填 1
C．①內錯角相等，兩直線平行 D．②平角定義
知識點 7 三角形的外角
①定義：三角形的一邊與另一條邊的延長線組成的角，叫做三角形的外角。
如圖，∠ACD 是 △ABC 的一個外角
②結論：三角形的一個外角等于與它不相鄰的兩個內角和；三角形的一個外角大于與它不相
鄰的任何一個角。
【即學即練 8】
8．（23-24 七年級下·陜西西安·期末）如圖， AD∥BC ，直線交 AD ，BC 于點 H，G，直線DF 交BC 于點
M，兩直線交于點 F，若 BGF = 57°， F = 26°，則 D的度數為（ ）
A．31° B．30° C． 26° D． 25°
題型 01 三角形的相關概念
1．（23-24 八年級上·山東德州·階段練習）下面各項都是由三條線段組成的圖形，其中是三角形的是（ ）
A． B． C． D．
2．（24-25 八年級上·全國·單元測試）如圖，在VBEC 中， EC 邊的對角 ．
3．（23-24 七年級下·全國·假期作業）觀察圖形．
(1)圖中有幾個三角形？把它們一一寫出來；
(2)寫出△ABD 的邊、頂點及三個內角；
(3)以 C 為內角的三角形有哪些？
(4)以 AB 為邊的三角形有哪些？
題型 02 三角形的穩定性
1．（23-24 七年級下·河南鄭州·期末）如圖，木工師傅在做完門框后為防止其變形，會釘上兩條斜拉的木板
條（即圖中的 AB ，CD 兩根木條），這樣做的依據是（ ）
A．兩直線相交，只有一個交點 B．兩點確定一條直線
C．兩點之間，線段最短 D．三角形具有穩定性
2．（2024·吉林白城·模擬預測）如圖，在生活中，為了保證兒童的安全，通常兒童座椅主體框架成三角形，
這是利用了 ．
3．（24-25 八年級上·全國·假期作業）如圖所示，木工師傅在做完門框后，為防止變形常常像圖中那樣釘上
兩條斜拉的木板條（即 AB、CD ），這樣做的數學道理是什么？
題型 03 構成三角形的條件
1．（23-24 七年級下·廣東梅州·期末）以下列長度的各組線段為邊，能組成三角形的是（ ）
A．6cm， 4cm ， 7cm B． 4cm ，6cm，11cm
C． 2cm ， 2cm ，5cm D．1cm， 2cm ，3cm
2．（23-24 七年級下·河南新鄉·期末）若從如圖所示的四條線段中任意選取三條線段，則能組成三角形的是
（填序號）．
3．（22-23 八年級上·全國·課后作業）四根木棒的長度分別為12cm， 8cm， 5cm， 6cm．從中取三根，使它
們首尾順次相接組成一個三角形．一共有多少種取法？把它們都列出來．
題型 04 三角形三邊關系
1．（23-24 七年級下·安徽宿州·期末）VABC 的三邊分別為 a，b，c，若 a = 4，b = 2 ，c 的長為偶數，則VABC
的周長為（　　）
A．8 B．9 C．10 D．12
2．（23-24 七年級下·江蘇泰州·期末）若一個三角形的邊長均為整數，且兩邊長分別為 3 和 5，則這樣的三
角形共有 個．
3．（23-24 七年級下·山東濰坊·期末）解決下列問題：
(1)若 2x2 + 4x - 2xy + y2 + 4 = 0 ，求 x y 的值；
(2)已知 a，b，c 是VABC 的三邊長，滿足 a2 + b2 =10a + 8b - 41，且 c是最長邊，求 c的取值范圍．
題型 05 畫三角形的高
1．（23-24 七年級下·山東棗莊·期末）學習了三角形的“中線、高線、角平分線”后，老師給同學們布置了一
項作業：作VABC 的 AC 邊上的高．下面是四位同學的作業，其中正確的是（ ）
A． B．
C． D．
2．（23-24 七年級下·全國·假期作業）如圖， B = D = FEC = 90°．
（1）在VABC 中，BC 邊上的高是 ；
（2）在△AEC 中， AE 邊上的高是 ．
3．（23-24 七年級下·山西長治·期末）如圖，在每個小正方形邊長為 1 的方格紙內將VABC 經過一次平移后
得到VA B C ，圖中標出了點 B 的對應點B ．請利用格點和直尺畫圖：
(1)補全VA B C ；
(2)請在 A C 邊上找一點 D ，使得線段B D 平分VA B C 的面積，在圖上畫出線段B D ；
(3)利用格點在圖中畫出BC 邊上的高線 AE ；
(4)在網格中找一個格點 P ，使 ACP = BAC ．
題型 06 與三角形的高有關的計算
1．（23-24 七年級下·湖南常德·期末）如圖，已知 AC ^ BC ，CD ^ AB ，垂足分別是 C，D，其中 AC = 3，
BC = 4， AB = 5，那么點 C 到 AB 的距離是（ ）
A．3 B．4 C． 4.8 D． 2.4
2．（23-24 七年級下·江蘇泰州·期末）如圖，在 VABC 中 ， AD、AE 分別是邊 BC 上的高和中線．若
AD = 5，BE = 4，則△AEC 的面積是
3．（23-24 七年級下·貴州黔西·期末）如圖，VABC的高 AD = 6 cm，BC = 9 cm，點 E 在BD 上，連接
AE ．設CE的長為 x cm ，VABE 的面積為 y cm2 ，解答下列問題：
(1)求 y 與 x 之間的關系式；
(2)若CD = 4 cm，當 x 為多少時，VABE 的面積比VADE 的面積大 3 cm2 ？
題型 07 根據三角形中線求長度
1．（23-24 七年級下·廣東深圳·期末）如圖，在VABC 中，點 D 是BC 邊上的中點，若△ABD 和VACD的周
長分別為 16 和 11，則 AB - AC 的值為（ ）
A．5 B．11 C．16 D．27
2．（23-24 七年級下·河南南陽·階段練習）如圖，點 C 在直線 l 外，點 A、B 在直線 l 上，點 D 是 AB 的中點，
已知 AB = 6，△BCD的面積為 9，則 AC 的最小值為 ．
3．（23-24 七年級下·河北滄州·期末）如圖，在VABC 中， AD 為邊BC 上的高，點 E 為邊BC 上的一點，連
接 AE ．
(1)當 AE 為邊BC 上的中線時，若 AD = 5，VABC 的面積為 30，求CE的長；
(2)當 AE 為 BAC 的平分線時，若 C = 66°， B = 34°，求 DAE 的度數．
題型 08 根據三角形中線求面積
1．（23-24 七年級下·陜西榆林·期末）如圖，已知點M 是VABC 的邊BC 上一點，且BM = 2CM ，線段 AM
與VABC 的中線BN 交點O，連接MN ，若VABC 的面積為12，則VCMN 的面積是（ ）
A． 2 B． 4 C．3 D．1.5
2．（23-24 七年級下·山東濰坊·期末）如圖，在VABC 中，CD 是 AB 的中線，延長CD 至點 E，使
DE 1= CD，連接 BE ，若VBDE的面積為 2，則VABC 的面積是 ．
3
3．（23-24 七年級下·福建泉州·期末）【問題情境】
如圖 1， AD 是VABC 的中線，VABC 與△ABD 的面積有怎樣的數量關系？小陳同學在圖 1 中作BC 邊上的
高 AE ，根據中線的定義可知BD = CD．
又因為高 AE 相同，所以 SVABD = SVACD ，于是 S△ABC = 2S△ABD ，據此可得結論：三角形的一條中線平分該三角
形的面積．
【深入探究】
（1）如圖 2，VABC 的面積為 4 平方厘米，延長 AB 到點D，延長BC 到點E ，延長邊CA到點F ，使
BD = AB，CE = BC ， AF = CA，依次連接 D、E、F 得到VDEF ，求VDEF 的面積．
【拓展延伸】（2）如圖 3．若四邊形 ABCD的面積為 a，分別延長四邊形 ABCD的各邊，使得 AH = mAD，
CF = mBC ，BE = nAB，DG = nCD ，依次連接E、F、G、H 得到四邊形EFGH ．
①若m = n = 2，求四邊形EFGH 的面積；（用含 a的代數式表示）
②直接寫出四邊形EFGH 的面積（用含m、n、a的代數式表示）
題型 09 三角形內角和定理的證明
1．（23-24 七年級下·廣東揭陽·期中）如圖，若 1 = 2，DE∥BC ，則：
①FG P DC ；
② AED = ACB；
③CD 平分 ACB ；
④ 1+ B = 90°；
⑤ BFG = BDC ；
⑥ FGC = DEC + DCE ，其中正確的結論是（ ）
A．①②③ B．①②⑤⑥ C．①③④⑥ D．③④⑥
2．（21-22 八年級上·北京·期中）生活中到處都存在著數學知識，只要同學們學會用數學的眼光觀察生活，
就會有許多意想不到的收獲，如圖是由三角尺拼湊得到的，圖中∠ABC= ．
3．（23-24 七年級下·河北廊坊·期末）閱讀下列材料，并解答相關問題．
背
在探究三角形內角和定理的課上，李老師引導同學們根據拼合過程，思考如何作出輔助線證明．
景
問 嘉嘉經過觀察、思考之后，發現過三角形 ABC 的頂點A 作DE∥BC ，則由平行線的性質與平角的定
題 義就能證明“三角形三個內角的和等于180° ”這個命題．
初 已知：如圖 1，在三角形 ABC 中，過頂點A 作DE∥BC ．
探
求證： BAC + B + C =180°．
證明：QDE∥BC ，
\ B =①_____， C =②_____．（③_____）
Q BAC + 1+ 2 =180°，（平角定義）
\ BAC + ④_____ + ⑤_____ =180°．（等量代換）
淇淇將頂點A 的位置一般化（如圖 2），換成三角形 ABC 邊 AB 上的任意一點 P ，過頂點 P 分別作平
行于 AC, BC 的平行線．由平行線的性質與平角的定義，也證明了“三角形三個內角的和等于180° ”這
類 個命題．
比
分
析
為方便市民綠色出行，我市推出了共享單車服務，圖 3 是某品牌共享單車放在水平地面的實物圖，
圖 4 是其平面示意圖，其中 AB,CD 都與地面 l平行， BCD = 70°， BAC = 50°，當 MAC = ______
學 °時， AM ∥CE ．
以
致
用
(1)補全嘉嘉的證明過程中序號所對應的內容．
(2)對于淇淇的證明思路，請你先作出輔助線，再完成這個證明．
(3)在圖 4 中，當 MAC = ______ °時， AM ∥CE ．
題型 10 與平行線有關的三角形內角和問題
1．（23-24 七年級下·陜西榆林·階段練習）如圖，將長方形紙片 ABCD沿對角線BD折疊，點 C 的對應點為
點 E， BE 交 AD 于點 O．若 CBD = 31°，則 BOD的度數為（ ）
A．118° B．111° C．101° D．62°
2．（23-24 七年級下·新疆巴音郭楞·期末）如圖 1 是某款嬰兒手推車，如圖 2 是其側面的示意圖，若
AB∥CD ， 1 =130°， 3 = 35°，則 2的度數為 ．
3．（23-24 七年級下·山西晉城·期中）綜合與實踐
學習完三角形后，同學們在劉老師的帶領下對三角形進一步探討研究．
問題：已知如圖 1，VABC ．
(1)問題解決：若 BAC : ABC : ACB = 3: 2 :1，則∠ACB = ；
(2)拓展延伸：劉老師繼續添加條件，如圖 2，E 是 AB 上一點，過 E 作EF∥BC 交 AC 于點 F，作 ABC 的
平分線，交 EF 于點 D，若 BED = 128°，求 ABD 的度數；
(3)深入探討：在（2）的條件下，劉老師繼續添加條件，如圖 3，連接 AD ，且 AD ^ BD，
1
DAF = BAD，試猜想 DAF 與 C 之間的數量關系，并說明理由．
2
題型 11 與角平分線有關的三角形內角和問題
1．（23-24 七年級下·安徽宿州·期末）健康騎行越來越受到大眾的喜歡，某自行車的示意圖如圖所示，其中
AB∥CD, AE∥BD,CE 平分 ACD．若 CDB = 60°, ACD = 70°，則 AEC 的度數為（ ）
A．140° B．120° C．100° D．95°
2．（23-24 七年級下·四川綿陽·期末）已知VABC ， A = 80°， ABC 和 ACB 的平分線交于點O，過點O
作BC 的平行線分別交 AB，AC 于點F，E ．則 EOB與 COF 的度數和為 ．
3．（23-24 七年級下·河南洛陽·期末）如圖，在VABC 中， AD ^ BC 于點 D，點 E 為邊BC 上一點．
(1)若 AE 平分 BAC ， DAE =15°， B = 60°，求 C 的度數．
(2)在（1）條件下，直接寫出 AEC = ______．
題型 12 三角形中折疊中的角度問題
1．（23-24 七年級下·山西運城·期末）如圖，將VABC 沿DE ，HG， EF 翻折，三個頂點均落在點O處，若
1 =119°，則 2的度數為（ ）
A．59° B．61° C．69° D． 71°
2．（23-24 七年級下·浙江湖州·期末）將長方形紙帶先沿 EF 折疊成圖 1，再沿 PQ折疊成圖 2，此時PB 恰好
經過點F ，若 AFE = FQP = A MF = a ，則a 的度數為 度．
3．（23-24 七年級下·河南南陽·期末）綜合與實踐
數學活動課上，老師組織數學小組的同學們以“折疊”為主題開展數學活動．
(1)觀察發現：如圖 1，將VABC 紙片沿DE 折疊，使點A 落在四邊形BCDE 內點 A 的位置．則 A、
A DC 、 A EB 之間的數量關系為：______；
(2)探究遷移：如圖 2，若將（1）中“點A 落在四邊形BCDE 內點 A 的位置”變為“點A 落在四邊形BCDE 外點
A 的位置”，其他條件不變．請寫出 A、 A DC 、 A EB 之間的數量關系，并說明理由；
(3)拓展應用：如圖 3，四邊形紙片 ABCD， C = 90°， AB 與CD 不平行，將四邊形紙片 ABCD沿 EF 折疊
成圖 3 的形狀，點A 落在點 A 處，點D落在點 D 處，若 D EC =115°， A FB = 45°，請直接寫出 ABC
的度數
題型 13 三角形內角和定理的應用
1．（2024·四川達州·模擬預測）如圖， AE∥CD ， AC 平分 BCD， 1 = 30°， B = 55°，則 BAE =
（ ）
A．60° B．55° C．65° D．75°
2．（23-24 七年級下·福建廈門·期末）如圖，AM ∥BC ， ABC 是鈍角，BE 平分 ABC 交 AM 于點E ，BD
平分 EBC 交 AM 于點D，點F 在線段 AE 上，若 DFB = DBF ，則 DBC 與 ABF 之間的數量關系
為 ．
3．（23-24 七年級下·福建泉州·期末）如圖，在VABC 中， A = 70°， ABC = 50°．
(1)求 C 的度數；
(2)若 BDE = 30°，DE∥BC 交 AB 于點E ，判斷VBDC 的形狀，并說明理由．
題型 14 直角三角形的兩個銳角互余
1．（23-24 八年級上·湖北武漢·階段練習）如圖，在 VABC 中， AD 是 BC 邊上的高， BE 平分 ABC 交 AC
邊于 E， BAC = 60°， ABE = 22°，則 DAC 的大小是（　　）
A．10° B．12° C．14° D．16°
2．（21-22 七年級下·廣東深圳·期中）如圖，VABC 中，CD 是 BCA的平分線，VCDA中，DE 是CA邊上的
高，又有 EDA = CDB = 5 A，則 B的度數為 ．
3（．23-24七年級下·北京·期中）如圖，在VABC 中，AD ^ BC 于D，EF ^ BC 于F，點E在線段 AC 上， 4 = C ．
(1)求證： 1 = 2；
(2)若 4 = 2 3，求 C 的度數．
題型 15 三角形外角的定義與性質
1．（2024·四川涼山·中考真題）一副直角三角板按如圖所示的方式擺放，點E 在 AB 的延長線上，當 DF P AB
時， EDB的度數為（ ）
A．10° B．15° C．30° D．45°
2（．23-24七年級下·河北滄州·期末）將一副三角板如圖擺放，頂點 B 在邊 EF 上，頂點F 在邊 AC 上，DF∥BC ，
則 BFC 的度數為 ．
3．（23-24 七年級下·河南洛陽·期末）已知直線MN 與 PQ互相垂直，垂足為 O，點 A 在射線OQ 上運動，點
B 在射線OM 上運動，點 A，B 均不與點 O 重合．
(1)如圖 1， AI平分 BAO，BI 平分 ABO， AI交BI 于 I，則 AIB = ______°．
(2)如圖 2， AI平分 BAO交OB于點 I，BC 平分 ABM ，BC 的反向延長線交 AI的延長線于點 D．
①直接寫出，則∠ADB = ______°．
②在點 A，B 的運動過程中， ADB 的大小是否會發生變化？若不變，求出 ADB 的度數；若變化，請說
明理由．
題型 16 三角形角平分線的定義
1．（23-24 七年級下·江蘇南京·期末）如圖， AD 是VABC 的角平分線，B、C、E 共線，則a 、b 、g 之間
的數量關系是（ ）
A．a + b = g B．2a - b = g C． 2b -a = g D． 2g -a = b
2．（23-24 七年級下·山西晉城·期中）如圖，在VABC 中， ABC = 2 C ，AD 平分 BAC 交BC 于點D，點
E 為CB的延長線上一點，過點E 作EF ^ AD 于點F ，若 C = 40°，則 E = ．
3．（23-24 七年級下·湖南邵陽·期末）如圖，已知 AC∥DE ， D + BAC = 180°．
(1)求證： AB∥CD ；
(2)連接CE，恰好滿足CE平分 ACD，若 AB ^ BC ， CED = 36°，求 ACB 的度數．
題型 17 利用網格求三角形面積
1．（23-24 七年級下·江蘇揚州·期末）如圖所示的網格是正方形網格，點 A，B，C，D 是網格線交點，則下
列關于VABC 的面積與△BCD的面積的大小說法正確的是（ ）
A． S△ABC > S△BCD B． SVABC = SVBCD C． S△ABC < S△BCD D．無
法比較
2．（22-23 七年級上·湖南婁底·期末）下圖中每個小方格的邊長為 1 個單位長，則格點四邊形 ABCD（四個
頂點 A、B、C、D 都在格點上）的面積為 ．
3．（23-24 七年級下·江蘇泰州·期末）如圖是由若干個邊長為 1 個單位長度的小正方形組成的方格圖，VABC
在該方格圖中．
(1)將VABC 向左平移 5 個單位長度，再向上平移 1 個單位長度得到△A1B1C1（點 A1與點 A 對應，點B1與點 B
對應，點C1與點 C 對應），請在方格圖中畫出△A1B1C1；
(2)畫出 AC 邊上的中線BD；
(3)請求出△A1B1C1的面積．
A 夯實基礎
1．（23-24 七年級下·山西運城·期末）如圖①是一種創意花瓶擺件，圖②是從其正面看的示意圖，在VABC
中，已知 A = 40° ， B = 70°，則 C 的度數為（ ）
A． 40° B．50° C．60° D．70°
2．（2024·陜西·中考真題）如圖，在VABC 中， BAC = 90°， AD 是BC 邊上的高，E 是DC 的中點，連接
AE ，則圖中的直角三角形有（ ）
A．2 個 B．3 個 C．4 個 D．5 個
3．（23-24 七年級下·湖南株洲·期末）把一副三角板按如圖所示的方式擺放，已知 A = 45° ， E = 30°，
AC∥EF ，則 1的度數為 ．
4．（23-24 七年級下·黑龍江哈爾濱·階段練習）若長度分別為3，4，a的三條線段能組成一個三角形，則 a
的取值范圍是 ．
5．（23-24 七年級下·江蘇揚州·階段練習）如圖，已知△ABC．
(1)畫角平分線 BD；
(2)畫中線 CE；
(3)畫高 AD．
6．（21-22 七年級下·陜西咸陽·階段練習）如圖，在VABC 中，BE、CF 分別是 AC、AB邊上的中線，若
AE = 4，BF = 6，且VABC 的周長為 30，求BC 的長．
B 能力提升
1．（23-24 七年級下·江蘇泰州·期末）已知三角形的兩邊分別為 4 和 9，則此三角形的第三邊可能是（ ）
A．9 B．5 C．4 D．14
2．（23-24 七年級下·遼寧錦州·期末）在物理學中，過入射點垂直于鏡面的直線叫做法線．光線在鏡面上反
射時，反射光線與法線的夾角和入射光線與法線的夾角相等．如圖，兩束光線 l1, l2 分別從不同方向射向鏡面
m ，入射點為A 和B,n1,n2 為法線， l1, l2 的反射光線相交于點 P ．若 1 = 25° , 2 = 45° ，則 APB的度數是
（ ）
A．60° B．65° C．70° D．75°
3．（23-24 七年級下·浙江臺州·期末）如圖，一副直角三角板的一條直角邊分別與直線GH 重合，
BAC = 30°， EDF = 45°，將三角板DEF 沿GH 方向運動，連接BD，若 ABD = 20°，則 BDF 的度數
為 ．
4．（23-24 七年級下·河南駐馬店·期末）如圖是一張三角形紙片 ABC ， ABC = 96°，若 沿BC 的垂直平分
線 l1 折疊，折痕與 AC 交 于點 D， 再沿過點 B 的直線 l2 折疊，點A 恰好落到點D 處，則 C 的度數
為 ．
5．（23-24 七年級下·遼寧葫蘆島·期末）如圖，點 D在直線CN 上， AD ^ BD， BC 平分 ABD 交 AD 于 E ，
2 + 2 1 = 90° ．
(1)求證： AB P CD；
(2)若DM 平分 ADB ， BCD： 2 = 7 : 4，求 MDN 的度數．
6．（23-24 七年級下·河南周口·期末）如圖， AD 為VABC 的中線， BE 為△ABD 的中線，過點E 作
EF ^ BC ，垂足為F ．
(1) ABE = 18° ， BED = 61°，求 BAD 的度數；
(2)若VABC 的面積為 48cm2，且CD = 6cm，求 EF 的長．
C 綜合素養
1．（23-24 七年級下·安徽宿州·期末）健康騎行越來越受到大眾的喜歡，某自行車的示意圖如圖所示，其中
AB∥CD, AE∥BD,CE 平分 ACD．若 CDB = 60°, ACD = 70°，則 AEC 的度數為（ ）
A．140° B．120° C．100° D．95°
2．（23-24 七年級下·廣東廣州·期末）如圖，一塊直尺與缺了一角的等腰直角三角形如圖擺放，若 1 =115°，
則以下結論：① 2 = 60°；② 2 = 4；③ 2與 3互余；④ 2與 4互補，其中正確的個數是（ ）
A． 4 B．3 C． 2 D．1
3．（23-24 七年級下·河南駐馬店·期末）如圖， 已知VABC 的面積是 24，D、E 分別是BC 、 AB 邊上的中
點， 連接 AD 、DE ， 若F 是線段 AD 上的三等分點， 則△DFE 的面積是 ．
4．（23-24 七年級下·陜西榆林·期末）如圖，在 VABC 中， A = 90°， BE、CD分別平分 ABC 和 ACB ，
且相交于點F ， EG∥BC ，CG ^ EG 于點G ，則下列結論：① CEG = 2 DCA；②CA平分 BCG；③
ADC = GCD；④ BFC =135° ，其中所有正確的結論是 ．(填序號)
5．（23-24 七年級下·河南南陽·期末）已知在VABC 中
(1) A + C = 2 B，求 B的度數；
(2) a、b 、c是VABC 2的三條邊長，其中 a、b 滿足 (a + b - 5) + 2a - 5b - 3 = 0 ，若這個三角形的周長為整數，
求這個三角形的周長．
6．（23-24 七年級下·安徽亳州·期末）已知 AB∥CD ，點 P 為平面內一點，且點 P 不在直線 AB ，CD 上．
(1)如圖 1，若點 P 在直線 AB ，CD 之間， ABP =130°， CDP =160°，求 BPD 的度數；
(2)如圖 2，若點 P 在直線 AB 的上方， AEP = 50°， CFP =106°，求 EPF 的度數；
(3)如圖 3，在（2）的條件下，若 AEP的平分線與 CFP 的平分線交于點 G，求 EGF 的度數．第 01 講 認識三角形（7 個知識點+17 大題型+18 道強化訓練）
課程標準 學習目標
1、了解三角形的概念；了解三角形的
1、了解三角形的概念；了解三角形的重心概念；
重心概念；了解三角形的穩定性；
了解三角形的穩定性；
2、理解三角形的分類；理解三角形及
2、理解三角形的分類；理解三角形及與三角形
與三角形有關的線段的概念；
有關的線段的概念；
3、掌握并證明三角形兩邊的和大于
3、掌握并證明三角形兩邊的和大于第三邊；
第三邊；
4、理解三角形內角、外角的概念；
4、理解三角形內角、外角的概念；
探索并證明三角形的內角和定理；
5、探索并證明三角形的內角和定理；
知識點 01 三角形的概念
由不在同一直線上的三條線段首尾順次相接所組成的圖形叫做三角形；
記作：△ABC，如圖：其中：線段 AB，AC，CA 是三角形的邊，A，B，C 是三角形的頂點，
∠A，∠B， ∠C 是相鄰兩邊組成的角，叫做三角形的內角，簡稱三角形的角．
【即學即練 1】
1．（23-24 七年級下·全國·課后作業）下面是一位同學用三根木棒拼成的圖形，其中是三角形的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】本題考查三角形定義，由不在同一直線上的三條線段首尾順次相接所組成的圖形叫做三角形，逐
項驗證即可得到答案，熟記三角形定義是解決問題的關鍵
【詳解】解：由三角形定義可知 A，B，C 均不是三根木棒拼成的三角形，只有 D 是三根木棒拼成的三角形，
故選：D．
知識點 2 三角形的分類：
等腰三角形：在等腰三角形中，相等的兩邊都叫做腰，另一邊叫做底邊，兩腰 的夾角叫做頂
角，腰和底邊的夾角叫做底角。
【即學即練 2】
2．（23-24 七年級下·河北邢臺·階段練習）如圖所示，小手蓋住了一個三角形的一部分，則這個三角形是
（ ）
A．直角三角形 B．銳角三角形
C．鈍角三角形 D．等邊三角形
【答案】C
【分析】本題考查的是三角形的分類，根據鈍角三角形的定義作答即可．
【詳解】解：由三角形中有 1 個已知角為鈍角，
∴這個三角形是鈍角三角形；
故選 C
知識點 3 三角形的三邊關系：
三角形任意兩邊的和大于第三邊，任意兩邊的差小于第三邊。
【拓展：三邊關系的運用】
①判斷三條線段能否組成三角形；
②當已知三角形的兩邊長時，可求第三邊的取值范圍。
【即學即練 3】
3．（23-24 七年級下·海南海口·期末）如圖 1 是一根細鐵絲圍成的正方形，其邊長為 2，現將該細鐵絲圍成
一個三角形（如圖 2 所示），則 AB 的長可能為（ ）
A．3.5 B．4 C．4.5 D．5
【答案】A
【分析】本題考查了三角形三邊關系，由三邊關系得到 AB 邊長度小于 4 是解題的關鍵．
根據三角形三邊關系判斷即可．
【詳解】解：鐵絲的總長度為 2 + 2 + 2 + 2 = 8，
根據三角形的三邊關系知，兩邊之和大于第三邊，即 AB < AC + BC ，當 AB = AC + BC 時， AB = 8 2 = 4 ，
∴ AB 邊長度小于 4，
故選：A．
知識點 4 三角形的穩定性
①三角形的形狀是固定的，三角形的這個性質叫三角形的穩定性。三角形具有穩定性，而四
邊形沒有穩定性。
②三角形的穩定性有廣泛的運用：橋梁、起重機、人字形屋頂、桌椅等
【即學即練 4】
4．（23-24 七年級下·山西運城·期末）2024 年年初，山西省最長的跨黃河大橋——臨猗黃河大橋完成合攏任
務，如圖是橋身的一部分，橋身采用三角形鋼結構架，這其中蘊含的數學道理是（ ）
A．三線合一 B．三角形的穩定性
C．垂線段最短 D．三角形兩邊之和大于第三邊
【答案】B
【分析】本題考查了三角形的穩定性，根據三角形的穩定性即可得出答案，熟練掌握三角形的穩定性是解
此題的關鍵．
【詳解】解：橋身采用三角形鋼結構架，這其中蘊含的數學道理是三角形的穩定性，
故選：B．
知識點 5 三角形的重要線段
【即學即練 5】
5．（22-23 七年級下·湖北恩施·期中）如圖，三角形 ABC 中， AC ^ BC ，D 為BC 邊上的任意一點，連接
AD ，E 為線段 AD 上的一個動點，過點 E 作EF ^ AB點 F． BC = 6，AB = 10，AC = 8，則CE + EF 的最小值為
（　　）
A．6 B．4.8 C．2.4 D．5
【答案】B
【分析】本題考查最短路徑問題，垂線段最短，熟練掌握垂線段最短和利用面積法求線段長是解題的關鍵．
過 C 作CF ^ AB于 F，交 AD 于 E，此時，CE + EF 值最小，最小值等于CF ，利用面積法求出CF 長即可求
解．
【詳解】解：過 C 作CF ^ AB于 F，交 AD 于 E，
則CE + EF 的最小值為CF ．
∵BC = 6， AC = 8， AB =10，
1
∴ ABgCF
1
= BC × AC ，
2 2
∴CF = 4.8，
即CE + EF 的最小值為：4.8，
故選：B．
【即學即練 6】
6．（24-25 七年級上·山東·隨堂練習）如圖所示，在VABC 中，AB = 8，AC = 6 ，AD 是VABC 的中線，則△ABD
與△ADC 的周長之差為（　　）
A．14 B．1 C．2 D．7
【答案】C
【分析】本題考查了三角形的中線的定義．熟練掌握三角形的中線是解題的關鍵．
由三角形中線的定義可知 BD = DC ，然后根據三角形的周長的定義知△ABD 與△ADC 的周長之差為
(AB - AC) ，計算求解即可．
【詳解】解：由題意知，BD = CD．
∵△ABD 的周長= AB + AD + BD，△ADC 的周長 = AC + AD + CD = AC + AD + BD ，
∴△ABD 與△ADC 的周長之差為： AB - AC = 8 - 6 = 2．
故選：C．
知識點 6 三角形的內角
①三角形內角和定理：三角形三個內角的和等于 180 度。
②證明方法：剪拼成平角、通過做平行線構造平角、構造兩平行線下的同旁內角。
測量法： 剪角拼角法 ：
【即學即練 7】
7．（23-24 八年級上·河北石家莊·階段練習）下面是一道習題，需要填寫符號處的內容，下列填寫正確的是
（ ）
已知：VABC ．求證： A + B + ACB =180°．
證明：如圖，過點 C 作DE∥ AB ．
∵DE∥ AB （已知），
∴ B = ★， A = ■（①）．
∵ 1+ 2 + ACB = 180°（②），
∴ A + B + ACB =180°（等量代換）．
A．★處填 2 B．■處填 1
C．①內錯角相等，兩直線平行 D．②平角定義
【答案】D
【分析】根據題意結合平行線的性質進行證明判斷即可．
【詳解】證明：如圖，過點 C 作DE∥ AB ．
∵DE∥ AB （已知），
∴ B = 1， A = 2（兩直線平行，內錯角相等）．
∵ 1+ 2 + ACB = 180°（平角定義），
∴ A + B + ACB =180°（等量代換）．
故選 D
【點睛】本題主要考查了三角形內角和定理的證明，平行線的性質，正確理解題意是解題的關鍵．
知識點 7 三角形的外角
①定義：三角形的一邊與另一條邊的延長線組成的角，叫做三角形的外角。
如圖，∠ACD 是 △ABC 的一個外角
②結論：三角形的一個外角等于與它不相鄰的兩個內角和；三角形的一個外角大于與它不相
鄰的任何一個角。
【即學即練 8】
8．（23-24 七年級下·陜西西安·期末）如圖， AD∥BC ，直線交 AD ，BC 于點 H，G，直線DF 交BC 于點
M，兩直線交于點 F，若 BGF = 57°， F = 26°，則 D的度數為（ ）
A．31° B．30° C． 26° D． 25°
【答案】A
【分析】本題考查了平行線的性質，三角形的外角性質，根據題目的已知條件并結合圖形進行分析是解題
的關鍵；
先利用三角形的外角性質可得 BMF = 31°，然后利用平行線的性質可得 D = BMF = 31°，即可解答．
【詳解】Q BGF 是VFMG 的一個外角
\ BGF = F + BMF ,
Q BGF = 57°， F = 26°，
\ BMF = BGF - F = 31°，
Q AD∥BC ，
\ D = BMF = 31°，
故選∶A．
題型 01 三角形的相關概念
1．（23-24 八年級上·山東德州·階段練習）下面各項都是由三條線段組成的圖形，其中是三角形的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根據三角形的定義即：由同一平面內不在同一直線上的三條線段‘首尾’順次連接所組成的封閉圖形，
進行判斷即可．
【詳解】解：A，B，C，中的三條線段沒有首尾順次連接，故不是三角形，
C 中的三條線段首尾順次連接，且不在同一條直線上，故 C 滿足題意；
故選：C．
【點睛】本題考查三角形的定義與判定，能夠深刻理解三角形的定義是解決本題的關鍵．
2．（24-25 八年級上·全國·單元測試）如圖，在VBEC 中， EC 邊的對角 ．
【答案】 EBC / CBE
【分析】本題考查的是三角形的概念，根據三角形相關概念直接解決即可．
【詳解】解：在VBEC 中， EC 邊的對角是 EBC ，
故答案為： EBC ．
3．（23-24 七年級下·全國·假期作業）觀察圖形．
(1)圖中有幾個三角形？把它們一一寫出來；
(2)寫出△ABD 的邊、頂點及三個內角；
(3)以 C 為內角的三角形有哪些？
(4)以 AB 為邊的三角形有哪些？
【答案】(1)7 個，見解析
(2)△ABD 的邊是 AB，BD，AD；頂點是點 A，B，D；三個內角是 B， BDA， BAD
(3)△AEC ，△ADC ，VABC
(4)△ABD ，VABE ，VABC
【分析】查找三角形時可按逆時針方向，先固定一條邊，再通過查第三個頂點的方法確定三角形．
【解】（1）圖中有 7 個三角形，分別是△ABD ，VABE ，VABC ，VADE ，△ADC ，△AEC ，VAFG ．
（2）△ABD 的邊是 AB，BD，AD；頂點是點 A，B，D；三個內角是 B， BDA， BAD ．
（3）以 C 為內角的三角形有△AEC ，△ADC ，VABC ．
（4）以 AB 為邊的三角形有△ABD ，VABE ，VABC ．
題型 02 三角形的穩定性
1．（23-24 七年級下·河南鄭州·期末）如圖，木工師傅在做完門框后為防止其變形，會釘上兩條斜拉的木板
條（即圖中的 AB ，CD 兩根木條），這樣做的依據是（ ）
A．兩直線相交，只有一個交點 B．兩點確定一條直線
C．兩點之間，線段最短 D．三角形具有穩定性
【答案】D
【分析】本題考查三角形的穩定性和四邊形的不穩定性在實際生活中的應用問題，掌握三角形的特點和性
質是解題關鍵．
根據三角形的穩定性進行解答即可．
【詳解】解：結合圖形，為防止變形釘上兩條斜拉的木板條，構成了三角形，所以這樣做根據的數學道理
是三角形的穩定性．
故選：D
2．（2024·吉林白城·模擬預測）如圖，在生活中，為了保證兒童的安全，通常兒童座椅主體框架成三角形，
這是利用了 ．
【答案】三角形的穩定性
【分析】本題考查了三角形穩定性的特性，理解三角形的穩定性即可解題．
【詳解】解：為了保證兒童的安全，通常兒童座椅主體框架成三角形，是利用了三角形的穩定性，
故答案為：三角形的穩定性．
3．（24-25 八年級上·全國·假期作業）如圖所示，木工師傅在做完門框后，為防止變形常常像圖中那樣釘上
兩條斜拉的木板條（即 AB、CD ），這樣做的數學道理是什么？
【答案】三角形的穩定性
【分析】本題考查三角形的穩定性在生活中的具體應用，根據三角形的穩定性進行解答即可．
【詳解】解：木工師傅在做完門框后，為防止變形常常像圖中那樣釘上兩條斜拉的木板條（即 AB、CD ），
這樣做的數學道理是三角形的穩定性．
題型 03 構成三角形的條件
1．（23-24 七年級下·廣東梅州·期末）以下列長度的各組線段為邊，能組成三角形的是（ ）
A．6cm， 4cm ， 7cm B． 4cm ，6cm，11cm
C． 2cm ， 2cm ，5cm D．1cm， 2cm ，3cm
【答案】A
【分析】本題考查了三角形三條邊的關系，熟練掌握三角形三條邊的關系是解答本題的關鍵．根據三角形
三條邊的關系：三角形任意兩邊之和大于第三邊，任意兩邊之差小于第三邊，即可得到答案．
【詳解】解：A、∵ 4 + 6 =10 > 7，
∴6cm， 4cm ， 7cm能構成三角形；
B、∵ 4 + 6 =10 <11，
∴ 4cm ，6cm，11cm不能構成三角形；
C、∵ 2 + 2 = 4 < 5，
∴ 2cm ， 2cm ，5cm不能構成三角形；
D、∵1+ 2 = 3，
∴1cm， 2cm ，3cm 不能構成三角形．
故選：A．
2．（23-24 七年級下·河南新鄉·期末）若從如圖所示的四條線段中任意選取三條線段，則能組成三角形的是
（填序號）．
【答案】②③④
【分析】本題考查了構成三角形的條件，由三角形的三邊關系：兩邊之和大于第三邊，兩邊之差小于第三
邊．
【詳解】解：∵3+ 5 > 7
∴符合題意的只有②③④．
故答案為：②③④．
3．（22-23 八年級上·全國·課后作業）四根木棒的長度分別為12cm， 8cm， 5cm， 6cm．從中取三根，使它
們首尾順次相接組成一個三角形．一共有多少種取法？把它們都列出來．
【答案】一共有 3 種取法：取12cm， 8cm， 5cm這三根木棒，取12cm， 8cm， 6cm這三根木棒，取
8cm， 6cm， 5cm這三根木棒
【分析】根據構成三角形的條件進行求解即可．
【詳解】解：當取12cm，8cm，5cm時，
∵12 - 5 < 8 < 12 + 5，
∴12cm，8cm，5cm這三根木棒可以組成三角形；
當取12cm，8cm，6cm 時，
∵12 - 6 < 8 < 12 + 6 ，
∴12cm，8cm，6cm 這三根木棒可以組成三角形；
當取12cm，6cm，5cm 時，
∵5 + 6 <12，
∴12cm，6cm，5cm 這三根木棒不可以組成三角形；
當取8cm，6cm，5cm 時，
∵8 - 5 < 6 < 8 + 5，
∴8cm，6cm，5cm 這三根木棒可以組成三角形；
綜上所述，一共有 3 種取法：取12cm，8cm，5cm這三根木棒，取12cm，8cm，6cm 這三根木棒，取8cm，6cm，5cm
這三根木棒．
【點睛】本題主要考查了構成三角形的條件，熟知三角形任意兩邊之和大于第三邊，任意兩邊之差小于第
三邊是解題的關鍵．
題型 04 三角形三邊關系
1．（23-24 七年級下·安徽宿州·期末）VABC 的三邊分別為 a，b，c，若 a = 4，b = 2 ，c 的長為偶數，則VABC
的周長為（　　）
A．8 B．9 C．10 D．12
【答案】C
【分析】本題主要考查了三角形的三邊關系，解題時注意：三角形兩邊之和大于第三邊，三角形的兩邊之
差小于第三邊，這是判斷第三邊范圍的主要依據．先根據已知兩邊求得第三邊的范圍，再根據第三邊為偶
數求得第三邊的長，最后計算三角形的周長即可．
【詳解】解：Q a = 4，b = 2 ，
\4 - 2 < c < 4 + 2 ，即 2 < c < 6 ，
Q c 的長為偶數，
\c = 4，
\ VABC 的周長為 4 + 2 + 4 =10，
故選：C．
2．（23-24 七年級下·江蘇泰州·期末）若一個三角形的邊長均為整數，且兩邊長分別為 3 和 5，則這樣的三
角形共有 個．
【答案】5
【分析】本題主要考查了三角形的三邊關系，解題的關鍵是掌握三角形三邊關系定理：三角形兩邊之和大
于第三邊．三角形的兩邊差小于第三邊．設第三邊的長為 x ，根據三角形的三邊關系的定理可以確定 x 的取
值范圍，進而得到答案．
【詳解】解：設第三邊的長為 x ，則
5 - 3 < x < 5 + 3，
所以 2 < x < 8．
Q x 為整數，
\ x 可取 3，4，5，6，7．
∴這樣的三角形共有 5 個，
故答案為：5．
3．（23-24 七年級下·山東濰坊·期末）解決下列問題：
(1)若 2x2 + 4x - 2xy + y2 + 4 = 0 ，求 x y 的值；
(2)已知 a，b，c 是VABC 的三邊長，滿足 a2 + b2 =10a + 8b - 41，且 c是最長邊，求 c的取值范圍．
1
【答案】(1)
4
(2)5 < c < 9
【分析】本題考查了完全平方公式，非負數的性質，負整數指數冪，三角形的三邊關系，靈活運算完全平
方公式變形是解題關鍵．
（1）根據完全平方公式，將 2x2 2 2+ 4x - 2xy + y2 + 4 = 0 變形為 x + 2 + x - y = 0，再由非負數的性質，求出
y = x = -2，然后代入求值即可．
2 2 2 a - 5 2 + b - 4 2（ ）根據完全平方公式，將 a + b =10a + 8b - 41變形為 = 0，再由非負數的性質，求出
a = 5，b = 4 ，然后根據三角形的三邊關系求出 c的取值范圍即可．
【詳解】（1）解：Q2x2 + 4x - 2xy + y2 + 4 = 0，
\ x2 + 4x + 4 + x2 - 2xy + y2 = 0，
\ x + 2 2 + x - y 2 = 0，
\ x + 2 = 0， x - y = 0，
\ x = -2， y = x = -2，
1 1
\ x y = -2 -2 = =
-2 2 4 ；
（2）解：Qa2 + b2 = 10a + 8b - 41，
\a2 + b2 -10a - 8b + 41 = 0，
\a2 -10a + 25 + b2 -8b +16 = 0 ，
\ a - 5 2 + b - 4 2 = 0，
\a - 5 = 0，b - 4 = 0，
\a = 5，b = 4 ，
Qa、b、c 是VABC 的三邊長，
\5 - 4 < c < 5 + 4 ，即1< c < 9，
Q c是最長邊，
\c > 5，
\5 < c < 9 ，
即 c的取值范圍為5 < c < 9．
題型 05 畫三角形的高
1．（23-24 七年級下·山東棗莊·期末）學習了三角形的“中線、高線、角平分線”后，老師給同學們布置了一
項作業：作VABC 的 AC 邊上的高．下面是四位同學的作業，其中正確的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】本題考查三角形的高的作法．從一個頂點到它的對邊作一條垂線，頂點到垂足之間的線段叫做三
角形的高．根據定義解答即可．
【詳解】解： AC 邊上的高，應該從點 B 向 AC 作垂線產生；
故選：A
2．（23-24 七年級下·全國·假期作業）如圖， B = D = FEC = 90°．
（1）在VABC 中，BC 邊上的高是 ；
（2）在△AEC 中， AE 邊上的高是 ．
【答案】 AB CD
3．（23-24 七年級下·山西長治·期末）如圖，在每個小正方形邊長為 1 的方格紙內將VABC 經過一次平移后
得到VA B C ，圖中標出了點 B 的對應點B ．請利用格點和直尺畫圖：
(1)補全VA B C ；
(2)請在 A C 邊上找一點 D ，使得線段B D 平分VA B C 的面積，在圖上畫出線段B D ；
(3)利用格點在圖中畫出BC 邊上的高線 AE ；
(4)在網格中找一個格點 P ，使 ACP = BAC ．
【答案】(1)見解析
(2)見解析
(3)見解析
(4)見解析
【分析】本題考查作圖-平移變換，以及三角形的中線和高線，解題的關鍵是掌握平移變換的定義與性質．
（1）根據平移的概念分別作出三個頂點的對應點，再首尾順次連接即可；
（2）作 A C 邊上的中線即可；
（3）根據三角形的高的概念求解即可；
（4）找出格點 P，連接PC ，使PC∥ AB，可得 ACP = BAC ．
【詳解】（1）解：如圖，VA B C 即為所作；
（2）解：如圖，點 D ，B D 即為所作；
（3）解：如圖， AE 即為所作；
（4）解：如圖，點 P 即為所作
題型 06 與三角形的高有關的計算
1．（23-24 七年級下·湖南常德·期末）如圖，已知 AC ^ BC ，CD ^ AB ，垂足分別是 C，D，其中 AC = 3，
BC = 4， AB = 5，那么點 C 到 AB 的距離是（ ）
A．3 B．4 C． 4.8 D． 2.4
【答案】D
【分析】本題考查了三角形的面積；
根據三角形面積的不同計算方法列式求解即可．
【詳解】解：因為 AC ^ BC，CD ^ AB
所以 S
1
VABC = AC × BC
1
= AB ×CD 1 3 4 1，即 = 5CD，
2 2 2 2
∴CD = 2.4，即點 C 到 AB 的距離是 2.4，
故選：D．
2．（23-24 七年級下·江蘇泰州·期末）如圖，在 VABC 中 ， AD、AE 分別是邊 BC 上的高和中線．若
AD = 5，BE = 4，則△AEC 的面積是
【答案】10
【分析】本題主要考查了三角形中線和高的定義，根據三角形中線的定義得到CE = BE = 4，再根據三角形
面積計算公式求解即可．
【詳解】解：∵ AE 是VABC 的中線，
∴CE = BE = 4，
∵ AD 是VABC 的高，且 AD = 5，
1 1
∴ S△AEC = CE × AD = 4 5 = 10，2 2
故答案為：10．
3．（23-24 七年級下·貴州黔西·期末）如圖，VABC的高 AD = 6 cm，BC = 9 cm，點 E 在BD 上，連接
AE ．設CE的長為 x cm ，VABE 的面積為 y cm2 ，解答下列問題：
(1)求 y 與 x 之間的關系式；
(2)若CD = 4 cm，當 x 為多少時，VABE 的面積比VADE 的面積大 3 cm2 ？
【答案】(1) y = -3x + 27
(2) x = 6
【分析】本題主要考查了用關系式表示變量之間的關系，一元一次方程的應用，讀懂題意，找準等量關系，
是解題的關鍵．
1
（1）根據 y = AD BE 即可求解；
2
（2）根據題意表示出VADE 的面積即可求解；
【詳解】（1）解：∵BC = 9 cm，CE的長為 x cm ，
∴BE = 9 - x cm
∵高 AD = 6 cm，
y 1∴ = 9 - x 6 = -3x + 27
2
（2）解：∵CD = 4cm，
∴DE = CE - CD = x - 4 cm，
1 1
∴VADE 的面積= DE × AD = x - 4 6 = 3x -12 cm2 ，
2 2
∵VABE 的面積比VADE 的面積大 3 cm2
∴ 27 - 3x - 3x -12 = 3，
解得： x = 6，
∴當 x = 6時，VABE 的面積比VADE 的面積大 3 cm2
題型 07 根據三角形中線求長度
1．（23-24 七年級下·廣東深圳·期末）如圖，在VABC 中，點 D 是BC 邊上的中點，若△ABD 和VACD的周
長分別為 16 和 11，則 AB - AC 的值為（ ）
A．5 B．11 C．16 D．27
【答案】A
【分析】本題考查的是三角形的中線的概念，根據線段中點的概念得到BD = CD，根據三角形的周長公式
計算即可．
【詳解】解：∵點 D 是BC 邊上的中點，
\BD = CD ，
QVABD的周長為 16，
\ AB + BD + AD =16
QVACD的周長為 11，
\ AC + AD + CD =11，
\△ABD 的周長-VACD 的周長= AB + BD + AD - AD - AC - DC = AB - AC =16 -11 = 5，
故選：A．
2．（23-24 七年級下·河南南陽·階段練習）如圖，點 C 在直線 l 外，點 A、B 在直線 l 上，點 D 是 AB 的中點，
已知 AB = 6，△BCD的面積為 9，則 AC 的最小值為 ．
【答案】6
【分析】本題考查了三角形的面積，三角形的中線，垂線段最短，熟練掌握三角形中線的性質是解題的關
鍵．
根據三角形的中線把三角形分成面積相等的兩個三角形即可得出的面積，再根據當時最小即可求出結果．
【詳解】解：∵點 D 是 AB 的中點，已知 AB = 6，
∴BD = AD = 3， SVBCD = SVACD ，
∵△BCD的面積為 9，
∴VACD的面積為 9，
當 AC ^ l 時， AC 最小，
1
∴ 3AC = 9，
2
∴ AC = 6 ．
故答案為：6．
3．（23-24 七年級下·河北滄州·期末）如圖，在VABC 中， AD 為邊BC 上的高，點 E 為邊BC 上的一點，連
接 AE ．
(1)當 AE 為邊BC 上的中線時，若 AD = 5，VABC 的面積為 30，求CE的長；
(2)當 AE 為 BAC 的平分線時，若 C = 66°， B = 34°，求 DAE 的度數．
【答案】(1) 6
(2)16°
【分析】（1）先根據三角形面積公式計算出 BC = 8，然后根據 AE 為邊BC 上的中線得到CE的長；
（2）先根據三角形內角和求出 BAC = 78°，再利用角平分線的定義得到 CAE = 39°，再求出 CAD，然
后根據 DAE = CAE - CAD計算即可．
本題考查了三角形的面積，以及高線、中線和角平分線的定義，關鍵是明白三角形的面積等于底邊長與高
線乘積的一半，三角形內角和定理．
【詳解】（1）Q AD 為邊BC 上的高，VABC 的面積為 30，
1
\ BC × AD = 30 ，
2
1
\ BC 5 = 30，
2
\ BC = 12 ，
Q AE 為邊BC 上的中線，
CE 1\ = BC = 6；
2
（2）Q C = 66°， B = 34°，
\ BAC =180° - C - B =180° - 66° - 34° = 80°，
Q AE 為 BAC 的平分線，
1
\ CAE = BAC = 40°
2 ，
Q ADC = 90°， C = 66°，
\ CAD = 90° - 66° = 24°，
\ DAE = CAE - CAD = 40° - 24° =16°．
題型 08 根據三角形中線求面積
1．（23-24 七年級下·陜西榆林·期末）如圖，已知點M 是VABC 的邊BC 上一點，且BM = 2CM ，線段 AM
與VABC 的中線BN 交點O，連接MN ，若VABC 的面積為12，則VCMN 的面積是（ ）
A． 2 B． 4 C．3 D．1.5
【答案】A
【分析】本題考查了三角形中線的性質，三角形的面積，由BN 是VABC 的中線可得 AN = CN ，進而得
S 1 1 1VBCN = SVBAN = S2 V ABC
= 6，再由BM = 2CM 可得CM = BC3 ，即得到 SVCMN = SVBCN = 2，掌握三角形中線的3
性質是解題的關鍵．
【詳解】∵BN 是VABC 的中線，
∴ AN = CN ，
∴ S
1 1
VBCN = SVBAN = S = 12 = 6，2 V ABC 2
∵BM = 2CM ，
∴CM
1
= BC
3 ，
S 1 S 1∴ VCMN = 3 VBCN
= 6 = 2，
3
故選：A ．
2．（23-24 七年級下·山東濰坊·期末）如圖，在VABC 中，CD 是 AB 的中線，延長CD 至點 E，使
DE 1= CD，連接 BE ，若VBDE的面積為 2，則VABC 的面積是 ．
3
【答案】12
【分析】由角平分線的性質可得DG = DH ，由三角形的面積關系可求解．本題考查了角平分線的性質，三
角形的面積公式，添加恰當輔助線是解題的關鍵．
1
【詳解】解：QDE = CD ，VBDE的面積為 2，
3
\SVBCD = 3SVBDE = 6，
Q AD = DB，
\SVABC = 2SVBCD =12，
故答案為：12．
3．（23-24 七年級下·福建泉州·期末）【問題情境】
如圖 1， AD 是VABC 的中線，VABC 與△ABD 的面積有怎樣的數量關系？小陳同學在圖 1 中作BC 邊上的
高 AE ，根據中線的定義可知BD = CD．
又因為高 AE 相同，所以 SVABD = SVACD ，于是 S△ABC = 2S△ABD ，據此可得結論：三角形的一條中線平分該三角
形的面積．
【深入探究】
（1）如圖 2，VABC 的面積為 4 平方厘米，延長 AB 到點D，延長BC 到點E ，延長邊CA到點F ，使
BD = AB，CE = BC ， AF = CA，依次連接 D、E、F 得到VDEF ，求VDEF 的面積．
【拓展延伸】（2）如圖 3．若四邊形 ABCD的面積為 a，分別延長四邊形 ABCD的各邊，使得 AH = mAD，
CF = mBC ，BE = nAB，DG = nCD ，依次連接E、F、G、H 得到四邊形EFGH ．
①若m = n = 2，求四邊形EFGH 的面積；（用含 a的代數式表示）
②直接寫出四邊形EFGH 的面積（用含m、n、a的代數式表示）
【答案】（1）28；（2）①13a ；② S四邊形EFGH = 2mn + m + n +1 a
【分析】本題考查了與三角形中線有關的面積計算、列代數式，解題的關鍵在于添加適當的輔助線，正確
表示出三角形面積．
（1）連接 BF ， AE ，根據三角形中線有關的面積計算出 S△ ADF 、 S△BDE 、 SVABE 、 SVAEF ，再根據
SVDEF = SVADF + SVBDE + SV ABE + SVAEF 計算即可得出答案；
（2）①連接 AC 、 AG 、 EC 、BH 、DF ，設VABC 的面積為 x 、VACD的面積為 y ，則 x + y = a，結合題
意求出 SVDHG + SVBEF = 6y + 6x = 6 x + y = 6a，同理可得： SVAEH + SVCFG = 6a ，再根據
S
四邊形EFGH = SVAEH + SVCFG + SVDHG + SVBEF + SVABC + SVACD 計算即可得出答案；②同①的方法計算即可得出答案．
【詳解】解：（1）如圖，連接 BF ， AE ，
，
∵ AF = CA，
∴ SVFAB = SV ABC = 4， SVEAF = SVEAC ，
∴ SVBCF = 2SVABC = 8，
∵BD = AB，
∴ SVFBD = SVFAB = 4， SVABE = SVBDE ，
∴ SVFAD = 2SVABF = 8，
∵CE = BC ，
∴ SVFBC = SVFCE = 8，
∴ SVEAF = SVEAC = 4，
∴ SVABE = SVABC + SVACE = 8，
∴ SVABE = SVBDE = 8，
∴ SVDEF = SVADF + SVBDE + SV ABE + SVAEF = 8 + 8 + 8 + 4 = 28；
（2）①如圖，連接 AC 、 AG 、 EC 、BH 、DF ，
，
設VABC 的面積為 x 、VACD的面積為 y ，則 x + y = a，
∵BE = 2AB ，DG = 2CD，
∴ SVEBC = 2SVABC = 2x， SVGAD = 2SVACD = 2y ，
∵ AH = 2AD ，CF = 2BC ，
∴ SVGAH = 2SVGAD = 4y， SVECF = 2SVEBC = 4x，
∴ SVDHG = SVGAD + SVGAH = 6y， SVBEF = SVBCE + SVCEF = 6x ，
∴ SVDHG + SVBEF = 6y + 6x = 6 x + y = 6a，
同理可得： SVAEH + SVCFG = 6a ，
∴ S EFGH = SVAEH + SVCFG + SVDHG + SVBEF + SVABC + SVACD = 6a + 6a + a =13a四邊形 ；
②如圖，連接 AC 、 AG 、 EC 、BH 、DF ，
，
設VABC 的面積為 x 、VACD的面積為 y ，則 x + y = a，
∵BE = nAB，DG = nCD ，
∴ SVEBC = nSVABC = nx， SVGAD = nSVACD = ny，
∵ AH = mAD，CF = mBC ，
∴ SVGAH = mSVGAD = mny ， SVECF = mSVEBC = mnx，
∴ SVDHG = SVGAD + SVGAH = mn + n y ， SVBEF = SVBCE + SVCEF = mn + n x，
∴ SVDHG + SVBEF = mn + n y + mn + n x = mn + n x + y = mn + n a，
同理可得： SVAEH + SVCFG = mn + n a，
∴ S EFGH = SVAEH + SVCFG + SVDHG + SVBEF + SVABC + SVACD = mn + n a + mn + n a + a = 2mn + m + n +1 a四邊形 ．
題型 09 三角形內角和定理的證明
1．（23-24 七年級下·廣東揭陽·期中）如圖，若 1 = 2，DE∥BC ，則：
①FG P DC ；
② AED = ACB；
③CD 平分 ACB ；
④ 1+ B = 90°；
⑤ BFG = BDC ；
⑥ FGC = DEC + DCE ，其中正確的結論是（ ）
A．①②③ B．①②⑤⑥ C．①③④⑥ D．③④⑥
【答案】B
【分析】本題考查了平行線的判定與性質，三角形內角和定理，根據平行線的性質和判定定理逐項分析判
斷①②⑤，結合三角形內角和定理可以判定⑥，結合題意和圖形判斷③④，即可進行解答．
【詳解】①∵DE∥BC ，
∴ 1 = DCB，
∵ 1 = 2，
∴ DCB = 2，
∴FG∥DC，
故①正確；
②∵DE∥BC ，
∴ AED = ACB，
故②正確；
∵FG∥DC，
∴ BFG = BDC ，
故⑤正確，
∵在VDEC 中， 1+ DEC + ECD =180° ，
又∵ 2 + FGC =180°， 1 = 2，
∴ FGC = DEC + DCE ，
故⑥正確，
∵在VDEC 中，無法確定 1 = DCE，
又∵ 1 = DCB，
∴無法確定 BCD = DCE ，
∴無法確定CD 平分 ACB ，故③錯誤，
∵在△BCD中，無法確定 B + BCD = 90°，且 1 = DCB，
∴無法確定 1+ B = 90°，故④錯誤；
故選：B．
2．（21-22 八年級上·北京·期中）生活中到處都存在著數學知識，只要同學們學會用數學的眼光觀察生活，
就會有許多意想不到的收獲，如圖是由三角尺拼湊得到的，圖中∠ABC= ．
【答案】75°
【分析】由∠F=30°，∠EAC=45°，即可求得∠ABF 的度數，又由∠FBC=90°，易得∠ABC 的度數．
【詳解】解：∵∠F=30°，∠EAC=45°，
∴∠ABF=∠EAC-∠F=45°-30°=15°，
∵∠FBC=90°，
∴∠ABC=∠FBC-∠ABF=90°-15°=75°．
故答案為：75°．
【點睛】本題考查了三角形的內角和定理，三角形的外角的性質等知識，注意數形結合思想的應用．
3．（23-24 七年級下·河北廊坊·期末）閱讀下列材料，并解答相關問題．
背
在探究三角形內角和定理的課上，李老師引導同學們根據拼合過程，思考如何作出輔助線證明．
景
嘉嘉經過觀察、思考之后，發現過三角形 ABC 的頂點A 作DE∥BC ，則由平行線的性質與平角的定
義就能證明“三角形三個內角的和等于180° ”這個命題．
已知：如圖 1，在三角形 ABC 中，過頂點A 作DE∥BC ．
問
題
求證： BAC + B + C =180°．
初
探
證明：QDE∥BC ，
\ B =①_____， C =②_____．（③_____）
Q BAC + 1+ 2 =180°，（平角定義）
\ BAC + ④_____ + ⑤_____ =180°．（等量代換）
淇淇將頂點A 的位置一般化（如圖 2），換成三角形 ABC 邊 AB 上的任意一點 P ，過頂點 P 分別作平
行于 AC, BC 的平行線．由平行線的性質與平角的定義，也證明了“三角形三個內角的和等于180° ”這
類 個命題．
比
分
析
為方便市民綠色出行，我市推出了共享單車服務，圖 3 是某品牌共享單車放在水平地面的實物圖，
圖 4 是其平面示意圖，其中 AB,CD 都與地面 l平行， BCD = 70°， BAC = 50°，當 MAC = ______
學 °時， AM ∥CE ．
以
致
用
(1)補全嘉嘉的證明過程中序號所對應的內容．
(2)對于淇淇的證明思路，請你先作出輔助線，再完成這個證明．
(3)在圖 4 中，當 MAC = ______ °時， AM ∥CE ．
【答案】(1)① 1；② 2；③兩直線平行，內錯角相等；④ B；⑤ C
(2)證明見解析
(3) 60 ，理由見解析
【分析】本題考查的是平行線的性質，三角形的內角和定理的證明，熟記平行線的性質是解本題的關鍵．
（1）根據題干信息提示，完善推理過程與推理依據即可；
（2）如圖，過 P 作PT ∥BC ，PK ∥ AC 交BC 于K ，再結合平行線的性質與平角的定義可得結論；
（3）先證明 BAC + ACD =180°，可得 ACD = 180° - 50° = 130°，結合 BCD = 70°，可得
ACB =130° - 70° = 60°，再進一步可得答案．
【詳解】（1）解：證明：QDE∥BC ，
\ B =① 1， C =② 2．（③兩直線平行，內錯角相等）
Q BAC + 1+ 2 =180°，（平角定義）
\ BAC + ④ B + ⑤ C =180°．（等量代換）
（2）解：如圖，過 P 作PT ∥BC ，PK ∥ AC 交BC 于K ，
∴ APT = B， TPK = BKP， BPK = A， BKP = C ，
∴ C = TPK ，
∵ BPK + TPK + APT =180°，
∴ A + B + C =180°；
（3）解：當 MAC = 60° = ACB時， AM ∥CE ．理由如下：
∵ AB∥CD∥l ，
∴ BAC + ACD =180°，
∵ BAC = 50°，
∴ ACD = 180° - 50° = 130°，
∵ BCD = 70°，
∴ ACB =130° - 70° = 60°，
∴當 MAC = 60° = ACB時，
∴ AM ∥CE ．
題型 10 與平行線有關的三角形內角和問題
1．（23-24 七年級下·陜西榆林·階段練習）如圖，將長方形紙片 ABCD沿對角線BD折疊，點 C 的對應點為
點 E， BE 交 AD 于點 O．若 CBD = 31°，則 BOD的度數為（ ）
A．118° B．111° C．101° D．62°
【答案】A
【分析】本題考查了折疊的性質，長方形的性質以及三角形內角和定理，根據折疊的性質，可以得到 EBD
的度數，然后再根據平行線的性質得到 ODB 的度數，最后由三角形內角和定理可得結論．
【詳解】解：由折疊的性質得到， EBD = CBD ，
∵ CBD = 31°，
∴ EBD = CBD = 31°，
∵四邊形 ABCD是長方形，
∴ AD∥BC ，
∴ ODB = DBC = 31°，
∴ BOD =180° - OBD - ODB =180° - 31° - 31° =118°
故選：A．
2．（23-24 七年級下·新疆巴音郭楞·期末）如圖 1 是某款嬰兒手推車，如圖 2 是其側面的示意圖，若
AB∥CD ， 1 =130°， 3 = 35°，則 2的度數為 ．
【答案】85° /85 度
【分析】本題考查平行線的性質和三角形內角和定理，根據平行線的性質可得 ABC = 3 = 35°，利用三角
形內角和定理得出 AEB的度數，即可求解．
【詳解】解：如圖，
∵ AB P CD，
∴ ABC = 3 = 35°，
∵ 1 =130°
∴ 4 = 180° -130° = 50°，
∴ AEB =180° - 50° - 35° = 95°
∴ 2 =180° - AEB = 85°，
故答案為：85°．
3．（23-24 七年級下·山西晉城·期中）綜合與實踐
學習完三角形后，同學們在劉老師的帶領下對三角形進一步探討研究．
問題：已知如圖 1，VABC ．
(1)問題解決：若 BAC : ABC : ACB = 3: 2 :1，則∠ACB = ；
(2)拓展延伸：劉老師繼續添加條件，如圖 2，E 是 AB 上一點，過 E 作EF∥BC 交 AC 于點 F，作 ABC 的
平分線，交 EF 于點 D，若 BED = 128°，求 ABD 的度數；
(3)深入探討：在（2）的條件下，劉老師繼續添加條件，如圖 3，連接 AD ，且 AD ^ BD，
DAF 1 = BAD，試猜想 DAF 與 C 之間的數量關系，并說明理由．
2
【答案】(1)30°
(2) 26°
(3) DAF = C ，理由見解析
【分析】（1）設 ACB = x，則 ABC = 2x ， BAC = 3x ，根據三角形內角和定理列方程求解即可；
（2）由平行線的性質和角平分線的定義可得 EDB = DBC ， ABD = DBC ，從而可得 ABD = EDB ，
利用三角形內角和定理求解即可；
（3）由（2）可得， ABD = EDB = 26°， ABC = 52°，由三角形內角和定理可得 BAD = 64°，由
DAF 1= BAD，可得 DAF = 32°， BAC = 96°，利用三角形內角和定理求得 ACB = 32°，再根據平行
2
線的性質可得 C = AFE ，即可求解．
【詳解】（1）解： BAC : ABC : ACB = 3: 2 :1，
設 ACB = x，則 ABC = 2x ， BAC = 3x ，
∴ x + 2x + 3x =180°，
∴ x = 30°，
故答案為：30°；
（2）解：∵EF∥BC ，
∴ EDB = DBC ，
∵BD平分 ABC ，
∴ ABD = DBC ，
∴ ABD = EDB ，
∵ BED = 128°，
∴ 2 ABD = 180° -128° = 52°，
∴ ABD = 26° ；
（3）解：由（2）可得， ABD = EDB = 26°，
∴ ABC = 2 ABD = 52°，
∵ AD ^ BD，
∴ ADB = 90°，
∴ BAD =180° - 90° - 26° = 64°，
∵ DAF
1
= BAD，
2
2
∴ BAD = BAC ， DAF = 32°，
3
∴ BAC = 96°，
∴ ACB = 180° - ABC - BAC = 32°，
∵EF∥BC ，
∴ C = AFE = 32°，
∴ DAF = C ．
【點睛】本題考查角平分線的定義、三角形內角和定理、解一元一次方程、平行線的性質，熟練掌握三角
形內角和定理是解題的關鍵．
題型 11 與角平分線有關的三角形內角和問題
1．（23-24 七年級下·安徽宿州·期末）健康騎行越來越受到大眾的喜歡，某自行車的示意圖如圖所示，其中
AB∥CD, AE∥BD,CE 平分 ACD．若 CDB = 60°, ACD = 70°，則 AEC 的度數為（ ）
A．140° B．120° C．100° D．95°
【答案】D
【分析】本題考查的是平行線的性質，三角形的內角和定理的應用，解題的關鍵是熟練掌握平行線的性質
并靈活運用．平行線的性質是由平行關系來尋找角的數量關系．應用性質定理時，一定要弄清題設和結論，
切莫混淆．
根據 AB∥CD 和 CDB 、 ACD的度數分別求出 ABD 和 CAB 的度數，然后根據 AE∥BD 求出
BAE ，進而求出 EAC ，再求解 ACE 結合三角形的內角和定理可得答案．
【詳解】解：Q AB∥CD，
\ ACD + CAB =180°, CDB + ABD =180°，
Q CDB = 60°， ACD = 70°，
\ ABD =120°, CAB =110°，
Q AE∥BD ，
\ BAE + ABD =180°，
\ BAE = 60°，
\ EAC = CAB - BAE =110° - 60° = 50°，
Q ACD = 70°,CE 平分 ACD，
\ ACE = 35°，
\ AEC =180° - 50° - 35° = 95°，
故選：D．
2．（23-24 七年級下·四川綿陽·期末）已知VABC ， A = 80°， ABC 和 ACB 的平分線交于點O，過點O
作BC 的平行線分別交 AB，AC 于點F，E ．則 EOB與 COF 的度數和為 ．
【答案】310°
【分析】本題考查了三角形內角和定理，三角形角平分線的性質，平行的性質，由 A = 80°可得
1 1
ABC + ACB =100°，，再根據角平分線的性質可得 OBC = ABC ， OCB = ACB ，進而得
2 2
OBC + OCB 1= ABC + ACB = 50°，
2
，由平行線的性質可得 EOB =180° - OBC ， COF =180° - OCB，兩角相加即可求解，掌握三角形角
平分線的性質是解題的關鍵．
【詳解】解：∵ A = 80°，
∴ ABC + ACB =180° -80° =100°，
∵BO、CO分別是 ABC 和 ACB 的平分線，
∴ OBC
1
= ABC 1， OCB = ACB ，
2 2
∴ OBC + OCB
1
= ABC 1+ ACB 1= ABC + ACB = 50°，
2 2 2
∵EF∥BC ，
∴ EOB + OBC =180°， COF + OCB =180°，
∴ EOB =180° - OBC ， COF =180° - OCB，
∴ EOB + COF =180° - OBC +180° - OCB = 360° - OBC + OCB = 360° - 50° = 310°，
故答案為：310°．
3．（23-24 七年級下·河南洛陽·期末）如圖，在VABC 中， AD ^ BC 于點 D，點 E 為邊BC 上一點．
(1)若 AE 平分 BAC ， DAE =15°， B = 60°，求 C 的度數．
(2)在（1）條件下，直接寫出 AEC = ______．
【答案】(1)30°
(2)105°
【分析】本題考查了三角形內角和定理，角平分線的定義，熟練掌握三角形內角和定理是解題的關鍵．
（1）先求出 BAD 的度數，即可求出 BAE 的度數，于是得出 BAC 的度數，再根據三角形內角和定理
即可求出 C 的度數；
（2）在△ACE中根據三角形內角和定理即可求出 AEC 的度數．
【詳解】（1）解：∵ AD ^ BC, B = 60°，
∴在△ABD 中， BAD = 90° = 60° = 30°，
又Q DAE =15°，
\ BAE = BAD + DAE = 30° +15° = 45°，
又Q AE 平分 BAC ，
\ BAC = 2 BAE = 90°，
∴在VABC 中， C =180° - BAC - B =180° - 90° - 60° = 30° ，
（2）解：由（1）知 BAE = CAE = 45°, C = 30°，
\ AEC =180° - CAE - C =180° - 45° - 30° =105°，
故答案為：105°．
題型 12 三角形中折疊中的角度問題
1．（23-24 七年級下·山西運城·期末）如圖，將VABC 沿DE ，HG， EF 翻折，三個頂點均落在點O處，若
1 =119°，則 2的度數為（ ）
A．59° B．61° C．69° D． 71°
【答案】B
【分析】本題考查三角形的內角和，折疊問題，根據折疊，對應角相等，結合三角形的內角和定理以及周
角的定義，進行求解即可．
【詳解】解：∵折疊，
∴ B = HOG, A = DOE, C = EOF ，
∴ HOG + DOE + EOF = A + B + C =180°，
∴ 1+ 2 = 360° - HOG + DOE + EOF =180°，
∴ 2 =180° -119° = 61°；
故選 B．
2．（23-24 七年級下·浙江湖州·期末）將長方形紙帶先沿 EF 折疊成圖 1，再沿 PQ折疊成圖 2，此時PB 恰好
經過點F ，若 AFE = FQP = A MF = a ，則a 的度數為 度．
【答案】72
【分析】本題考查了折疊問題，三角形的內角和定理，平行線的性質，根據平行線的性質可得
QEF = AFE = a ，根據三角形內角和定理可得出 EQF =180° - 2a ，進而根據平行線的性質可得
EQM = EQF + FQM = A MF = a ，得出 PQM = FQP + FQM = 4a -180°，根據折疊得出
A QP = PQM = 4a -180°，進而根據平角的定義得出 A QP + PQF = 5a -180° =180°，即可求解．
【詳解】解：∵ AFE = FQP = A MF = a ， AD∥BC
∴ QEF = AFE = a ，
∵折疊
∴ QFE = AFE = a ，
在△EFQ 中， EQF =180° - 2a ，
∵ AD∥BC ，
∴ EQM = EQF + FQM = A MF = a
∴ FQM = a - 180° - 2a = 3a -180°
∵ FQP = a
∴ PQM = FQP + FQM = 4a -180°
∵折疊，
∴ A QP = PQM = 4a -180°
又 PQF = a
∴ A QP + PQF = 5a -180° =180°
解得：a = 72°
故答案為：72
3．（23-24 七年級下·河南南陽·期末）綜合與實踐
數學活動課上，老師組織數學小組的同學們以“折疊”為主題開展數學活動．
(1)觀察發現：如圖 1，將VABC 紙片沿DE 折疊，使點A 落在四邊形BCDE 內點 A 的位置．則 A、
A DC 、 A EB 之間的數量關系為：______；
(2)探究遷移：如圖 2，若將（1）中“點A 落在四邊形BCDE 內點 A 的位置”變為“點A 落在四邊形BCDE 外點
A 的位置”，其他條件不變．請寫出 A、 A DC 、 A EB 之間的數量關系，并說明理由；
(3)拓展應用：如圖 3，四邊形紙片 ABCD， C = 90°， AB 與CD 不平行，將四邊形紙片 ABCD沿 EF 折疊
成圖 3 的形狀，點A 落在點 A 處，點D落在點 D 處，若 D EC =115°， A FB = 45°，請直接寫出 ABC
的度數
【答案】(1) 2 A = A DC + A EB
(2) 2 DAE = A DC - A EB ，理由見解析
(3)55°
【分析】（1）連接 AA ，證明 DAE = DA E ，結合 A EB = EA A + EAA ， A DC = DA A + DAA ，
再利用角的和差關系可得答案；
（2）連接 AA ，證明 DAE = DA E ，結合 A EB = EA A + EAA ， A DC = DA A + DAA ，再利用角
的和差關系可得答案；
（3）如圖，延長 BA，CD 交于點Q，延長 ED ， FA 交于點Q ，則對折后△EFQ 與VEFQ 重合，由（2）
的結論可得： 2 Q = D EC - A FB ，可得 Q = 35°，再利用三角形的內角和定理可得答案．
【詳解】（1）解：結論： 2 DAE = A DC + A EB ，
理由：連接 AA ，
沿DE 折疊A 和 A 重合，
\ DAE = DA E ，
Q A EB = EA A + EAA ， A DC = DA A + DAA ，
\ A EB + A DC = EA A + EAA + DA A + DAA = DAE + DA E = 2 DAE ．
（2） 2 DAE = A DC - A EB ，
理由：連接 AA ，
沿DE 折疊A 和 A 重合，
\ DAE = DA E ，
Q A EB = EA A + EAA ， A DC = DA A + DAA ，
\ A DC - A EB = DA A + DAA - EA A - EAA = DAE + DA E = 2 DAE ；
（3）如圖，延長BA，CD 交于點Q，延長ED ，FA 交于點Q ，
則對折后△EFQ 與VEFQ 重合，
由（2）的結論可得： 2 Q = D EC - A FB ，而 D EC =115°， A FB = 45°，
\2 Q = 115° - 45° = 70°，
\ Q = 35°，
Q C = 90° ，
\ ABC = 90° - 35° = 55°．
【點睛】本題考查三角形綜合，三角形的內角和定理的應用，三角形的外角的性質，軸對稱的性質，熟記
軸對稱的性質并進行解題是關鍵．
題型 13 三角形內角和定理的應用
1．（2024·四川達州·模擬預測）如圖， AE∥CD ， AC 平分 BCD， 1 = 30°， B = 55°，則 BAE =
（ ）
A．60° B．55° C．65° D．75°
【答案】C
【分析】本題主要考查平行線的性質，三角形內角和定理等知識點，靈活運用相關性質定理成為解題的關
鍵．
由角平分線定義可得 BCD = 2 1 = 60°，根據平行線的性質可得 AEB = BCD = 60°，最后三角形內角和
定理即可解答．
【詳解】解：∵ AC 平分 BCD， 1 = 30°，
∴ BCD = 2 1 = 60°，
∵ AE∥CD ，
∴ AEB = BCD = 60°，
∵ B = 55°，
∴ BAE =180° - 60° - 55° = 65°．
故選：C．
2．（23-24 七年級下·福建廈門·期末）如圖，AM ∥BC ， ABC 是鈍角，BE 平分 ABC 交 AM 于點E ，BD
平分 EBC 交 AM 于點D，點F 在線段 AE 上，若 DFB = DBF ，則 DBC 與 ABF 之間的數量關系
為 ．
【答案】7 DBC - 2 ABF =180°
【分析】本題考查平行線的性質及角平分線的定義，解題關鍵是熟知平行線的性質，找準各角之間的關系
進行等量代換化簡．
根據平行線的性質得出 AEB = EBC ，再由角平分線及等量代換確定 AEB = 2 DBC ，
ABE = AEB = 2 DBC ，利用三角形內角和定理得出 DFB = A + ABF =180o -4 DBC + ABF ，再
進行等量代換化簡即可．
【詳解】解：∵ AM ∥BC ，
\ AEB = EBC ，
QDB 平分 EBC ，
\ EBC = 2 EBD = 2 DBC ，
\ AEB = 2 DBC ，
∵ BE 平分 ABC ，
∴ ABE = EBC ，
∴ ABE = AEB = 2 DBC ，
∴ A =180° - AEB - ABE =180° - 4 DBC ，
\ DFB = A + ABF =180o -4 DBC + ABF ，
Q DBF = EBD + EBF
= DBC + ABE - ABF
= DBC + 2 DBC - ABF ，
∵ DFB = DBF ，
∴180° - 4 DBC + ABF = DBC + 2 DBC - ABF ，
∴7 DBC - 2 ABF =180°
故答案為：7 DBC - 2 ABF =180°．
3．（23-24 七年級下·福建泉州·期末）如圖，在VABC 中， A = 70°， ABC = 50°．
(1)求 C 的度數；
(2)若 BDE = 30°，DE∥BC 交 AB 于點E ，判斷VBDC 的形狀，并說明理由．
【答案】(1) 60°
(2)VBDC 為直角三角形，理由見解析
【分析】本題考查了三角形內角和定理、平行線的性質，熟練掌握以上知識點并靈活運用是解此題的關鍵．
（1）三角形內角和定理計算即可得出答案；
（2）由平行線的性質得出 CBD = BDE = 30°，由（1）得 C = 60°，由三角形內角和定理得出 BDC 的
度數即可得解．
【詳解】（1）解：∵ A = 70°， ABC = 50°，
∴ C =180° - A - ABC =180° - 70° - 50° = 60°
（2）解：VBDC 為直角三角形
∵DE∥BC ， BDE = 30°，
∴ CBD = BDE = 30°
由（1）得 C = 60°，
∴ BDC =180° - CBD - C =180° - 30° - 60° = 90°
∴VBDC 為直角三角形．
題型 14 直角三角形的兩個銳角互余
1．（23-24 八年級上·湖北武漢·階段練習）如圖，在 VABC 中， AD 是 BC 邊上的高， BE 平分 ABC 交 AC
邊于 E， BAC = 60°， ABE = 22°，則 DAC 的大小是（　　）
A．10° B．12° C．14° D．16°
【答案】C
【分析】
本題考查了三角形的內角和定理，角平分線的定義，準確識圖理清圖中各角度之間的關系是解題的關鍵．
根據角平分線的定義可得 ABC = 2 ABE ，再根據直角三角形兩銳角互余求出 BAD ，然后根據
DAC = BAC - BAD計算即可得解．
【詳解】
解：QBE 平分 ABC ，
\ ABC = 2 ABE = 2 22° = 44°，
Q AD 是BC 邊上的高，
\ BAD = 90° - ABC = 90° - 44° = 46°，
\ DAC = BAC - BAD = 60° - 46° =14°．
故選：C．
2．（21-22 七年級下·廣東深圳·期中）如圖，VABC 中，CD 是 BCA的平分線，VCDA中，DE 是CA邊上的
高，又有 EDA = CDB = 5 A，則 B的度數為 ．
【答案】 45° /45 度
【分析】設∠A=x，則∠EDA=∠CDB=5x，構建方程求出 x，再求出∠CDE，∠DCE，∠BCA 即可解決問題．
【詳解】解：設∠A=x，則∠EDA=∠CDB=5x，
∵DE⊥BC，
∴∠DEC=90°，
∴6x=90°，
∴∠A=x=15°，∠EDA=∠CDB=75°，
∴∠CDE=180°-75°-75°=30°，
∵ CD 是 BCA的平分線，
∴∠BCD=∠DCE=60°，
∴∠ACB=120°，
∴∠B=180°-120°-15°=45°．
故答案為 45°．
【點睛】本題考查三角形內角和定理、角平分線的性質、直角三角形的性質等知識，解題的關鍵是學會設
未知數，構建方程解決問題，屬于中考常考題型．
3．（23-24七年級下·北京·期中）如圖，在VABC 中，AD ^ BC 于D，EF ^ BC 于F，點E在線段 AC 上， 4 = C ．
(1)求證： 1 = 2；
(2)若 4 = 2 3，求 C 的度數．
【答案】(1)見解析
(2) 60°
【分析】本題考查了平行線的性質和判定的應用，主要考查學生的推理能力，熟記各圖形的性質并準確識
圖是解題的關鍵．
（1）根據平行線的判定推出 AD P EF ， AC∥DG，根據平行線的性質得出 1 = 3， 2 = 3，即可得出
1 = 2；
（2）根據 4 = 2 3， 4 = C ．得出 C = 2 3，根據直角三角形的兩銳角互余求解即可．
【詳解】（1）解：∵ AD ^ BC 于 D，EF ^ BC 于 F，
∴ ADC = EFC = 90°，
∴ AD P EF ，
∴ 1 = 3，
∵ 4 = C ．
∴ AC∥DG，
∴ 2 = 3，
∴ 1 = 2；
（2）解：∵ 4 = 2 3， 4 = C ．
∴ C = 2 3，
∵ AD ^ BC 于 D，
∴ 3+ C = 90°，
∴ 3+ 2 3 = 90°，
∴ 3 = 30°，
∴ C = 60°．
題型 15 三角形外角的定義與性質
1．（2024·四川涼山·中考真題）一副直角三角板按如圖所示的方式擺放，點E 在 AB 的延長線上，當 DF P AB
時， EDB的度數為（ ）
A．10° B．15° C．30° D．45°
【答案】B
【分析】本題考查平行線的性質，三角形的外角的性質，掌握平行線的性質，是解題的關鍵．證明
AED = FDE = 30°，再利用 EDB = ABC - AED ，進行求解即可．
【詳解】解：由題意，得： EDF = 30°， ABC = 45°，
∵DF∥ AB ，
∴ AED = FDE = 30°，
∴ EDB = ABC - AED = 45° - 30° =15°；
故選 B．
2．（23-24七年級下·河北滄州·期末）將一副三角板如圖擺放，頂點 B 在邊 EF 上，頂點F 在邊 AC 上，DF∥BC ，
則 BFC 的度數為 ．
【答案】105° /105度
【分析】本題考查的知識點是三角板中角度計算問題、平行線的性質、三角形外角性質，解題關鍵是熟練
掌握三角形外角性質．
先根據平行線性質推得 FBC ，結合三角板的角度及三角形外角性質得到的 BFC = A + ABF 即可得解．
【詳解】解：根據三角板特征可得： DFE = 30°， A = 90°， ABC = 45°，
QDF P BC ，
\ FBC = DFE = 30°，
Q ABC = 45°，
\ ABF = ABC - FBC =15°，
Q BFC 是VABF 的外角，
\ BFC = A + ABF = 90° +15° =105° ．
故答案為：105°．
3．（23-24 七年級下·河南洛陽·期末）已知直線MN 與 PQ互相垂直，垂足為 O，點 A 在射線OQ 上運動，點
B 在射線OM 上運動，點 A，B 均不與點 O 重合．
(1)如圖 1， AI平分 BAO，BI 平分 ABO， AI交BI 于 I，則 AIB = ______°．
(2)如圖 2， AI平分 BAO交OB于點 I，BC 平分 ABM ，BC 的反向延長線交 AI的延長線于點 D．
①直接寫出，則∠ADB = ______°．
②在點 A，B 的運動過程中， ADB 的大小是否會發生變化？若不變，求出 ADB 的度數；若變化，請說
明理由．
【答案】(1)135
(2)①45；②不會發生變化， ADB = 45°．
【分析】本題主要考查三角形內角和定理及三角形外角的性質的運用，要求掌握角平分線的性質，滲透由
特殊到一般的思想和用字母表示數的意義及分類討論思想，屬七年級壓軸題．
（1）由角平分線性和三角形內角和定理，建立 BIA =180
1
° - BAO + OBA 和
2
BOA = 180° - ( OAB + OBA) 的關系；
（2）①根據（1）中思路，然后根據三角形外角定理進行具體計算即可得到；
②由①的思路，設 BAO = a ，用含a 的代數式表示 CBA和 BAD ，然后代入計算即可證明不變．
【詳解】（1）解：∵ AI平分 BAO，BI 平分 ABO，
OBI ABI 1\ = = OBA, OAI = BAI 1= OAB,
2 2
\ BIA =180° - IBA - IAB
=180 1° - OBA 1- OAB
2 2
=180 1° - ( OBA + OAB)
2
180 1= ° - 180° - BOA
2
=180° - 90 1° + BOA
2
= 90 1° + BOA，
2
∵直線MN 與 PQ互相垂直，垂足為O，
\ BOA = 90°，
\ AIB 90 1= ° + 90° =135°，
2
故答案為：135．
（2）解：①∵直線MN 與 PQ互相垂直，垂足為O，
\ BOA = 90°，
\ ABM = BAO + AOB = BAO + 90°，
∵ AI平分 BAO，BC 平分 ABM ，
1
\ CBA = ABM , 1 BAD = BAO ，
2 2
\ ADB 1 1= CBA - BAD = ABM - BAO = 90° = 45°，
2 2
故答案為：45．
②不變， ADB = 45°．
設 BAO = a ，
∵ AI平分 BAO交OB于點 I , BC 平分 ABM ，
1
∴ BAI = BAO
1
= a , MBA = 90° +a , CBA 1 MBA 1 90 a 45 1= = ° + = ° + a ，
2 2 2 2 2
∴ ADB = CBA - BAD
1 1
= 45° + a - a = 45°，
2 2
∴ ADB = 45°不變．
題型 16 三角形角平分線的定義
1．（23-24 七年級下·江蘇南京·期末）如圖， AD 是VABC 的角平分線，B、C、E 共線，則a 、b 、g 之間
的數量關系是（ ）
A．a + b = g B．2a - b = g C． 2b -a = g D． 2g -a = b
【答案】C
【分析】本題考查的是三角形的角平分線的定義，三角形的外角的性質，先設 BAD = CAD = x°，利用外
角可得 b = a + x，g = a + 2x，再進一步可得結論．
【詳解】解：∵ AD 是VABC 的角平分線，
∴設 BAD = CAD = x°，
∴ b = a + x，g = a + 2x，
∴ x = b -a ，
∴g = a + 2 b -a = 2b -a ，
故選 C
2．（23-24 七年級下·山西晉城·期中）如圖，在VABC 中， ABC = 2 C ，AD 平分 BAC 交BC 于點D，點
E 為CB的延長線上一點，過點E 作EF ^ AD 于點F ，若 C = 40°，則 E = ．
【答案】 20° /20 度
【分析】本題考查了三角形內角和定理，角平分線的定義，三角形外角的性質，根據三角形內角和定理求
出 BAC 的度數，再根據角平分線的定義求出 CAD的度數，再根據三角形外角的性質求出 ADB 的度數，
最后根據直角三角形兩銳角互余即可求出 E的度數．
【詳解】解：Q C = 40°， ABC = 2 C ，
\ ABC = 80°，
\ BAC =180° - 40° -80° = 60°，
Q AD 平分 BAC ，
1
\ BAD = CAD = BAC = 30°，
2
Q ADB是△ADC 的一個外角，
\ ADB = C + CAD = 40° + 30° = 70°，
QEF ^ AD，
\ EFD = 90° ，
\ E = 90° - ADB = 90° - 70° = 20°，
故答案為： 20°．
3．（23-24 七年級下·湖南邵陽·期末）如圖，已知 AC∥DE ， D + BAC = 180°．
(1)求證： AB∥CD ；
(2)連接CE，恰好滿足CE平分 ACD，若 AB ^ BC ， CED = 36°，求 ACB 的度數．
【答案】(1)證明過程見解析
(2)18°
【分析】本題考查平行線的性質與判定、角平分線的定義，（1）根據平行線的性質可得 D + ACD =180°，
利用等量代換可得 ACD = BAC ，再根據平行線的判定即可得證；
（2）根據平行線的性質和角平分線的定義可得 ACD = 2 ACE = 72°，再根據平行線的性質可得
DCB = 90°，即可求解．
【詳解】（1）解：∵ AC∥DE ，
∴ D + ACD =180°，
∵ D + BAC = 180°，
∴ ACD = BAC ，
∴ AB∥CD ；
（2）解：∵ AC∥DE ，
∴ CED = ACE = 36°，
∵ EC 平分 ACD，
∴ ACD = 2 ACE = 72°，
由（1）可得， AB∥CD ，
∴ ABC + DCB =180°，
又∵ AB ^ BC ，即 ABC = 90°，
∴ DCB = 90°，
∴ ACB = DCB - ACD = 90° - 72° = 18°．
題型 17 利用網格求三角形面積
1．（23-24 七年級下·江蘇揚州·期末）如圖所示的網格是正方形網格，點 A，B，C，D 是網格線交點，則下
列關于VABC 的面積與△BCD的面積的大小說法正確的是（ ）
A． S△ABC > S△BCD B． SVABC = SVBCD C． S△ABC < S△BCD D．無
法比較
【答案】B
【分析】本題考查了三角形的面積，掌握三角形的面積公式是本題的關鍵．分別求出VABC 的面積和△BCD
的面積，即可求解．
1
【詳解】解：QSV ABC = 2 6 = 62 ，
SVBCD = 4 4
1 2 4 1 1- - 2 2 - 2 4 = 6
2 2 2 ，
\S△ABC = S△BCD ．
故選：B．
2．（22-23 七年級上·湖南婁底·期末）下圖中每個小方格的邊長為 1 個單位長，則格點四邊形 ABCD（四個
頂點 A、B、C、D 都在格點上）的面積為 ．
【答案】21
【分析】利用割補法求四邊形 ABCD的面積即可．
1
【詳解】解： S ABCD = 7 6 - 4 2
1
- 3 2 1 - 4 1 3- 4 4 = 21
四邊形 ．2 2 2 2
故答案為：21．
【點睛】本題主要考查了在方格中求四邊形的面積，解題的關鍵是熟練掌握格點的特點，注意運用割補法．
3．（23-24 七年級下·江蘇泰州·期末）如圖是由若干個邊長為 1 個單位長度的小正方形組成的方格圖，VABC
在該方格圖中．
(1)將VABC 向左平移 5 個單位長度，再向上平移 1 個單位長度得到△A1B1C1（點 A1與點 A 對應，點B1與點 B
對應，點C1與點 C 對應），請在方格圖中畫出△A1B1C1；
(2)畫出 AC 邊上的中線BD；
(3)請求出△A1B1C1的面積．
【答案】(1)見解析
(2)見解析
(3)7
【分析】本題主要考查了畫平移圖形，畫三角形中線，網格中求三角形面積：
（1）根據平移方式確定 A、B、C 對應點 A1、B1、C1的位置，再順次連接 A1、B1、C1即可；
（2）根據網格的特點取 AC 中點 D，再連接BD即可；
（3）用一個長方形的面積分別減去三個直角三角形的面積去計算三角形△A1B1C1的面積．
【詳解】（1）解：如圖，△A1B1C1為所作；
；
（2）解：如圖BD即為所求；
1 1 1
（3）解：根據題意可得： S△A B C = 3 6- 2 2- 1 6- 4 3 = 7．1 1 1 2 2 2
A 夯實基礎
1．（23-24 七年級下·山西運城·期末）如圖①是一種創意花瓶擺件，圖②是從其正面看的示意圖，在VABC
中，已知 A = 40° ， B = 70°，則 C 的度數為（ ）
A． 40° B．50° C．60° D．70°
【答案】D
【分析】本題考查了三角形內角和為180°，據此直接計算即可．
【詳解】解：在VABC 中，已知 A = 40° ， B = 70°，
則 C = 180° - A - B = 70°，
故選：D．
2．（2024·陜西·中考真題）如圖，在VABC 中， BAC = 90°， AD 是BC 邊上的高，E 是DC 的中點，連接
AE ，則圖中的直角三角形有（ ）
A．2 個 B．3 個 C．4 個 D．5 個
【答案】C
【分析】本題主要考查直角三角形的概念．根據直角三角形的概念可以直接判斷．
【詳解】解：由圖得△ABD ，VABC ，△ADC ，VADE 為直角三角形，
共有 4 個直角三角形．
故選：C．
3．（23-24 七年級下·湖南株洲·期末）把一副三角板按如圖所示的方式擺放，已知 A = 45° ， E = 30°，
AC∥EF ，則 1的度數為 ．
【答案】75° /75 度
【分析】本題考查了平行線的性質，三角形的外角性質．根據平行線的性質求得 2 = E = 30°，再利用三
角形的外角性質求解即可．
【詳解】解：∵ AC∥EF ，
∴ 2 = E = 30°，
∵ A = 45° ，
∴ 1 = A + 2 = 45° + 30° = 75°，
故答案為：75°．
4．（23-24 七年級下·黑龍江哈爾濱·階段練習）若長度分別為3，4，a的三條線段能組成一個三角形，則 a
的取值范圍是 ．
【答案】1< a < 7
【分析】此題主要考查了三角形的三邊關系，解題的關鍵是熟練掌握三角形的三邊關系定理．根據三角形
的三邊關系：①兩邊之和大于第三邊，②兩邊之差小于第三邊，即可得到答案．
【詳解】解：根據題意得： 4 - 3 < a < 4 + 3，
解得：1< a < 7，
故答案為：1< a < 7．
5．（23-24 七年級下·江蘇揚州·階段練習）如圖，已知△ABC．
(1)畫角平分線 BD；
(2)畫中線 CE；
(3)畫高 AD．
【答案】(1)見解析
(2)見解析
(3)見解析
【分析】此題主要考查了基本作圖，關鍵是掌握三角形中的三條重要線段的定義．根據三角形的中線、高
線、角平分線的定義分別畫出圖形即可．
【詳解】（1）解：如圖所示：線段BD即為所求．
（2）解：如圖所示：線段CE即為所求．
（3）解：如圖所示：線段 AD 即為所求．
6．（21-22 七年級下·陜西咸陽·階段練習）如圖，在VABC 中，BE、CF 分別是 AC、AB邊上的中線，若
AE = 4，BF = 6，且VABC 的周長為 30，求BC 的長．
【答案】BC =10
【分析】本題考查了三角形的中線，理解三角形中線的定義是解題的關鍵．
先根據三角形中線的定義求出 AC、AB的長度，再利用VABC 的周長為 30 求BC 的長即可．
【詳解】解：∵BE、CF 分別是 AC、AB邊上的中線，
∴點E、F 分別為 AC、AB的中點．
∵ AE = 4，BF = 6，
∴ AB = 2BF = 2 6 =12， AC = 2AE = 2 4 = 8．
∵VABC 的周長為 30，
∴BC = 30 - AB = 30 -12 -8 =10 ．
B 能力提升
1．（23-24 七年級下·江蘇泰州·期末）已知三角形的兩邊分別為 4 和 9，則此三角形的第三邊可能是（ ）
A．9 B．5 C．4 D．14
【答案】A
【分析】本題考查了三角形的三邊關系．根據三角形的第三邊大于兩邊之差，而小于兩邊之和求得第三邊
的取值范圍，再進一步選擇．
【詳解】解：根據三角形的三邊關系，得
第三邊大于 5，而小于 13．
觀察四個選項，選項 A 符合題意，
故選：A．
2．（23-24 七年級下·遼寧錦州·期末）在物理學中，過入射點垂直于鏡面的直線叫做法線．光線在鏡面上反
射時，反射光線與法線的夾角和入射光線與法線的夾角相等．如圖，兩束光線 l1, l2 分別從不同方向射向鏡面
m ，入射點為A 和B,n1,n2 為法線， l1, l2 的反射光線相交于點 P ．若 1 = 25° , 2 = 45° ，則 APB的度數是
（ ）
A．60° B．65° C．70° D．75°
【答案】C
【分析】本題考查了余角，三角形內角和定理．熟練掌握余角，三角形內角和定理是解題的關鍵．
如圖，由題意知， 3 = 90° - 1， 4 = 90° - 2，根據 ACB =180° - 3 - 4，求解作答即可．
【詳解】解：如圖，
由題意知， 3 = 90° - 1 = 65°， 4 = 90° - 2 = 45°，
∴ APB =180° - 3 - 4 = 70°，
故選：C．
3．（23-24 七年級下·浙江臺州·期末）如圖，一副直角三角板的一條直角邊分別與直線GH 重合，
BAC = 30°， EDF = 45°，將三角板DEF 沿GH 方向運動，連接BD，若 ABD = 20°，則 BDF 的度數
為 ．
【答案】95° /95 度
【分析】本題考查的是三角形內角和定理的應用，熟練掌握三角形內角和定理是解題關鍵，先求 ABC ，
進而求出 BDE ，再根據 EDF = EFD = 45°即可求出結論．
【詳解】解：Q BAC = 30°, ACB = 90°，
\ ABC = 180° - 90° - 30° = 60°，
Q ABD = 20°，
\ DBE = 60°- 20°= 40°
Q DEF = 90°, EDF = EFD = 45°
\ BED = 90°, BDE =180°- 90°- 40°= 50°
\ BDF = 50°+ 45°= 95°，
故答案為：95°．
4．（23-24 七年級下·河南駐馬店·期末）如圖是一張三角形紙片 ABC ， ABC = 96°，若 沿BC 的垂直平分
線 l1 折疊，折痕與 AC 交 于點 D， 再沿過點 B 的直線 l2 折疊，點A 恰好落到點D 處，則 C 的度數
為 ．
【答案】 28° / 28度
【分析】本題考查了三角形內角和定理，折疊的性質，三角形的外角的性質；根據折疊的性質可得
BDA = A, C = DBC ，根據三角形的外角的性質可得 A = ADB = 2 C ，進而根據三角形內角和定理
得出 A + C =180° - 96° = 84°，即可求解．
【詳解】解：如圖所示，連接BD，
∵折疊，
∴ BDA = A, C = DBC
∴ A = ADB = C + DBC = 2 C
又∵ ABC = 96°
∴ A + C =180° - 96° = 84°
1
∴ C = 84° = 28° ,
3
故答案為： 28°．
5．（23-24 七年級下·遼寧葫蘆島·期末）如圖，點 D在直線CN 上， AD ^ BD， BC 平分 ABD 交 AD 于 E ，
2 + 2 1 = 90° ．
(1)求證： AB P CD；
(2)若DM 平分 ADB ， BCD： 2 = 7 : 4，求 MDN 的度數．
【答案】(1)見解析
(2) MDN = 105°
【分析】本題主要考查了垂直的定義、平行線的判定、角平分線的定義、一元一次方程的應用等知識，熟
練掌握相關知識并靈活運用是解題關鍵．
（1）首先根據題意可得 ABD = 2 1， ADB = 90°，進而可知 2 + ABD = 90° ，可證明
CDB + ABD = 180° ，即可證明結論；
（2）根據平分線的定義可得 BDM = 45°，設 BCD = 7x, 2 = 4x，則 1= 45°- 2x ，再求出 BDN ，可得
關于 x 的一元一次方程，解得 x 的值，進而求解即可．
【詳解】（1）證明：QBC 平分 ABD ，
\ ABD = 2 1，
Q 2 + 2 1= 90°
\ 2 + ABD = 90°
Q AD ^ BD
\ ADB = 90°
\ 2 + ADB + ABD =180°，即 CDB + ABD = 180° ，
\ AB∥CD；
（2）解：QDM 平分 ADB ， ADB = 90°，
\ EDM = BDM = 45°
Q BCD : 2 = 7 : 4，
設 BCD = 7x, 2 = 4x，
Q 2 + 2 1= 90°，
1 90°- 4x\ = = 45°- 2x ，
2
\ BDN = BCD + 1= 4x + 45°- 2x = 45°+ 2x，
\4x +90°+ 45°+ 2x =180°，
解得： x = 7.5°
\ MDN = 45°+ 2x + 45°=105°．
6．（23-24 七年級下·河南周口·期末）如圖， AD 為VABC 的中線， BE 為△ABD 的中線，過點E 作
EF ^ BC ，垂足為F ．
(1) ABE = 18° ， BED = 61°，求 BAD 的度數；
(2)若VABC 的面積為 48cm2，且CD = 6cm，求 EF 的長．
【答案】(1) 43°
(2) 4cm
【分析】本題考查了三角形外角的定義及性質、與中線有關的三角形的面積計算，熟練掌握以上知識點并
靈活運用是解此題的關鍵．
（1）根據三角形外角的定義及性質計算即可得出答案；
1
（2）連接 EC ，則 SVCDE = CD × EF
2
，求出 S
2 VABC
= 4SVCDE ，結合CD = 6cm， SVABC = 48cm ，計算即可得出
答案．
【詳解】（1）解：Q BED是VABE 的一個外角，則 BED = ABE + BAD，
又 ABE =18°， BED = 61°，
\ BAD = BED - ABE = 61° -18° = 43°；
1
（2）解：如圖：連接 EC ，則 SVCDE = CD × EF ，2
又Q AD 為VABC 的中線，
\S△ABC = 2S△ACD ，
同理 S△ACD = 2S△CDE ，
\SVABC = 4SVCDE ，
QCD = 6cm 2， SVABC = 48cm ，
4 1\ 6 × EF = 48，
2
解得EF = 4，
故 EF 的長為 4cm ．
C 綜合素養
1．（23-24 七年級下·安徽宿州·期末）健康騎行越來越受到大眾的喜歡，某自行車的示意圖如圖所示，其中
AB∥CD, AE∥BD,CE 平分 ACD．若 CDB = 60°, ACD = 70°，則 AEC 的度數為（ ）
A．140° B．120° C．100° D．95°
【答案】D
【分析】本題考查的是平行線的性質，三角形的內角和定理的應用，解題的關鍵是熟練掌握平行線的性質
并靈活運用．平行線的性質是由平行關系來尋找角的數量關系．應用性質定理時，一定要弄清題設和結論，
切莫混淆．
根據 AB∥CD 和 CDB 、 ACD的度數分別求出 ABD 和 CAB 的度數，然后根據 AE∥BD 求出
BAE ，進而求出 EAC ，再求解 ACE 結合三角形的內角和定理可得答案．
【詳解】解：Q AB∥CD，
\ ACD + CAB =180°, CDB + ABD =180°，
Q CDB = 60°， ACD = 70°，
\ ABD =120°, CAB =110°，
Q AE∥BD ，
\ BAE + ABD =180°，
\ BAE = 60°，
\ EAC = CAB - BAE =110° - 60° = 50°，
Q ACD = 70°,CE 平分 ACD，
\ ACE = 35°，
\ AEC =180° - 50° - 35° = 95°，
故選：D．
2．（23-24 七年級下·廣東廣州·期末）如圖，一塊直尺與缺了一角的等腰直角三角形如圖擺放，若 1 =115°，
則以下結論：① 2 = 60°；② 2 = 4；③ 2與 3互余；④ 2與 4互補，其中正確的個數是（ ）
A． 4 B．3 C． 2 D．1
【答案】D
【分析】本題考查了平行線的性質，對頂角的性質，三角形內角和定理，余角和補角的定義，由平行線的
性質可得 4 =180° -115° = 65°，由對頂角的性質可得 6 = 4 = 65°， 2 = 7， 5 = 1 =115°，再根據
三角形內角和定理得 7 = 70°， 3 = 20°，得到 2 = 7 = 70°，據此逐項逐項判斷即可求解，正確識圖是
解題的關鍵．
【詳解】解：∵直尺的對邊平行，
∴ a∥b，
∴ 1+ 4 =180°，
∴ 4 =180° -115° = 65°，
∵對頂角相等，
∴ 6 = 4 = 65°， 2 = 7， 5 = 1 =115°，
∵三角形為等腰直角三角形，
∴ 7 =180° - 45° - 65° = 70°， 3 =180° -115° - 45° = 20°，
∴ 2 = 7 = 70°，故①②錯誤；
∵ 2 + 3 = 70° + 20° = 90°，
∴，故③正確；
∵ 2 + 4 = 70° + 65° =135°，故④錯誤；
綜上，正確的只有1個，
故選：D ．
3．（23-24 七年級下·河南駐馬店·期末）如圖， 已知VABC 的面積是 24，D、E 分別是BC 、 AB 邊上的中
點， 連接 AD 、DE ， 若F 是線段 AD 上的三等分點， 則△DFE 的面積是 ．
【答案】4 或 2
【分析】本題考查了三角形中線的性質，三角形等高時面積比等于底邊的比，根據三角形中線的性質得出
2
面積關系是解題的關鍵．根據三角形中線的性質得出 SVADE = 6，根據題意，當DF = AD 時，3
S 2 1 1VDFE = S3 VADE
，當DF = AD 時， S
3 VDFE
= S
3 VADE
，即可求得答案．
【詳解】解：QVABC 的面積是 24，D、E 分別是BC 、 AB 邊上的中點
S 1 S 1\ VABD = = 24 =12，2 VABC 2
S 1 1\ VADE = SVABD = 12 = 6，2 2
QF 是線段 AD 上的三等分點，如圖，
DF 2 AD S 2 S 2當 = 時， VDFE =3 3 VADE
= 6 = 4
3
DF 1當 = AD
1 1
時， SVDFE = S3 3 VADE
= 6 = 2
3
故答案為：4 或 2．
4．（23-24 七年級下·陜西榆林·期末）如圖，在 VABC 中， A = 90°， BE、CD分別平分 ABC 和 ACB ，
且相交于點F ， EG∥BC ，CG ^ EG 于點G ，則下列結論：① CEG = 2 DCA；②CA平分 BCG；③
ADC = GCD；④ BFC =135° ，其中所有正確的結論是 ．(填序號)
【答案】①③④
【分析】本題考查了平行線的性質，角平分線的定義，余角性質，三角形內角和定理，根據平行線的性質
與角平分線的定義即可判斷①；證明 ADC + ACD = 90°， GCD + BCD = 90°，根據余角性質即可判斷③；
1
根據角平分線的定義和三角形內角和定理可得 FBC + FCB = ABC + ACB = 45°，即可判斷④；根據
2
現有條件無法推出②；熟知平行線的性質，角平分線的定義是解題的關鍵．
【詳解】解:∵CD 平分 ACB ，
∴ ACB = 2 DCA， ACD = BCD，
∵EG∥BC ，
∴ CEG = ACB = 2 DCA，故①正確；
∵ A = 90°，
∴ ADC + ACD = 90°，
∵CG ^ EG ，
∴ G = 90°，
∵EG∥BC ，
∴ G + BCG =180° ，
∴ BCG =180° - 90° = 90°，
∴ GCD + BCD = 90°，
∵ ACD = BCD，
∴ ADC = GCD，故③正確；
∵ A = 90°，
∴ ABC + ACB = 90°，
∵BE、CD分別平分 ABC 和 ACB ，
∴ FBC
1
= ABC 1， FCB = ACB，
2 2
FBC FCB 1 ABC 1∴ + = + ACB
1
= ABC + ACB = 45°，
2 2 2
∴ BFC =180° - FBC + FCB =180° - 45° =135°，故④正確；
根據現有條件，無法推出CA平分 BCG，故②錯誤；
∴正確的結論是①③④，
故答案為：①③④．
5．（23-24 七年級下·河南南陽·期末）已知在VABC 中
(1) A + C = 2 B，求 B的度數；
(2) a、b 、c是VABC 2的三條邊長，其中 a、b 滿足 (a + b - 5) + 2a - 5b - 3 = 0 ，若這個三角形的周長為整數，
求這個三角形的周長．
【答案】(1) B=60°
(2)9
【分析】題目主要考查三角形內角和定理及絕對值和平方的非負性，三角形三邊關系等，理解題意，綜合
應用這些知識點是解題關鍵．
（1）根據三角形內角和定理得出 A + B + C =180°，再由題意代入求解即可；
ìa = 4
（2）根據絕對值和平方的非負性確定 íb 1 ，再由三角形的三邊關系得出
3 < c < 5，即可求解．
=
【詳解】（1）解：∵ A、 B、 C 是VABC 的三個內角
∴ A + B + C =180°
又∵ A + C = 2 B
∴ B + 2 B = 180°
∴ B=60°．
（2）∵ (a + b - 5)2 + 2a - 5b - 3 = 0
ìa + b - 5 = 0
∴ í
2a - 5b - 3 = 0
ìa = 4
∴ í
b =1
又∵ a - b < c < a + b
即3 < c < 5，
∴8 < a + b + c <10
又∵三角形的周長為整數
∴三角形的周長為 9．
6．（23-24 七年級下·安徽亳州·期末）已知 AB∥CD ，點 P 為平面內一點，且點 P 不在直線 AB ，CD 上．
(1)如圖 1，若點 P 在直線 AB ，CD 之間， ABP =130°， CDP =160°，求 BPD 的度數；
(2)如圖 2，若點 P 在直線 AB 的上方， AEP = 50°， CFP =106°，求 EPF 的度數；
(3)如圖 3，在（2）的條件下，若 AEP的平分線與 CFP 的平分線交于點 G，求 EGF 的度數．
【答案】(1) 70°
(2)56°
(3) 28°
【分析】本題考查了平行線的性質，角平分線的定義，三角形內角和定理，構造輔助線是解題的關鍵．
（1）過點P作PM ∥ AB∥CD ，得到 ABP + MPB =180°， CDP + MPD =180°，進而得到 MPB ， MPD ，
再根據 BPD = MPB + MPD即可解題；
（2）過點 P 作PN ∥ AB∥CD ，利用兩直線平行，內錯角相等得到 FPN ， EPN ，再根據
EPF = FPN - EPN 即可解題；
（3）連接 EF ，利用平行線性質得到 AEF + CFE = 180°，可得到 AEF + PFE 的度數，再根據角平分
線的性質，從而得到 GEA、 GFP的度數，即可求得 EGF 的度數．
【詳解】（1）解：如圖，過點 P 作PM ∥ AB∥CD ，
\ ABP + MPB =180°， CDP + MPD =180°（兩直線平行，同旁內角互補），
Q ABP =130°， CDP =160°，
\ MPB =180° - ABP = 50°， MPD =180° - CDP = 20°，
\ BPD = MPB + MPD = 70°；
（2）解：如圖，過點 P 作PN ∥ AB∥CD ，
Q AEP = 50°， CFP =106°，
\ EPN = AEP = 50°， CFP = FPN =106°（兩直線平行，內錯角相等），
\ EPF = FPN - EPN = 56°；
（3）解：如圖，連接 EF ，
∴ AEF + CFE =180°（兩直線平行，同旁內角互補），
\ AEF + PFE =180° - CFP = 74°，
QGE 平分 AEP，GF 平分 CFP ，
1 1
\ GEA = AEP = 25°， GFP = CFP = 53°，
2 2
\ EGF =180° - GEA - GFP - AEF - PFE = 28° ．

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