資源簡介

3.1.1 橢圓及其標準方程 7 題型分類
一、橢圓的定義
1．定義：平面內與兩定點 F1，F2的距離的和等于常數(大于|F1F2|)的點的軌跡．
2．焦點：兩個定點 F1，F2.
3．焦距：兩焦點間的距離|F1F2|.
4．幾何表示：|MF1|＋|MF2|＝2a(常數)且 2a>|F1F2|.
二、橢圓的標準方程
焦點在 x 軸上 焦點在 y 軸上
x2 y2 y2 x2
標準方程 ＋ ＝1(a>b>0) ＋ ＝1(a>b>0)
a2 b2 a2 b2
圖形
焦點坐標 F1(－c，0)，F2(c，0) F1(0，－c)，F2(0，c)
a，b，c 的關系 b2＝a2－c2
（一）
求橢圓的標準方程
1.橢圓的定義：平面內與兩個定點 F1，F2的距離的和等于常數(大于|F1F2|)的點的軌跡．
2．橢圓的標準方程
焦點在 x 軸上 焦點在 y 軸上
x2 y2 y2 x2
標準方程 ＋ ＝1(a>b>0) ＋ ＝1(a>b>0)
a2 b2 a2 b2
圖形
焦點坐標 F1(－c，0)，F2(c，0) F1(0，－c)，F2(0，c)
a，b，c 的關系 b2＝a2－c2
題型 1：橢圓的定義及辨析
1-1．（2024 高二上·四川巴中·階段練習）設 P(x, y) 滿足： x2 + (y + 2)2 + x2 + (y - 2)2 = 5，則 P 點的軌跡為
（ ）
A．圓 B．橢圓 C．線段 D．不存在
【答案】B
【分析】根據橢圓定義分析判斷.
【詳解】∵ x2 + (y + 2)2 + x2 + (y - 2)2 = 5表示為 P(x, y) 到定點F1 0, -2 , F2 0,2 的距離之和為 5，即
PF1 + PF2 = 5 > F1F2 = 4，
∴ P 點的軌跡為橢圓.
故選：B.
1-2．（2024 高二·全國·課后作業）已知F1，F2是兩個定點，且 F1F2 = 2a（ a是正常數），動點 P 滿足
PF + PF = a21 2 +1，則動點 P 的軌跡是（ ）
A．橢圓 B．線段 C．橢圓或線段 D．直線
【答案】C
【分析】討論 a2 +1與 2a的大小關系，結合橢圓定義可知.
【詳解】解：因為 a2 +1…2a （當且僅當 a =1 時，等號成立 ) ，所以 | PF1 | + | PF2 |… | F1F2 |，
當 a > 0 且 a 1 時， | PF1 | + | PF2 |>| F1F2 |，此時動點 P 的軌跡是橢圓；
當 a =1 時， | PF1 | + | PF2 |=| F1F2 |，此時動點 P 的軌跡是線段F1F2 ．
故選：C．
9 9 25
1-3．（2024 高二·全國·課后作業）已知動點 M 到定點 A - ,0÷ 與B ,0÷的距離的和是 ，則點 M 的軌跡
è 4 è 4 2
方程是 ．
x2 y2
+ =1
【答案】 625 34
16
【分析】根據橢圓的定義直接寫出該曲線的方程.
9 9 25 9
【詳解】因為 M 到頂點 A(- ,0) 和B( ,0) 的距離的和為 > AB = ，
4 4 2 2
x2 y2
所以 M 的軌跡是以 A，B 為焦點的橢圓，設方程為 + =1（ a > b > 0），
a2 b2
c 9 25 25則 = ， 2a = ，所以a = ，b2 = a2 - c2 = 34，
4 2 4
x2 y2
M 625 + =1的軌跡方程為 34 .
16
x2 y2
625 + =1故答案為： 34 .
16
題型 2：求橢圓的標準方程
2 3
2-1．（2024 高二上·江蘇連云港·期末）經過M 2, - ÷÷、 N - 2,- ÷÷兩點的橢圓的標準方程是 ．
è 2 è 2
x2
【答案】 + y2 =1
8
【分析】設所求橢圓的方程為mx2 + ny2 =1，將點M 、 N 的坐標代入橢圓方程，可得出關于m 、 n 的方程
組，解出這兩個未知數的值，即可得出所求橢圓的標準方程.
【詳解】設所求橢圓的方程為mx2 + ny2 =1，
ì
4m
1
+ n =1 ì 1

N 2
m =
將點M 、 的坐標代入橢圓方程可得 í ，解得 í 8 ，
2m 3+ n =1 n =1
4
x2
因此，所求橢圓的標準方程為 + y2 =1.
8
x2
故答案為： + y2 =1.
8
2 2
2-2．（2024 · x y高二下 江蘇南京·階段練習）已知橢圓C : + =1(a > b > 0) 的左、右焦點為F1(-1,0), F2 (1,0)，a2 b2
P 3 且過點 1, ÷ ,則橢圓標準方程為 ．
è 2
x2 y2
【答案】 + =1
4 3
【分析】待定系數法求橢圓的標準方程.
【詳解】由題知： c =1，①

又橢圓經過點P 1,
3
÷，
è 2
9
所以 1 + 42 2 =1
，②
a b
又 a2 - b2 = c2 ，③
聯立解得： a2 = 4,b2 = 3，
x2 y2
故橢圓的標準方程為： + =1.
4 3
x2 y2
故答案為： + =1.
4 3
2 2 3 10
2-3．（2024 高二上· x y福建龍巖·期中）已知橢圓 C: 2 + 2 = 1(a > b > 0) ,四點Pa b 1
1, ÷ , P2 0, 3 , P2 3 -1, ,è è 2 ÷÷

P4 1,
10
- ÷÷ 中恰有三點在橢圓C 上,則橢圓 C 的標準方程為（2 ）è
x2 y2 2 2 2A 1 B x y 1 C x y
2 2
1 D x y
2
． + = ． + = ． + = ． + = 1
4 3 9 3 8 3 6 3
【答案】D

【分析】根據橢圓的對稱性可知P 1,
10 P 1, 103 - ÷÷ , 4 - ÷÷ 在橢圓上, P
1, 3
2 2 1 2 ÷
不在橢圓上, P2 0, 3 在橢圓上,
è è è
代入橢圓方程求出 a,b即可.

P 1, 10
10
【詳解】根據橢圓的對稱性可知 3 - ÷÷ , P4 1, - ÷÷ 在橢圓上, P1 1,
3
÷不在橢圓上, P2 2 2 2 0, 3 在橢圓è è è
上.
將P2 0, 3 , P3 -1,
10
÷÷ 代入橢圓方程得:
è 2
ì
3
2
b2
=1

í 2 10 , ÷
1
+ è
2
=1 a2 b2
ìa2 = 6
解得 í 2 ,
b = 3
2 2
橢圓 C x y的標準方程為 + = 1 .
6 3
故選:D.
2-4．（2024 高二上·全國·課后作業）若橢圓的中心為原點，對稱軸為坐標軸，短軸的一個端點與兩焦點構成
個正三角形，焦點到橢圓上點的最短距離為 3，則這個橢圓的方程為（ ）
x2 2 2A y 1 B x y
2
1 x
2 y2
． + = ． + = 或 + =1
12 9 12 9 9 12
C x
2 y2
． + = 1 D．以上都不對
36 12
【答案】B
【分析】由短軸的一個端點與兩焦點構成個正三角形可得b = 3c ，由焦點到橢圓上點的最短距離為a - c ，
結合 a2 = b2 + c2可得.
【詳解】
x2 y2
由題意，當橢圓焦點在 x 軸上，設橢圓方程為：
a2
+ =1，
b2
由題意b = 3c ， a - c = 3，
所以 a = b2 + c2 = 4c2 = 2c ， c = 3 ， a = 2 3 ，b = 3，
x2 y2
所以橢圓方程為： + =1，
12 9
x2 y2
當橢圓焦點在 y 軸上時，同理可得： + =1，
9 12
故選：B
（二）
橢圓的定義及其應用
橢圓定義的應用技巧
(1)橢圓的定義能夠對橢圓上的點到焦點的距離進行轉化．
(2)橢圓上一點 P 與橢圓的兩個焦點 F1，F2構成的△PF1F2，稱為焦點三角形，可以利用橢圓的
定義，結合正弦定理、余弦定理、三角形的面積公式等知識求解．
(3)橢圓上一點 P 與橢圓的兩焦點 F1，F2 構成的△F1PF2 稱為焦點三角形，解關于橢圓中的焦點三角形問題
時要充分利用橢圓的定義、三角形中的正弦定理、余弦定理等知識．對于求焦點三角形的面積，若已知
1
∠F1PF2，可利用 S＝ absinC 把 |PF1|·|PF2|看成一個整體，利用定義 |PF1|＋ |PF2|＝2a 及余弦定理求出2
|PF1|·|PF2|，這樣可以減少運算量．
焦點三角形的常用公式：
(1)焦點三角形的周長 L＝2a＋2c.
(2)在△PF1F2中，由余弦定理可得|F1F 22| ＝|PF1|2＋|PF |22 －2|PF1||PF2|cos∠F1PF2.
1 ∠F1PF2
(3)設 P(xP，yP)，焦點三角形的面積 S△F ＝c|y |＝ |PF ||PF |·sin∠F PF ＝b2tan .1PF2 P 2 1 2 1 2 2
題型 3：橢圓的定義及其應用
2 2
3-1．（2024 x y高二·全國·課后作業）“1< k < 5 ”是方程“ + =1表示橢圓”的（ ）
k -1 5 - k
A．充分不必要條件 B．必要不充分條件
C．充要條件 D．既不充分又不必要條
【答案】B
ìk -1 > 0,

【分析】根據橢圓的標準方程可得 í5 - k > 0, ，解不等式組得出1< k < 5且 k 3，再利用必要不充分條件

k -1 5 - k,
定義即可求解.
ìk -1 > 0,

【詳解】若方程表示橢圓，則有 í5 - k > 0,

k -1 5 - k,
因此1< k < 5且 k 3，
“1< k < 5 ” “ x
2 y2
故 是 方程 + =1表示橢圓”的必要不充分條件．
k -1 5 - k
故選：B
2 2
3-2 x y．（2024 高二上·江西南昌·期末）已知條件 p ：mn > 0，條件 q： + = 1表示一個橢圓，則 p 是 q的
m n
（ ）
A．充分不必要條件 B．必要不充分條件
C．充要條件 D．既不充分也不必要條件
【答案】B
【分析】根據曲線方程，結合充分、必要性的定義判斷題設條件間的關系.
2 2
【詳解】由mn > 0 x y，若m = n > 0 ，則 + = 1表示一個圓，充分性不成立；
m n
x2 y 2
而 + = 1表示一個橢圓，則mn > 0成立，必要性成立.
m n
所以 p 是 q的必要不充分條件.
故選：B
x2 y23-3．（2024 高二上·寧夏·階段練習）方程 + =1表示橢圓的充要條件是 ．
5 - k k
0, 5 5 【答案】 2 ÷
,5÷答案不唯一
è è 2
【分析】兩個分母為不相等的正值時，所給方程表示橢圓.
x2 y2
【詳解】方程 + =1表示橢圓,
5 - k k
ì5 - k > 0
5 5
則必有 í k > 0 解之得0 < k < 或 < k < 5
2 2
5 - k k

故答案為： 0,
5 5
2 ÷
,5÷ ,（答案不唯一，其他等價情況也對）
è è 2
x2 y23-4．（2024·安徽合肥·模擬預測）“ m < 2 ”是“方程 + =1表示橢圓”的（ ）
2 - m m +1
A．充分不必要條件 B．必要不充分條件
C．充要條件 D．既不充分也不必要條件
【答案】B
【分析】根據方程表示橢圓的條件求解.
ì2 - m > 0
2 2 ì-1 < m < 2x y
【詳解】方程 + =1表示橢圓 ím +1 > 0 ím 1
，
2 - m m +1
2 - m m +1 2
x2 y2
所以“ m < 2 ”是“方程 + =1表示橢圓”的必要不充分條件，
2 - m m +1
故選：B.
題型 4：橢圓的焦點三角形問題
2 2
4-1．（2024 x y高二下·安徽蕪湖·期中）設 P 為橢圓 + =1上的一點，F1、F2分別為橢圓的左、右焦點，且9 4
F1PF2 = 60°，則 PF1 × PF2 等于（ ）
8 16
A B C 4 3 D 8 3． ． ． ．
3 3 3 3
【答案】B
【分析】利用橢圓的定義以及余弦定理求得 PF1 × PF2 .
x2 y2
【詳解】橢圓 + =1，則 a = 3,b = 2,c = 5 ，
9 4
F1F2 = 2c = 2 5, PF1 + PF2 = 2a = 6 ，
2 2
兩邊平方得 PF1 + PF2 + 2 PF1 × PF2 = 36 ①，
在VPF 2 2 21F2中，由余弦定理得 F1F2 = PF1 + PF2 - 2 PF1 × PF2 ×cos 60° ,
PF 2 + PF 2即 1 2 - PF1 × PF2 = 20 ②，
16
由①②得 PF1 × PF2 = .3
故選：B
4-2 2024 · · x
2 y2
．（ 高二下 江西贛州 階段練習）已知橢圓 + =1的焦點為F1、F2，點 P 在橢圓上，若 | PF1 |= 4，9 2
則 | PF2 |= ， F1PF2 的大小為 .
【答案】 2 120o
【分析】由橢圓方程，結合橢圓的定義求 | PF2 |，在焦點三角形中應用余弦定理求 F1PF2 的余弦值，進而確
定其大小.
【詳解】∵ a2 = 9，b2 = 2，
∴ c = a2 - b2 = 9 - 2 = 7 ，
∴ F1F2 = 2 7 ，又 | PF1 |= 4， | PF1 | + | PF2 |= 2a = 6，
2
∴ | PF |= 2 cos F PF 2 + 4
2 - (2 7)2 1
2 ，由余弦定理，得 1 2 = = - ，2 2 4 2
∴ F1PF2 =120
o .
故答案為：2，120o
2 2
4-3 2024 x y．（ 高二下·甘肅白銀·期末）已知F1, F2 分別是橢圓C : + =1的左、右焦點， P 是橢圓C 在第一9 4
象限內的一點，若PF1 ^ PF2，則 tan PF1F2 = ．
1
【答案】 / 0.5
2
【分析】
PF2
由橢圓方程可得 a,b,c的值，利用勾股定理和橢圓定義可構造方程求得 PF1 , PF2 ，根據 tan PF1F2 = PF 可1
求得結果.
【詳解】
由橢圓方程得： a = 3，b = 2 ，\c = a2 - b2 = 5 ，\ F1F2 = 2c = 2 5 ；
設 PF1 = x，由橢圓定義知： PF2 = 2a - x = 6 - x，
QPF1 ^ PF
2
2 ，\ PF
2 + PF 2 = F F 21 2 1 2 ，即 x
2 + 6 - x = 20，
解得： x = 2或 x = 4；
QP為橢圓C 在第一象限內的點，\ PF1 > PF2 ，即 x > 6 - x，\ x > 3，\ x = 4；
PF
tan PF F 2 6 - 4 1\ 1 2 = = =PF 4 2 .1
1
故答案為： .
2
2 2
4-4．（2024 x y高二上·新疆喀什·期末）在橢圓 + =1上有一點 P，F1 F2是橢圓的左 右焦點，VF1PF2為直4 2
角三角形，這樣的點 P 有（ ）
A．2 個 B．4 個 C．6 個 D．8 個
【答案】C
【分析】由VF1PF2為直角三角形，討論直角頂點的位置，分三種情況，分別得出符合要求的點 P ，可得選
項.
【詳解】當 PF1F2 為直角時，這樣的點 P 有 2 個，如下圖中的點P1, P2 ；
當 PF2F1 為直角時，這樣的點 P 有 2 個，如下圖中的點 P3 , P4 ；
2 2
當 F1PF
x y
2 為直角時，因為橢圓 + =1中 a = 2,b = 2 = c ，所以這樣的點 P 有 2 個，如下圖中的點P5 , P ，4 2 6
所以符合條件VF1PF2為直角三角形的點 P 有 6 個，
故選：C.
2 2
4-5．（2024 高二上·全國· x y課后作業）已知點 P 在橢圓 + =1上，F1，F2 是橢圓的焦點，且PF1 ^ PF2，求49 24
(1) PF1 × PF2
(2)VPF1F2的面積
【答案】(1)48
(2)24
【分析】
（1）根據橢圓定義結合勾股定理運算求解；
（2）結合（1）中結果運算求解即可.
【詳解】（1）
x2 y2
因為橢圓方程為 + =1，則 a2 = 49,b2 = 24,c2 = 49 - 24 = 25，
49 24
即 a = 7,b = 2 6,c = 5，可得 F1F2 = 2c =10, PF1 + PF2 = 2a =14，
因為PF1 ^ PF
2
2，則 PF
2 2 2
1 + PF2 = PF1 + PF2 - 2 PF1 × PF2 = F1F2
142即 - 2 PF 21 × PF2 =10 ，所以 PF1 × PF2 = 48 .
（2）
由（1）得 PF1 × PF2 = 48，
因為PF1 ^ PF
1
2，所以 SVPF F = PF1 × PF1 2 2 2
= 24 .
2 2
4-6．（2024 高二上· x y安徽阜陽·階段練習）已知F1, F1分別是雙曲線C : 2 - = 1 a 0 的左右焦點， P 是Ca 9
上的一點，且 PF1 = 2 PF2 =16，則VPF1F2的周長是 ．
【答案】34
【分析】
由雙曲線定義可得 a = 4，再利用 , , 之間的關系求得 c = 5，從而得到所求周長.
【詳解】
因為 PF1 = 2 PF2 =16，所以 PF1 =16, PF2 = 8，
故 PF1 - PF2 =16 -8 = 8 = 2a ，則 a = 4，
又b2 = 9，故 c2 = a2 + b2 = 25，則 c = 5， F1F2 = 2c =10，
所以VPF1F2的周長為 PF1 + PF2 + F1F2 =16 + 8 +10 = 34 .
故答案為：34.
2 2
4-7 x y．（2024·河南開封·三模）已知點 P 是橢圓 + =1上一點，橢圓的左、右焦點分別為F1、F
25 9 2
，且
cos 1 F1PF2 = ，則VPF1F2的面積為（ ）3
A 9 2．6 B．12 C． D． 2 2
2
【答案】C
【分析】設 PF1 = m， PF2 = n
27
，由橢圓定義得m + n = 10 ，由余弦定理求出mn = ，從而利用三角形面積
2
公式求出答案.
x2 y2
【詳解】由橢圓 + =1，得 a = 5，b = 3， c = 4 .
25 9
設 PF1 = m， PF2 = n ，
∴ m + n = 10 ，在VPF F 2 2 2 21 2中，由余弦定理可得： (2c) = m + n - 2mn ×cos F1PF2 = (m + n) - 2mn - 2mn
1
× ，
3
可得64 =100
8 27
- mn，得mn = ，
3 2
S 1 mn sin 1 27 1
2 9 2
故 △F PF = × F PF = 1-
= .
1 2 2 1 2 2 2 ֏ 3 2
故選：C.
4-8 2024 · · F , F E x
2 y2
．（ 高二 全國 專題練習）設 1 2分別是橢圓 ： 2 + 2 = 1(a > b > 0) 的左、右焦點，過點F1 的直a b
線交橢圓E 于 A, B， AF1 = 3 BF1 ，若 AB = 4，△ABF2 的周長為 16，求 AF2 .
【答案】5
【分析】由已知可求得 AF1 = 3，然后根據已知結合橢圓的定義可推得 a = 4， AF1 + AF2 = 8，即可得出答
案.
【詳解】
由已知 AF1 = 3 BF1 ， AB = 4，可得 AF1 = 3， F1B =1 .
因為△ABF2 的周長為 16，則 AB + AF2 + BF2 = AF1 + AF2 + BF1 + BF2 =16 .
根據橢圓定義可得， AF1 + AF2 = BF1 + BF2 = 2a，
所以 4a =16， a = 4，
所以， AF1 + AF2 = 8，
所以， AF2 = 8 - AF1 = 8 - 3 = 5 .
2 2
4-9．（2024 x y高二下·四川內江·開學考試）已知 P 是橢圓 + =1上的點，F1 F2分別是橢圓的左 右焦點，25 9
uuur uuuur
PF1 × PF2 1
若 uuur uuuur = ，則VF1PFPF PF 2的面積為（ ）1 × 2 2
A．3 3 B． 2 3 C 3． 3 D．
3
【答案】A
【分析】由條件根據向量夾角公式求 F1PF2 ，然后利用余弦定理和橢圓定義列方程組可解.
x2 y2
【詳解】設橢圓 + =1的長半軸為 a，短半軸為b ，半焦距為 c，
25 9
則 a = 5,b = 3， c = a2 - b2 = 4，
即 F1F2 = 2c = 8 .
設 F1P = m, F2P = n，所以由橢圓的定義可得：m + n = 10 ①.
uuur uuuur
因為 u
PuuFr1 × PuuFu2ur 1=
PF PF 2 ，所以由數量積的公式可得：1 × 2
uuur uuuur 1 uuur uuuurcos PF1, PF2 = ，所以 PF , PF
π
= .
2 1 2 3
VF PF π在 1 2中 F1PF2 = ，3
2 2
所以由余弦定理可得：64 = m + n - 2mncos
π
②，
3
1 π
由①②可得：mn = 12 ，所以 SVF1PF 2 = mnsin = 3 3 .2 3
故選：A.
2 2
4-10．（2024 高二下·河南信陽· x y階段練習）若 F 為橢圓 C： + = 1的右焦點，A，B 為 C 上兩動點，則
25 16
△ABF 周長的最大值為（ ）
A．4 B．8 C．10 D．20
【答案】D
【分析】設F1為橢圓C 的左焦點，則由橢圓的定義可得： AF + BF + AB = 2a - AF1 + 2a - BF1 + AB ，當
A, B, F1 共線時，△ABF 周長取得最大值，從而可得出答案.
【詳解】解：設F1為橢圓C 的左焦點，
則由橢圓的定義可得：
AF + BF + AB = 2a - AF1 + 2a - BF1 + AB
= 4a + AB - AF1 - BF1 = 20 + AB - AF1 - BF1 ，
當 A, B, F1 共線時， AB - AF1 - BF1 = 0，
當 A, B, F1 不共線時， AB - AF1 - BF1 < 0 ，
所以△ABF 周長的最大值為 20.
故選：D.
題型 5：橢圓上的點到焦點和定點距離的和、差最值
2 2
5-1．（2024 高二· · P x y 1 M N 2全國 課后作業）已知點 為橢圓 + = 上任意一點，點 、 分別為 x -1 + y2 =1和
4 3
x +1 2 + y2 =1上的點，則 PM + PN 的最大值為（ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
【答案】C
【分析】求出兩圓的圓心坐標 A, B，根據橢圓的性質可知 PA + PB 為定值，根據三角形兩邊之和大于第三
邊可知 PM + PN 的最大值為 PA + PB 與兩圓半徑的和即可.
【詳解】設圓 (x -1)2 + y2 =1和圓 (x +1)2 + y2 =1的圓心分別為 A, B ,半徑分別為 r1, r2 .
x2 y2
則橢圓 + =1的焦點為 A -1,0 , B 1,0 .
4 3
又 PA + r1 PM , PB + r2 PN ， PA + PB = 2a = 4，
故 PM + PN PA + PB + r1 + r2 ，
當且僅當M , N 分別在PA, PB的延長線上時取等號.
此時 PM + PN 最大值為 PA + PB + r1 + r2 = 4 +1+1 = 6 .
故選：C.
2 2
5-2．（2024·甘肅定西· x y模擬預測）已知橢圓 C： + =1的左、右焦點分別為 F1， F2，A 是 C 上一點，9 5
B 2,1 ，則 AB + AF1 的最大值為（ ）
A．7 B．8 C．9 D．11
【答案】A
【分析】
根據橢圓的定義可得 AB + AF1 = AB + 2a - AF2 ，利用 AB - AF2 BF2 可求 AB + AF1 的最大值.
【詳解】
設橢圓的半焦距為 c，則F2 2,0 ， a = 3，
如圖，連接 AF2 ，則 AB + AF1 = AB + 2a - AF2 = 6 + AB - AF2 ，
而 AB - AF2 BF2 =1，當且僅當 A, F2 , B共線且F2 在 A, B中間時等號成立，
故 AB + AF1 的最大值為7 .
故選：A.
2 2
5-3．（2024 高二上· · x y浙江臺州 期中）已知橢圓 C： + =1的左 右焦點分別為F1 F2，M 為橢圓 C 上任意4 2
2
一點，N 為圓 E： x - 3 2 + y - 2 2 2 = 1上任意一點，則 MN - MF1 的取值范圍為 .
【答案】 é -1,2 10 +1ù
【分析】根據橢圓的定義，結合橢圓和圓的幾何性質進行求解即可.
【詳解】如圖，
由M 為橢圓C 上任意一點，則 MF1 + MF2 = 2 2 = 4，
2 2
又 N 為圓E : x - 3 2 + y - 2 2 =1上任意一點，則 MN ME -1（當且僅當 M、N、E 共線時取等號），
∴ MN - MF1 = MN - 4 - MF2 = MN + MF2 - 4 ME + MF2 - 5 EF2 - 5，
當且僅當 M、N、E、F2共線時等號成立.
∵ F2 ( 2,0)， E(3 2,2 2) ，則 | EF2 |= (3 2 - 2)
2 + (2 2 - 0)2 = 4，
∴ MN - MF1 的最小值為 4 - 5 = -1，
當M , F1, E, N 共線時， MN - MF1 最大，如下圖所示：F1(- 2,0)，
最大值為 F1E +1 = (3 2 + 2)
2 + (2 2)2 = 2 10 +1，
所以 MN - MF1 的取值范圍為 é -1,2 10 +1ù ，
故答案為： é-1,2 10 +1ù
【點睛】關鍵點睛：運用橢圓的定義和橢圓、圓的幾何性質是解題的關鍵.
題型 6：橢圓上的點到坐標軸上點的距離（最值）問題
2 2
6-1．（2024 x y高二上·河南開封·期中）橢圓 + =1上任一點 P 到點Q 1,0 的距離的最小值為（ ）
9 5
A 15 2 5． 3 B． C．2 D．
2 3
【答案】B
2
【解析】設點 P 的坐標為 m, n 4 9 15，結合兩點間的距離公式，化簡得到 PQ = m - ÷ + ，即可求解.9 è 4 4
【詳解】設點 P 的坐標為 m, n ，其中m [-3,3]，
m2 n2 5m2
由 + = 1，可得 n2 = 5 - ，
9 5 9
5 4 2
又由 PQ = (m -1)2 + n2 = (m -1)2 + 5 - m2 = m2 - 2m + 6 4= m
9 15-
9 9 9 4 ÷
+ ，
è 4
m 9當 = 15時， PQ 取得最小值，最小值為
4 PQ =
.
min 2
故選：B.
2 2
6-2．（2024 高二上·黑龍江哈爾濱·期末）已知點 A(0,4) x y，P 是橢圓E : + =1上的動點，則 | PA |的最大值
25 9
是 ．
【答案】5 2
【分析】設P x, y - 5 x 5, -3 y 3，利用兩點間的距離公式求解.
【詳解】解：設P x, y - 5 x 5, -3 y 3，
PA = x2 + y - 4 2 ，
16
= - y2 -8y + 41，
9
16 9 2
= - y +
9 4 ÷
+ 50 ，
è
9
當 y = - 時， | PA |取得最大值
4 5 2
，
故答案為： 5 2
2 2 x
6-3．（2024·
x y
江西上饒·模擬預測）點 P 為橢圓 + =1上一點，曲線 + y =1與坐標軸的交點為A ， B ，
8 4 2
C ，D，若 PA + PB + PC + PD = 8 2 ，則點 P 到 x 軸的距離為（ ）
A 2 2
8
B C 2 19
9
． ． ． D．
3 9 13 13
【答案】A
2 2
【分析】先求出A ， B ，C ，D x y的坐標，得到A ， B 為橢圓 + =1的焦點，得到 PA + PB = 4 2 ，從
8 4
x2 y2
而判斷出 P 為橢圓 + =1上一點，聯立方程組，即可求解.
7 8
x
【詳解】由曲線 + y =1與坐標軸的交點為A ， B ，C ，D，
2
不妨設 A -2，0 ，B 2，0 ，C 0，-1 ，D 0，1 .
x2 y2 x2 y2
則A ， B 為橢圓 + =1的焦點，而 P 為橢圓 + =1上一點，
8 4 8 4
所以 PA + PB = 4 2 .
因為 PA + PB + PC + PD = 8 2 ，所以 PC + PD = 4 2 ，
又 PC + PD = 4 2 > CD = 2，
根據橢圓定義知點 P 的軌跡為以 C、D 為焦點的橢圓，
x2 y2
所以軌跡方程為 + =1，
7 8
ì x2 y2
+ =1
8 4
x2 y2
8
= y 2 2聯立 í 2 2 ，消去 得 ，則 = ，
x y 9 3

+ =1
7 8
2 2
故點 P 到 x 軸的距離為 .
3
故選：A.
（三）
與橢圓有關的軌跡問題
求軌跡方程的常用方法
(1)直接法
設出曲線上動點的坐標為(x，y)后，可根據幾何條件直接轉換成 x，y 間的關系式；
(2)定義法
若動點運動的幾何條件滿足某種已知曲線的定義，可用待定系數法求出軌跡方程；
(3)相關點法(代入法)
有些問題中的動點軌跡是由另一動點按照某種規律運動而形成的，只要把所求動點的坐標“轉
移”到另一個動點在運動中所遵循的條件中去．
題型 7：求橢圓的軌跡方程
2 2
7-1．（2024 x y高二上·全國·課后作業）設定點 A 6,2 , P是橢圓 + =1上的動點，求線段 AP 的中點M 的軌
25 9
跡方程．
(x - 3)2 (y -1)2 1
【答案】 + =
25 9 4
【分析】設M x, y , P x1, y1 ，然后由中點坐標公式可表示出 x1, y1，代入橢圓方程化簡可得答案.
【詳解】設M x, y , P x1, y1 ．
因為M 為線段 AP 的中點，所以 x1 = 2x - 6, y1 = 2y - 2，
x21 y
2 (x - 3)2 (y -1)2 1
因為 + 1 =1，所以點M 的軌跡方程為 + = ．
25 9 25 9 4
2
7-2．（2024 高三·全國·專題練習）設 O 為坐標原點，動點 M 在橢圓 C: x + y2 =1上，過 M 作 x 軸的垂線，
2
uuur uuuur
垂足為 N，點 P 滿足 NP = 2 NM .求點 P 的軌跡方程；
【答案】 x2 + y2 = 2；
【分析】首先設點 P 和M 的坐標，再根據向量間的關系，采用代入法求點 P 的軌跡.
【詳解】
uuur uuuur
設P x, y ，M x0 , y0 ，則 N x0 ,0 ， NP = x - x0 , y ， NM = 0, y0
uuur uuuur 2 x2 y2
由 NP = 2 NM 得 x0 = x，y0 = y .因為M x0 , y0 在 C 上，所以 + = 1 .2 2 2
因此點 P 的軌跡為 x2 + y2 = 2 .
45
7-3．（2024 高三·全國· 2專題練習）在平面直角坐標系 xOy 中，動圓 P 與圓C1 : x + y
2 + 2x - = 0內切，且與
4
x2 y2 2x 3圓C2 ： + - + = 0外切，記動圓 P 的圓心的軌跡為E .則軌跡E 的方程為 ；4
x2 y2
【答案】 + =1
4 3
【分析】先找出兩圓的圓心和半徑，根據圓與圓的位置關系建立等式，分析即可知動圓的圓心的軌跡方程.
【詳解】設動圓的半徑為 R ，由已知得：
2
C 2 7 圓 1可化為標準方程： x +1 + y2 = ÷ ，
è 2
即圓心C1 -1,0 r
7
，半徑 1 = ，2
2
圓C
1
2 可化為標準方程： x -1 2 + y2 = ÷ ，
è 2
1
即圓心C2 1,0 ，半徑 r2 = ， C1C2 2
= 2，
經分析可得，R < r R r
7
1 ，則 - 1 = - R .2
ì 7
PC1 = r - R = - R 1 2
由題意可知： í ，
PC2 = r
1
2 + R = + R 2
兩式相加得， PC1 + PC2 = 4 > C1C2 = 2，
所以點 P 的軌跡為以C1,C2 為焦點的橢圓，
x2 y2
可設方程為 2 + 2 =1 a > b > 0 ，a b
則 2a = 4， a = 2， 2c = 2， c =1，b2 = a2 - c2 = 3，
x2 y2
所以軌跡E 的方程為 + =1.
4 3
x2 y2
故答案為： + =1
4 3
7-4．（2024 高三·全國·專題練習）在平面直角坐標系 xOy 中，已知點M 4,0 ， N 1,0 ，動點 P 滿足
uuuur uuur uuur
MN × MP = 6 NP .記 P 的軌跡為T .求T 的方程；
x2 y2
【答案】 + =1.
4 3
【分析】
uuuur uuur uuur uuuur uuur uuur
設P x, y ，則MN = -3,0 ，MP = x - 4, y ，NP = x -1, y ，根據題意MN × MP = 6 NP 列出等式，化簡求
出結果即可；
【詳解】
uuuur uuur uuur
設P x, y ，則MN = -3,0 ，MP = x - 4, y ， NP = x -1, y ，
uuuur uuur uuur
Q MN × MP = 6 NP ，\ -3 x - 4 = 6 x -1 2 + y2 .
\ x2 -8x +16 = 4 x2 - 2x +1 + 4y2 ，即3x2 + 4y2 =12，
\ x
2 y2
P 的軌跡為T 的方程為 + =1.
4 3
7-5 2024 · · C : x2．（ 高二上 全國 課后作業）已知定圓 1 + y
2 + 4x = 0 C : x2，圓 2 + y
2 - 4x - 60 = 0，動圓 M 和定
圓C1外切和圓C2 內切，求動圓圓心 M 的軌跡方程．
x2 y2
【答案】 + =1
25 21
【分析】由橢圓的定義直接求動點 M 的軌跡方程即可.
2 2 2 2
【詳解】圓C1 : (x + 2) + y = 4，圓C2 : (x - 2) + y = 64
因為圓 M 與圓C1外切，所以 MC1 = r + 2，
因為圓 M 與圓C2 內切，所以， MC2 =| r -8 |= 8 - r ，
兩式相加得 MC1 + MC2 =10 > C1C2 = 4，
x2 y2
所以 M 的軌跡是以C1,C2 為焦點的橢圓，故其方程為 + =1 .25 21
一、單選題
1（．2024 高二上·福建漳州·期末）點 P 在橢圓E : 4x2 + y2 =16上，F1、F2 是E 的兩個焦點，若 PF1 = 3，則 PF2 =
（ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
【答案】A
【分析】首先得出橢圓得標準方程，計算出 a，再由由橢圓定義可知： PF2 + PF1 = 2a，代入 PF1 = 3即可
求得 PF2 .
2 2
【詳解】橢圓E : 4x2 + y2 =16 x y，即 + =1, PF1 = 3，4 16
其中 a2 =16, a = 4
由橢圓定義可知： PF2 + PF1 = 2a = 8
得 PF2 = 8 - PF1 = 5，
故選：A.
2．（2024 2 2高二上·福建福州·期中）已知圓C1 : x +1 + y2 = 25，圓C2 : x -1 + y2 =1，動圓 M 與圓C2 外切，
同時與圓C1內切，則動圓圓心 M 的軌跡方程為（ ）
A x
2 x2 y2
． + y2 =1 B． + =1
3 3 2
x2 2 2C． + y2 = 1 D x y． + =1
9 9 8
【答案】D
【分析】畫圖，分析出 C M + C 21 2M = 6 > 2 = C1C2 ，確定圓心 M 的軌跡為橢圓，求出 a = 3,b = 8，得到軌
跡方程.
【詳解】如圖，由題意得： C1M = 5 - MQ ， C2M =1+ MP ，其中 MQ = MP ，
所以 C1M + C2M = 5 - MQ +1+ MP = 6 > 2 = C1C2 ，
x2 y2
由橢圓定義可知：動圓圓心 M 的軌跡為以C1,C2 為焦點的橢圓，設 + =1，a2 b2
則 2a = 6,c =1，解得： a = 3,b2 = a2 - c2 = 9 -1 = 8，
x2 y2
故動圓圓心 M 的軌跡方程為 + =1.
9 8
故選：D
3．（2024 高二上·新疆伊犁·期末）如果點M x, y 在運動過程中，總滿足關系式
x2 + y + 3 2 + x2 + y - 3 2 = 4 3 ，則點M 的軌跡是（ ）．
A．不存在 B．橢圓 C．線段 D．雙曲線
【答案】B
【分析】根據橢圓的定義進行求解即可.
2
【詳解】 x2 + y + 3 + x2 + y - 3 2 = 4 3 表示平面由點M x, y 到點 (0, -3), (0,3)的距離之和為 4 3 ，而
3- (-3) = 6 < 4 3 ，所以點M 的軌跡是橢圓，
故選：B
4．（2024 高三·全國·專題練習）已知VABC 的周長為 20，且頂點B(0,-4),C(0,4)，則頂點A 的軌跡方程是
（　　）
x2 y2 x2 2 2 2 2 2A． + = 1(x 0) B y． + = 1(x 0) C x y． + = 1(x 0) D x y． + = 1
36 20 20 36 6 20 20 36
【答案】B
【分析】根據已知條件及橢圓定義求橢圓的標準方程.
【詳解】錯解：
∵△ABC 的周長為 20，頂點B(0,-4),C(0,4)，
∴|BC|＝8，|AB|＋|AC|＝20－8＝12，
∵12＞8，
∴點 A 到兩個定點的距離之和等于定值，
∴點 A 的軌跡是橢圓，
∵a＝6，c＝4，
∴b2＝20，
x2 y2∴橢圓的方程是 + = 1
20 36
故選：D.
錯因：
忽略了 A、B、C 三點不共線這一隱含條件.
正解：
∵△ABC 的周長為 20，頂點B(0,-4),C(0,4)，
∴|BC|＝8，|AB|＋|AC|＝20－8＝12，
∵12＞8，
∴點 A 到兩個定點的距離之和等于定值，
∴點 A 的軌跡是橢圓，
∵a＝6，c＝4，
∴b2＝20，
2 2
∴ x y橢圓的方程是 + = 1(x 0)
20 36
故選：B.
5．（2024 高二上·四川南充·期末）設定點F1 0, -2 ，F2 0,2 ，動點 P 滿足條件 PF1 + PF2 = 5，則點 P 的軌
跡是（ ）
A．橢圓 B．線段 C．不存在 D．橢圓或線段
【答案】A
【分析】根據橢圓的定義可判斷動點的軌跡.
【詳解】因為F1 0, -2 ，F2 0,2 ，所以 F1F2 = 4，
所以 PF1 + PF2 = 5 > F1F2 ，所以點 P 的軌跡是以F1，F2為焦點的橢圓.
故選：A.
2 2
6．（2024· · x y 2陜西西安 一模）已知點M 在橢圓 + =1上運動，點 N 在圓 x2 + y -1 = 1上運動，則 MN 的最
18 9
大值為（ ）
A．1+ 19 B．1+ 2 5 C．5 D．6
【答案】B
【分析】根據圓的性質，結合兩點間距離公式、配方法進行求解即可.
2
【詳解】解：設圓 x2 + y -1 = 1的圓心為C 0,1 ，則 MN MC + r = MC +1，
2
M (x , y ) x0 y
2
設 00 0 ，則 + =1 x20 =18 - 2y
2
0 ，18 9
所以 MC = x2 + y -1 2 = x2 2 20 0 0 + y0 - 2y0 +1 = 18 - 2y0 + y20 - 2y0 +1
= -y2 - 2y +19 = - y +1 2 + 20 2 5 ，當且僅當 y0 = -10 0 0 時取得最大值，
所以 MN MC +1 2 5 +1．
故選：B．
7．（2024 高二上·全國·課后作業）已知點 F1，F2是橢圓 x2 + 2y2 = 2的左、右焦點，點 P 是該橢圓上的一個
uuur uuuur
動點，那么 PF1 + PF2 的最小值是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．2 2
【答案】C
uuur uuuur
【分析】設P x0 , y0 ，由坐標表示PF1 + PF2 ，由向量模的平方結合橢圓的范圍得最小值．
x2
【詳解】橢圓 + y2 =1的左右焦點F1 -1,0 , F2 1,0 .2
uuur uuuur
設P x0 , y0 ，則PF1 = -1- x0 , -y0 ，PF2 = 1- x0 ,-y0 ，
uuur uuuur
∴ PF1 + PF2 = -2x0 , -2y0 ，
x2
又 0 + y2 20 = 1，則 x0 = 2 1- y20 .2
uuur uuuur
∴ PF1 + PF2 = -2x0
2 + -2y0
2 = 8 1- y2 + 4y2 20 0 = 2 2 - y0
∵點 P 2在橢圓上，∴ 0 y0 1，
uuur uuuur
∴當 y20 =1時， PF1 + PF2 取最小值 2．
故選：C．
8．（2024 高二上·河南信陽·期末）已知F1，F2是橢圓 C 的兩個焦點，P 為 C 上一點， PF1 = 2 PF2 ，若 C
7
的離心率為 ，則 F1PF2 =（ ）
3
A．150° B．120° C．90° D．60°
【答案】B
【分析】根據橢圓的定義，結合余弦定理、橢圓離心率的公式進行求解即可.
4 2
【詳解】解：記 r1 = PF1 ， r2 = PF2 ，由 r1 = 2r2 ，及 r1 + r2 = 2a，得 r1 = a ， r2 = a ，又由余弦定理知3 3
2 2
r 2 + r 2 - 2r r ×cos F PF = 4c2 20a 16a 21 2 1 2 1 2 ，得 - ×cos F9 9 1
PF2 = 4c .
c 7 7 2 2e = = c2 = a2
16a 1
由 ，得 ，從而 ×cos F1PF
8a
2 = - ，∴ cos F1PF2 = - .a 3 9 9 9 2
∵ 0° < F1PF2 <180°，∴ F1PF2 =120° .
故選:B
x29 y
2
．（2024 高二上·全國·課后作業）設F1, F2 分別為橢圓 + = 1的左右焦點，過F1的直線交橢圓于 A、B 兩6 4
點，則△ABF2 的周長為（ ）
A．12 B．24 C． 2 6 D． 4 6
【答案】D
【分析】將三角形周長 | AB | + | AF2 | + | BF2 |整理并結合橢圓的定義，即可求得答案.
x2 y 2
【詳解】由題意可得，對于橢圓 + = 1有長半軸長 a = 6 ，
6 4
又過F1的直線交橢圓于 A、B 兩點，
故△ABF2 的周長 | AB | + | AF2 | + | BF2 |=| AF1 | + | AF2 | + | BF1 | + | BF2 |
= 4a = 4 6 ，
故選：D
2 2
10．（2024 高二下·河南開封·期末）直線mx + y = 0 m R x y與橢圓 + =1交于 A, B兩點，則 A, B與橢圓的
16 25
兩個焦點構成的四邊形的周長為（ ）
A．10 B．16 C．20 D．不能確定
【答案】C
【分析】由圖形結合橢圓定義可得答案.
【詳解】設橢圓兩個焦點為F1, F2 ，由題可得 a = 5，則 A, B與橢圓的兩個焦點構成的四邊形的周長為
AF1 + F1B + BF2 + F2 A = 4a = 20 .
故選：C
2 2
11．（2024·四川南充·一模）已知直線 kx - y + 2 = 0 x y與橢圓 + =1恒有公共點，則實數 m 的取值范圍
9 m
（ ）
A． 4,9 B． 4, +
C． 4,9 9,+ D． 9, +
【答案】C
x2 y2
【分析】根據直線 kx - y + 2 = 0所過定點以及方程 + =1表示橢圓來求得m 的取值范圍.
9 m
【詳解】直線 kx - y + 2 = 0過定點 0,2 ，
0 22
所以 + 1，解得m 4 ①.
9 m
x2 y2
由于方程 + =1表示橢圓，所以m > 0且m 9 ②.
9 m
由①②得m 的取值范圍是 4,9 9,+ .
故選：C
2 2
12．（2024 x y高二下·四川南充·階段練習）方程 + = 1表示橢圓的一個充分不必要條件是（ ）
m 2m - 3
m 3A． > 且m 3 B．m > 4 C．m
3
> D．m > 0
2 2
【答案】B
【分析】根據方程表示橢圓，列出不等式組，求出m 的取值范圍，然后根據充分不必要條件概念即可求解.
ìm > 0
x2 y2 3
【詳解】若方程 + = 1表示橢圓，則有 í2m - 3 > 0 ，解得m > 且m 3，
m 2m - 3 2
m 2m - 3
3
因為{m | m > 4}是集合{m m 且m 3}的真子集，
2
2 2
所以“ m > 4 ” “ x y是 方程 + = 1表示橢圓”的充分不必要條件，
m 2m - 3
故選：B.
2 2
13．（2024 x y高二上·吉林松原·期末）已知 A 為橢圓 + = 1上一點，F 為橢圓一焦點， AF 的中點為 P ，O
25 16
為坐標原點，若 OP = 2 則 AF =（ ）
A．8 B．6 C． 4 D． 2
【答案】B
【分析】因為 AE 的中點為 P ，EF 的中點為O，得到 AE = 2 OP ，結合橢圓的定義，即可求解.
x2 y2
【詳解】不妨設橢圓 + = 1左焦點為F ，右焦點為E ，
25 16
因為 AE 的中點為 P ，EF 的中點為O，所以 AE = 2 OP = 4，
又由 AE + AF = 2a =10 ，可得 AF =10 - 4 = 6 .
故選：B.
2
14．（2024 y高二上·山東威海·期末）已知橢圓mx2 + =1的焦距為 2，則實數 m＝（ ）
2
1 1 1 1 1
A． B． C． 或 D． 或 1
3 6 6 2 3
【答案】D
【分析】分焦點在 x 上和焦點在 y 上討論，利用 a2 - b2 = c2 列方程求m .
【詳解】焦距為 2，即 c =1 .
ì 1
> 2 m
當焦點在 x 上時， í ，得m
1
=
1 3； - 2 =1
m
ì 1
0 < < 2 m
當焦點在 y 上時， í ，得m =1
2 1
；
- =1
m
1
綜合得m = 或m =1.3
故選：D.
15．（2024 高二上·吉林·期末）方程 x2 + ky2 = 2表示焦點在 x 軸上的橢圓的一個充分但不必要條件是（ ）
A． k > 0 B．1< k < 2 C． k >1 D．0 < k <1
【答案】B
【分析】將方程化為標準式，依題意求出參數的取值范圍，再根據充分條件、必要條件的定義判斷即可.
x2 y2
+ =1 2
【詳解】方程 x2 + ky2 = 2可變形為 2 2 ，表示焦點在 x 軸上的橢圓，則有0 < < 2，解得 k >1.k
k
易知當1< k < 2時， k >1，當 k >1時未必有1< k < 2，
所以1< k < 2是 k >1的充分但不必要條件.
故選：B.
2 2
16 x y（．2024高二上·陜西寶雞·期末）已知橢圓C： + 2 =1(b > 0)上的動點 P 到右焦點距離的最大值為3+ 2 2 ，9 b
則b =（ ）
A．1 B． 2 C． 3 D． 6
【答案】A
【分析】根據橢圓的性質可得橢圓上的點到右焦點距離最大值為 a + c，即可求出 c，再根據 c2 = a2 - b2 ，即
可得解；
【詳解】根據橢圓的性質，橢圓上的點到右焦點距離最大值為 a + c，
即 a + c = 3+ 2 2 ，又 a = 3，所以 c = 2 2 ，
由 c2 = a2 - b2 ，所以b =1；
故選：A
17 2024 · · x
2 y2
．（ 高三 全國 專題練習）已知橢圓 + = 1上一點 P 到右準線的距離為10，則點 P 到它的左焦點
25 16
的距離為（ ）
A． 4 B．6 C．8 D．10
【答案】A
【分析】根據圓錐曲線統一定義可求得 PF2 ，由橢圓定義可求得 PF1 .
【詳解】設F1, F2 分別為橢圓的左、右焦點， P 到左準線的距離為 d1 ， P 到右準線的距離為 d2 =10，
PF2 c 3
由圓錐曲線的統一定義知： = = ，解得： PF2 = 6，d2 a 5
又 PF1 + PF2 = 2a =10，解得： PF1 = 4，\P到它的左焦點距離為 4．
故選：A.
x218 2024· · y y
2
．（ 四川南充 模擬預測）已知焦點在 軸上的橢圓 2 + =1的焦距等于 2，則實數m 的值為（ ）m 4
A．3或5 B．± 3 或± 5 C．3 D．± 3
【答案】D
【分析】由橢圓的焦點在 y 軸上確定m2 < 4 ，再根據 a2 = b2 + c2即可求.
【詳解】因為橢圓的焦點在 y 軸上，所以m2 < 4 ，根據題意可得 4 - m2 =1，解得m = ± 3 .
故選：D.
19．（2024 高二上·上海嘉定·期末）方程 x - 2 2 + y2 + x + 2 2 + y2 =12，化簡的結果是（ ）
x2 y2 x2 y2A 1 B x
2 y2 y2 x2
． + = ． + =1 C． + =1 D． + =1
36 4 36 32 36 16 36 16
【答案】B
【分析】由條件利用橢圓的定義、標準方程，即得.
【詳解】由 x - 2 2 + y2 + x + 2 2 + y2 =12，可得點M x, y 到定點F1 2,0 ，F2 -2,0 的距離之和等于
12，
即 MF1 + MF2 =12 > F1F2 = 4，
2 2
所以動點M x, y x y的軌跡是焦點在 x 軸上的橢圓，設其方程為 2 + 2 = 1(a > b > 0) ，a b
則 2a =12， c = 2，
所以 a = 6，b = 4 2 ，
x2 y2
故方程為 + =1 .
36 32
故選：B.
x2 y2
20．（2024 高二上·山東·期中）已知橢圓 + 2 =1（m > 0）的一個焦點為F1 0, -4 ，則m =（ ）25 m
A． 41 B．3 C．41 D．9
【答案】A
【分析】根據橢圓中 a,b,c的關系運算求解，注意焦點所在的位置.
【詳解】由題意可知：橢圓的焦點在 y 軸上，且 c = 4,b = 5, a = m，
則m = b2 + c2 = 41 .
故選：A.
2 2
21 2024 x y．（ 高二下·廣東汕頭·期末）已知橢圓方程 + =1, F 是其左焦點，點 A 1,1 是橢圓內一點，點 P
4 3
是橢圓上任意一點，若 PA + PF 的最大值為Dmax ，最小值為Dmin ，那么Dmax + Dmin =（ ）
A． 4 3 B．4 C．8 D．8 3
【答案】C
【分析】利用橢圓的定義轉化為 PA - PF 的最值問題，數形結合即可求解.
【詳解】由題意，設橢圓的右焦點為F (1,0) ，連接 PF ，
則 PA + PF = PA + 4 - PF = 4 + PA - PF ，
如圖：
當點 P 在位置 M 時， PA - PF 取到最大值 AF ，
當點 P 在位置 N 時， PA - PF 取到最小值- AF ，
所以 PA - PF 的取值范圍是 é - AF , AF ù，即[-1,1]，
所以 | PA | + | PF |的最大值Dmax = 5， | PA | + | PF |最小值Dmin = 3，
所以Dmax + Dmin = 8 .
故選：C.
2 2
22．（2024·遼寧沈陽·三模）已知動點P x, y x y在橢圓C : + =1上，F 為橢圓 C 的右焦點，若點 M 滿足
25 16
uuur uuur uuur uuuur
MF =1且MP × MF = 0，則 PM 的最大值為（ ）
A． 3 B．3 7 C．8 D．63
【答案】B
【分析】依題意知，該橢圓的焦點F 3,0 ，點 M 在以F 3,0 為圓心，1 為半徑的圓上，當 PF 最長時，切
線長 PM 最大，作出圖形，即可得到答案．
uuur
【詳解】因為 MF =1，所以點 M 在以F 3,0 為圓心，1 為半徑的圓上，
uuur uuur
又因為MP × MF = 0，所以PM ^ MF ，PM 為圓的切線，
PM = PF 2 -12 ，所以當 PF 最長時，切線長 PM 最大．
當點 P 與橢圓的左頂點 -5,0 重合時， PF 最大，最大值為5 + 3 = 8．
uuuur
此時 PM 的最大值為 82 -12 = 3 7 ．
故選：B．
2 2
23 x y．（2024 高三·廣西欽州·開學考試）設橢圓 C： 2 + 2 =1(a>0，b>0)的左 右焦點分別為F1，F2，離心率a b
3
為 .P 是 C 上一點，且F1P ⊥ F2P .若VPF1F2的面積為 4，則 a=
2
A．1 B．2 C．4 D．8
【答案】C
【分析】利用橢圓的定義，勾股定理和面積公式進行整理計算即可得到答案.
c 3
【詳解】Q = ，\3a2 = 4c2 ，由橢圓定義， PF1 + PF2 = 2a，
a 2
F P ⊥ F P | PF |2 + PF 2由 1 2 得 1 2 = 2c
2
，
VPF 11F2的面積為 4，則 | PF1 | × PF2 = 4 ，即 | PF2 1
| × PF2 = 8，
2\ PF1 + PF2 - 2 PF1 × PF2 = 4c2 ，即 4a2 -16 = 3a2 ,解得 a 2 = 16 ，即 a = 4，
故選：C.
【點睛】本題考查橢圓的定義，離心率以及勾股定理的應用，考查學生分析推理能力，屬于基礎題.
2 2
24．（2024 高二上·河北唐山· x y期末）已知F1, F2 是橢圓C : + =1的左 右焦點，點 P 在橢圓C 上.當 F1PF4 3 2
最大時，求 S△PF =1F2 （ ）
1
A． B 3． C． 3 D 2 3．
2 3 3
【答案】C
【分析】利用橢圓的定義結合余弦定理可得 PF1 = PF2 時 F1PF2 最大，利用三角形的面積公式即得.
x2 y2
【詳解】由橢圓C : + =1的方程可得 a2 = 4，b2 = 3， c =1，則 PF1 + PF2 = 2a = 4，4 3
2 2
PF 21 + PF
2 2
2 - F1F2 PF1 + PF2 - 2 PF1 × PF2 - F1F所以 cos F1PF2 = = 22 PF1 × PF2 2 PF1 × PF2
12 1 6 1 1= - 2 - =2 PF1 × PF2 PF1 + PF2 2 ，
÷
è 2
當且僅當則 PF1 = PF2 時等號成立，即 P 為橢圓短軸端點時 F1PF2 最大，
1
此時， SVPF F = 2 3 = 3 .1 2 2
故選：C.
2 2 2
25．（2024 x y b高二下·四川德陽·階段練習）橢圓C : F , F
a2
+ 2 =1(a > b > 0) 的左，右焦點為 1 2 ，且 F1F2 = ，b 2a
點 P 是橢圓 C 上異于左、右端點的一點，若 M 是VPF1F2的內心，且 S△MPF = mS△MF F - S△MPF ，則實數m =1 1 2 2
（ ）
A． 5 + 2 B． 5 - 2
C．- 5 - 2 D． - 5 + 2
【答案】A
【分析】設VPF1F2的內切圓半徑為 r ，由 S△MPF = mS△MF F - S△MPF 可得 PF1 1 2 2 1 + PF2 = m F1F2 ，進而得到
2
m a= b，由 F1F2 = 可得 a2 2c - c = 4ac
，同除以 c2 即可求解.
2a
【詳解】
設VPF1F2的內切圓半徑為 r ，
1 1 1
則 SVMPF = PF1 × r ， SVMPF = PF2 × r ， SVMF F = F1F2 × r ，1 2 2 2 1 2 2
QS△MPF = mS△MF F - S1 1 2 △MPF2
1
\ PF1 × r = m
1
× F1F2 × r
1
- PF × r
2 2 2 2
可得 PF1 + PF2 = m F1F2 .
\2a = m × 2c，解得m
a
= .
c
F F b
2 b2
又因為 1 2 = ，所以 2c = ，即b
2 = 4ac，
2a 2a
a 22 a a所以 a - c2 = 4ac ，即 ÷ - 4 × -1 = 0，解得 = 2 + 5 （舍去負值），
è c c c
所以m = 2 + 5 .
故選：A
2 2
26．（2024 x y高二上·廣東廣州·期末）橢圓 + = 1的一個焦點是 F，過原點 O 作直線(不經過焦點)與橢圓相
25 16
交于 A，B 兩點，則△ABF 的周長的最小值是（ ）
A．14 B．15 C．18 D．20
【答案】C
【分析】不妨取F 為左焦點，F1為右焦點，連接 AF1，BF1，則 AFBF1為平行四邊形，△ABF 的周長大于等
于 2a + 2b，計算得到答案.
【詳解】如圖所示：不妨取F 為左焦點，F1為右焦點，連接 AF1，BF1，
則 AFBF1為平行四邊形，
△ABF 的周長為 AF + BF + AB = AF + AF1 + AB = 2a + AB 2a + 2b =18，
當A ， B 為橢圓上下頂點時等號成立.
故選：C
2 2
27 2024 x y．（ 高二上·江蘇·期中）已知橢圓 + =1的右焦點為F , A是橢圓上一點，點M 0,4 ，則VAMF 的
16 7
周長最大值為（ ）
A．14 B．16 C．18 D．20
【答案】C
【分析】設橢圓的左焦點為 F ，由題可知 MF = MF = 5， AF + AF = 2a = 8，利用 AM - AF MF ，
即可得出．
【詳解】如圖所示設橢圓的左焦點為F ，則F (3,0), F (-3,0)
MF = 32 + 42 = 5 = MF ，
則 AF + AF = 8，
Q AM - AF MF ，
\△APF 的周長= AF + AM + MF = AM + MF + 8 - AF 5 + 8 + 5 =18，當且僅當三點 M，F ，A 共線時
取等號．
\△APF 的周長最大值等于 18．
故選：C．
2 2
28．（2024 x y 2 2高二上·河北石家莊·期中）設 P 是橢圓 + = 1上一點，M ，N 分別是圓C : (x + 3) + y = 1和
25 16 1
C2 : (x - 3)
2 + y2 = 4上的點，則 PM + PN 的最大值為（ ）
A．13 B．10 C．8 D．7
【答案】A
【分析】結合題意畫出圖形，對VPMF1，由三角形三邊關系可得 PF1 -1 PM PF1 +1①，同理對
VPNF2 ，可得 PF2 - 2 PN PF2 + 2 ②，兩式作和，結合橢圓第一定義即可求解.
【詳解】根據題意作出如圖所示的圖象，其中F1、F2是橢圓的左，右焦點，在VPMF1中可得：
PF1 -1 PM PF1 +1①，
當且僅當 P 、M 、F1三點共線時，等號成立，
在VPNF2 中可得： PF2 - 2 PN PF2 + 2 ②，
當且僅當 P 、 N 、F2三點共線時，等號成立，
由① + ②得： PF1 + PF2 - 3 PM + PN PF1 + PF2 + 3，
x2 y2
由橢圓方程 + = 1可得： a2 = 25，即 a = 5，
25 16
由橢圓定義可得： PF1 + PF2 = 2a =10，
所以，7 PM + PN 13 .
故選：A.
二、多選題
29．（2024 高二上·山東濟南·期中）已知曲線C : mx2 + ny2 =1（ ）
A．若m > n > 0 ，則C 是橢圓，其焦點在 y 軸上
B．若m > n > 0 ，則C 是橢圓，其焦點在 x 軸上
C．若m = n > 0 ，則C 是圓，其半徑為 n
D．若m = 0， n > 0，則C 是兩條直線
【答案】AD
【解析】結合選項進行逐項分析求解，m > n > 0 時表示橢圓，m = n > 0 時表示圓，m = 0, n > 0 時表示兩條
直線.
x2 y2
【詳解】對于 A，若m > n > 0 + =1
1 1
，則mx2 + ny2 =1可化為 1 1 ，因為m > n > 0 ，所以 < ，即曲線C
m n
m n
表示焦點在 y 軸上的橢圓，故 A 正確，故 B 錯誤；
2 2 1 n
對于 C，若m = n > 0 ，則mx2 + ny2 =1可化為 x + y = ，此時曲線C 表示圓心在原點，半徑為 的圓，
n n
故 C 不正確；
D m = 0, n > 0 mx2 + ny2 =1 y2 1 n對于 ，若 ，則 可化為 = ， y = ± ，此時曲線C 表示平行于 x 軸的兩條直線，n n
故 D 正確；
故選：AD.
【點睛】本題主要考查曲線方程的特征，熟知常見曲線方程之間的區別是求解的關鍵，側重考查數學運算
的核心素養.
2 2
30．（2024 · x y高三 北京·強基計劃）已知點 A(1,1),Q(1,0)，P 為橢圓 + =1上的動點，則 | PA | + | PQ |的
4 3
（ ）
A．最大值為 4 + 3 B．最大值為 4 + 5
C．最小值為 4 - 3 D．最小值為 4 - 5
【答案】BD
【分析】
利用橢圓的定義可求 | PA | + | PQ |的最值.
【詳解】
注意到 Q 為橢圓的右焦點，設其橢圓的左焦點為Q (-1,0)，
則 | PA | + | PQ |=| PA | + 4 - PQ = 4 + | PA | - PQ ，
而 | PA | - PQ 的取值范圍是 é - AQ , AQ ù，即[- 5, 5]，因此所求最大值為 4 + 5 ，最小值為 4 - 5 ．
故選：BD.
三、填空題
2 2
31 2024 · · x y．（ 高二上 全國 課后作業）橢圓 + =1上的一點M 到左焦點F1的距離為 2, N 是MF 的中點，則
16 9 1
ON 等于 .
【答案】3
【分析】設橢圓的右焦點F2，則根據橢圓有定義可求出 MF2 ，再利用三角形的中位線定理可求得答案.
【詳解】設橢圓的右焦點F2，連接MF2 ，則由 MF1 + MF2 = 8，知 MF2 = 8 - 2 = 6 .
1
又點O為F1F2 的中點，點 N 為MF1 的中點，所以 ON = MF2 = 3 .2
故答案為：3
32．（2024 高二·全國·課后作業）下列命題是真命題的是 .(將所有真命題的序號都填上)
①已知定點F1(-1,0), F2 (1,0)，則滿足|PF1|＋|PF2|＝ 2 的點 P 的軌跡為橢圓；
②已知定點 F1(－2，0)，F2(2，0)，則滿足|PF1|＋|PF2|＝4 的點 P 的軌跡為線段；
③到定點F1(-3,0), F2 (3,0)的距離相等的點的軌跡為橢圓.
【答案】②
【分析】根據橢圓的定義，以及垂直平分線的性質，逐項判定，即可求解.
【詳解】①中，因為F1(-1,0), F2 (1,0)，可得 F1F2 = 2，因為 2 < 2，所以點 P 的軌跡不存在；
②中，因為 PF1 + PF2 = F1F2 = 4 ，所以點 P 的軌跡是線段F1F2 ；
③中，由定點F1(-3,0), F2 (3,0)的距離相等的點的軌跡是線段F1F2 的垂直平分線，即 x = 0 .
故答案為：②
2 2
33．（天津市河西區 2023-2024 x y學年高二上學期期中數學試題）橢圓 + =1上一點 P 與它的一個焦點的
100 36
距離等于 6，那么點 P 與另一個焦點的距離等于 .
【答案】14
【分析】設左、右焦點為F1, F2 ,利用橢圓的定義即得解.
【詳解】設左、右焦點為F1, F2 , 設 |PF1 |= 6，
由題得 a =10,
因為 |PF1 | + | PF2 |= 2a = 2 10=20，所以 |PF2 |=14 .
所以點 P 與另一個焦點的距離等于 14.
故答案為：14
34 y
2
．（2024·云南紅河·模擬預測）已知F1, F 是橢圓 x22 + =1的兩個焦點，點 P 在橢圓上，若2
PF1F2 = 135° ，則點 P 到焦點F2的距離為 ．
5 2 5
【答案】 / 2
3 3
【分析】根據橢圓的定義，結合余弦定理進行求解即可.
【詳解】據題意a = 2,c = a2 - b2 = 2 -1 = 1，設 PF1 = n, PF2 = m，
ìm + n = 2 2

則 í 2 2 2 ，得 (2 2 - n)
2 = 4 + n2 + 2 2n 2，解得n = ，
m = 4 + n - 2 × 2 × n × - 3
è 2
÷÷

2 5 2 5 2
所以m = 2 2 - = ，即 PF2 = ．3 3 3
5 2
故答案為：
3
x2 y2 uuur uuur35．（2024 高二下·上海靜安·期中）已知 P 為橢圓 + =1上一動點，記原點為O，若OP = 2OQ，則點Q
16 12
的軌跡方程為 ．
x2 y2
【答案】 + =1
4 3
【分析】
uuur uuur
先設點Q(x, y) ，再由OP = 2OQ應用相關點法求軌跡方程即可.
uuur uuur x2 y2
【詳解】設點Q(x, y) ，由OP = 2OQ得點P(2x, 2y)，而點 P 為橢圓 + =1上的任意一點，
16 12
(2x)2 (2y)2 1 x
2 y2
所以 + = ，整理得 + =1，
16 12 4 3
x2 y2
所以點Q的軌跡方程是 + =1.
4 3
x2 y2
故答案為： + =1
4 3
2 2
36．（2024· x y上海普陀·二模）設橢圓G : + =1的左、右兩焦點分別為F1，F2，P 是G上的點，則使得VPF1F8 4 2
是直角三角形的點 P 的個數為 .
【答案】6
【分析】根據橢圓的性質判斷 P 為G上下頂點時 F1PF2 的大小判斷直角三角形個數，再加上PF1 ^ F1F2 、
PF2 ^ F1F2 對應直角三角形個數，即可得結果.
【詳解】由橢圓性質知：當 P 為G上下頂點時 F1PF2 最大，此時 | PF1 |=| PF2 |= 2 2 ， | F1F2 |= 4，
所以 cos F PF
8 + 8 -16
1 2 = = 0，故焦點三角形中 F1PF2 最大為90°，故有 2 個；2 2 2 2 2
又PF1 ^ F1F2 、PF2 ^ F1F2 對應的直角三角形各有 2 個；
綜上，使得VPF1F2是直角三角形的點 P 的個數為 6 個.
故答案為：6
2
37．（2024 高二上· x陜西寶雞·期末）已知F1，F2是橢圓C : + y2 =1的兩個焦點，點M 在C 上，則 MF1 × MF4 2
的最大值為 ．
【答案】4
【分析】根據橢圓的定義，結合基本不等式進行求解即可.
【詳解】因為點M 在C 上，
所以有 MF1 + MF2 = 2 2 = 4，
2
MF1 + MF
2
MF × MF 2 = 4 由 1 2 2 ÷ ÷
= 4 ，當且僅當 MF
2 1
= MF2 = 2時取等號，
è è
故答案為：4
38．（2024 高二下·上海黃浦·期中）設F1和F2為橢圓 4x2 + 2y2 =1的兩個焦點，點 P 在橢圓上，且滿足
OP 1= ，則VF1PF2的面積是 .2
1
【答案】 / 0.25
4
1
【分析】將橢圓方程化為標準式，即可求出 a、b 、 c，由 OP = ，可得點 P 為短軸頂點，最后由面積公
2
式計算可得.
y2 x2 1
4x2 + 2y2 =1 1 + 1 =1 a 2= b = c = a2 2
1
【詳解】橢圓 ，即 ，所以 ， ， - b = ，
2 2 22 4
OP 1 S 1 2c b 1 1 1 1因為 = ，所以點 P 為短軸頂點，所以 VF PF = = 2 = .2 1 2 2 2 2 2 4
1
故答案為： 4
2 2
39．（2024 x y高二下·江西·開學考試）橢圓 + = 1的左右焦點分別為F1，F2， P 為橢圓上一點，則VPF25 16 1
F2
面積與VPF1F2周長的比值的最大值為 .
3
【答案】 /0.75
4
【分析】根據橢圓方程求 a,b,c，結合橢圓的定義求VPF1F2的周長，結合三角形面積公式求其面積最大值，
由此可得結論.
x2 y2
【詳解】設橢圓 + = 1的長半軸為 a，短半軸為b ，半焦距為 c，
25 16
則 a = 5,b = 4,c = 3，
因為 F1F2 = 2c = 6， PF1 + PF2 = 2a =10，
所以VPF1F2的周長為 16，
由橢圓的幾何性質知，當點 P 為橢圓的短軸端點時，VPF1F2的面積最大，
VPF F 1所以 1 2面積的最大值為 F2 1
F2 b = bc =12，
3
所以VPF1F2面積與VPF1F2周長的比值的最大值為 .4
3
故答案為： ．
4
2 2
40．（2024· x y河南開封·模擬預測）已知橢圓 + =1的左焦點為 F，P 是橢圓上一點，若點 A 1, -1 ，則
9 5
PA + PF 的最小值為 ．
【答案】6 - 2 / - 2 + 6
【分析】根據橢圓定義可知 | PA | + | PF |=| PA | +2a- | PF2 |，進而可得 | PA | + | PF |的最小值.
【詳解】根據橢圓的定義： | PA | + | PF |=| PA | +2a- | PF2 |，
\| PA | + | PF |取得最小值時，
即 | PA | - | PF2 |最小，
如圖所示： PA + PF 2a - AF2 = 6 - 2 ，當 P ，A ，F2共線時取得最小值．
\| PA | + | PF |的最小值為：6 - 2 ﹒
故答案為：6 - 2 .
2 2
41．（2024 x y高二上·天津和平·期中）橢圓 + = 1的左、右焦點為 F1 F2，點 P 在橢圓上，若 RtV F1PF2，則
25 16
點 P 到 x 軸的距離為 .
16 16
【答案】 或
5 3
【解析】點 P(x, y) ，易得點 P 到 x 軸的距離為 | y |，然后分 PF1F2 = 90°或 PF2F1 = 90°， F1PF2 = 90°，三
種情況結合橢圓的定義求解.
【詳解】設點 P(x, y) ，則到 x 軸的距離為 | y |，
因為 a = 5，b = 4 ，
\c = 3，
當 PF1F2 = 90°或 PF2F1 = 90°時，
2
則 x = ±3，得 y2 = 16(1 9- ) 16= ，
25 25
| y | 16
16
\ = ，即 P x5 到 軸的距離為 ．5
當 F1PF2 = 90°時，
ì PF1 + PF2 =10
則 í
PF |2 + PF 2 2
，
1 2 | = 6
\| PF1 || PF2 |
1
= (102 - 62 ) = 32
2 ，
Q 1 | PF1 || PF |
1
2 = | F1F2 || y |2 2 ，
| y | 16\ =
3 ，
16 16
由（1）（2）知： P 到 x 軸的距離為 或 ，
5 3
16 16
故答案為： 或 ．
5 3
x2 y242．（2024 高二上·北京朝陽·期中）如圖，把橢圓 + =1的長軸 AB 八等分，過每個分點作 x 軸的垂線交
16 9
橢圓的上半部分于P1，P2，L，P7 七個點，F 是橢圓的一個焦點，則 P1F + P2F + P3F +L+ P7F 的值
為 ．
【答案】28
【詳解】設橢圓的另一個焦點為F' 由橢圓的幾何性質可知： P7F = P1F’|，\ P1F | + P7F = P1F | + P1F’|=2a ，
同理可得 P1F + P7F = P2F + P6F = P3F + P5F = 2 P4F = 2a，且 a = 4，故
P1F + P2F + P3F +L+ P7F = 7a = 28 ,故答案為 28 .
2 2
43（．2024高二上· x y吉林白城·期中）若方程 2 + =1表示焦點在x軸上的橢圓，則實數a的取值范圍是 .a a + 2
【答案】 -2, -1 2,+
【分析】由題意建立不等式，即可求得實數 a 的取值范圍．
x2 y2
【詳解】∵方程 2 + =1表示焦點在 x 軸上的橢圓，a a + 2
∴ a2 > a + 2 > 0，解得-2 < a < -1或 a > 2，
∴實數 a 的取值范圍是 -2, -1 2,+ ．
故答案為： -2, -1 2,+ ．
44．（2024·上海靜安·二模）已知 A(1, 2)，B 3, -1 兩點在對稱軸為坐標軸的橢圓上，則橢圓的標準方程
為 .
y2 x2
【答案】 11 + 11 =1
2 3
【分析】討論焦點在 x 軸和在 y 軸上兩種情況，設出橢圓的標準方程，再利用條件建立方程組，求出 a,b，
即可得到結果.
2 2
【詳解】當焦點在 x x y軸上時，設橢圓的標準方程為 2 + 2 = 1(a > b > 0) ，a b
ì 1 4
2 + 2 =1
又因 A(1, 2)，B 3, -1 a b 2 11 2 11在橢圓上，所以 í ，解得 a = ，b =3 1 ，
2 +
3 2
a b2
=1
此時， a < b ，故舍棄.
y2 x2
當焦點在 y 軸上時，設橢圓的標準方程為 2 + 2 =1(a > b > 0)，a b
ì 4 1
2 + 2 =1
又因 A(1, 2)，B 3, -1 a b 2 11 2 11在橢圓上，所以 í 1 3 ，解得 a = ，b = ，所以橢圓的標準方程為
2 + 2 =1
2 3
a b
y2 x2
11 + 11 =1 .
2 3
y2 x2
故答案為： 11 + 11 =1 .
2 3
2 2
45．（2024 高二·全國·課后作業）“1< m < 7 ” “ x y是 方程 + =1表示的曲線為橢圓”的 條件．
7 - m m -1
【答案】必要不充分
【分析】由充分、必要性的定義，結合圓錐曲線的性質判斷題設條件的推出關系，即可確定答案.
【詳解】當m = 4 時表示圓，當1 < m < 7且m 4時表示橢圓，充分性不成立；
ì7 - m > 0
x2 y2
當 + =1為橢圓，則 ím -1 > 0 ，可得1< m < 7且m 4，必要性成立；
7 - m m -1
7 - m m -1
2 2
綜上，“1< m < 7 ” “ x y是 方程 + =1表示的曲線為橢圓”的必要不充分條件.
7 - m m -1
故答案為：必要不充分
46．（2024 高二· 2 2全國·課后作業）設方程① x - 3 + y2 + x + 3 + y2 = 8；②
x -1 2 + y2 + x +1 2 + y2 = 2．其中表示橢圓的方程是 ．
【答案】①
【分析】根據橢圓的定義和方程表示的幾何意義分析判斷即可.
2
【詳解】對于①，方程 x - 3 + y2 + x + 3 2 + y2 = 8表示平面內的動點 (x, y)到
定點 (3,0)與 (-3,0)的距離之和等于 8 的點的軌跡，因為 (3,0)與 (-3,0)之間的距離為 6，且6 < 8，
所以動點 (x, y)的軌跡是橢圓，所以方程①表示橢圓的方程，
對于②，方程 x -1 2 + y2 + x +1 2 + y2 = 2表示平面內的動點 (x, y)到
定點 (1,0)與 (-1,0) 的距離之和等于 2 的點的軌跡，由于 (1,0)與 (-1,0) 之間的距離為 2，
所以動點 (x, y)的軌跡是一條線段，所以方程②表示的不是橢圓方程，
故答案為：①
2 2
47．（2024 高二上· x y天津和平·期中）已知橢圓 + =1的左、右焦點分別為F1，F2，點 P 為橢圓上一點，4 3
點 A(-4,4)，則 | PA | - PF2 的最小值為 ．
【答案】1
【分析】根據給定條件結合橢圓的定義即可計算作答.
x2 y2
【詳解】依題意，橢圓 + =1的左焦點F1(-1,0)，右焦點F2 (1,0) ，點 P 為橢圓上一點，點 A 在此橢圓外，4 3
由橢圓的定義得 | PF2 |= 4- | PF1 |，因此， | PA | - PF2 =| PA | + PF1 - 4 | AF1 | -4
= [-4 - (-1)]2 + 42 - 4 =1，當且僅當點 P 是線段 AF1與橢圓的交點時取“=”，
所以 | PA | - PF2 的最小值為 1.
故答案為：1
2 2
48．（2024 x y高三·廣西柳州·階段練習）已知 F 是橢圓C : + =1的右焦點，P 為橢圓 C 上一點，
4 3
A(1, 2 2) ，則 | PA | + | PF |的最大值為 ．
【答案】 4 + 2 3 / 2 3 + 4
【分析】設橢圓的左焦點為F1 -1,0 ， | PA | + | PF | 4 + AF1 ，計算得到答案.
【詳解】設橢圓的左焦點為F1 -1,0 ，
2
| PA | + | PF |=| PA | +2a- | PF1 |= 4+ | PA | - | PF | 4 + AF
2
1 1 = 4 + 2 + 2 2
= 4 + 2 3，當 A, P, F1 共線且F1在P, A中間時等號成立.
故答案為： 4 + 2 3
2 2
49．（2024 高二上·天津和平·期中）已知F1, F
y x
2 是橢圓 + =1的兩個焦點，P 為橢圓上一點，且9 5
PF1 = F1F2 ，則點 P 到 y 軸的距離為 .
15
【答案】
2
【分析】先由橢圓的定義得到 PF1 = F1F2 = 4, PF2 = 2，再由余弦定理與同角平方關系求得 sin F1PF
15
2 = ，4
x 15從而利用三角面積公式可求得 0 = ，則可知點 P 到 y 軸的距離.2
y2 x2
【詳解】如圖，由橢圓 + =1可得 a2 = 9,b2 = 5,c2 = 4 ,
9 5
所以 PF1 + PF2 = 2a = 6, F1F2 = 2c = 4 , 則 PF1 = F1F2 = 4, PF2 = 2 ,
PF 2 + PF 2 - F F 2 42 + 22 - 42 1
所以在VPF1F2中， cos F1PF2 =
1 2 1 2 = = ，
2 PF1 PF2 2 4 2 4
2
因為 cos F PF + sin21 2 F1PF2 =1 , 且 sin F1PF > 0 , sin F PF
15
2 所以 1 2 = ,4
設 P 的坐標為 x0 , y
1 1
0 , S 1且 VF PF = F1F2 × x0 = PF2 × F1P sin F1PF2，即2 2 4 x
1
= 2 4 15 ，解得
1 2 2 0 2 4
x 150 = ，2
所以點 P 到 y 15軸的距離為 .
2
15
故答案為： .
2
50．（2024 高二上·全國·課后作業）已知VABC 的三邊 a，b，c 成等差數列，且 a > b > c，A、C 兩點的坐標
分別為 (-1,0),(1,0)，則頂點 B 的軌跡方程為 ．
x2 y2
【答案】 + =1(-2 < x < 0)
4 3
【分析】由VABC 的三邊 a，b，c 成等差數列，可得點 B 的軌跡滿足橢圓的定義，可求出橢圓方程，再結
合 a > b > c和 B、A、C 三點構成VABC ，可得頂點 B 的軌跡是此橢圓的部分，可得其軌跡方程.
【詳解】因為VABC 的三邊 a，b，c 成等差數列，A、C 兩點的坐標分別為 (-1,0),(1,0)，
所以 a + c = 2b，即 BC + BA = 2 AC = 4 > 2，
所以點 B 的軌跡滿足橢圓的定義，此橢圓是以 A、C 為焦點，長軸長為 4 的橢圓，
x2 y2
故橢圓方程為 + =1，
4 3
因為 a > b > c，所以 BC > BA ，所以 x < 0 ，
又因為 B、A、C 三點構成VABC ，所以 B、A、C 三點不能在一條直線上，所以 x -2 ，
x2 y2
所以頂點 B 的軌跡方程為 + =1(-2 < x < 0) .
4 3
x2 y2
故答案為： + =1(-2 < x < 0)
4 3
2 2
51．（2024 x y高二上·上海寶山·期末）已知 P 為橢圓 + = 1上的一點，若M N 分別是圓 (x + 3)2 + y2 = 3和
25 16
(x - 3)2 + y2 =1上的點，則 PM + PN 的最大值為 .
【答案】11+ 3 / 3 +11
【分析】設圓 (x + 3)2 + y2 = 2和圓 (x - 3)2 + y2 =1的圓心分別為 A, B，則根據橢圓的性質可知PA + PB 為定
值，再根據三角形兩邊之和大于第三邊可知 PM + PN 的最大值為PA + PB 與兩圓半徑的和可得答案.
【詳解】由題設圓 (x + 3)2 + y2 = 3和圓 (x - 3)2 + y2 =1的圓心分別為 A, B，
2 2
半徑分別為 r1 = 3, r2 =1
x y
，則橢圓 + = 1的焦點為 A -3,0 , B 3,0 ，
25 16
PA + PB = 2 5 =10，
又 PA + r1 PM ， PB + r2 PN ，故 PM + PN PA + PB + r1 + r2 ，
當且僅當M , N 分別在PA, PB的延長線上時取等號，
此時最大值為 PA + PB + r1 + r2 =11+ 3 .
故答案為：11+ 3 .
四、解答題
52．（2024 高三·全國·專題練習）已知點F 2,0 ，動點M x, y 到直線 l : x = 2 2 的距離為 d ，且
d = 2 MF ，記M 的軌跡為曲線C ．求C 的方程；
x2 y2
【答案】 + =1
4 2
【分析】
根據已知條件可得出關于 x 、 y 的等式，化簡后可得出曲線C 的方程；
【詳解】動點M x, y 到直線 l : x = 2 2 的距離為 d ，且 d = 2 MF ，
2
由題意知 2 2 - x = 2 × x - 2 + y2 ，兩邊平方整即得 x2 + 2y2 = 4 ，
x2 y2
所以曲線C 的方程為 + =1 .
4 2
2 2
53．（2024 高二·全國· x y課后作業）已知 P 是橢圓 + =1上一點， A(0,5) ，求 | PA |的最小值與最大值．
4 36
14
【答案】最小值為 ，最大值為 11
4
x 2 y 2 8
【分析】設點 P 的坐標為 x , y ，則 00 0 + 0 = 1，由 PA = x0 - 0 2 + y0 - 5 2 = y 24 4 9 0 -10y0 + 29 ，利用二次
函數的性質求解.
x2 y2
【詳解】因為 P 是橢圓 + =1上一點，
4 36
所以 a = 6,b = 2,c = 4 2 ，且橢圓焦點在 y 軸上，
點 P 是橢圓上任意一點，設點 P 的坐標為 x0 , y0 ，
x 2 2
則 0
y
+ 0 = 1，
4 36
2 2
所以 PA = x0 - 0 + y0 - 5 ，
8
= y 20 -10y0 + 29 ，9
8 45 2
= y - 7 0 ÷ + ，9 è 8 8
45
因為 -6,6 8 ，
y 45 7當 0 = 8 時，
zmin = 8 ，
14
所以 PA =min 4
當 y0 = -6 PA
8
= -6 2時， -10 -6 + 29 = 11max .9
54．（2024 高二·全國·課后作業）已知橢圓以原點為中心，長軸長是短軸長的 2 倍，且過點 -2,-4 ，求此橢
圓的標準方程．
x2 y2 y2 x2
【答案】 + =1或 + =1
68 17 32 8
【分析】分焦點在 x 軸上和焦點在 y 軸上設出橢圓方程，利用長軸長是短軸長的 2 倍以及過點 -2,-4 建立
方程組，求出參數即可.
2 2 ì2a = 2 2b
x x y
ìa2 = 68
【詳解】當焦點在 軸上時，設橢圓方程 2 + 2 =1 a > b > 0 ，則 í 4 16 ，解得 ía b + =1 b2 ，故橢圓方 2 2 =17 a b
x2 y2
程為 + =1；
68 17
ì2m = 2 2n
y y
2 x2
ìm2 = 32
當焦點在 軸上時，設橢圓方程 2 + 2 =1 m > n > 0 ，則 í 16 4 ，解得 í 2 ，故橢圓方程為m n + =1 n = 8 m2 n2
y2 x2
+ =1；
32 8
x2 y2 y2 x2
綜上，橢圓方程為 + =1或 + =1.
68 17 32 83.1.1 橢圓及其標準方程 7 題型分類
一、橢圓的定義
1．定義：平面內與兩定點 F1，F2的距離的和等于常數(大于|F1F2|)的點的軌跡．
2．焦點：兩個定點 F1，F2.
3．焦距：兩焦點間的距離|F1F2|.
4．幾何表示：|MF1|＋|MF2|＝2a(常數)且 2a>|F1F2|.
二、橢圓的標準方程
焦點在 x 軸上 焦點在 y 軸上
x2 y2 y2 x2
標準方程 ＋ ＝1(a>b>0) ＋ ＝1(a>b>0)
a2 b2 a2 b2
圖形
焦點坐標 F1(－c，0)，F2(c，0) F1(0，－c)，F2(0，c)
a，b，c 的關系 b2＝a2－c2
（一）
求橢圓的標準方程
1.橢圓的定義：平面內與兩個定點 F1，F2的距離的和等于常數(大于|F1F2|)的點的軌跡．
2．橢圓的標準方程
焦點在 x 軸上 焦點在 y 軸上
x2 y2 y2 x2
標準方程 ＋ ＝1(a>b>0) ＋ ＝1(a>b>0)
a2 b2 a2 b2
圖形
焦點坐標 F1(－c，0)，F2(c，0) F1(0，－c)，F2(0，c)
a，b，c 的關系 b2＝a2－c2
題型 1：橢圓的定義及辨析
1-1．（2024 高二上·四川巴中·階段練習）設 P(x, y) 滿足： x2 + (y + 2)2 + x2 + (y - 2)2 = 5，則 P 點的軌跡為
（ ）
A．圓 B．橢圓 C．線段 D．不存在
1-2．（2024 高二·全國·課后作業）已知F1，F2是兩個定點，且 F1F2 = 2a（ a是正常數），動點 P 滿足
PF1 + PF2 = a
2 +1，則動點 P 的軌跡是（ ）
A．橢圓 B．線段 C．橢圓或線段 D．直線
9 9 25
1-3．（2024 高二·全國·課后作業）已知動點 M 到定點 A - ,0 與B ,0 的距離的和是 ，則點 M 的軌跡
è 4 ÷ è 4 ÷ 2
方程是 ．
題型 2：求橢圓的標準方程
2 3
2-1．（2024 高二上·江蘇連云港·期末）經過M 2, - ÷÷、 N - 2,-2 2 ÷÷
兩點的橢圓的標準方程是 ．
è è
x2 y22-2．（2024 高二下·江蘇南京·階段練習）已知橢圓C : + =1(a > b > 0) 的左、右焦點為F1(-1,0), F2 (1,0)2 2 ，a b
3
且過點P 1, ÷ ,則橢圓標準方程為 ．
è 2
x2 y2 3 10 2-3．（2024 高二上·福建龍巖·期中）已知橢圓 C: + = 1(a > b > 0) ,四點P1 1, ÷ , P2 0, 3 , P3 -1,2 ,a b2 è 2 è 2 ÷÷

P 1, 10

4 - ÷÷ 中恰有三點在橢圓C 上,則橢圓 C 的標準方程為（2 ）è
x2 y2 x2 y2 x2 y2 x2 y2A． + =1 B． + =1 C． + =1 D． + = 1
4 3 9 3 8 3 6 3
2-4．（2024 高二上·全國·課后作業）若橢圓的中心為原點，對稱軸為坐標軸，短軸的一個端點與兩焦點構成
個正三角形，焦點到橢圓上點的最短距離為 3，則這個橢圓的方程為（ ）
x2 y2 x2 y2 x2 y2A． + =1 B． + =1或 + =1
12 9 12 9 9 12
2 2
C x y． + = 1 D．以上都不對
36 12
（二）
橢圓的定義及其應用
橢圓定義的應用技巧
(1)橢圓的定義能夠對橢圓上的點到焦點的距離進行轉化．
(2)橢圓上一點 P 與橢圓的兩個焦點 F1，F2構成的△PF1F2，稱為焦點三角形，可以利用橢圓的
定義，結合正弦定理、余弦定理、三角形的面積公式等知識求解．
(3)橢圓上一點 P 與橢圓的兩焦點 F1，F2 構成的△F1PF2 稱為焦點三角形，解關于橢圓中的焦點三角形問題
時要充分利用橢圓的定義、三角形中的正弦定理、余弦定理等知識．對于求焦點三角形的面積，若已知
1
∠F1PF2，可利用 S＝ absinC 把 |PF1|·|PF2|看成一個整體，利用定義 |PF1|＋ |PF2|＝2a 及余弦定理求出2
|PF1|·|PF2|，這樣可以減少運算量．
焦點三角形的常用公式：
(1)焦點三角形的周長 L＝2a＋2c.
(2)在△PF1F2中，由余弦定理可得|F 2 2 21F2| ＝|PF1| ＋|PF2| －2|PF1||PF2|cos∠F1PF2.
1 ∠F1PF2
(3)設 P(xP，yP)，焦點三角形的面積 S△F PF ＝c|yP|＝ |PF1||PF2|·sin∠F1PF2＝b2tan .1 2 2 2
題型 3：橢圓的定義及其應用
2 2
3-1．（2024 x y高二·全國·課后作業）“1< k < 5 ”是方程“ + =1表示橢圓”的（ ）
k -1 5 - k
A．充分不必要條件 B．必要不充分條件
C．充要條件 D．既不充分又不必要條
2 2
3-2．（2024 高二上·江西南昌·期末）已知條件 p ：mn > 0，條件 q x y： + = 1表示一個橢圓，則 p 是 q的
m n
（ ）
A．充分不必要條件 B．必要不充分條件
C．充要條件 D．既不充分也不必要條件
2 2
3-3 x y．（2024 高二上·寧夏·階段練習）方程 + =1表示橢圓的充要條件是 ．
5 - k k
2 2
3-4．（2024· x y安徽合肥·模擬預測）“ m < 2 ”是“方程 + =1表示橢圓”的（ ）
2 - m m +1
A．充分不必要條件 B．必要不充分條件
C．充要條件 D．既不充分也不必要條件
題型 4：橢圓的焦點三角形問題
2 2
4-1．（2024 高二下· x y安徽蕪湖·期中）設 P 為橢圓 + =1上的一點，F1、F2分別為橢圓的左、右焦點，且9 4
F1PF2 = 60°，則 PF1 × PF2 等于（ ）
8 16
A． B 4 3． C． D 8 3．
3 3 3 3
2 2
4-2．（2024 · x y高二下 江西贛州·階段練習）已知橢圓 + =1的焦點為F1、F2，點 P 在橢圓上，若 | PF1 |= 4，9 2
則 | PF2 |= ， F1PF2 的大小為 .
2 2
4-3．（2024 高二下·甘肅白銀·期末）已知F1, F2 分別是橢圓C :
x y
+ =1的左、右焦點， P 是橢圓C 在第一
9 4
象限內的一點，若PF1 ^ PF2，則 tan PF1F2 = ．
2 2
4-4．（2024 x y高二上·新疆喀什·期末）在橢圓 + =1上有一點 P，F1 F2是橢圓的左 右焦點，VF4 2 1
PF2為直
角三角形，這樣的點 P 有（ ）
A．2 個 B．4 個 C．6 個 D．8 個
2 2
4-5．（2024 x y高二上·全國·課后作業）已知點 P 在橢圓 + =1上，F1，F2 是橢圓的焦點，且PF1 ^ PF ，求49 24 2
(1) PF1 × PF2
(2)VPF1F2的面積
2 2
4-6．（2024 · x y高二上 安徽阜陽·階段練習）已知F1, F1分別是雙曲線C : a2
- = 1 a 0 的左右焦點， P 是C
9
上的一點，且 PF1 = 2 PF2 =16，則VPF1F2的周長是 ．
2 2
4-7．（2024· · x y河南開封 三模）已知點 P 是橢圓 + =1上一點，橢圓的左、右焦點分別為F1、F2，且25 9
cos F1PF
1
2 = ，則VPF1F2的面積為（ ）3
A．6 B．12 C 9 2． D． 2 2
2
2 2
4-8．（2024 高二·全國·專題練習）設F1 , F
x y
2分別是橢圓E ： 2 + 2 = 1(a > b > 0) 的左、右焦點，過點Fa b 1
的直
線交橢圓E 于 A, B， AF1 = 3 BF1 ，若 AB = 4，△ABF2 的周長為 16，求 AF2 .
2 2
4-9．（2024 高二下· x y四川內江·開學考試）已知 P 是橢圓 + =1上的點，F1 F2分別是橢圓的左 右焦點，25 9
uuur uuuur
uPuuFr1 × PuuFu2ur = 1若 VF PFPF ，則 1 2的面積為（ ）1 × PF2 2
A．3 3 B． 2 3 C 3． 3 D．
3
2 2
4-10 x y．（2024 高二下·河南信陽·階段練習）若 F 為橢圓 C： + = 1的右焦點，A，B 為 C 上兩動點，則
25 16
△ABF 周長的最大值為（ ）
A．4 B．8 C．10 D．20
題型 5：橢圓上的點到焦點和定點距離的和、差最值
2 2
5-1．（2024 · x y 2高二 全國·課后作業）已知點 P 為橢圓 + =1上任意一點，點 M、N 分別為 x -1 + y2 =1和
4 3
x +1 2 + y2 =1上的點，則 PM + PN 的最大值為（ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
2 2
5-2．（2024· x y甘肅定西·模擬預測）已知橢圓 C： + =1的左、右焦點分別為 F1， F2，A 是 C 上一點，9 5
B 2,1 ，則 AB + AF1 的最大值為（ ）
A．7 B．8 C．9 D．11
2 2
5-3．（2024 高二上·浙江臺州· x y期中）已知橢圓 C： + =1的左 右焦點分別為F1 F2，M 為橢圓 C 上任意4 2
2 2一點，N 為圓 E： x - 3 2 + y - 2 2 = 1上任意一點，則 MN - MF1 的取值范圍為 .
題型 6：橢圓上的點到坐標軸上點的距離（最值）問題
2 2
6-1 x y．（2024 高二上·河南開封·期中）橢圓 + =1上任一點 P 到點Q 1,0 的距離的最小值為（ ）
9 5
A 15． 3 B． C 2 D 2 5． ．
2 3
2 2
6-2 x y．（2024 高二上·黑龍江哈爾濱·期末）已知點 A(0,4) ，P 是橢圓E : + =1上的動點，則 | PA |的最大值
25 9
是 ．
2 2 x
6-3．（2024·江西上饒·
x y
模擬預測）點 P 為橢圓 + =1上一點，曲線 + y =1與坐標軸的交點為A ， B ，
8 4 2
C ，D，若 PA + PB + PC + PD = 8 2 ，則點 P 到 x 軸的距離為（ ）
8 9
A 2 2 B C 2 19． ． ． D．
3 9 13 13
（三）
與橢圓有關的軌跡問題
求軌跡方程的常用方法
(1)直接法
設出曲線上動點的坐標為(x，y)后，可根據幾何條件直接轉換成 x，y 間的關系式；
(2)定義法
若動點運動的幾何條件滿足某種已知曲線的定義，可用待定系數法求出軌跡方程；
(3)相關點法(代入法)
有些問題中的動點軌跡是由另一動點按照某種規律運動而形成的，只要把所求動點的坐標“轉
移”到另一個動點在運動中所遵循的條件中去．
題型 7：求橢圓的軌跡方程
2 2
7-1．（2024 高二上·全國·課后作業）設定點 A 6,2 , P x y是橢圓 + =1上的動點，求線段 AP 的中點M 的軌
25 9
跡方程．
2
7-2．（2024 高三· x全國·專題練習）設 O 為坐標原點，動點 M 在橢圓 C: + y2 =1上，過 M 作 x 軸的垂線，
2
uuur uuuur
垂足為 N，點 P 滿足 NP = 2 NM .求點 P 的軌跡方程；
45
7-3．（2024 2 2高三·全國·專題練習）在平面直角坐標系 xOy 中，動圓 P 與圓C1 : x + y + 2x - = 0內切，且與4
x2 y2 2x 3圓C2 ： + - + = 0外切，記動圓 P 的圓心的軌跡為E .則軌跡E 的方程為 ；4
7-4．（2024 高三·全國·專題練習）在平面直角坐標系 xOy 中，已知點M 4,0 ， N 1,0 ，動點 P 滿足
uuuur uuur uuur
MN × MP = 6 NP .記 P 的軌跡為T .求T 的方程；
7-5 2 2 2 2．（2024 高二上·全國·課后作業）已知定圓C1 : x + y + 4x = 0，圓C2 : x + y - 4x - 60 = 0，動圓 M 和定
圓C1外切和圓C2 內切，求動圓圓心 M 的軌跡方程．
一、單選題
1（．2024 高二上·福建漳州·期末）點 P 在橢圓E : 4x2 + y2 =16上，F1、F2 是E 的兩個焦點，若 PF1 = 3，則 PF2 =
（ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
2．（2024 2高二上·福建福州·期中）已知圓C1 : x +1 + y2 = 25，圓C2 : x -1
2 + y2 =1，動圓 M 與圓C2 外切，
同時與圓C1內切，則動圓圓心 M 的軌跡方程為（ ）
x2A y2 1 B x
2 y2
． + = ． + =1
3 3 2
C x
2 x2 y2
． + y2 = 1 D． + =1
9 9 8
3．（2024 高二上·新疆伊犁·期末）如果點M x, y 在運動過程中，總滿足關系式
x2 + y + 3 2 + x2 + y - 3 2 = 4 3 ，則點M 的軌跡是（ ）．
A．不存在 B．橢圓 C．線段 D．雙曲線
4．（2024 高三·全國·專題練習）已知VABC 的周長為 20，且頂點B(0,-4),C(0,4)，則頂點A 的軌跡方程是
（　　）
x2 y2 x2 y2 2 2 2 2A． + = 1(x 0) B． + = 1(x 0) C x y x y ． + = 1(x 0) D． + = 1
36 20 20 36 6 20 20 36
5．（2024 高二上·四川南充·期末）設定點F1 0, -2 ，F2 0,2 ，動點 P 滿足條件 PF1 + PF2 = 5，則點 P 的軌
跡是（ ）
A．橢圓 B．線段 C．不存在 D．橢圓或線段
2 2
6．（2024· x y陜西西安·一模）已知點M 在橢圓 + =1上運動，點 N 在圓 x2 + y -1 2 = 1上運動，則 MN 的最
18 9
大值為（ ）
A．1+ 19 B．1+ 2 5 C．5 D．6
7．（2024 高二上·全國·課后作業）已知點 F 2 21，F2是橢圓 x + 2y = 2的左、右焦點，點 P 是該橢圓上的一個
uuur uuuur
動點，那么 PF1 + PF2 的最小值是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．2 2
8．（2024 高二上·河南信陽·期末）已知F1，F2是橢圓 C 的兩個焦點，P 為 C 上一點， PF1 = 2 PF2 ，若 C
7
的離心率為 ，則 F1PF2 =（ ）
3
A．150° B．120° C．90° D．60°
2 2
9 2024 x y．（ 高二上·全國·課后作業）設F1, F2 分別為橢圓 + = 1的左右焦點，過F1的直線交橢圓于 A、B 兩6 4
點，則△ABF2 的周長為（ ）
A．12 B．24 C． 2 6 D． 4 6
2 2
10．（2024 高二下·河南開封·期末）直線mx + y = 0 m R x y與橢圓 + =1交于 A, B兩點，則 A, B與橢圓的
16 25
兩個焦點構成的四邊形的周長為（ ）
A．10 B．16 C．20 D．不能確定
2 2
11．（2024·四川南充· x y一模）已知直線 kx - y + 2 = 0與橢圓 + =1恒有公共點，則實數 m 的取值范圍
9 m
（ ）
A． 4,9 B． 4, +
C． 4,9 9,+ D． 9, +
2 2
12 x y．（2024 高二下·四川南充·階段練習）方程 + = 1表示橢圓的一個充分不必要條件是（ ）
m 2m - 3
3 3
A．m > 且m 3 B．m > 4 C．m > D．m > 0
2 2
2 2
13 x y．（2024 高二上·吉林松原·期末）已知 A 為橢圓 + = 1上一點，F 為橢圓一焦點， AF 的中點為 P ，O
25 16
為坐標原點，若 OP = 2 則 AF =（ ）
A．8 B．6 C． 4 D． 2
2
14．（2024 高二上·山東威海·期末）已知橢圓mx2 y+ =1的焦距為 2，則實數 m＝（ ）
2
1 1 1 1 1
A． B． C． 或 D． 或 1
3 6 6 2 3
15．（2024 高二上·吉林·期末）方程 x2 + ky2 = 2表示焦點在 x 軸上的橢圓的一個充分但不必要條件是（ ）
A． k > 0 B．1< k < 2 C． k >1 D．0 < k <1
x2 y216（．2024高二上·陜西寶雞·期末）已知橢圓C： + 2 =1(b > 0)上的動點 P 到右焦點距離的最大值為3+ 2 2 ，9 b
則b =（ ）
A．1 B． 2 C． 3 D． 6
x2 y217．（2024 高三·全國·專題練習）已知橢圓 + = 1上一點 P 到右準線的距離為10，則點 P 到它的左焦點
25 16
的距離為（ ）
A． 4 B．6 C．8 D．10
2 2
18 x y．（2024·四川南充·模擬預測）已知焦點在 y 軸上的橢圓 m2 + =1的焦距等于 2，則實數 的值為（ ）m 4
A．3或5 B．± 3 或± 5 C．3 D．± 3
19．（2024 2 2高二上·上海嘉定·期末）方程 x - 2 + y2 + x + 2 + y2 =12，化簡的結果是（ ）
x2 y2 x2 y2 x2 y2 y2 2A 1 B 1 C x． + = ． + = ． + =1 D． + =1
36 4 36 32 36 16 36 16
x2 y2
20．（2024 高二上·山東·期中）已知橢圓 + =1（m > 0）的一個焦點為F1 0, -4 ，則m =（2 ）25 m
A． 41 B．3 C．41 D．9
2 2
21 2024 x y．（ 高二下·廣東汕頭·期末）已知橢圓方程 + =1, F 是其左焦點，點 A 1,1 是橢圓內一點，點 P
4 3
是橢圓上任意一點，若 PA + PF 的最大值為Dmax ，最小值為Dmin ，那么Dmax + Dmin =（ ）
A． 4 3 B．4 C．8 D．8 3
2 2
22．（2024·遼寧沈陽·三模）已知動點P x, y 在橢圓C : x y+ =1上，F 為橢圓 C 的右焦點，若點 M 滿足
25 16
uuur uuur uuur uuuur
MF =1且MP × MF = 0，則 PM 的最大值為（ ）
A． 3 B．3 7 C．8 D．63
2 2
23．（2024 · x y高三 廣西欽州·開學考試）設橢圓 C： 2 + 2 =1(a>0，b>0)的左 右焦點分別為F1，F2，離心率a b
3
為 .P 是 C 上一點，且F1P ⊥ F2P .若VPF1F2的面積為 4，則 a=
2
A．1 B．2 C．4 D．8
2 2
24．（2024 高二上·河北唐山·期末）已知F1, F2 是橢圓C :
x y
+ =1的左 右焦點，點 P 在橢圓C 上.當 F PF
4 3 1 2
最大時，求 S△PF =1F2 （ ）
1
A． B 3 2 3． C． 3 D．
2 3 3
x2 y2 225．（2024 高二下·四川德陽·階段練習）橢圓C : + =1(a > b > 0) 的左，右焦點為 F , F b，且 F F = ，
a2 b2 1 2 1 2 2a
點 P 是橢圓 C 上異于左、右端點的一點，若 M 是VPF1F2的內心，且 S△MPF = mS - S m =1 △MF1F2 △MPF2 ，則實數
（ ）
A． 5 + 2 B． 5 - 2
C．- 5 - 2 D． - 5 + 2
2 2
26．（2024 x y高二上·廣東廣州·期末）橢圓 + = 1的一個焦點是 F，過原點 O 作直線(不經過焦點)與橢圓相
25 16
交于 A，B 兩點，則△ABF 的周長的最小值是（ ）
A．14 B．15 C．18 D．20
2 2
27．（2024 x y高二上·江蘇·期中）已知橢圓 + =1的右焦點為F , A是橢圓上一點，點M 0,4 ，則VAMF 的
16 7
周長最大值為（ ）
A．14 B．16 C．18 D．20
2 2
28．（2024 x y高二上·河北石家莊·期中）設 P 是橢圓 + = 1上一點，M ，N 分別是圓C1 : (x + 3)
2 + y2 = 1和
25 16
C2 : (x - 3)
2 + y2 = 4上的點，則 PM + PN 的最大值為（ ）
A．13 B．10 C．8 D．7
二、多選題
29．（2024 高二上·山東濟南·期中）已知曲線C : mx2 + ny2 =1（ ）
A．若m > n > 0 ，則C 是橢圓，其焦點在 y 軸上
B．若m > n > 0 ，則C 是橢圓，其焦點在 x 軸上
C．若m = n > 0 ，則C 是圓，其半徑為 n
D．若m = 0， n > 0，則C 是兩條直線
2 2
30．（2024 高三·北京·強基計劃）已知點 A(1,1),Q(1,0) x y，P 為橢圓 + =1上的動點，則 | PA | + | PQ |的
4 3
（ ）
A．最大值為 4 + 3 B．最大值為 4 + 5
C．最小值為 4 - 3 D．最小值為 4 - 5
三、填空題
2 2
31．（2024 高二上· · x y全國 課后作業）橢圓 + =1上的一點M 到左焦點F1的距離為 2, N 是MF1 的中點，則16 9
ON 等于 .
32．（2024 高二·全國·課后作業）下列命題是真命題的是 .(將所有真命題的序號都填上)
①已知定點F1(-1,0), F2 (1,0)，則滿足|PF1|＋|PF2|＝ 2 的點 P 的軌跡為橢圓；
②已知定點 F1(－2，0)，F2(2，0)，則滿足|PF1|＋|PF2|＝4 的點 P 的軌跡為線段；
③到定點F1(-3,0), F2 (3,0)的距離相等的點的軌跡為橢圓.
33 2023-2024 x
2 y2
．（天津市河西區 學年高二上學期期中數學試題）橢圓 + =1上一點 P 與它的一個焦點的
100 36
距離等于 6，那么點 P 與另一個焦點的距離等于 .
2
34．（2024· y云南紅河·模擬預測）已知F1, F2 是橢圓 x2 + =1的兩個焦點，點 P 在橢圓上，若2
PF1F2 = 135° ，則點 P 到焦點F2的距離為 ．
2 2 uuur uuur
35．（2024 x y高二下·上海靜安·期中）已知 P 為橢圓 + =1上一動點，記原點為O，若OP = 2OQ，則點Q
16 12
的軌跡方程為 ．
2 2
36．（2024·上海普陀·二模）設橢圓G : x y+ =1的左、右兩焦點分別為F1，F2， P 是G上的點，則使得VPF8 4 1
F2
是直角三角形的點 P 的個數為 .
2
37．（2024 高二上·陜西寶雞·期末）已知F ，F x是橢圓C : + y21 2 =1的兩個焦點，點M 在C 上，則 MF × MF4 1 2
的最大值為 ．
38．（2024 高二下·上海黃浦·期中）設F 和F 2 21 2為橢圓 4x + 2y =1的兩個焦點，點 P 在橢圓上，且滿足
OP 1= ，則VF1PF2的面積是 .2
2 2
39 2024 x y．（ 高二下·江西·開學考試）橢圓 + = 1的左右焦點分別為F1，F2， P 為橢圓上一點，則VPF25 16 1
F2
面積與VPF1F2周長的比值的最大值為 .
2 2
40．（2024·河南開封· x y模擬預測）已知橢圓 + =1的左焦點為 F，P 是橢圓上一點，若點 A 1, -1 ，則
9 5
PA + PF 的最小值為 ．
2 2
41．（2024 · · x y高二上 天津和平 期中）橢圓 + = 1的左、右焦點為 F1 F2，點 P 在橢圓上，若 RtV F1PF2，則
25 16
點 P 到 x 軸的距離為 .
2 2
42．（2024 高二上· x y北京朝陽·期中）如圖，把橢圓 + =1的長軸 AB 八等分，過每個分點作 x 軸的垂線交
16 9
橢圓的上半部分于P1，P2，L，P7 七個點，F 是橢圓的一個焦點，則 P1F + P2F + P3F +L+ P7F 的值
為 ．
2 2
43．（2024 · x y高二上 吉林白城·期中）若方程 2 + =1表示焦點在x軸上的橢圓，則實數a的取值范圍是 .a a + 2
44．（2024·上海靜安·二模）已知 A(1, 2)，B 3, -1 兩點在對稱軸為坐標軸的橢圓上，則橢圓的標準方程
為 .
2 2
45．（2024 高二·全國·課后作業）“1< m < 7 ” “ x y是 方程 + =1表示的曲線為橢圓”的 條件．
7 - m m -1
46．（2024 高二· 2全國·課后作業）設方程① x - 3 + y2 + x + 3 2 + y2 = 8；②
x -1 2 + y2 + x +1 2 + y2 = 2．其中表示橢圓的方程是 ．
x2 y247．（2024 高二上·天津和平·期中）已知橢圓 + =1的左、右焦點分別為F1，F2，點 P 為橢圓上一點，4 3
點 A(-4,4)，則 | PA | - PF2 的最小值為 ．
2 2
48．（2024 x y高三·廣西柳州·階段練習）已知 F 是橢圓C : + =1的右焦點，P 為橢圓 C 上一點，
4 3
A(1, 2 2) ，則 | PA | + | PF |的最大值為 ．
2 2
49．（2024 高二上· y x天津和平·期中）已知F1, F2 是橢圓 + =1的兩個焦點，P 為橢圓上一點，且9 5
PF1 = F1F2 ，則點 P 到 y 軸的距離為 .
50．（2024 高二上·全國·課后作業）已知VABC 的三邊 a，b，c 成等差數列，且 a > b > c，A、C 兩點的坐標
分別為 (-1,0),(1,0)，則頂點 B 的軌跡方程為 ．
2 2
51．（2024 · x y高二上 上海寶山·期末）已知 P 為橢圓 + = 1上的一點，若M N 分別是圓 (x + 3)2 + y2 = 3和
25 16
(x - 3)2 + y2 =1上的點，則 PM + PN 的最大值為 .
52．（2024 高三·全國·專題練習）已知點F 2,0 ，動點M x, y 到直線 l : x = 2 2 的距離為 d ，且
d = 2 MF ，記M 的軌跡為曲線C ．求C 的方程；
2 2
53 2024 x y．（ 高二·全國·課后作業）已知 P 是橢圓 + =1上一點， A(0,5) ，求 | PA |的最小值與最大值．
4 36
54．（2024 高二·全國·課后作業）已知橢圓以原點為中心，長軸長是短軸長的 2 倍，且過點 -2,-4 ，求此橢
圓的標準方程．

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