資源簡介

2.5.1 直線與圓的位置關系 6 題型分類
一、直線 Ax＋By＋C＝0 與圓(x－a)2＋(y－b)2＝r2的位置關系及判斷
位置關系 相交 相切 相離
公共點個數 2 個 1 個 0 個
幾何法：
設圓心到直線的距離
dr
|Aa＋Bb＋C|
d＝
判 A2＋B2
斷 代數法：
方 由
法
{Ax＋By＋C＝0， Δ>0 Δ＝0 Δ<0 x－a 2＋ y－b 2＝r2，
消元得到一元二次方程，
可得方程的判別式 Δ
二、直線與圓相交時的弦長求法：
圓的半徑 r，圓心到直線的距離 d，弦長 l，
幾何法 l
利用 r2＝d2＋( )2解題.2
代數法 若交點坐標易求出，求出交點坐標后，
直接用兩點間距離公式計算弦長.
l：y＝kx＋b 與圓的交點為(x1，y1)，(x2，y2)，
弦長公式法 弦長 l＝ 1＋k2|x1－x2|＝
1＋k2 [ x1＋x2 2－4x1x2].
三、求過某一點的圓的切線方程：
(1)點(x0，y0)在圓上．
1
①先求切點與圓心連線的斜率 k，再由垂直關系得切線的斜率為－ ，由點斜式可得切線方
k
程．
②如果斜率為零或不存在，則由圖形可直接得切線方程 y＝y0或 x＝x0.
(2)點(x0，y0)在圓外．
①設切線方程為 y－y0＝k(x－x0)，由圓心到直線的距離等于半徑建立方程，可求得 k，也就
得切線方程．
②當用此法只求出一個方程時，另一個方程應為 x＝x0，因為在上面解法中不包括斜率不存
在的情況．
③過圓外一點的切線有兩條．一般不用聯立方程組的方法求解．
（一）
直線與圓的位置關系的判斷
直線與圓的位置關系
1．幾何法判斷直線與圓的位置關系：
2 2 Aa + Bb + C
直線 Ax + By + C = 0與圓 x - a + y - b = r 2 ，圓心到直線的距離 d =
A2 + B 2
(1) d > r 直線與圓相離 無交點；
(2) d = r 直線與圓相切 只有一個交點；
(3) d < r 直線與圓相交 有兩個交點.
2．代數法判斷直線與圓的位置關系：
Ax + By + C = 0
聯立直線方程與圓的方程，得到 ，通過解的個數來判斷：2
x + y
2 + Dx + Ey + F = 0
(1)當 > 0時，直線與圓有 2 個交點，，直線與圓相交.
(2)當 = 0時，直線與圓有 1 個交點，直線與圓相切.
(3)當 < 0時，直線與圓沒有交點，直線與圓相離.
3.直線系法：若直線恒過定點，可通過判斷定點與圓的位置關系來判斷直線與圓的位置關
系．但有一定的局限性，必須是過定點的直線系．
題型 1：判斷直線與圓的位置關系
1-1．（2024 高二下·北京海淀·期中）直線 ax - y + 2a = 0 a R 與圓 x2 + y2 = 5的位置關系為（ ）
A．相離 B．相切 C．相交 D．不確定
【答案】C
【分析】求出直線恒過的定點，判斷定點與圓的位置關系.
【詳解】由題知，圓心坐標 0，0 ，半徑 5 ，
將直線 ax - y + 2a = 0化為點斜式得 y = a x + 2 ，
知該直線過定點 -2,0 ，
又 -2 2 + 02 < 5，故該定點在圓內，
所以該直線與圓 x2 + y2 = 5必相交.
故選：C
1-2．（2024·四川成都·一模）圓C ： (x -1)2 2
x y
+ (y -1) = 1與直線 l： + =1的位置關系為（ ）
4 3
A．相切 B．相交 C．相離 D．無法確定
【答案】A
【分析】求出圓心坐標與半徑，再將直線方程化為一般式，根據圓心到直線的距離即可判斷.
【詳解】圓C ： (x -1)2 + (y -1)2 = 1的圓心為C 1,1 ，半徑 r =1，
x y 3+ 4 -12
直線 l： + =1即3x + 4y -12 = 0，則圓心到直線的距離 d = =1 = r ，
4 3 32 + 42
所以直線 l與圓C 相切.
故選：A
1-3．（2024·安徽蚌埠·三模）直線 l : x + my +1- m = 0與圓C : x -1 2 + y - 2 2 = 9的位置關系是（ ）
A．相交 B．相切 C．相離 D．無法確定
【答案】A
【分析】判斷出直線的定點坐標，然后判斷定點與圓的位置關系，進而可得直線與圓的位置關系.
【詳解】已知直線 l : x + my +1- m = 0過定點 -1,1 ，
將點 -1,1 代入圓的方程可得 -1-1 2 + 1- 2 2 < 9，
可知點 -1,1 在圓內，
2 2
所以直線 l : x + my +1- m = 0與圓C : x -1 + y - 2 = 9相交.
故選：A.
1-4．（2024·新疆喀什·模擬預測）已知圓C : x2 + y2 + 2x - 4 y = 0 ，直線 l : 2x - y -1 = 0，則圓 C 與直線 l
（ ）
A．相交 B．相切 C．相離 D．相交且直線過圓 C 的圓心
【答案】B
【分析】根據題意只需判斷圓心到直線的距離與半徑比較大小即可判斷．
【詳解】由 x2 + y2 + 2x - 4y = 0可得 x +1 2 + y - 2 2 = 5，
故圓心C(-1,2) ，半徑 r = 5 ，
| -2 - 2 -1| 5
則圓心到直線 l : 2x - y -1 = 0的距離 d = = = 5 = r
22
，
+1 5
故直線與圓 C 相切．
故選：B
題型 2：根據直線與圓的位置關系求參數
2-1．（2024 高二下·上海靜安·期末）過點 0,1 的直線 l與圓 x2 + y2 + 4x + 3 = 0 相切，則直線 l的斜率為 .
4
【答案】 或0
3
【分析】設出直線的方程，利用圓心到直線的距離等于半徑，求出直線的斜率即可.
【詳解】圓 x2 + y2 + 4x + 3 = 0 化為標準方程為 (x + 2)2 + y2 =1，圓心 (-2,0) ，半徑為 1，
當直線 l的斜率不存在時，直線 l： x = 0，此時直線 l與圓 x2 + y2 + 4x + 3 = 0 不相切，不合題意；
當直線 l的斜率存在時，設直線 l的方程為 y = kx +1，即 kx - y +1 = 0，
-2k +1
圓心 (-2,0) 到直線 l的距離為 d = 2 ，由題意 d = r =1，1+ k
-2k +1 4
所以 =1，平方化簡得3k 2 - 4k = 0 ，解得 k = 或 k = 0 .
1+ k 2 3
4
故答案為： 或0 .
3
2-2．（2024 · · C x - 2 2 2高三 全國 專題練習）已知圓 ： + y -1 = r2 r > 0 ，直線 l : ax + y - 2a +1 = 0，若直線 l
與圓 C 總有交點，則 r 的取值范圍為
【答案】[2, + )
【分析】直線 l 與圓 C 總有交點，則直線所過定點在圓內或圓上，列出不等式求解.
【詳解】由 l 方程知 y = a(2 - x) -1，則 l 過定點M (2, -1)，
若 l 與圓 C 總有交點，則點 M 在圓內或圓上.
又因為圓 C 的圓心坐標為C(2,1) ，半徑為 r，
則 MC = 2 r ，即 r 的取值范圍為[2, + ) .
故答案為：[2, + )
2-3．（2024 高二下·上海寶山·期末）若直線 y = kx -1與曲線 y = -x2 + 4x - 3 恰有兩個公共點，則實數 k 的取
值范圍是（ ）
4 ,+ é1, 4 é1, 4 ù 4 A． 3 ÷
B． ê 3 ÷
C． ê ú D． 0,3 3 ÷è è
【答案】B
【分析】根據題意得： y = kx -1為恒過定點 A(0, -1)的直線，曲線表示圓心為 (2,0)，半徑為1的上半圓，由
此利用數形結合思想能求出 k 的取值范圍．
【詳解】根據題意得 y = kx -1為恒過定點 A(0, -1)的直線，
由曲線 y = -x2 + 4x - 3 ，可得 (x - 2)2 + y2 =1(y 0)，
所以曲線表示圓心為C(2,0) ，半徑為1的上半圓，如圖所示，
2k -1
當直線與圓C 相切時，有 =1，解得 k = 0（舍去）或 k
4
= ，
k 2 +1 3
把B(1,0)代入 y = kx -1得 k -1 = 0，解得 k =1，
因為直線 y = kx -1與曲線 y = -x2 + 4x - 3 恰有兩個公共點，
4 4
由圖可得1 k < ，即 k é的取值范圍是 ê1,

．
3 3 ÷
故選：B．
題型 3：根據直線與圓的位置關系求距離的最值
3-1．（2024·廣西·模擬預測）已知直線 l : mx + 5 - 2m y - 2 = 0 m R 和圓O : x2 + y2 = 4 ，則圓心 O 到直線 l
的距離的最大值為（ ）
6 2 5 2 3 3A． B． C． D．
5 5 3 2
【答案】B
4 2
【分析】把直線方程化為m(x - 2y) + 5y - 2 = 0，求得直線 l過定點P( , ) ，結合圓的幾何性質，即可求解.
5 5
【詳解】由題意，直線mx + 5 - 2m y - 2 = 0 可化為m(x - 2y) + 5y - 2 = 0，
x - 2y = 0 4 2 4 2
聯立方程組 5y 2 0 ，解得
x = , y = ，即直線 l過定點P( , ) ，
- = 5 5 5 5
4 2 2
2
又由 ÷ +

÷ < 4 ，可得定點 P 在圓內，
è 5 è 5
4 2 2 2 2 5
由圓的幾何性質知，圓心到直線的距離 d | OP |= ÷ + = ．
è 5 ÷ è 5 5
故選：B.
3-2．（2024 高二下·河南南陽·期末）已知直線 l： x + y + 2 = 0與 x 軸、y 軸分別交于 M，N 兩點，動直線 l1：
y = -mx m R 和 l2：my - x - 4m + 2 = 0交于點 P，則△MNP的面積的最小值為（ ）
A． 10 B．5 - 10 C． 2 2 D． 2 10 - 3
【答案】B
【分析】根據 l1, l2 所過定點和位置關系可得點 P 軌跡方程，然后利用點到直線的距離公式和兩點間的距離公
式可得面積最小值.
【詳解】根據題意可知，動直線 l1 : mx + y = 0過定點O 0,0 ，動直線 l2：my - x - 4m + 2 = 0，即
m y - 4 + 2 - x = 0過定點B 2,4 ，
因為m (-1) +1 m = 0，所以無論 m 取何值，都有 l1 ^ l2，
1
所以點 P 在以 OB 為直徑的圓上，且圓心坐標為 1,2 ，半徑為 OB = 5 ，
2
設P x, y 2 2，則點 P 的軌跡方程為 x -1 + y - 2 = 5，
1+ 2 + 2
l 5 2= P l 5 2圓心到直線 的距離為 ，則 到直線 的距離的最小值為 - 5 ．
2 2 2
由題可知M -2,0 ， N 0, -2 ，則 MN = 2 2 ，
1 5 2
所以△MNP的面積的最小值為 2 2 - 5 ÷÷ = 5 - 10 ．2 è 2
故選：B
3-3．（2024 高三下·云南昆明·階段練習）已知點 P 是直線2x + y - 3 = 0上的動點，過點 P 作圓 O： x2 + y2 =1
5 1
的兩條切線，切點分別為 A, B，則點Q( , )到直線 AB 的距離的最大值為 .
3 3
【答案】1
【分析】設P x0 , y0 ，利用圓的方程可求出直線 AB 的方程為 x0x + y0 y =1，再結合 P 是直線2x + y - 3 = 0
2 1
上的動點，可求得直線 AB 過定點M ,
è 3 3 ÷
，即可確定當 Q 與 M 的連線垂直于直線 AB 時，點 Q 到直線 AB

的距離最大，即得答案.
【詳解】設P x0 , y0 ，過點 P 作圓 O： x2 + y2 =1的兩條切線，切點分別為 A, B，
2 2
則 A, B在以OP x y x + y為直徑的圓上，該圓的方程為 (x - 0 )2 + (y - 0 )2 = 0 0 ，
2 2 4
2 2
將 x2 + y2 =1和 (x x- 0 )2 (y y0 )2 x0 + y+ - = 0 相減得： x x + y y =1，
2 2 4 0 0
即得到直線 AB 的方程為 x0x + y0 y =1，
又因為點 P 是直線2x + y - 3 = 0，故 y0 = 3- 2x0，
則直線 AB 的方程為 x0x + 3- 2x0 y -1 = 0，即3y -1+ x0 x - 2y = 0，
當3y -1 = 0且 x - 2y = 0，即 x
2 1
= ， y = 時該方程恒成立，
3 3
2 1
所以直線 AB 過定點M , ÷ ，
è 3 3
當 Q 與 M 的連線垂直于直線 AB 時，點 Q 到直線 AB 的距離最大，
5 2 1 1
此時最大值即為 Q，M 之間的距離，而 QM = ( - )2 + ( - )2 =1，
3 3 3 3
Q 5 1 即點 , ÷到直線 AB3 3 的距離的最大值為
1，
è
故答案為：1
（二）
圓的弦長問題
直線與圓相交時的弦長求法：
2
1 l ．幾何法：利用圓的半徑 r ，圓心到直線的距離 d ，弦長 l之間的關系 r 2 = d 2 + ÷ ，整理出
è 2
弦長公式為： l = 2 r 2 - d 2 .
2．代數法：若直線與圓的交點坐標易求出，求出交點坐標后，直接用兩點間距離公式計算弦
長.
3．弦長公式法：設直線 l : y = kx + b 與圓的交點為 x1, y1 ， x2 , y2 ，將直線方程代入圓的方程，
消元后利用根與系數的關系得到弦長 l = 1+ k 2 x1 - x
2
2 = 1+ k é x1 + x2
2 - 4x1x ù2 .
題型 4：圓的弦長問題
4-1．（2024·河北邯鄲·二模）已知直線 l : x - y + 5 = 0與圓C : x2 + y2 - 2x - 4y - 4 = 0交于 A， B 兩點，若M 是
圓上的一動點，則△MAB 面積的最大值是 .
【答案】 2 2 + 3 / 3+ 2 2
【分析】求出圓 C 圓心到弦 AB 的長度 d，求出弦 AB 的長度，M 到弦 AB 的最大距離為 d＋r(r 為圓 C 半
徑)，根據三角形面積公式即可求出答案．
【詳解】C : (x -1)2 + ( y - 2)2 = 9，則圓 C 的圓心為C 1,2 ，半徑為 r = 3，
1- 2 + 5
圓心 C 到直線 l（弦 AB）的距離為 d = = 2 2 ，
2
則 AB = 2 r 2 - d 2 = 2 9 -8 = 2，
則M 到弦 AB 的距離的最大值為 d + r = 2 2 + 3，
則△MAB
1
面積的最大值是 × AB 2 2 + 3 = 2 2 + 3 .2
故答案為： 2 2 + 3
4-2．（2024 高二下·四川涼山·期末）已知圓C : x2 + y2 - 2ay = 0，過圓C 內一點 A 2,1 的直線被圓C 所截得
的最短弦的長度為 2，則 a =（ ）
1
A．2 B． 2 2 C． D．32
【答案】D
【分析】求出圓心和半徑，由幾何關系得到當過圓C 內一點 A 2,1 的直線與 AC 垂直時，被圓C 所截得的弦
長最短，由垂徑定理列出方程，求出答案.
【詳解】C : x2 + y2 - 2ay = 0整理得 x2 + y - a 2 = a2 ，故圓心為 0,a ，半徑為 a ，
當過圓C 內一點 A 2,1 的直線與 AC 垂直時，被圓C 所截得的弦長最短，
其中 AC = 4 + a -1 2 ，
2
由垂徑定理得 AC +12 = a2 ，即 4 + a -1 2 +1 = a2 ，解得 a = 3，
故選：D
4-3．（2024 高二上·四川涼山·期末）過點 1,1 的直線 l 被圓C : x2 + y2 = 4 截得的弦長最短，則直線 l 的斜率
是（ ）
A．1 B．2 C．-2 D．-1
【答案】D
【分析】根據圓的性質得到過點 A 1,1 與圓心C 垂直時，此時弦長最短，求得 kAC =1，即可求得直線 l的斜
率.
【詳解】由圓 x2 + y2 = 4，可得圓心坐標為C(0,0)，
根據圓的性質，可得當過點 A 1,1 與圓心C 垂直時，此時弦長最短，
因為 kAC =1，所以直線 l的斜率為 k = -1 .
故選：D.
4-4．（2024 高二下·浙江·階段練習）圓C 經過點 A(2,-1)，和直線 x + y =1相切，且圓心在直線 y = -2x 上．
(1)求圓C 的方程；
(2)求圓C 在 y 軸截得的弦長．
2
【答案】(1) x -1 + y+2 2 = 2
(2) 2
【分析】（1）設出圓心坐標，用幾何法求解圓的方程即可；
（2）利用直線與圓相交的弦長公式求解即可.
【詳解】（1）設圓心的坐標為C a,-2a ,
2 a - 2a -1則 a - 2 + -2a +1 2 = .
2
化簡得 a2 - 2a +1 = 0 ，解得 a =1 ,
所以C 點坐標為 1, -2 ，
半徑 r = AC = 1- 2 2 + -2 +1 2 = 2 ，
故圓C 的方程為 x -1 2 + y+2 2 = 2 .
（2）圓心C 1, -2 到 y 軸的距離為1，
2
所以圓C 在 y 軸截得的弦長為 2 2 -12 = 2 .
1
4-5．（2024·河南鄭州·模擬預測）已知圓C : x2 + y2 - 6x + 5 = 0 ，直線 y = x +1 與圓 C 相交于 M，N 兩點，則
3
MN = ．
4 15 4
【答案】 / 15
5 5
【分析】先求出圓的圓心和半徑，然后求出圓心到直線的距離，再利用弦、弦心距和半徑的關系可求出弦
長.
2
【詳解】由 x2 + y2 - 6x + 5 = 0，得 x - 3 + y2 = 4，則圓的圓心為 (3,0)，半徑 r = 2，
3 - 0 +1
所以圓心 (3,0)到直線 x - 3y +1 = 0的距離為 d
4
= =
12 + 32 10
1
所以 MN = r 2 - d 2 4 16= - 4 15，解得 MN = ．
2 10 5
4 15
故答案為：
5
4-6．（2024·浙江·三模）在平面直角坐標系上，圓C : x2 + y -1 2 =1，直線 y = a x +1 與圓C 交于 A, B兩點，
a 0,1 ，則當VABC 的面積最大時， a =（ ）
A 2
1
． B． 3 -1 C． 2 - 3 D．
2 2
【答案】C
【分析】利用點到直線距離公式表示出圓心到直線距離 d ，并由 a的范圍確定 d 的范圍；利用垂徑定理表示
1 2 2
出 AB ，由 SVABC = AB ×d = d 1- d ，根據基本不等式取等條件可構造方程求得結果.2
【詳解】由圓的方程知：圓心C 0,1 ，半徑 r =1，
a -1 a -1 2 2a 2
則圓心C 到直線 y = a x +1 的距離 d = = = 1- = 1-a2 2+1 a +1 a2 +1 1 ，a +
a
Qa 0,1 ，\a 1+ > 2 ，\d 0,1 ，
a
Q AB = 2 r 2 - d 2 = 2 1- d 2 ，
1 2 2
2

S AB d +1- d 1 2\ VABC = ×d = d 1- d
2 = d 2 1- d 2 ÷ = （當且僅當 d = 時取等號），2 è 2 2 2
a -1 2
則當VABC 的面積最大時， = ，又 a 0,1 ，解得：
2 a = 2 - 3
.
a2 +1
故選：C.
4-7．（2024 高二下·上海黃浦·期末）設直線 y = ax + 3與圓 x2 + y2 = 4相交所得弦長為 2 3 ，則 a = ；
【答案】±2 2
【分析】利用點線距離公式與圓的弦長公式即可得解.
【詳解】因為圓 x2 + y2 = 4的圓心為 0,0 ，半徑為 r = 2，
則圓心
0 - 0 + 3
0,0 3到直線 y = ax + 3，即 ax - y + 3 = 0 的距離 d = = ，
a2 +12 a2 +1
由圓的弦長公式 l = 2 r 2 - d 2 ，即 2 3 = 2 4 - d 2 ，得 d = 1，
3
所以 =12 ，解得 a = ±2 2 ，a +1
經檢驗， a = ±2 2 滿足題意，所以 a = ±2 2 .
故答案為：±2 2 .
（三）
求圓的切線方程
求過某一點的圓的切線方程
(1)點(x0，y0)在圓上．
1
①先求切點與圓心連線的斜率 k，再由垂直關系得切線的斜率為－ ，由點斜式可得切線方程．
k
②如果斜率為零或不存在，則由圖形可直接得切線方程 y＝y0或 x＝x0.
(2)點(x0，y0)在圓外．
①設切線方程為 y－y0＝k(x－x0)，由圓心到直線的距離等于半徑建立方程，可求得 k，也就得
切線方程．
②當用此法只求出一個方程時，另一個方程應為 x＝x0，因為在上面解法中不包括斜率不存在
的情況．
③過圓外一點的切線有兩條．一般不用聯立方程組的方法求解．
題型 5：求圓的切線方程
5-1．（2024·天津南開·二模）若直線 kx - y - 2k + 3 = 0與圓 x2 + y +1 2 = 4 相切，則 k = .
3
【答案】 /0.75
4
【分析】由圓心到切線的距離等于半徑求解．
【詳解】由題意圓心為 (0, -1) ，半徑為 2，
1- 2k + 3 3
所以 = 2，解得 k = ．
k 2 +1 4
3
故答案為： ．
4
5-2．（2024·北京通州·三模）過直線 y = x 2 2上的一點 P 作圓 x - 5 + y -1 = 2的兩條切線 l1， l2，切點分別
為 A, B，當直線 l1， l2關于 y = x 對稱時，線段PA的長為（ ）
A．4 B． 2 2 C． 6 D．2
【答案】C
【分析】根據題意畫出圖形，觀察圖形可知圓心與點 P 的連線垂直于直線 y = x ，利用這一關系即可得到切
線的長.
【詳解】如圖所示，圓心為C(5,1)，連接CP，
因為直線 l1， l2關于 y = x 對稱，所以CP垂直于直線 y = x ，
5 -1
故 CP = = 2 2 ，而 AC = 2 ，
2
所以 PA = CP 2 - AC 2 = 6 .
故選：C
5-3．（2024·北京·模擬預測）經過點 1,0 且與圓 x2 + y2 - 4x - 2y + 3 = 0相切的直線方程為 ．
【答案】 x + y -1 = 0
【分析】根據直線與圓相切，由圓心到直線的距離相等，分直線的斜率不存在和存在討論求解.
【詳解】解：圓 x2 + y2 - 4x - 2y + 3 = 0的標準方程為： x - 2 2 + y -1 2 = 2，
當直線的斜率不存在時，直線方程為 x =1，不符合題意；
當直線的斜率存在時，設直線方程為 y = k x -1 ，即 kx - y - k = 0 ，
因為直線與圓相切，
k -1
所以圓心到直線的距離相等，即d = = 2 ，
1+ k 2
化簡得 k 2 + 2k +1 = 0，
解得 k = -1， x + y -1 = 0 ，
綜上：直線方程為： x + y -1 = 0 ，
故答案為： x + y -1 = 0
5-4．（2024 高二上·福建福州·期末）過點P 1,1 作圓E ： x2 + y2 - 4x + 2y = 0的切線，則切線方程為（ ）
A． x + y - 2 = 0 B．2x + y - 3 = 0
C． x - 2y +1 = 0 D．2x - y -1 = 0
【答案】C
【分析】首先將圓的方程化為標準式，即可得到圓心坐標與半徑，從而判斷 P 點在圓上，再求出 kPE ，即可
得到切線的斜率，最后利用點斜式計算可得.
【詳解】圓E ： x2 + y2 - 4x + 2y = 0，即 x - 2 2 + y +1 2 = 5，圓心為E 2, -1 ，半徑 r = 5 ，
-1-1
又 PE = 2 -1 2 + -1-1 2 = 5 ，所以點 P 在圓上，且 kPE = = -2，2 -1
1 1
所以切線的斜率k = ，所以切線方程為 y -1 = x -1 ，即 x - 2y +1 = 0 .
2 2
故選：C
5-5．（2024·河北唐山·模擬預測）在平面直角坐標系 xOy 中，若點 P a,b 在直線 ax + by + 6a + 8 = 0上，則當
a，b 變化時，直線 OP 的斜率的取值范圍是 .
2 2
【答案】[- , ]
4 4
【分析】
將點代入直線上得到 P 的軌跡圓，數形結合法求直線 OP 的斜率的取值范圍.
【詳解】由題設 a2 + b2 + 6a + 8 = (a + 3)2 + b2 -1 = 0，則 (a + 3)2 + b2 =1，
所以 P 在以 A(-3,0) 為圓心，1 為半徑的圓上，
如圖，當OP 與圓相切時，直線 OP 的斜率出現最值（最大、最小），
當與圓上方相切，則 sin AOP
| AP | 1
= = 2 2
| AO | 3 ，故 tan AOP = ，此時 OP 斜率為- ，4 4
2
結合圓的對稱性，與圓下方相切，OP 斜率為 ，
4
2 2
由圖知：直線 OP 的斜率的取值范圍是[- , ] .
4 4
故答案為：[ 2- , 2 ]
4 4
5-6．（2024 高三下·湖北·階段練習）過直線 x + 2y - 4 = 0上一點 P 作圓 x2 + y2 =1的兩條切線PA, PB，切點分
別為A ， B ，則 AB 的最小值為 .
11 1
【答案】 / 11
2 2
【分析】設P(m, n) ，利用 P 與圓C 的關系，得到PA ^ CA，PB ^ CB ，進而得到點 A,B均在以PC 為直徑的
圓M 上，進而得到圓M 的方程，則直線 AB 為兩圓的公共弦，進而可求出直線 AB 以及該直線所過的定點，
即可求得 AB 的最小值
【詳解】設P(m, n) ，則有m + 2n - 4 = 0 ①，
又由圓 x2 + y2 =1的圓心O為 (0,0) ，直線PA， PB是圓的兩條切線， A,B為切點，則PA ^ OA，PB ^ OB，
則點 A,B均在以PO為直徑的圓上，設PO的中點為M ，
m n 2 2
則圓M 的方程為 (x - )2 + (y - )2 m + n= ，
2 2 4
化簡得 x(x - m) + y( y - n) = 0；
直線 AB 即為兩圓的公共弦，所以對于 x2 + y2 =1和 x(x - m) + y( y - n) = 0，
兩式相減可得直線 AB 的方程為 xm + yn =1，
由①可得， x 4 - 2n + ny =1，整理得 n(y - 2x) + 4x -1 = 0，
1
y - 2x = 0 x = 4
由
4x -1
得
= 0 y 1=
2
故直線過定點Q
1 , 1 4 2 ÷
，
è
2 2 1 1
因為 OQ = 1 1 5 ÷ + ÷ = <1，說明Q , ÷在圓 x
2 + y2 =1內，
è 4 è 2 4 è 4 2
2
AB ^ OQ AB 2 1 5 11當 時，此時 最小，為 - 4 ÷÷
=
è 2
11
故答案為：
2
（四）
直線與圓的實際應用
解決直線與圓的實際應用題的步驟
(1)審題：從題目中抽象出幾何模型，明確已知和未知．
(2)建系：建立適當的直角坐標系，用坐標和方程表示幾何模型中的元素．
(3)求解：利用直線與圓的有關知識求出未知．
(4)還原：將運算結果還原到實際問題中去．
題型 6：直線與圓的實際應用
6-1．（2024 高二上·廣東佛山·期末）黨的二十大報告提出要加快建設交通強國.在我國960萬平方千米的大地
之下擁有超過35000座，總長接近赤道長度的隧道（約37000千米）.這些隧道樣式多種多樣，它們或傍山而
過，上方構筑頂棚形成“明洞”﹔或掛于峭壁，每隔一段開出“天窗”形成掛壁公路.但是更多時候它們都隱伏于
山體之中，只露出窄窄的出入口洞門、佛山某學生學過圓的知識后受此啟發，為山體隧道設計了一個圓弧
形洞門樣式，如圖所示，路寬 AB 為16米，洞門最高處距路面 4米.
(1)建立適當的平面直角坐標系，求圓弧 AB 的方程.
(2)為使雙向行駛的車輛更加安全，該同學進一步優化了設計方案，在路中間建立了 2米寬的隔墻.某貨車裝
滿貨物后整體呈長方體狀，寬 2米，高3.6米，則此貨車能否通過該洞門 并說明理由.
【答案】(1) x2 + y + 6 2 =100 0 y 4
(2)不能，理由見解析
【分析】（1）以點D為坐標原點， AB 、DC 所在直線分別為 x 、 y 軸建立平面直角坐標系，分析可知圓心
在 y 軸上，設圓心坐標為 0,b ，設圓的半徑為 r ，將點 B 、C 的坐標代入圓的方程，求出b 、 r 的值，結合
圖形可得出圓弧 AB 的方程；
（2）求出貨車右側的最高點的坐標，代入圓弧 AB 的方程，可得出結論.
【詳解】（1）解：以點D為坐標原點， AB 、DC 所在直線分別為 x 、 y 軸建立如下圖所示的平面直角坐標
系，
則點C 0,4 、B 8,0 ，由圓的對稱性可知，圓心在 y 軸上，
設圓心坐標為 0,b ，設圓的半徑為 r ，則圓弧 AB 所在圓的方程為 x2 + y - b 2 = r 2 ，
0 + 4 - b
2 = r2
因為點C 、 B 在圓上，則 ，解得b = -6， r =10。
8
2 + 0 - b 2 = r2
所以，圓弧 AB 所在圓的方程為 x2 + y + 6 2 =100，
2
因此，圓弧 AB 的方程為 x2 + y + 6 =100 0 y 4 .
（2）解：此火車不能通過該路口，
由題意可知，隔墻在 y 軸右側1米，車寬 2米，車高3.6米，
所以貨車右側的最高點的坐標為 3,3.6 ，
因為32 + 3.6 + 6 2 >100，因此，該貨車不能通過該路口.
6-2．（2024 高二上·四川綿陽·期中）如圖，某海面上有 O、A、B 三個小島（面積大小忽略不計），A 島在 O
島的北偏東 45°方向距 O 島 40 2 千米處，B 島在 O 島的正東方向距 O 島 20 千米處以 O 為坐標原點，O 的
正東方向為 x 軸的正方向，1 千米為單位長度，建立平面直角坐標系圓 C 經過 O、A、B 三點．
(1)求圓 C 的標準方程；
(2)若圓 C 區域內有未知暗礁，現有一船 D 在 O 島的南偏西30°方向距 O 島 40 千米處，正沿著北偏東60°行
駛，若不改變方向，試問該船有沒有觸礁的危險？
【答案】(1) x2 + y 2 - 20x - 60 y = 0
(2)該船沒有觸礁的危險
【分析】
（1）由圖中坐標系得 A, B,O坐標，設出圓的一般方程，代入三點坐標求解，然后把一般方程配方得標準方
程；
（2）先求出航行方向所在直線方程，再求出圓心到直線的距離，與半徑比較可得．
【詳解】（1）如圖所示， A(40,40)、B(20,0)，
設過 O、A、B 三點的圓 C 的方程為 x2 + y2 + Dx + Ey + F = 0，
F = 0

得： 402 + 402 + 40D + 40E + F = 0，解得D = -20, E = -60, F = 0，

20
2 + 20D + F = 0
故所以圓 C 的方程為 x2 + y 2 - 20x - 60 y = 0，
圓心為C(10,30)，半徑 r = 10 10 ，
（2）該船初始位置為點 D，則 D(-20,-20 3)，
3
且該船航線所在直線 l 的斜率為 ,
3
故該船航行方向為直線 l : 3x - 3y - 40 3 = 0，
由于圓心 C 到直線 l 的距離d = 15( 3 +1) > 10 10 ，
故該船沒有觸礁的危險
6-3．（2024 高二上·山西晉中·期末）如圖，一隧道內設雙行線公路，其截面由一個長方形（長、寬分別為
8m 、 4m ）和圓弧構成，截面總高度為 6m，為保證安全，要求行駛車輛頂部（設為平頂）與隧道頂部在豎
直方向上高度之差至少要有0.5米，已知行車道總寬度 AB = 6m .
(1)試建立恰當的坐標系，求出圓弧所在圓的一般方程；
(2)車輛通過隧道的限制高度為多少米？
【答案】(1)答案見解析
(2) 4.5米
【分析】
uuur
（1）以拋物線的頂點O為坐標原點， AB 的方向為 x 軸的正方向建立平面直角坐標系，分析可知點 4, -2 在
圓上，求出 p 的等式，解之即可；
（2）將 x = 3的方程代入圓的方程，求出 y 值，結合題意可求得車輛通過隧道的限制高度.
uuur
【詳解】（1）解：以拋物線的頂點O為坐標原點， AB 的方向為 x 軸的正方向建立如下圖所示的平面直角坐
標系，
故圓心在 y 軸上，原點在圓上，可設圓的一般方程為 x2 + y2 + Ey = 0,
易知，點 4, -2 在圓上，將 4, -2 的坐標代入圓的一般方程得16 + 4 - 2E = 0, E =10，
則該圓弧所在圓的一般方程為 x2 + y2 +10y = 0 .
（2）解：令 x = 3代入圓的方程得 y2 +10y + 9 = 0，得 y = -1或 y = -9（舍），
由于隧道的總高度為6 米，且6 -1- 0.5 = 4.5（米），
因此，車輛通過隧道的限制高度為 4.5米.
一、單選題
1．（2024·四川成都·模擬預測）若直線 ax + by =1(a > 0,b > 0) ，與eO : x2 + y2 = 1相切，則a + 2b最大值為
（ ）
A． 3 B． 5 C．3 D．5
【答案】B
【分析】由條件可得 a2 + b2 =1，然后設 a = cosq ,b = sinq ，由三角函數的知識可得答案.
【詳解】eO : x2 + y2 = 1的圓心為 0,0 ，半徑為1，
因為直線 ax + by =1(a > 0,b > 0) ，與eO : x2 + y2 = 1相切，
1
所以 =12 2 ，即 a
2 + b2 =1，
a + b
所以可設 a = cosq ,b = sinq ，
所以 a + 2b = cosq + 2sinq = 5 sin q +j é- 5, 5ù 1 ，其中 tanj = 2 ，
故選：B
2．（2024 高二下·海南·學業考試）若直線 l：kx - y + 3- 2k = 0與圓C ： x2 + y2 - 6x - 4 y + 4 = 0交于 A，B 兩
點，且直線 l不過圓心C ，則當VABC 的周長最小時，實數 k = （ ）
1
A．-1 B． C．1 D．2
2
【答案】C
【分析】先求出直線所過的定點，結合圓的性質可得 AB 最小時，周長最小，進而根據垂直關系可得答案.
【詳解】直線 l： kx - y + 3- 2k = 0的方程可化為 k x - 2 - y + 3 = 0，∴直線 l過定點D 2,3 ，又∵
22 + 32 - 6 2 - 4 3 + 4 = -7 < 0，∴點 D 在圓 C 內．
由圓的性質可知當CD ^ l時， AB 最小，此時VABC 的周長最小，
又C 3,2 ，D 2,3 ，∴ kCD = -1，則 k =1．
故選：C.
3．（2024·河北·一模）直線 l : ax + by - 4 = 0與圓O : x2 + y2 = 4 相切，則 (a - 3)2 + (b - 4)2的最大值為（ ）
A．16 B．25 C．49 D．81
【答案】C
【分析】利用圓與直線的位置關系得出 a,b的方程，根據方程分析利用 (a - 3)2 + (b - 4)2表示的幾何意義求解
即可.
【詳解】由直線 l與圓O相切可得：
圓心O 0,0 到直線 l的距離等于圓的半徑，
-4
即 = 2，
a2 + b2
故 a2 + b2 = 4，即點 (a , b ) 在圓 O 上，
(a - 3)2 + (b - 4)2的幾何意義為圓上的點 (a , b ) 與點 (3, 4) 之間距離的平方，
由 a2 + b2 = 4圓心為 0,0 ，
因為32 + 42 > 4，
所以點 (3, 4) 在圓 a2 + b2 = 4外，
所以點 (a , b ) 到點 (3, 4) 的距離的最大值為圓心到 (3, 4) 的距離與圓半徑之和，
即 d + r = 3- 0 2 + 4 - 0 2 + 2 = 7，
所以 (a - 3)2 + (b - 4)2的最大值為72 = 49 .
故選：C.
4．（2024 高二下·上海黃浦·期中）圓C : x2 + y2 + 2x + 4y - 3 = 0 上到直線 x + y +1 = 0距離為 2 的點有（ ）
A．2 個 B．3 個 C．4 個 D．無數個
【答案】B
【分析】求出圓心到直線的距離，再結合圖象分析可得結果.
【詳解】因為 x2 + y2 + 2x + 4y - 3 = 0化為標準方程為 (x +1)2 + (y + 2)2 = 8，
所以圓心C(-1, -2)，圓的半徑 r = 2 2 ，
d | -1- 2 +1|又因為圓心 C 到直線 x + y +1 = 0的距離為 = = 2 ，
2
所以 r - d = 2 ，
所以過圓心平行于直線 x + y +1 = 0的直線與圓有 2 個交點，另一條與直線 x + y +1 = 0的距離為 2 的平行線
與圓相切，只有 1 個交點，如圖所示，
所以圓 C 上到直線 x + y +1 = 0的距離為 2 的點共有 3 個.
故選：B.
5．（2024 高二下·陜西安康·期末）坐標軸與圓C : x2 + y2 - 4x - 2y +1 = 0的交點個數為（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【分析】先求出圓心和半徑，再分別求出圓心到兩坐標軸的距離與半徑比較可得結論.
2 2
【詳解】圓C : x2 + y2 - 4x - 2y +1 = 0，即圓C : x - 2 + y -1 = 4，
所以圓C(2,1) ，半徑 r = 2，
因為圓心C(2,1) 到 x 軸的距離為 1，且1< 2，
所以圓與 x 軸相交，即與 x 軸有兩個交點，
因為圓心C(2,1) 到 y 軸的距離為 2，且等于半徑，
所以圓與 y 軸相切于點( 0, 1)，即與 y 軸有一個交點，
綜上坐標軸與圓C : x2 + y2 - 4x - 2y +1 = 0有 3 個交點，
故選：C
6．（2024·湖北武漢·模擬預測）已知直線 l : x + y - 3 = 0上的兩點 A, B，且 AB =1，點 P 為圓
D : x2 + y2 + 2x - 3 = 0 上任一點，則VPAB 的面積的最大值為（ ）
A． 2 +1 B． 2 2 + 2 C． 2 -1 D． 2 2 - 2
【答案】A
【分析】
找到圓上的點到直線距離的最大值作為VPAB 的高，再由面積公式求解即可.
【詳解】把圓D : x2 + y2 + 2x - 3 = 0 變形為 (x +1)2 + y2 = 4，
則圓心D -1,0 ，半徑 r = 2，
1+ 3
圓心D到直線 l : x + y - 3 = 0的距離 d = = 2 2 ，
12 +12
則圓D上的點到直線 AB 的距離的最大值為 d + r = 2 2 + 2，又 AB =1，
1
∴VPAB 的面積的最大值為 2 2 + 2 1 = 2 +1．2
故選：A．
7．（2024·重慶·模擬預測）已知直線 l： 2x + y + m = 0上存在點 A，使得過點 A 可作兩條直線與圓C ：
x2 + y2 - 2x - 4y + 2 = 0分別切于點 M，N，且 MAN =120°，則實數 m 的取值范圍是（ ）
A． é - 5 - 2, 5 - 2ù B． é - 15 - 2 3, 15 - 2 3ù
C． é -2 5 - 4,2 5 - 4ù D． é 0, 15 - 2 3ù
【答案】C
【分析】根據題意求出 | AC |= 2，轉化為直線上存在與 C 距離為 2 的點，利用點到直線距離建立不等式求解
即可.
【詳解】由 x2 + y2 - 2x - 4y + 2 = 0可得 (x -1)2 + (y - 2)2 = 3，
圓心C(1,2) ，半徑 r = 3，
過點 A 可作兩條直線與圓C ： x2 + y2 - 2x - 4y + 2 = 0分別切于點 M，N，
連接 AC,CM ,CN ，如圖，
由 MAN =120°知， MAC = 60°，又 | MC |= r = 3 ，
| MC |
所以 | AC |= = 2，
sin 60°
由題意，只需直線上存在與圓心距離為 2的點即可，
| 2 + 2 + m |
即圓心到直線的距離 d = 2
22
，
+12
解得-2 5 - 4 m 2 5 - 4，
故選：C
8．（北京市師大附屬中學 2023 屆高三適應性練習數學試題）已知圓O : x2 + y2 =1，直線3x + 4y -10 = 0上動
點 P ，過點 P 作圓O的一條切線，切點為A ，則 PA 的最小值為（ ）
A．1 B． 2 C． 3 D．2
【答案】C
【分析】首先得出切線長 PA 的表達式，再以二次函數求值域的方法解之即可.
【詳解】圓O： x2 + y2 =1中，圓心O(0,0) ，半徑 r =1
設P(x0 , y0 )，則3x0 + 4y0 -10 = 0，
PA = PO 2 -12 = x2 2 1 2則 0 + y0 -1 = 25x0 - 60x0 + 84 ,4
當 x
30 6
0 = =
1
時， PA = 36 - 60 6 + 84 1= 48 = 3 ，
25 5 min 4 5 4
故選：C
9．（2024·山東泰安·模擬預測）已知直線 l : mx - y + m +1 = 0(m 0)與圓C : x2 + y2 - 4x + 2y + 4 = 0，過直線 l
上的任意一點 P 向圓C 引切線，設切點為 A, B，若線段 AB 長度的最小值為 3，則實數m 的值是（ ）
12 12 7 7
A．- B． C． D．-
5 5 5 5
【答案】A
【分析】設 ACP = q
0 π< q < ÷，則 | AB |= 2sinq ，可得 | PC |min = 2，而CP的最小值是圓心到直線的距離，
è 2
然后列方程可求出實數 m 的值.
π
C : (x 2)2 (y 【詳解】圓 - + +1)2 =1，設 ACP = q 0 < q < 2 ÷，è
AB 2sinq π π則 = 3 ，則 sinq 3 ，\q [ , ) ，
2 3 2
PC 1則 = 2，所以圓心C 到直線 l的距離是 2，
cosq
2m +1+ m +1
\ = 2 12，得5m2 +12m = 0，Qm 0\m = - ．
m2 +1 5
故選：A．
10．（2024 高三下·湖南岳陽·開學考試）直線 2tx - y - 2t +1 = 0 t R 與圓 x2 + y2 = 4相交于 A，B 兩點，則 AB
的最小值為（　　）
A． 2 B．2 C． 2 2 D．4
【答案】C
【分析】根據題意，由條件可得直線過定點 P 1,1 ，即可得到當直線 l 與線段 CP 垂直時，弦 AB 的長最小，
再由勾股定理即可得到結果.
【詳解】圓 C： x2 + y2 = 4的圓心C 0,0 ，半徑為 2，
由直線 l： 2tx - y - 2t +1 = 0 t R 為 y -1 = 2t x -1 ，
∴直線 l 過定點P 1,1 ，
又12 +12 = 2 < 4，∴P 在圓 C 內部，
當直線 l 與線段 CP 垂直時，弦 AB 的長最小，
∵ CP = 0 -1 2 + 0 -1 2 = 2 ，
∴弦 AB 長的最小值為 2 4 - 2 = 2 2 .
故選：C.
11．（2024 高三上·安徽六安·階段練習）若不等式 16 - x2 kx(k > 0) 的解集為區間[a,b]，且b - a = 2 ,則 k =
（ ）
A 3． B． 2 C． 3 D．2
3
【答案】C
【分析】將問題轉化為半圓 y = 16 - x2 位于直線 y = kx(k > 0)下方的區間長度為 2，由此可得 a = 2,b = 4，
求出直線與半圓的交點坐標即可求得 k 的值.
【詳解】解：如圖所示：
因為 y = 16 - x2 表示以坐標原點為圓心，4 為半徑位于 x 軸上方(含和 x 軸交點)的半圓，
y = kx(k > 0)表示過坐標原點及第一三象限內的直線，
又因為不等式 16 - x2 kx(k > 0) 的解集為區間[a,b]，且b - a = 2 ,
即半圓位于直線下方的區間長度為 2，
所以 a = 2,b = 4，
所以直線與半圓的交點 2,2 3 ，
k 2 3所以 = = 3 .
2
故選：C.
12．（2024·湖南益陽·三模）直線 y = x + b與曲線 x = 1- y2 恰有兩個不同的公共點，則實數 b 的取值范圍是
（ ）
A．-1 b 2 B．- 2 < b -1
C．-1 < b 1或b = - 2 D．- 2 < b <1
【答案】B
【分析】 y = x + b是斜率為1的直線，曲線 x = 1- y2 是以原點為圓心1為半徑的圓的右半圓，利用點到直線
距離公式，結合圖形可得答案.
【詳解】 y = x + b是斜率為1的直線，
曲線 x = 1- y2 是以原點為圓心1為半徑的圓的右半圓，
畫出它們的圖象如圖，
b
當直線與圓相切時， =1 b = - 2,b = 2 （舍去），
2
當直線過（1,0）時，b = -1,
由圖可以看出：
當- 2 < b -1時，直線與半圓有兩個公共點，
故選：B.
13．（2024 高二上·浙江嘉興·期末）直線 2x + y - 2 = 0與曲線 x + y -1 x2 + y2 - 4 = 0的交點個數為（ ）
A．1 個 B．2 個 C．3 個 D．4 個
【答案】B
【分析】根據題意，由曲線表示一條直線與一個圓，然后分別聯立方程，即可得到交點個數.
【詳解】因為曲線 x + y -1 x2 + y2 - 4 = 0就是 x + y -1 = 0 或 x2 + y2 = 4，表示一條直線與一個圓，
2x + y - 2 = 0 x =1
聯立 ，解得 ，即直線 2x + y - 2 = 0與直線 x + y -1 = 0x y 1 0 y 0 有一個交點
1,0 ；此時， x2 + y2
+ - = =
- 4
沒有意義.
8
2x + y - 2 = 0 x = 0 x = 5
聯立 x2 y2 4 ，解得 y 2或 6 ，所以直線
2x + y - 2 = 0與 x2 + y2 = 4有兩個交點.
+ = = y = -
5
所以直線 2x + y - 2 = 0與曲線 x + y -1 x2 + y2 - 4 = 0的交點個數為 2 個.
故選：B
二、多選題
14．（2024·全國·模擬預測）已知圓C : x2 + y2 - 2ay + a -1 = 0，直線 l： x - y = 0，則（ ）
A．存在 a R ，使得 l 與圓 C 相切
B．對任意 a R ，l 與圓 C 相交
C．存在 a R ，使得圓 C 截 l 所得弦長為 1
D．對任意 a R ，存在一條直線被圓 C 截，所得弦長為定值
【答案】BD
【分析】先求出圓的圓心及半徑，求出圓心到直線 l的距離即可判斷 AB；若C 截 l所得弦長為 1，則
r 2 d 2 1- = ，解關于 a的方程即可判斷 C；圓C 的方程可變形為 x2 + y2 -1 + a 1- 2y = 0，令
4
x2 + y2 -1 = 0
，求出交點坐標，從而可判斷 D．
1- 2y = 0
2 2
1 3 1 3
【詳解】由題意得圓C : x2 + (y - a)2 = a - ÷ + ，所以圓心C 0, a ，半徑 r = a - ÷ + ，è 2 4 è 2 4
a
對于 A，B：易知圓心C 到直線 l的距離 d = ，
2
2 2 1 2 1 2
所以 r - d = a - 2a + 22 =
é ù
2
a -1 +1 > 0 恒成立，
所以 d < r ，即對任意 a R ，l 與C 相交，故 A 錯誤，B 正確；
2 2 1
對于 C：若C 截 l所得弦長為 1，則 r - d = ，即 2a2 - 4a + 3 = 0，4
因為Δ = 42 - 4 2 3 = -8 < 0，所以關于 a的方程無實數解，
即不存在 a R ，使得圓C 截 l所得弦長為 1，故 C 錯誤；
對于 D：圓C 2的方程可變形為 x + y2 -1 + a 1- 2y = 0，
3
1- 2y = 0 x = ± 2 3 1 3 1
令 Cx2 y2 1 0，解得 ，所以圓 過定點
, ÷和 - , ÷，
+ - = y 1

è 2 2 ÷ 2 2 ÷
=
è
2
1
所以存在直線 y = 被圓C 截，所得弦長為定值 3，故 D 正確.2
故選：BD．
15．（2024 高一下·重慶沙坪壩·期末）已知直線 l： y = kx + 2k + 2(k R) 與圓C ： x2 + y2 - 2y -8 = 0．則下
列說法正確的是（ ）
A．直線 l過定點 (-2,2)
B．直線 l與圓C 相離
C．圓心C 到直線 l距離的最大值是 2 2
D．直線 l被圓C 截得的弦長最小值為 4
【答案】AD
【分析】根據直線與圓的相關知識對各選項逐一判斷即可.
【詳解】對于 A，因為 l： y = kx + 2k + 2(k R) ，即 y = k x + 2 k + 2，
令 x + 2 = 0，即 x = -2，得 y = 2 ，所以直線 l過定點 (-2,2) ，故 A 正確；
2
對于 B，因為 -2 + 22 - 2 2 -8 < 0 ，
所以定點 (-2,2) 在圓C ： x2 + y2 - 2y -8 = 0內部，所以直線 l與圓C 相交，故 B 錯誤；
對于 C，因為圓C ： x2 + y2 - 2y -8 = 0，可化為 x2 + y -1 2 = 9，圓心C 0,1 ，
當圓心C 與定點 (-2,2) 的連線垂直于直線 l時，圓心C 到直線 l距離取得最大值，
2
此時其值為 -2 + 2 -1 2 = 5 ，故 C 錯誤；
對于 D，由弦長公式 AB = 2 r 2 - d 2 可知，當圓心C 到直線 l距離最大時，弦長取得最小值，
所以直線 l被圓C 截得的弦長的最小值為 2 9 - 5 = 4，故 D 正確.
故選：AD.
三、填空題
16．（2024· 2貴州貴陽·模擬預測）已知直線 l與圓C : x -1 + y2 =1有公共點M ，且與直線 2x - y + 3 = 0交于
點 N ，則 MN 的最小值是 ．
【答案】 5 -1
2
【分析】根據題意可知將問題轉化為圓C : x -1 + y2 =1上一點M 到直線 2x - y + 3 = 0與圓交點的最小距離.
2
【詳解】由題意可知，MN 的最小值即為圓C : x -1 + y2 =1上一點M 到直線 2x - y + 3 = 0與圓交點的最小
距離，
|2 - 0 + 3|
圓心C(1，0) ，半徑 r =1，圓心C(1，0) 到直線 2x - y + 3 = 0的距離為 d = = 522 ( 1)2 ，+ -
由題意可知 |MN |min = d - r = 5 -1．
故答案為： 5 -1.
17．（2024·陜西西安·一模）直線 l : mx - y + 2 - 3m = 0 m R 與圓C : x2 + y2 - 2y -15 = 0 交于兩點P Q，則
弦長 PQ 的最小值是 .
【答案】 2 6
【分析】先把圓C 的方程化成標準形式，從而得出圓心坐標和半徑，再通過直線方程得出直線過定點，發
現定點在圓的內部，從而根據圓的有關知識知：當定點是弦的中點時，弦長最短，從而求出弦長的最小值.
【詳解】圓C : x2 + y2 - 2y -15 = 0 化成標準形式為圓C : x2 + (y -1)2 =16，
圓心C 0,1 ，半徑 r = 4，
直線 l : mx - y + 2 - 3m = 0 m x - 3 - y + 2 = 0 過定點M 3,2 ，并在圓C 內，
\PQ 最短時，點M 3,2 為弦 PQ的中點，即CM ^ PQ時，
2
所以 PQ = 2 r 2 - CM = 2 6 .
故答案為： 2 6 .
18．（2024 高二上·浙江寧波·期末）如圖 1，某圓拱形橋一孔圓拱的平面示意圖，已知圓拱跨度 AB = 30m，
拱高OP = 5m ，建造時每間隔 6m需要用一根支柱支撐，則支柱 A1P1的高度等于 m（精確到
0.01m）．若建立如圖 2 所示的平面直角坐標系 xOy ，則圓拱所在圓的標準方程是 ．
（可用參考數據： 616 = 24.82, 600 = 24.49, 599 = 24.47, 544 = 23.32, 525 = 22.91．）
【答案】 3.32 x2 + (y + 20)2 = 252
2 2
【分析】設拱形所在圓的圓心為 H，半徑為 r，由題意圓心 H 在 y 軸上，由 HA = HO + AO 2 可求得
r = 25, HO = 20，圓心H (0, -9) ，可得圓的方程；由題意設P1(-9, y), y > 0，代入圓的方程可求支柱 A1P1的高
度．
【詳解】設拱形所在圓的圓心為 H，半徑為 r，由題意圓心 H 在 y 軸上，如圖，
HA 2則 = HO 2 + AO 2 r 2 = (r - 5)2 +152 r = 25, HO = 20，
則圓的標準方程為： x2 + (y + 20)2 = 252．
由題意設P1(-9, y), y > 0，代入圓的方程得 (-9)2 + (y + 20)2 = 252 ，
解得 y = 544 - 20 = 23.32 - 20 = 3.32，即P1(-9,3.32)，則 A1P1 = 3.32 .
故答案為：3.32； x2 + (y + 20)2 = 252 .
19．（2024·江西·模擬預測）已知圓C 的方程為 (x - 3)2 + (y - 4)2 = 25，若直線 l : 3x + 4y - 5 = 0與圓C 相交于 A, B
兩點，則VABC 的面積為 .
【答案】12
【分析】根據直線與圓相交弦長公式確定弦長 AB 及圓心到直線 AB 得距離，即可求VABC 的面積.
【詳解】圓C ： (x - 3)2 + (y - 4)2 = 25，得圓心為C 3,4 ，半徑為 r = 5，
圓心到直線的距離 d = 4，因此 AB = 2 r 2 - d 2 = 2 25 -16 = 6，
S 1所以 VABC = AB
1
× d = 6 4 =12 .
2 2
故答案為：12 .
20．（2024
2
高二下·浙江·期末）若直線 l1 : y = kx +1截圓C2 : x - 2 + y2 = 5所得弦長 AB = 4，則 k 的值為 .
4
【答案】0 或-
3
【分析】根據直線截圓的弦長公式計算.
2k +1
【詳解】圓心 2,0 到直線 l1 : y = kx +1的距離為 d = ，
1+ k 2
2
由 AB = 2 R2 - d 2 2k +1
4
得 4 2 5 = - ，解得 k = 0或 k = - ，
1+ k 2 3
4
故答案為：0 或-
3
21．（2024 2高二下·江蘇南京·期末）已知直線 l : x + y -1 = 0：與圓C : x - 3 + y + 4 2 = 5交于 A, B兩點，則
AB = .
【答案】 2 3
【分析】根據題意，利用圓的弦長公式，準確計算，即可求解.
2 2
【詳解】由圓C : x - 3 + y + 4 = 5，可得圓心坐標為C(3, -4) ，半徑為 r = 5 ，
3- 4 -1
又由圓心C 到直線 l : x + y -1 = 0的距離為 d = = 2 ，
12 +12
根據圓的弦長公式，可得 AB = 2 r 2 - d 2 = 2 5 - ( 2)2 = 2 3 .
故答案為： 2 3 .
a a
22．（2024·天津·三模）已知直線 ax + y -1 = 0平分圓C : (x -1)2 + (y + 2)2 = 4 ，則圓C 中以點 ,- ÷為中點
è 3 3
的弦弦長為
【答案】 2 3
【分析】由圓的標準方程確定圓心坐標和半徑，由題意可知該直線經過圓心，求出 a，利用幾何法求弦長即
可求解.
【詳解】由 (x -1)2 + (y + 2)2 = 4，得C(1, -2), r = 2，
因為直線 ax + y -1 = 0平分圓 C，
所以該直線經過圓心 C，得 a - 2 -1 = 0 ，解得 a = 3 .
則 (
a , a- ) = (1,-1)，
3 3
當圓心 C 與該點 (1, -1) 的連線與弦垂直時，滿足題意，
所以圓 C 以點 (1, -1) 為中點的弦弦長為 2 22 -12 = 2 3 .
故答案為： 2 3 .
23．（2024 高三上·廣東·開學考試）過點 P(2, 2)作圓 x2 + y2 = 4的兩條切線，切點分別為A 、 B ，則直線 AB
的方程為 ．
【答案】 x + y - 2 = 0
【分析】由題知 A 0,2 、B 2,0 ，進而求解方程即可.
【詳解】解：方法 1：由題知，圓 x2 + y2 = 4的圓心為 0,0 ，半徑為 r = 2，
所以過點 P(2, 2)作圓 x2 + y2 = 4的兩條切線，切點分別為 A 0,2 、B 2,0 ，
所以 kAB = -1，
所以直線 AB 的方程為 y = -x + 2，即 x + y - 2 = 0；
x21 + y
2
1 = 4
方法 2：設 A x1, y1 ，B x2 , y

2 ，則由 y1 y1 - 2 ，可得 x. = -1 1 + y1 = 2，
x1 x1 - 2
同理可得 x2 + y2 = 2，
所以直線 AB 的方程為 x + y - 2 = 0 .
故答案為： x + y - 2 = 0
24．（2024 高二下·上海楊浦·期中）由直線 x + y + 6 = 0上一點 P 向圓C : x - 3 2 + y + 5 2 = 4引切線，則切線
長的最小值為 ．
【答案】 2
【分析】設過點 P 的切線與圓C 相切于點E ，分析可知當PC 與直線 x + y + 6 = 0垂直時， PC 取最小值，再
利用勾股定理可求得切線長的最小值.
【詳解】設過點 P 的切線與圓C 相切于點E ，連接CE，則PE ^ CE ，
圓C 的圓心為C 3, -5 2，半徑為 r = 2，則 PE = PC - r 2 ，
3- 5 + 6
當PC 與直線 x + y + 6 = 0垂直時， PC 取最小值，且最小值為 = 2 2 ，
2
2
所以， PE = PC - r 2 8 - 4 = 2 ，即切線長的最小值為 2 .
故答案為： 2 .
25．（2024 高二下·貴州·階段練習）已知圓O : x2 + y2 = 4 ，點 A 是直線3x + y +10 = 0上的一個動點，過點 A
作圓O的兩條切線 AM , AN ，切點分別為M , N ，則四邊形 AMON 的面積的最小值為 ；直線MN 過
定點 .
6 2
【答案】 2 6 (- , - )5 5
【分析】第一空，| OA |= d ，結合圓的幾何性質推出 S 2AMON = 2 d - 4 ，即可知當OA垂直于直線3x + y +10 = 0
時，d 最小，即可求得答案；第二空，設 A(t, -3t -10），表示出以OA為直徑的圓的方程，和圓O : x2 + y2 = 4
的方程相減，可得直線MN 的方程，分離參數，即可求得直線所過的定點坐標.
【詳解】由題意過點 A 作圓O : x2 + y2 = 4 的兩條切線 AM , AN ，切點分別為M , N ，
連接OM ,ON ,則OM ^ AM ,ON ^ AN ,
設 | OA |= d ，則 | AM |=| AN |= d 2 - 4 ,
1
故 SAMON = 2SVAMO = 2 d
2 - 4 2 = 2 d 2 - 4 ,
2
當OA垂直于直線3x + y +10 = 0時，d 最小，
10
所以 dmin = = 102 2 ，所以 SAMON = 2 10 - 4 = 2 6 ；3 +1 min
由于點 A 是直線3x + y +10 = 0上的一個動點，設點 A(t, -3t -10），
2
線段OA
t
的中點設為 P，則P( ,
-3t -10)，且 | OP |2 5t + 30t + 50= ，
2 2 2
t 3t +10 5t 2OA + 30t + 50所以以線段 為直徑為圓的方程為 (x - )2 + (y + )2 = ，
2 2 2
即 x2 - tx + y2 + (3t +10)y = 0，
將方程 x2 - tx + y2 + (3t +10)y = 0與 x2 + y2 = 4作差可得 tx - (3t +10)y - 4 = 0，
即直線MN 的方程為 tx - (3t +10)y - 4 = 0，可得 t(x - 3y) -10y - 4 = 0 ，
6
x - 3y = 0 x = -
由于 t R , ,\ 5故
-10y
，
- 4 = 0 y 2= -
5
6 2
因此，直線MN 恒過定點 (- , - ) ，
5 5
6 2
故答案為： 2 6 ； (- , - )5 5
1 3
26．（2024 高二下·天津西青·階段練習）過點 ,- ÷÷作圓C : x
2 + y2 =1的切線 l，則切線 l的方程為 .
è 2 2
【答案】 x - 3y - 2 = 0
1 3
【分析】根據題意可知點 ,- ÷÷在圓C 上，結合切線性質結合直線的點斜式運算求解.
è 2 2
【詳解】圓C : x2 + y2 =1的圓心C 0,0 ，
2 2
1 3 1 3 1 3 ∵ ÷ + - ÷÷ =1，則點 ,- ÷÷在圓C 上，即點 ,- ÷為切點，è 2 2 2 2 2 2 ÷è è è
3
- - 0
則圓心到切點連線的斜率 k = 21 = - 3
3
，可得切線 l的斜率 kl = ，
- 0 3
2
3 3 1
故切線 l的方程 y + = x - ÷ ，即 x - 3y - 2 = 0 .2 3 è 2
故答案為： x - 3y - 2 = 0 .
27 2024 · · C : x - 3 2．（ 高三 全國 課后作業）已知圓 + y2 = 4，過點 A（2，0）的直線 l 交圓 C 于 M、N 兩點，
uuuur uuur
且OM ×ON = 2，則直線 l 的方程是 .
【答案】 y = ± 3 x - 2
【分析】當直線 l的斜率不存在時，求出M , N 的坐標，經計算可知，不符合題意；所以直線 l的斜率存在，
設直線 l : y = k(x - 2)，聯立直線與圓的方程，根據韋達定理得 x1 + x2 和 x1x2 ，再求出 y1y2，根據
uuuur uuur
OM ×ON = x1x2 + y1y2 = 2，解方程得 k ，即可求出直線 l的方程.
x = 2 x = 2 x = 2
【詳解】當直線 l

的斜率不存在時， l : x = 2，聯立 2 2 ，得 或 ，
x - 3 + y = 4 y = - 3 y = 3
uuuur uuur
不妨設M (2,- 3)， N (2, 3) ，則OM ×ON = 2 2 - 3 3 =1，不符合題意；
所以直線 l的斜率存在，設直線 l : y = k(x - 2)，
y = k x - 2
聯立 ，消去 y 并整理得 (1+ k 2)x2 - (6 + 4k 2)x + 4k 2 x - 3 2 2
+ 5 = 0，
+ y = 4
= 6 + 4k 2 2 - 4(1+ k 2)(4k 2 + 5) =12k 2 +16 > 0 ，
設M (x1, y1) ， N (x2 , y2 ) ，
6 + 4k 2 4k 2 + 5
則 x1 + x2 = ， x1+ k 2 1
x2 = ，1+ k 2
2 2 2
則 y1y2 = k(x1 - 2) × k(x2 - 2) = k 2(x x - 2(x 2
4k + 5 12 + 8k 3k
1 2 1 + x2) + 4) = k ( 2 - 2 + 4) = - ，1+ k 1+ k 1+ k 2
uuuur uuur 2 2 2
所以OM ×ON = x x + y y 4k + 5 3k k + 51 2 1 2 = 2 - 2 = = 2 ,1+ k 1+ k 1+ k 2
解得 k 2 = 3， k = ± 3 ，
所以直線 l 的方程是 y = ± 3(x - 2) .
故答案為： y = ± 3(x - 2)
28．（2024
2 2
高二上·江蘇鹽城·期末）由直線 y = x 上的點向圓 x - 4 + y + 2 =1引切線，則切線長的最小值
為 .
【答案】 17
【分析】切點與圓心的連線垂直切線，利用勾股定理，切線段長轉化為直線上點與圓心連線和半徑關系，
求圓心與直線上點距離的最小值，即可求解.
【詳解】圓 x - 4 2 + y + 2 2 =1的圓心為C 4, -2 , r =1，
在直線 y = x 上取一點 P，過 P 向圓引切線，設切點為 A．連接PC, AC ．
在Rt△PAC 中， CA = r = 1．要使 PA 最小，則 PC 應最小．
4 + 2
又當 PC 與直線垂直時， PC 最小，其最小值為 = 3 2 ．
2
故 PA
2
的最小值為 3 2 -12 = 17 ．
故答案為： 17 .
29．（2024·湖南長沙·一模）已知圓M : (x - 4)2 + y2 =16，過點 N 2,0 的直線 l與圓M 交于 A, B兩點，D是 AB
的中點，則D點的軌跡方程為 .
2
【答案】 x - 3 + y2 =1
【分析】由圓的垂徑定理可得MD ^ DN ，結合向量垂直的條件：數量積為 0，化簡可得所求軌跡方程，即
可求得答案.
【詳解】圓M : (x - 4)2 + y2 =16，
所以圓心為M 4,0 ，半徑為 4，設D x, y ，
由線段 AB 的中點為 D，可得MD ^ DN ，
uuuur uuur
即有MD × ND = (x - 4, y) × (x - 2, y) = x - 4 x - 2 + y × y = 0，
x - 3 2即 + y2 =1，
所以點D的軌跡是以 3,0 為圓心，1 為半徑的圓；
故答案為： x - 3 2 + y2 =1.
四、解答題
30．（2024 高二下·河北張家口·階段練習）已知一圓C 的圓心為 2, -1 ，且該圓被直線 l : x - y -1 = 0截得的
弦長為 2 2 .
(1)求該圓的方程；
(2)求過點P 4,3 的該圓的切線方程.
(1) x - 2 2【答案】 + y +1 2 = 4
(2) x = 4或3x - 4y = 0
【分析】（1）假設圓的方程，利用垂徑定理可構造方程求得圓的半徑，由此可得圓的方程；
（2）分別在切線斜率不存在和存在的情況下，根據圓心到直線距離等于半徑可求得切線方程.
【詳解】（1）設圓C 的方程為 x - 2 2 + y +1 2 = r 2 r > 0 ，
2 +1-1
Q圓心到直線 x - y -1 = 0的距離為 d = = 2 ，
12 + -1 2
2 2
又圓被直線 l : x - y -1 = 0截得的弦長為 2 2 ，\r 2 = 2 + 2 = 4，
\ 2圓的方程為： x - 2 + y +1 2 = 4 .
（2）當切線斜率不存在的時候，切線方程為： x = 4，滿足題意；
當切線斜率存在時，設切線方程為 y - 3 = k x - 4 ，即 kx - y - 4k + 3 = 0，
2k +1- 4k + 3
由 = 2 得： k
3 3
=
2 ，\切線方程為 x - y = 0 ，即3x - 4y = 0，k +1 4 4
綜上所述：過點P 4,3 的圓的切線方程為 x = 4或3x - 4y = 0 .
31．（2024 高二下·四川內江·開學考試）已知點P 0,2 ，設直線 l：y=kx+b（b， k R ）與圓C : x2 + y2 = 4
相交于異于點 P 的 A，B 兩點.
(1)若PA ^ PB，求 b 的值；
(2)若 | AB |= 2 3 ，且直線 l 2 3與兩坐標軸圍成的三角形的面積為 ，求直線 l 的斜率 k 的值；
3
(3)當 | PA | × | PB |= 4時，是否存在一定圓 M，使得直線 l 與圓 M 相切 若存在，求出該圓的標準方程；若不存
在，請說明理由.
【答案】(1) 0
(2) k 3 k 3= ± 或 = ±
3
(3)存在，定圓M : x2 + (y - 2)2 = 1.
【分析】（1）根據PA ^ PB可知直線 l過圓 x2 + y2 = 4的圓心 (0,0)，可得b = 0；
（2）由 | AB |= 2 3 得原點O(0,0) 4 3到直線 l的距離為1，得b2 =1+ k 2，再根據面積得b2 = | k |，聯立消去b2
3
可得 k 的值；
（3）聯立直線與圓 x2 + y2 = 4，化為關于 x 的一元二次方程，設 A(x1, y1)，B(x2 , y2 ) ，根據韋達定理可得 y1 + y2
和 y1y2，利用 y1 + y2 和 y1y2，將 | PA | × | PB |= 4化為 k 2 = b2 - 4b + 3，利用 k 2 = b2 - 4b + 3求出點P(0, 2)到直線
y = kx + b的距離為1，由此可得結果.
【詳解】（1）因為PA ^ PB，又P(0, 2)在圓 x2 + y2 = 4上，
所以直線 l過圓 x2 + y2 = 4的圓心 (0,0)，所以b = 0 .
（2）因為 | AB |= 2 3 ，圓 x2 + y2 = 4的半徑為 2，
所以圓心 (0,0)到直線 l的距離d = 4 - ( 3)2 = 1，
由點到直線的距離公式可得 d
| b |
= =1
2 ，得b
2 =1+ k 2，
1+ k
當 k = 0時，直線 l與坐標軸不能圍成三角形，故 k 0，
b
在 y = kx + b中，令 x = 0，得 y = b；令 y = 0 ，得 x = - ，
k
1
所以 | b | b 2 3× | - |= ，得b2 4 3= | k |，
2 k 3 3
所以1+ k 2 4 3= | k |，解得 | k |= 3 | k | 3或 = ，
3 3
k 3所以 = ± 3 或 k = ± .
3
x2 + y2 = 4
（3）聯立 ，消去 y 并整理得 (k 2 +1)x2 + 2kbx + b2 - 4 = 0，
y = kx + b
= 4k 2b2 - 4(k 2 +1)(b2 - 4) > 0，即b2 < 4k 2 + 4，
設 A(x1, y1)，B(x2 , y2 ) ，
2kb b2 - 4
則 x1 + x2 = - 2 ， x1x2 = ，k +1 k 2 +1
2 2b
所以 y1 + y2 = k(x1 + x2) + 2b
2k b
= - 2 + 2b = ，k +1 k 2 +1
2 2 2 2
y y = (kx 21 2 1 + b)(kx2 + b) = k x1x2 + kb(x + x ) + b
2 k (b - 4) 2k b 2
1 2 = k 2
- + b
+1 k 2 +1
b2 - 4k 2
= 2 ，k +1
所以 | PA | × | PB | = x2 2 21 + (y1 - 2) × x2 + (y2 - 2)
2 = 4，
所以 é4 - y
2
1 + (y1 - 2)
2 ù × 2 é4 - y2 + (y2 - 2)
2 ù =16，
所以 (8 - 4y1)(8 - 4y2) =16，
所以 (2 - y1)(2 - y2) =1，
所以 y1y2 - 2(y1 + y2) + 3 = 0，
b2 - 4k 2 4b
所以 - + 3 = 0，即 k 2 = b22 2 - 4b + 3，k +1 k +1
| -2 + b | | b - 2 | | b - 2 |
所以點P(0, 2)到直線 y = kx + b的距離為 = = =1，
k 2 +1 b2 - 4b + 3 +1 (b - 2)2
所以直線 y = kx + b與以P(0, 2)為圓心，1為半徑的圓相切，
所以存在一個定圓M : x2 + (y - 2)2 = 1，使得直線 l與圓M : x2 + (y - 2)2 = 1相切.
32．（2024 高二上·江西萍鄉·期末）已知直線 l過點P 1, -1 ，且__________.
在下列所給的三個條件中，任選一個補充在題中的橫線上，并完成解答.
r
①與圓 (x +1)2 + y2 = 5 5相切；②傾斜角的余弦值為 ；③直線 l的一個方向向量為 a = -2, -4 .
5
(1)求直線 l的一般式方程；
(2)若直線 l與曲線C : x2 + y2 - 6x - 2y + 6 = 0相交于M , N 兩點，求弦長 MN .
注：如果選擇多個條件分別解答，按第一個解答計分.
【答案】(1) 2x - y - 3 = 0
(2) 8 5
5
【分析】（1）選①，先得到點 P 在圓 (x +1)2 + y2 = 5上，從而根據垂直關系求出直線 l的斜率，得到直線 l
的一般式方程；選②，求出 tana = 2 ，從而得到直線 l的一般式方程；選③，根據直線 l的一個方向向量求
出 l的斜率，求出直線 l的一般式方程；
（2）求出圓心C 到直線 l的距離，利用垂徑定理求出弦長.
2
【詳解】（1）若選①：因為 (1+1)2 + -1 = 5，故點 P 在圓 (x +1)2 + y2 = 5上，
-1- 0 1
且圓心 -1,0 與 P 連線的斜率為 = -1- -1 2 ，
因為直線 l與圓 (x +1)2 + y2 = 5相切，所以直線 l的斜率為 2；
所以直線 l的一般式方程為 2x - y - 3 = 0；
若選②：設直線 l的傾斜角為a (0 a < π) cosa 5，由 = 得 tana = 2 ；
5
故直線 l的斜率 k = tana = 2；
所以直線 l的一般式方程為 2x - y - 3 = 0；
r -4
若選③：因為直線 l的一個方向向量為 a = -2, -4 ，所以 l的斜率 k = = 2 ；
-2
所以直線 l的一般式方程為 2x - y - 3 = 0;
（2）曲線C : x2 + y2 - 6x - 2y + 6 = 0，即 (x - 3)2 + (y -1)2 = 4；
故C 為圓，圓心為C 3,1 ，半徑為 r = 2；
6 -1- 3
則圓心C 到直線 l的距離為 d
2 5
= = ；
4 +1 5
所以弦長 MN = 2 r2 - d 2 8 5= .
5
33．（2024 高二上·福建寧德·期中）已知直線 l： y = k x + 2 2 與圓 O： x2 + y2 = 4相交于不重合的 A，B 兩
點，O 是坐標原點，且 A，B，O 三點構成三角形．
(1)求 k 的取值范圍；
(2)VABO 的面積為S ，求S 的最大值，并求取得最大值時 k 的值．
【答案】(1) -1,0 U 0,1
(2) S 3的最大值為 2，取得最大值時 k = ±
3
【分析】（1）解法一：通過圓心到直線的距離小于半徑且 k 0列出不等式求解即可；解法二：聯立方程，
令 ＞0得到不等式求解，結合 k 0即可得到答案；
（2）先求出高和弦長，通過三角形面積公式直接代入求解面積，通過換元，結合二次函數性質即可得到答
案.
【詳解】（1）解法一：
2 2 k
由題意知：圓心到直線的距離 d = ，
k 2 +1
因為直線 l與圓 O 相交于不重合的 A，B 兩點，且 A，B，O 三點構成三角形，
2 2 k k 2＜1
所以0＜ ＜2 ，得 ，解得 -1＜k＜1且 k 0，
k 2 +1 k 0
所以 k 的取值范圍為 -1,0 U 0,1 .
解法二：
y = k x + 2 2 k 2 +1 x2聯立 ，化簡得： + 4 2k 2x + 8k 2 - 4 = 0
x
2 + y2 = 4
= 32k 4 - 4 k 2 +1 8k 2 - 4 =16 -16k 2 > 0，得 -1＜k＜1，
因為 A，B，O 三點構成三角形，所以 k 0
所以 k 的取值范圍為 -1,0 U 0,1 .
（2）直線 l： y = k(x + 2 2) ，即 kx - y + 2 2k = 0，
2 2 k
點 O 到直線 l距離： d = ，
k 2 +1
2 2 k 2
所以 AB 2 22 d 2 2 4 2 4 1- k= - = -（ ） =
k 2 +1 1+ k 2
2 4 2 k 21 2 2 k 1- k 2 所以 S = AB × d 1 1- k= ×4 2 × = ，（ -1＜k＜1且 k 0）2 2 1+ k k 2 +1 1+ k 2
設 k 2 +1 = t t 1 ，則 k 2 = t -1，
-t 2 + 3t - 2 -t 2S 4 2 4 2 + 3t - 2
2
所以 = × = × 2 = 4 2 × -2
1 3 1
-

÷ + t t è t 4 8
1 3
所以當 = ，即 t 4= 3，即 k = ± 時， Smax = 2t 4 3 3
3
所以S 的最大值為 2，取得最大值時 k = ± .
3
34．（2024 高二下·上海嘉定·期中）已知過點 A -1,0 的直線 l與圓C : x2 + y - 3 2 = 4相交于 P 、Q兩點，M
是弦 PQ的中點，且直線 l與直線m : x + 3y + 6 = 0 相交于點 N ．
(1)當直線 l與直線m 垂直時，求證：直線 l經過圓心C ；
(2)當弦長 PQ = 2 3時，求直線 l的方程；
uuuur uuur
(3)設 t = AM × AN ，試問 t是否為定值，若為定值，請求出 t的值；若不為定值，請說明理由．
【答案】(1)證明見解析
(2) x = -1或 4x - 3y + 4 = 0
(3) t為定值，且 t = -5
【分析】（1）利用垂直時 km × kl = -1求出 kl ，利用點斜式即可得出直線 l的方程，然后驗證圓心C 在直線 l上
即可；
（2）討論直線 l斜率是否存在，當斜率存在時，利用點斜式設出方程，再根據CM =1即可得解；
uuuur uuur uuur uuur
（3）先轉化 AM × AN = AC × AN ，根據直線斜率是否存在分別求出點 N 點坐標，計算后即可得解.
1 1
【詳解】（1）解：Q直線 l與直線m 垂直，且 km = - ，\ kl = - = 3 .3 km
故直線 l方程為 y = 3 x +1 ，即3x - y + 3 = 0 .
圓心為C 0,3 ，且3 0 - 3 + 3 = 0 ，故當直線 l與直線m 垂直時，直線 l經過圓心C .
（2）解：①當直線 l與 x 軸垂直時，則直線 l的方程為 x=-1，圓心C 到直線 l的距離為1，
且 PQ = 2 22 -12 = 2 3，合乎題意；
②當直線 l與 x 軸不垂直時，設直線 l的方程為 y = k x +1 ，即 kx - y + k = 0，
Q PQ = 2 3，M 是 PQ中點，圓C 圓心為 0,3 ，半徑為 2，
k - 3
\ CM 4= 4 - 3 =1，則由 CM = =1 k =
k 2
，得 ，
+1 3
4
此時，直線 l的方程為 y = x +1 ，即 4x - 3y + 4 = 0 .
3
綜上所述，直線 l的方程為 x=-1或 4x - 3y + 4 = 0 .
uuuur uuur uuur uuuur uuur uuur uuur uuuur uuur uuur uuur（3）解：Q CM ^ NA，\ AM × AN = AC + CM × AN = AC × AN + CM × AN = AC × AN .
x = -1 x = -1
①當 l與 x 軸垂直時，直線 l的方程為 x=-1，聯立 x 3y 6 0 可得 5 ， + + = y = - 3
uuur
即點 N -1,
5 5
-
3 ÷
，則 AN = 0, - ÷，
è è 3
uuur
uuuur uuur uuur uuur又 AC = 1,3 ，\ AM × AN = AC × AN = -5 .
1
②當 l的斜率存在時，設直線 l的方程為 y = k x +1 ，其中 k - ，
3
x -3k - 6 y = k x +1 = 3k +1 -3k - 6 -5k uuurN , AN -5= , -5k 則由 可得 ，即點 ，則 .
x 3y 6 0

+ + = ÷ ÷ y -5k è 1+ 3k 1+ 3k è1+ 3k 1+ 3k=
3k +1
uuuuv uuuv uuuv uuuv
\ AM -5 -15k× AN = AC × AN = + = -5 .
1+ 3k 1+ 3k
uuuur uuur uuuur uuur
綜上所述， t = AM × AN 與直線 l的斜率無關，且 t = AM × AN = -5 .
35．（2024 高二下·湖北·階段練習）已知圓C : x2 + y2 =16，直線 l : 2 + k x + 1+ k y + k = 0 .
(1)證明：直線 l和圓C 恒有兩個交點；
(2)若直線 l和圓C 交于 A, B兩點，求 AB 的最小值及此時直線 l的方程.
【答案】(1)證明見解析
(2) AB 最小值為 2 11，此時直線 l方程為 x - 2y - 5 = 0
【分析】（1）先求直線所過定點，然后判斷定點在圓內即可得證；
（2）根據直線垂直于 l ^ CP時， AB 有最小值可解.
【詳解】（1）直線 2 + k x + 1+ k y + k = 0 ，即 k x + y +1 + 2x + y = 0 ，
x + y +1 = 0 x =1
聯立 2x y 0 解得 y 2所以不論
k 取何值，直線 l必過定點P 1, -2 .
+ = = -
圓C : x2 + y2 =16，圓心坐標為C 0,0 ，半徑 r = 4，
因為 PC = (1- 0)2 + (-2 - 0)2 = 5 < 4，所以點 P 在圓C 內部，
則直線 l與圓C 恒有兩個交點.
（2）直線 l經過圓C 內定點P 1, -2 ，圓心C 0,0 ，
記圓心到直線 l的距離為 d.
因為 AB = 2 r 2 - d 2 ，所以當 d 最大時， AB 取得最小值，
所以當直線 l ^ CP時，被圓C 截得的弦 AB 最短，
此時 AB = 2 42 - | PC |2 = 2 42 - ( 5)2 = 2 11，
k -2 - 0
1
因為 CP = = -21 0 ，所以直線
l的斜率為 ，又直線 l過點P 1, -2 ，
- 2
所以當 AB
1
取得最小值時，直線 l的方程為 y + 2 = x -1 ，即 x - 2y - 5 = 0，
2
綜上： AB 最小值為 2 11，此時直線 l方程為 x - 2y - 5 = 0 .
36．（2024 高三·全國·專題練習）（1）求函數 y = x - 4 + 15 - 3x 的最大值和最小值；
x - 3
（2）求函數 y = 的值域；
1+ x2
（3）求函數 y = x + 2x2 - 4x + 6 的值域；
（4）已知1 x2 + y2 2，求 z = x2 - xy + y2 的最值．
1
【答案】（1）最大值為 2，最小值為 1；（2）[-2,1)；（3）[ 2 +1,+ )；（4）最大值為 3，最小值
2
【分析】（1）利用三角換元法，令 x = 4 + sin2 a

0 a
π
，結合輔助角公式及三角函數的性質求解；
è 2 ÷
q π , π （2）利用三角換元法，令 x = tanq ， - ÷，結合輔助角公式及三角函數的性質求解；
è 2 2
（3）解法一：利用三角換元法，設 x -1 = 2 tanq
|q | π< ÷，結合輔助角公式及三角函數的性質求解；
è 2
2 + sinq π π
解法二：由解法一得u = |q |<

÷ ，則u 為P(cosq ,sinq ) |q |< ÷ 與點 A(0, - 2)連線的斜率，數形cosq è 2 è 2
結合可求得結果；
（4）令 x = k cosq ， y = k sinq ，則1 k 2 2 ，結合三角函數的性質求解.
2 π
【詳解】（1）由于 4 x 5，故可令 x = 4 + sin a 0 a ．
è 2 ÷
則原式變為 y = sina + 3 cosa = 2sin
π
a + ÷ ．
è 3
Q0 π a , π a π 5π\ + ，
2 3 3 6
a π= x 17當 ，即 = 4 時，
y 取得最大值 2；
6
a π當 = ，即 x = 5時， y 取得最小值1．
2
π π
（2）函數的定義域為R ，令 x = tanq ，q - ,2 2 ÷．è
y tanq - 3 sinq 3 cosq 2sin q π= 1 = - = -

則 è 3 ÷ ．
cosq
π q π 5π π π由于- < < ，\- < q - < ．
2 2 6 3 6
5π π π
而當- < q - < - 時， y 為減函數，此時-2 < y < -1，
6 3 2
π q π π當- - < 時， y 為增函數，此時-2 y <1．
2 3 6
故函數的值域為[-2,1)．
（3）解法一：
π
Q2x2 - 4x + 6 = 2(x -1)2 + 4，\可設 x -1 = 2 tanq |q |<

÷．
è 2
2 2 2 + sinq 則 y = 2 tanq +1+ = +1．
cosq cosq
2 + sinq π
設u = |q |< ，則u > 0，從而 ．
cos 2 ÷ u cosq - sinq = 2q è
u 1
\ u2 +1cos(q +j) = 2 （其中 cosj = ， sinj =2 2 ）．u +1 u +1
Qcos(q +j) 2= 1，\ u2 +1 2 ，u2 +1 2，u2 1且u > 0，\u 1，
u2 +1
\ y 2 +1，故函數的值域為[ 2 +1,+ )．
解法二：
u 2 + sinq= 由解法一得 |q |
π
< ，
cosq è 2 ÷
則u 為P(cosq ,sinq )

|q |
π
<
2 ÷
與點 A(0, - 2)連線的斜率．
è
設過點A 的直線方程為 y + 2 = kx，即 kx - y - 2 = 0，顯然 k > 0 ，
P 點在半圓 x2 + y2 =1(0 < x 1,-1< y <1) 上，
2
當直線與半圓 x2 + y2 =1(0 < x 1， -1 < y < 1) 相切時， d = =1，解得 k =1，
k 2 +1
數形結合易得 k 1，即u≥1．\ y 2 +1．
故函數的值域為[ 2 +1,+ )．
（4）令 x = k cosq ， y = k sinq ，則1 k 2 2 ．
z = x2 - xy + y2 = k2 2又 -k sinq cosq = k2
1
1- sin2q

÷．
è 2
當 k 2 = 2， sin 2q = -1時， zmax = 3；
當 k 2
1
=1， sin 2q = 1時， zmin = ．2
37．（2024 高一下·重慶沙坪壩·期末）在平面直角坐標系中，圓C 過點 A(4,0)，B(2, 2) ，且圓心C 在 x + y - 2 = 0
上．
(1)求圓C 的方程；
(2)若已知點P(4, 2 3)，過點 P 作圓C 的切線，求切線的方程．
【答案】(1) (x - 2)2 + y2 = 4
(2) x - 3y + 2 = 0
【分析】（1）根據題意，求出 AB 的中垂線方程，與直線 2x - y - 4 = 0聯立，可得圓心C 的坐標，求出圓的
半徑，即可得答案；
（2）分切線的斜率存在與不存在兩種情況討論，求出切線的方程，綜合可得答案．
【詳解】（1）因為圓C 過 A(4,0), B(2,2)，則 AB 的中垂線過圓心C ，
設 AB 的中點為M ，則M (3,1) ，
k 4 - 2因為 AB = = -10 2 ，所以 AB 的中垂線方程為
y -1 = x - 3，即 y = x - 2，
-
又圓心在 x + y - 2 = 0，
x + y - 2 = 0 x = 2
聯立
y = x - 2
，解得 ，
y = 0
因此圓心C(2,0) ，半徑 r = OA = 2，
所以圓C 的方程為 (x - 2)2 + y2 = 4 .
.
2
（2）因為 (4 - 2)2 + 2 3 > 4，所以P(4, 2 3)在圓C 外，
過P(4, 2 3)作圓C 的切線，
若切線斜率不存在時，則切線方程為 x = 4，滿足與圓C 相切，
若切線斜率存在時，設切線方程 y - 2 3 = k(x - 4)，即 kx - y - 4k + 2 3 = 0，
2 3 - 2k
則 = 2 k 3，解得2 = ，1+ k 3
3
所以切線方程為 x - y 3- 4 + 2 3 = 0 ，即 x - 3y + 2 = 0 .
3 3
綜上：切線方程為 x = 4或 x - 3y + 2 = 0 .
38．（2024 高二上·全國·課后作業）在直角坐標系 xOy 中，以原點 O 為圓心的圓與直線 x - 3y - 4 = 0相切
(1)求圓 O 的方程；
(2)若已知點P(3，2)，過點 P 作圓 O 的切線，求切線的方程．
【答案】(1) x2 + y2 = 4
(2)12x - 5y - 26 = 0或 y - 2 = 0 ．
【分析】（1）根據圓與直線 x - 3y - 4 = 0相切，可得圓心到直線的距離為半徑，即可求得半徑，可得答案；
（2）判斷切線斜率存在，設切線方程，利用圓心到直線的距離等于半徑可求得切線斜率，即得答案.
【詳解】（1）由題意知以原點 O 為圓心的圓與直線 x - 3y - 4 = 0相切，
| -4 |
故圓的半徑為 r = = 22 ，1 + (- 3)2
故圓的方程為 x2 + y2 = 4 .
（2）當過點P(3，2)的直線斜率不存在時，為 x = 3與圓 x2 + y2 = 4不相切；
故過點P(3，2)作圓 O 的切線，斜率一定存在，設方程為 y -2 = k(x -3)，
| -3k + 2 |
即 kx - y - 3k + 2 = 0，則 = 2
12
2 2 ，解得 k = 0或 k = 5 ，k +1
故切線方程為12x - 5y - 26 = 0或 y - 2 = 0 ．
39．（浙江省麗水市 2023-2024 學年高二上學期期末數學試題）已知圓C 經過點 A(1, 2)和B(5,-2) ，且圓C 關
于直線 2x + y = 0 對稱．
(1)求圓C 的方程；
(2)過點D(-3,1) 作直線 l與圓C 相切，求直線 l的方程．
【答案】(1) (x -1)2 + (y + 2)2 =16；
(2) x = -3和7x - 24y + 45 = 0 .
【分析】（1）由題意可知圓心為 AB 中垂線與 2x + y = 0 的交點，計算圓心再求半徑，由圓的標準方程表示即
可；
（2）分類討論，設切線方程，由圓心到切線的距離等于半徑計算即可.
【詳解】（1）∵ A(1, 2)，B(5,-2)
-2 - 2
，故 AB 的中點坐標為 3,0 ， kAB = = -1，5 -1
y 0 1∴AB 的垂直平分線為： - = - x - 3 y = x - 3，
-1
y = x - 3
由 解得圓心C(1, -2)，半徑 r = CA = CB = 4
2x + y = 0
故圓C 的方程為 (x -1)2 + (y + 2)2 =16；
（2）若直線 l的斜率存在，方程可設為 y -1 = k x + 3 ，即 kx - y + 3k +1 = 0
k + 2 + 3k +1 7
圓心C(1, -2)到直線 l的距離為 d = = r = 4，解得 k = ，
1+ k 2 24
所求的一條切線為7x - 24y + 45 = 0；
當直線 l的斜率不存在時，圓心C(1, -2)到 x = -3的距離為 4，即 x = -3與圓相切，
所以直線 l的方程為 x = -3和7x - 24y + 45 = 0．
40．（2024 高二上·安徽蕪湖·階段練習）已知點 A 0,0 ，B 2,0 ，曲線 C 任意一點 P 滿足 PB = 2 PA ．
(1)求曲線 C 的方程；
(2)設直線 x - y + m = 0 與圓 C 交于 A、B 兩點，是否存在實數 m，使得以 AB 為直徑的圓過原點，若存在，
求出實數 m 的值；若不存在，請說明理由．
【答案】(1) x2 + y2 + 4x - 4 = 0
(2)存在；m =1± 5
【分析】(1)設P x, y ，代入 PB = 2 PA 即可得到曲線 C 的方程.
uuur uuur
(2)由以 AB 為直徑的圓過原點可以得到OA ×OB = 0 ，利用韋達定理法即可求解.
2
【詳解】（1）設P x, y ，因為 PB = 2 PA ，故 x - 2 + y2 = 2 x2 + y2 ，
即 x - 2 2 + y2 = 2x2 + 2y2 ，整理可得 x2 + y2 + 4x - 4 = 0
所以曲線 C 的方程為 x2 + y2 + 4x - 4 = 0 .
（2）設 A(x1, y1), B( x2, y2)
x - y + m = 0
聯立 2 2x2 + y2 整理得
2x + 2(m + 2)x + m - 4 = 0
+ 4x - 4 = 0
Δ = 4(m + 2)2 -（8 m2 - 4）> 0得-2 < m < 6 ①
2
x x m 2, x x m - 4根據韋達定理得： 1 + 2 = - - 1 2 = 2
uuur uuur
由以 AB 為直徑的圓過原點，得到OA ×OB = 0
uuur uuur
所以OA ×OB = x1x2 + y1 y2 = x1x2 + (x1 + m)(x2 + m)
= 2x1x2 + m(x
2
1 + x2 ) + m
= m2 - 4 - m(m + 2) + m2 = m2 - 2m - 4 = 0
解得 m =1± 5 滿足①式
所以存在實數m =1± 5 ，使得以 AB 為直徑的圓過原點.
【點睛】方法點睛：利用韋達定理法解決直線與曲線相交問題的基本步驟如下：
（1）設直線方程，設交點坐標為 x1, y1 , x2 , y2 ；
（2）聯立直線與圓錐曲線的方程，得到關于 x （或 y ）的一元二次方程，必要時計算 ；
（3）列出韋達定理；
（4）將所求問題或題中的關系轉化為 x1 + x2 、 x1x2 （或 y1 + y2 、 y1y2）的形式；
（5）代入韋達定理求解.
41．（2024 高二·全國·課后作業）已知 O 為原點，直線 x + 2y - 3 = 0與圓 x2 + y2 + x - 6y + m = 0交于 P、Q 兩
點．
(1)若 PQ = 31，求 m 的值；
(2)若OP ^ OQ，求圓的面積．
1
【答案】(1) 4
25
(2) π
4
【分析】（1）求出圓的圓心與半徑，再求出圓心到直線的距離，再根據圓的弦長公式即可得出答案；
（2）設P x1, y1 ,Q x2 , y2 ，聯立方程，利用韋達定理求出 y1 + y2 , y1 y2 ，再根據OP ^ OQ，可得
uuur uuur
OP ×OQ = x1x2 + y1 y2 = 0，求出m ，從而可得圓的半徑，即可得出答案.
1
【詳解】（1）解：圓 x2 + y2 + x - 6y

+ m = 0的圓心為 - ,3

2 ÷
，
è
r 37 - 4m
37
半徑 = ，其中m < ，
2 4
1
1 - + 6 - 3
圓心 - ,3÷到直線 x + 2y - 3 = 0的距離 d 2 5= = ，è 2 1+ 4 2
1
PQ = 2 r 2 - d 2 2 37 - 4m 5= - = 31 ，解得m = ；
4 4 4
（2）解：設P x1, y1 ,Q x2 , y2 ，
x + 2y - 3 = 0
聯立 22 2 ，消 x 得5y - 20y +12 + m = 0
x y
，
+ + x - 6y + m = 0
= 400 - 20 12 + m > 0 ，
則 y1 + y2 = 4, y1y
12 + m
2 = ，5
又 x1 = -2y1 + 3, x2 = -2y2 + 3，
uuur uuur
因為OP ^ OQ，所以OP ×OQ = x1x2 + y1 y2 = 0，
即 -2y1 + 3 -2y2 + 3 + y1 y2 = 0 ，
即9 - 6 y1 + y2 + 5y1 y2 = 0，
9 6 4 5 12 + m所以 - + = 0，解得m = 3滿足 > 0，
5
37 - 4m 5
此時圓的半徑 r = = ，
2 2
2
5 25
所以圓的面積為 π 2 ÷
= π .
è 4
42．（2024 高二上·江蘇鹽城·期末）已知圓C : x2 + y2 - 4x - 6y + 4 = 0．
(1)若一直線被圓 C 所截得的弦的中點為M (3,2)，求該直線的方程；
(2)設不過圓心C 的直線 l : y = x + m與圓 C 交于 A，B 兩點，把△CAB的面積 S 表示為 m 的函數，并求 S 的
最大值．
【答案】(1) y = x -1；
1 9
(2) S = -(m -1)4 +18(m -1)2 ，m 1- 3 2,1 1,1+ 3 2 ； .2 2
【分析】（1）根據給定條件，求出圓心坐標，再利用圓的性質求解作答.
（2）利用點到直線的距離公式，求出△CAB邊 AB 上的高，再求出弦 AB 長即可求解作答.
【詳解】（1）圓C : (x - 2)2 + (y - 3)2 = 9圓心C(2,3)，半徑 r = 3，顯然點M (3,2)在圓 C 內，
由圓的性質知，當M (3,2)為圓 C 弦的中點時，該弦所在直線垂直于直線CM ，
2 - 3
直線CM 的斜率 kCM = = -1，則有所求直線斜率為 1，方程為： y - 2 = x - 3，即 y = x -1，3- 2
所以該直線的方程為 y = x -1 .
| 2 - 3 + m |
（2）直線 l : x - y + m = 0與圓C 相交時，圓心 C 到直線 l 的距離 d = < 3，解得
2
1- 3 2 < m <1+ 3 2 ，
又直線 l 不過圓心C(2,3)，即m 1，因此1- 3 2 < m <1+ 3 2 且m 1，
| AB |= 2 r 2 - d 2 2 32 (m -1= - )2 = -2(m -1)2 + 36 ，
2
1 1 | m -1| 1
△CAB的面積 S = | AB | ×d = -2(m -1)2 + 36 × = -(m -1)4 +18(m -1)22 2 2 ，2
9
因為1- 3 2 < m <1+ 3 2 且m 1，則0 < (m -1)2 <18，當 (m -1)2 = 9，即m = -2或m = 4 時， Smax = ，2
1
所以 S = -(m -1)4 +18(m 1)2
9
- ，m 1- 3 2,1 1,1+ 3 2 ，當m = -2或m = 4 時， S = .2 max 2
43．（2024 高二下·廣西柳州·期中）已知圓C ： x2 + y -1 2 = 5，直線 l：mx - y +1- m = 0 .
(1)設直線 l與圓C 相交于 A, B兩點，且 AB = 17 ，求直線 l的方程；
(2)設直線 l與圓C 相交于 A, B兩點，求弦 AB 中點的軌跡方程.
【答案】(1) 3x - y +1- 3 = 0或 3x + y -1- 3 = 0；
2
(2) 1 2 1 x - ÷ + y -1 = .
è 2 4
【分析】（1）由弦長得圓心到直線 l的距離，利用點到直線的距離公式求出 m 的值，得直線方程；
（2）設動點M x, y ，由幾何關系得動點滿足的向量關系，求得軌跡方程.
【詳解】（1）圓C 的圓心為C 0,1 ,半徑為 5 ,
設圓心到直線 l的距離為 d，因為 AB = 17 3，則 2 5 - d 2 = 17 ，解得 d = ，
2
m 3
所以 = ，
2 m = ± 3
，
m2 +1
故直線 l方程為 3x - y +1- 3 = 0或 3x + y -1- 3 = 0 .
（2）直線 l： y = m(x -1) +1，過定點P 1,1 ，
uuuur uuuur
設弦 AB 的中點M x, y ，則PM ×CM = 0，
2
所以 (x -1)x + (y -1)2 = 0 1 2 1，即 x - 2 ÷
+ y -1 = ，
è 4
2
所以弦 AB 1 2 1的中點的軌跡方程為 x - ÷ + y -1 = .
è 2 4
44．（2024 高二上·山東濱州·期末）已知圓C 的圓心在直線 2x + y - 4 = 0上，且與 y 軸相切于點O 0,0 ．
(1)求圓C 的方程；
(2)已知過點P 1,3 的直線 l被圓C 截得的弦長為 2 3 ，求直線 l的方程．
【答案】(1) x - 2 2 + y2 = 4
(2) x =1或 4x + 3y -13 = 0
【分析】（1）分析可知圓心C 在直線 y = 0 上，將直線 2x + y - 4 = 0與直線 y = 0 的方程聯立，可求得圓心的
坐標，進而可求得圓C 的半徑，由此可得出圓C 的方程；
（2）求出圓心到直線 l的距離，對直線 l的斜率是否存在進行分類討論，在直線 l的斜率不存在的情況下，
直接檢驗即可；在直線 l的斜率存在時，設出直線 l的方程，根據圓心到直線 l的距離求出直線 l的斜率，綜
合可得出直線 l的方程.
【詳解】（1）解：因為圓C 與 y 軸相切于點O 0,0 ，所以圓心C 在直線 y = 0 上，
又因為圓C 的圓心在直線 2x + y - 4 = 0上，
2x + y - 4 = 0 x = 2
由 y 0 ，解得
C 2,0 C
y 0，即 ，圓 的半徑 r = OC = 2
2 + 02 = 2，
= =
2
所以，圓C 的方程為 x - 2 + y2 = 4．
2
2 C l d d r 2
2 3
（ ）解：設圓心 到直線 的距離為 ，則 = - ÷÷ = 2
2 - 3 =1，
è 2
當直線 l的斜率不存在時，直線 l的方程為 x =1，此時 d = 1，滿足條件；
當直線 l的斜率存在時，設直線 l的斜率為 k ，則直線 l的方程為 y - 3 = k x -1 ，
即 kx - y + 3- k = 0 ．
2k + 3 - k k + 3
因為圓心為C 2,0 ，所以圓心C 到直線 l的距離為 d = = =1，
k 2 +1 k 2 +1
整理可得 k 2 + 6k + 9 = k 2 +1，解得 k
4
= - ，
3
所以，直線 l的方程為 4x + 3y -13 = 0．
綜上所述，直線 l的方程為 x =1或 4x + 3y -13 = 0 .
45．（2024 高二上·浙江嘉興·期末）已知圓C 經過點 A 4,2 、B 6,0 ，圓心C 在直線 x + y - 4 = 0 上.
(1)求圓C 的方程；
(2)若直線 y = k x + 2 與圓C 相交于 P 、Q兩點， PQ = 2 3，求實數 k 的值.
【答案】(1) x - 4 2 + y2 = 4
(2) k 35= ±
35
【分析】（1）求出直線 AB 的中垂線方程聯立直線 x + y - 4 = 0 方程即可得圓心坐標，進而可求半徑，即可
求出圓C 的方程；
（2）由 PQ = 2 3可得點C 4,0 到直線 y = k x + 2 的距離為 1，由點到直線的距離公式即可列方程求解.
【詳解】（1） AB 的中點為M 5,1 ，斜率 k = -1，
則直線 AB 的中垂線為 y = x - 4
y = x - 4 x = 4
聯立 ，解得 ，
y = 4 - x y = 0
即C 4,0 ， BC = 2
圓C 的方程為 x - 4 2 + y2 = 4 .
6 k
（2）由于 PQ = 2 3，點C 4,0 到直線 y = k x + 2 的距離 d = =12 ，k +1
35
即35k 2 =1，解得 k = ±
35
46．（2024 高二上·浙江杭州·期中）已知圓 P 過兩點M (0, 2)， N ( 3,1) ，且圓心 P 在直線 y = x 上．
(1)求圓 P 的方程；
(2)過點Q(-1,2) 的直線交圓 P 于 A, B兩點，當 AB = 2 3 時，求直線 AB 的方程．
【答案】(1) x2 + y2 = 4
(2) x=-1或3x + 4y - 5 = 0
【分析】（1）依題意可設圓 P 的方程為 (x - a)2 + (y - a)2 = r 2 (r > 0)，圓 P 過兩點M (0, 2)， N ( 3,1) ，可列
方程組求解未知數，從而可得圓 P 的方程；
（2）由弦長 AB = 2 3 ，可得圓心P(0,0)到直線 AB 的距離為 1，當直線 AB 的斜率不存在時驗證即可，當
直線 AB 的斜率存在時，設出直線 AB 的方程，由點到直線的距離公式列出方程可求解.
【詳解】（1）依題意圓心 P 在直線 y = x 上，可設圓 P 的方程為 (x - a)2 + (y - a)2 = r 2 (r > 0)，
因為圓 P 過兩點M (0, 2)， N ( 3,1) ，
(0 - a)2 + (2 - a)2 = r2 a = 0
所以 ，解得 2 ，
( 3 - a)2 + (1- a)
2 = r 2 r = 4
所以圓 P 的方程為 x2 + y2 = 4 .
（2）由（1）可知，圓心P(0,0)，半徑 r = 2，
當直線 AB 的斜率不存在時，其方程為 x=-1，圓心P(0,0)到直線 AB 的距離為 1，
此時 AB = 2 r 2 -1 = 2 3 滿足題意；
當直線 AB 的斜率存在時，
設直線 AB 的方程為 y - 2 = k(x +1) ，即 kx - y + k + 2 = 0 ，
當 AB = 2 3 時，圓心P(0,0)到直線 AB 的距離 d = r 2 - ( 3)2 =1，
k + 2
即有 d = =1
3
，解得 k = - ，
k 2 +1 4
3
此時直線 AB 的方程為 y - 2 = - (x +1)，即為3x + 4y - 5 = 0 .
4
綜上，直線 AB 的方程為 x=-1或3x + 4y - 5 = 0 .2.5.1 直線與圓的位置關系 6 題型分類
一、直線 Ax＋By＋C＝0 與圓(x－a)2＋(y－b)2＝r2的位置關系及判斷
位置關系 相交 相切 相離
公共點個數 2 個 1 個 0 個
幾何法：
設圓心到直線的距離
dr
|Aa＋Bb＋C|
d＝
判 A2＋B2
斷 代數法：
方 由
法
{Ax＋By＋C＝0， Δ>0 Δ＝0 Δ<0 x－a 2＋ y－b 2＝r2，
消元得到一元二次方程，
可得方程的判別式 Δ
二、直線與圓相交時的弦長求法：
圓的半徑 r，圓心到直線的距離 d，弦長 l，
幾何法 l
利用 r2＝d2＋( )2解題.2
代數法 若交點坐標易求出，求出交點坐標后，
直接用兩點間距離公式計算弦長.
l：y＝kx＋b 與圓的交點為(x1，y1)，(x2，y2)，
弦長公式法 弦長 l＝ 1＋k2|x1－x2|＝
1＋k2 [ x1＋x2 2－4x1x2].
三、求過某一點的圓的切線方程：
(1)點(x0，y0)在圓上．
1
①先求切點與圓心連線的斜率 k，再由垂直關系得切線的斜率為－ ，由點斜式可得切線方
k
程．
②如果斜率為零或不存在，則由圖形可直接得切線方程 y＝y0或 x＝x0.
(2)點(x0，y0)在圓外．
①設切線方程為 y－y0＝k(x－x0)，由圓心到直線的距離等于半徑建立方程，可求得 k，也就
得切線方程．
②當用此法只求出一個方程時，另一個方程應為 x＝x0，因為在上面解法中不包括斜率不存
在的情況．
③過圓外一點的切線有兩條．一般不用聯立方程組的方法求解．
（一）
直線與圓的位置關系的判斷
直線與圓的位置關系
1．幾何法判斷直線與圓的位置關系：
2 2 Aa + Bb + C
直線 Ax + By + C = 0與圓 x - a + y - b = r 2 ，圓心到直線的距離 d =
A2 + B 2
(1) d > r 直線與圓相離 無交點；
(2) d = r 直線與圓相切 只有一個交點；
(3) d < r 直線與圓相交 有兩個交點.
2．代數法判斷直線與圓的位置關系：
Ax + By + C = 0
聯立直線方程與圓的方程，得到 ，通過解的個數來判斷：x 2 + y
2 + Dx + Ey + F = 0
(1)當 > 0時，直線與圓有 2 個交點，，直線與圓相交.
(2)當 = 0時，直線與圓有 1 個交點，直線與圓相切.
(3)當 < 0時，直線與圓沒有交點，直線與圓相離.
3.直線系法：若直線恒過定點，可通過判斷定點與圓的位置關系來判斷直線與圓的位置關
系．但有一定的局限性，必須是過定點的直線系．
題型 1：判斷直線與圓的位置關系
1-1．（2024 高二下·北京海淀·期中）直線 ax - y + 2a = 0 a R 與圓 x2 + y2 = 5的位置關系為（ ）
A．相離 B．相切 C．相交 D．不確定
x y
1-2．（2024·四川成都·一模）圓C ： (x -1)2 + (y -1)2 = 1與直線 l： + =1的位置關系為（ ）
4 3
A．相切 B．相交 C．相離 D．無法確定
1-3．（2024·安徽蚌埠·三模）直線 l : x + my +1- m = 0與圓C : x -1 2 + y - 2 2 = 9的位置關系是（ ）
A．相交 B．相切 C．相離 D．無法確定
1-4．（2024·新疆喀什·模擬預測）已知圓C : x2 + y2 + 2x - 4 y = 0 ，直線 l : 2x - y -1 = 0，則圓 C 與直線 l
（ ）
A．相交 B．相切 C．相離 D．相交且直線過圓 C 的圓心
題型 2：根據直線與圓的位置關系求參數
2-1．（2024 高二下·上海靜安·期末）過點 0,1 的直線 l與圓 x2 + y2 + 4x + 3 = 0 相切，則直線 l的斜率為 .
2-2 2 2．（2024 高三·全國·專題練習）已知圓 C： x - 2 + y -1 = r2 r > 0 ，直線 l : ax + y - 2a +1 = 0，若直線 l
與圓 C 總有交點，則 r 的取值范圍為
2-3．（2024 高二下·上海寶山·期末）若直線 y = kx -1與曲線 y = -x2 + 4x - 3 恰有兩個公共點，則實數 k 的取
值范圍是（ ）
4 ,+ éA． ÷ B． ê1,
4 é 4 ù 4
÷ C． 1, D． 0,3 ÷è 3 ê 3 ú è 3
題型 3：根據直線與圓的位置關系求距離的最值
3-1．（2024·廣西·模擬預測）已知直線 l : mx + 5 - 2m y - 2 = 0 m R 和圓O : x2 + y2 = 4 ，則圓心 O 到直線 l
的距離的最大值為（ ）
6
A B 2 5 C 2 3
3
． ． ． D．
5 5 3 2
3-2．（2024 高二下·河南南陽·期末）已知直線 l： x + y + 2 = 0與 x 軸、y 軸分別交于 M，N 兩點，動直線 l1：
y = -mx m R 和 l2：my - x - 4m + 2 = 0交于點 P，則△MNP的面積的最小值為（ ）
A． 10 B．5 - 10 C． 2 2 D． 2 10 - 3
3-3．（2024 高三下·云南昆明·階段練習）已知點 P 是直線2x + y - 3 = 0上的動點，過點 P 作圓 O：x2 + y2 =1
5 1
的兩條切線，切點分別為 A, B，則點Q( , )到直線 AB 的距離的最大值為 .
3 3
（二）
圓的弦長問題
直線與圓相交時的弦長求法：
2
1 l ．幾何法：利用圓的半徑 r ，圓心到直線的距離 d ，弦長 l之間的關系 r 2 = d 2 + ，整理出
è 2 ÷
弦長公式為： l = 2 r 2 - d 2 .
2．代數法：若直線與圓的交點坐標易求出，求出交點坐標后，直接用兩點間距離公式計算弦
長.
3．弦長公式法：設直線 l : y = kx + b 與圓的交點為 x1, y1 ， x2 , y2 ，將直線方程代入圓的方程，
消元后利用根與系數的關系得到弦長 l = 1+ k 2 x1 - x2 = 1+ k 2 é 2 ù x1 + x2 - 4x1x2 .
題型 4：圓的弦長問題
4-1．（2024·河北邯鄲·二模）已知直線 l : x - y + 5 = 0與圓C : x2 + y2 - 2x - 4y - 4 = 0交于 A， B 兩點，若M 是
圓上的一動點，則△MAB 面積的最大值是 .
4-2．（2024 高二下·四川涼山·期末）已知圓C : x2 + y2 - 2ay = 0，過圓C 內一點 A 2,1 的直線被圓C 所截得
的最短弦的長度為 2，則 a =（ ）
1
A．2 B． 2 2 C． D．32
4-3．（2024 高二上·四川涼山·期末）過點 1,1 的直線 l 被圓C : x2 + y2 = 4 截得的弦長最短，則直線 l 的斜率
是（ ）
A．1 B．2 C．-2 D．-1
4-4．（2024 高二下·浙江·階段練習）圓C 經過點 A(2,-1)，和直線 x + y =1相切，且圓心在直線 y = -2x 上．
(1)求圓C 的方程；
(2)求圓C 在 y 軸截得的弦長．
1
4-5．（2024·河南鄭州·模擬預測）已知圓C : x2 + y2 - 6x + 5 = 0 ，直線 y = x +1 與圓 C 相交于 M，N 兩點，則
3
MN = ．
4-6．（2024· 2浙江·三模）在平面直角坐標系上，圓C : x2 + y -1 =1，直線 y = a x +1 與圓C 交于 A, B兩點，
a 0,1 ，則當VABC 的面積最大時， a =（ ）
1
A 2． B． 3 -1 C． 2 - 3 D．
2 2
4-7．（2024 高二下·上海黃浦·期末）設直線 y = ax + 3與圓 x2 + y2 = 4相交所得弦長為 2 3 ，則 a = ；
（三）
求圓的切線方程
求過某一點的圓的切線方程
(1)點(x0，y0)在圓上．
1
①先求切點與圓心連線的斜率 k，再由垂直關系得切線的斜率為－ ，由點斜式可得切線方程．
k
②如果斜率為零或不存在，則由圖形可直接得切線方程 y＝y0或 x＝x0.
(2)點(x0，y0)在圓外．
①設切線方程為 y－y0＝k(x－x0)，由圓心到直線的距離等于半徑建立方程，可求得 k，也就得
切線方程．
②當用此法只求出一個方程時，另一個方程應為 x＝x0，因為在上面解法中不包括斜率不存在
的情況．
③過圓外一點的切線有兩條．一般不用聯立方程組的方法求解．
題型 5：求圓的切線方程
5-1．（2024·天津南開·二模）若直線 kx - y - 2k + 3 = 0 x2 + y +1 2與圓 = 4 相切，則 k = .
5-2．（2024·
2 2
北京通州·三模）過直線 y = x 上的一點 P 作圓 x - 5 + y -1 = 2的兩條切線 l1， l2，切點分別
為 A, B，當直線 l1， l2關于 y = x 對稱時，線段PA的長為（ ）
A．4 B． 2 2 C． 6 D．2
5-3．（2024·北京·模擬預測）經過點 1,0 且與圓 x2 + y2 - 4x - 2y + 3 = 0相切的直線方程為 ．
5-4．（2024 高二上·福建福州·期末）過點P 1,1 作圓E ： x2 + y2 - 4x + 2y = 0的切線，則切線方程為（ ）
A． x + y - 2 = 0 B．2x + y - 3 = 0
C． x - 2y +1 = 0 D．2x - y -1 = 0
5-5．（2024·河北唐山·模擬預測）在平面直角坐標系 xOy 中，若點 P a,b 在直線 ax + by + 6a + 8 = 0上，則當
a，b 變化時，直線 OP 的斜率的取值范圍是 .
5-6．（2024 高三下·湖北·階段練習）過直線 x + 2y - 4 = 0上一點 P 作圓 x2 + y2 =1的兩條切線PA, PB，切點分
別為A ， B ，則 AB 的最小值為 .
（四）
直線與圓的實際應用
解決直線與圓的實際應用題的步驟
(1)審題：從題目中抽象出幾何模型，明確已知和未知．
(2)建系：建立適當的直角坐標系，用坐標和方程表示幾何模型中的元素．
(3)求解：利用直線與圓的有關知識求出未知．
(4)還原：將運算結果還原到實際問題中去．
題型 6：直線與圓的實際應用
6-1．（2024 高二上·廣東佛山·期末）黨的二十大報告提出要加快建設交通強國.在我國960萬平方千米的大地
之下擁有超過35000座，總長接近赤道長度的隧道（約37000千米）.這些隧道樣式多種多樣，它們或傍山而
過，上方構筑頂棚形成“明洞”﹔或掛于峭壁，每隔一段開出“天窗”形成掛壁公路.但是更多時候它們都隱伏于
山體之中，只露出窄窄的出入口洞門、佛山某學生學過圓的知識后受此啟發，為山體隧道設計了一個圓弧
形洞門樣式，如圖所示，路寬 AB 為16米，洞門最高處距路面 4米.
(1)建立適當的平面直角坐標系，求圓弧 AB 的方程.
(2)為使雙向行駛的車輛更加安全，該同學進一步優化了設計方案，在路中間建立了 2米寬的隔墻.某貨車裝
滿貨物后整體呈長方體狀，寬 2米，高3.6米，則此貨車能否通過該洞門 并說明理由.
6-2．（2024 高二上·四川綿陽·期中）如圖，某海面上有 O、A、B 三個小島（面積大小忽略不計），A 島在 O
島的北偏東 45°方向距 O 島 40 2 千米處，B 島在 O 島的正東方向距 O 島 20 千米處以 O 為坐標原點，O 的
正東方向為 x 軸的正方向，1 千米為單位長度，建立平面直角坐標系圓 C 經過 O、A、B 三點．
(1)求圓 C 的標準方程；
(2)若圓 C 區域內有未知暗礁，現有一船 D 在 O 島的南偏西30°方向距 O 島 40 千米處，正沿著北偏東60°行
駛，若不改變方向，試問該船有沒有觸礁的危險？
6-3．（2024 高二上·山西晉中·期末）如圖，一隧道內設雙行線公路，其截面由一個長方形（長、寬分別為
8m 、 4m ）和圓弧構成，截面總高度為 6m，為保證安全，要求行駛車輛頂部（設為平頂）與隧道頂部在豎
直方向上高度之差至少要有0.5米，已知行車道總寬度 AB = 6m .
(1)試建立恰當的坐標系，求出圓弧所在圓的一般方程；
(2)車輛通過隧道的限制高度為多少米？
一、單選題
1．（2024·四川成都·模擬預測）若直線 ax + by =1(a > 0,b > 0) ，與eO : x2 + y2 = 1相切，則a + 2b最大值為
（ ）
A． 3 B． 5 C．3 D．5
2．（2024 高二下·海南·學業考試）若直線 l：kx - y + 3- 2k = 0與圓C ： x2 + y2 - 6x - 4 y + 4 = 0交于 A，B 兩
點，且直線 l不過圓心C ，則當VABC 的周長最小時，實數 k = （ ）
1
A．-1 B． C．1 D．2
2
3．（2024·河北·一模）直線 l : ax + by - 4 = 0與圓O : x2 + y2 = 4 相切，則 (a - 3)2 + (b - 4)2的最大值為（ ）
A．16 B．25 C．49 D．81
4．（2024 高二下·上海黃浦·期中）圓C : x2 + y2 + 2x + 4y - 3 = 0 上到直線 x + y +1 = 0距離為 2 的點有（ ）
A．2 個 B．3 個 C．4 個 D．無數個
5．（2024 高二下·陜西安康·期末）坐標軸與圓C : x2 + y2 - 4x - 2y +1 = 0的交點個數為（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
6．（2024·湖北武漢·模擬預測）已知直線 l : x + y - 3 = 0上的兩點 A, B，且 AB =1，點 P 為圓
D : x2 + y2 + 2x - 3 = 0 上任一點，則VPAB 的面積的最大值為（ ）
A． 2 +1 B． 2 2 + 2 C． 2 -1 D． 2 2 - 2
7．（2024·重慶·模擬預測）已知直線 l： 2x + y + m = 0上存在點 A，使得過點 A 可作兩條直線與圓C ：
x2 + y2 - 2x - 4y + 2 = 0分別切于點 M，N，且 MAN =120°，則實數 m 的取值范圍是（ ）
A． é - 5 - 2, 5 - 2ù B． é - 15 - 2 3, 15 - 2 3ù
C． é-2 5 - 4,2 5 - 4ù D． é0, 15 - 2 3ù
8．（北京市師大附屬中學 2023 屆高三適應性練習數學試題）已知圓O : x2 + y2 =1，直線3x + 4y -10 = 0上動
點 P ，過點 P 作圓O的一條切線，切點為A ，則 PA 的最小值為（ ）
A．1 B． 2 C． 3 D．2
9．（2024·山東泰安·模擬預測）已知直線 l : mx - y + m +1 = 0(m 0)與圓C : x2 + y2 - 4x + 2y + 4 = 0，過直線 l
上的任意一點 P 向圓C 引切線，設切點為 A, B，若線段 AB 長度的最小值為 3，則實數m 的值是（ ）
12 12 7 7
A．- B． C． D．-
5 5 5 5
10．（2024 高三下·湖南岳陽·開學考試）直線 2tx - y - 2t +1 = 0 t R 與圓 x2 + y2 = 4相交于 A，B 兩點，則 AB
的最小值為（　　）
A． 2 B．2 C． 2 2 D．4
11．（2024 高三上·安徽六安·階段練習）若不等式 16 - x2 kx(k > 0) 的解集為區間[a,b]，且b - a = 2 ,則 k =
（ ）
A 3． B． 2 C． 3 D．2
3
12．（2024·湖南益陽·三模）直線 y = x + b與曲線 x = 1- y2 恰有兩個不同的公共點，則實數 b 的取值范圍是
（ ）
A．-1 b 2 B．- 2 < b -1
C．-1 < b 1或b = - 2 D．- 2 < b <1
13．（2024 高二上·浙江嘉興·期末）直線 2x + y - 2 = 0與曲線 x + y -1 x2 + y2 - 4 = 0的交點個數為（ ）
A．1 個 B．2 個 C．3 個 D．4 個
二、多選題
14．（2024·全國·模擬預測）已知圓C : x2 + y2 - 2ay + a -1 = 0，直線 l： x - y = 0，則（ ）
A．存在 a R ，使得 l 與圓 C 相切
B．對任意 a R ，l 與圓 C 相交
C．存在 a R ，使得圓 C 截 l 所得弦長為 1
D．對任意 a R ，存在一條直線被圓 C 截，所得弦長為定值
15．（2024 高一下·重慶沙坪壩·期末）已知直線 l： y = kx + 2k + 2(k R) 與圓C ： x2 + y2 - 2y -8 = 0．則下
列說法正確的是（ ）
A．直線 l過定點 (-2,2)
B．直線 l與圓C 相離
C．圓心C 到直線 l距離的最大值是 2 2
D．直線 l被圓C 截得的弦長最小值為 4
三、填空題
16．（2024· 2貴州貴陽·模擬預測）已知直線 l與圓C : x -1 + y2 =1有公共點M ，且與直線 2x - y + 3 = 0交于
點 N ，則 MN 的最小值是 ．
17．（2024·陜西西安·一模）直線 l : mx - y + 2 - 3m = 0 m R 與圓C : x2 + y2 - 2y -15 = 0 交于兩點P Q，則
弦長 PQ 的最小值是 .
18．（2024 高二上·浙江寧波·期末）如圖 1，某圓拱形橋一孔圓拱的平面示意圖，已知圓拱跨度 AB = 30m，
拱高OP = 5m ，建造時每間隔 6m需要用一根支柱支撐，則支柱 A1P1的高度等于 m（精確到
0.01m）．若建立如圖 2 所示的平面直角坐標系 xOy ，則圓拱所在圓的標準方程是 ．
（可用參考數據： 616 = 24.82, 600 = 24.49, 599 = 24.47, 544 = 23.32, 525 = 22.91．）
19．（2024·江西·模擬預測）已知圓C 的方程為 (x - 3)2 + (y - 4)2 = 25，若直線 l : 3x + 4y - 5 = 0與圓C 相交于 A, B
兩點，則VABC 的面積為 .
20 2024 · · l : y = kx +1 C : x - 2 2．（ 高二下 浙江 期末）若直線 21 截圓 2 + y = 5所得弦長 AB = 4，則 k 的值為 .
21．（2024 高二下· 2 2江蘇南京·期末）已知直線 l : x + y -1 = 0：與圓C : x - 3 + y + 4 = 5交于 A, B兩點，則
AB = .
22．（2024·天津·三模）已知直線 ax + y -1 = 0平分圓C : (x -1)2 + (y + 2)2 4
a
= ，則圓C 中以點 ,
a
-
3 3 ÷
為中點
è
的弦弦長為
23．（2024 高三上·廣東·開學考試）過點 P(2, 2)作圓 x2 + y2 = 4的兩條切線，切點分別為A 、 B ，則直線 AB
的方程為 ．
24 2024 · · x + y + 6 = 0 C : x - 3 2．（ 高二下 上海楊浦 期中）由直線 上一點 P 向圓 + y + 5 2 = 4引切線，則切線
長的最小值為 ．
25．（2024 高二下·貴州·階段練習）已知圓O : x2 + y2 = 4 ，點 A 是直線3x + y +10 = 0上的一個動點，過點 A
作圓O的兩條切線 AM , AN ，切點分別為M , N ，則四邊形 AMON 的面積的最小值為 ；直線MN 過
定點 .
1 3
26．（2024 高二下·天津西青·階段練習）過點 2 2 ,- ÷÷作圓C : x + y =1的切線 l，則切線 l的方程為 .
è 2 2
27 2．（2024 高三·全國·課后作業）已知圓C : x - 3 + y2 = 4，過點 A（2，0）的直線 l 交圓 C 于 M、N 兩點，
uuuur uuur
且OM ×ON = 2，則直線 l 的方程是 .
28．（2024
2 2
高二上·江蘇鹽城·期末）由直線 y = x 上的點向圓 x - 4 + y + 2 =1引切線，則切線長的最小值
為 .
29．（2024·湖南長沙·一模）已知圓M : (x - 4)2 + y2 =16，過點 N 2,0 的直線 l與圓M 交于 A, B兩點，D是 AB
的中點，則D點的軌跡方程為 .
四、解答題
30．（2024 高二下·河北張家口·階段練習）已知一圓C 的圓心為 2, -1 ，且該圓被直線 l : x - y -1 = 0截得的
弦長為 2 2 .
(1)求該圓的方程；
(2)求過點P 4,3 的該圓的切線方程.
31．（2024 高二下·四川內江·開學考試）已知點P 0,2 ，設直線 l：y=kx+b（b， k R ）與圓C : x2 + y2 = 4
相交于異于點 P 的 A，B 兩點.
(1)若PA ^ PB，求 b 的值；
(2)若 | AB |= 2 3 2 3，且直線 l 與兩坐標軸圍成的三角形的面積為 ，求直線 l 的斜率 k 的值；
3
(3)當 | PA | × | PB |= 4時，是否存在一定圓 M，使得直線 l 與圓 M 相切 若存在，求出該圓的標準方程；若不存
在，請說明理由.
32．（2024 高二上·江西萍鄉·期末）已知直線 l過點P 1, -1 ，且__________.
在下列所給的三個條件中，任選一個補充在題中的橫線上，并完成解答.
r
①與圓 (x +1)2 + y2 = 5相切；② 5傾斜角的余弦值為 ；③直線 l的一個方向向量為 a = -2, -4 .
5
(1)求直線 l的一般式方程；
(2)若直線 l與曲線C : x2 + y2 - 6x - 2y + 6 = 0相交于M , N 兩點，求弦長 MN .
注：如果選擇多個條件分別解答，按第一個解答計分.
33．（2024 高二上·福建寧德·期中）已知直線 l： y = k x + 2 2 與圓 O： x2 + y2 = 4相交于不重合的 A，B 兩
點，O 是坐標原點，且 A，B，O 三點構成三角形．
(1)求 k 的取值范圍；
(2)VABO 的面積為S ，求S 的最大值，并求取得最大值時 k 的值．
34．（2024 高二下·上海嘉定·期中）已知過點 A -1,0 的直線 l與圓C : x2 + y - 3 2 = 4相交于 P 、Q兩點，M
是弦 PQ的中點，且直線 l與直線m : x + 3y + 6 = 0 相交于點 N ．
(1)當直線 l與直線m 垂直時，求證：直線 l經過圓心C ；
(2)當弦長 PQ = 2 3時，求直線 l的方程；
uuuur uuur
(3)設 t = AM × AN ，試問 t是否為定值，若為定值，請求出 t的值；若不為定值，請說明理由．
35．（2024 高二下·湖北·階段練習）已知圓C : x2 + y2 =16，直線 l : 2 + k x + 1+ k y + k = 0 .
(1)證明：直線 l和圓C 恒有兩個交點；
(2)若直線 l和圓C 交于 A, B兩點，求 AB 的最小值及此時直線 l的方程.
36．（2024 高三·全國·專題練習）（1）求函數 y = x - 4 + 15 - 3x 的最大值和最小值；
y x - 3（2）求函數 = 的值域；
1+ x2
（3）求函數 y = x + 2x2 - 4x + 6 的值域；
（4）已知1 x2 + y2 2，求 z = x2 - xy + y2 的最值．
37．（2024 高一下·重慶沙坪壩·期末）在平面直角坐標系中，圓C 過點 A(4,0)，B(2, 2) ，且圓心C 在 x + y - 2 = 0
上．
(1)求圓C 的方程；
(2)若已知點P(4, 2 3)，過點 P 作圓C 的切線，求切線的方程．
38．（2024 高二上·全國·課后作業）在直角坐標系 xOy 中，以原點 O 為圓心的圓與直線 x - 3y - 4 = 0相切
(1)求圓 O 的方程；
(2)若已知點P(3，2)，過點 P 作圓 O 的切線，求切線的方程．
浙江省麗水市 2023-2024 學年高二上學期期末數學試題）已知圓C 經過點 A(1, 2)和B(5,-2) ，且圓C 關于直
線 2x + y = 0 對稱．
(1)求圓C 的方程；
(2)過點D(-3,1) 作直線 l與圓C 相切，求直線 l的方程．
40．（2024 高二上·安徽蕪湖·階段練習）已知點 A 0,0 ，B 2,0 ，曲線 C 任意一點 P 滿足 PB = 2 PA ．
(1)求曲線 C 的方程；
(2)設直線 x - y + m = 0 與圓 C 交于 A、B 兩點，是否存在實數 m，使得以 AB 為直徑的圓過原點，若存在，
求出實數 m 的值；若不存在，請說明理由．
41．（2024 高二·全國·課后作業）已知 O 為原點，直線 x + 2y - 3 = 0與圓 x2 + y2 + x - 6y + m = 0交于 P、Q 兩
點．
(1)若 PQ = 31，求 m 的值；
(2)若OP ^ OQ，求圓的面積．
42．（2024 高二上·江蘇鹽城·期末）已知圓C : x2 + y2 - 4x - 6y + 4 = 0．
(1)若一直線被圓 C 所截得的弦的中點為M (3,2)，求該直線的方程；
(2)設不過圓心C 的直線 l : y = x + m與圓 C 交于 A，B 兩點，把△CAB的面積 S 表示為 m 的函數，并求 S 的
最大值．
43．（2024 高二下·廣西柳州·期中）已知圓C ： x2 + y -1 2 = 5，直線 l：mx - y +1- m = 0 .
(1)設直線 l與圓C 相交于 A, B兩點，且 AB = 17 ，求直線 l的方程；
(2)設直線 l與圓C 相交于 A, B兩點，求弦 AB 中點的軌跡方程.
44．（2024 高二上·山東濱州·期末）已知圓C 的圓心在直線 2x + y - 4 = 0上，且與 y 軸相切于點O 0,0 ．
(1)求圓C 的方程；
(2)已知過點P 1,3 的直線 l被圓C 截得的弦長為 2 3 ，求直線 l的方程．
45．（2024 高二上·浙江嘉興·期末）已知圓C 經過點 A 4,2 、B 6,0 ，圓心C 在直線 x + y - 4 = 0 上.
(1)求圓C 的方程；
(2)若直線 y = k x + 2 與圓C 相交于 P 、Q兩點， PQ = 2 3，求實數 k 的值.
46．（2024 高二上·浙江杭州·期中）已知圓 P 過兩點M (0, 2)， N ( 3,1) ，且圓心 P 在直線 y = x 上．
(1)求圓 P 的方程；
(2)過點Q(-1,2) 的直線交圓 P 于 A, B兩點，當 AB = 2 3 時，求直線 AB 的方程．

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