資源簡介

3.1.2 橢圓的簡單幾何性質 12 題型分類
一、橢圓的簡單幾何性質
焦點的位置 焦點在 x 軸上 焦點在 y 軸上
圖形
x2 y2 y2 x2
標準方程 ＋ ＝1(a>b>0) ＋ ＝1(a>b>0)
a2 b2 a2 b2
范圍 －a≤x≤a，－b≤y≤b －b≤x≤b，－a≤y≤a
A1(－a，0)，A2(a，0)， A1(0，－a)，A2(0，a)，
頂點
B1(0，－b)，B2(0，b) B1(－b，0)，B2(b，0)
軸長 短軸長＝2b，長軸長＝2a
焦點 (± a2－b2，0) (0，± a2－b2)
焦距 |F1F2|＝2 a2－b2
對稱性 對稱軸：x 軸、y 軸　對稱中心：原點
c
離心率 e＝ ∈(0,1)
a
二、直線與橢圓的位置關系
x2 y2
直線 y＝kx＋m 與橢圓 ＋ ＝1(a>b>0)的位置關系的判斷方法：
a2 b2
{y＝kx＋m，聯立 x2 y2 消去 y 得到一個關于 x 的一元二次方程．2＋ 2＝1.a b
直線與橢圓的位置關系、對應一元二次方程解的個數及 Δ 的關系如表所示．
直線與橢圓 解的個數 Δ
兩個不同的公共點 兩解 Δ>0
一個公共點 一解 Δ＝0
沒有公共點 無解 Δ<0
（一）
橢圓的簡單幾何性質
用標準方程研究幾何性質的步驟
(1)將橢圓方程化為標準形式．
(2)確定焦點位置．(焦點位置不確定的要分類討論)
(3)求出 a，b，c.
(4)寫出橢圓的幾何性質．
題型 1：研究橢圓的簡單幾何性質
1-1 2024 · · x
2 y2
．（ 高二上 全國 課后作業）橢圓 + =1的焦距為 4，則 m 的值為 ．
m 6
【答案】10 或 2
【分析】討論橢圓中的 a2 ,b2的取值，結合 a,b,c之間的關系，即可求得答案.
x2 y2
【詳解】橢圓 + =1的焦距為 4，即 2c = 4,c = 2
m 6
當 a2 = m,b2 = 6時，m - 6 = 4,\m =10；
當 a2 = 6,b2 = m時，6 - m = 4,\m = 2 ；
故 m 的值為 10 或 2，
故答案為：10 或 2
1-2．（2024 高二上·浙江湖州·期末）橢圓 4x2 + 49y2 =196的長軸長、短軸長、離心率依次是（ ）
A 7,2, 3 5 B 14,4, 5 C 7,2, 5． ． ． D．14,4, 3 5
7 7 7 7
【答案】D
【分析】把方程化為標準方程后得 a,b,c，從而可得長軸長、短軸長、離心率．
x2 y2
【詳解】由已知，可得橢圓標準方程為 + =1，
49 4
則 a = 7，b = 2 ， c = 49 - 4 = 3 5 ，
所以長軸長為 2a =14 c 3 5、短軸長為 2b = 4、離心率為 e = = .
a 7
故選：D.
2 2 2 2
1-3．（2024 高二下· · x y x y上海楊浦 期中）橢圓 + =1與橢圓 + =1 m < 9 的（ ）
9 25 9 - m 25 - m
A．長軸相等 B．短軸相等 C．焦距相等 D．長軸、短軸、焦距均不相等
【答案】C
【分析】分別求出兩個橢圓的長軸長、短軸長和焦距即可判斷．
x2 y2 y2 x2
【詳解】橢圓 + =1即 + =1，則此橢圓的長軸長為 10，短軸長為 6，焦距為 2 25 - 9 = 8；
9 25 25 9
x2 y2 2 2
橢圓 + =1 m y x< 9 即 + =1，因為 25 - m > 9 - m > 0 ，
9 - m 25 - m 25 - m 9 - m
則此橢圓的長軸長為 2 25 - m ，短軸長為 2 9 - m ，焦距為 2 25 - m - 9 - m = 8 ,
故兩個橢圓的焦距相等．
故選：C．
題型 2：由幾何性質求標準方程
1
2-1．（2024 高二上·全國·課后作業）已知橢圓的對稱軸是坐標軸，離心率為 ，長軸長為 12，則橢圓方程為
3
（ ）
x2 y2 x2 y 2A． + = 1 B． + = 1
4 6 6 4
x2 y2 x2 y2 x2 2C y． + =1或 + =1 D． + =1
36 32 32 36 36 32
【答案】C
【分析】根據長軸長以及離心率，可求出 a = 6， c = 2，再由b2 = a2 - c2 ，進而可求出結果.
c 1
【詳解】由題意知， 2a =12， = ，所以 a = 6， c = 2a 3 ，
∴ b2 = a2 - c2 = 32，
又因為橢圓的對稱軸是坐標軸，則焦點可能在 x 或 y 軸上.
x2 y2 2 2∴橢圓方程： + =1 x y或 + =1
36 32 32 36
故選：C
2-2．（2024 高三·全國·課后作業）過點 3,2 且與橢圓3x2 + 8y2 = 24 有相同焦點的橢圓方程為（ ）
x2 y2 x2 y2 x2 y2 2 2A． + =1 B． + =1 C． + =1 D x y． + = 1
5 10 10 15 15 10 10 5
【答案】C
ì 9 4
x2 y2 + =1
【分析】根據橢圓3x2 + 8y2 = 24 化為標準方程 + =1，故焦點為 (± 5,0) ，由題意可得 ía2 b2 ，解
8 3 a
2 - b2 = 5
方程即可得解.
3x2 + 8y2 = 24 x
2 y2
【詳解】由 化簡可得 + =1，
8 3
焦點為 (± 5,0) 在 x 軸上，
2 2
同時又過 3,2 x y點，設 2 + 2 =1，a b
ì 9 4
2 + 2 =1有 ía b ，解得 a2 =15,b2 =10 ，
a
2 - b2 = 5
故選：C
2-3．（2024 高二·全國·課后作業）過點 (3, -2)且與橢圓 4x2 + 9y2 = 36有相同焦點的橢圓的標準方程是（ ）．
2 2 2 2
A x y x y． + =1 B．
15 10 152
+
102
=1
x2 y2 x2C y
2
． + =1 D． 2 + 2 =110 15 10 15
【答案】A
x2 y2
【分析】首先將方程化為標準式，即可求出焦點坐標，設所求橢圓方程為 + =1(m > n > 0) ，由焦點的
m n
坐標和點 (3, -2)在橢圓上建立關于m 、 n 的方程組，解之即可得到m 、 n 的值，從而得到所求橢圓的方程．
2 2
【詳解】解：因為橢圓 4x2 + 9y2 = 36 x y，即 + =1，
9 4
\a2 = 9，b2 = 4 ，可得 c = 9 - 4 = 5 ，橢圓的焦點為 ± 5,0 ，
ìm - n = 5
x2 y2 ìm =15
設橢圓方程是 + =1(m > n > 0) ，則 í32 (-2)2 ，解得 í
m n + =1 n =10 m n
\ x
2 y2
所求橢圓的方程為 + =1.
15 10
故選：A．
2 2
2-4 x y．（2024 高二上·廣東江門·期中）已知橢圓焦點在 x 軸，它與橢圓 + =1有相同離心率且經過點
4 3
2, - 3 ，則橢圓標準方程為 .
x2 y2
【答案】 + = 1
8 6
x2 y2 x2 y2
【分析】設所求橢圓方程為 2 + 2 =1 m > n > 0 ，根據橢圓 + =1
n 3
的離心率得到 = ，又 2, - 3
m n 4 3 m 2
4 3
在橢圓上得到 + =1，求出m, n2 可得答案.m n2
x2 y2 2
+ =1 e c a - b
2 2
1 b 1 3 1【詳解】橢圓 的離心率為 = = = - 2 = - = ，4 3 a a a 4 2
x2 y2
設所求橢圓方程為 2 + 2 =1 m > n > 0 ，m n
n 2 21- 1 n 3 n 3則 ÷ = ，從而m 4 m ÷
= ， = ，
è è 4 m 2
4 3
又 2 + =1，∴ m
2 = 8,n2 = 6，
m n2
x2∴ y
2
所求橢圓的標準方程為 + = 1 .
8 6
2 2
故答案為： x y+ = 1 .
8 6
題型 3：點和橢圓的位置關系
2 2
3-1．（2024 x y高二上·全國·課后作業）若點 3,2 在橢圓 2 + 2 =1上，則下列說法正確的是（ ）a b
A．點 -3, -2 不在橢圓上 B．點 3, -2 不在橢圓上
C．點 -3,2 在橢圓上 D．無法判斷上述點與橢圓的關系
【答案】C
【分析】根據橢圓的對稱性可判斷.
【詳解】點 -3, -2 與點 3,2 關于原點對稱，
點 3, -2 與 3,2 關于 x 軸對稱，
點 -3,2 與 3,2 關于 y 軸對稱，
3,2 x
2 y2
若點 在橢圓 + =1上，根據橢圓的對稱性， -3, -2 ， 3, -2 ， -3,2 2 2 三點都在橢圓上，a b
故選：C
2 2
3-2．【多選】（2024 高二上· · x y全國 課后作業）已知點(3,2)在橢圓
a2
+ 2 =1上，則下列各點一定在該橢圓上的b
是（ ）
A． -3, -2 B． 3, -2 C． -3,2 D． 2,3
【答案】ABC
【分析】根據橢圓的對稱性求得結果.
【詳解】由橢圓關于 x 軸， y 軸，原點對稱可知，只有點(2，3)不在橢圓上．
故選：ABC.
2 2
3-3．（2024 高二上·四川廣安·階段練習）點 A a,1 x y在橢圓 + =1的外部，則 a 的取值范圍是（ ）
4 2
A． - 2, 2 B． - , - 2 2,+
C． -2,2 D． -1,1
【答案】B
【分析】根據點在橢圓外部得不等式，解不等式得結果.
2 2
【詳解】因為點 A a,1 x y在橢圓 + =1的外部，
4 2
a2 1
所以 + > 1 ,解得 a (- ，- 2) U ( 2，+ ) ,
4 2
故選：B.
2 2
3-4．【多選】（2024 高二上·全國·課后作業）點 A a,1 x y在橢圓 + =1的內部，則 a的值可以是（ ）
4 2
A．- 2 B．-1 C．1 D． 2
【答案】BC
【分析】由點與橢圓的位置關系得出 a的值.
a2 1
【詳解】由題意知 + <1，解得- 2 < a < 2 ．
4 2
故選：BC
（二）
求橢圓的離心率
求橢圓離心率及取值范圍的兩種方法
c
(1)直接法：若已知 a，c 可直接利用 e＝ 求解．若已知 a，b 或 b，c 可借助于 a2＝b2＋c2求出
a
c
c 或 a，再代入公式 e＝ 求解．
a
(2)方程法：若 a，c 的值不可求，則可根據條件建立 a，b，c 的關系式，借助于 a2＝b2＋c2，
轉化為關于 a，c 的齊次方程或不等式，再將方程或不等式兩邊同除以 a 的最高次冪，得到關
于 e 的方程或不等式，即可求得 e 的值或取值范圍．
題型 4：求橢圓的離心率
2 2
4-1．（2024 x y高二下·浙江溫州·期末）已知橢圓C : 2 + 2 =1 a > b > 0 的左頂點為A ，上頂點為 B ，O為坐a b
標原點，橢圓上的兩點M xM, y M ，N xN , y N 分別在第一，第二象限內，若VOAN 與VOBM 的面積相等，
2 2 2
且 xM + xN = 3b ，則橢圓C 的離心率為 .
6 1
【答案】 / 6
3 3
x2 22 2 2 y
【分析】由三角形面積相等得到 ayN = bx N N 2M ，結合 xM + xN = 3b ， 2 + 2 =1得到 a = 3b
2，從而求出離心率.
a b
1
【詳解】由題意得 SVOAN = OA
1
× yN = ay , S
1 1
N VOBM = OB × x = bx ，2 2 2 M 2 M
1 1
故 ay = bx ， ay = bx
2 N 2 M N M
a 22
又 x + x2 = 3b2 ，將 x = y a代入可得 y2M N M N + x2 = 3b2
2 2 2 2 4
，即 a y + b x = 3b ，
b b2 N N N N
x2 2 2
又 N
y
+ N =1 b 2 62 2 ，故 a
2 = 3b2，離心率 e = 1- 2 = = .a b a 3 3
6
故答案為：
3
2 2
4-2 x y．（2024·河南新鄉·模擬預測）已知橢圓C : M , N y
a2
+
b2
=1(a > b > 0) 的左頂點為A ，點 是橢圓C 上關于
2
軸對稱的兩點.若直線 AM , AN 的斜率之積為 ，則C 的離心率為（ ）
3
1
A 3 2 3． B． C． D．
2 2 2 3
【答案】D
y2 20 2 b 2
【分析】設M (x0 , y0 )，則 N (-x0 , y0 )，得到 kAM kAN = a2 - x2
= ，由橢圓的方程，得到 ，結合
0 3
=
a2 3
c 2e = = 1 b- ，即可求解.
a a2
【詳解】由題意，橢圓C 的左頂點為 A(-a,0) ，
因為點M , N 是橢圓C 上關于 y 軸對稱的兩點，可設M (x0 , y0 )，則 N (-x0 , y0 )，
2
所以 k
y
= 0 ,k y= 0 k k y0 y y 2AM = × 0 = 0 =x + a AN a - x ，可得 AM AN 2 2 ，0 0 x0 + a a - x0 a - x0 3
x20 y
2 b2 (a2 - x2
又因為 0 2 0
)
a2
+ =1，即 y
b2 0
= 2 ，a
b2 2 2
= c b 2 3代入可得 2 ，所以離心率為 e = = 1- .a 3 a a2
= 1- =
3 3
故選：D.
x2 y24-3．（2024·海南海口·模擬預測）已知F1，F2分別是橢圓C ： 2 + 2 =1（ a > b > 0）的左，右焦點，P 是Ca b
上的一點，若3 PF1 = 2 F1F2 ，且 PF1F2 = 60°，則C 的離心率為（ ）
A 3- 5． B． 2 - 3 C． 7 - 2 D．3- 2 2
2
【答案】C
【分析】應用余弦定理結合橢圓的定義求離心率即可.
【詳解】在VPF2F1中， PF1F2 = 60°，
設 F1 -c,0 PF
4c
，由題意知 1 = , F3 1
F2 = 2c ，
PF 2 4c2 16 2 4 1 28 2 2 7由余弦定理得 2 = + c - 2 2c c = c ,9 3 2 9 \ PF2 = c
，
3
3
由橢圓定義知 2a = PF1 + PF
4 + 2 7
2 = c ，則離心率 e = = 7 - 2 .3 2 + 7
故選:C.
2 2
4-4．（2024 高二下· x y廣東深圳·期末）已知橢圓C :
a2
+
b2
=1(a > b > 0) 的右焦點為F ，過原點的直線 l與C 交
于 A, B兩點，若 AF ^ BF ，且 AF = 3 BF ，則C 的離心率為（ ）
A 10
2 1
． B 10． C． D．
4 5 5 3
【答案】A
【分析】設橢圓的左焦點為F1，由橢圓的對稱性可得四邊形 AFBF1為矩形，再根據橢圓的定義求出
AF1 , AF ，再利用勾股定理構造齊次式即可得解.
【詳解】如圖，設橢圓的左焦點為F1，
由橢圓的對稱性可得 AF1 = BF , BF1 = AF ，
所以四邊形 AFBF1為平行四邊形，
又 AF ^ BF ，所以四邊形 AFBF1為矩形，所以 AF1 ^ AF ，
由 AF = 3 BF ，得 AF = 3 AF1 ，
AF + AF = 2a AF a 3a又 1 ，所以 1 = , AF = ，2 2
在RtVAFF1 中，由 AF
2
1 + AF
2 = FF 21 ，
a2 9a2 4c2 5a
2
+ = = 4c2 c 10得 ，即 ，所以 = ，
4 4 2 a 4
10
即C 的離心率為 .
4
故選：A.
2
4-5 x y
2
．（2024·遼寧遼陽·二模）已知橢圓C : 2 + 2 =1 a > b > 0 的右焦點為F ，過坐標原點O的直線 l與橢圓Ca b
uuur uuur
交于P,Q
2 3
兩點，點 P 位于第一象限，直線PF 與橢圓C 另交于點A ，且PF = FA，若 cos AFQ = ，
3 5
FQ = 2 FA ，則橢圓C 的離心率為（ ）
A 3． B 10． C 3． D 5．
4 5 3 4
【答案】B
3 a
【分析】設橢圓C 的左焦點為F ，由橢圓的定義結合題意可得出 PF = a, PF = ，再由余弦定理求解即
2 2
可得出答案.
【詳解】如圖，設橢圓C 的左焦點為F ，連接PF ,QF ，所以四邊形PFQF 為平行四邊形．
設 PF = m ，則 PF = 2a - m = QF ．
uuur 2 uuur 3
因為PF = FA，所以 FA = m ，
3 2
又因為 QF = 2 FA
a
，所以 2a - m = 3m，所以m = ．
2
3 a 3
在VPFF 中， PF = a, PF = , FF = 2c, cos FPF = cos AFQ = ，
2 2 5
2
由余弦定理得 FF = PF 2 + PF 2 - 2 PF PF cos F PF ，
4c2 9 a2 1 a2 3a a 3所以 = + - 2 10，所以 e = ．4 4 2 2 5 5
故選：B.
題型 5：求橢圓的離心率的取值范圍
x2 y25-1．（2024·陜西西安·一模）已知橢圓 2 + 2 =1(a > 0,b > 0)上一點A ，它關于原點的對稱點為 B ，點F 為a b
π π
橢圓右焦點，且滿足 AF ^ BF ，設 ABF = a ，且a , ÷，則該橢圓的離心率的取值范圍是 .
è 6 3
é 2
【答案】 ê , 3 -1÷÷
2
【分析】通過幾何性質表達出該橢圓的離心率的函數，即可得出該橢圓的離心率的取值范圍.
【詳解】由題意，
x2 y2
在 2 + 2 =1(a > 0,b > 0)中，設左焦點為F1，A ，它關于原點的對稱點為 B ，點F 為橢圓右焦點，a b
∵ AF ^ BF ，
∴四邊形 AF1BF 為矩形，
∴ AB = F1F = 2c .
∵ ABF = a ，
∴ AF = 2csina , BF = 2ccosa ，
由橢圓的定義得 2a = 2csina + 2ccosa ，
e c 1 1= = =
∴ a sina + cosa 2sin a π+ . ÷
è 4
π π
∵a ,
è 6 3 ÷
a π 5π , 7π+ ∴ ÷，4 è 12 12
ù
∴ sin

a
π
+
2 + 6
4 ÷
,1ú，è è 4
é
∴ e
2
ê , 3 -1÷÷ .
2
é 2
故答案為： ê , 3 -12 ÷÷
.

5-2．（2024 高二下·湖南益陽·期末）若橢圓上存在點 P ，使得 P 到橢圓兩個焦點的距離之比為 2 :1，則稱該
橢圓為“倍徑橢圓”.則“倍徑橢圓”的離心率 e的取值范圍是（ ）
é 3 ù
A． ê ,1
3 é1 1ù
3 ÷
B． 0, 3 ú
C． ê ,1÷ D．3
0, ú
è è 3
【答案】C
【分析】根據條件設出 P 到橢圓兩個焦點的距離，再利用橢圓的定義及橢圓上的點到焦點距離的最值即可求
出結果.
【詳解】由題可設點 P 到橢圓兩個焦點的距離之分別 2m, m，
2
所以 2m + m = 2a ，得到m = a，
3
m 2 1 1又 a - c ，所以 a a - c ，得到 c a ，故 e <1.
3 3 3
故選：C.
q q é π , 5π ù
2 2
5-3．（2024· x y甘肅定西·模擬預測）過原點作一條傾斜角為 ê 的直線與橢圓6 6 ú ÷ 2 + =1 a > b > 0 è a b2
交于 A，B 兩點，F 為橢圓的左焦點，若 AF ^ BF ，則該橢圓的離心率 e 的取值范圍為 ．
é 2 6 ù
【答案】 ê , ú
2 3
【分析】分別討論直線 AB 的斜率是否存在，利用坐標運算即可求解橢圓的離心率 e 的取值范圍.
π
【詳解】當傾斜角q = 時，直線 AB 的斜率不存在，如圖則 A 0,b , B 0,-b ，又橢圓左焦點F -c,0
2
uuur uuur
若 AF ^ BF ，則 AF × BF = -c,-b × -c,b = c2 - b2 = 0 ，即b = c，
所以 a2 = b2 + c2 = 2c2 ，即 a = 2c
e c c 2所以橢圓的離心率 = = = ；
a 2c 2
é π π π 5π ù 3 ù é 3
當傾斜角為q ê , ÷ , 6 2 è 2 6 ú
，直線 AB 的斜率存在設為 k ，則 k - , - ú ê , + 3 3 ÷÷，è
2 2
設 A x0 , y0 ，則B -x0 , -y x，所以 0 y0 2 + 02 =1①，a b
uuur uuur
若 AF ^ BF ，則 AF × BF = -c - x0 ,-y0 × -c + x0 , y0 = c2 - x20 - y20 = 0 ②，
b4 c4 - b4
聯立①②，結合 a2 = b2 + c2可得 y20 = 2 , x
2
0 =c c2
，
b4
k y= 0
3 ù ék , 3
2 2 4
- - , + ÷ k 2
y
ú ê = 0 c
b 1
由 = = 2x ， ÷，所以 ，且 k ，0 è 3 3 x
2 c4 - b4 c4 - b40 3
c2
b4 1
所以 ，則 4b4 c44 4 > b
4 ，故 2b2 c2 > b2 ，
c - b 3
2
所以 2 a2 - c2 c2 > a2 - c2 1 c 2 2 c 6，即 < 2 ，故 < e = 2 a 3 2 a 3
é 2 6 ù
綜上，橢圓的離心率 e 的取值范圍為 ê , .
2 3
ú

é 2 ù
故答案為： ê ,
6
.
2 3
ú

2 2
5-4．（2024 高二下·上海青浦·期末）點A 為橢圓C : x y2 + 2 =1(a > b >1)的右頂點， P 為橢圓C 上一點（不與a b
uuur uuur
A 重合），若PO × PA = 0（O是坐標原點），則橢圓C 的離心率的取值范圍是（ ）
1 2 3 2 A． ,12 ÷ B． ,1÷÷ C． ,1÷÷ D． 0,è è 2 è 2 è 2
÷÷

【答案】B
uuur uuur
【分析】設P x, y 0 < x < a ，由PO × PA = 0，得到 x2 + y2 - ax = 0 ，再與橢圓方程聯立得到
c2x - ab2 x - a = 0，再由點 P 的位置求解.
【詳解】解：設P x, y 0 < x < a ，
uuur uuur又O 0,0 , A a,0 ，且PO × PA = 0，
則 x2 + y2 - ax = 0 ，與橢圓方程聯立 c2x2 - a3x + a2b2 = 0，
2
即 c2x - ab2 x - a = 0 ab，解得 x = a或 x = 2 ，c
ab2
則0 < < a ，即b22 < c
2 ，
c
c 2 2
即 > ，則 < e <1，
a 2 2
故選：B
題型 6：由橢圓的離心率求參數
2 2 1
6-1．（2024 高二上·重慶沙坪壩· x y期末）已知橢圓 + =1的離心率 e = ，則 k 的值可能是（ ）
k + 5 9 3
41 7
A．3 B．7 C．3 或 D．7 或
8 4
【答案】C
【分析】根據給定的方程，按焦點位置分類求解作答.
x2 y2 1
【詳解】橢圓 + =1的離心率 e = ，
k + 5 9 3
e2 (k + 5) - 9 1 k 41當橢圓焦點在 x 軸上時， k + 5 > 9，即 k > 4， = = ，解得 = ，
k + 5 9 8
2 9 - (k + 5) 1
當橢圓焦點在 y 軸上時，0 < k + 5 < 9，即-5 < k < 4， e = = ，解得 k = 3，
9 9
41
所以 k 的值可能是 3 或 .
8
故選：C
x2 x26-2．（2024·全國）設橢圓C1 : + y
2
2 = 1(a > 1),C
2
2 : + y = 1的離心率分別為 e1,e2 ．若 e a =a 4 2
= 3e1，則
（ ）
A 2 3． B． 2 C． 3 D． 6
3
【答案】A
【分析】根據給定的橢圓方程，結合離心率的意義列式計算作答.
4 -1 a22 2 -1 2 3
【詳解】由 e2 = 3e1，得 e2 = 3e1 ，因此 = 3 ，而 a >1，所以 a = .4 a2 3
故選：A
2 2 2 2
6-3．（2024 高三下·上海松江· x y x y階段練習）設 a > b > 0，橢圓 2 + 2 =1的離心率為 ea b 1
，雙曲線 2 - =1b a2 - 2b2
a
的離心率為 e2，若 e1e2 <1，則 的取值范圍是 .b
1+ 5
【答案】 2, 2 ÷÷è
【分析】先判斷橢圓與雙曲線共焦點，再由 e1e2 <1結合 a2 - 2b2 > 0 求解可得.
【詳解】記橢圓，雙曲線的半焦距分別為 c1,c2，
2
由題意知橢圓的 c1 = a
2 - b2 c2 = b2 + a2 2，雙曲線的 2 - 2b = a
2 - b2 ，則橢圓與雙曲線共焦點，
2
設 c1 = c = c
c c c
2 ，則 e1 = ,e = ,\e e = ，a 2 b 1 2 ab
Qe1e2 <1
c2 a2 - b2 a b a 1
\ = = - <1 1+ 5 a 1+ 5，設 = t > 0 ，則 t - <1，解得 ，即 ，
ab ab b a b
0 < t <
t 0 < <2 b 2
2 2 a b 0, a a
1+ 5
又Qa - 2b > 0，且 > > \ > 2 ，故 的取值范圍是 2, ÷ .b b ÷è 2

故答案為： 2,
1+ 5
è 2
÷÷

2 2
6-4．（2024 高二上·全國·專題練習）橢圓C : x y+ =1(a > b > 0) 的左、右焦點分別是F1, F
1
2 2 2 ，斜率為 的直a b 2
é1 3l ù線 過左焦點F1且交C 于 A，B 兩點，且△ABF2 的內切圓的周長是 2π，若橢圓的離心率為 e ê , ，則線 2 4 ú
段 AB 的長度的取值范圍是
é8 5 ù
【答案】 ê , 4 5
3
ú

【分析】設 A(x1, y1), B( x2, y2)
1 1
,利用三角形內切圓面積計算可得 4a r = 2c y1 - y2 2 2
，化簡得
2a 2 y y é8y - y = = - 4ù1 2 ，由離心率范圍求得c e 1 2
，
ê3 ú
，再利用弦長公式即可求得答案.

【詳解】如圖示，由橢圓定義可得 | AF1|+|AF2 |=2a,| BF1|+|BF2 |=2a ,
則△ABF2 的周長為 4a,設 A(x1, y1), B( x2, y2)，
設△ABF2 內切圓半徑為 r ，△ABF2 的內切圓的周長是 2π，
故 2π=2πr,\r =1 ，
1
由題意得 4a
1
r = 2c y1 - y2 ，2 2
y y 2a 2
1 3 8
得 1 - 2 = = ，由于 e
é , ù é ùê 2 4 ú ，故
y1 - y2 ê , 4 ，c e 3 ú
1 1 é8 5 ù
所以由 AB = 1+ y - y ,k = 可得 AB = 5 y1 - y2 ê , 4 5k 2 1 2 3
ú ，
2
é8 5 ù
故答案為： ê , 4 53 ú
（三）
直線與橢圓的位置關系
x2 y2
直線 y = kx + m 與橢圓 2 + 2 =1(a > b > 0)的位置關系：a b
ìy = kx + m,

聯立 í x2 y2 消去 y 得一個關于 x 的一元二次方程．
2 + =1, a b2
位置關系 解的個數 D的取值
相交 兩解 D >0
相切 一解 D =0
相離 無解 D <0
注：直線與橢圓有無公共點或有幾個公共點的問題，實際上是研究它們的方程組成的方程組是
否有實數解或實數解的個數問題，此時要注意分類討論思想和數形結合思想的運用．
題型 7：判斷直線與橢圓的位置關系
2 2 x x y y
7-1．（2024 高二上·江西吉安· x y期末）已知過圓錐曲線 + = 1上一點P x , y 的切線方程為 0 + 0
m n o o
=1.
m n
x2 y2
過橢圓 + =1上的點 A 3, -1 作橢圓的切線 l，則過A 點且與直線 l垂直的直線方程為（ ）
12 4
A． x - y - 3 = 0 B． x + y - 2 = 0
C． 2x + 3y - 3 = 0 D．3x - y -10 = 0
【答案】B
【解析】根據題中所給的結論，求出過 A 3, - 1 的切線方程，進而可以求出切線的斜率，利用互相垂直的直
線之間斜率的關系求出過A 點且與直線 l垂直的直線的斜率，最后求出直線方程.
x2 y2
【詳解】過橢圓 + =1上的點 A 3, - 1 3x -y 的切線 l的方程為 + =1，即 x - y - 4 = 0 ，切線 l的斜率為
12 4 12 4
1.與直線 l垂直的直線的斜率為 -1，過A 點且與直線 l垂直的直線方程為 y +1 = - x - 3 ，即 x + y - 2 = 0 .
故選：B
【點睛】本題考查了求過點與已知直線垂直的直線方程，考查了數學閱讀能力，屬于基礎題.
2 2
7-2 x y．（2024·四川南充·一模）已知直線 kx - y + 2 = 0與橢圓 + =1恒有公共點，則實數 m 的取值范圍
9 m
（ ）
A． 4,9 B． 4, +
C． 4,9 9,+ D． 9, +
【答案】C
2 2
【分析】根據直線 kx - y + 2 = 0 x y所過定點以及方程 + =1表示橢圓來求得m 的取值范圍.
9 m
【詳解】直線 kx - y + 2 = 0過定點 0,2 ，
0 22
所以 + 1，解得m 4 ①.
9 m
x2 y2
由于方程 + =1表示橢圓，所以m > 0且m 9 ②.
9 m
由①②得m 的取值范圍是 4,9 9,+ .
故選：C
2 2
7-3．（2024 高二下·上海浦東新·期中）已知橢圓C : x y+ = 1，直線
25 9
l : m + 2 x - m + 4 y + 2 - m = 0(m R)，則直線 l 與橢圓 C 的位置關系為（ ）
A．相交 B．相切 C．相離 D．不確定
【答案】A
【分析】根據直線方程可得直線 l過定點 A 3,2 ，判斷點 A 3,2 與橢圓 C 的位置關系即可得結果.
【詳解】對于直線 l : m + 2 x - m + 4 y + 2 - m = 0，整理得m x - y -1 + 2 x - 2y +1 = 0，
ìx - y -1 = 0 ìx = 3
令 í
x - 2y +1
，解得 ，
= 0 í y = 2
故直線 l過定點 A 3,2 .
32 22∵ 181+ = <1，則點 A 3,2 在橢圓 C 的內部，
25 9 225
所以直線 l 與橢圓 C 相交.
故選：A.
7-4．（2024 高三·全國·對口高考）若直線 y = x -1與橢圓 x2 + 3y2 = a 有且只有一公共點，那么 a的值為（ ）
1 2 3
A． B． C． D．1
2 3 4
【答案】C
【分析】分析可知 a > 0，將直線方程與橢圓方程聯立，由D = 0可求得實數 a的值.
【詳解】因為方程 x2 + 3y2 = a 表示的曲線為橢圓，則 a > 0，
ìy = x -1
將直線 y = x -1的方程與橢圓的方程聯立， íx2 3y2 a ，可得 4x
2 - 6x + 3- a = 0 ，
+ =
則D = 36 - 4 4 3- a =16a -12 = 0 3，解得 a = .
4
故選：C.
（四）
求相交弦長問題
1.定義：連接橢圓上兩個點的線段稱為橢圓的弦．
2.求弦長的方法
（1）交點法：將直線的方程與橢圓的方程聯立，求出兩交點的坐標，然后運用兩點間的距離
公式來求．
（2）根與系數的關系法：如果直線的斜率為 k，被橢圓截得弦 AB 兩端點坐標分別為(x1，y1)，
(x2，y2)，則弦長公式為： AB = 1+k 2 x + x 21 2 - 4x1x2 = 1+
1
2 y1 + y
2
2 - 4y1 y2 ．k
題型 8：求直線與橢圓的相交弦長
2 2
8-1．（2024 x y 2高二上·青海西寧·期末）已知點 A 0, -2 ，橢圓E : 2 + 2 =1 a > b > 0 的離心率為 ，F 是橢a b 2
圓E 的右焦點，直線 AF 的斜率為 2，O為坐標原點．
(1)求橢圓 E 的方程：
(2)設過橢圓E 的左焦點且斜率為 k =1的直線 l與橢圓E 交于不同的兩M 、 N ，求 MN 的長．
2
【答案】(1) x + y2 =1
2
(2) 4 2
3
【分析】（1）由離心率得到 a = 2c ，再由直線 AF 的斜率求出 c，即可求出 a、b ，從而得解；
（2）首先求出直線 l的方程，聯立直線與橢圓方程，求出交點坐標，再由距離公式計算可得.
【詳解】（1）解：由離心率 e c 2= = ，則 a = 2c ，右焦點F c,0 ，
a 2
0 - (-2)
直線 AF 的斜率 = 2，解得 c =1，
c - 0 a = 2
，
所以b2 = a2 - c2 =1，
2
\橢圓E x的方程為 + y2 =1；
2
（2）解：由（1）可知橢圓的左焦點F1 -1,0 ，則直線 l的方程為 y = x +1，
4
ì x2 ì
+ y2 x = 0
x = -
=1 ì 3
由 í 2 ，解得 í 或 í ，不妨令M 0,1 N
4
- , 1- 、 ，
y x 1 y =1 y 1 è 3 3
÷
= + = -

3
4 2 2
所以 MN = - - 0
1 4 2
÷ +

- -1÷ = .
è 3 è 3 3
2 2 8
8-2．（2024 高三·全國· x y專題練習）已知橢圓E : + =1，設直線 y = kx - 2 被橢圓 C 截得的弦長為 ，
4 2 3
求 k 的值．
【答案】±1
【分析】利用韋達定理結合弦長公式即可求解.
【詳解】設直線與橢圓的交點為 A(x1, y1), B( x2, y2)，
ì x2 y2
+ =14 2 y 2 2聯立 í 消去 整理得 2k +1 x - 4 2kx = 0，

y = kx - 2
x 0, x 4 2k解得 1 = 2 = ，2k 2 +1
4 2k
所以弦長 AB = 1+ k 2 × x 2 81 - x2 = 1+ k × = ，2k 2 +1 3
k
整理得 ( )2 (1+ k 22 )
2
= 即 k 4 + k 2 - 2 = 0解得 k 2 =1， k = ±1 .1+ 2k 9
2 π
8-3．（2024 高三·全國·
x
對口高考）已知橢圓 + y2 = 1，過左焦點F 作傾斜角為 的直線交橢圓于A 、B 兩點，
9 6
則弦 AB 的長為 ．
【答案】 2
【分析】
設點 A x1, y1 、B x2 , y2 ，將直線 AB 的方程與橢圓的方程聯立，列出韋達定理，結合弦長公式可求得 AB
的值.
x2
【詳解】在橢圓 + y2 = 1中， a = 3，b =1，則 c = a2 - b2 = 2 2 ，故點F -2 2,0 ，9
設點 A x , y 31 1 、B x2 , y2 ，由題意可知，直線 AB 的方程為 y = x + 2 2 ，即 x = 3y - 2 2 ，3
ìx = 3y - 2 2
聯立 í 可得12y22 2 - 4 6y -1 = 0，D =16 6 + 4 12 =144 > 0 ，
x + 9y = 9
1
由韋達定理可得 y1 + y
6
= ， y1 y2 = -2 ，3 12
2
2 6 1
所以， AB = 1+ 3 × y1 + y2 - 4y1 y2 = 2 ÷÷ - 4
- = 2 .
è 3
÷
è 12
故答案為： 2 .
2 2
8-4．（2024
x y
高三·全國·專題練習）已知橢圓 + =1 a > b > 0 ，過左焦點F1的斜率為 1 的直線與橢圓分別
3 2
交于 A，B 兩點，求 AB ．
8
【答案】 3
5
【分析】根據題意，聯立直線與橢圓方程，再結合弦長公式，代入計算，即可得到結果.
x2 y2
【詳解】因為橢圓方程為 + =1，則左焦點F
3 2 1
-1,0 ，
因為直線過橢圓左焦點F1且斜率為 1，所以直線方程為 y - 0 = x +1 ，即 y = x +1，
設 A x1, y1 , B x2 , y2 ，
ì x2 y2
+ =1
聯立直線與橢圓方程可得 í 3 2 ，化簡可得5x2 + 6x - 3 = 0，
y = x +1
且D = 36 - 4 5 -3 = 96 > 0 ，
6 3
由韋達定理可得 x1 + x2 = - , x1x2 = - ，5 5
由弦長公式可得 AB = 1+ k 2 x1 + x
2
2 - 4x1x2
2
2 6 4 3 8= - ÷ + = 3 .
è 5 5 5
（五）
橢圓的中點弦問題
1、橢圓的中點弦結論：
2 2
若直線 l (不平行于 y 軸) x y過橢圓 2 + 2 =1( a > b > 0 )上兩點 A 、B ，其中 AB中點為 P(x ，y ) ，則a b 0 0
b2
有 kAB × kOP = - 2 .a
2、橢圓的中點弦問題
（1）根與系數關系法：聯立直線方程和橢圓方程構成方程組，消去一個未知數，利用一元二
次方程根與系數的關系以及中點坐標公式解決.
（2）點差法：利用交點在曲線上，坐標滿足方程，將交點坐標分別代入橢圓方
程，然后作差，構造出中點坐標和斜率的關系．
題型 9：求解橢圓的中點弦問題
2
9-1 x y
2
．（2024 高三·全國·專題練習）已知橢圓 C： + =1 ，過點P 1, -1 的直線 l 與橢圓 C 交于 A，B 兩
4 3
點，若點 P 恰為弦 AB 的中點，則直線 l 的斜率是（ ）
4 3 3 4
A．- B．- C． D．
3 4 4 3
【答案】C
【分析】設出 A, B的坐標代入橢圓方程后，作差變形，根據斜率公式和中點坐標公式可得解.
【詳解】設 A x1, y1 ，B x2 , y2 ，則 x1 + x2 = 2， y1 + y2 = -2，
x2 y2 2 2
且 1 + 1 =1 x， 2 y+ 2 =1，
4 3 4 3
x2 - x2 y2 - y2 y1 - y2 3 x1 + x2 3
作差得 1 2 = - 1 2 ，所以 = - =
4 3 x1 - x
，
2 4 y1 + y2 4
3
即直線 l 的斜率是 ．
4
故選：C．
9-2．（2024 高二·全國·課后作業）中心在原點，一個焦點為F1 0,5 2 的橢圓被直線 y = 3x - 2截得弦的中點
1
的橫坐標為 ，則橢圓的方程為 ．
2
y2 x2
【答案】 + =1
75 25
【分析】求出 c2 及其表達式，求出弦的中點坐標和 a,b的值，即可求出橢圓的方程.
【詳解】由題意，
在橢圓中，一個焦點為F1 0,5 2 ，
C : y
2 x2
設橢圓的方程為 2 + = 1(a > b > 0) ,a b2
∴ c2 = a2 - b2 = 50，
設直線 y = 3x - 2與橢圓的交點為 A x1, y1 , B x2 , y2 ,弦 AB 中點為C x0 , y0
1
∵直線 y = 3x - 2截得弦的中點的橫坐標為 x0 = ，2
ì y2 21 x+ 1 =1
y 3 1
2 2
∴ 0 = - 2 = -
a b
，
2 2 í y2 x2
，
2 2
a2
+
b2
=1
y2 - y2 x2 - x2 y - y a2 x∴ 1 22 = -
1 2 即 k 1 2 1
a b2 AB
= = - × = 3
x1 - x b
2
2 y2
∴ a2 = 3b2 .
ìc2 = a2 - b2 = 50 ìa2 = 75
∴ í 2 ，解得：
a = 3b
2 íb2 = 25
∴ y
2 x2
橢圓的方程為： + =1，
75 25
y2 x2
故答案為： + =1 .
75 25
y2 x2
故答案為： + =1 .
75 25
x2 y29-3．（2024 高二下·新疆塔城·開學考試）已知過點M (1,1)的直線，與橢圓 + =1相交于 A，B 兩點，且
4 2
線段 AB 以點 M 為中點，則直線 AB 的方程是 .
【答案】 x + 2y - 3 = 0
【分析】用點差法即可求出直線 AB 的斜率，再用點斜式即可求出直線 AB 的方程.
【詳解】設 A x1, y1 ，B x2 , y2 ，根據中點坐標公式， x1 + x2 = 2， y1 + y2 = 2，
x2 y2 x2 y2 y1 - y2 y1 + y2 1
且 1 + 1 =1， 2 + 2 =1，兩式相減，化簡可得 = -
4 2 4 2 x1 - x2 x
，
1 + x2 2
y1 - y2 1 1
所以 = -x - x 2 ，即直線 AB 的斜率為
- ，
1 2 2
1
根據點斜式，得到直線 AB 的方程為 y -1 = - (x -1)，即 x + 2y - 3 = 0 .
2
故答案為： x + 2y - 3 = 0
（六）
與橢圓有關的最值、范圍問題的方法
(1)定義法：利用定義轉化為幾何問題處理．
(2)數形結合法：利用數與形的結合，挖掘幾何特征，進而求解．
(3)函數法：探求函數模型，轉化為函數的最值問題，借助函數的單調性、基本不等式等求解，注意橢圓的
范圍．　　　　
題型 10：與橢圓有關的最值問題
2 2
10-1．（2024 高三·全國·對口高考）若點 O x y和點 F 分別是橢圓 + =1的中心和左焦點，點 P 為該橢圓上
4 3
uuur uuur
的任意一點，則OP × FP 的最大值為（ ）
A．6 B．5 C．4 D．2
【答案】A
uuur uuur
【分析】設P x, y ，由數量積的運算及點 P 在橢圓上，可把OP × FP 表示成為 x 的二次函數，根據二次函數
性質可求出其最大值.
【詳解】設P x, y ，F -1,0 ,O 0,0 ，
uuur uuur
則OP = x, y , FP = x+1, y ，
uuur uuur
則OP × FP = x2 + x + y2 ，
x2 y2 2 3 2
因為點 P 為橢圓上，所以有： + =1，即 y = 3- x ，
4 3 4
uuur uuur
2 2 2 3 2 1 2
所以OP × FP = x + x + y = x + x + 3- x = x + 2 + 2，
4 4
又因為-2 x 2，
uuur uuur
所以當 x = 2時，OP × FP 的最大值為 6.
故選：A.
2 2
10-2．（2024· x y陜西西安·一模）在平面直角坐標系中，動點 P 在橢圓C : + =1上運動，則點 P 到直線
16 9
x - y - 5 = 0的距離的最大值為 ．
【答案】5 2
x2 y2
【解析】求出與已知直線平行且與橢圓 + =1相切的直線方程，根據橢圓的性質可得兩條切線中與已知
16 9
直線距離較遠的那條直線上的點 P 到直線 x - y - 5 = 0的最大值．
2 2
【詳解】解：設直線 x - y + m = 0 x y與橢圓 + =1相切
16 9
聯解消去 y ，得 25x2 + 32mx +16m2 -144 = 0
\ D = 32m 2 - 4 25 16m2 -144 = 0 ，解得m = 5或-5
\與直線 x - y - 5 = 0平行且與橢圓相切的直線方程為 x - y ± 5 = 0
-5 - 5 10
其中與直線 x - y - 5 = 0距離較遠的是 x - y + 5 = 0，且距離為 d = = = 5 22 2 2 ，1 + -1
\P到直線 x - y - 5 = 0的最大距離為5 2 ，
故答案為：5 2 ．
【點睛】本題考查了點到直線的距離公式、橢圓的簡單幾何性質和直線與圓錐曲線的關系等知識，屬于中
檔題．
10-3 2．（2024 高三上·四川內江·期末）已知點A 是圓E : x -1 + y2 =16上的任意一點，點F -1,0 ，線段 AF
的垂直平分線交 AE 于點 P .
(1)求動點 P 的軌跡G的方程；
(2)若過點F 的直線交軌跡G于M 、N 兩點，B 是FM 的中點，點O是坐標原點，記VMEB與△ONF 的面積
之和為S ，求S 的最大值.
2 2
【答案】(1) x y+ =1
4 3
3
(2)
2
【分析】（1）由題意可知 PE + PF = PE + PA = EA = 4 > EF = 2，所以動點 P 的軌跡是橢圓，即可求解；
3
（2）分析出 S = SVMOF + SVOFN = SVMON ，直線MN 的斜率不存在時， SVMON = ，直線MN 的斜率存在時，可2
2 2
通過設而不求的方法求得 S = 6
k (1+ k ) 3 3 2
2 2 ，令m = 3+ 4k
2 后可得 S = - 2 - +1，根據m 的范圍即可求(3 + 4k ) 2 m m
出S 的范圍，進而可求其最大值.
【詳解】（1）由題意可知 PE + PF = PE + PA = EA = 4 > EF = 2，
所以動點 P 的軌跡G是以E, F 為焦點且長軸長為 4 的橢圓，
則 2a = 4,2c = 2，所以 a = 2,b = 3 ，
x2 y2
因此動點 P 的軌跡G的方程是 + =1.
4 3
（2）如圖：
不妨設點M 在 x 軸上方，連接OM ，
因為O, B 分別為EF , FM 有中點，所以 SVMEB = SVMOF ，
所以 S = SVMOF + SVOFN = SVMON ，
3 3
當直線MN 的斜率不存在時，其方程為 x = -1，則M (-1, )， N (-1, - )，
2 2
1 1 3 3 3
此時 SVMON = MN × OF = 1 [ - (- )] = ；2 2 2 2 2
當直線MN 的斜率存在時，設其方程為 y = k(x +1)，
設M (x1, y1) ， N (x2 , y2 ) ，顯然直線MN 不與 x 軸重合，即 k 0，
ìy = k(x +1)

聯立 í x2 y2 ，得 (3 + 4k 2 )x2 + 8k 2x + 4k 2 -12 = 0，
+ =1 4 3
x x 8k
2 4k 2 -12
則 1 + 2 = - 3+ 4k 2
， x1x2 = 3+ 4k 2
，
2
所以 MN = 1+ k 2 x1 - x
2
2 = 1+ k × (x1 + x2 )
2 - 4x x 12(1+ k )1 2 = 3+ 4k 2
，
k
又點O到直線MN 的距離 d = ，
1+ k 2
1 k 2 (1+ k 2 )
所以 S = MN d = 6 ，令m = 3+ 4k 2 (3,+ ) ，
2 (3 + 4k 2 )2
S 6 (m - 3)(m +1) 3 3 2則 = 2 = - 2 - +1，16m 2 m m
因為m (3,+ )
1
，所以 (0,
1)，
m 3
3 2 1 1 4 3
所以- 2 - +1 = -3( + )
2 + (0,1) ，所以 S (0, ) .
m m m 3 3 2
綜上， S (0,
3] 3，即S 的最大值為 .
2 2
2
10-4．（2024 高二下·河南周口·階段練習）已知橢圓C : x + y2 =1的右頂點為 A，上頂點為 B，則橢圓上的一
4
動點 M 到直線 AB 距離的最大值為 ．
2 10 + 2 5
【答案】
5
x x
【分析】求出直線 AB 的方程為 + y =1，設與 AB 平行且與橢圓相切的直線為 y = - + t ，聯立橢圓方程，
2 2
利用判別式Δ = 0可求得 t 的值，再根據平行線間的距離公式即可求得答案.
2
【詳解】由橢圓C : x + y2 =1，可得 A(2,0), B(0,1)，
4
x x
故直線 AB 的方程為 + y =1，與 AB 平行且與橢圓相切的直線可設為 y = - + t ，
2 2
代入橢圓方程整理，得 x2 - 2tx + 2t2 - 2 = 0，
則D = 4t 2 - 4 2t 2 - 2 = 0，解得 t = ± 2 ，
- 2 +1
x x d 2 10 - 2 5= =
當 t = 2 時， y = - + 2 與 + y =1之間的距離為2 2 1 5
；
1+
4
2 +1
x x d 2 10 + 2 5當 t = - 2 時， y = - - 2 與 + y =1間的距離為 = = ，2 2 51 1+
4
2 10 + 2 5
故橢圓上的一動點 M 到直線 AB 距離的最大值為 ，
5
2 10 + 2 5
故答案為：
5
2 2
10-5．（2024 · x y高二上 江蘇蘇州·期末）橢圓 + =1上的點 P 到直線 x+ 2y- 9= 0 的最短距離為（　　）
4 3
A 7 5 9 5． 5 B． C． D 13 5．
5 5 5
【答案】A
【分析】與已知直線平行，與橢圓相切的直線有二條，一條距離最短，一條距離最長，利用相切，求出直
線的常數項，再計算平行線間的距離即可.
【詳解】設與已知直線平行，與橢圓相切的直線為 x + 2y + b = 0 ，則
ìx + 2y + b = 0
ì-2y = x + b
í x2 y2 í 2 2 4x
2 + 2bx + b2 -12 = 0
+ =1 3x + 4y =12 4 3
2
所以D = 2b - 4 4 b2 -12 = 0 b = ±4
-9 - -4
所以橢圓上點 P 到直線 x + 2y - 9 = 0 的最短距離為 d = = 5
12 + 22
故選：A
（七）
1.求解直線或曲線過定點問題的策略
2.求定值問題的策略
題型 11：橢圓的定點、定值問題
2 2
11-1．（2024·廣西·模擬預測）已知M , N x y分別為橢圓E : 2 + 2 =1 a > b > 0 的左，右頂點，F 為其右焦點，a b
FM = 3 FN ，且點P 1,
3
2 ÷在橢圓E 上．è
(1)求橢圓E 的標準方程；
CD 2
(2)若過F 的直線 l與橢圓E 交于 A, B兩點，且 l與以MN 為直徑的圓交于C, D
12
兩點，證明： + 為定
AB 4
值．
x2 y2
【答案】(1) + =1
4 3
(2)證明見解析
【分析】
（1）由 a + c = 3 a - c 以及 a2 = b2 + c2即可求解 a,b,c的值，
（2）聯立直線與橢圓的方程，由弦長公式以及點到直線的距離公式即可化簡求解.
【詳解】（1）
由 FM = 3 FN ，可得 a + c = 3 a - c ，解得 a = 2c ，
又因為 a2 = b2 + c2，所以b = 3c ，
P 1, 3
9
因為點 2 ÷在橢圓E 上，所以
1 4
è 2 + 2 =1
，
a b
2 2
解得 a = 2 x y，b = 3 ， c =1，所以橢圓E 的標準方程為 + =1．
4 3
（2）
2
證明：當 l與 x
12 | CD |
軸重合時， AB = CD = 4，所以 + = 7,AB 4
當 l不與 x 軸重合時，設 A x1, y1 , B x2 , y2 ，直線 l的方程為 x = my +1，
ì x2 y2
+ =1,
由 í 4 3 整理得 3m2 + 4 y2 + 6my - 9 = 0 ，
x = my +1,
y -6m -9則 1 + y2 = 2 , y1y2 = ，3m + 4 3m2 + 4
2 é -6m
2
36 ù m2
故 AB = 1+ m2 é y ù1 + y2 - 4y1y2 = 1+ m
2 +1ê 3m2 + 4 ÷ +è 3m2 ú =12 ê + 4 ú 3m2 + 4
1 2
圓心O到直線 l | CD | 1的距離為 2 ，則 = 4 - ，m +1 4 m2 +1
12 | CD |2 3m2 + 4 4 1 7 12 | CD |
2
所以 + = 2 + - 2 = ，即 +AB 4 m 1 m 1 AB 4 為定值．+ +
2 2
11-2．（2024 x y 3高二下·河南平頂山·期末）已知橢圓E : 2 + 2 =1 a > b > 0 經過點 A 0,1 ，且離心率為 .a b 2
(1)求橢圓 E 的方程；
(2)若經過點 -2, -1 ，且斜率為 k 的直線與橢圓 E 交于不同的兩點 P，Q（均異于點 A），證明：直線 AP 與
AQ 的斜率之和為定值.
x2
【答案】(1) + y2 =1
4
(2)見解析
【分析】（1）根據離心率以及的幾何性質即可求解，
（2）聯立直線與橢圓的方程，得到韋達定理，根據兩點斜率公式，代入化簡即可求解.
【詳解】（1）由題意可知：b =1,e c 3= = ，又 a2 = b2 + c2，解得 a = 2,b =1,c = 3 ，
a 2
x2
所以橢圓方程為 + y2 =1
4
1- -1
（2）證明：由題意可知直線 PQ有斜率，由于 (-2,-1)與點 A(0,1)的連線的斜率為 =1，且 -2, -10 2 的- -
橫縱坐標恰好與 a = 2,b =1相反，因此直線 PQ有斜率 k 滿足 k > 0 且 k 1，
直線 PQ的方程為： y = k x + 2 -1，
ìy = k x + 2 -1

2 (1+ 4k 2 )x2 2 2聯立直線與橢圓方程： í x + 8 2k - k x +16 k - k = 0
+ y2
，
=1 4
設P x1, y1 ,Q x2 , y2 ，
8 2k 2 - k 16 k 2 - k
則 x1 + x2 = - 2 , x1x ，1+ 4k 2
=
1+ 4k 2
y1 -1 y2 -1 y1 -1 x2 + y2 -1 x1 kx1 + 2k - 2 x2 + kx2 + 2k - 2 xk 1AQ + kAP = + = =x1 x2 x1x2 x1x2
kx1 + 2k - 2 x2 + kx2 + 2k - 2 x= 1 2kx1x2 + 2k - 2 x + x = 1 2 ，
x1x2 x1x2
8 2k 2 - k 16 k 2 - k
將 x1 + x2 = - 2 , x x = 代入可得1+ 4k 1 2 1+ 4k 2
16 k 2 - k 8 2k 2 - k
2k 2 - 2k - 2

1+ 4k 1+ 4k 2 32k k 2 - k -8 2k - 2 2k 2 - k 16 k 2 - k kAQ + kAP = = = =1 故直線 AP 與16 k 2 - k 16 k 2 - k 16 k 2 - k
1+ 4k 2
AQ 的斜率之和為 1，即為定值，得證.
2 2
11-3．（2024 x y高三下·陜西榆林·階段練習）已知橢圓C : F 1,0
a2
+
b2
=1 a > b > 0 的右焦點為 ，A、B 分別
是橢圓C 的左、右頂點， P 為橢圓C 的上頂點，VPAB 的面積為 2 .
(1)求橢圓C 的方程；
(2)設直線 l : y = kx + m 與橢圓C 交于不同的兩點M ，N ，點Q 2,0 ，若直線MQ 的斜率與直線 NQ 的斜率互
為相反數，求證：直線 l過定點.
x2
【答案】(1) + y2 =1
2
(2)證明見解析
【分析】（1）由題可得 a2 = b2 + 1, ab = 2 ，據此可求得橢圓方程；
（2）將直線方程與橢圓方程聯立，后由韋達定理結合 kMQ + kNQ = 0，可得 m 與 k 的關系即可得直線恒過的
定點.
【詳解】（1）由題知 c =1， A -a,0 ，B a,0 ，P 0,b ，
由VPAB 的面積為 2 ，得 ab = 2 ，
2
又 a2 = b2 + c2，代入可得a2 2
x
= 2，b = 1，∴橢圓C 的方程為 + y2 =1.
2
ìy = kx + m,

2 2 2（ ）聯立 í x2 得 2k +1 x + 4kmx + 2m2 - 2 = 0
+ y2
，
=1, 2
2
設M x1, y1 ， N x2 , y2 ，可得 x1 + x
-4km
= 2m - 22 2k 2 1， x x = ，+ 1 2 2k 2 +1
由題知 kMQ + kNQ = 0，
y1 y kx+ 2 = 1 + m kx2 + m
2kx1x2 + m - 2k x1 + x2 - 4m
即 + = = 0x1 - 2 x2 - 2 x1 - 2 x 2 x 2 x 2
，
2 - 1 - 2 -
即 2kx1x2 + m - 2k x1 + x2 - 4m = 0，解得 k = -m，
∴直線 l的方程為 y = k x -1 ，故直線 l恒過定點 1,0 .
11-4．（2024 高三上·江西萍鄉·期末）已知橢圓 E 的中心在原點，周長為 8 的VABC 的頂點， A - 3,0 為橢
圓 E 的左焦點，頂點 B，C 在 E 上，且邊 BC 過 E 的右焦點.
(1)求橢圓 E 的標準方程；
(2)橢圓 E 的上、下頂點分別為 M，N，點P m,2 m R,m 0 ,若直線PM ，PN 與橢圓 E 的另一個交點
分別為點 S，T，證明：直線 ST 過定點，并求該定點坐標.
(1) x
2
【答案】 + y2 =1
4
1
(2)證明見解析， 0, 2 ÷è
【分析】
（1）根據橢圓定義直接求解即可；
（2）設出直線PS 方程，與橢圓方程聯立，求出點 S、T 的坐標，寫出直線 ST 方程即可求出定點坐標.
【詳解】（1）由題意知，橢圓 E 的焦點在 x 軸上，
x2 y2
所以設橢圓方程為 2 + 2 =1 a > b > 0 ，焦距為 2c c＞0 ，a b
所以VABC 周長為 4a = 8 ，即 a = 2 ， a2 = 4 ，
因為左焦點 A - 3,0 ，所以 c = 3 ， c2 = 3，
所以b2 = a2 - c2 =1 ，
x2
所以橢圓 E 的標準方程為 + y2 =1 .
4
（2）
由題意知，M 0,1 , N 0, -1 ，直線PS , PT , ST 斜率均存在，
所以直線PS : y
x
= +1 2 2，與橢圓方程聯立得 m + 4 x + 8mx = 0 ，
m
D = 64m2＞0對m R,m 0恒成立，
x -8m -8m
2
則 S + x = x = y
-8m 1
M 2 ，即 S 2 ，則 S = 2 +1
m - 4
= ，
m + 4 m + 4 m + 4 m m2 + 4
24m 36 - m2
同理 xT = 2 ， y = ，m + 36 T m2 + 36
m2 - 4 36 - m2
y - y m2
- 2 144 - m4+ 4 m + 36 12 - m2 12 + m2S T k 12 - m
2
所以 ST = =x - x -8m 24m
= 3 = =2 ，
S T - 16m +192m 16m 12 + m 16m
m2 + 4 m2 + 36
y 12 - m
2 x -8m m
2 - 4 12 - m2 1
所以直線 ST 方程為： = -

2 ÷ + = x + ，16m è m + 4 m2 + 4 16m 2
1
所以直線 ST 過定點，定點坐標為 0, ÷ .
è 2
（八）
橢圓的實際應用
解決橢圓的實際問題的基本步驟
(1)認真審題，理順題中的各種關系，如等量關系．
(2)結合所給圖形及題意建立適當的平面直角坐標系．
(3)利用橢圓知識及其他相關知識求解．　
題型 12：橢圓的實際應用
12-1．（2024 高二上·北京西城·期末）如圖是一個橢圓形拱橋，當水面在 l處時，在如圖所示的截面里，橋洞
與其倒影恰好構成一個橢圓.此時拱頂離水面 2m，水面寬 6m，那么當水位上升1m時，水面寬度為（ ）
A．3 3m B 3 3． m C 4 2． 4 2m D． m
2 3
【答案】A
x2 y2
【分析】根據題意可得橋洞與其倒影恰好構成的橢圓方程為： + =1，求直線 y =1被橢圓所截得的弦
9 4
長，代入橢圓方程即可求解.
【詳解】以圖中水面所在的直線為 x 軸，水面的垂直平分線所在直線為 y 軸，建立平面直角坐標系，根據已
x2 y2
知條件可知：橋洞與其倒影恰好構成的橢圓方程為： + =1，
9 4
當水位上升1m時，水面的寬度也即當 y =1時，直線 y =1被橢圓所截的弦長.
把 y =1 3 3代入橢圓方程可得： x = ± ，
2
所以當水位上升1m時，水面的寬度為3 3m ，
故選：A .
12-2．（2024·廣東韶關·模擬預測）韶州大橋是一座獨塔雙索面鋼砼混合梁斜拉橋，具有樁深，塔高、梁重、
跨大的特點，它打通了曲江區、湞江區、武江區交通道路的瓶頸，成為連接曲江區與芙蓉新城的重要交通
橋梁，大橋承擔著實現韶關“三區融合”的重要使命，韶州大橋的橋塔外形近似橢圓，若橋塔所在平面截橋面
為線段 AB ，且 AB 過橢圓的下焦點， AB = 44 米，橋塔最高點 P 距橋面110米，則此橢圓的離心率為（ ）
1 2 2 4
A． B． C． D．
3 5 3 5
【答案】D
ìa + c =110
y2 x2
【分析】建立如圖所示平面直角坐標系，設橢圓方程為 + =1(a > b > 0)，依題意可得 í2b22 2 ，即a b = 44 a
可求出離心率.
【詳解】如圖按橢圓對稱軸所在直線建立直角坐標系，
y2 x2
設橢圓方程為 2 + 2 =1(a > b > 0)，a b
ìa + c =110
y = -c -c
2
x2 b2
令 ，即 + = 1，解得 x = ± ，依題意可得 í2b2 ，
a2 b2 a = 44 a
ìa + c =110
2 2 a - c 22 c 4所以 ía - c ，所以 =a 110 ，所以 e = = ． = 22 a 5 a
故選：D．
12-3．（2024 高二下·河北邯鄲·期末）開普勒第一定律也稱橢圓定律 軌道定律，其內容如下：每一行星沿各
自的橢圓軌道環繞太陽，而太陽則處在橢圓的一個焦點上.將某行星 H 看作一個質點， H 繞太陽的運動軌跡
x2 y2
近似成曲線 + =1(m > n > 0) ，行星 H 在運動過程中距離太陽最近的距離稱為近日點距離，距離太陽最
m n
遠的距離稱為遠日點距離.若行星 H 的近日點距離和遠日點距離之和是 18（距離單位：億千米），近日點距
離和遠日點距離之積是 16，則m + n = （ ）
A．39 B．52 C．86 D．97
【答案】D
【分析】
根據橢圓方程表示近日點距離與遠日點距離，再根據條件得到兩個方程求解即可.
【詳解】
x2 y 2
根據橢圓方程 + = 1，得長半軸 a = m ，半焦距
m n c = m - n ，
近日點距離為 a - c = m - m - n ，遠日點距離為 a + c = m + m - n ，
近日點距離和遠日點距離之和是 m - m - n + m + m - n =18，
近日點距離和遠日點距離之積是 m - m - n m + m - n =16，
解得m = 81, n =16，則m + n = 97 .
故選：D.
12-4．（2024 高二上·河南鄭州·期末）橢圓具有這樣的光學性質：從橢圓的一個焦點發出的光線，經過橢圓
反射后，反射光線都經過橢圓的另一焦點．電影放映機聚光燈泡的反射鏡軸截面是橢圓的一部分，燈絲（看
成一個點）在橢圓的右焦點F2處，燈絲與反射鏡的頂點A 的距離 F2 A = 2cm，過焦點F2且垂直于軸的弦
BC = 6.4cm，在 x 軸上移動電影機片門，將其放在光線最強處，則片門應離燈絲（ ）
A．10cm B．8cm C．6cm D．13cm
【答案】C
【分析】利用右焦點到右頂點的距離及橢圓的通經，結合橢圓中 a,b,c三者的關系及焦距的定義即可求解.
ìa - c = 2
a = 5
2b2
ì

【詳解】由題設知 í = 6.4 ，解得 íb = 4，
a
a2 = b2 + c2 c = 3
所以片門放在光線最強處，片門應離燈絲為2c = 6．
故選：C.
一、單選題
2 2
1．（2024 高三· x y全國·對口高考）通過橢圓 + =1的焦點且垂直于 x 軸的直線 l 被橢圓截得的弦長等于
4 3
（ ）
A． 2 3 B．3 C． 3 D．6
【答案】B
【分析】根據橢圓方程寫出一條過焦點且垂直于 x 軸的直線，代入橢圓方程求交點縱坐標，即可得弦長.
【詳解】由題設，不妨設過焦點 (1,0)且垂直于 x 軸的直線 l : x =1，
1 y2 3
代入橢圓方程得 + =1，可得 y = ± ，故被橢圓截得的弦長等于3 .
4 3 2
故選：B
2
2．（2024 高二上·全國· y課前預習）直線 y = x +1與橢圓 x2 + =1的位置關系是（ ）
2
A．相離 B．相切 C．相交 D．無法確定
【答案】C
【分析】代數法聯立直線與橢圓，轉化為二次方程根的問題來判斷即可.
ìy = x +1
2
【詳解】聯立 í y2 3x + 2x -1 = 0x2
，
+ =1 2
則D = 22 + 4 3 = 16 > 0
所以方程有兩個不相等的實數根，
所以直線與橢圓相交
故選：C.
x2 23 y．（2024 高二上·全國·課后作業）方程 + = 1表示的曲線是（ ）
25 16
A．焦點為點 -3，0 與 3 3，0 ，離心率為 的橢圓
5
B．焦點為點 0，- 3 與 0，3 3，離心率為 的橢圓
5
4
C．焦點為點 -3，0 與 3，0 ，離心率為 的橢圓
5
D．焦點為點 0，- 3 與 0 3 4， ，離心率為 的橢圓
5
【答案】A
【分析】由方程判斷曲線為橢圓，再確定橢圓的焦點位置，再確定長半軸和短半軸，半焦距的大小，由此
可得焦點坐標，離心率，并判斷結論.
x2 y2
【詳解】方程 + = 1表示的曲線為焦點在 x 軸上，中心為原點的橢圓，
25 16
設橢圓的長半軸為 a，短半軸為b ，半焦距為 c，
則 a = 5,b = 4,c = 3
3
，所以其焦點坐標為 -3，0 與 3，0 ，離心率為
5
故選：A.
4．（2024·廣東廣州·模擬預測）已知以F1 -2,0 , F2 2,0 為焦點的橢圓與直線 x + y + 4 = 0有且僅有一個公共
點，則橢圓的長軸長為（ ）
A．3 2 B． 2 6 C． 2 10 D．4 2
【答案】C
【分析】先設橢圓方程與直線方程聯立，根據判別式等于 0 求得m 和 n 的關系式，同時橢圓的焦點坐標求得
半焦距得到m 和 n 的另一個關系式，兩個關系式聯立方程即可求得m 和 n ，則橢圓的長軸可得．
【詳解】設橢圓方程為mx2 + ny2 =1(m n > 0)，
直線 x + y + 4 = 0代入橢圓方程，消 x 得： (m + n)y2 + 8ny +16n -1= 0，
D = 64n2 - 4(16n -1)(m + n) = 0，整理，得m + n = 16mn
又 c = 2，由焦點在 x 軸上，
1 1 1 1 2 2
所以 - = 4 x y，聯立解得：m = ， n = ,故橢圓方程為 + = 1，則長軸長為 2 10 ；m n 10 6 10 6
故選：C
2 2 b + c
5．（2024· x y廣西·一模）已知 c 是橢圓 2 + 2 =1(a > b > 0）的半焦距，則 取最大值時橢圓的離心率是a b a
（ ）
1 2
A B C 2 D 3． ． ． ．
2 3 2 3
【答案】C
b + c b + c b b
【分析】用橢圓的性質直接對原式 進行減少變量處理，得到 = + 1- (
b )2 ，看成以 為變量的函
a a a a a
數的最值問題，可利用換元法求解.
b + c b c b c2 b a2 - b2 b b
【詳解】 = + = + = + = + 1- ( )2 ，
a a a a a2 a a2 a a
因為 a > b > 0,
b
∴ 0 < <1．
a
b
設 = cosq ,q (0,
π) b + c，則 = cosq + 1- cos2 q = cosq + sinq = 2 sin(q
π
+ )
a 2 a 4
p b 2 b + c∴ c b 2當q = ，即 = 時， 取最大值，此時離心率 e = = 1- ( )2 = .4 a 2 a a a 2
故選：C
6．（2024 高二上·江西萍鄉·期末）油紙傘是中國傳統工藝品，至今已有 1000 多年的歷史.為宣傳和推廣這一
傳統工藝，某活動中將一把油紙傘撐開后擺放在戶外展覽場地上，如圖所示.該傘的傘面是一個半徑為 2 3
的圓形平面，圓心到傘柄底端距離為 2，當光線與地面夾角為30o 時，傘面在地面形成了一個橢圓形影子，
且傘柄底端正好位于該橢圓的長軸上，該橢圓的離心率 e = （ ）
2 1
A 3 6． B． C． D．
3 2 2 3
【答案】D
【分析】根據給定條件，求出橢圓的長短半軸長，再求出離心率作答.
【詳解】依題意，過傘面上端邊沿的光線、過這個邊沿點傘面的直徑及橢圓的長軸圍成底角為30o 的等腰三
角形，
腰長為傘面圓的直徑 4 3 ，橢圓長軸長 2a為底邊長，則 2a = 2 4 3 cos30o =12 ，即 a = 6，
而橢圓的短軸長 2b = 4 3 ，即b = 2 3 ，
a2 - b2 b2 3
所以橢圓的離心率 e = = 1- 2 = 1- ( )
2 6=
a a 3 3
故選：D
2 2
7．（2024 x y高二上·黑龍江綏化·期中）直線 l： ax + y - a +1 = 0與橢圓 + =1的位置關系是（ ）
3 2
A．相交 B．相切 C．相離 D．相切或相交
【答案】A
【分析】方法 1：先求含參直線 l 恒過定點 M，研究定點 M 與橢圓的位置關系可判斷直線 l 與橢圓的位置關
系；
方法 2：代數法，聯立直線 l 與橢圓方程，消參后可由D判斷出直線 l 與橢圓的位置關系.
【詳解】方法 1：
∵ ax + y - a +1 = 0，即： a(x -1) + y +1 = 0，
∴直線 l 恒過定點M (1, -1) ，
x2 y2
又∵橢圓 + =1
3 2
12∴ (-1)
2
+ =1，
3 2
∴定點 M 在橢圓內，
∴直線 l 與橢圓相交.
方法 2：
ì x2 y2
+ =1
3 2 (3a2 + 2)x2í - 6a(a -1)x + 3(a2 - 2a -1) = 0
ax + y - a +1 = 0
∴ D = 36a2 (a -1)2 -12(3a2 + 2)(a2 - 2a -1)
1
= 48a2 + 48a + 24 = 48(a + )2 +12 > 0恒成立，
2
∴直線 l 與橢圓相交.
故選：A.
2 2
8．（2024 x y高二下·寧夏銀川·階段練習）若直線 y = x + m 與橢圓 + =1相切，則實數 m 的值等于（ ）
4 2
A．±6 B．± 6 C．± 3 D．±4
【答案】B
x2 y2
【分析】將直線 y = x + m 與橢圓 + =1聯立，根據判別式為 0 求解即可.
4 2
ìy = x + m2 2
【詳解】將直線 y = x + m x y

與橢圓 + =1聯立，得 í x2 y2 3x
2 + 4mx + 2m2 - 4 = 0 ，由題意可知
4 2 + =1 4 2
Δ =16m2 -12 2m2 - 4 = 0 m = ± 6 .
故選：B
2 2
9．（2024 · x y高二下 山東濟南·期末）若直線 y = mx + 2 與焦點在 x 軸上的橢圓 + =1總有公共點，則 n 的
9 n
取值范圍是（ ）
A． 0,4 B． 4,9 C． 4,9 D． 4,9 9,+
【答案】C
【分析】由題得直線所過定點 0,2 在橢圓上或橢圓內，代入橢圓得到不等式，再結合橢圓焦點在 x 軸上即
可.
【詳解】直線 y = mx + 2 恒過定點 0,2 ，若直線與橢圓總有公共點，
0,2 4則定點 在橢圓上或橢圓內，\ 1，解得n 4或 n < 0，
n
x2 y2
又Q + =1表示焦點在 x 軸上的橢圓，故0 < n < 9，\n 4,9 ，
9 n
故選：C.
2 2
10 2024· · C : x y+ = 1 6．（ 安徽蚌埠 三模）若橢圓 的離心率為 ，則橢圓C 的長軸長為（ ）
m 2 3
A 6 B 2 6． ． 或 2 6 C． 2 6 D． 2 2 或 2 6
3
【答案】D
【分析】根據離心率的計算公式，分焦點的位置，討論即可求解．
6 2 - m 2
【詳解】當焦點在 y 軸時，由 e = = ，解得m = ，符合題意，此時橢圓C 的長軸長為 2 2 ；3 2 3
6 m - 2
當焦點在 x 軸時，由 e = = ，解得m = 6，符合題意，此時橢圓C 的長軸長為 2 m = 2 6 ．
3 m
故選：D．
2
11．（2024 高二· x全國·課后作業）直線 x + 2y = m與橢圓 + y2 =1只有一個交點，則m 的值為（ ）
4
A． 2 2 B．± 2 C．±2 2 D．±2
【答案】C
【分析】聯立直線與橢圓的方程，消去 y ，根據Δ = 0即可求解.
ìx + 2y = m

【詳解】由 í x2 2 ，消去 y 并整理得 2x
2 - 2mx + m2 - 4 = 0，
+ y =1 4
x2
因為直線 x + 2y = m與橢圓 + y2 =1只有一個交點，
4
2 2
所以Δ = 4m -8 m - 4 = 0，得m2 = 8，\m = ±2 2 ．
故選:C.
2 2
12．（2024 · x y 6高二下 廣東茂名·期末）已知橢圓C :
a2
+
b2
=1(a > b > 0) 的離心率為 ，下頂點為 B ，點M 為
3
C 上的任意一點，則 MB 的最大值是（ ）
A 3 2． b B． 2b C． 3b D． 2b
2
【答案】A
2 2 2 2
【分析】設M (x , y ) x0 y+ 0 =1 2 b 9b0 0 ，得到 2 2 ，求得 MB = -2 y0 - ÷ + ，結合二次函數的性質，即可求解.3b b è 2 2
6 x2 y2
【詳解】由橢圓C 的離心率 e = ，可得 a = 3b ，所以橢圓的方程為 2 + 2 =1，3 3b b
M (x , y ) x
2 2
0 y+ 0 =1 x2 2 2設 0 0 ，則 2 2 ，可得3b b 0
= 3b - 3y0 ，
又由點B 0, -b ，
2 2
可得 MB 2 = x2 + (y + b)2 = 3b2 - 3y2 (y b)2 b 9b0 0 0 + 0 + = -2

y

0 - + ，
è 2 ÷ 2
2
因為-b y0 b，所以 MB
2 9b= 3 2b，所以
max MB = .2 max 2
故選：A.
13 x
2 y2
．（2024 高二上·全國·課后作業）已知直線 y=kx-1 與焦點在 x 軸上的橢圓 C: + 2 =1 b > 0 總有公共點，4 b
則橢圓 C 的離心率取值范圍是（　　）
2 ù ù
A． 0, ÷÷ B． 0,
2 0, 3 3
2 2 ú
C． 2 ÷÷
D． 0, ú
è è è è 2
【答案】D
【分析】根據直線過定點且與橢圓恒有公共點，結合橢圓的性質判定b 的范圍即可求離心率.
【詳解】
因為橢圓焦點在 x 軸上，所以 b2<4，又因為 b>0，所以 0易知直線 y=kx-1 過定點 0, -1 且與橢圓總有公共點，所以該定點位于橢圓內或橢圓上，
0 （-1）2
即 + 2 1，解之得b
2 1，所以 b≥1，綜上 1≤b<2，
4 b
e c 1- b
2 b2 3 ù
故 = = 2 = 1- 0，a a 4 2 úè
故選：D.
2 2 1
14．（2024 高二上·全國· x y課后作業）已知 P 點是橢圓 + =1上的動點，A 點坐標為 ,0 ，則 | PA |的最
4 2 è 2 ÷
小值為（ ）
7 7 3 5A． B． C． D．
4 2 2 2
【答案】B
【分析】根據題意利用兩點間距離公式結合橢圓方程運算求解.
2
P x , y 1 【詳解】設 20 0 ，則 | PA |= x0 - ÷ + y2 0 ，è
x2 y2 2 2 2
因為 P 點在橢圓 + =1 x上，則 0 y+ 0 =1，記 y20 = 2
x
- 0 ，
4 2 4 2 2
2
所以 | PA |= x2 1 x0 1 2 90 - x0 + + 2 - = x0 - x0 + ，4 2 2 4
1 2 9
又因為 y = x0 - x0 + 開口向上，對稱軸 x =1，2 4 0
且 x -2,2 70 ，所以當 x0 =1時， | PA |取到最小值 .
2
故選：B.
2 2
15．（2024 高二下· ·
x y
云南昆明 期末）已知橢圓C : 2 + 2 = 1(a > b > 0), F1, F2 分別是C 的左，右焦點， P 為C 上一a b
π
點，若線段PF1的中點在 y 軸上， PF1F2 = ，則C 的離心率為（ ）6
3 2A． B C 6． ． D．
3 2 - 33 3
【答案】A
【分析】根據中點關系可得PF2 ^ x軸，進而根據直角三角形中的邊角關系，結合橢圓定義即可求解.
【詳解】由于線段PF y1的中點M 在 軸上, O是F1F2 的中點，所以MO / /PF2 ,\PF2 ^ x軸，
F
π PF = F F tan 2 3c PF F = , PF = 1
F2 2c 4 3c
F 2 1 2 1 2 1 = =1F2 = 2c ， PF1F2 = ，所以6 3 cos PF1F2 3 3
，
2
2 3c 4 3c 2a a 3由橢圓定義可得 + = = 3c e = ，
3 3 3
故選：A
16 2024 · · x
2 y2
．（ 高二 全國 課后作業）若橢圓 + =1的弦 AB 被點P 1,1 平分，則 AB 所在直線的方程為
9 4
（ ）
A． 4x + 9y -13 = 0 B．9x + 4y -13 = 0
C． x + 2y - 3 = 0 D． x + 3y - 4 = 0
【答案】A
4
【分析】利用點差法求解得 kAB = - ，再根據點斜式求解即可得答案.9
ì x21 y
2
+ 1 =1
【詳解】設 A x1, y1 , B x
9 4
2 , y2 ，則 í
x
2 2
2 y
+
2 =1
9 4
x2 - x2 y2 - y2 y1 - y2 4 x1 + x2
所以 1 2 + 1 2 = 0，整理得 = -
9 4 x1 - x2 9 y
，
1 + y2
因為P 1,1 為弦 AB 的中點，
所以 x1 + x2 = 2, y1 + y2 = 2，
k y1 - y2
4 x1 + x2 4
所以 AB = = - = -x ，1 - x2 9 y1 + y2 9
所以弦 AB 所在直線的方程為 y -1
4
= - x -1 ，即 4x + 9y -13 = 0 .
9
故選：A.
x2 y217．（2024 高二下·廣西河池·期末）已知橢圓C : 2 + 2 =1(a > b > 0) ，其上頂點為A ，左 右焦點分別為a b
F1, F2 ，且三角形 AF1F2 為等邊三角形，則橢圓C 的離心率為（ ）
1
A 2 3
2
． B． C． D．
2 2 2 3
【答案】A
【分析】根據題意，結合橢圓離心率的定義，即可求求解.
【詳解】如圖所示，橢圓C ，其上頂點為A ，左 右焦點分別為F1, F2 ， △AF1F2為等邊三角形，
c OF 1
則橢圓C 的離心率為 e = = 1 = cos AF F =a AF 1 2 .1 2
故選：A.
2 2
18 x y．（2024 高二·全國·課后作業）橢圓C : 2 + 2 =1（ a > b > 0）的左、右焦點分別是F1，F2，斜率為 1 的a b
直線 l 過左焦點F1，交 C 于 A，B 兩點，且△ABF2 的內切圓的面積是p ，若橢圓 C 的離心率的取值范圍為
é 2 ù
ê ,
2
ú ，則線段 AB 的長度的取值范圍是（4 2 ）
é 2 2 ù
A． ê , ú B． 1,2 C． 4,8 D． é ù4 2 4 2,8 2
【答案】C
2c
【分析】由題可求得 SVABF = SVAF F + S = AB ， SVABF = S + S + S = 2a2 1 2 VBF1F2 2 2
VEAB VEBF2 VEAF2 ，即可得出
AB = 2 2 a× ，再根據離心率范圍即可求出
c
【詳解】解：設△ABF2 的內切圓的圓心為E ，半徑為 r ，則p r 2 = p ，解得 r =1，
QS 1 1VABF = SVAF F + SVBF F = × AF1 × F1F2 ×sin AF1F2 + × BF × F2 1 2 1 2 2 2 1 1
F2 ×sin BF1F2
1 AF 2c sin 45o 1= × 1 × × + × BF ×2c sin135
o 2c× = AB ，
2 2 1 2
又 SVABF = SVEAB + S
1
VEBF + SVEAF = × AB r
1 1
× + × BF2 × r + × AF × r2 2 2 2 2 2 2
1
= AB + BF 12 + AF2 = 4a = 2a ,2 2
2c a
\ AB = 2a ，\ AB = 2 2 × ，
2 c
c éQe 2 2
ù
= aê ， ú ，\ é 2, 2 2ù，則 2 2
a
×
a 4 2 4,8 ， c c
即線段 AB 的長度的取值范圍是 4,8 ，
故選：C
2 2
19．（2024·重慶萬州·模擬預測）已知點M x1, y1 ， N x2 , y2 x1 x2 C : x y為橢圓 2 + 2 =1(a > b > 0) 上的兩a b
a
點，點P ,0

÷滿足 PM = PN ，則C 的離心率 e的取值范圍為（ ）
è 4
1 2
A． ,1÷ B． ,1
1 1
è 4 2
÷÷ C． ,12 ÷ D．è
0,
2 ÷è è
【答案】C
【分析】由 PM = PN
a
可得 x1 + x2 - ÷ x1 - x2 = -y21 + y22 ，因為M ，N 為橢圓上的兩點，再有點差法可得
è 2
b2 x21 - x2 32 = -y2 a+ y2 ，兩式相減化簡可得 x1 + x2 = ，再由 x1 + x2 < 2a2 ，求解即可.a2 1 2 2c
2 2
【詳解】因為 PM = PN x a ，則 - + y2 a 2 1 = x -4 ÷ 1 2 4 ÷
+ y2 ，
è è
2
x a x a
2
2 2 a a 所以 1 - ÷ - 2 - ÷ = - y1 - y2 ，即 x1 - + x2 - ÷ x1 - x2 = - y2 - y2 ，
è 4 è 4
1 2
è 4 4
x x a+ - x - x = -y2 2 1 2 2 ÷ 1 2 1 + y2 ，è
x2 y2
又因為點M x1, y1 ， N x2 , y2 x1 x2 為橢圓C : 2 + 2 =1(a > b > 0) 上的兩點，a b
ì x2 y21 + 1 =1
a2 b2 x2 - x2 y2 - y2 b2 x2 - x2
所以 í 2 2 ，兩式相減可得：
1 2 = - 1 2 ，即 1 2 2 2 ，
x y a
2 b2 2 = -ya 1
+ y2
2 2
a2
+ 2 =1b
a b
2 x2 - x2 b2
所以 x
1 2
1 + x2 - x - x = = x - x x + x ，
è 2 ÷ 1 2 1 2 1 2 a2 a2
2
因為 x1 x
a b
2 ，所以 x1 + x2 - = 2 x1 + x2 ，2 a
3 3 3
所以 a2 - b2 x a1 + x2 = ，即 c2 x x a a1 + 2 = ，即 x + x2 2 1 2 = 2 ，2c
a a
因為 e 0,1 ，所以 x1 + x2 = > ，2e2 2
又因為M ， N 為橢圓上的兩點，所以 x1 + x2 < 2a ，
a a 1 2 1
所以 < 2 < 2a ，解得： < e <1，即 < e <1.2 2e 4 2
故選：C.
2
20．（2024 高三·全國· x專題練習）已知橢圓 + y2 =1與直線 y = x + m 交于 A，B 兩點，且| | = 4 2，則實
2 3
數 m 的值為（ ）
1
A．±1 B．±
2
C． 2 D．± 2
【答案】A
【分析】聯立方程，寫出關于交點坐標的韋達定理，用兩點的距離公式
AB = x1 - x
2
2 - y1 - y2
2 = 2 x1 + x
2
2 -8x1x2 解出 m 即可.
ì x2
+ y2 =1
【詳解】由 í 2 ，消去 y 并整理，
y = x + m
得 3x2＋4mx＋2m2－2＝0．
設 A(x1，y1)，B(x2，y2 )
x 4m
2
則 1 + x2 = - ， x x
2m - 2
1 2 = ．3 3
2 4 4 2
由題意，得 AB = 2 x1 + x2 -8x1x2 = 3 - m2 = ，3 3
解得m = ±1．
故選:A
2 2
21．（2024 x y高二下·貴州遵義·期中）已知F 是橢圓 2 + 2 =1 a > b > 0
1
的右焦點，直線 y = b與橢圓交于
a b 3
B ，C 兩點，若 BFC
π
= ，則該橢圓的離心率是（
2 ）
A 5 B 6 C 14 7． ． ． D．
3 3 4 4
【答案】C
BFC π uuur uuur【分析】先聯立直線方程與橢圓方程，求出 B ，C 的坐標，再通過 = 得 FB ^ FC ，從而建立方程，2
再化歸轉化，即可求解．
【詳解】根據對稱性不妨設 B 在第二象限，C 在第一象限，
ì b

y =
3 2 2
聯立 í 2 2 ，可解得 x = ± a，
x y+ =1 3
a2 b2
2 2a
\ B - ,
b 2 2a b
3 3 ÷÷，
C , ÷÷，又F (c,0) ，
è è 3 3
uuur uuur
\ FB 2 2a c, b FC 2 2a b

= - -3 3 ÷÷，
= - c,3 3 ÷÷，è è
π uuur uuur
又 BFC = ，\ ，
2 FB ^ FC
uuur uuur 2
\ FB 8 b× FC = c2 - a2 + = 0，
9 9
\9c2 - 8a2 + b2 = 0 ，
\9c2 - 8a2 + a2 - c2 = 0，
\8c2 = 7a2，
2
\ e2 c 7= = ，又 e 0,1
a2
，
8
\ 7 14該橢圓的離心率 e = = ．
2 2 4
故選：C．
2 x x
22．（2024 y高二下·上海浦東新·期中）直線3x - 2y + 6 = 0與曲線 - =1的公共點的個數是（ ）．
9 4
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【分析】考慮 x 0 和 x < 0 兩種情況，畫出曲線和直線圖像，根據圖像得到答案.
y2 x x y2 x2
【詳解】當 x 0 時，曲線 - =1，即 - =1，雙曲線右半部分；
9 4 9 4
3
一條漸近線方程為： y = x，直線與漸近線平行；
2
2 x x 2 2
當 x < 0 y y x時，曲線 - =1，即 + =1，橢圓的左半部分；
9 4 9 4
畫出曲線和直線的圖像，如圖所示：
根據圖像知有 2個公共點.
故選：B
23．（2024·陜西西安·二模）“蒙日圓”涉及幾何學中的一個著名定理，該定理的內容為：橢圓上兩條互相輸出
x2 y2
垂直的切線的交點必在一個與橢圓同心的圓上，該圓稱為橢圓的蒙日圓．若橢圓 C： + =1(a > 0)的
a +1 a
1
離心率為 ，則橢圓 C 的蒙日圓的方程為（
3 ）
A． x2 + y2 =19 B． x2 + y2 =17 C． x2 + y2 =15 D． x2 + y2 =14
【答案】B
【分析】根據橢圓C 的離心率求出 a值，再同蒙日圓的定義，利用特殊位置求出蒙日圓上的一點，即可求出
橢圓C 的蒙日圓方程.
x2 y2 1 1 1
【詳解】因為橢圓C ： + =1 (a > 0)的離心率為 ，則 = 3 ，解得 a = 8，即橢圓C 的方程為a +1 a 3 a +1
x2 y2
+ =1，
9 8
于是橢圓的上頂點 A(0,2 2)，右頂點B(3,0) ，經過 A, B兩點的橢圓切線方程分別為 y = 2 2 ， x = 3，
則兩條切線的交點坐標為 (3, 2 2) ，顯然這兩條切線互相垂直，因此點 (3, 2 2) 在橢圓C 的蒙日圓上，
圓心為橢圓C 的中心 O，橢圓C 的蒙日圓半徑 r = 32 + (2 2)2 = 17 ，
所以橢圓C 的蒙日圓方程為 x2 + y2 =17 .
故選：B
2 2
24．（2024·四川巴中·模擬預測）已知橢圓C : x y2 + =1 a > b > 0 四個頂點構成的四邊形的面積為16 2 ，a b2
直線 l : x - 2y + 6 = 0 與橢圓 C 交于 A，B 兩點，且線段 AB 的中點為 -2,2 ，則橢圓 C 的方程是（ ）
x2 y2A x
2 y2
． + =1 B． + =1
16 8 32 4
2 2 2 2
C x y x y． + =1 D． + =1
32 16 64 2
【答案】A
1
【分析】設 A(x1, y1), B( x2, y2)代入橢圓方程相減，利用 x1 + x2 = -4，y1 + y2 = 4 ，kAB = ，得出 a,b等量關系，2
即可求解.
2 2 2 2
【詳解】設 A x1, y1 ，B x2 , y2 x y x y，則 1 + 1 =1， 2 2a2 b2 a2 + 2 =1，兩式作差并化簡整理得b
y 21 - y2 b x= - × 1 + x22 ，因為線段 AB 的中點為 -2,2 ，所以 x1 + x2 = -4， y1 + y2 = 4 ，x1 - x2 a y1 + y2
y - y b2 1 b2 1 1
所以 1 2 = 2 ，由 kl = ，得 = ，又因為 2a 2b = 2ab =16 22 ，解得b
2 = 8， a 2 = 16 ，x1 - x2 a 2 a 2 2
x2 y2
所以橢圓 C 的方程為 + =1．
16 8
故選：A．
2 2
25．（2024 高二上·浙江·期中）已知F F x y1、 2是橢圓 + = 1(a > b > 0) 的兩個焦點，以線段F F 為邊作正三a2 b2 1 2
角形MF1F2 ，若邊MF1 的中點在橢圓上，則橢圓的離心率是（ ）
A． 4 - 2 3 B． 3 1 C 3 -1- ． D． 3 +1
2
【答案】B
【分析】由橢圓定義得 3c + c = 2a，計算得離心率.
【詳解】設MF1 的中點為Q，由題意得： QF1 = c， QF2 = 3c，
c 2
由橢圓定義得： 3c + c = 2a，所以 e = = = 3 -1a 3 +1 ，
故選：B．
x2 y226．（2024 高二上·全國·課后作業）橢圓 + x2 =1的焦點在 軸上，則它的離心率的取值范圍是（ ）5a 4a +1
1 1
A 5．（0， ） B．（ ， ]
5 5 5
5 ù é 5
C． 0, 5 ú
D． ê ,15 ÷÷è
【答案】C
【分析】根據橢圓的焦點在 x 軸上，由5a > 4a2 +1得到 a 的范圍，然后利用離心率又
e 5a - 4a
2 -1
= = 1 1- 4a
1
+ ÷ ，結合基本不等式求解.5a 5 è a
【詳解】解：因為橢圓的焦點在 x 軸上，
1
∴ 5a > 4a2 +1，解得： < a <1，
4
e 5a - 4a
2 -1 1 1 1 1 1 5又 = = - 4a +

÷ 1- 2 4a × = ，5a 5 è a 5 a 5
5 ù
∴它的離心率的取值范圍為 0, 5 ú ，è
故選：C.
2 2
27．（2024 高二下· · x y云南玉溪 期末）已知橢圓 E： 2 + 2 =1 a > b > 0)的右焦點為F2，左頂點為 A1，若 E 上a b
的點 P 滿足PF2 ^ x
1
軸， tan PA1F2 = ，則 E 的離心率為（2 ）
1 2 1 1
A． B． C． D4 ．2 5 5
【答案】A
【分析】
設出點F2的坐標，求出 | PF2 |長，再利用給定的正切值列式計算作答.
ìx = c
2 2
【詳解】設F (c,0)，則直線PF ： x = c ，由 í x2 2
b b
2 2 y ，得 | y |= ，即 | PF |= ，
2 + 2 =1 a
2 a
a b
PF 1 2
而 A1(-a,0)， A1F2 = a + c ，由 tan
1
PA 2 2b1F2 = ，得 = ，即 a + c = ，2 A1F2 2 a
a c 2(a
2 - c2 )
有 + = ，又 a > c ，因此 a = 2c ，
a
c 1
所以 E 的離心率為 e = = .
a 2
故選：A
二、多選題
28．（2024 高三下·江蘇南京·開學考試）加斯帕爾 蒙日（圖 1）是 18～19 世紀法國著名的幾何學家,他在研
究圓錐曲線時發現:橢圓的任意兩條互相垂直的切線的交點都在同一個圓上,其圓心是橢圓的中心,這個圓被
x2 y2
稱為“蒙日圓”（圖 2）．已知長方形 R 的四邊均與橢圓C : + = 1相切,則下列說法正確的是（ ）
6 3
A 2．橢圓 C 的離心率為 e = B．橢圓 C 的蒙日圓方程為 x2 + y2 = 6
2
C．橢圓 C 的蒙日圓方程為 x2 + y2 = 9 D．長方形 R 的面積最大值為 18
【答案】ACD
【分析】根據橢圓方程,求出離心率即可得選項 A 正誤;根據蒙日圓的定義可判斷,該圓過點 a,b ,根據圓心坐
標,即可求得半徑的值,進而求得圓的方程;設出長方形的長和寬,根據長方形是蒙日圓的內接四邊形,可得對角
線為直徑,求得長和寬的等量關系,再利用基本不等式即可判斷選項 D 正誤.
: : x
2 y2
【詳解】解 由題知橢圓方程為 + = 1 ,
6 3
c2 a2 - b2 2
所以 e = = = ,
a2 a2 2
故選項 A 正確;
x2 y2
因為長方形 R 的四邊均與橢圓C : + = 1相切,
6 3
所以點 a,b ,即 6, 3 在蒙日圓上,
故半徑為 r2 = ( 6)2 + ( 3)2 = 9 ,
可得橢圓 C 的蒙日圓方程為 x2 + y2 = 9 ;
故選項 B 錯誤,選項 C 正確;
設長方形 R 的邊長為 m,n,
m2 + n2 = 2r 2 = 6 2則有 = 36 ,
1
所以長方形 R 的面積等于 S = mn m2 + n2 = 18 ,2
當且僅當m = n = 3 2 時取等,
故選項 D 正確.
故選:ACD
29．（2024 高三·全國·專題練習）青花瓷又稱白地青花瓷，常簡稱青花，中華陶瓷燒制工藝的珍品，是中國
瓷器的主流品種之一，屬釉下彩瓷.如圖為青花瓷大盤，盤子的邊緣有一定的寬度且與桌面水平，可以近似
看成由大小兩個橢圓圍成.經測量發現兩橢圓的長軸長之比與短軸長之比相等.現不慎掉落一根質地均勻的
長筷子在盤面上，恰巧與小橢圓相切，設切點為 P ，盤子的中心為O，筷子與大橢圓的兩交點為 A, B，點A
關于O的對稱點為C .給出下列四個命題其中正確的是（ ）
A．兩橢圓的焦距長相等 B．兩橢圓的離心率相等
C． PA = PB D．BC 與小橢圓相切
【答案】BC
【分析】根據題意轉化為解析幾何模型，設出小橢圓標準方程，表示出大橢圓標準方程，易判斷兩焦距的
長和離心率，從而判斷 A 和 B；通過聯立直線與小橢圓的方程，得到 P 點橫坐標，通過聯立直線與大橢圓方
程，得到 A, B橫坐標之和，判斷出 P 是線段 AB 的中點，得到 PA = PB ，從而判斷 C；通過解出B,C 點坐
標寫出方程判斷直線與小橢圓的位置關系.
【詳解】設大、小橢圓的長軸長之比與短軸長之比均為 l l >1 ，
設點P x0 , y0 、 A x1, y1 、B x2 , y2 ，
以橢圓的中心為坐標原點，橢圓的長軸、短軸所在直線分別為 x 、 y 軸建立如下圖所示的平面直角坐標系，
x2 y2
設小橢圓的方程為 2 + 2 =1 a > b > 0,c = a2 - b2 ，a b
x2 y2
則大橢圓的方程為 2 + 2 = l ，a b
對于 A，大橢圓的焦距長為 2 la2 - lb2 = 2 lc > 2c，兩橢圓的焦距不相等，A 錯；
la2 2
對于 B，大橢圓的離心率為 e - lb lc c= = = ，則兩橢圓的離心率相等，B 對；
la la a
對于 C，當直線 AB 與坐標軸垂直時，則點 A, B關于坐標軸對稱，此時點 P 為線段 AB 的中點，合乎題意，
當直線 AB 的斜率存在且不為零時，設直線 AB 的方程為 y = kx + m ，
ì y = kx + m
聯立 í 2 2 2 2 2 2 可得 k 2a2 + b2 x2 + 2a2kmx + a2 m2 - b2 = 0
b x + a y = a b
，
D = 4a4k 2m2 - 4a2 m2 - b2 k 2a2 + b2 = 0，可得m2 = k 2a2 + b2，
2 2
x a km a km ka
2
此時， 0 = - = - = - ，k 2a2 + b2 m2 m
ì y = kx + m
聯立 íb2x2 + a2 y2 2 2 ， = la b
k 2a2 + b2 x2 + 2a2kmx + a2 m2 2可得 - lb = 0 ，
x x 2a
2km 2a2km 2a2k
由韋達定理可得 1 + 2 = - 2 2 = - = - = 2x ，k a + b2 m2 m 0
即點 P 為線段 AB 的中點，所以， PA = PB ，C 對；
2 2
對于 D，當點 P 的坐標為 0,b 時，將 y = b x y代入 2 + 2 = l 可得 x = ±a l -1，不妨取點 A a l -1,b 、a b
B -a l -1,b ，則C -a l -1,-b ，若l 2，則直線BC 的方程為 x = -a l -1，此時直線BC 與橢圓不相
切，D 錯.
故選：BC
三、填空題
2 2
30 x y b．（2024·陜西咸陽·模擬預測）已知M 是橢圓E ： 2 + 2 =1 a > b > 0 的右焦點，過M 作直線 y = x 的垂a b c
1
線，垂足為 N ， MN = a ，則該橢圓的離心率為 .
2
2
【答案】
2
【分析】通過焦點到直線的距離建立 a,b,c 關系，解方程即可求解.
cb - a 0M c,0 MN cb 1【詳解】由題知， ，且 = = = a ，即 a2a 2 = 2cb ，c2 + b2
∴ a4 = 4c2b2 = 4c2 a2 - c2 ，∴ a4 2- 4a2c2 + 4c4 = 0，∴ a2 = 2c2 ，∴ e = .
2
2
故答案為：
2
2 2
31．（2024 高三上·江蘇泰州·期末）若橢圓C 的焦點在 y x y2 軸上，且與橢圓C1： + =1的離心率相同，則4 2
橢圓C2 的一個標準方程為 .
y2
【答案】 + x2 =1（答案不唯一）
2
x2 y2
【分析】先求得橢圓C1： + =1的離心率，進而可以得到橢圓C2 的一個標準方程.4 2
2 2
C x y+ =1 e 4 - 2 2【詳解】橢圓 1： 的離心率為 = = .4 2 2 2
2
則焦點在 y 2 C
y
軸上離心率為 的橢圓 2 可取： + x2 =1.2 2
y2
故答案為： + x2 =1
2
2
32．（2024 高三· x全國·專題練習）直線 l 與橢圓 + y2 =1交于 A，B 兩點，已知直線 l的斜率為 1，則弦 AB
4
中點的軌跡方程是 ．

x 4y 0 4 5 x 4 5

【答案】 + = - < <5 5 ÷÷è
【分析】利用點 A, B的坐標和點差法得出軌跡方程，利用點 M 在橢圓內即可得出取值范圍.
【詳解】設 A x1, y1 ，B x2 , y2 ，線段 AB 的中點為M x, y ，連接OM （O為坐標原點）．
x2 2 y - y y + y 1 y
由題意知 1 + y2 x=1 = 2 + y2 1 2 × 1 2 = - = k ×k =
4 1 4 2
，則 x1 - x x
AB OM ，
2 1 + x2 4 x
∴點M 的軌跡方程為 x + 4y = 0 ．
又點M 在橢圓內，
x2 2∴ + x- ÷ <1，4 è 4
4 5 4 5
解得：- < x < ，
5 5
4 5 4 5
故答案為： x + 4y = 0 - < x < ÷÷ .
è 5 5
2 2
33．（2024 高三·全國·對口高考）直線 x + y -1 = 0 x y截橢圓 + =1所得弦的中點 M 與橢圓中心連線OM 的
4 3
斜率為 ．
3
【答案】 / 0.75
4
【分析】根據題意利用點差法分析運算即可.
2 2
【詳解】設線 x + y -1 = 0 x y與橢圓 + =1的交點坐標為 A x1, y1 , B x2 , y M
x1 + x2 , y + y 2 ，則 1 2 ，4 3 2 2 ÷è
y1 + y2
k y - y可得 = 1 2 = -1, k = 2
y
= 1
+ y2
AB x - x OM x1 + x
，
1 2 2 x1 + x2
2
ì x2 21 y
+
1 =1
A, B 4 3 x
2 - x2 y2 - y2
因為 在橢圓上，則 í 2 2 ，兩式相減得
1 2 + 1 2 = 0 ，
x2 y2 4 3

+ =1
4 3
y21 - y
2
2 y1 - y y + y 3整理得 2 2 =
2 × 1 2 = - 3，即-kOM = -x1 - x2 x1 - x2 x1 + x2 4 4
k 3所以 OM = .4
3
故答案為： .
4
2 2
34．（2024 ·
x y 6
高二下 河北石家莊·階段練習）若橢圓C : + = 1的離心率為 ，則橢圓C 的長軸長
m 2 3
為 .
【答案】 2 6 或 2 2
【分析】根據題意，分類討論m > 2 和0 < m < 2兩種情況，結合橢圓方程的性質與離心率公式求解即可.
x2 y2 6
【詳解】因為橢圓 + =1的離心率為 ，易知m > 0，
m 2 3
當m > 2 時，橢圓焦點在 x 軸上， a2 = m，b2 = 2，
c2 m - 2 6
所以 2 = = ，解得m = 6，則 a = 6 ，所以橢圓的長軸長為 2 6 .a m 9
當0 < m < 2時，橢圓焦點在 y 軸上，a2 = 2，b2 = m，
c2 2 - m 6 2
所以 2 = = ，得m = ，滿足題意，a 2 9 3
此時 a = 2 ，所以橢圓的長軸長為 2 2 .
故答案為： 2 6 或 2 2 .
2 2
35．（2024· x y遼寧·一模）已知橢圓 C： 2 + 2 =1 a > b > 0 的左、右焦點分別為F1、F2，點A 、 B 在橢圓 Ca b
uuuur uuuur uuur uuur é 3 2 ù
上，滿足 AF2 × F1F2 = 0， AF1 = lF1B ，若橢圓 C 的離心率 e ê , ú ，則實數 λ 取值范圍為 .
3 2
【答案】[3,5]
uuur uuur
【分析】先寫出點F1、A 的坐標，再利用 AF1 = lF1B 求得點 B 的坐標，將點 B 的坐標代入橢圓 C 方程即可
化簡出實數 λ 與離心率 e的關系，從而得到實數 λ 取值范圍.
uuuur uuuur
【詳解】根據題意知 F1 -c,0 ，由 AF2 × F1F2 = 0得 AF2⊥F1F2，
b2
不妨設點A 在第一象限，則點A 的坐標為 c, ÷ .
è a
uuur uuur b2
由 AF1 = lF1B 知l > 0，且 -2c, - a ÷
= l xB + c, yB ，
è
-2c c, b
2
從而得到點 B 的坐標為 - - ÷ .
è l la
2
-2c
2 2
b -
將點 B 的坐標代入橢圓 C 方程得 - cè l ÷

è la
÷
+
，
a2 2
=1
b
2
整理得 l + 2 e2 +1- e2 = l 2 é e2，即 -1 l + 3e2 +1 ù l +1 = 0，
3e2 +1 4
所以l = 2 = 2 - 3 .1- e 1- e
é 3 2 ù 4
又因為 e ê , ú ，所以3 2 - 3 5，即實數 λ 取值范圍為[3,5] .
3 2 1- e
故答案為：[3,5] .
2 2
36 x y．（2024·重慶沙坪壩·模擬預測）已知 P 為圓C : x2 + y2 - 6y = 40 上一點，橢圓M : 2 + 2 =1 a > b > 0 焦a b
距為 6，點 P 關于直線 x - y = 0的對稱點在橢圓M 上，則橢圓離心率的取值范圍為 ．
3 3
【答案】[ , ]
10 4
【分析】轉化為圓C 關于直線 x - y = 0對稱的圓與橢圓有交點，再根據橢圓上的點到焦點的距離的最大值大
于等于半徑，最小值小于等于半徑列式可得結果.
【詳解】圓C : x2 + (y - 3)2 = 49關于直線 x - y = 0對稱的圓為： (x - 3)2 + y2 = 49，
2 2
依題意可得圓 (x - 3)2 + y2 = 49與橢圓M : x y2 + 2 =1 a > b > 0 有交點，a b
又橢圓的右焦點 (3,0)是圓的圓心，
c 3 3
所以 a + c 7，且 a - c 7 ，又 c = 3，所以 4 a 10， e = [ , ] .
a 10 4
3 3
故答案為：[ , ] .
10 4
2 2
37．（2024 x y高二上·浙江嘉興·期末）已知點F 是橢圓C ： + =1 a > b > 0 的右焦點，點F 關于直線 y = kx
a2 b2
1
的對稱點Q在C 上，其中 k
é ,2ùê ú ，則C 的離心率的取值范圍為 . 2
é 2 ù
【答案】 ê ,
5
2 3 ú
1 2k
【分析】求出點F 關于直線 y = kx 的對稱點Q的坐標，代入橢圓C 的方程中，整理可得 2 -1 = ，求出e 1+ k 2
2k
2 的范圍則可求得離心率的取值范圍.1+ k
y = kx y 1 x c【詳解】過點F 且與直線 垂直的直線 l為 = - + ，
k k
c ck c 1- k 2 2ck
兩直線的交點M 2 , 2 ÷ ，從而點Q , ÷ .è1+ k 1+ k è 1+ k
2 1+ k 2 ÷
點Q在橢圓C 上，
2 21- k 2 2c2 4k 2 c2 1- k 1 e2 4k
2 e2
則 2 2 + 2 2 2 = ，即 + 2 a 2 a - c 2 2 2 2 1- e2
=1
1+ k 1+ k 1+ k 1+ k
1 2k
則 2 -1 = 2 .e 1+ k
k é1 ,2ù 2k 4
é 2 5 ù
由于 ê ú ，則 2
é
ê ,1
ù 4 1
， -1 1， e ,
2 1+ k
ê
5 ú 5 e2 2 3
ú

é 2 5 ù
故答案為： ê , ú
2 3
2 2
38 x y．（2024 高二上·全國·課后作業）過橢圓 + =1的左焦點且斜率為1的弦 AB 的長是 ．
25 9
90 5 5【答案】 /
17 17
【分析】設點 A x1, y1 、B x2 , y2 ，寫出直線 AB 的方程，將該直線方程與橢圓方程聯立，利用弦長公式結
合韋達定理可求得 AB 的值.
【詳解】設點 A x1, y1 、B x2 , y2 ，
x2 y2
在橢圓 + =1中， a = 5，b = 3， c = a2 - b225 9 = 25 - 9 = 4
，
所以，橢圓的左焦點坐標為 -4,0 ，則直線 AB 的方程為 y = x + 4 ，
ìy = x + 4

聯立 í x2 y2 ，可得34x2 + 200x +175 = 0，
+ =1 25 9
D = 200 200 - 4 34 175 = 200 81 > 0，
x x 100 x x 175由韋達定理可得 1 + 2 = - ， 1 2 = ，17 34
2
AB = 1+12 x + x 2所以， 1 2 - 4x x
100 4 175 2 81 200 90
1 2 = 2 - ÷ - = = .
è 17 34 34 17
90
故答案為： .
17
39．（2024 高二下·福建廈門·階段練習）直線 l不與 x 軸重合，經過點 N n,0 n 0 ，橢圓
x2 2C : y2 + 2 =1 a > b > 0 上存在兩點A 、 B 關于 l對稱， AB 中點M 的橫坐標為m .若m = 3n，則橢圓C 的離a b
心率為 .
1
【答案】 3/
3 3 3
2
【分析】由點差法得 kOM kAB = e -1
2 1
，結合 klkAB = -1得 kOM = (1- e )kl ，代入斜率公式化簡并利用 xN = x3 M
可求得離心率.
ì x2 y21 + 1 2 2 =1
【詳解】設 A x1, y1 ，B x2 , y2 ，M xM, y M a b，則 í ，
x
2
2 y
2
2
a2
+ =1
b2
x21 x
2 y22 1 y
2 y - y y + y b2
兩式相減得 2 - 2 = - -
2 1 2 1 2
2 2 ÷，即 =a a è b b x1 - x2 x x a2
，
1 + 2
b2
所以 k 2OM kAB = 2 = e -3.1.2 橢圓的簡單幾何性質 12 題型分類
一、橢圓的簡單幾何性質
焦點的位置 焦點在 x 軸上 焦點在 y 軸上
圖形
x2 y2 y2 x2
標準方程 ＋ ＝1(a>b>0) ＋ ＝1(a>b>0)
a2 b2 a2 b2
范圍 －a≤x≤a，－b≤y≤b －b≤x≤b，－a≤y≤a
A1(－a，0)，A2(a，0)， A1(0，－a)，A2(0，a)，
頂點
B1(0，－b)，B2(0，b) B1(－b，0)，B2(b，0)
軸長 短軸長＝2b，長軸長＝2a
焦點 (± a2－b2，0) (0，± a2－b2)
焦距 |F1F2|＝2 a2－b2
對稱性 對稱軸：x 軸、y 軸　對稱中心：原點
c
離心率 e＝ ∈(0,1)
a
二、直線與橢圓的位置關系
x2 y2
直線 y＝kx＋m 與橢圓 ＋ ＝1(a>b>0)的位置關系的判斷方法：
a2 b2
{y＝kx＋m，聯立 x2 y2 消去 y 得到一個關于 x 的一元二次方程．＋a2 b2＝1.
直線與橢圓的位置關系、對應一元二次方程解的個數及 Δ 的關系如表所示．
直線與橢圓 解的個數 Δ
兩個不同的公共點 兩解 Δ>0
一個公共點 一解 Δ＝0
沒有公共點 無解 Δ<0
（一）
橢圓的簡單幾何性質
用標準方程研究幾何性質的步驟
(1)將橢圓方程化為標準形式．
(2)確定焦點位置．(焦點位置不確定的要分類討論)
(3)求出 a，b，c.
(4)寫出橢圓的幾何性質．
題型 1：研究橢圓的簡單幾何性質
x2 y21-1．（2024 高二上·全國·課后作業）橢圓 + =1的焦距為 4，則 m 的值為 ．
m 6
1-2．（2024 高二上·浙江湖州·期末）橢圓 4x2 + 49y2 =196的長軸長、短軸長、離心率依次是（ ）
A．7,2, 3 5 B 5 5 3 5．14,4, C．7,2, D．14,4,
7 7 7 7
2 2 2 2
1-3．（2024 · x y x y高二下 上海楊浦·期中）橢圓 + =1與橢圓 + =1 m < 9 的（ ）
9 25 9 - m 25 - m
A．長軸相等 B．短軸相等 C．焦距相等 D．長軸、短軸、焦距均不相等
題型 2：由幾何性質求標準方程
1
2-1．（2024 高二上·全國·課后作業）已知橢圓的對稱軸是坐標軸，離心率為 ，長軸長為 12，則橢圓方程為
3
（ ）
x2 y2 x2A y
2
． + = 1 B． + = 1
4 6 6 4
x2 y2 x2 y2 2 2C． + =1或 + =1 D x y． + =1
36 32 32 36 36 32
2-2．（2024 高三·全國·課后作業）過點 3,2 且與橢圓3x2 + 8y2 = 24 有相同焦點的橢圓方程為（ ）
x2 y2 x2 y2 2A 1 B 1 C x y
2 x2 y2
． + = ． + = ． + =1 D． + = 1
5 10 10 15 15 10 10 5
2-3．（2024 高二·全國·課后作業）過點 (3, -2)且與橢圓 4x2 + 9y2 = 36有相同焦點的橢圓的標準方程是（ ）．
x2 y2A 1 B x
2 y2
． + = ． 2 + 2 =115 10 15 10
x2 y2C x
2 y2
． + =1 D． + =1
10 15 102 152
2 2
2-4．（2024 高二上· x y廣東江門·期中）已知橢圓焦點在 x 軸，它與橢圓 + =1有相同離心率且經過點
4 3
2, - 3 ，則橢圓標準方程為 .
題型 3：點和橢圓的位置關系
2 2
3-1．（2024 高二上· x y全國·課后作業）若點 3,2 在橢圓 2 + 2 =1上，則下列說法正確的是（ ）a b
A．點 -3, -2 不在橢圓上 B．點 3, -2 不在橢圓上
C．點 -3,2 在橢圓上 D．無法判斷上述點與橢圓的關系
2 2
3-2．【多選】（2024 高二上·全國· (3,2) x y課后作業）已知點 在橢圓 2 + =1上，則下列各點一定在該橢圓上的a b2
是（ ）
A． -3, -2 B． 3, -2 C． -3,2 D． 2,3
2 2
3-3 x y．（2024 高二上·四川廣安·階段練習）點 A a,1 在橢圓 + =1的外部，則 a 的取值范圍是（ ）
4 2
A． - 2, 2 B． - , - 2 2,+
C． -2,2 D． -1,1
2 2
3-4．【多選】（2024 x y高二上·全國·課后作業）點 A a,1 在橢圓 + =1的內部，則 a的值可以是（ ）
4 2
A．- 2 B．-1 C．1 D． 2
（二）
求橢圓的離心率
求橢圓離心率及取值范圍的兩種方法
c
(1)直接法：若已知 a，c 可直接利用 e＝ 求解．若已知 a，b 或 b，c 可借助于 a2＝b2＋c2求出
a
c
c 或 a，再代入公式 e＝ 求解．
a
(2)方程法：若 a，c 的值不可求，則可根據條件建立 a，b，c 的關系式，借助于 a2＝b2＋c2，
轉化為關于 a，c 的齊次方程或不等式，再將方程或不等式兩邊同除以 a 的最高次冪，得到關
于 e 的方程或不等式，即可求得 e 的值或取值范圍．
題型 4：求橢圓的離心率
2 2
4-1．（2024 高二下· · x y浙江溫州 期末）已知橢圓C : 2 + 2 =1 a > b > 0 的左頂點為A ，上頂點為 B ，O為坐a b
標原點，橢圓上的兩點M xM, y M ，N xN , y N 分別在第一，第二象限內，若VOAN 與VOBM 的面積相等，
x2 + x2 = 3b2且 M N ，則橢圓C 的離心率為 .
2 2
4-2．（2024·河南新鄉· x y模擬預測）已知橢圓C : 2 + 2 =1(a > b > 0) 的左頂點為A ，點M , N 是橢圓C 上關于 ya b
2
軸對稱的兩點.若直線 AM , AN 的斜率之積為 ，則C 的離心率為（ ）
3
1
A 3． B 2． C D 3． ．
2 2 2 3
2 2
4-3．（2024· x y海南海口·模擬預測）已知F1，F2分別是橢圓C ： 2 + 2 =1（ a > b > 0）的左，右焦點，P 是Ca b
上的一點，若3 PF1 = 2 F1F2 ，且 PF1F2 = 60°，則C 的離心率為（ ）
A 3- 5． B． 2 - 3 C． 7 - 2 D．3- 2 2
2
4-4 2024 · · C : x
2 y2
．（ 高二下 廣東深圳 期末）已知橢圓 2 + 2 =1(a > b > 0) 的右焦點為F ，過原點的直線 l與C 交a b
于 A, B兩點，若 AF ^ BF ，且 AF = 3 BF ，則C 的離心率為（ ）
A 10 B 10
2 1
． ． C． D．
4 5 5 3
2 2
4-5．（2024·遼寧遼陽·二模）已知橢圓C : x y2 + 2 =1 a > b > 0 的右焦點為F ，過坐標原點O的直線 l與橢圓Ca b
uuur uuur
交于P,Q
2 3
兩點，點 P 位于第一象限，直線PF 與橢圓C 另交于點A ，且PF = FA，若 cos AFQ = ，
3 5
FQ = 2 FA ，則橢圓C 的離心率為（ ）
A 3 B 10 3． ． C． D 5．
4 5 3 4
題型 5：求橢圓的離心率的取值范圍
2 2
5-1．（2024·陜西西安· x y一模）已知橢圓 2 + 2 =1(a > 0,b > 0)上一點A ，它關于原點的對稱點為 B ，點F 為a b
π π
橢圓右焦點，且滿足 AF ^ BF ，設 ABF = a ，且a , ÷，則該橢圓的離心率的取值范圍是 .
è 6 3
5-2．（2024 高二下·湖南益陽·期末）若橢圓上存在點 P ，使得 P 到橢圓兩個焦點的距離之比為 2 :1，則稱該
橢圓為“倍徑橢圓”.則“倍徑橢圓”的離心率 e的取值范圍是（ ）
é 3 ù,1 0, 3 é1 ,1 0, 1ùA． ê ÷ B． C D
3 è 3
ú ． ê ÷ ．3 è 3
ú
é π 2 2
5-3．（2024·甘肅定西·模擬預測）過原點作一條傾斜角為q q ê ,
5π ù x y
ú ÷的直線與橢圓è 6 6 a2
+
b2
=1 a > b > 0
交于 A，B 兩點，F 為橢圓的左焦點，若 AF ^ BF ，則該橢圓的離心率 e 的取值范圍為 ．
2 2
5-4．（2024 · x y高二下 上海青浦·期末）點A 為橢圓C : 2 + 2 =1(a > b >1)的右頂點，P 為橢圓C 上一點（不與a b
uuur uuur
A 重合），若PO × PA = 0（O是坐標原點），則橢圓C 的離心率的取值范圍是（ ）
1 2 3 2 A． ,1÷ B． ,1 C． ,1 D． 0,è 2 è 2 ÷
÷ 2 ÷÷ ÷÷ è è 2
題型 6：由橢圓的離心率求參數
2 2 1
6-1．（2024 高二上·重慶沙坪壩· x y期末）已知橢圓 + =1的離心率 e = ，則 k 的值可能是（ ）
k + 5 9 3
41 7
A．3 B．7 C．3 或 D．7 或
8 4
2 2
6-2．（2024· x x全國）設橢圓C1 : + y
2
2 = 1(a > 1),C2 : + y
2 = 1的離心率分別為 e
a 4 1
,e2 ．若 e = 3e ，則 a =2 1
（ ）
A 2 3． B． 2 C． 3 D． 6
3
2 2 2 2
6-3．（2024 x y x y高三下·上海松江·階段練習）設 a > b > 0，橢圓 e
a2
+
b2
=1的離心率為 1 ，雙曲線 b2
-
a2 - 2b2
=1
a
的離心率為 e2，若 e1e2 <1，則 的取值范圍是 .b
2 2 1
6-4．（2024 高二上·全國·專題練習）橢圓C : x y2 + 2 =1(a > b > 0) 的左、右焦點分別是F1, F2 ，斜率為 的直a b 2
é1 3 ù
線 l過左焦點F1且交C 于 A，B 兩點，且△ABF2 的內切圓的周長是 2π，若橢圓的離心率為 e ê ,2 4 ú ，則線
段 AB 的長度的取值范圍是
（三）
直線與橢圓的位置關系
x2 y2
直線 y = kx + m 與橢圓 2 + 2 =1(a > b > 0)的位置關系：a b
ìy = kx + m,

聯立 í x2 y2 消去 y 得一個關于 x 的一元二次方程．
a2
+
b2
=1,
位置關系 解的個數 D的取值
相交 兩解 D >0
相切 一解 D =0
相離 無解 D <0
注：直線與橢圓有無公共點或有幾個公共點的問題，實際上是研究它們的方程組成的方程組是
否有實數解或實數解的個數問題，此時要注意分類討論思想和數形結合思想的運用．
題型 7：判斷直線與橢圓的位置關系
2 2
7-1．（2024 高二上· x y江西吉安·期末）已知過圓錐曲線 + = 1上一點P x , y x x y的切線方程為 0 + 0 y
m n o o
=1.
m n
x2 y2
過橢圓 + =1上的點 A 3, -1 作橢圓的切線 l，則過A 點且與直線 l垂直的直線方程為（ ）
12 4
A． x - y - 3 = 0 B． x + y - 2 = 0
C． 2x + 3y - 3 = 0 D．3x - y -10 = 0
2 2
7-2．（2024·四川南充·一模）已知直線 kx - y + 2 = 0 x y與橢圓 + =1恒有公共點，則實數 m 的取值范圍
9 m
（ ）
A． 4,9 B． 4, +
C． 4,9 9,+ D． 9, +
2 2
7-3．（2024 x y高二下·上海浦東新·期中）已知橢圓C : + = 1，直線
25 9
l : m + 2 x - m + 4 y + 2 - m = 0(m R)，則直線 l 與橢圓 C 的位置關系為（ ）
A．相交 B．相切 C．相離 D．不確定
7-4．（2024 高三·全國·對口高考）若直線 y = x -1與橢圓 x2 + 3y2 = a 有且只有一公共點，那么 a的值為（ ）
1 2 3
A． B． C． D．1
2 3 4
（四）
求相交弦長問題
1.定義：連接橢圓上兩個點的線段稱為橢圓的弦．
2.求弦長的方法
（1）交點法：將直線的方程與橢圓的方程聯立，求出兩交點的坐標，然后運用兩點間的距離
公式來求．
（2）根與系數的關系法：如果直線的斜率為 k，被橢圓截得弦 AB 兩端點坐標分別為(x1，y1)，
(x2，y2)，則弦長公式為： AB = 1+k 2 x1 + x
2 1
2 - 4x
2
1x2 = 1+ 2 y1 + y2 - 4y1 y2 ．k
題型 8：求直線與橢圓的相交弦長
2
8-1 2024 · · A 0, -2 E : x y
2 2
．（ 高二上 青海西寧 期末）已知點 ，橢圓 2 + 2 =1 a > b > 0 的離心率為 ，F 是橢a b 2
圓E 的右焦點，直線 AF 的斜率為 2，O為坐標原點．
(1)求橢圓 E 的方程：
(2)設過橢圓E 的左焦點且斜率為 k =1的直線 l與橢圓E 交于不同的兩M 、 N ，求 MN 的長．
2 2 8
8-2．（2024 高三·全國·專題練習）已知橢圓E : x y+ =1，設直線 y = kx - 2 被橢圓 C 截得的弦長為 ，
4 2 3
求 k 的值．
2 π
8-3．（2024
x
高三·全國·對口高考）已知橢圓 + y2 = 1，過左焦點F 作傾斜角為 的直線交橢圓于A 、B 兩點，
9 6
則弦 AB 的長為 ．
2 2
8-4．（2024
x y
高三·全國·專題練習）已知橢圓 + =1 a > b > 0 ，過左焦點F1的斜率為 1 的直線與橢圓分別
3 2
交于 A，B 兩點，求 AB ．
（五）
橢圓的中點弦問題
1、橢圓的中點弦結論：
x2 y2
若直線 l (不平行于 y 軸)過橢圓 2 + 2 =1( a > b > 0 )上兩點 A 、B ，其中 AB中點為 P(x0，y0 ) ，則a b
2
有 kAB × k
b
OP = - 2 .a
2、橢圓的中點弦問題
（1）根與系數關系法：聯立直線方程和橢圓方程構成方程組，消去一個未知數，利用一元二
次方程根與系數的關系以及中點坐標公式解決.
（2）點差法：利用交點在曲線上，坐標滿足方程，將交點坐標分別代入橢圓方
程，然后作差，構造出中點坐標和斜率的關系．
題型 9：求解橢圓的中點弦問題
x2 y29-1．（2024 高三·全國·專題練習）已知橢圓 C： + =1 ，過點P 1, -1 的直線 l 與橢圓 C 交于 A，B 兩
4 3
點，若點 P 恰為弦 AB 的中點，則直線 l 的斜率是（ ）
4 3 3 4
A．- B．- C． D．
3 4 4 3
9-2．（2024 高二·全國·課后作業）中心在原點，一個焦點為F1 0,5 2 的橢圓被直線 y = 3x - 2截得弦的中點
1
的橫坐標為 ，則橢圓的方程為 ．
2
2 2
9-3．（2024 高二下·新疆塔城· x y開學考試）已知過點M (1,1)的直線，與橢圓 + =1相交于 A，B 兩點，且
4 2
線段 AB 以點 M 為中點，則直線 AB 的方程是 .
（六）
與橢圓有關的最值、范圍問題的方法
(1)定義法：利用定義轉化為幾何問題處理．
(2)數形結合法：利用數與形的結合，挖掘幾何特征，進而求解．
(3)函數法：探求函數模型，轉化為函數的最值問題，借助函數的單調性、基本不等式等求解，注意橢圓的
范圍．　　　　
題型 10：與橢圓有關的最值問題
2 2
10-1 2024 x y．（ 高三·全國·對口高考）若點 O 和點 F 分別是橢圓 + =1的中心和左焦點，點 P 為該橢圓上
4 3
uuur uuur
的任意一點，則OP × FP 的最大值為（ ）
A．6 B．5 C．4 D．2
2 2
10-2．（2024· x y陜西西安·一模）在平面直角坐標系中，動點 P 在橢圓C : + =1上運動，則點 P 到直線
16 9
x - y - 5 = 0的距離的最大值為 ．
10-3．（2024
2
高三上·四川內江·期末）已知點A 是圓E : x -1 + y2 =16上的任意一點，點F -1,0 ，線段 AF
的垂直平分線交 AE 于點 P .
(1)求動點 P 的軌跡G的方程；
(2)若過點F 的直線交軌跡G于M 、N 兩點，B 是FM 的中點，點O是坐標原點，記VMEB與△ONF 的面積
之和為S ，求S 的最大值.
2
10-4．（2024 高二下· x河南周口·階段練習）已知橢圓C : + y2 =1的右頂點為 A，上頂點為 B，則橢圓上的一
4
動點 M 到直線 AB 距離的最大值為 ．
2 2
10-5．（2024 · x y高二上 江蘇蘇州·期末）橢圓 + =1上的點 P 到直線 x+ 2y- 9= 0 的最短距離為（　　）
4 3
A B 7 5 C 9 5． 5 ． ． D 13 5．
5 5 5
（七）
1.求解直線或曲線過定點問題的策略
2.求定值問題的策略
題型 11：橢圓的定點、定值問題
2 2
11-1．（2024· x y廣西·模擬預測）已知M , N 分別為橢圓E : 2 + 2 =1 a > b > 0 的左，右頂點，F 為其右焦點，a b
FM = 3 FN ，且點P 1,
3
2 ÷在橢圓E 上．è
(1)求橢圓E 的標準方程；
CD 2
(2)若過F 的直線 l與橢圓E 交于 A, B兩點，且 l與以MN 為直徑的圓交于C, D
12
兩點，證明： + 為定
AB 4
值．
2 2
11-2．（2024 · x y 3高二下 河南平頂山·期末）已知橢圓E : 2 + 2 =1 a > b > 0 經過點 A 0,1 ，且離心率為 .a b 2
(1)求橢圓 E 的方程；
(2)若經過點 -2, -1 ，且斜率為 k 的直線與橢圓 E 交于不同的兩點 P，Q（均異于點 A），證明：直線 AP 與
AQ 的斜率之和為定值.
2 2
11-3．（2024 x y高三下·陜西榆林·階段練習）已知橢圓C : 2 + 2 =1 a > b > 0 的右焦點為F 1,0 ，A、B 分別a b
是橢圓C 的左、右頂點， P 為橢圓C 的上頂點，VPAB 的面積為 2 .
(1)求橢圓C 的方程；
(2)設直線 l : y = kx + m 與橢圓C 交于不同的兩點M ， N ，點Q 2,0 ，若直線MQ 的斜率與直線 NQ 的斜率互
為相反數，求證：直線 l過定點.
11-4．（2024 高三上·江西萍鄉·期末）已知橢圓 E 的中心在原點，周長為 8 的VABC 的頂點， A - 3,0 為橢
圓 E 的左焦點，頂點 B，C 在 E 上，且邊 BC 過 E 的右焦點.
(1)求橢圓 E 的標準方程；
(2)橢圓 E 的上、下頂點分別為 M，N，點P m,2 m R,m 0 ,若直線PM ，PN 與橢圓 E 的另一個交點
分別為點 S，T，證明：直線 ST 過定點，并求該定點坐標.
（八）
橢圓的實際應用
解決橢圓的實際問題的基本步驟
(1)認真審題，理順題中的各種關系，如等量關系．
(2)結合所給圖形及題意建立適當的平面直角坐標系．
(3)利用橢圓知識及其他相關知識求解．　
題型 12：橢圓的實際應用
12-1．（2024 高二上·北京西城·期末）如圖是一個橢圓形拱橋，當水面在 l處時，在如圖所示的截面里，橋洞
與其倒影恰好構成一個橢圓.此時拱頂離水面 2m，水面寬 6m，那么當水位上升1m時，水面寬度為（ ）
A．3 3m B 3 3． m C 4 2． 4 2m D． m
2 3
12-2．（2024·廣東韶關·模擬預測）韶州大橋是一座獨塔雙索面鋼砼混合梁斜拉橋，具有樁深，塔高、梁重、
跨大的特點，它打通了曲江區、湞江區、武江區交通道路的瓶頸，成為連接曲江區與芙蓉新城的重要交通
橋梁，大橋承擔著實現韶關“三區融合”的重要使命，韶州大橋的橋塔外形近似橢圓，若橋塔所在平面截橋面
為線段 AB ，且 AB 過橢圓的下焦點， AB = 44 米，橋塔最高點 P 距橋面110米，則此橢圓的離心率為（ ）
1 2 2 4
A． B． C． D．
3 5 3 5
12-3．（2024 高二下·河北邯鄲·期末）開普勒第一定律也稱橢圓定律 軌道定律，其內容如下：每一行星沿各
自的橢圓軌道環繞太陽，而太陽則處在橢圓的一個焦點上.將某行星 H 看作一個質點， H 繞太陽的運動軌跡
x2 y2
近似成曲線 + =1(m > n > 0) ，行星 H 在運動過程中距離太陽最近的距離稱為近日點距離，距離太陽最
m n
遠的距離稱為遠日點距離.若行星 H 的近日點距離和遠日點距離之和是 18（距離單位：億千米），近日點距
離和遠日點距離之積是 16，則m + n = （ ）
A．39 B．52 C．86 D．97
12-4．（2024 高二上·河南鄭州·期末）橢圓具有這樣的光學性質：從橢圓的一個焦點發出的光線，經過橢圓
反射后，反射光線都經過橢圓的另一焦點．電影放映機聚光燈泡的反射鏡軸截面是橢圓的一部分，燈絲（看
成一個點）在橢圓的右焦點F2處，燈絲與反射鏡的頂點A 的距離 F2 A = 2cm，過焦點F2且垂直于軸的弦
BC = 6.4cm，在 x 軸上移動電影機片門，將其放在光線最強處，則片門應離燈絲（ ）
A．10cm B．8cm C．6cm D．13cm
一、單選題
2 2
1．（2024 高三·全國· x y對口高考）通過橢圓 + =1的焦點且垂直于 x 軸的直線 l 被橢圓截得的弦長等于
4 3
（ ）
A． 2 3 B．3 C． 3 D．6
2
2．（2024 高二上·全國·課前預習）直線 y = x +1與橢圓 x2 y+ =1的位置關系是（ ）
2
A．相離 B．相切 C．相交 D．無法確定
2 2
3．（2024 高二上·全國· x y課后作業）方程 + = 1表示的曲線是（ ）
25 16
3
A．焦點為點 -3，0 與 3，0 ，離心率為 的橢圓
5
B．焦點為點 0 - 3 0 3 3， 與 ， ，離心率為 的橢圓
5
C．焦點為點 -3，0 與 3 4，0 ，離心率為 的橢圓
5
D．焦點為點 0，- 3 與 0，3 4，離心率為 的橢圓
5
4．（2024·廣東廣州·模擬預測）已知以F1 -2,0 , F2 2,0 為焦點的橢圓與直線 x + y + 4 = 0有且僅有一個公共
點，則橢圓的長軸長為（ ）
A．3 2 B． 2 6 C． 2 10 D．4 2
2 2 b + c
5．（2024· x y廣西·一模）已知 c 是橢圓 2 + 2 =1(a > b > 0）的半焦距，則 取最大值時橢圓的離心率是a b a
（ ）
1 2
A B C 2． ． ． D 3．
2 3 2 3
6．（2024 高二上·江西萍鄉·期末）油紙傘是中國傳統工藝品，至今已有 1000 多年的歷史.為宣傳和推廣這一
傳統工藝，某活動中將一把油紙傘撐開后擺放在戶外展覽場地上，如圖所示.該傘的傘面是一個半徑為 2 3
的圓形平面，圓心到傘柄底端距離為 2，當光線與地面夾角為30o 時，傘面在地面形成了一個橢圓形影子，
且傘柄底端正好位于該橢圓的長軸上，該橢圓的離心率 e = （ ）
2 1
A． B． C 3 D 6． ．
3 2 2 3
7 x
2 y2
．（2024 高二上·黑龍江綏化·期中）直線 l： ax + y - a +1 = 0與橢圓 + =1的位置關系是（ ）
3 2
A．相交 B．相切 C．相離 D．相切或相交
2 2
8．（2024 高二下·寧夏銀川· x y階段練習）若直線 y = x + m 與橢圓 + =1相切，則實數 m 的值等于（ ）
4 2
A．±6 B．± 6 C．± 3 D．±4
x2 y29．（2024 高二下·山東濟南·期末）若直線 y = mx + 2 與焦點在 x 軸上的橢圓 + =1總有公共點，則 n 的
9 n
取值范圍是（ ）
A． 0,4 B． 4,9 C． 4,9 D． 4,9 9,+
x2 y210．（2024·安徽蚌埠·三模）若橢圓C : + = 1 6的離心率為 ，則橢圓C 的長軸長為（ ）
m 2 3
A．6 B 2 6． 或 2 6 C． 2 6 D． 2 2 或 2 6
3
2
11 x．（2024 高二·全國·課后作業）直線 x + 2y = m與橢圓 + y2 =1只有一個交點，則m 的值為（ ）
4
A． 2 2 B．± 2 C．±2 2 D．±2
2 2
12．（2024 高二下· · x y廣東茂名 期末）已知橢圓C : 2 + 2 =1(a > b > 0)
6
的離心率為 ，下頂點為 B ，點M 為
a b 3
C 上的任意一點，則 MB 的最大值是（ ）
A 3 2． b B． 2b C． 3b D． 2b
2
2 2
13．（2024 x y高二上·全國·課后作業）已知直線 y=kx-1 與焦點在 x 軸上的橢圓 C: + 2 =1 b > 0 總有公共點，4 b
則橢圓 C 的離心率取值范圍是（　　）
2 2 ù 3 3 ù
A． 0, 2 ÷÷
B． 0, ú C2 ．
0,
2 ÷÷
D． 0, 2 úè è è è
2 2 1
14．（2024 x y高二上·全國·課后作業）已知 P 點是橢圓 + =1上的動點，A 點坐標為 ,0÷，則 | PA |的最4 2 è 2
小值為（ ）
7 7 3 5A． B． C． D．
4 2 2 2
2 2
15．（2024 高二下·云南昆明·期末）已知橢圓C :
x y
2 + 2 = 1(a > b > 0), F1, F2 分別是C 的左，右焦點，P 為C 上一a b
π
點，若線段PF1的中點在 y 軸上， PF1F2 = ，則C 的離心率為（ ）6
2
A 3． B C 6． ． D．
3 2 - 33 3
2 2
16．（2024 x y高二·全國·課后作業）若橢圓 + =1的弦 AB 被點P 1,1 平分，則 AB 所在直線的方程為
9 4
（ ）
A． 4x + 9y -13 = 0 B．9x + 4y -13 = 0
C． x + 2y - 3 = 0 D． x + 3y - 4 = 0
2 2
17 x y．（2024 高二下·廣西河池·期末）已知橢圓C : 2 + 2 =1(a > b > 0) ，其上頂點為A ，左 右焦點分別為a b
F1, F2 ，且三角形 AF1F2 為等邊三角形，則橢圓C 的離心率為（ ）
1
A B 2 3
2
． ． C． D．
2 2 2 3
2 2
18．（2024 · · x y高二 全國 課后作業）橢圓C : 2 + 2 =1（ a > b > 0）的左、右焦點分別是F1，F2，斜率為 1 的a b
直線 l 過左焦點F1，交 C 于 A，B 兩點，且△ABF2 的內切圓的面積是p ，若橢圓 C 的離心率的取值范圍為
é 2 2 ù
ê , ú ，則線段 AB 的長度的取值范圍是（4 2 ）
é 2 2 ù
A． ê , ú B． 1,2 C． 4,8 D． é 4 2,8 2ù
4 2
2 2
19．（2024·重慶萬州·模擬預測）已知點M x1, y1 ， N x2 , y2 x1 x2 為橢圓C : x y2 + 2 =1(a > b > 0) 上的兩a b
a
點，點P ,0÷滿足 PM = PN ，則C 的離心率 e的取值范圍為（4 ）è
1 2 ,1 1 1 A． ÷ B

4 ．
,1÷
è 2 ÷
C． ,1÷ D． 0, ÷
è è 2 è 2
2
20．（2024 高三·全國· x專題練習）已知橢圓 + y2 =1與直線 y = x + m 交于 A，B 兩點，且| | = 4 2，則實
2 3
數 m 的值為（ ）
1
A．±1 B．±
2
C． 2 D．± 2
x2 y221．（2024 高二下·貴州遵義·期中）已知F 是橢圓 2 + 2 =1
1
a > b > 0 的右焦點，直線 y = b與橢圓交于
a b 3
BFC πB ，C 兩點，若 = ，則該橢圓的離心率是（ ）
2
A 5． B 6 C 14． ． D 7．
3 3 4 4
2
22．（2024 高二下·上海浦東新·期中）直線3x - 2y + 6 = 0 y
x x
與曲線 - =1的公共點的個數是（ ）．
9 4
A．1 B．2 C．3 D．4
23．（2024·陜西西安·二模）“蒙日圓”涉及幾何學中的一個著名定理，該定理的內容為：橢圓上兩條互相輸出
x2 y2
垂直的切線的交點必在一個與橢圓同心的圓上，該圓稱為橢圓的蒙日圓．若橢圓 C： + =1(a > 0)的
a +1 a
1
離心率為 ，則橢圓 C 的蒙日圓的方程為（
3 ）
A． x2 + y2 =19 B． x2 + y2 =17 C． x2 + y2 =15 D． x2 + y2 =14
2 2
24 x y．（2024·四川巴中·模擬預測）已知橢圓C : 2 + 2 =1 a > b > 0 四個頂點構成的四邊形的面積為16 2 ，a b
直線 l : x - 2y + 6 = 0 與橢圓 C 交于 A，B 兩點，且線段 AB 的中點為 -2,2 ，則橢圓 C 的方程是（ ）
2
A x y
2 x2 y2
． + =1 B． + =1
16 8 32 4
C x
2 y2 1 D x
2 y2
． + = ． + =1
32 16 64 2
2 2
25．（2024 x y高二上·浙江·期中）已知F1、F2是橢圓 2 + 2 = 1(a > b > 0) 的兩個焦點，以線段F1F2 為邊作正三a b
角形MF1F2 ，若邊MF1 的中點在橢圓上，則橢圓的離心率是（ ）
A． 4 - 2 3 B． 3 -1 C 3 -1． D． 3 +1
2
2 2
26．（2024 x y高二上·全國·課后作業）橢圓 + 2 =1的焦點在 x 軸上，則它的離心率的取值范圍是（ ）5a 4a +1
1 1
A 0 5．（ ， ） B．（ ， ]
5 5 5

0, 5
ù é 5
C． 5 ú
D． ê ,15 ÷÷è
2 2
27 2024 x y．（ 高二下·云南玉溪·期末）已知橢圓 E： F A
a2
+ 2 =1 a > b > 0)的右焦點為 2，左頂點為 ，若 E 上b 1
的點 P 滿足PF2 ^ x軸， tan PA
1
1F2 = ，則 E 的離心率為（ ）2
1 2 1 1
A． B． C． D
2 5 4
．
5
二、多選題 28．（2024 高三下·江蘇南京·開學考試）加斯帕爾 蒙日（圖 1）是 18～19 世紀法國著名的幾何
學家,他在研究圓錐曲線時發現:橢圓的任意兩條互相垂直的切線的交點都在同一個圓上,其圓心是橢圓的中
2 2
心,這個圓被稱為“蒙日圓”（圖 2 x y）．已知長方形 R 的四邊均與橢圓C : + = 1相切,則下列說法正確的是
6 3
（ ）
A．橢圓 C 的離心率為 e 2= B．橢圓 C 的蒙日圓方程為 x2 + y2 = 6
2
C．橢圓 C 的蒙日圓方程為 x2 + y2 = 9 D．長方形 R 的面積最大值為 18
29．（2024 高三·全國·專題練習）青花瓷又稱白地青花瓷，常簡稱青花，中華陶瓷燒制工藝的珍品，是中國
瓷器的主流品種之一，屬釉下彩瓷.如圖為青花瓷大盤，盤子的邊緣有一定的寬度且與桌面水平，可以近似
看成由大小兩個橢圓圍成.經測量發現兩橢圓的長軸長之比與短軸長之比相等.現不慎掉落一根質地均勻的
長筷子在盤面上，恰巧與小橢圓相切，設切點為 P ，盤子的中心為O，筷子與大橢圓的兩交點為 A, B，點A
關于O的對稱點為C .給出下列四個命題其中正確的是（ ）
A．兩橢圓的焦距長相等 B．兩橢圓的離心率相等
C． PA = PB D．BC 與小橢圓相切
三、填空題
2 2
30．（2024· x y b陜西咸陽·模擬預測）已知M 是橢圓E ： 2 + 2 =1 a > b > 0 的右焦點，過M 作直線 y = x 的垂a b c
1
線，垂足為 N ， MN = a ，則該橢圓的離心率為 .
2
2 2
31．（2024 高三上· · C y C x y江蘇泰州 期末）若橢圓 2 的焦點在 軸上，且與橢圓 1： + =1的離心率相同，則4 2
橢圓C2 的一個標準方程為 .
2
32．（2024 高三· · x全國 專題練習）直線 l 與橢圓 + y2 =1交于 A，B 兩點，已知直線 l的斜率為 1，則弦 AB
4
中點的軌跡方程是 ．
2 2
33．（2024 高三·全國·對口高考）直線 x + y -1 = 0 x y截橢圓 + =1所得弦的中點 M 與橢圓中心連線OM 的
4 3
斜率為 ．
2 2
34．（2024 高二下·
x y 6
河北石家莊·階段練習）若橢圓C : + = 1的離心率為 ，則橢圓C 的長軸長
m 2 3
為 .
2 2
35．（2024· · x y遼寧 一模）已知橢圓 C： 2 + 2 =1 a > b > 0 的左、右焦點分別為F1、F2，點A 、 B 在橢圓 Ca b
uuuur uuuur uuur uuur é 3 2 ù
上，滿足 AF2 × F1F2 = 0， AF1 = lF1B ，若橢圓 C 的離心率 e ê , ú ，則實數 λ 取值范圍為 .
3 2
2 2
36．（2024·重慶沙坪壩·模擬預測）已知 P 為圓C : x2 + y2 - 6y = 40 M : x y上一點，橢圓 2 + 2 =1 a > b > 0 焦a b
距為 6，點 P 關于直線 x - y = 0的對稱點在橢圓M 上，則橢圓離心率的取值范圍為 ．
2 2
37．（2024 高二上·浙江嘉興· x y期末）已知點F 是橢圓C ： + y = kx
a2 b2
=1 a > b > 0 的右焦點，點F 關于直線
的對稱點Q
é1 ù
在C 上，其中 k ê ,2ú ，則C 的離心率的取值范圍為 . 2
2 2
38．（2024 高二上·全國· x y課后作業）過橢圓 + =1的左焦點且斜率為1的弦 AB 的長是 ．
25 9
39．（2024 高二下·福建廈門·階段練習）直線 l不與 x 軸重合，經過點 N n,0 n 0 ，橢圓
2
C : x y
2
2 + 2 =1 a > b > 0 上存在兩點A 、 B 關于 l對稱， AB 中點M 的橫坐標為m .若m = 3n，則橢圓C 的離a b
心率為 .
四、解答題
2 2
40．（2024 高二上·江蘇南京·期中）在平面直角坐標系 xOy E x y中，橢圓 ： 2 + 2 = 1(a > b > 0) 的左頂點到右a b
1
焦點的距離是 3，離心率為 ．
2
(1)求橢圓E 的標準方程；
(2)斜率為 2 的直線 l經過橢圓E 的右焦點，且與橢圓E 相交于A ， B 兩點．已知點P -3,0 ，求 的
值．
2 2
41．（2024 高二上· x y陜西西安·期末）已知橢圓C : 2 + 2 =1(a > b > 0) 的右焦點F 3,0 ，長半軸長與短半軸a b
長的比值為 2．
(1)求橢圓C 的標準方程；
(2)設 B 為橢圓C 的上頂點，直線 l : y = x + m m 1 與橢圓C 相交于不同的兩點M ， N ，若BM ^ BN ，求
直線 l的方程．
2 2
42．（2024 高二下·北京· x y期中）已知橢圓C : 2 + 2 = 1(a > b > 0)
2
的離心率為 ，其左焦點為F1(-1,0) .直線a b 2
l : y 1= (x+2)交橢圓C 于不同的兩點 A, B .
2
(1)求橢圓C 的方程；
(2)求VF1AB 的面積.
2 2 π
43．（2024 高二上·全國· x y課后作業）已知經過橢圓 + =1的右焦點F2的直線 AB 的傾斜角為 ，交橢圓于4 3 4
A、B 兩點，F1是橢圓的左焦點，求VABF1 的周長和面積．
2 2
44．（2024 · x y高二下 河南洛陽·階段練習）已知F1、F2是橢圓C: 2 + 2 =1 a > b > 0 的左、右焦點，點a b
3 P - 2, ÷÷在橢圓C 上，且PF3 1
^ F1F2 .
è
(1)求橢圓C 的方程；
(2)已知A ， B 兩點的坐標分別是 0,2 ， -1,0 ，若過點A 的直線 l與橢圓C 交于M ， N 兩點，且以MN 為
直徑的圓過點 B ，求出直線 l的所有方程.
45．（2024·北京海淀·模擬預測）已知曲線C : (5 - m)x2 + (m - 2)y2 = 8(m R)．
(1)若曲線 C 是橢圓，求 m 的取值范圍．
(2)設m = 4 ，曲線 C 與 y 軸的交點為 A，B（點 A 位于點 B 的上方），直線 l : y = kx + 4與曲線 C 交于不同的
兩點 M，N．設直線 AN 與直線 BM 相交于點 G．試問點 G 是否在定直線上？若是，求出該直線方程；若不
是，說明理由．
46．（2024 高二下·寧夏銀川·階段練習）已知橢圓 C 的焦點分別為 F1 -2 2,0 ，F2 2 2,0 ，長軸長為 6，
設直線 y = x + 2 交橢圓 C 于 A，B 兩點.
(1)求線段 AB 的中點坐標；
(2)求△OAB 的面積.
47．（2024 高二下·河南洛陽·期末）已知圓 S : x2 + y2 + 4x - 20 = 0，點 P 是圓S 上的動點，T 是拋物線 y2 = 8x
的焦點，Q為PT 的中點，過Q作QG ^ PT 交PS 于G ，記點G 的軌跡為曲線C ．
(1)求曲線C 的方程；
(2)過 S -2,0 的直線 l交曲線C 于點M 、 N ，若△MON 2 6的面積為 （O為坐標原點），求直線 l的方程．
3
2 2
48 2024· · C : x y+ = 1(a > b > 0) 2．（ 寧夏石嘴山 模擬預測）已知橢圓 2 2 的離心率為 ，且橢圓上任意一點到a b 2
1
橢圓兩個焦點的距離之和為 2 2 .直線 l : y = (x+2)交橢圓C 于不同的兩點 A, B，2
(1)求橢圓C 的方程；
(2)橢圓左焦點為F1，求VF1AB 的面積.
2 2
49 x y．（2024 高二下·陜西商洛·期末）已知 A(-2,0)是橢圓C : 2 + 2 =1(a > b > 0) 的左頂點，過點D(1,0)的直a b
線 l與橢圓C 交于P，Q兩點（異于點A ），當直線 l的斜率不存在時， PQ = 3．
(1)求橢圓 C 的方程；
(2)求△APQ 面積的取值范圍．
2 2 2
50．（2024·江蘇南通· x模擬預測）已知橢圓C 2 x y1： + y =1的左、右頂點是雙曲線C2： -2 a2 b2
=（1 a > 0，b > 0）的
uuur uuur
頂點，C1的焦點到C
3
2 的漸近線的距離為 .直線 l：y = kx + t 與C2 相交于 A，B 兩點，OA ×OB = -3 .
3
(1)求證：8k 2 + t 2 =1
(2)若直線 l 與C1相交于 P，Q 兩點，求 PQ 的取值范圍.
51．（2024 高二上·山東濱州·期末）已知橢圓 C 的兩個焦點分別是F1 -1,0 ，F2 1,0 ，并且經過點
2 P 1, 2 ÷÷．è
(1)求橢圓 C 的標準方程；
(2)若直線 l : y = x + m與橢圓 C 相交于 A，B 兩點，當線段 AB 的長度最大時，求直線 l 的方程．
2 2
52．（2024· x y河南洛陽·模擬預測）已知橢圓C ： 2 + 2 = 1(a > b > 0)
3
的離心率為 ，右焦點為F 3,0 ，
a b 2
A ， B 分別為橢圓C 的左、右頂點.
(1)求橢圓C 的方程；
(2)過點D 1,0 作斜率不為0 的直線 l，直線 l與橢圓C 交于 P ，Q兩點，記直線 AP 的斜率為 k1，直線BQ的
k1
斜率為 k2 ，求證： k 為定值；2
(3)在（2）的條件下，直線 AP 與直線BQ交于點M ，求證：點M 在定直線上.

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