資源簡介

第 03 講 等腰三角形的性質定理（2 個知識點+8 大題型+18 道
強化訓練）
課程標準 學習目標
1.等腰三角形的性質定理； 1.理解并掌握等腰三角形的性質定理，并學會運用；
2.等邊三角形的性質定理； 2.理解并掌握等邊三角形的性質定理，并學會運用；
知識點 01：等腰三角形的性質
1、等腰三角形
（1）定義：有兩條邊相等的三角形叫做等腰三角形，相等的兩邊叫做腰，另一邊叫做底邊，兩腰的夾角叫
做頂角，腰和底邊的夾角叫做底角。
（2）性質
①兩腰相等
②兩底角相等（簡稱等邊對等角）
③等腰三角形頂角平分線、底邊上的中線、底邊上的高線互相重合（簡稱為“三線合一”）
④等腰三角形是軸對稱圖形，其頂角平分線、底邊上的中線、底邊上的高線所在的直線式對稱軸。
【即學即練 1】下列說法正確的是（　　）
A．等腰三角形的對稱軸是底邊的中線
B．有理數與數軸上的點是一一對應的
C．等腰三角形任意兩個角相等
D．三角形的三條高所在的直線一定交于一點
【答案】D
【分析】利用等腰三角形的性質，數軸和三角形的高的定義逐一判斷即可解題．
【詳解】解：A.等腰三角形的對稱軸是底邊的中線所在的直線，故不正確；
B.實數與數軸上的點是一一對應的，故不正確；
C.等腰三角形的兩個底角相等，故不正確；
D. 三角形的三條高所在的直線一定交于一點，故正確；
故選 D．
【點睛】本題考查等腰三角形的性質和數軸、以及三角形的高的定義，掌握相關性質和定義是解題的關鍵．
【即學即練 2】等腰三角形兩邊長為 4 和 8，它的周長是（ ）
A．16 B．18 C．20 D．16 或 18
【答案】C
【分析】當等腰三角形的腰為 4 時，三邊不能組成三角形；當腰長為 8 時，它的周長為 8+8+4=20.
【詳解】解：當等腰三角形的腰為 4 時，
∵4+4=8，
∴該三邊不能組成三角形，
當等腰三角形的腰為時，
它的周長為：8+8+4=20.
故選 C.
【點睛】本題考點：等腰三角形.需要注意的是驗證分情況討論得出的邊長是否能組成三角形.
知識點 02：等邊三角形的性質
等邊三角形
（1）定義：有三條邊相等的三角形叫做等邊三角形。
（2）性質：三條邊都相等，三個角都相等，每一個角都等于 60°
總結：
圖形 等腰三角形 等邊三角形
質 性 兩條邊都相等 三條邊都相等
兩個角都相等 三個角都相等，且都是 60
底邊上的中線、高和頂角的平分線互相 每一邊上的中線、高和這一邊所對的角的
重合 平分線互相重合
對稱軸（1 條） 對稱軸（3 條）
【即學即練 3】如圖，VABC 是等邊三角形， AE∥BF ，若 CAE = 45°，則 CBF 的度數為（　　）
A．10° B．15° C． 20° D． 25°
【答案】B
【分析】過 C 作CD∥ AE ，根據平行線的性質得到 CAE = ACD = 45°， CBF = BCD，根據等邊三角形
的性質可得 ACB = ACD + BCD = 60°，再計算即可．
【詳解】解：如圖，過 C 作CD∥ AE ，
∵ AE∥BF ，
∴ AE∥BF∥CD ，
∴ CAE = ACD = 45°，
∵VABC 是等邊三角形，
∴ ACB = ACD + BCD = 60°，
∴ CBF = BCD = 60° - 45° = 15°，
故選 B．
【點睛】本題考查了平行線的性質，等邊三角形的性質，添加平行線，利用平行線的性質得到角的關系是
解題的關鍵．
【即學即練 4】如圖，已知VABC 是等邊三角形，中線 BE ，CD 交于點F ，則 BFD的度數為（ ）
A．30° B．60° C．120° D．150°
【答案】B
【分析】首先利用等邊三角形的性質可以求出 EBC 、 DCB，然后利用三角形外角的性質即可求解．
【詳解】解：QVABC 是等邊三角形，
\ ABC = ACB = 60°，
Q中線 BE ，CD 交于點F ，
1
∴ EBC = DCB = 60° = 30°，
2
∴ BFD = EBC + DCB = 60°，故 B 正確．
故選：B．
【點睛】此題主要考查了等邊三角形的性質，同時也利用了三角形外角的性質，解題的關鍵是熟練掌握等
邊三角形的性質．
題型 01 根據等腰三角形的性質求角度
1．如圖， AC ^ BC ，DE 是 AB 的垂直平分線， CAE = 20°，則 B = （　　）
A．30° B．35° C． 40° D． 45°
【答案】B
【分析】本題考查了線段垂直平分線、三角形內角和定理、等腰三角形的性質的應用，掌握線段垂直平分
線、三角形內角和定理、等腰三角形的性質的應用是解本題的關鍵．
根據線段垂直平分線求出 AE = BE ，推出 B = EAB ，根據三角形內角和定理得出
CAE + EAB + B = 90°，即可求出答案．
【詳解】解：QDE 是 AB 的垂直平分線，
\ AE = BE ，
\ B = EAB，
Q AC ^ BC ，
\ C = 90°，
\ CAE + EAB + B = 90°，
Q CAE = 20°，
\ B = 35°，
故選：B．
2．已知一個等腰三角形的頂角等于100°，則它的底角等于（ ）
A．30° B． 40° C．50° D．80°
【答案】B
【分析】本題考查了等腰三角形的性質，三角形內角和定理，掌握等腰三角形的兩個底角相等是解題的關
鍵．根據等腰三角形兩底角相等及三角形內角和為180°，即可得出答案．．
【詳解】設一個底角度數為 x，則另一個底角也為 x，
\ x + x +100° = 180°，
解得 x = 40°．
故選 B．
3．如圖，在VABC 中，DE 垂直平分BC, BD平分 ABC ，若 ADB = 48°，則 A = ．
【答案】108°/108 度
【分析】本題考查了角平分線的定義，線段垂直平分線的性質，等腰三角形的判定和性質，三角形外角的
性質以及三角形內角和定理．根據線段垂直平分線的性質，可得BD = CD，從而得到 CBD = C ，再由三
1
角形外角的性質可得 C = CBD = ADB = 24°，然后根據角平分線的定義，可得 ABC = 2 CBD = 48°，
2
再根據三角形內角和定理，即可求解．
【詳解】解：∵DE 垂直平分BC ，
∴BD = CD，
∴ CBD = C ，
∵ ADB = 48°， ADB = CBD + C ，
C CBD 1∴ = = ADB = 24°，
2
∵BD平分 ABC ，
∴ ABC = 2 CBD = 48°，
∴ A =180° - ABC - C =108°
故答案為：108°
4．如圖，VABC≌VA BC ， ABC = 66°， C = 40°，此時點 A 恰好在線段 A C 上，則 ABA 的度數為 ．
【答案】32°
【分析】本題考查全等三角形的性質，三角形的內角和定理，等腰三角形的性質，先利用三角形的內角和
得到 BAC =180° - 66° - 40° = 74°，然后利用全等三角形的性質得到 A = BAC = 74°，然后利用等邊對等
角得到 A = BAA = 74°，進而求出結果即可．
【詳解】解：∵ ABC = 66°， C = 40°，
∴ BAC =180° - 66° - 40° = 74°，
∵VABC≌VA BC ，
∴ A = BAC = 74°，AB = A B ，
∴ A = BAA = 74°，
∴ ABA =180° - 74° 2 = 32°．
故答案為：32°．
5．如圖，四邊形 ABCD中，對角線 AC 、 BD交于點 O， AB = AC ，點 E 是 BD上一點，且 ABD = ACD ，
EAD = BAC ．
(1)求證： AE = AD；
(2)若 ACB = 45°，求 BDC 的度數．
【答案】(1)見解析
(2) BDC=90°
【分析】本題考查了全等三角形的判定與性質、三角形內角和，等腰三角形的性質，熟悉全等三角形的判
定定理與性質，并能靈活選擇很重要．
（1）先證明 BAE = CAD ，再證明VABE≌VACD ASA ，得出結論即可；
（2）根據等腰三角形的性質得出 ABC = ACB = 45°，根據三角形內角和定理得出
BAC =180° - ABC - ACB =180° - 45° - 45° = 90°，再根據三角形內角和和對頂角性質得出
BDC = BAC = 90°．
【詳解】（1）證明：∵ BAC = EAD ，
∴ BAC - EAC = EAD - EAC ，
即： BAE = CAD ，
在VABE 和VACD中
ì ABD = ACD

íAB = AC ，

BAE = CAD
∴VABE≌VACD ASA ，
∴ AE = AD；
（2）解：∵ ACB = 45°， AB = AC ，
∴ ABC = ACB = 45°，
∴ BAC =180° - ABC - ACB =180° - 45° - 45° = 90°，
∵ ABD = ACD ， AOB = COD，
∴ BDC = BAC = 90°．
題型 02 根據等腰三角形的性質求長度
1．如圖，VABC 中，BD平分 ABC 交 AC 于點 D，過點 D 作DE∥BC 交 AB 于點 E，若 AB =12，
DE = 7 ，則 AE 的長為（ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
【答案】A
【分析】本題考查了等腰三角形的判定、角平分線的性質、平行線的性質，根據角平分線的性質及平行線
的性質得 EDB = ABD ，則可得ED = BE ，再根據 AE = AB - BE = AB - DE 即可求解，熟練掌握相關的判
定及性質是解題的關鍵．
【詳解】解：Q BD平分 ABC ，
\ ABD = CBD ，
QDE ∥BC ，
\ EDB = CBD，
\ EDB = ABD ，
\ED = BE ，
QAB =12，DE = 7 ，
\ AE = AB - BE = AB - DE =12 - 7 = 5，
故選 A．
2．如圖，在VABC 中，已知 ABC 和 ACB 的平分線相交于點F ．過點F 作DF∥BC ，交 AB 于點D，
交 AC 于點E ．若BD = 4，DE = 9，則線段CE的長為（　　）
A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】C
【分析】本題主要考查了平行線的性質，角平分線的定義以及等腰三角形的判定，根據DF∥BC ，可知
DFB = FBC ；根據角平分線的定義，可知 DBF = FBC ，通過角度的等量代換，得到 DFB = DBF ，
等角對等邊，則BD = DF ；同理可得CE = EF ，問題隨之得解．
【詳解】∵DF∥BC ，
∴ DFB = FBC ，
∵ BF 平分 ABC ，
∴ DBF = FBC ，
∴ DFB = DBF ，則BD = DF ；
同理可得：CE = EF ，
∵BD = DF = 4，DE = 9，
∴CE = EF = DE - DF = 9 - 4 = 5，
故選：C．
3．如圖，在VABC 中， AB =12， AC = 9，沿過點 A 的直線折疊這個三角形，使點 C 落在 AB 邊上的點 E
1
處，折痕為 AD ，若 ADE = C ，則BD的長是 ．
2
【答案】3
【分析】本題考查了折疊的性質，等邊對等角．由折疊的性質可得： BAD = CAD ， AE = AC = 9，
C = AED，進而證得 BDE = BED，得到BD = BE = 3．
【詳解】解：由折疊的性質可得： BAD = CAD ， AE = AC = 9， C = AED， ADE = ADC ，
QAB =12，
\BE = AB - AE = 3，
Q ADE 1= C ，即 C = 2 ADE2 ，
\ EDC = AED ，
\ BDE = BED ，
\BD = BE = 3，
故答案為：3．
4．如圖，已知DF、EF 分別是 ADE、 AED的平分線，BC 過點 F 且BC∥DE，VABC 的周長是9cm，
DE = 7cm ，則VADE 的周長是 cm．
【答案】16
【分析】本題主要考查了等角對等邊，平行線的性質，角平分線的定義，根據平行線的性質和角平分線的
定義證明 BDF = BFD得到BD = BF ，同理得到CF = CE ，再由三角形周長計算公式得到
AD + AE = 9cm ，由此即可得到答案．
【詳解】解：∵DF 平分 ADE ，
∴ ADF = EDF ，
∵BC∥DE，
∴ BFD = EDF ，
∴ BDF = BFD，
∴BD = BF ，
同理可得CF = CE ，
∵VABC 的周長是9cm，
∴ AB + BC + AC = 9cm ，
∴ AB + BF + CF + AC = 9cm，
∴ AB + BD + AC + CE = 9cm，即 AD + AE = 9cm ，
又∵DE = 7cm ，
∴VADE 的周長是 AD + AE + DE = 16cm，
故答案為：16．
5．如圖，在VABC 中，BA = BC ，BD ^ AC ．
(1)求證△ABD≌△CBD
(2)若DE∥BC 交BA于 E， AC = 4， BC = 5 ，求△AED 的周長．
【答案】(1)見解析
(2)7
【分析】（1）根據等邊對等角得到 A = C ，然后得到 ADB = CDB = 90°，BD = BD，即可證明出
VABD≌VCBD AAS ；
1
（2）首先得到 AB = BC = 5，然后根據全等三角形的性質得到 AD = CD = AC = 2， ABD = CBD ，然后
2
結合平行線的性質得到 ABD = EDB ，進而得到BE = DE ，即可求解．
【詳解】（1）∵BA = BC
∴ A = C
∵BD ^ AC
∴ ADB = CDB = 90°
又∵BD = BD
∴VABD≌VCBD AAS ；
（2）∵ BC = 5
∴ AB = BC = 5
∵△ABD≌△CBD
∴ AD = CD
1
= AC = 2， ABD = CBD
2
∵DE∥BC
∴ EDB = CBD
∴ ABD = EDB
∴BE = DE
∴ AE + DE + AD = AE + BE + AD = AB + AD = 5 + 2 = 7，
∴△AED 的周長為 7．
【點睛】此題考查了全等三角形的性質和判定，平行線的性質，等邊對等角性質，等角對等邊性質，解題
的關鍵是熟練掌握以上知識點．全等三角形的性質：對應邊相等，對應角相等．全等三角形的判定：SSS，
SAS，AAS，ASA ，HL．
題型 03 根據等腰三角形的性質證明
1．如圖，在VABC 中， BAC = 75°， ACB = 35°， ABC 的平分線BD交邊 AC 于點D，E 為BC 的中點，
連接DE ．
(1)求證：△BCD為等腰三角形．
(2)求 EDC 的度數．
【答案】(1)證明見解析；
(2) EDC = 55°．
【分析】本題考查了等腰三角形的判定和性質，三角形內角和定理，
（1）先利用三角形的內角和求出 ABC = 70°，再利用角平分線的定義求出 DBC = 35°，得到
DBC = ACB = 35°，最后根據等角對等邊即可解答；
（ 2）由（1）可得 BDC =110°，根據等腰三角形三線合一即可求得 EDC 的度數；
【詳解】（1）證明：∵ BAC = 75°， ACB = 35°，
∴ ABC = 180° - BAC - ACB = 70°，
∵BD平分 ABC ，
∴ DBC
1
= ABC = 35° ,
2
∴ DBC = ACB = 35°，
∴DB = DC ，
∴△BCD為等腰三角形；
（2）解：∵ DBC = ACB = 35°，
∴ BDC =180° - 35° - 35° =110°，
∵DB = DC ，E 為BC 的中點，
1
∴ EDC = BDC = 55°．
2
2．如圖，在VABC 中， ABC 的平分線交 AC 于點D，過點D作DE∥BC 交 AB 于點E ．
(1)求證：BE = DE ；
(2)若 A = 76°， C = 36°，求 BDE 的度數．
【答案】(1)見解析
(2) BDE = 34°
【分析】本題主要考查的是等腰三角形的判定與性質，涉及到平行線的性質，三角形內角和定理，熟練掌
握平行線的性質，三角形內角和定理是解題的關鍵．
（1）根據BD平分 ABC ，可得 CBD = EBD ，再由DE∥BC ，可得 CBD = EDB ，從而得到
EBD = EDB ，即可求證；
（2）根據三角形內角和定理可得 ABC = 68°，再由BD平分 ABC ，DE∥BC ，即可求解．
【詳解】（1）證明：Q BD平分 ABC ，
\ 1 CBD = EBD = ABC ，
2
Q DE∥BC ，
\ CBD = EDB，
\ EBD = EDB ，
\ BE = DE ；
（2）解：在VABC 中， A = 76°， C = 36°
\ ABC = 180° - A - C = 180° - 76° - 36° = 68°，
Q BD平分 ABC ，
\ CBD = EBD 1= ABC = 34°，
2
Q DE∥BC ，
\ BDE = CBD = 34°．
3．如圖，在VABC 中，AB = AC ，AD 為VABC 的角平分線，以點 A 圓心，AD 長為半徑畫弧，與 AB，AC
分別交于點 E，F，連接DE，DF ．
(1)求證：△ADE≌△ADF ；
(2)若 BAC = 88°，求 BDE 的度數．
【答案】(1)見解析
(2) 22°
【分析】本題考查了等腰三角形的判定與性質，全等三角形的判定與性質，三角形內角和定理等知識．熟
練掌握等腰三角形的判定與性質，全等三角形的判定與性質，三角形內角和定理是解題的關鍵．
（1）由 AB = AC ， AD 為VABC 的角平分線，可得 BAD = CAD ，由題意知， AE = AF = AD，證明
VADE≌VADF SAS 即可；
（2）由 AB = AC ， BAC = 88°， AD 為VABC 的角平分線，可得 BAD = 44°， AD ^ BC ，即
180° - BAD
ADB = 90°，由 AE = AD，可得 ADE = AED = = 68°，根據 BDE = ADB - ADE ，計算
2
求解即可．
【詳解】（1）證明：∵ AB = AC ， AD 為VABC 的角平分線，
∴ BAD = CAD ，
由題意知， AE = AF = AD，
∵ AE = AF ，∠EAD = ∠FAD， AD = AD，
∴VADE≌VADF SAS ；
（2）解：∵ AB = AC ， BAC = 88°， AD 為VABC 的角平分線，
∴ BAD = 44°， AD ^ BC ，即 ADB = 90°，
∵ AE = AD，
180° - BAD
∴ ADE = AED = = 68°，
2
∴ BDE = ADB - ADE = 22° ，
∴ BDE 的度數為 22°．
4．如圖，在VABC 中，點E 是BC 邊上的一點，連接 AE ，BD垂直平分 AE ，垂足為F ，交 AC 于點D，
連接DE ．
(1)若VABC 的周長為 18，VDEC 的周長為 6，求 AB 的長；
(2)若 ABC = 29°， C = 47°，求 CAE 度數．
【答案】(1)6
(2) 28.5°
【分析】本題考查垂直平分線的性質，等腰三角形的性質及三角形外角的性質，掌握相關性質正確計算是
本題的解題關鍵．
（1）根據線段垂直平分線的性質得到 AB = BE，DA = DE ，然后利用三角形的周長求 AB 得長度；
（2）利用三角形內角和求 BAC 的度數，然后利用等腰三角形三線合一的性質求 BAE的度數，從而使問
題得解．
【詳解】（1）解：（1）∵BD垂直平分 AE ，垂足為 F，交 AC 于點 D
∴ AB = BE，DA = DE
∴VDEC 的周長= DE + DC + EC = DA + DC + EC = AC + EC = 6
VABC 的周長= AB + BC + AC = AB + BE + EC + AC = AB + AB + AC + EC =18
∴ 2AB =18 - 6 =12
∴ AB = 6；
（2）∵ ABC = 29°， C = 47°，
∴ BAC =104° ，
又∵BD垂直平分 AE ，
∴ AB = BE，
BAE 180° - ABC∴ = = 75.5°
2
∴ CAE = BAC - BAE = 28.5°．
5．如圖，在VABC 中，VABC 的周長為18，BC = 7，BD平分 ABC ，CD平分 ACB ，過點D作直線平
行于BC ，交 AB ， AC 于點E ，F ．
(1)求證：△DFC 是等腰三角形；
(2)求△AEF 的周長．
【答案】(1)見解析
(2)11
【分析】本題考查了角平分線的性質，平行線的性質，等腰三角形的判定與性質，
（1）根據角平分線的性質得 ACD = DCB，根據EF∥BC 得 FDC = DCB ，可得 ACD = FDC ，則
FD = FC ，即可得△DFC 是等腰三角形；
（2）根據角平分線的性質得 EBD = DBC ，根據EF∥BC 得 EDB = DBC ，可得 ABD = EDB ，即
可得EB = BD ，根據VABC 的周長為18，BC = 7，可得 AB + AC =11，即可得 AE + BE + AF + CF =11，根
據DF = CF 可得 AE + DE + AF + DF =11，即可得 AE + AF + EF =11；
掌握角平分線的性質，平行線的性質，等腰三角形的判定與性質是解題的關鍵．
【詳解】（1）證明：∵CD平分 ACB ，
\ ACD = DCB，
∵EF∥BC ，
\ FDC = DCB ，
\ ACD = FDC ，
\FD = FC ，
∴△DFC 是等腰三角形；
（2）解：Q BD平分 ABC ，
\ EBD = DBC ，
∵EF∥BC ，
\ EDB = DBC ，
\ ABD = EDB ，
\EB = BD，
∵VABC 的周長為 18，BC = 7，
\ AB + AC =18 - 7 =11，
\ AE + BE + AF + CF =11，
∵DF = CF ，
\ AE + DE + AF + DF =11，
\ AE + AF + EF =11，
∴△AEF 的周長為11．
題型 04 等腰三角形的存在性問題
1．如圖所示的正方形網格中，網格的交點稱為格點，已知 A，B 是兩格點，如果 C 也是圖中的格點，且使
得VABC 為等腰三角形，則符合條件的點C 的個數是（　　）
A．6 B．7 C．8 D．9
【答案】C
【分析】本題主要考查等腰三角形的性質與判定，網格作圖，解題的關鍵是根據等腰三角形的性質進行分
類討論．
根據等腰三角形的性質分三種情況：AB 為底邊，C 點在 的垂直平分線上；AB 為腰且 A為頂角時，AB
為腰且 B 為頂角時，分別判定可求解．
【詳解】如圖所示：
∴符合條件的點 C 的個數為 8．
故選 C．
2．在平面直角坐標系中，點A 的坐標是 2,0 ，點 B 的坐標是 0,3 ，以 AB 為腰作等腰三角形 ABC ，且點C
在坐標軸上，則滿足條件的C 點個數為（ ）
A．3個 B． 4個 C．5個 D．6 個
【答案】D
【分析】本題主要考查了尋找直線上與已知兩點組成等腰三角形的點，分別以已知兩點為圓心畫弧求交點
是解題的關鍵．
分別以點A 、 B 為圓心，以 AB 的長為半徑畫弧，則其與 x 軸、 y 軸的交點（A 、 B 除外）即為所求．
【詳解】解：如圖，以點A 為圓心，以 AB 的長為半徑畫弧，交 x 軸于點 H 、G ，交 y 軸于點F 、 B ，
以點 B 為圓心，以BA的長為半徑畫弧，交 x 軸于點D、A ，交 y 軸于點E 、C ，
故另一個頂點有C 、D、E 、F 、G 、 H ，共6 個，
故選：D ．
3．如圖，等邊VABC 的邊長為 4cm ，點 Q 是 AC 的中點，若動點 P 以 2cm /秒的速度從點 A 出發沿 A B A
方向運動設運動時間為 t 秒，連接 PQ，當△APQ 是等腰三角形時，則 t 的值為 秒．
【答案】1 或 3/3 或 1
【分析】此題考查了等邊三角形的性質和判定．此題屬于動點問題，難度適中，注意掌握分類討論思想與
數形結合思想的應用．
由等邊VABC 的邊長為 4cm ，點Q是 AC 的中點，可求得 AQ 的長，然后 A = 60°，可得△APQ 為等邊三角
形，分析△APQ 為等邊三角形即可求得答案．
【詳解】解：∵等邊VABC 的邊長為 4cm ，點Q是 AC 的中點，
1
∴ AQ = AC = 2cm， A = 60°，
2
∴當△APQ 是等腰三角形時，可得三角形 APQ為等邊三角形，
∴ AP = AQ = PQ ，
∵ AQ = 2 ，
∴ AP = 2 ，
∵動點 P 的速度為 2cm /秒，
∴當 P 從 A B 時， t = 2 2 =1，當 P 從B A時， t = 4 + 2 2 = 3．
故答案為：1 或 3．
4．如圖所示的正方形網格中，網格線的交點稱為格點，已知 A，B 是兩格點，隨機選取另一個格點 C （不
與 A，B 重合） ， 得到的VABC 為等腰直角三角形的點 C 的個數為 ．
【答案】6
【分析】本題考查了等腰直角三角形的判定；解答本題關鍵是根據題意，畫出符合實際條件的圖形．分類
討論思想是數學解題中很重要的解題思想．
分情況討論：當 AB 是腰長時，當 AB 是底邊時，根據等腰直角三角形的定義，結合圖形找出符合條件的點 C
即可．
【詳解】解：如圖，分情況討論：
① AB 為等腰VABC 的底邊時，符合條件的 C 點有 2 個；
② AB 為等腰VABC 其中的一條腰時，符合條件的 C 點有 4 個．
共有 6 個．
故答案為：6．
5．如圖，在VABC 中， AB = AC = 4， B = C = 50°，點 D 在線段BC 上運動（D 不與 B，C 重合），連接
AD ，作 ADE = 50°，DE 交線段 AC 于 E．
(1)當DC 等于多少時，VABD≌VDCE，請說明理由；
(2)在點 D 的運動過程中，請求出當 BDA等于多少度時VADE 的形狀是等腰三角形．
【答案】(1)當DC = 4 時，△ABD≌△DCE ，理由見解析
(2)當 BDA的度數為115°或100°時，VADE 的形狀是等腰三角形，
【分析】本題考查的是三角形內角和定理，全等三角形的性質和判定，等腰三角形的性質與判定，利用分
類討論的思想去解決問題．
（1）利用三角形內角和定理得出 ADB = DEC ，當 AB = DC 時，△ABD≌△DCE ；
（2）VADE 是等腰三角形，分三種情況：①當 AD = AE 時，②當DA = DE 時，③當EA = ED時，由等腰三
角形的性質和三角形內角和定理分別求出 BDA的度數即可．
【詳解】（1）解：當DC = 4 時，△ABD≌△DCE ，理由如下：
∵ C = 50°，
∴ DEC + EDC =130°，
∵ ADE = 50°，
∴ ADB + EDC =130°，
∴ ADB = DEC，
Q AB = DC = 4，
在△ABD 和△DCE 中，
ì ADB = DEC

í B = C

AB = DC
∴VABD≌VDCE（AAS），
即當DC = 4 時，△ABD≌△DCE ；
（2）解：當 BDA的度數為115°或100°時，VADE 的形狀是等腰三角形，
∵ AB = AC ，
∴ B = C = 50° ，
①當 AD = AE 時， ADE = AED = 50°，
∵D不與B、C 重合，則 AED > C ，
∴此時不符合題意；
1
②當DA = DE 時， DAE = DEA = 180° - 50° = 65°，
2
∵ BAC =180° - B - C =180° - 50° - 50° = 80°，
∴ BAD = BAC - DAE = 80° - 65° =15°，
∴ BDA =180° - BAD - B =180° -15° - 50° =115°；
③當EA = ED時， ADE = DAE = 50°，
∴ BAD = BAC - DAE = 80° - 50° = 30° ，
∴ BDA =180° - BAD - B =180° - 30° - 50° =100°；
綜上所述，當 BDA的度數為115°或100°時，VADE 的形狀是等腰三角形，
題型 05 根據等邊三角形的性質求角度
1．如圖，已知等邊VABC 中，BD = CE ， AD 與 BE 相交于點 P ，則 APE的度數是（　　）
A．30° B． 45° C．60° D．75°
【答案】C
【分析】本題考查了等邊三角形的性質，全等三角形的判定與性質，三角形外角的性質，熟練掌握以上知
識點是解題的關鍵．根據題意可證△ABD≌△BCE SAS ，從而得到 BAD = CBE ，最后利用三角形外角
和定理得到 APE= ABC ，即可得到答案．
【詳解】解：QVABC 是等邊三角形
\ AB = BC ， ABC = C = 60°
在△ABD 與VBCE 中
ìAB = BC

í ABD = BCE

BD = CE
\VABD≌VBCE SAS
\ BAD = CBE
\ APE = BAD + ABP = ABP + PBD = ABC = 60°
故選：C．
2．如圖，已知等邊三角形 ABC ，點D為線段BC 上一點，△ADC 沿 AD 折疊得VADE ，連接 BE ，若
ADB = 70°，則 DBE 的度數是（ ）
A．10° B． 20° C．30° D． 40°
【答案】A
【分析】本題考查了折疊的性質，等腰及等邊三角形的性質、三角形內角和定理，等邊三角形的三個內角
都相等，且都等于 60°．由折疊性質可得△ADC ≌△ADE 得到 AC = AE ， CAD = EAD ，再求出 BAE ，
利用等腰三角形的性質和三角形內角和即可求出 DBE 的度數，熟記三角形相關幾何性質是解決問題的關
鍵．
【詳解】解：Q等邊VABC ，
\ C = ABC = BAC = 60°， AC = AB ，
Q ADB = 70° ， ADB = C + CAD，
\ CAD =10°，
由折疊性質可得△ADC ≌△ADE ，
\ AC = AE ， CAD = EAD =10°，
\ BAE = BAC - CAD - EAD = 40°，
Q AB = AE ，
\ AEB ABE 180° - BAE 180° - 40° = = = = 70°，
2 2
\ DBE = ABE - ABC = 70° - 60° =10°，
故答案為：A．
3．如圖，在等邊VABC 中，BD平分 ABC ，BD = BF ，則 CDF 的度數是 度．
【答案】15
【分析】本題主要考查了等邊三角形的性質，等邊對等角，三角形內角和定理，先由三線合一定理得到
BD⊥AC，∠CBD 1= ∠ABC = 30°，再由等邊對等角得到∠BDF =∠BFD
180° -∠DBF
= = 75°，則
2 2
∠CDF =∠CDB -∠BDF = 15°．
【詳解】解：∵在等邊VABC 中，BD平分 ABC ，
∴BD⊥AC，∠CBD
1
= ∠ABC = 30°，
2
∴ BDC=90° ，
∵BD = BF ，
∴∠BDF =∠BFD
180° -∠DBF
= = 75°，
2
∴∠CDF =∠CDB -∠BDF = 15°，
故答案為：15．
4．如圖，已知VABC 是等邊三角形，BC = BD ， CBD = 80° ，則 1的度數是 ．
【答案】80° /80 度
【分析】本題結合了等邊三角形性質、等腰三角形性質和三角形外角的性質，熟練運用等邊對等角是解題
關鍵．利用等邊三角形性質先得到 ABC = 60°，BD = BC 可得到△ABD 是等腰三角形，然后根據等腰三角
形性質得到 ADB，再通過三角形外角的性質計算出 1的度數即可．
【詳解】解：∵VABC 是等邊三角形，
∴ AB = BC ， ABC = 60°，
∵ CBD = 80° ，
∴ ABD = 60° + 80° = 140°，
∵BD = BC ，
∴ AB = BD ，
1
∴ BAD = BDA = 180° -140° = 20°，
2
∴ 1 = ABC + DAB = 60° + 20° = 80°．
故答案為：80°．
5．如圖，VABC 為等邊三角形，即D，E 分別是BC ， AC 上的點，且 AE = CD ．
(1)求證： AD = BE ；
(2)求 AFB的度數．
【答案】(1)見解析
(2) AFB =120°
【分析】本題主要考查了等邊三角形的性質和全等三角形的判定與性質．
（1）通過SAS證明VABE≌VCAD ，即可得出；
（2）通過證明VABE≌VCAD ，即可得出 AFE 的度數．
【詳解】（1）證明：QVABC 是等邊三角形，
\ AB = AC ， ABC = C = BAC = 60°，
在VABE 和VCAD中，
ìAB = AC

í BAC = C ，

AE = CD
\VABE≌VCAD SAS ，
\BE = AD；
（2）解：由（1）可知VABE≌VCAD ，
\ ABE = CAD，
Q BAD + CAD = 60°，
\ BAD + ABE = 60°，
\ AFB =120°．
題型 06 根據等邊三角形的性質求長度
1．如圖，在等邊VABC 中，BD平分 ABC 交 AC 于點 D，過點 D 作DE ^ BC 于點 E，且CE =1.5，則 AB
的長為（　　）
A．3 B．4.5 C．6 D．7.5
【答案】C
【分析】此題考查了等邊三角形的性質以及含30°角的直角三角形的性質．此題難度不大，注意掌握數形結
合思想的應用．
由在等邊三角形 ABC 中，DE ^ BC ，可求得 CDE = 30°，則可求得CD的長，又由BD平分 ABC 交 AC
于點D，由三線合一的知識，即可求得答案．
【詳解】解：QVABC 是等邊三角形，
\ ABC = C = 60°， AB = BC = AC ，
QDE ^ BC ，
\ CDE = 30°，
QEC =1.5，
\CD = 2EC = 3，
Q BD平分 ABC 交 AC 于點D，
\ AD = CD = 3，
\ AB = AC = AD + CD = 6．
故選：C．
2．如圖，在等邊VABC 中，點 E 是 AC 邊的中點，點 P 是VABC 的中線 AD 上的動點，且 AD = 9 ，則EP + CP
的最小值是（ ）
A．12 B．9 C．6 D．3
【答案】B
【分析】本題主要考查了等邊三角形的性質，垂直平分線的性質．連接 BE ，交 AD 于點 F，連接BP，根據
等邊三角形的性質得出 AD 是BC 的垂直平分線，證明PB = PC ，得出PC + PE = PB + PE ，說明當 B，
P ，E 三點共線時，BP + PE 最小，EP + CP的最小值，得出當點 P 在點 F 處時，EP + CP的最小值，且最
小值為 BE 的長，求出最小值即可．
【詳解】解：連接 BE ，交 AD 于點 F，連接BP，如圖所示：
∵VABC 是等邊三角形， AD 是BC 邊上的中線，
∴ AD ^ BC ，
∴ AD 是BC 的垂直平分線，
∴PB = PC ，
∴PC + PE = PB + PE ，
∵當 B， P ，E 三點共線時，BP + PE 最小，EP + CP的最小值，
∴當點 P 在點 F 處時，EP + CP的最小值，且最小值為 BE 的長，
∵ BE 是VABC 的中線，
∴BE ^ AC ，
1
∵ AC = BC ， SVABC = AC BE
1
= BC AD ，
2 2
∴BE = AD = 9，
即EP + CP的最小值為 9，
故選：B．
3．如圖，若VABC 是等邊三角形， AB = 6，BD是 AC 邊上的高，延長BC 到 E，使CE = CD，則 BE 的長
為 ．
【答案】9
【分析】本題考查了等邊三角形的性質，等腰三角形三線合一的性質，解題的關鍵是：熟練掌握等腰三角
形三線合一的性質．
根據等邊三角形，等腰三角形三線合一的性質，得到CE = CD = 3，即可求解．
【詳解】解：QVABC 是等邊三角形，BD是 AC 邊上的高，
1
\ AB = BC = AC = 6 ，CD = AC = 3，
2
\CE = CD = 3，
\BE = BC + CE = 6 + 3 = 9，
故答案為：9．
4．如圖，在Rt△CEF 中， E = 90°，點 A 是CE上一點， AB CF 交EF 于點 B，且 AB = AC ，過點 B 作
BD ^ CF 于點 D，連接CB ，若CD = 8, BD = 3，則VABE 的周長為 ．
【答案】11
【分析】本題考查了全等三角形的判定和性質，平行線的性質，等腰三角形的性質，熟練掌握相關的知識
是解題的關鍵．
根據等邊對等角得∠ABC = ACB ，根據平行線的性質得 ABC = BCF ，于是有 ACB = BCF ，結合
BD ^ CF ，根據AAS證明VBCE @VBCD ，利用全等三角形的對應邊相等求解即可．
【詳解】解：∵ AB = AC ，
∴∠ABC = ACB ，
∵ AB CF ，
∴ ABC = BCF ，
∴ ACB = BCF ，
∵ E = 90°，BD ^ CF ，
∴ E = BDC = 90°，
在VBCE 和△BCD中
ì ECB = DCB

∵ í E = BDC ，

BC = BC
∴VBCE @VBCD(AAS)，
∴BE = BD = 3,CE = CD = 8，
∴VABE 的周長為： AB + AE + BE = AC + AE + BE = CE + BE = 8 + 3 =11
故答案為：11．
5．如圖，在等邊三角形 ABC 中，點 D，E 分別在邊BC ，AC 上，且DE∥ AB ，過點 E 作EF ^ DE，交BC
的延長線于點 F．
(1)求 F 的度數；
(2)若CD = 2，求 的長．
【答案】(1)30°
(2)2
【分析】本題考查了等邊三角形的判定和性質，平行線的性質．
（1）根據平行線的性質得出 B = EDC = 60°，再根據 F = 90° - EDC 即可解答；
（2）通過證明△EDC 為等邊三角形，得出CE = DC = DE ，即可解答．
【詳解】（1）解：∵VABC 是等邊三角形，
∴ A = B = ACB = 60°．
∵DE∥ AB ，
∴ B = EDC = 60°，
∵EF ^ ED，
∴ DEF = 90°，
∴ F = 90° - EDC = 30°；
（2）解：∵ B = EDC = ACD = 60°，
∴ DEC =180° - EDC - ACD = 60°，
∴△EDC 為等邊三角形．
∴CE = DC = DE ．
∵ DC = 2，
∴DE = 2．
題型 07 根據等邊三角形的性質證明
1．如圖，在VADB中， ADB = 60°，DC 平分 ADB，交 AB 于點C ，且DC ^ AB ，過C 作CE DA交DB
于點E ，連接 AE ．
(1)求證：VADB是等邊三角形．
(2)求證： AE ^ DB．
【答案】(1)見解析；
(2)見解析
【分析】（1）直接根據等邊三角形的判定定理可得結論；
（2）由平行線的性質可得 BEC = ADB = 60，根據等邊三角形的判定與性質可得CE = BE = CB ，再由直角
三角形的性質可得 AE 是邊BD的中線，最后再由等邊三角形的性質可得答案．
此題考查的是等邊三角形的判定與性質、平行線的性質、直角三角形的性質等知識，掌握其性質定理是解
決此題的關鍵．
【詳解】（1）證明： QDC 平分 ADB，
\ ADC = BDC ，
Q ADB = 60°，
\ ADC = BCD = 30°，
QDC ^ AB，
\ DCB = DCA = 90°，
\ B = A = 90° - 30° = 60° ，
\ ADB = B = DAB = 60°，
\VADB 是等邊三角形；
（2）解：QCE∥DA，
\ BEC = ADB = 60°，
\ CEB = CBE = ECB = 60°，
\△CEB是等邊三角形，
\CE = BE = CB，
Q BDC = 30°， DCB = 90°，
BC 1\ = BD ，
2
\CE 1= BD，
2
\ E 是BD的中點，
\ AE 是邊BD的中線，
QVADB 是等邊三角形，
\ AE ^ BD ．
2．如圖，在四邊形 ABCD中， AB = AD =11．CB = CD ， A = 60°，點 E 在邊 AD 上，連接BD，CE相交
于點 F，且CE∥ AB ．
(1)求證：VEDF 是等邊三角形；
(2)若CE = 8，求DE 的長．
【答案】(1)見解析
(2)3
【分析】（1）先證明△ABD 是等邊三角形，可得 ABD = ADB = 60°，由平行線的性質可得
CED = ADB = DFE = 60° ，可得結論；
（2）證明VABC≌VADC SSS ，得 BAC = CAD ．再結合平行線的性質，證得 CAD = ACE ，從而得到
AE = CE = 8，即可求解．
【詳解】（1）證明：Q AB = AD， A = 60°，
\VABD 是等邊三角形，
\ ABD = ADB = 60°，
Q CE∥ AB，
\ CED = A = 60°， DFE = ABD = 60°，
\ CED = ADB = DFE ，
\VDEF 是等邊三角形；
（2）解： Q AB = AD =11, BC = DC ，
在VABC 和△ADC 中，
ìAB = AD

íBC = CD ，

AC = AC
\VABC≌VADC SSS ，
\ BAC = CAD．
QCE AB，
\ BAC = ACE ，
\ CAD = ACE ，
\ EA = EC ．
QCE = 8，
\ AE = 8，
\ED =11-8 = 3．
【點睛】本題考查了等邊三角形的判定和性質，全等三角形的判定與性質，等腰三角形的判定，平行線的
性質，證明 AE = CE 是解題的關鍵．
3．如圖，在等邊三角形 ABC 中，點D，E 分別在邊BC ，AC 上，且DE∥AB，過點E 作EF ^ DE，交BC
的延長線于點F ．
(1)求證：CE = CF ；
(2)若CD = 2，求DF 的長．
【答案】(1)見解析
(2)4
【分析】
本題考查等邊三角形的判定和性質，等腰三角形的判定和性質：
（1）證明VCDE為等邊三角形，進而推出 CEF = CFE = 30°，即可得證；
（2）根據等邊三角形的性質和等腰三角形的性質，求解即可．
【詳解】（1）解：∵等邊三角形 ABC ，
∴ ACB = B = A = 60°，
∵DE∥AB，
∴ EDC = B = 60°, CED = A = 60°，
∴VCDE為等邊三角形，
∵EF ^ DE，
∴ DEF = 90°，
∴ CEF = DEF - CED = 30°, DFE = 90° - EDC = 30°，
∴ CEF = CFE ，
∴CE = CF ；
（2）由（1）知：VCDE為等邊三角形，
∴CE = CD = 2，
又CE = CF = 2，
∴DF = CD + CF = 4．
4．如圖，等腰VABC 中，CA = CB = 4， ACB =120° ，點D在線段 AB 上運動 (不與A ，B 重合 ) ，將VCAD
與△CBD分別沿直線CA，CB 翻折得到VCAP 與△CBQ ．
(1)求證：CP = CQ ；
(2)求 PCQ 的度數；
(3)當點D是 AB 的中點時，判斷VDPQ 是何種三角形，并說明理由．
【答案】(1)見解析
(2) PCQ =120°
(3)VDPQ 是等邊三角形，理由見解析
【分析】本題主要考查折疊的性質，等腰三角形的判定和性質，周角的性質，等邊三角形的判定和性質的
綜合，掌握折疊的性質，等腰三角形的性質，等邊三角形的判定和性質是解題的關鍵．
（1）根據折疊的性質即可求解；
（2）根據折疊的性質可得∠ACP +∠BCQ =∠ACB，再根據周角的性質即可求解；
（3）根據等腰三角形的性質“三線合一”可得CD ^ AB ， DAC = DBC = 30°，根據折疊的性質可得
△ADP，△BDQ是等邊三角形，由此可求出 PDQ = 60°，結合點D是中點可得 AD = PD = QD = BD ，由此
即可求解．
【詳解】（1）證明：Q將VCAD與△CBD分別沿直線CA、CB 翻折得到VCAP 與△CBQ ，
∴CP = CQ = CD；
（2）解：Q將VCAD與△CBD分別沿直線CA、CB 翻折得到VCAP 與△CBQ ，
∴ ACP = ACD， BCQ = BCD ，
∴ ACP + BCQ = ACD + BCD = ACB =120°，
∴∠PCQ = 360° - ∠ACP +∠BCQ +∠ACB
= 360° - 120° +120°
=120°，
∴ PCQ =120°；
（3）解：VDPQ 是等邊三角形，理由如下：
Q將VCAD與△CBD分別沿直線CA、CB 翻折得到VCAP 與△CBQ ，
\ AD = AP，∠DAC =∠PAC ，
∵CA = CB ， ACB =120° ，點D是 AB 的中點，
∴ ACD
1
= BCD = ACB = 60°，CD ^ AB ，
2
∴ DAC = DBC = 30°，
\VAPD 是等邊三角形，
\PD = AD， ADP = 60°，
同理：△BDQ 是等邊三角形，
∴DQ = BD， BDQ = 60° ，
∴ PDQ = 60°，
Q當點D在 AB 的中點，
\ AD = BD ，
∴PD = QD ，
\△DPQ是等邊三角形．
5．如圖，已知△ABD 和VBCE 是等邊三角形，且 A、B、C 三點共線，連接 AE、CD ，交于點F ．
(1)求證：VABE≌VDBC ；
(2)求證：FA = FB + FD．
【答案】(1)見解析
(2)見解析
【分析】本題考查等邊三角形的判定和性質，全等三角形的判定和性質，熟練掌握等邊三角形的性質，證
明三角形全等，是解題的關鍵．
（1）根據等邊三角形的性質，得到 AB = DB，EB = CB ， ABD = EBC = 60°，進而得到 ABE = DBC ，
即可得證；
（2）在FA上取點 Q 使得FQ = FD，連接DQ ，得VDFQ為正三角形，得到DF = DQ， FDQ = 60°，證
明△ADQ≌△BDF ，得到 AQ = FB ，根據FA = FQ + AQ，即可得證．
【詳解】（1）證明：∵△ABD 與VBCE 是正三角形，
∴ AB = DB，EB = CB ， ABD = EBC = 60°，
∴ ABE = DBC ，
在VABE 與△DBC 中
ìAB = DB

í ABE = DBC ，

BE = BC
∴VABE≌VDBC SAS ；
（2）在FA上取點 Q 使得FQ = FD，連接DQ ，
∵VABE≌VDBC ，
∴ BAG = BDF ，
又∵ AGB = DGF ，
∴ DFA = ABD = 60°，
∴VDFQ為正三角形，
∴DF = DQ， FDQ = 60°，
又∵VADB為正三角形，
∴DA = DB ，
∵ ADB = 60°，
∴ ADQ = BDF ，
∴VADQ≌VBDF SAS ，
∴ AQ = FB ；
∴FA = FQ + AQ = FD + FB ．
題型 08 等邊三角形的存在性問題
1．如圖，O 是射線CB 上一點， AOB = 60°,OC = 6cm，動點 P 從點 C 出發沿射線CB 以2cm / s的速度運
動，動點 Q 從點 O 出發沿射線OA以1cm/s的速度運動，點 P，Q 同時出發，設運動時間為 t s ，當△POQ
是等腰三角形時，t 的值為（ ）
A．2 B．2 或 6 C．4 或 6 D．2 或 4 或 6
【答案】B
【分析】根據等腰三角形的性質與判定，分兩種情況：（1）當點 P 在線段OC 上時；（2）當點 P 在CO的延
長線上時．分別列式計算即可求．
【詳解】解：分兩種情況：（1）當點 P 在線段OC 上時，
設 t 時后△POQ 是等腰三角形，
∵ AOB = 60°
∴ AOC =120°
∴OP = OC - CP = OQ ，
即6 - 2t = t ，
解得 t = 2；
（2）當點 P 在CO的延長線上時，此時經過CO時的時間已用3s ，
當△POQ 是等腰三角形時，
∵ POQ = 60°，
∴△POQ 是等邊三角形，
∴OP = OQ ，
即 2 t - 3 = t ，
解得， t = 6，
綜上所述，當△POQ 是等腰三角形時，t 的值為 2 或 6．
故選：B．
【點睛】本題考查了等腰三角形的性質與判定；解題時把幾何問題轉化為方程求解，是常用的方法，注意
要分類討論，當點 P 在點 O 的左側還是在右側是解答本題的關鍵．
2．如圖， AOB = 60°，C 是BO延長線上的一點，OC = 8cm，動點 P 從點 C 出發沿CB 以3cm s的速度移
動，動點 Q 從點 O 出發沿OA以 2cm s的速度移動，如果點 P、Q 同時出發，用 t(s)表示移動的時間，當 t
為（ ）s 時，△POQ 是等腰三角形．
8 8 8
A． B．6 C． 或 6 D． 或 8
5 5 5
【答案】D
【分析】本題考查了等腰三角形的判定；解題時把幾何問題轉化為方程求解，是常用的方法，注意要分類
討論，當點 P 在點O的左側還是在右側是解答本題的關鍵．
根據等腰三角形的判定，分兩種情況：（1）當點 P 在線段OC 上時；（2）當點 P 在CO的延長線上時．分別
列式計算即可求．
【詳解】解：分兩種情況：（1）當點 P 在線段OC 上時，
設 t秒后△POQ 是等腰三角形，
有OP = OC - CP = OQ ，
即8 - 3t = 2t ，
8
解得， t = ；
5
（2）當點 P 在CO的延長線上時，
當△POQ 是等腰三角形時，
Q POQ = 60°，
\VPOQ 是等邊三角形，
\OP = OQ ，
即 2t = 3t - 8 ，
解得， t = 8，
故選：D．
3．如圖，已知等邊三角形 ABC 的邊長為12cm，有一點 P 從點A 出發沿 A B C A的方向以 4cm / s 的
速度勻速移動，另有一點Q從點 B 出發沿B C A B 的方向以6cm / s 的速度勻速移動，若點 P 、Q同
時出發，經過 秒后，兩點第 2次同時到達等邊三角形的同一頂點．
【答案】30
【分析】本題主要考查了等邊三角形及一元一次方程的應用，解題關鍵是熟練掌握等邊三角形的性質，先
設點 P 、Q同時出發，經過 xs后兩點第1次同時到達等邊三角形的同一頂點，根據Q點走的路程比 P 點所走
路程多 2個等邊三角形的邊長，列出方程求出 x ，再設點 P 、Q同時從第一次同時到達的頂點出發，經過 ys
后兩點第 2次同時到達等邊三角形的同一頂點，根據Q點移動的路程 - 點 P 移動的路程= 3個等邊三角形的
邊長，列出方程求出 y ，從而求出答案即可．
【詳解】解：設點 P 、Q同時出發，經過 xs 后兩點第1次同時到達等邊三角形的同一頂點，由題意得：
6x - 4x =12 2，
2x = 24，
x =12 ，
設點 P 、Q同時從第一次同時到達的頂點出發，經過 ys后兩點第 2次同時到達等邊三角形的同一頂點，由
題意得：
6y - 4y =12 3，
2y = 36，
y =18，
∴ x + y =12 +18 = 30（ s ），
∴點 P 、Q同時出發，經過30s后兩點第 2次同時到達等邊三角形的同一頂點，
故答案為：30．
4．如圖，在VABC 中， A = 90°, B = 30°, AC = 6厘米，點D從點A 開始以 1 厘米/秒的速度向點C 運動，
點E 從點C 開始以 2 厘米秒的速度向點 B 運動，兩點同時運動，當運動時間為 秒時，VDEC 是等邊三
角形．
【答案】2
【分析】本題主要考查了等邊三角形的性質，設運動時間為 t 秒，則 AD = tcm，CE = 2tcm ，則
CD = 6 - t cm ，根據等邊三角形的性質得到CE = CD，則6 - t = 2t ，解方程即可得到答案．
【詳解】解：設運動時間為 t 秒，
由題意得， AD = tcm，CE = 2tcm ，則CD = AC - AD = 6 - t cm
∵VDEC 是等邊三角形，
∴CE = CD，
∴6 - t = 2t ，
解得 t = 2，
∴當運動時間為 2 秒時，VDEC 是等邊三角形．
故答案為：2．
5．小明同學發現這樣一個規律：兩個頂角相等的等腰三角形，如果具有公共的頂角的頂點，并把它們的底
角頂點連接起來則形成一組全等的三角形，小明把具有這個規律的圖形稱為“手拉手”圖形．
(1)【問題發現】如圖 1，若VABC 和VADE 均是頂角為 40°的等腰三角形，BC、DE 分別是底邊，可以由
________（三角形全等判定原理），得△ABD≌△ACE ，進而得到BD = CE ；
(2)【拓展探究】如圖 2，若VABC 和VCDE均為等邊三角形，點 A、D、E 在同一條直線上，連接 BE ，求 AEB
的度數．
【答案】(1)SAS
(2) AEB = 60°
【分析】此題是三角形綜合題，主要考查了全等三角形的判定和性質，等腰三角形，等邊三角形，熟練掌
握全等三角形的判定方法是解本題的關鍵．
（1）先判斷出 BAD＝ CAE ，進而利用SAS判斷出△ABD≌△ACE ，即可得出結論；
（2）同（1）的方法判斷出△BAD≌△CAE ，得出 AD＝BE， ADC＝ BEC =120°，最后用角的差
AEB = BEC - CED，即可得出結論；
【詳解】（1）解：（1）∵VABC 和VADE 均是頂角為 40°的等腰三角形，
∴ AB＝AC，AD＝AE， BAC＝ DAE ，
∴ BAC - CAD = DAE - CAD ，
∴ BAD = CAE ，
∴VBAD≌VCAE(SAS)，
∴BD = CE ；
故答案為：SAS．
（2）∵VABC和VADE 均是等邊三角形，
∴CA = CB,CD = CE, ACB = DCE = CDE = CED = 60°，
∴∠ACB -∠BCD =∠DCE -∠BCD，
∴ ACD = BCE ，
∴VACD≌VBCE(SAS)，
∴ AD = BE, ADC = BEC，
∵ CDE = 60°，
∴ BEC = ADC =180° - CDE =120°，
∵ CED = 60°，
∴ AEB = BEC - CED = 60°，
1．如圖，VABC 是等邊三角形， AD 是BC 邊上的高，點 E 是 AC 邊的中點，點 P 是 AD 上的一個動點，當
PC + PE 最小時，∠ CPE 的度數是（ ）．
A．30° B． 45° C．60° D．90°
【答案】C
【分析】本題主要考查了等邊三角形的性質，垂直平分線的性質，最短路徑問題，掌握等邊三角形三線合
一的性質是解題關鍵．連接 BP，由等邊三角形的性質，得出 PB = PC ，進而得到 PC + PE = PB + PE BE ，
即當 B 、 P 、E 三點共線時，PC + PE 有最小值，再利用三線合一性質，得到BE ^ AC ，即可得到∠ CPE
的度數．
【詳解】解：如圖，連接BP，
QVABC 是等邊三角形， AD 是BC 邊上的高，
\ D 是BC 中點，即 AD 垂直平分BC ，
\PB = PC ，
\PC + PE = PB + PE BE ，
即當 B 、 P 、E 三點共線時，PC + PE 有最小值，
Q點E 是 AC 邊的中點，
\ BE ^ AC ，
\ CEP = CEB = 90°，
∵等邊VABC 中 ABC = ACB = 60°，BE ^ AC ，
∴ CBE
1
= ABC = 30°，
2
∵PB = PC ，
∴此時 PCB = PBC = 30°，
∴ CPE = PBC + PCB = 60°．
故選：C．
2．如圖，VABC 是邊長為 1 的等邊三角形，D，E 分別是邊 AB ，AC 上的兩點，將VADE 沿直線DE 折疊，
點A 落在 A 處，則陰影部分圖形的周長為（ ）
A．1.5 B．2 C． 2.5 D．3
【答案】D
【分析】本題考查了等邊三角形的性質和折疊問題．根據等邊三角形的性質和折疊性質進行解答即可得．
【詳解】解：∵等邊VABC 的邊長為1，
∴ AB = BC = CA =1，
∵D，E 分別是邊 AB ， AC 上的兩點，將VADE 沿直線DE 折疊，點A 落在 A 處，
∴ AD = A D， AE = A E ，
則陰影部分圖形的周長為：BC + BD + CE + A D + A E = BC + BD + CE + AD + AE = BC + AB + AC = 3，
故選：D．
3．如圖，已知 MON = 30°，點 A1, A2 , A3L在射線ON 上，點B1, B2 , B3L在射線OM 上，△A1B2 A2 、
△A2B2 A3 、△A3B3 A4 …均為等邊三角形，若OA1 =1，則VA6B6 A7 的邊長為（ ）
A．32 B．510 C．256 D．64
【答案】A
【分析】此題主要考查了等邊三角形的性質以及等腰三角形的性質，根據已知得出 A3B3 = 4B1A2 ，
A4B4 = 8B1A2 ， A5B5 =16B1A2 進而發現規律是解題關鍵．根據等腰三角形的性質以及平行線的性質得出
A1B1 A2B2 A3B3 ，以及 A2B2 = 2B1A2 ，得出 A3B3 = 4B1A2 = 4， A4B4 = 8B1A2 = 8， A5B5 =16B1A2 進而得出
答案．
【詳解】解：如圖，
Q△A1B1A2 是等邊三角形，
\ A1B1 = A2B1， 3 = 4 = 12 = 60°，
\ 2 =120°，
Q MON = 30° ，
\ 1 =180° -120° - 30° = 30°，
又Q 3 = 60°，
\ 5 =180° - 60° - 30° = 90°，
Q MON = 1 = 30°，
\OA1 = A1B1 = 1，
\ A2B1 = 1，
Q△A2B2 A3 、△A3B3 A4是等邊三角形，
\ 11 = 10 = 60°， 13 = 60°，
Q 4 = 12 = 60°，
\ A1B1∥A2B2∥A3B3，B1A2∥B2 A3，
\ 1 = 6 = 7 = 30°， 5 = 8 = 90°，
\ A2B2 = 2B1A2 ，B3 A3 = 2B2 A3 ，
\ A3B3 = 4B1A2 = 4 ，
A4B4 = 8B1A2 = 8，
A5B5 = 16B1A2 = 16 ，
以此類推：△AnBn A n-1n+1的邊長為 2 ，
\ VA6B6 A7 的邊長為： 26-1 = 32．
故選：A
4．如圖，VABC 是邊長為 a 的等邊三角形，BD = CD，且 BDC =120°，以 D 為頂點作一個60°角，使其
兩邊分別交 AB 于點 M．交 AC 于點 N，連接MN ，則VAMN 的周長是（　　）
A．a B． 2a C．3a D．不能確定
【答案】B
【分析】本題考查了三角形全等的判定及性質、等邊三角形的判定及性質，先作輔助線，兩次證得三角形
全等可得結果，作出輔助線是解題的關鍵．延長 AB 至 F，使BF = CN ，連接DF ，通過證明△BDF≌△CND
及VDMN≌VDMF ，從而得出MN = MF ，VAMN 的周長等于 AB+AC 的長．
【詳解】解：∵VBDC 是等腰三角形，且 BDC =120°，
∴ BCD = DBC = 30°，
∵VABC 是邊長為 a 的等邊三角形，
∴ ABC = BAC = BCA = 60°，
∴ FBD = DBA = DCA = 90° ，
延長 AB 至 F，使BF = CN ，連接DF ，如圖所示：
在VBDF 和△CND 中，
ìBF = CN

í FBD = DCN ，

DB = DC
∴VBDF≌VCND SAS ，
∴ BDF = CDN ，DF = DN ，
∵ MDN = 60°，
∴ BDM + CDN = 60°，
∴ BDM + BDF = 60°，
在△DMN和△DMF 中，
ìMD = MD

í FDM = MDN ，

DF = DN
∴VDMN≌VDMF （SAS）
∴MN = MF ，
∴VAMN 的周長是：
AM + AN + MN = AM + AN + MB + BF
= AM + MB + AN + NC = AB + AC = a + a = 2a ．
故選 B．
5．如圖，C 為線段 AE 上一動點（不與點A ， E 重合），在 AE 同側分別作正三角形 ABC 和正三角形CDE ，
AD 與 BE 交于點O， AD 與 BC 交于點G ， BE 與CD交于點 F ．以下幾個結論：① AD = BE ；② AG = BF ；
③VDGC≌VEFC ；④ AOB = 60°，⑤ BAD = ODC ，恒成立的有（ ）
A．2 個 B．3 個 C．4 個 D．5 個
【答案】D
【分析】本題考查等邊三角形的性質、全等三角形的判定和性質，三角形外角性質，平行線的判定與性質，
只要證明△ADC ≌△BEC ，可推知 AD = BE ；由△ADC ≌△BEC 得 CBE = DAC ，加之
ACB = DCE = 60°，AC = BC ，得到VDGC ≌VEFC ，可知②，③正確；利用等邊三角形的性質，
BC∥DE，再根據平行線的性質得到 CBE = DEO，于是 AOB = DAE + AEO = 60°，可知④正確；利用
等邊三角形性質可得 AB∥CD ，從而得到 BAD = ODC ，可知⑤正確．
【詳解】解：Q三角形 ABC 和三角形CDE 都是正三角形，
\ AC = BC，CD = CE， ACB = DCE = 60°，
∴ BCD =180° - ACB - DCE = 60°
Q ACD = ACB + BCD， BCE = DCE + BCD ，
\ ACD = BCE ，
\VADC≌VBEC SAS ，
\ AD = BE， DAC = EBC ，故①正確；
又Q AC = BC， ACG = BCF = 60°， DAC = EBC ，
\VDGC≌VEFC ASA ，
\ AG = BF ，故②，③正確；
Q BCA = DEC = 60°，
\BC∥DE ，
\ CBE = DEO ，
\ AOB = DAE + AEO = DAE + ADC = DCE = 60°，故④正確；
Q BAC = DCE = 60°，
\ AB∥CD，
\ BAD = ODC ，
綜上所述正確的結論有：①②③④⑤，共 5 個，
故選：D．
6．如圖，VABC 是等邊三角形，點D是BC 下方的一點， BDC =120°，BD = CD，點E 和點F 分別是 AC
和 AB 上一點， EDF = 60°．若VABC 的周長為 12，則△AEF 的周長為（ ）
A．5 B．6 C．8 D．9
【答案】C
【分析】此題考查全等三角形的判定及性質，等邊三角形的性質，等腰三角形等邊對等角的性質，延長 AC
至點 P ，使CP = BF ，連接PD，證明VBDF≌VCDP SAS 推出DF = DP， BDF = CDP ，進而得到
EDF = PDE = 60°，從而證明VDEF≌VDPF SAS ，推出EF = PE ，由此求出△AEF 的周長= AB + AC
得到答案．題中輔助線的引出是解題的關鍵．
【詳解】解：如圖，延長 AC 至點 P ，使CP = BF ，連接PD．
∵VABC 是等邊三角形，VABC 的周長為 12，
∴ ABC = ACB = 60°， AB = AC = BC = 4．
∵BD = CD， BDC =120°，
∴ DBC = DCB = 30°，
∴ FBD = DCE = 90°，
∴ DCP = DBF = 90°．
ìBD = CD
在VBDF 和△CDP

中， í DBF = DCP ，

BF = CP
∴VBDF≌VCDP SAS ，
∴DF = DP， BDF = CDP ．
∵ BDC =120°， EDF = 60°，
∴ BDF + CDE = 60°，
∴ CDP + CDE = 60°，
∴ EDF = PDE = 60°．
ìDF = DP

在VDEF 和VDPE中， í EDF = PDE ，

DE = DE
∴VDEF≌VDPF SAS ，
∴EF = EP，
∴EF = EC + CP = EC + BF ，
∴△AEF 的周長= AE + EF + AF = AE + CE + BF + AF = AB + AC = 8．
7．如圖，BD是等邊VABC 的邊 AC 上的高，以點 D 為圓心，DB長為半徑作弧交BC 的延長于點 E，則
DEC = ．
【答案】30°/30 度
【分析】本題主要考查等邊三角形的性質，等腰三角形的性質，熟練掌握性質定理是解題的關鍵．根據等
邊三角形得到 ABC = 60°，根據三線合一得到 DBC 的度數即可得到答案．
【詳解】解：在等邊VABC 中， ABC = 60°，
Q BD是等邊VABC 的邊 AC 上的高，
\BD平分 ABC ，
\ DBC 1= ABC = 30°
2 ，
QBD = ED ，
\ DEC = CBD = 30°，
故答案為：30°．
8．如圖，VABC 和VDEF 都是等邊三角形，且點 D，E，F 分別在邊 AB ，BC ， AC 上，若VABC 的周長
為 12， AD =1，則EC = ．
【答案】3
【分析】本題考查了等邊三角形的性質，全等三角形判定與性質， 根據等邊三角形的性質及等量代換得出
BDE = AFD，再由全等三角形的判定和性質得出 AD = BE =1，然后求解即可．
【詳解】解∶∵VABC 和VDEF 都是等邊三角形，
∴ AB = AC = BC ，DE = DF = EF ， A = B = C = 60°， EDF = DEF = EFD = 60°，
∴ BDE + ADF =120°， ADF + AFD =120°，
∴ BDE = AFD，
又 A = B ， DF = DE ，
∴VADF≌VBED AAS ，
∴ AD = BE =1，
∵VABC 的周長為 12，
1
∴BC = 12 = 4，
3
∴ EC = BC - BE = 3，
故答案為∶3．
9．如圖，等邊三角形 ABC 的邊 AB 上有一點 P，過點 P 作PE ^ AC 于點 E，Q 為BC 延長線上一點，當 AP = CQ
時， PQ交 AC 于點 D，若DE = 2，則BC = ．
【答案】4
【分析】本題考查了等邊三角形的性質，全等三角形的性質與判定，熟練掌握以上知識是解題的關鍵．過
點 Q 作 AC 的延長線的垂線于點F ，根據等邊三角形性質和對頂角的性質可得 QCF = A，再根據
PE ^ AC ，QF ^ AF ， AP = CQ可證得△AEP≌△CFQ ，從而證得△PED≌△QFD ，得到 AE = CF ，
DE = DF ，從而求得等邊三角形 ABC 的邊長，再根據等邊三角形的性質即可解題．
【詳解】解：如圖，過點 Q 作 AC 的延長線的垂線于點F ，
QVABC 是等邊三角形，
∴ A = ACB = 60°，
Q ACB = QCF ，
\ QCF = A = 60°，
QPE ^ AC ，QF ^ AF ，
\ AEP = CFQ = 90°，
Q AP = CQ ，
\VAEP≌VCFQ AAS ，
∴ AE =CF ， PE = QF ，
Q PED =180° - PEA = 90° = CFQ， PDE = QDF ，
\VPED≌VQFD AAS ，
\ DE = DF = 2 ，
QDF = DC + CF ， AE = CF ，
\ AC = DE + AE + DC = 2DE = 4，
QVABC 是等邊三角形，
\BC = AC = 4，
故答案為：4．
10．如圖，VABC 和VBDE 都是等邊三角形，A、B、D 三點共線．下列結論：① AE = CD ；② AF = CG；③
AHC = 60°；④ AD ∥ FG ．其中正確的有 （只填序號）．
【答案】①②③④
【分析】由題中條件可得VABE≌VCBD ，得出對應邊、對應角相等，進而得出VBGD≌VBFE ，
VABF≌VCGB，再由邊角關系即可求解題中結論是否正確，進而可得出結論．
【詳解】解：QVABC 與VBDE 為等邊三角形，
\ AB = BC ，BD = BE ， ABC = DBE = 60°，
\ ABE = CBD ，
\VABE≌VCBD ，
\ AE = CD, BAE = BCD ，
∴①正確；
又Q ABF = FBE = 60°，
\VABF≌VCBG，
\ AF = CG ，BF = BG ， BFG = BGF = 60°，
\△BFG 是等邊三角形，
\ GFB = CBA = 60°，
\FG∥AD ，
∴②④正確；
Q BAF + ABF + AFB = BCG + AHC + CFH =180°， AFB = CFH ，\ AHC = ABC = 60°，
∴③正確；
故答案為：①②③④．
【點睛】本題主要考查了等邊三角形的性質及全等三角形的判定及性質問題，能夠熟練掌握等邊三角形的
性質，證明三角形全等是解決問題的關鍵．
11．如圖，VABC 為等邊三角形，其邊長為9cm,△BCD是等腰三角形， BDC =120°，在 AB 上有一動點
E ，連接DE ，在 AC 上有一點F ，使得DF 與DE 的夾角為60°，連接EF ，則△AEF 的周長為 cm．
【答案】18
【分析】此題考查全等三角形的判定及性質，等邊三角形的性質，等腰三角形等邊對等角的性質，題中輔
助線的引出是解題的關鍵.
延長 AC 至點 P，使CP = BE ，連接PD，證明VBDE≌VCDP推出DE = DP， BDE = CDP ，進而得到
EDF = PDF = 60°，從而證明VDEF≌VDPF ，推出EF = CP，由此求出△AEF 的周長=
AE + EF + AF = AB + AC .得到答案.
【詳解】解：如圖，延長 AC 至點 P，使CP = BE ，連接PD．
∵VABC 是等邊三角形，
∴ ABC = ACB = 60°．
∵BD = CD， BDC =120°，
∴ DBC = DCB = 30°，
∴ EBD = DCF = 90°，
∴ DCP = DBE = 90°．
在VBDE 和△CDP中，
ìBD = CD

í DBE = DCP，

BE = CP
∴VBDE≌VCDP SAS ，
∴DE = DP， BDE = CDP ．
∵ BDC =120°， EDF = 60°，
∴ BDE + CDF = 60°，
∴ CDP + CDF = 60°，
∴ EDF = PDF = 60°．
在VDEF 和VDPF 中，
ìDE = DP

í EDF = PDF ，

DF = DF
∴VDEF≌VDPF SAS ，
∴EF = FP，
∴EF = FC + BE ，
∴△AEF 的周長= AE + EF + AF = AB + AC =18 .
故答案為：18
12．如圖，在VABC 中， AB = 30cm, AC = 20cm，以BC 為邊作等邊三角形BCD，連接 AD ，則 AD 的最大
值與最小值的和為 cm．
【答案】60
【分析】本題考查了等邊三角形的性質，三角形三邊的關系，全等三角形的判定與性質；以 AB 為邊在其下
方作等邊VABE ，連接CE，證明VCBE≌VDBA，則得CE = AD ，在△AEC 中利用三角形三邊關系即可求得
CE的最大值與最小值，從而求得結果．
【詳解】解：如圖，以 AB 為邊在其下方作等邊VABE ，連接CE，
∴ AB = BE = AE = 30cm， ABE = 60°；
∵△BCD是等邊三角形，
∴BC = BD， DBC = 60°，
∴ DBC + ABC = ABC + ABE，
即 DBA = CBE ，
∴VCBE≌VDBA，
∴CE = AD ；
在△AEC 中， AC = 20cm，AE = AB = 30cm，
∴ AE - AC < CE < AE + AC ，
即10 < CE < 50，
∴當C、A、E 三點共線時，CE取最大值與最小值分別為50cm與10cm，
而50 +10 = 60 cm ，
故答案為：60．
13．如圖， A = B ， AE = BE ，點D在 AC 邊上， 1 = 2， AE 與BD相交于點O．
(1)求證：△AEC ≌△BED；
(2)若 2 = 40°，求 BDE 的度數．
【答案】(1)見解析
(2) 70°
【分析】本題考查全等三角形的判定和性質，解題的關鍵是熟練運用全等三角形的性質與判定，
（1）根據全等三角形的判定即可判斷△AEC ≌△BED；
（2）由（1）可知：EC = ED ， C = BDE ，根據等腰三角形的性質即可知 C 的度數，從而可求出 BDE
的度數；
【詳解】（1）證明：Q AE 和BD相交于點O，
\ AOD = BOE ．
在△AOD和△ BOE 中，
A = B ，
\ BEO = 2，
又Q 1 = 2，
\ 1 = BEO ，
\ AEC = BED．
在△AEC 和VBED中，
ì A = B

í AE = BE ，

AEC = BED
\VAEC≌VBED（ASA）．
（2）解：QVAEC≌VBED，
\EC = ED， C = BDE ．
在△EDC 中，
QEC = ED， 1 = 2 = 40° ，
\ C = EDC = 70°，
\ BDE = C = 70°．
14．如圖， AB = AC =10， A = 40° ， AB 的垂直平分線MN 交 AC 于點D，求：
(1) ABD 的度數；
(2)若△BCD的周長是16，求BC 的長．
【答案】(1) ABD = 40°
(2) BC = 6
【分析】本題考查了等腰三角形的性質和線段垂直平分線的性質；
（1）根據等腰三角形的性質和線段垂直平分線的性質求解即可；
（2）根據線段垂直平分線的性質和等腰三角形的性質即可求出．
【詳解】（1）解：∵ AB 的垂直平分線MN 交 AC 于點D，
∴BD = AD ，
∴∠ABD =∠A = 40°；
（2）解：∵BD = AD ，△BCD的周長是16，
∴BD + BC + CD = BC + CD + DA = BC + AC =16 ，
∵ AC =10，
∴BC = 6．
15．如圖，VABE 和VACD都是等邊三角形，VEAC 旋轉后能與△ABD 重合， EC 與BD相交于點 F．
(1)試說明VAEC ≌VABD．
(2)求∠DFC 的度數．
【答案】(1)見解析
(2) 60°
【分析】本題考查了等邊三角形性質，全等三角形性質和判定，旋轉性質，對頂角，三角形外角性質等知
識點的應用，能綜合運用性質進行推理是解此題的關鍵，題目綜合性比較強，難度適中．
（1）根據等邊三角形性質推出 AE = AB，AD = AC， EAB = DAC = 60°，求出 EAC = BAD ，根據SAS
證VAEC ≌VABD即可；
（2）根據等邊三角形性質推出 EAB = 60° ，根據三角形外角性質推出 AGC = AEC + 60° = ABD + GFB，
求出 GFB的度數，根據對頂角相等求出即可．
【詳解】（1）證明：QVABE 和VACD都是等邊三角形，
\ AE = AB，AD = AC， EAB = DAC = 60°，
\ EAB + BAC = DAC + BAC ，
即 EAC = BAD ，
在△AEC 和△ABD 中
ì AE = AB

í EAC = BAD，

AD = AC
\VAEC ≌VABD．
（2）證明：如圖， 與EC 交于點 G，
QVAEC ≌VABD，
\ AEC = ABD，
Q AGC = AEG + EAB = AEC + 60°，
\ AGC = GFB + ABD = GFB + AEC ，
\ AEC + 60° = GFB + AEC ，
\ GFB = 60°，
\ DFC = GFB = 60°．
16．如圖，已知VABC 為等邊三角形，D為BC 延長線上的一點， 平分 ACD，CE = BD，
(1)求證：△ADB≌△AEC ；
(2)若BC = CD 時，求 BDE 的度數．
【答案】(1)證明見解析；
(2)90°．
【分析】（1）由等邊三角形的性質可得 AB = AC ， B = ACB = 60°，進而可得 ACD =120°，再根據角平
1
分線的定義得 ACE = DCE = ACD = 60°，即可得到 B = ACE ，最后利用SAS即可證明
2
△ADB≌△AEC ；
（ 2）由等邊三角形的性質和BC = CD 可得 AC = CD，即得 CAD = CDA，得到 CAD = CDA = 30°，
進而由全等三角形的性質得 ADB = AEC = 30°，即可得 CAE = 90°，再證明△ACE≌△DCE SAS 即可求
解；
本題考查了等邊三角形的性質，全等三角形的判定和性質，等腰三角形的性質，三角形內角和定理，掌握
全等三角形的判定和性質是解題的關鍵．
【詳解】（1）證明：∵VABC 為等邊三角形，
∴ AB = AC ， B = ACB = 60°，
∴ ACD = 180° - 60° = 120°，
∵ 平分 ACD，
∴ ACE
1
= DCE = ACD = 60°，
2
∴ B = ACE ，
又∵BD = CE ，
∴VADB≌VAEC SAS ；
（2）解：∵VABC 為等邊三角形，
∴ AC = BC ，
∵BC = CD ，
∴ AC = CD，
∴ CAD = CDA，
∵ ACD =120°，
CAD CDA 180° -120°∴ = = = 30°，
2
∴ ADB = 30°，
∵△ADB≌△AEC ，
∴ ADB = AEC = 30°，
∵ ACE
1
= ACD = 60°，
2
∴ CAE =180° - 60° - 30° = 90°，
在△ACE和△DCE 中，
ìAC = DC

í ACE = DCE ，

CE = CE
∴△ACE≌△DCE SAS ，
∴ CAE = CDE = 90°，
即 BDE = 90°．
17．如圖，點 O 是等邊VABC 內一點，連接OC 作等邊VOCD，連接 、OA、OB ， AOB =110°，
BOC = a ．
(1)求證：VBOC≌VADC ；
(2)當a =150°時，試判斷△AOD的形狀，并說明理由；
(3)探究：當a 為多少度時，△AOD是等腰三角形．
【答案】(1)見解析
(2)△AOD是直角三角形，理由見解析
(3)a =140°或a =125°或a =110°
【分析】本題考查了等邊三角形的性質，等腰三角形的性質，全等三角形的判定和性質．
（1）根據等邊三角形的性質，得出 AC = BC,OC = DC, ACB = DCO = 60°，即可推出 ACD= BCO ，即
可求證VBOC≌VADC SAS ；
（2）根據全等的性質得出 BOC = ADC = a =150°，則 ADO = ADC - CDO = 90°，即可得出結論；
（3）根據題意得出由圖可知， AOD =190° -a ， ADO = a - 60°， OAD = 50°．然后進行分類討論：①當
AD = OD時， AOD = OAD ，②當 AD = AO時， AOD = ADO ，③當OD = AO時， OAD = ADO ，
即可解答．
【詳解】（1）證明：∵VABC ，VOCD是等邊三角形，
∴ AC = BC,OC = DC, ACB = DCO = 60°，
∴ ACB - ACO = DCO - ACO，即 ACD= BCO ，
在VBOC 和△ADC 中，
ìAC = BC

í ACD = BCO ，

OC = DC
∴VBOC≌VADC SAS ．
（2）解：△AOD是直角三角形，理由如下：
∵VBOC≌VADC ，
∴ BOC = ADC = a =150°，
∵VOCD是等邊三角形，
∴ CDO = 60°，
∴ ADO = ADC - CDO = 90°，
∴△AOD是直角三角形．
（3）解：由圖可知，a = 360° -110° - COD - AOD =190° - AOD，
∴ AOD =190° -a ，
∴ ADO = ADC - CDO = a - 60°，
∵ AOB =110°，
∴ OAB + OBA =180° -110° = 70°，
∵ OAB + OAC + OBA + OBC = ABC + BAC =120°，
∴ OAC + OBC = 50°，
∵VBOC≌VADC ，
∴ OBC = DAC ，
∴ OAD = OAC + DAC = 50°
①當 AD = OD時， AOD = OAD ，
∴190° -a = 50°，
解得：a =140°；
②當 AD = AO時， AOD = ADO ，
∴190° -a = a - 60°，
解得：a =125°；
③當OD = AO時， OAD = ADO ，
∴50° = a - 60°，
解得：a =110°；
綜上：a =140°或a =125°或a =110°．
18．在VABC 中， AB = AC ，點 D 是射線 BC 上一點（不與 B，C 重合），以 AD 為一邊在 AD 的右側作
VADE ，使 AD = AE, DAE = BAC ，連接CE．
(1)如圖①，若VABC 是等邊三角形，且 AB = AC = 2，點 D 在線段BC 上．
①求證： BCE + BAC =180°；
②當四邊形 ADCE 的周長取最小時，求BD的長．
(2)若 BAC 60°，當點 D 在線段BC 的延長線上移動時，如圖②， BCE 和 BAC 之間有怎樣的數量關
系？并說明理由．
【答案】(1)①見解析，②1
(2) BCE + BAC =180°，見解析
【分析】本題考查了全等三角形的判定和性質，等邊三角形的性質，垂線段最短，三角形內角和定理，解
決本題的關鍵是掌握全等三角形的判定和性質．
（1）①由等邊三角形的性質得 ABC = ACB = 60°，根據SAS證明△ABD≌△ACE 得 ABD = ACE ，進
而可求出 BCE + BAC =180°；②由△ABD≌△ACE 得BD = CE ，根據四邊形 ADCE 的周長 = BC + 2AD 可
知當 AD 最短，即 AD ^ BC 時，四邊形 ADCE 的周長最小，據此即可求解；
（2）根據SAS證明△ABD≌△ACE 得 ABD = ACE ，然后根據三角形內角和可求出 BCE + BAC =180°．
【詳解】（1）①證明：∵VABC 是等邊三角形，
∴ ABC = ACB = 60°．
∵ BAC = DAE ，
∴ BAD＋ DAC = CAE＋ DAC ．
∴ BAD = CAE = 60°．
又∵ AB = AC, AD = AE ，
∴△ABD≌△ACE ，
∴ ABD = ACE ．
∴ BCE＋ BAC = BCA＋ ACE＋ BAC = BCA＋ ABD＋ BAC =180°．
②解：∵VABC 是等邊三角形，且 AB = AC = 2，
∴BC = 2．
∵△ABD≌△ACE ，∴BD = CE ．
∴四邊形 ADCE 的周長= AD＋DC＋CE＋AE = AD + DC + BD + AE = BC + 2AD ．
∴當 AD 最短，即 AD ^ BC 時，四邊形 ADCE 的周長最小．
∵VABC 是等邊三角形， AD ^ BC ，
∴BD
1 1
= CB = 2 =1．
2 2
（2）解： BCE＋ BAC =180°．
理由：如圖，設CE與 AD 交與點 F．
∵ BAC = DAE ，
∴ BAD = CAE ．
又∵ AB = AC, AD = AE ，
∴△ABD≌△ACE ，
∴ ABD = ACE ，
∴ BCE＋ BAC
= BCA + ACE + BAC
= BCA + ABD + BAC =180°．第 03 講 等腰三角形的性質定理（2 個知識點+8 大題型+18 道
強化訓練）
課程標準 學習目標
1.等腰三角形的性質定理； 1.理解并掌握等腰三角形的性質定理，并學會運用；
2.等邊三角形的性質定理； 2.理解并掌握等邊三角形的性質定理，并學會運用；
知識點 01：等腰三角形的性質
1、等腰三角形
（1）定義：有兩條邊相等的三角形叫做等腰三角形，相等的兩邊叫做腰，另一邊叫做底邊，兩腰的夾角叫
做頂角，腰和底邊的夾角叫做底角。
（2）性質
①兩腰相等
②兩底角相等（簡稱等邊對等角）
③等腰三角形頂角平分線、底邊上的中線、底邊上的高線互相重合（簡稱為“三線合一”）
④等腰三角形是軸對稱圖形，其頂角平分線、底邊上的中線、底邊上的高線所在的直線式對稱軸。
【即學即練 1】下列說法正確的是（　　）
A．等腰三角形的對稱軸是底邊的中線
B．有理數與數軸上的點是一一對應的
C．等腰三角形任意兩個角相等
D．三角形的三條高所在的直線一定交于一點
【即學即練 2】等腰三角形兩邊長為 4 和 8，它的周長是（ ）
A．16 B．18 C．20 D．16 或 18
知識點 02：等邊三角形的性質
等邊三角形
（1）定義：有三條邊相等的三角形叫做等邊三角形。
（2）性質：三條邊都相等，三個角都相等，每一個角都等于 60°
總結：
圖形 等腰三角形 等邊三角形
兩條邊都相等 三條邊都相等
兩個角都相等 三個角都相等，且都是 60
性
質 底邊上的中線、高和頂角的平分線互相 每一邊上的中線、高和這一邊所對的角的
重合 平分線互相重合
對稱軸（1 條） 對稱軸（3 條）
【即學即練 3】如圖，VABC 是等邊三角形， AE∥BF ，若 CAE = 45°，則 CBF 的度數為（　　）
A．10° B．15° C． 20° D． 25°
【即學即練 4】如圖，已知VABC 是等邊三角形，中線 BE ，CD 交于點F ，則 BFD的度數為（ ）
A．30° B．60° C．120° D．150°
題型 01 根據等腰三角形的性質求角度
1．如圖， AC ^ BC ，DE 是 AB 的垂直平分線， CAE = 20°，則 B = （　　）
A．30° B．35° C． 40° D． 45°
2．已知一個等腰三角形的頂角等于100°，則它的底角等于（ ）
A．30° B． 40° C．50° D．80°
3．如圖，在VABC 中，DE 垂直平分BC, BD平分 ABC ，若 ADB = 48°，則 A = ．
4．如圖，VABC≌VA BC ， ABC = 66°， C = 40°，此時點 A 恰好在線段 A C 上，則 ABA 的度數為 ．
5．如圖，四邊形 ABCD中，對角線 AC 、 BD交于點 O， AB = AC ，點 E 是 BD上一點，且 ABD = ACD ，
EAD = BAC ．
(1)求證： AE = AD；
(2)若 ACB = 45°，求 BDC 的度數．
題型 02 根據等腰三角形的性質求長度
1．如圖，VABC 中，BD平分 ABC 交 AC 于點 D，過點 D 作DE∥BC 交 AB 于點 E，若 AB =12，
DE = 7 ，則 AE 的長為（ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
2．如圖，在VABC 中，已知 ABC 和 ACB 的平分線相交于點F ．過點F 作DF∥BC ，交 AB 于點D，
交 AC 于點E ．若BD = 4，DE = 9，則線段CE的長為（　　）
A．3 B．4 C．5 D．6
3．如圖，在VABC 中， AB =12， AC = 9，沿過點 A 的直線折疊這個三角形，使點 C 落在 AB 邊上的點 E
1
處，折痕為 AD ，若 ADE = C ，則BD的長是 ．
2
4．如圖，已知DF、EF 分別是 ADE、 AED的平分線，BC 過點 F 且BC∥DE，VABC 的周長是9cm，
DE = 7cm ，則VADE 的周長是 cm．
5．如圖，在VABC 中，BA = BC ，BD ^ AC ．
(1)求證△ABD≌△CBD
(2)若DE∥BC 交BA于 E， AC = 4， BC = 5 ，求△AED 的周長．
題型 03 根據等腰三角形的性質證明
1．如圖，在VABC 中， BAC = 75°， ACB = 35°， ABC 的平分線BD交邊 AC 于點D，E 為BC 的中點，
連接DE ．
(1)求證：△BCD為等腰三角形．
(2)求 EDC 的度數．
2．如圖，在VABC 中， ABC 的平分線交 AC 于點D，過點D作DE∥BC 交 AB 于點E ．
(1)求證：BE = DE ；
(2)若 A = 76°， C = 36°，求 BDE 的度數．
3．如圖，在VABC 中， AB = AC ， AD 為VABC 的角平分線，以點 A 圓心， AD 長為半徑畫弧，與 AB，AC
分別交于點 E，F，連接DE，DF ．
(1)求證：△ADE≌△ADF ；
(2)若 BAC = 88°，求 BDE 的度數．
4．如圖，在VABC 中，點E 是BC 邊上的一點，連接 AE ，BD垂直平分 AE ，垂足為F ，交 AC 于點D，
連接DE ．
(1)若VABC 的周長為 18，VDEC 的周長為 6，求 AB 的長；
(2)若 ABC = 29°， C = 47°，求 CAE 度數．
5．如圖，在VABC 中，VABC 的周長為18，BC = 7，BD平分 ABC ，CD平分 ACB ，過點D作直線平
行于BC ，交 AB ， AC 于點E ，F ．
(1)求證：△DFC 是等腰三角形；
(2)求△AEF 的周長．
題型 04 等腰三角形的存在性問題
1．如圖所示的正方形網格中，網格的交點稱為格點，已知 A，B 是兩格點，如果 C 也是圖中的格點，且使
得VABC 為等腰三角形，則符合條件的點C 的個數是（　　）
A．6 B．7 C．8 D．9
2．在平面直角坐標系中，點A 的坐標是 2,0 ，點 B 的坐標是 0,3 ，以 AB 為腰作等腰三角形 ABC ，且點C
在坐標軸上，則滿足條件的C 點個數為（ ）
A．3個 B． 4個 C．5個 D．6 個
3．如圖，等邊VABC 的邊長為 4cm ，點 Q 是 AC 的中點，若動點 P 以 2cm /秒的速度從點 A 出發沿 A B A
方向運動設運動時間為 t 秒，連接 PQ，當△APQ 是等腰三角形時，則 t 的值為 秒．
4．如圖所示的正方形網格中，網格線的交點稱為格點，已知 A，B 是兩格點，隨機選取另一個格點 C （不
與 A，B 重合） ， 得到的VABC 為等腰直角三角形的點 C 的個數為 ．
5．如圖，在VABC 中， AB = AC = 4， B = C = 50°，點 D 在線段BC 上運動（D 不與 B，C 重合），連接
AD ，作 ADE = 50°，DE 交線段 AC 于 E．
(1)當DC 等于多少時，VABD≌VDCE，請說明理由；
(2)在點 D 的運動過程中，請求出當 BDA等于多少度時VADE 的形狀是等腰三角形．
題型 05 根據等邊三角形的性質求角度
1．如圖，已知等邊VABC 中，BD = CE ， AD 與 BE 相交于點 P ，則 APE的度數是（　　）
A．30° B． 45° C．60° D．75°
2．如圖，已知等邊三角形 ABC ，點D為線段BC 上一點，△ADC 沿 AD 折疊得VADE ，連接 BE ，若
ADB = 70°，則 DBE 的度數是（ ）
A．10° B． 20° C．30° D． 40°
3．如圖，在等邊VABC 中，BD平分 ABC ，BD = BF ，則 CDF 的度數是 度．
4．如圖，已知VABC 是等邊三角形，BC = BD ， CBD = 80° ，則 1的度數是 ．
5．如圖，VABC 為等邊三角形，即D，E 分別是BC ， AC 上的點，且 AE = CD ．
(1)求證： AD = BE ；
(2)求 AFB的度數．
題型 06 根據等邊三角形的性質求長度
1．如圖，在等邊VABC 中，BD平分 ABC 交 AC 于點 D，過點 D 作DE ^ BC 于點 E，且CE =1.5，則 AB
的長為（　　）
A．3 B．4.5 C．6 D．7.5
2．如圖，在等邊VABC 中，點 E 是 AC 邊的中點，點 P 是VABC 的中線 AD 上的動點，且 AD = 9 ，則EP + CP
的最小值是（ ）
A．12 B．9 C．6 D．3
3．如圖，若VABC 是等邊三角形， AB = 6，BD是 AC 邊上的高，延長BC 到 E，使CE = CD，則 BE 的長
為 ．
4．如圖，在Rt△CEF 中， E = 90°，點 A 是CE上一點， AB CF 交EF 于點 B，且 AB = AC ，過點 B 作
BD ^ CF 于點 D，連接CB ，若CD = 8, BD = 3，則VABE 的周長為 ．
5．如圖，在等邊三角形 ABC 中，點 D，E 分別在邊BC ，AC 上，且DE∥ AB ，過點 E 作EF ^ DE，交BC
的延長線于點 F．
(1)求 F 的度數；
(2)若CD = 2，求 的長．
題型 07 根據等邊三角形的性質證明
1．如圖，在VADB中， ADB = 60°，DC 平分 ADB，交 AB 于點C ，且DC ^ AB ，過C 作CE DA交DB
于點E ，連接 AE ．
(1)求證：VADB是等邊三角形．
(2)求證： AE ^ DB．
2．如圖，在四邊形 ABCD中， AB = AD =11．CB = CD ， A = 60°，點 E 在邊 AD 上，連接BD，CE相交
于點 F，且CE∥ AB ．
(1)求證：VEDF 是等邊三角形；
(2)若CE = 8，求DE 的長．
3．如圖，在等邊三角形 ABC 中，點D，E 分別在邊BC ，AC 上，且DE∥AB，過點E 作EF ^ DE，交BC
的延長線于點F ．
(1)求證：CE = CF ；
(2)若CD = 2，求DF 的長．
4．如圖，等腰VABC 中，CA = CB = 4， ACB =120° ，點D在線段 AB 上運動 (不與A ，B 重合 ) ，將VCAD
與△CBD分別沿直線CA，CB 翻折得到VCAP 與△CBQ ．
(1)求證：CP = CQ ；
(2)求 PCQ 的度數；
(3)當點D是 AB 的中點時，判斷VDPQ 是何種三角形，并說明理由．
5．如圖，已知△ABD 和VBCE 是等邊三角形，且 A、B、C 三點共線，連接 AE、CD ，交于點F ．
(1)求證：VABE≌VDBC ；
(2)求證：FA = FB + FD．
題型 08 等邊三角形的存在性問題
1．如圖，O 是射線CB 上一點， AOB = 60°,OC = 6cm，動點 P 從點 C 出發沿射線CB 以2cm / s的速度運
動，動點 Q 從點 O 出發沿射線OA以1cm/s的速度運動，點 P，Q 同時出發，設運動時間為 t s ，當△POQ
是等腰三角形時，t 的值為（ ）
A．2 B．2 或 6 C．4 或 6 D．2 或 4 或 6
2．如圖， AOB = 60°，C 是BO延長線上的一點，OC = 8cm，動點 P 從點 C 出發沿CB 以3cm s的速度移
動，動點 Q 從點 O 出發沿OA以 2cm s的速度移動，如果點 P、Q 同時出發，用 t(s)表示移動的時間，當 t
為（ ）s 時，△POQ 是等腰三角形．
8 8 8
A． B．6 C． 或 6 D． 或 8
5 5 5
3．如圖，已知等邊三角形 ABC 的邊長為12cm，有一點 P 從點A 出發沿 A B C A的方向以 4cm / s 的
速度勻速移動，另有一點Q從點 B 出發沿B C A B 的方向以6cm / s 的速度勻速移動，若點 P 、Q同
時出發，經過 秒后，兩點第 2次同時到達等邊三角形的同一頂點．
4．如圖，在VABC 中， A = 90°, B = 30°, AC = 6厘米，點D從點A 開始以 1 厘米/秒的速度向點C 運動，
點E 從點C 開始以 2 厘米秒的速度向點 B 運動，兩點同時運動，當運動時間為 秒時，VDEC 是等邊三
角形．
5．小明同學發現這樣一個規律：兩個頂角相等的等腰三角形，如果具有公共的頂角的頂點，并把它們的底
角頂點連接起來則形成一組全等的三角形，小明把具有這個規律的圖形稱為“手拉手”圖形．
(1)【問題發現】如圖 1，若VABC 和VADE 均是頂角為 40°的等腰三角形，BC、DE 分別是底邊，可以由
________（三角形全等判定原理），得△ABD≌△ACE ，進而得到BD = CE ；
(2)【拓展探究】如圖 2，若VABC 和VCDE均為等邊三角形，點 A、D、E 在同一條直線上，連接 BE ，求 AEB
的度數．
1．如圖，VABC 是等邊三角形， AD 是BC 邊上的高，點 E 是 AC 邊的中點，點 P 是 AD 上的一個動點，當
PC + PE 最小時，∠ CPE 的度數是（ ）．
A．30° B． 45° C．60° D．90°
2．如圖，VABC 是邊長為 1 的等邊三角形，D，E 分別是邊 AB ，AC 上的兩點，將VADE 沿直線DE 折疊，
點A 落在 A 處，則陰影部分圖形的周長為（ ）
A．1.5 B．2 C． 2.5 D．3
3．如圖，已知 MON = 30°，點 A1, A2 , A3L在射線ON 上，點B1, B2 , B3L在射線OM 上，△A1B2 A2 、
△A2B2 A3 、△A3B3 A4 …均為等邊三角形，若OA1 =1，則VA6B6 A7 的邊長為（ ）
A．32 B．510 C．256 D．64
4．如圖，VABC 是邊長為 a 的等邊三角形，BD = CD，且 BDC =120°，以 D 為頂點作一個60°角，使其
兩邊分別交 AB 于點 M．交 AC 于點 N，連接MN ，則VAMN 的周長是（　　）
A．a B． 2a C．3a D．不能確定
5．如圖，C 為線段 AE 上一動點（不與點A ， E 重合），在 AE 同側分別作正三角形 ABC 和正三角形CDE ，
AD 與 BE 交于點O， AD 與 BC 交于點G ， BE 與CD交于點 F ．以下幾個結論：① AD = BE ；② AG = BF ；
③VDGC≌VEFC ；④ AOB = 60°，⑤ BAD = ODC ，恒成立的有（ ）
A．2 個 B．3 個 C．4 個 D．5 個
6．如圖，VABC 是等邊三角形，點D是BC 下方的一點， BDC =120°，BD = CD，點E 和點F 分別是 AC
和 AB 上一點， EDF = 60°．若VABC 的周長為 12，則△AEF 的周長為（ ）
A．5 B．6 C．8 D．9
7．如圖，BD是等邊VABC 的邊 AC 上的高，以點 D 為圓心，DB長為半徑作弧交BC 的延長于點 E，則
DEC = ．
8．如圖，VABC 和VDEF 都是等邊三角形，且點 D，E，F 分別在邊 AB ，BC ， AC 上，若VABC 的周長
為 12， AD =1，則EC = ．
9．如圖，等邊三角形 ABC 的邊 AB 上有一點 P，過點 P 作PE ^ AC 于點 E，Q 為BC 延長線上一點，當 AP = CQ
時， PQ交 AC 于點 D，若DE = 2，則BC = ．
10．如圖，VABC 和VBDE 都是等邊三角形，A、B、D 三點共線．下列結論：① AE = CD ；② AF = CG；③
AHC = 60°；④ AD ∥ FG ．其中正確的有 （只填序號）．
11．如圖，VABC 為等邊三角形，其邊長為9cm,△BCD是等腰三角形， BDC =120°，在 AB 上有一動點
E ，連接DE ，在 AC 上有一點F ，使得DF 與DE 的夾角為60°，連接EF ，則△AEF 的周長為 cm．
12．如圖，在VABC 中， AB = 30cm, AC = 20cm，以BC 為邊作等邊三角形BCD，連接 AD ，則 AD 的最大
值與最小值的和為 cm．
13．如圖， A = B ， AE = BE ，點D在 AC 邊上， 1 = 2， AE 與BD相交于點O．
(1)求證：△AEC ≌△BED；
(2)若 2 = 40°，求 BDE 的度數．
14．如圖， AB = AC =10， A = 40° ， AB 的垂直平分線MN 交 AC 于點D，求：
(1) ABD 的度數；
(2)若△BCD的周長是16，求BC 的長．
15．如圖，VABE 和VACD都是等邊三角形，VEAC 旋轉后能與△ABD 重合， EC 與BD相交于點 F．
(1)試說明VAEC ≌VABD．
(2)求∠DFC 的度數．
16．如圖，已知VABC 為等邊三角形，D為BC 延長線上的一點， 平分 ACD，CE = BD，
(1)求證：△ADB≌△AEC ；
(2)若BC = CD 時，求 BDE 的度數．
17．如圖，點 O 是等邊VABC 內一點，連接OC 作等邊VOCD，連接 、OA、OB ， AOB =110°，
BOC = a ．
(1)求證：VBOC≌VADC ；
(2)當a =150°時，試判斷△AOD的形狀，并說明理由；
(3)探究：當a 為多少度時，△AOD是等腰三角形．
18．在VABC 中， AB = AC ，點 D 是射線 BC 上一點（不與 B，C 重合），以 AD 為一邊在 AD 的右側作
VADE ，使 AD = AE, DAE = BAC ，連接CE．
(1)如圖①，若VABC 是等邊三角形，且 AB = AC = 2，點 D 在線段BC 上．
①求證： BCE + BAC =180°；
②當四邊形 ADCE 的周長取最小時，求BD的長．
(2)若 BAC 60°，當點 D 在線段BC 的延長線上移動時，如圖②， BCE 和 BAC 之間有怎樣的數量關
系？并說明理由．

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