資源簡介

2.4 圓的方程 9 題型分類
一、圓的標準方程
1．圓的標準方程
(1)條件：圓心為 C(a，b)，半徑長為 r.
(2)方程：(x－a)2＋(y－b)2＝r2.
(3)特例：圓心為坐標原點，半徑長為 r 的圓的方程是 x2＋y2＝r2.
2．點與圓的位置關系
點 M(x0，y0)與圓 C：(x－a)2＋(y－b)2＝r2的位置關系及判斷方法
位置關系 利用距離判斷 利用方程判斷
點 M 在圓上 |CM|＝r (x0－a)2＋(y0－b)2＝r2
點 M 在圓外 |CM|>r (x0－a)2＋(y0－b)2>r2
點 M 在圓內(nèi) |CM|二、圓的一般方程
1．圓的一般方程
當 D2＋E2－4F>0 時，二元二次方程 x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0 稱為圓的一般方程．
2．方程 x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0 表示的圖形
條件 圖形
D2＋E2－4F<0 不表示任何圖形
2 D ED ＋E2－4F＝0 表示一個點(－ ，－2 2)
2 2 ( D E) D2 2D E 4F>0 ＋E －4F＋ － 表示以 － ，－ 為圓心,以 為半徑的圓2 2 2
（一）
求圓的標準方程
1．待定系數(shù)法求圓的標準方程的一般步驟：
2．幾何法即是利用平面幾何知識，求出圓心和半徑，然后寫出圓的標準方程．
3．求圓的標準方程的策略:
確定圓的標準方程只需確定圓心坐標和半徑，常用到中點坐標公式、兩點間距離公式，有時還
用到平面幾何知識，如“弦的中垂線必過圓心”“兩條弦的中垂線的交點必為圓心”等．
題型 1：求圓的標準方程
1-1．（2024·陜西西安·模擬預測）過三點 -1,2 、 2,5 、 7,2 的圓的圓心坐標為 .
1-2．（2024 高二·江蘇·假期作業(yè)）圓心在 y 軸上，半徑為 5，且過點 (3, -4)，則圓的標準方程為 ．
1-3．（2024 高二· 2 2全國·課后作業(yè)）已知圓 C： x - 3 + y - 4 = 25，O 為原點，則以OC 為直徑的圓方程為
（ ）
2 2
A x 3 25 3． + ÷ + y + 2
2 = B ． x - ÷ + y - 2
2 = 25
è 2 4 è 2
x 25
2
C． - 3 2 + y - 4 2 = D 3 ． x - ÷ + y - 2 2 25=4 è 2 4
1-4．（2024 高二上·北京延慶·期末）根據(jù)下列條件，求圓的標準方程：
(1)圓心在點 A 2, -1 ，且過點B -2,2 ；
(2)過點C 0,0 和點D 0,2 ，半徑為 2；
(3) E 1,2 ，F(xiàn) 3,4 為直徑的兩個端點；
(4)圓心在直線 l : 2x + 3y -8 = 0上，且過點P 1,0 和點Q 3,2 ．
題型 2：由圓的方程求圓心或半徑
2-1．（2024 高二上·北京·階段練習）圓C : x -1 2 + y2 = 2 的圓心到直線 y = x - 3的距離為（ ）
A．1 B． 2 C．2 D． 2 2
2-2．（2024 高二下·安徽宣城·期末）已知直線 ax + by -1 = 0(ab > 0)過圓 (x -1)2 + (y -1)2 = 2022的圓心，則
a2 + b2 的最小值為（ ）
1
A． B．1 C 2． D．2
2 2
2-3．【多選】（2024 高二·全國·課后作業(yè)）下列說法錯誤的是（ ）
A．圓 x -1 2 + y - 2 2 = 5的圓心為 1,2 ，半徑為 5
B．圓 x + 2 2 + y2 = b2 b 0 的圓心為 -2,0 ，半徑為 b
2 2C．圓 x - 3 + y + 2 = 2 的圓心為 3, - 2 ，半徑為 2
D x + 2 2 + y + 2 2．圓 = 5的圓心為 2,2 ，半徑為 5
題型 3：與圓有關的對稱問題
3-1．（2024 2 2 2 2高二下·四川涼山·階段練習）若圓C1 : (x -1) + y = 9和圓C2 : (x + 3) + (y + 2) = 9關于直線 l對稱，
則直線 l的方程是
3-2．（2024 2 2高二上·四川成都·期末）已知圓O1 : (x - 2) + ( y -1) = 9 和直線 l : x - y = 0 .若圓O2與圓O1關于直
線 l 對稱，則圓O2的方程為（ ）
A 2 2． (x+1) +(y+2) =9 B． (x -1)2 + (y - 2)2 = 9
C． (x + 2)2 + (y +1)2 = 9 D． (x -1)2 + (y + 2)2 = 9
3-3．（2024 高二上·云南昆明·期末）已知圓C 的圓心坐標為 -3,4 ，半徑為 2，圓C 與圓C 關于 x 軸對稱，
則圓C 的方程為（ ）
A x + 3 2 + y - 4 2 = 4 B x - 3 2 + y - 4 2． ． = 2
C x + 3 2 + y + 4 2． = 4 D． x + 3 2 + y + 4 2 = 2
3-4．（2024 2 2高二上·四川成都·期末）已知圓O1 : (x - 2) + ( y -1) = 9 和直線 l : x - y +1 = 0 .若圓O2與圓O1關于
直線 l對稱，則圓O2的方程為（ ）
A． (x - 3)2 + y2 = 9 B． x2 + (y - 3)2 = 9
C． (x - 2)2 + (y - 3)2 = 9 D． (x - 3)2 + (y - 2)2 = 9
（二）
點與圓的位置關系
判斷點與圓的位置關系：
1．代數(shù)法：主要利用點到圓心的距離與半徑比較大小．
假設圓的半徑為 r，點到圓心的距離為 d，則有：d＜r 點在圓內(nèi)；d=r 點在圓上；d＞r 點
在圓外.
2．幾何法：把點的坐標代入圓的標準方程，判斷式子兩邊的大小，并作出判斷．
點 P（x1,y1)與圓(x-a) +(y-b) =r 的位置關系：
（1）當(x1- a) +(y1-b) ＞r 時，則點 P 在圓外.
（2）當(x1- a) +(y1-b) =r 時，則點 P 在圓上.
（3）當(x1- a) +(y1-b) ＜r 時，則點 P 在圓內(nèi).
題型 4：判斷點與圓的位置關系
4-1．（2024 高二上·吉林長春·階段練習）若點P(-1, 3)在圓 x2 + y2 = m2 上,則實數(shù)m = .
4-2．（2024 高三·全國·課后作業(yè)）已知兩直線 y = x + 2k 與 y = 2x + k +1的交點在圓 x2 + y2 = 4的內(nèi)部，則實數(shù)
k 的取值范圍是（ ）.
1
A．- < k
1
< -1 B．- < k <1
5 5
1
C．- < k <1 D．-23
4-3．（2024
2
高二上·重慶石柱·階段練習）若點 P m,0 在圓 x -1 + y2 = 4內(nèi)，則實數(shù)m 的取值范圍
為 .
4-4．（2024 高二上·重慶）點P(1，3)與圓 x2 + y2 = 24的位置關系是（ ）
A．在圓外 B．在圓內(nèi) C．在圓上 D．不確定
4-5．（2024 高二下·上海浦東新·階段練習）若點 1,1 在圓 x2 + y2 + x + ay +1 = 0外，則實數(shù) a 的取值范圍
是 .
（三）
圓的一般方程的辨析
圓的一般方程：當 D2＋E2－4F>0 時，二元二次方程 x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0 稱為圓的一般方
程．
圓的一般方程的辨析:
(1)由圓的一般方程的定義，若 D2＋E2－4F>0 成立，則表示圓，否則不是圓．
(2)將方程配方后，根據(jù)圓的標準方程的特征求解．
題型 5：圓的一般方程的辨析
5-1．（2024 高一上·陜西寶雞·期末）若方程 x2 + y2 - x + y + 2m = 0 表示圓，則m 的取值范圍為（ ）
1
A． (- , ) B． (- ,0)
4
C． (- ,
1) D． (- ,-1)
2
5-2．（2024 高二上·黑龍江雙鴨山·期中）方程 x2＋y2＋4x－2y＋5m＝0 表示圓的條件是（ ）
A．m<1 B．m>1
m 1 1C． < D4 ． < <14 m
5-3．（2024 高二上·江蘇鹽城·期末）方程 x2 + y2 + 2y + m = 0表示一個圓，則m 的取值范圍是（ ）
A． 1, + B． - ,1
C． 1, + D． - ,1
（四）
求圓的一般方程
求圓的方程的策略
(1)幾何法：由已知條件通過幾何關系求得圓心坐標、半徑，得到圓的方程；
(2)待定系數(shù)法：選擇圓的一般方程或標準方程，根據(jù)條件列關于 a，b，r 或 D，E，F(xiàn) 的方程
組解出系數(shù)得到方程．
題型 6：求圓的一般方程
6-1．（2024 高一下·湖南株洲·期末）圓 x2 + y2 - 2x + 4y - 4 = 0的圓心坐標是（ ）
A． -2,4 B． 2, -4
C． -1,2 D． 1, -2
6-2．（2024 高二上·全國·課后作業(yè)）過直線2x - y +1 = 0和圓 x2 + y2 - 2x -15 = 0的交點且過原點的圓的方程
是 ．
6-3．（24-25 高二上·上海·課堂例題）已知VABC 的三個頂點 A 1, -2 ，B 0,5 ，C -3, -4 ．那么三角形外
接圓的方程是 ．
6-4．（24-25 高二上·全國·單元測試）已知圓的內(nèi)接正方形的一條對角線上的兩個頂點的坐標分別是 5,6 ，
3, -4 ，則這個圓的方程為（ ）
A． x2 + y2 + 4x - 2y - 7 = 0 B． x2 + y2 -8x - 2y - 9 = 0
C． x2 + y2 + 8x + 2y - 6 = 0 D． x2 + y2 - 4x + 2y - 5 = 0
6-5．（2024 高二上·河北滄州·期末）在△OAB 中，O 是坐標原點， A -2,2 ，B 1,3 ．
(1)求 AB 邊上的高所在直線的方程；
(2)求△OAB 的外接圓方程
題型 7：圓過定點問題
7-1 2 2．（2024 高二上·安徽·階段練習）若圓C：x + y - m - 2 x + m - 2 y + m2 - 3m + 2 = 0過坐標原點，則實
數(shù) m 的值為（ ）
A．1 B．2 C．2 或 1 D．－2 或－1
7-2．（2024 高二下·上海徐匯·期中）對任意實數(shù)m ，圓 x2 + y2 - 3mx - 6my + 9m - 2 = 0 恒過定點，則定點坐標
為 ．
7-3．（2024 高二上·江西吉安·期中）已知方程 x2 + y2 + 2mx - 2my - 2 = 0表示的曲線恒過第三象限內(nèi)的一個定
點A ，若點A 又在直線 l：mx + ny +1 = 0上，則 2m + 2n =
A．1 B．2 C．3 D．4
7-4．（2024 高二上·浙江溫州·期中）點P x, y 是直線 2x + y - 5 = 0上任意一點，O是坐標原點，則以OP 為
直徑的圓經(jīng)過定點（ ）
A． 0,0 和 1,1 B． 0,0 和 2,2 C． 0,0 和 1,2 D． 0,0 和 2,1
（五）
圓上的點到定點的最大、最小距離
設 A的方程 (x - a)2 + (y - b)2 = r 2 ，圓心 A(a,b) ，點 M 是 A上的動點，點 P 為平面內(nèi)一點；記
d =| PA |;
①若點 P 在 A外，則 | PM |max = d + r ; | PM |min = d - r
②若點 P 在 A上，則 | PM |max = 2r ; | PM |min = 0
③若點 P 在 A內(nèi)，則 | PM |max = d + r ; | PM |min = r - d
題型 8：與圓有關的最值問題
8-1．（2024·甘肅酒泉·三模）點M 在圓C : x2 + (y -1)2 = 4 上，點 N 2 3,3 ，則 MN 的最大值為（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
8-2．（2024 高一下·廣西·階段練習）若復數(shù) z 滿足 z - 2 - 5i = 2，則 z +1- i 的最大值為（ ）
A．5 + 2 B．5 + 2 2 C．7 D． 41
8-3．（2024 高二上·四川巴中·期末）已知圓 C 過點 A -2,0 , B 2，4 ，當圓 C 到原點 O 的距離最小時，圓 C
的標準方程為 ．
8-4．（2024·
2
廣東佛山·模擬預測）已知圓 C： x -1 + y2 = 4，過點 A 0,1 的兩條直線 l1， l2互相垂直，圓心
C 到直線 l1， l2的距離分別為 d1 ， d2 ，則 d1d2的最大值為（ ）
A 2． B．1 C． 2 D．42
（六）
求動點的軌跡方程
1、求動點的軌跡方程常用方法“四步一回頭”：
四步：（1）建立適當坐標系，設出動點 M 的坐標(x,y).
（2）寫出適合條件的點 M 的集合 P=P{M|P(M)}.
（3）將 P(M)“翻譯”成代數(shù)方程 f(x,y)=0.
（4）化簡代數(shù)方程 f(x,y)=0 為最簡形式.
一回頭：回頭看化簡方程的過程是否為同解變形，驗證求得的方程是否為所要求的方程.
2、求與圓有關的軌跡問題的方程
(1)直接法：直接根據(jù)題目提供的條件列出方程．
(2)定義法：根據(jù)圓、直線等定義列方程．
(3)代入法：找到要求點與已知點的關系，代入已知點滿足的關系式等．
題型 9：求動點的軌跡方程
9-1．（2024 高二上·山東青島·期中）已知圓心為 C 的圓經(jīng)過 A 1,1 ，B 2, -2 兩點，且圓心 C 在直線
l : x - y +1 = 0上.
(1)求圓 C 的標準方程；
(2)設 P 為圓 C 上的一個動點，O 為坐標原點，求 OP 的中點 M 的軌跡方程.
9-2．（2024 高二上·山東日照·階段練習）已知圓 C 經(jīng)過點 A 3,1 ，B -1,3 且圓心 C 在直線3x - y - 2 = 0上.
(1)求圓 C 方程；
(2)若 E 點為圓 C 上任意一點，且點F 4,0 ，求線段 EF 的中點 M 的軌跡方程.
9-3．（2024 2 2 2高二上·江西宜春·階段練習）已知方程 x + y + 2kx + 4k +10 y + 6k + 21k +19 = 0表示圓，其圓
心為C .
(1)求圓心坐標以及該圓半徑 r 的取值范圍；
(2)若 k = -2 ，線段 AB 的端點A 的坐標為 0,4 ，端點 B 在圓C 上運動，求線段 AB 中點M 的軌跡方程.
9-4．（2024 高二上·河南濮陽·階段練習）已知圓 C 過三個點M (1,0), N (3, 2), R(5,0)．
(1)求圓 C 的方程：
(2)已知 O 為坐標原點，點 A 在圓 C 上運動，求線段OA的中點 P 的軌跡方程．
一、單選題
1．（2024 高二上·吉林長春·期中）已知點（1，1）在圓（x﹣a）2+（y+a）2＝4 的內(nèi)部，則實數(shù) a 的取值范
圍是（ ）
A．（﹣1，1） B．（0，1）
C．（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞） D．{1，﹣1}
2．（2024 高一下·黑龍江黑河·課后作業(yè)）圓 (x +1)2 + (y - 2)2 = 4的圓心、半徑是（　　）
A． 1, -2 ，4 B． 1, -2 ，2 C． -1,2 ，4 D． -1,2 ，2
3．（2024·北京海淀·三模）若直線 2x + y -1 = 0是圓 x2 + y + a 2 = 1的一條對稱軸，則 a =（ ）
1 1
A．-1 B．1 C． D．-
2 2
4．（2024 高二下·上海徐匯·期中）已知一個圓的方程滿足：圓心在點 -3,4 ，且過原點，則它的方程為
（ ）
A． x - 3 2 + y - 4 2 = 5 B． x + 3 2 + y + 4 2 = 25
C 2 2 2 2． x + 3 + y - 4 = 5 D． x + 3 + y - 4 = 25
5 2024 · · x2 2．（ 高二 全國 課后作業(yè)）如果圓 + y + Dx + Ey + F = 0 D2 + E2 - 4F > 0 關于直線 y = x 對稱，則有
（ ）
A．D + E = 0 B．D = E
C．D = F D．E = F
6．（2024 高二上·安徽·階段練習）已知圓C : x2 + y2 + 4x - 6 = 0，則過點P -1, -2 的直線 l 與圓 C 交于 A，B
兩點，則 AB 的最小值是（ ）．
A．2 B．4 C． 2 5 D． 2 10
7．（2024 高二上·山東濰坊·期中）在圓的方程的探究中，有四位同學分別給出了一個結論，甲：該圓的半徑
為 5 ；乙：該圓經(jīng)過點 3,3 ；丙：該圓的圓心為 2,1 ；丁：該圓經(jīng)過點 7,0 ．如果只有一位同學的結論
是錯誤的，那么這位同學是（ ）
A．甲 B．乙 C．丙 D．丁
8．（2024 高二上·江蘇揚州·階段練習）已知點P 1,2 為圓 x2 + y2 + x - 4y + m = 0 外一點，則實數(shù)m 的取值范
圍為（　　）
A． 2, 17 17 17+ B． - ,
ù
C．
4 ÷
2, D 2,
è è 4
． ÷
ú è 4
9 2 2．（2024 高二上·河北保定·期末）圓 x + 2 + y -12 = 4關于直線 x - y + 4 = 0對稱的圓的方程為（ ）
A． x + 6 2 + y + 4 2 = 4 B． x + 8 2 + y + 2 2 = 4
C． x -8 2 + y - 2 2 = 4 D x - 6 2 + y - 4 2． = 4
10．（2024 高二下·河南洛陽·階段練習）已知點 P 在圓 x2 - 2 3x + y2 - 2y = 0 上，則點 P 到 x 軸的距離的
最大值為（ ）
A．2 B．3 C． 3 D． 3 + 2
11．（2024 高二下·山東青島·期中）圓 x2 + y2 - 4x - 4y -10 = 0上的點到直線 x + y + 6 = 0的最大距離是（ ）
A． 2 2 B．4 2 C．8 2 D．16 2
12．（2024 高二上·廣東揭陽·階段練習）若點P 1,1 為圓 x2 + y2 - 6x = 0 的弦 MN 的中點，則弦 MN 所在直線
的方程為（ ）
A．2x + y - 3 = 0 B． x - 2y +1 = 0 C． x + 2y - 3 = 0 D．2x - y -1 = 0
13．（2024 高二上·全國·課后作業(yè)）若圓 x2 + y2 - 2x - 4y = 0的圓心到直線 x - y + a = 0 2的距離為 ，則實數(shù)
2
a 的值為（ ）
A．0 或 2 B．0 或-2
1
C．0 或 D．-2 或 2
2
14．（2024 高二上·浙江寧波·期中）過三點 A 4, -2 , B 1, -1 ,C 1,4 的圓的一般方程為（ ）
A． x2 + y2 + 7x - 3y + 2 = 0 B． x2 + y2 + 7x + 3y + 2 = 0
C． x2 + y2 - 7x + 3y + 2 = 0 D． x2 + y2 - 7x - 3y + 2 = 0
15．（2024 高二下·云南·階段練習）已知直線 x + 3 y = 1經(jīng)過圓 (x - m)2 + (y - n)2 =1的圓心，其中mn > 0，則
3 1
+ 的最小值為（
m n ）
A．7 B．8 C．9 D．12
16．（2024 高三上·廣東惠州· x +1 2階段練習）已知圓 + y + 2 2 = 4關于直線 ax + by +1 = 0（ a > 0， b > 0）
1 2
對稱，則 + 的最小值為（ ）
a b
5
A． B．9 C．4 D．8
2
17．（2024 高二上·河南許昌·階段練習）方程 x2 + y2 - ax + 2ay + 2a +1 = 0表示圓，則實數(shù) a 的可能取值為
（ ）
A．1 B．2 C．0 D．-2
18．（2024 高二上·安徽合肥·期中）已知方程 x2 + y2 - 2x + 2 + k = 0表示圓，則 k 的取值范圍是（ ）
A． - , -1 3, 1+ B． - , - 3 ÷è
- ,-1 3- , + C． D．
è 2 ÷
19．（2024 高一下·重慶沙坪壩·期末）在平面直角坐標系 xOy 中，已知P1 0,2 、P2 4,4 兩點，若圓M 以P1P2
為直徑，則圓M 的標準方程為（ ）
A． x - 2 2 + y - 3 2 = 5 B x - 2 2． + y - 3 2 = 5
C． x -1 2 + y - 4 2 = 5 D． x -1 2 + y - 4 2 = 5
20 2．（2024 高二上·北京·期末）設A 是圓C : x +1 + y2 = 9上的動點，PA是圓的切線，且 PA = 4，則點 P
到點Q 8,0 距離的最小值為（ ）
A．15 B．6 C．5 D．4
21．（2024·甘肅·三模）已知A ，B 是圓O : x2 + y2 = 4 上的兩個動點，若點P 1,2 在以 AB 為直徑的圓上，則
AB 的最大值為（ ）
A． 6 + 2 B． 5 + 3 C． 2 6 - 2 D． 2 5 - 3
22．（2024·河北邯鄲·三模）在平面直角坐標系內(nèi)，已知 A(-3,4) ， B(-3,1)，動點 P(x, y) 滿足 | PA |= 2 | PB |，
則 (x -1)2 + (y - t)2 （ t R ）的最小值是（ ）
A． 2 B．2 C．4 D．16
23．（2024
2 2
高二下·四川廣安·階段練習）動直線mx + ny -1 = 0 m > 0, n > 0 平分圓 x -1 + y -1 =1的周長，
4n 1
則 + 的最小值（
m 1 2n ）+
3 5 5 9
A． B． C． D．
2 2 4 4
24．（2024·福建泉州·模擬預測）已知復數(shù) z 滿足 z + i =1，則 z +1 的最大值為（ ）
A． 2 B．2 C． 2 +1 D．3
25．（2024 高二·江蘇·假期作業(yè)）過坐標原點，且在 x 軸和 y 軸上的截距分別為 2 和 3 的圓的方程為（ ）
A． x2 + y2 - 2x - 3y = 0 B． x2 + y2 + 2x - 3y = 0
C． x2 + y2 - 2x + 3y = 0 D． x2 + y2 + 2x + 3y = 0
二、多選題
26 2 2．（2024 高二上·全國·課后作業(yè)）（多選）點 1,1 在圓 x - a + y + a = 4的內(nèi)部，則 a的取值不可能是
（ ）
1
A．-2 B．-
2
1
C． D． 2
2
27．（2024 高二上·江蘇蘇州·階段練習）過點 A(1,-1)與B(-1,1)且半徑為 2 的圓的方程可以為（ ）
A． (x - 3)2 + (y +1)2 = 4 B． (x -1)2 + (y -1)2 = 4
C． (x +1)2 + (y +1)2 = 4 D． (x + 3)2 + (y -1)2 = 4
28．（2024 高二上·甘肅酒泉·期中）已知點P 1,2 在圓C : x2 + y2 + kx + 4y + k 2 +1 = 0的外部，則 k 的取值可
能是（ ）
A．-1 B．-2 C．1 D． 2
29．（2024 高二上·全國·課后作業(yè)）下列方程不是圓的一般方程的有（ ）
A． x2 + y2 - 2x + 4 y + 3 = 0 B． x2 + y2 - 2x + 2y + 7 = 0
C． x2 + 3y2 - 2x + 4y + 5 = 0 D． x2 + y2 - 3xy -12 = 0
三、填空題
30．（2024 高一下·四川樂山·期末）點 (1,0)與圓 x2 + y2 - 4x - 2y +1 = 0的位置關系是 ．（填“在圓
內(nèi)”、“在圓上”、“在圓外”）
31．（2024 高二下·福建莆田·期中）在平面直角坐標系 xOy 中，A 6,0 , B 6,1 點 P 滿足 PO = 2 PA ，則動點
P 的運動軌跡方程為 ； PB + 2 PA 的最小值為 .
32．（2024 高二上·全國·課后作業(yè)）過點 A 8,0 的直線與圓 x2 + y2 = 4交于點 B，則線段 AB 中點 P 的軌跡方
程為 .
33．（2024 高二下·上海徐匯·期中）點M 與兩個定點O 0,0 ，P 2,0 的距離的比為3:1，則點M 的軌跡方
程為 ．
34．（2024 高二上·遼寧大連·期中）對于任意實數(shù) λ，曲線(1+λ)x2+(1+λ)y2+(6-4λ)x-16-6λ=0 恒過定點 .
35．（2024 高一·全國·課后作業(yè)）已知方程 x2 + y2 - 2ax + 2(a - 2)y + 2 = 0 表示圓，其中 a R ，且 a≠1，則不
論 a 取不為 1 的任何實數(shù)，上述圓恒過的定點的坐標是 .
36．（2024 高二上·浙江湖州·期末）已知直線 l1平分圓C : (x - 2)2 + y2 = 2且與 l2 : 6x + 4y -1 = 0 互相平行，則
l1, l2 的距離是 .
37．（2024 高二下·上海·開學考試）對任意實數(shù)m ，圓 x2 + y2 - 2mx - 4my + 6m - 2 = 0 恒過定點，則其坐標
為 .
38．（2024 高二上·湖北·期中）過點 1,2 可作圓 x2 + y2 + 2x - 4y + k + 2 = 0的兩條切線，則實數(shù) k 的取值范
圍 .
39．（2024 高二上·廣東惠州·階段練習）若點M 3,0 是圓 x2 + y2 -8x - 4y +10 = 0 內(nèi)一點，則過點M 3,0 的
最長的弦所在的直線方程是 .
40．（2024 高二上·廣東東莞·期末）已知線段 AB 的端點 B 的坐標是 2,1 ，端點A 在圓 (x + 2)2 + ( y - 3)2 = 16
上運動，則線段 AB 的中點M 的軌跡方程是 ．
41．（2024 高二上·浙江麗水·期末）在平面直角坐標系中，已知點 A(4,0)，點 P 在圓O : x2 + y2 = 9上運動，則
線段 AP 的中點Q的軌跡方程是 ．
42．（2024 高二下·新疆塔城·開學考試）已知定點 A(4,0)，P 是圓 x2 + y2 = 4上的一動點，Q 是 AP 的中點，則
點 Q 的軌跡方程是 .
43 2 2 2．（2024 高二下·上海寶山·期末）若 2x + m + m y + 2mx + m = 0表示圓，則實數(shù)m 的值為 .
44．（2024 高二下·上海崇明·期末）已知兩點 P 3,1 、Q 5,-3 ，則以 PQ 為直徑的圓的方程是 .
45．（2024 高二·全國·課后作業(yè)）方程 x2 + y2 + 4mx - 2y + 5m = 0表示圓的充要條件是 ．
46．（2024 高二上·全國·課后作業(yè)）已知圓C : x2 + y2 =1，則圓上的點到點 3,4 距離的最大值為 .
47．（2024 高三下·吉林白城·階段練習）已知圓 C 與圓(x－1)2＋y2＝1 關于直線 y＝－x 對稱，則圓 C 的方程
是
48．（2024 高二上·重慶沙坪壩·期末）圓 x2 + y2 + 2y - 3 = 0關于直線 x - y - 2 = 0 的對稱圓的標準方程
為 .
49．（2024·廣東汕頭·二模）與圓C : x2 + y2 - x + 2y = 0關于直線 l : x + y = 0對稱的圓的標準方程是 .
50．（2024 高二·全國·課后作業(yè)）直線 ax + by +1 = 0始終平分圓 x2 + y2 + 4x + 2y +1 = 0的周長，則
a -1 2 + b -1 2 的最小值為 ．
51．（2024 高一下·江蘇南京·期中）在VABC 中，AB =1, AC = 2, A = 60o，若VABC 的平面內(nèi)有一點D滿足
uuur uuur
AD2 = AC × AD，則 AD2 + BD2的最小值為 .
52．（2024 高二下·江蘇宿遷·開學考試）已知M (m,n) 為圓C：x2 + y2 - 4x - 4y + 4 = 0上任意一點．則
(m -1)2 + (n +1)2 的最大值為
53．（2024· 2山東煙臺·二模）已知實數(shù) a,b滿足 a2 + b2 - 4a + 3 = 0 ，則 a2 + b + 2 的最大值為 ．
54．（2024 高二·全國·課后作業(yè)）已知圓 C 經(jīng)過兩點P -1, -3 ，Q 2,6 ，且圓心在直線 x + 2y - 4 = 0上，則
圓 C 的一般方程為 ；若直線 l 的方程 x + m y -1 +1 = 0 （m R），圓心 C 到直線 l 的距離是
1，則 m 的值是 ．
四、解答題
55．（2024 高二上·全國·課后作業(yè)）求圓 x2 + y2 + 4x -12y + 39 = 0關于直線3x - 4y - 5 = 0的對稱圓方程.
56．（2024 高三·全國·專題練習）在直角坐標系 xOy 中，線段 MN = 4，且兩個端點M 、 N 分別在 x 軸和 y
軸上滑動．求線段MN 的中點C 的軌跡方程；
57．（2024 高二上·新疆克拉瑪依·期中）求適合下列條件的圓的方程：
(1)圓心在直線 x - 2y - 3 = 0上，且過點 A 2, -3 , B -2, -5 的圓；
(2)過三點 A 1,0 , B -1,-2 ,C 3,-2 的圓.
58．（2024 高二·江蘇·假期作業(yè)）寫出圓心為 A(2, -3) ,半徑為 5 的圓的標準方程,并判斷點M1(5,-7), M 2 (-2,-1)
是否在這個圓上．若該點不在圓上,說明該點在圓外還是在圓內(nèi)？
59．（2008· 2江蘇）設平面直角坐標系 xoy中，設二次函數(shù) f (x) = x +2x + b(x R) 的圖象與坐標軸有三個交點，
經(jīng)過這三個交點的圓記為 C．
（1）求實數(shù)b 的取值范圍；
（2）求圓C 的方程；
（3）問圓C 是否經(jīng)過某定點（其坐標與b 無關）？請證明你的結論．
60．（2024 高二上·遼寧沈陽·期末）已知VABC 中，點 A -1,5 ， AC 邊上中線所在直線 l1的方程為
8x + y -12 = 0， AB 邊上的高線所在直線 l2的方程為 x - 3y + 6 = 0 .
(1)求點 B 和點C 的坐標：
(2)以M 1,0 為圓心作一個圓，使得A 、 B 、C 三點中的一個點在圓內(nèi)，一個點在圓上，一個點在圓外，求
這個圓的方程.
61．（2024 高二上·安徽六安·期中）在平面直角坐標系 xOy 中，曲線 y=x2 - 2x- 3與兩坐標軸的交點都在圓C
上.
(1)求圓C 的方程；
(2)已知O為坐標原點，點A 在圓C 上運動，求線段OA的中點M 的軌跡方程.
62．（2024 高二上·江蘇鹽城·期末）已知圓C 的圓心在 x 軸上，并且過 A 1,3 ，B 3,3 兩點.
(1)求圓C 的方程；
uuuur uuuur
(2)若 P 為圓C 上任意一點，定點M 8,0 ，點Q滿足PM = 3QM ，求點Q的軌跡方程.
63．（2024 高二上·海南·階段練習）已知點 A 1, -2 , B -1,4 ，求
(1)過點 A，B 且周長最小的圓的標準方程；
(2)過點 A，B 且圓心在直線 2x - y - 4 = 0上的圓的標準方程.
64．（2024 高二上·江蘇蘇州·期中）在平面直角坐標系 xOy 中，已知VABC 的頂點B -1,2 ，BC 邊上中線 AD
所在直線方程為5x -3y -3 = 0， AB 邊上的高CH 所在直線方程為 2x + y - 9 = 0 ，求：
(1)頂點 A 的坐標；
(2)VABC 外接圓的一般方程.2.4 圓的方程 9 題型分類
一、圓的標準方程
1．圓的標準方程
(1)條件：圓心為 C(a，b)，半徑長為 r.
(2)方程：(x－a)2＋(y－b)2＝r2.
(3)特例：圓心為坐標原點，半徑長為 r 的圓的方程是 x2＋y2＝r2.
2．點與圓的位置關系
點 M(x0，y0)與圓 C：(x－a)2＋(y－b)2＝r2的位置關系及判斷方法
位置關系 利用距離判斷 利用方程判斷
點 M 在圓上 |CM|＝r (x0－a)2＋(y0－b)2＝r2
點 M 在圓外 |CM|>r (x0－a)2＋(y0－b)2>r2
點 M 在圓內(nèi) |CM|二、圓的一般方程
1．圓的一般方程
當 D2＋E2－4F>0 時，二元二次方程 x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0 稱為圓的一般方程．
2．方程 x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0 表示的圖形
條件 圖形
D2＋E2－4F<0 不表示任何圖形
D2＋E2 ( D E－4F＝0 表示一個點 － ，－2 2)
2 2
D2＋E2 ( D E4F>0 ) D ＋E －4F－ 表示以 － ，－ 為圓心,以 為半徑的圓2 2 2
（一）
求圓的標準方程
1．待定系數(shù)法求圓的標準方程的一般步驟：
2．幾何法即是利用平面幾何知識，求出圓心和半徑，然后寫出圓的標準方程．
3．求圓的標準方程的策略:
確定圓的標準方程只需確定圓心坐標和半徑，常用到中點坐標公式、兩點間距離公式，有時還
用到平面幾何知識，如“弦的中垂線必過圓心”“兩條弦的中垂線的交點必為圓心”等．
題型 1：求圓的標準方程
1-1．（2024·陜西西安·模擬預測）過三點 -1,2 、 2,5 、 7,2 的圓的圓心坐標為 .
【答案】 3,1
【分析】根據(jù)圓上點坐標列方程，從而圓的方程可求，即可求出圓的圓心坐標.
【詳解】設圓的方程為： x - a 2 + y - b 2 = R2，代入點的坐標有：
ì -1- a 2 + 2 - b 2 = R2
ìa = 3 2 a 2 5 í - + - b 2 = R2 ，所以 íb =1 ，

7 - a
2 + 2 - b 2 = R2 R = 17
2
所以圓的方程為： x - 3 + y -1 2 =17 .
故答案為： 3,1 .
1-2．（2024 高二·江蘇·假期作業(yè)）圓心在 y 軸上，半徑為 5，且過點 (3, -4)，則圓的標準方程為 ．
【答案】 x2 + y2 = 25或 x2 + (y + 8)2 = 25 .
【分析】設圓的方程為 x2 + (y - b)2 = 25，將點 (3, -4)代入圓的方程，求得b 的值，即可求解.
【詳解】由題意，設圓的方程為 x2 + (y - b)2 = 25，
因為點 (3, -4)在圓上，可得9 + (-4 - b)2 = 25，解得 b＝0 或 b＝－8，
所以所求圓的方程為 x2 + y2 = 25或 x2 + (y + 8)2 = 25 .
故答案為： x2 + y2 = 25或 x2 + (y + 8)2 = 25 .
1-3 2024 · · C x - 3 2 + y - 4 2．（ 高二 全國 課后作業(yè)）已知圓 ： = 25，O 為原點，則以OC 為直徑的圓方程為
（ ）
3 2 2A x + y 2 2 25 B x 3+ + = ． ÷ ． - ÷ + y - 2
2 = 25
è 2 4 è 2
2
C． x - 3 2 + y 4 2 25- = D x 3 2 25． -4 2 ÷ + y - 2 =è 4
【答案】D
【分析】由題意確定以OC 為直徑的圓的圓心和半徑，即可得答案.
【詳解】由圓 C： x - 3 2 + y - 4 2 = 25可知圓心C(3, 4)， | OC |= 5，
3
故以OC 為直徑的圓的圓心為 ( , 2)
5
，半徑為 ，
2 2
3
2
2 25
故所求圓的方程為： x - ÷ + y - 2 = .
è 2 4
故選：D
1-4．（2024 高二上·北京延慶·期末）根據(jù)下列條件，求圓的標準方程：
(1)圓心在點 A 2, -1 ，且過點B -2,2 ；
(2)過點C 0,0 和點D 0,2 ，半徑為 2；
(3) E 1,2 ，F(xiàn) 3,4 為直徑的兩個端點；
(4)圓心在直線 l : 2x + 3y -8 = 0上，且過點P 1,0 和點Q 3,2 ．
【答案】(1) x - 2 2 + y +1 2 = 25
(2) 2 2x - 3 + y -1 2 = 4或 x + 3 + y -1 2 = 4；
(3) x - 2 2 + y - 3 2 = 2
(4) x -1 2 + y - 2 2 = 4
【分析】（1） r = AB ，利用兩點間額距離公式即可求解；
（2
2
）設圓的標準方程為 x - a + y - b 2 = 4，利用待定系數(shù)法求解即可；
（3）EF 的中點坐標為 2,3 ，即圓心為 2,3 ，由此再求半徑即可求解；
（4
2 2
）設圓的標準方程為 x - a + y - b = r2 ，利用待定系數(shù)法求解即可；
【詳解】（1）由題意可得 r = AB = 2 + 2 2 + -1- 2 2 = 5，
2
所以圓的標準方程為 x - 2 + y +1 2 = 25；
（2
2 2
）設圓的標準方程為 x - a + y - b = 4，
因為圓過點C 0,0 和點D 0,2 ，
ì 0 - a
2 + 0 - b 2 = 4 ì a = 3 ì a = - 3
所以 í 2 ，解得 í 或 í ，
0 - a + 2 - b
2 = 4 b =1 b =1
2 2
所以圓的標準方程為 x - 3 + y -1 2 = 4或 x + 3 + y -1 2 = 4；
（3）因為EF 的中點坐標為 2,3 ，即圓心為 2,3 ，
r 1半徑 = EF = 1- 3 2 + 2 - 4 2 = 2 ，
2
2 2
所以圓的標準方程為 x - 2 + y - 3 = 2；
（4
2
）設圓的標準方程為 x - a + y - b 2 = r2 ，
ì2a + 3b -8 = 0 ìa =1

由題意可得 í 1- a 2 + 0 - b 2 = r 2 ，解得 íb = 2，
2
3- a + 2 b
2 - = r 2 r = 2
所以圓的標準方程為 x -1 2 + y - 2 2 = 4
題型 2：由圓的方程求圓心或半徑
2-1．（2024 2高二上·北京·階段練習）圓C : x -1 + y2 = 2 的圓心到直線 y = x - 3的距離為（ ）
A．1 B． 2 C．2 D． 2 2
【答案】B
【分析】根據(jù)條件得到圓心為 (1,0)，再利用點到直線的距離公式，即可求解.
2
【詳解】因為圓C : x -1 + y2 = 2 的圓心為 (1,0)，
1- 3
所以圓心到直線 y = x - 3的距離為 d = = 2 ，
1+1
故選：B.
2-2．（2024 高二下·安徽宣城·期末）已知直線 ax + by -1 = 0(ab > 0)過圓 (x -1)2 + (y -1)2 = 2022的圓心，則
a2 + b2 的最小值為（ ）
1
A． B．1 C 2． D．2
2 2
【答案】A
【分析】先求得圓心，根據(jù)直線過圓心，可得 a =1- b，代入所求，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)，即可得答案.
【詳解】由題意得圓心為（1,1），因為直線 ax + by -1 = 0(ab > 0)過圓心，
所以a + b = 1，即 a =1- b，
1 2 1
所以 a2 + b2 = (1- b)2 + b2 = 2b2 - 2b +1 = 2 b -

÷ + ，
è 2 2
b 1 2 2 1所以當 = 時， a + b 的最小值為 .
2 2
故選：A
2-3．【多選】（2024 高二·全國·課后作業(yè)）下列說法錯誤的是（ ）
A x -1 2 + y - 2 2．圓 = 5的圓心為 1,2 ，半徑為 5
B．圓 x + 2 2 + y2 = b2 b 0 的圓心為 -2,0 ，半徑為 b
C．圓 x - 3 2 + 2y + 2 = 2 的圓心為 3, - 2 ，半徑為 2
D．圓 x + 2 2 + y + 2 2 = 5的圓心為 2,2 ，半徑為 5
【答案】ABD
【分析】由圓的方程可得圓心坐標和半徑即可判斷四個選項的正誤，進而可得符合題意的選項；
2
【詳解】對于 A：由圓 x -1 + y - 2 2 = 5可得：圓心為 1,2 ，半徑為 5 ，故選項 A 錯誤；
對于 B：由圓 x + 2 2 + y2 = b2 b 0 可得：圓心為 -2,0 ，半徑為 b ，故選項 B 錯誤，
2 2
對于 C：由圓 x - 3 + y + 2 = 2 可得：圓心為 3,- 2 ，半徑為 2 ，故選項 C 正確；
對于 D：由圓 x + 2 2 + y + 2 2 = 5可得：圓心為 -2, -2 ，半徑為 5 ，故選項 D 錯誤，
故選：ABD.
題型 3：與圓有關的對稱問題
3-1．（2024 高二下· 2 2 2 2四川涼山·階段練習）若圓C1 : (x -1) + y = 9和圓C2 : (x + 3) + (y + 2) = 9關于直線 l對稱，
則直線 l的方程是
【答案】 2x + y + 3 = 0
1
【分析】由題意，先求得線段C1C2 的中點坐標，再求得直線的斜率為 kl = - k 即可.C1C2
2 2 2 2
【詳解】解：圓C1 : (x -1) + y = 9的圓心為 1,0 ，圓C2 : (x + 3) + (y + 2) = 9的圓心為 -3, -2 ，
則線段C1C2 的中點為 -1, -1 ，
因為圓C1 : (x -1)
2 + y2 = 9 2 2和圓C2 : (x + 3) + (y + 2) = 9關于直線 l對稱，
k 1所以 l = - = -2k ，C1C2
所以直線 l的方程是 y +1 = -2 x +1 ，即 2x + y + 3 = 0，
故答案為： 2x + y + 3 = 0
3-2．（2024 2 2高二上·四川成都·期末）已知圓O1 : (x - 2) + ( y -1) = 9 和直線 l : x - y = 0 .若圓O2與圓O1關于直
線 l 對稱，則圓O2的方程為（ ）
A． (x+1)2 +(y+2)2 =9 B． (x -1)2 + (y - 2)2 = 9
C． (x + 2)2 + (y +1)2 = 9 D． (x -1)2 + (y + 2)2 = 9
【答案】B
【分析】根據(jù)對稱性求得圓O2的圓心和半徑，進而求得圓O2的方程.
【詳解】圓O1 : (x - 2)
2 + ( y -1)2 = 9 的圓心為 2,1 ，半徑為3，
2,1 關于直線 l : x - y = 0的對稱點是 1,2 ，
所以圓O2的圓心是 1,2 ，半徑是3，
所以圓O2的方程為 (x -1)2 + (y - 2)2 = 9 .
故選：B
3-3．（2024 高二上·云南昆明·期末）已知圓C 的圓心坐標為 -3,4 ，半徑為 2，圓C 與圓C 關于 x 軸對稱，
則圓C 的方程為（ ）
A 2 2 2 2． x + 3 + y - 4 = 4 B． x - 3 + y - 4 = 2
C． x + 3 2 + y + 4 2 = 4 D． x + 3 2 + y + 4 2 = 2
【答案】C
【分析】由題意可得圓C 的圓心與點 (-3,4)關于 x 軸對稱，從而可求出圓心坐標，進而可求出圓 C 的方程.
【詳解】因為圓C 與圓C 關于 x 軸對稱，
所以圓C 的圓心與點C(-3,4)關于 x 軸對稱，
所以C 的坐標為 (-3, -4)，
又圓C 的半徑為 2，所以圓C 半徑為 2，
所以圓C 的方程為 (x + 3)2 + (y + 4)2 = 4，
故選：C.
3-4．（2024 2 2高二上·四川成都·期末）已知圓O1 : (x - 2) + ( y -1) = 9 和直線 l : x - y +1 = 0 .若圓O2與圓O1關于
直線 l對稱，則圓O2的方程為（ ）
A． (x - 3)2 + y2 = 9 B． x2 + (y - 3)2 = 9
C． (x - 2)2 + (y - 3)2 = 9 D． (x - 3)2 + (y - 2)2 = 9
【答案】B
【分析】求出圓O1的圓心關于直線 l的對稱點，即為圓O2的圓心坐標，進而可得圓O2的方程．
【詳解】圓O2與圓O1關于直線 l對稱，則圓心O1 2,1 與圓O2 a,b 關于 l : x - y +1 = 0對稱
ì2 + a 1+ b
- +1 = 0 2 2 ìa - b + 3 = 0
可得 í b 1 ，化簡得- í
a = 0,b = 3
a + b
，解得
- 3 = 0
= -1
a - 2
又兩圓半徑相等，故圓O2的方程為 x2 + (y - 3)2 = 9
故選：B
（二）
點與圓的位置關系
判斷點與圓的位置關系：
1．代數(shù)法：主要利用點到圓心的距離與半徑比較大小．
假設圓的半徑為 r，點到圓心的距離為 d，則有：d＜r 點在圓內(nèi)；d=r 點在圓上；d＞r 點
在圓外.
2．幾何法：把點的坐標代入圓的標準方程，判斷式子兩邊的大小，并作出判斷．
點 P（x1,y1)與圓(x-a) +(y-b) =r 的位置關系：
（1）當(x1- a) +(y1-b) ＞r 時，則點 P 在圓外.
（2）當(x1- a) +(y1-b) =r 時，則點 P 在圓上.
（3）當(x1- a) +(y1-b) ＜r 時，則點 P 在圓內(nèi).
題型 4：判斷點與圓的位置關系
4-1．（2024 高二上·吉林長春·階段練習）若點P(-1, 3)在圓 x2 + y2 = m2 上,則實數(shù)m = .
【答案】 2或-2
【分析】由點P(-1, 3)在圓 x2 + y2 = m2 上,則點 P 的坐標滿足圓的方程，即 (-1)2 + ( 3)2 = m2 ，再求解即
可.
【詳解】解：因為點P(-1, 3)在圓 x2 + y2 = m2 上,則點P(-1, 3)的坐標滿足圓 x2 + y2 = m2 的方程，即
(-1)2 + ( 3)2 = m2 ，得1+ 3 = m2 ,解得：m = 2 或-2 .
故答案為 2或-2 .
【點睛】本題考查了點與圓的位置關系，重點考查了運算能力，屬基礎題.
4-2．（2024 高三·全國·課后作業(yè)）已知兩直線 y = x + 2k 與 y = 2x + k +1的交點在圓 x2 + y2 = 4的內(nèi)部，則實數(shù) k
的取值范圍是（ ）.
1 k 1A．- < < -1 B．- < k <1
5 5
1
C．- < k <1 D．-23
【答案】B
【分析】求出兩直線的交點坐標，利用該交點到圓心的距離小于半徑列式，解不等式可得結果.
【詳解】圓 x2 + y2 = 4的圓心為 (0,0)，半徑為 2，
ìy = x + 2k ìx = k -1
由 íy 2x k 1得 íy 3k 1，則兩直線
y = x + 2k 與 y = 2x + k +1的交點為 (k -1,3k -1) ，
= + + = -
1
依題意得 (k -1)2 + (3k -1)2 < 4，解得- < k <1 .
5
故選：B
4-3．（2024
2
高二上·重慶石柱·階段練習）若點 P m,0 在圓 x -1 + y2 = 4內(nèi)，則實數(shù)m 的取值范圍
為 .
【答案】 -1,3
2
【分析】根據(jù)點在圓內(nèi)可得不等式 x -1 < 4，求解即可.
【詳解】解：由題意得
Q點 P m,0 在圓 x -1 2 + y2 = 4內(nèi)
\ ，解得-1 < m < 3
所以實數(shù)m 的取值范圍為 -1,3
故答案為： -1,3
4-4．（2024 高二上·重慶）點P(1，3)與圓 x2 + y2 = 24的位置關系是（ ）
A．在圓外 B．在圓內(nèi) C．在圓上 D．不確定
【答案】B
【分析】計算 P 到圓心的距離和半徑作比較即可.
【詳解】圓 x2 + y2 = 24的圓心為O 0,0 ，半徑 r = 2 6 ， PO = 1+ 9 = 10 < r ，
故點 P 在圓內(nèi).
故選：B
4-5．（2024 高二下·上海浦東新·階段練習）若點 1,1 在圓 x2 + y2 + x + ay +1 = 0外，則實數(shù) a 的取值范圍
是 .
【答案】 -4, - 3 U 3, +
【分析】由題意可得關于 a的不等式，求解得答案．
【詳解】Q點 (1,1) 在圓 x2 + y2 + x + ay +1 = 0外，
\12 + a2 - 4 1 > 0，且12 +12 +1+ a +1 > 0，
解得-4 < a < - 3 或 a > 3．
\實數(shù) a的取值范圍為 -4, - 3 U 3, + ．
故答案為： -4, - 3 U 3, + .
（三）
圓的一般方程的辨析
圓的一般方程：當 D2＋E2－4F>0 時，二元二次方程 x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0 稱為圓的一般方
程．
圓的一般方程的辨析:
(1)由圓的一般方程的定義，若 D2＋E2－4F>0 成立，則表示圓，否則不是圓．
(2)將方程配方后，根據(jù)圓的標準方程的特征求解．
題型 5：圓的一般方程的辨析
5-1．（2024 高一上·陜西寶雞·期末）若方程 x2 + y2 - x + y + 2m = 0 表示圓，則m 的取值范圍為（ ）
1
A． (- , ) B． (- ,0)
4
1
C． (- , ) D． (- ,-1)
2
【答案】A
【分析】根據(jù)圓的一般式滿足的條件即可代入列不等式求解.
【詳解】由題意可得D = -1, E =1, F = 2m,故D2 + E2 - 4F =1+1-8m > 0，
m 1解得 < ，
4
故選：A
5-2．（2024 高二上·黑龍江雙鴨山·期中）方程 x2＋y2＋4x－2y＋5m＝0 表示圓的條件是（ ）
A．m<1 B．m>1
1 1
C．m< D < <14 ． 4 m
【答案】A
【分析】
根據(jù)二元二次曲線表示圓，化標準形式即可求解.
【詳解】
方程 x2＋y2＋4x－2y＋5m＝0，標準形式 (x + 2)2 + (y -1)2 = 5 - 5m ，
表示圓的條件是5 - 5m > 0，解得m <1．
故選：A
5-3．（2024 高二上·江蘇鹽城·期末）方程 x2 + y2 + 2y + m = 0表示一個圓，則m 的取值范圍是（ ）
A． 1, + B． - ,1
C． 1, + D． - ,1
【答案】B
【分析】運用配方法，結合圓的標準方程的特征進行求解即可.
2
【詳解】由 x2 + y2 + 2y + m = 0，得 x2 + y +1 =1- m > 0，
解得m <1.
故選：B
（四）
求圓的一般方程
求圓的方程的策略
(1)幾何法：由已知條件通過幾何關系求得圓心坐標、半徑，得到圓的方程；
(2)待定系數(shù)法：選擇圓的一般方程或標準方程，根據(jù)條件列關于 a，b，r 或 D，E，F(xiàn) 的方程
組解出系數(shù)得到方程．
題型 6：求圓的一般方程
6-1．（2024 高一下·湖南株洲·期末）圓 x2 + y2 - 2x + 4y - 4 = 0的圓心坐標是（ ）
A． -2,4 B． 2, -4
C． -1,2 D． 1, -2
【答案】D
【分析】將圓的方向化為標準式，即可得到圓心坐標.
2 2
【詳解】圓 x2 + y2 - 2x + 4y - 4 = 0，即 x -1 + y + 2 = 9 ，
所以圓心為 1, -2 .
故選：D
6-2．（2024 高二上·全國·課后作業(yè)）過直線2x - y +1 = 0和圓 x2 + y2 - 2x -15 = 0的交點且過原點的圓的方程
是 ．
【答案】 x2 + y2 + 28x -15y = 0
【分析】
先將所求圓的方程設為 x2 + y2 - 2x -15 + l(2x - y +1) = 0，再根據(jù)所求圓過原點，將 0,0 代入方程解出l ，即
可得到圓的方程.
【詳解】設所求圓的方程為 x2 + y2 - 2x -15 + l(2x - y +1) = 0，
因為過直線2x - y +1 = 0和圓 x2 + y2 - 2x -15 = 0的交點的圓過原點，
所以可得 -15 + l = 0，解得l =15，
將l =15代入所設方程并化簡可得所求圓的方程為： x2 + y2 + 28x -15y = 0．
故答案為： x2 + y2 + 28x -15y = 0 .
6-3．（24-25 高二上·上海·課堂例題）已知VABC 的三個頂點 A 1, -2 ，B 0,5 ，C -3, -4 ．那么三角形外
接圓的方程是 ．
【答案】 x2 + y2 + 6x - 2 y -15 = 0
【分析】設VABC 的外接圓方程為 x2 + y2 + Dx + Ey + F = 0，然后將三個點的坐標代入求解即可.
【詳解】設VABC 的外接圓方程為 x2 + y2 + Dx + Ey + F = 0，則
ì1+ 4 + D - 2E + F = 0 ìD = 6

í25 + 5E + F = 0

，解得 íE = -2 ，

9 +16 - 3D - 4E + F = 0 F = -15
所以三角形外接圓的方程為 x2 + y2 + 6x - 2 y -15 = 0 .
故答案為： x2 + y2 + 6x - 2 y -15 = 0
6-4．（24-25 高二上·全國·單元測試）已知圓的內(nèi)接正方形的一條對角線上的兩個頂點的坐標分別是 5,6 ，
3, -4 ，則這個圓的方程為（ ）
A． x2 + y2 + 4x - 2y - 7 = 0 B． x2 + y2 -8x - 2y - 9 = 0
C． x2 + y2 + 8x + 2y - 6 = 0 D． x2 + y2 - 4x + 2y - 5 = 0
【答案】B
【分析】依題意可得 5,6 ， 3, -4 兩點的中點坐標即為圓心，兩點間的距離即為圓的直徑，從而求出圓的
標準方程，再化為一般式方程.
【詳解】由題意可知該圓的圓心為 4,1 ，圓的直徑為 (5 - 3)2 + (6 + 4)2 = 2 26 ，則半徑為 26 ，
所以圓的方程為 (x - 4)2 + (y -1)2 = 26，即 x2 + y2 -8x - 2y - 9 = 0 .
故選：B．
6-5．（2024 高二上·河北滄州·期末）在△OAB 中，O 是坐標原點， A -2,2 ，B 1,3 ．
(1)求 AB 邊上的高所在直線的方程；
(2)求△OAB 的外接圓方程
【答案】(1)3x + y = 0
(2) x2 + y2
1 x 7+ - y = 0
2 2
【分析】（1）先求出 AB 邊上的高線的斜率，再利用點斜式求出 AB 邊上的高所在直線的方程；
（2）設△OAB的外接圓的方程為 x2 + y2 + Dx + Ey + F = 0（D2 + E2 - 4F > 0），則把O, A, B的坐標代入求
得D, E, F 的值，可得圓的方程．
1
【詳解】（1）∵直線 AB 的斜率 kAB = ，3
∴AB 邊上的高所在直線的斜率 k = -3，
又 AB 邊上的高所在直線過原點 O，
∴AB 邊上的高所在直線的方程為3x + y = 0．
（2）設△OAB的外接圓的方程為 x2 + y2 + Dx + Ey + F = 0（D2 + E2 - 4F > 0），
ì 1
D =
ì8 - 2D + 2E + F = 0 2
7
則 í10 + D + 3E + F = 0 ，解得 íE = - ，
F = 0
2
F = 0

1 7
∴ OAB 2 2△ 的外接圓方程為 x + y + x - y = 0．
2 2
題型 7：圓過定點問題
7-1 2024 · · C：x2 2 2．（ 高二上 安徽 階段練習）若圓 + y - m - 2 x + m - 2 y + m - 3m + 2 = 0過坐標原點，則實
數(shù) m 的值為（ ）
A．1 B．2 C．2 或 1 D．－2 或－1
【答案】A
【分析】把坐標 (0,0)代入圓方程求解．注意檢驗，方程表示圓．
【詳解】將 0,0 代入圓方程，得m2 - 3m + 2 = 0，解得m =1或 2，當m = 2 時， x2 + y2 = 0 ，舍去，所以
m =1.
故選：A．
7-2．（2024 高二下·上海徐匯·期中）對任意實數(shù)m ，圓 x2 + y2 - 3mx - 6my + 9m - 2 = 0 恒過定點，則定點坐標
為 ．
1,1 1 , 7 【答案】 或
è 5 5 ÷
ìx2 + y2 - 2 = 0
【分析】由已知得 x2 + y2 - 2 - (3x + 6y - 9)m = 0 ，從而 í ，由此能求出定點的坐標．
3x + 6y - 9 = 0
【詳解】解： x2 + y2 - 3mx - 6my + 9m - 2 = 0 ，即 x2 + y2 - 2 - (3x + 6y - 9)m = 0 ，
ìx2 + y2 - 2 = 0
令 í ，解得 x =1， y =1 x
1 7
，或 = ， y = ，
3x + 6y - 9 = 0 5 5
1 7
所以定點的坐標是 1,1 或 , ÷ ．
è 5 5
故答案為： 1,1 1 , 7 或 ÷ .
è 5 5
7-3．（2024 高二上·江西吉安·期中）已知方程 x2 + y2 + 2mx - 2my - 2 = 0表示的曲線恒過第三象限內(nèi)的一個定
點A ，若點A 又在直線 l：mx + ny +1 = 0上，則 2m + 2n =
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
2 2 2 2 ìx
2 + y2 - 2 = 0
【分析】把方程 x + y + 2mx - 2my - 2 = 0化為 x + y - 2 + 2m x - y = 0，解方程組 í ，即得定
x - y = 0
點A 的坐標.把點A 的坐標代入直線 l的方程，即得答案.
【詳解】方程 x2 + y2 + 2mx - 2my - 2 = 0 x2 + y2可化為 - 2 + 2m x - y = 0 .
ìx2 + y2 - 2 = 0
Q ì
x =1 ìx = -1
曲線恒過定點A ，\ í ，解得 í .
x - y = 0 y =1
或 í
y = -1
Q點A 在第三象限，\ A -1,-1 ，代入直線 l的方程mx + ny +1 = 0，
可得m + n =1,\2m + 2n = 2 .
故選： B .
【點睛】本題主要考查曲線過定點，屬于中檔題.
7-4．（2024 高二上·浙江溫州·期中）點P x, y 是直線 2x + y - 5 = 0上任意一點，O是坐標原點，則以OP 為
直徑的圓經(jīng)過定點（ ）
A． 0,0 和 1,1 B． 0,0 和 2,2 C． 0,0 和 1,2 D． 0,0 和 2,1
【答案】D
【分析】設點P t,5 - 2t ，求出以OP 為直徑的圓的方程，并將圓的方程變形，可求得定點坐標.
【詳解】設點P t,5 2t M t , 5 - 2t- ，則線段OP 的中點為 ÷，
è 2 2
t 2M + 5 - 2t
2 2
圓 的半徑為 OM 5t - 20t + 25= = ，
4 2
2
OP t 5 - 2t
2
5t 2 - 20t + 25
所以，以 為直徑為圓的方程為 x - ÷ + y - ÷ = ，
è 2 è 2 4
即 x2 + y2 - tx + 2t - 5 y = 0 2，即 x + y2 - 5y + t 2y - x = 0 ，
ì2y - x = 0 ìx = 0 ìx = 2
由 í
x
2 + y2 - 5y = 0，解得 í 或 í ， y = 0 y =1
因此，以OP 為直徑的圓經(jīng)過定點坐標為 0,0 、 2,1 .
故選：D.
（五）
圓上的點到定點的最大、最小距離
設 A的方程 (x - a)2 + (y - b)2 = r 2 ，圓心 A(a,b) ，點 M 是 A上的動點，點 P 為平面內(nèi)一點；記
d =| PA |;
①若點 P 在 A外，則 | PM |max = d + r ; | PM |min = d - r
②若點 P 在 A上，則 | PM |max = 2r ; | PM |min = 0
③若點 P 在 A內(nèi)，則 | PM |max = d + r ; | PM |min = r - d
題型 8：與圓有關的最值問題
8-1．（2024·甘肅酒泉·三模）點M 在圓C : x2 + (y -1)2 = 4 上，點 N 2 3,3 ，則 MN 的最大值為（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】D
【分析】可判斷 N 在圓外，則 | MN |max = NC + r ，計算即可．
【詳解】圓C : x2 + (y -1)2 = 4 的圓心C(0,1)，半徑為 r = 2，
由于 NC = (2 3)2 + (3 -1)2 = 4 > 2,\ N 在圓外，
\| MN |max = NC + r = 4 + 2 = 6．
故選：D.
8-2．（2024 高一下·廣西·階段練習）若復數(shù) z 滿足 z - 2 - 5i = 2，則 z +1- i 的最大值為（ ）
A．5 + 2 B．5 + 2 2 C．7 D． 41
【答案】C
【分析】由 z - 2 - 5i = 2知，復數(shù) z 對應的點的軌跡為圓，而 z +1- i 的幾何意義為圓上的點與 (-1,1)的距離，
再結合兩點距離公式求解即可.
【詳解】復數(shù) z 滿足 z - 2 - 5i = 2，所以復數(shù) z 對應的點的軌跡是以 2,5 為圓心，2 為半徑的圓，
z +1- i 的幾何意義為圓上的點與 (-1,1)的距離，
2 2
所以 z +1- i 的最大值為 2 + -1- 2 + 1- 5 = 7 ．
故選：C.
8-3．（2024 高二上·四川巴中·期末）已知圓 C 過點 A -2,0 , B 2，4 ，當圓 C 到原點 O 的距離最小時，圓 C
的標準方程為 ．
2 2
【答案】 x -1 + y -1 =10
【分析】根據(jù)圓的幾何性質(zhì)可知圓 C 到原點 O 的距離最小時，則OC / /AB ，進而聯(lián)立直線方程可得圓心坐
標，即可求解.
4 - 0
【詳解】由 A -2,0 , B 2，4 可得線段 AB 中點坐標為 0，2 ，又 kAB = =12 - -2 ，
所以 AB 垂直平分線的方程為 y = -x + 2，所以圓心 C 在線段 AB 垂直平分線上，
當圓 C 到原點 O 的距離最小時，則OC / /AB ,所以直線OC 方程為 y = x ，
ìy = x ìx =1
聯(lián)立 í y x 2 íy 1，所以圓心
C 1,1 ,
= - + =
又半徑 r 2 = AC 2 = -2 -1 2 + 0 -1 2 =10 ,故圓的方程為： x -1 2 + y -1 2 =10
2 2
故答案為： x -1 + y -1 =10
8-4．（2024·
2
廣東佛山·模擬預測）已知圓 C： x -1 + y2 = 4，過點 A 0,1 的兩條直線 l1， l2互相垂直，圓心
C 到直線 l1， l2的距離分別為 d1 ， d2 ，則 d1d2的最大值為（ ）
A 2． B．1 C．
2 2 D．4
【答案】B
2 2
【分析】由四邊形 AECF 是矩形，應用勾股定理可求 d1 + d2 = 2，再利用基本不等式可得答案.
【詳解】過圓心 C 分別作直線 l1， l2的垂線，垂足分別為E ，F(xiàn) ．
Q l1， l2互相垂直，所以四邊形 AECF 為矩形．
由圓 C： x -1 2 + y2 = 4，可得C 1,0 ，又 A 0,1 ，
\d 2 21 + d2 =| CE |
2 + | CF |2 =| AC |2 = 2 2d1d2 ，
所以 d1d2 1，當且僅當 d1 = d2 =1時取等號，即 d1d2的最大值為 1，
故選：B.
（六）
求動點的軌跡方程
1、求動點的軌跡方程常用方法“四步一回頭”：
四步：（1）建立適當坐標系，設出動點 M 的坐標(x,y).
（2）寫出適合條件的點 M 的集合 P=P{M|P(M)}.
（3）將 P(M)“翻譯”成代數(shù)方程 f(x,y)=0.
（4）化簡代數(shù)方程 f(x,y)=0 為最簡形式.
一回頭：回頭看化簡方程的過程是否為同解變形，驗證求得的方程是否為所要求的方程.
2、求與圓有關的軌跡問題的方程
(1)直接法：直接根據(jù)題目提供的條件列出方程．
(2)定義法：根據(jù)圓、直線等定義列方程．
(3)代入法：找到要求點與已知點的關系，代入已知點滿足的關系式等．
題型 9：求動點的軌跡方程
9-1．（2024 高二上·山東青島·期中）已知圓心為 C 的圓經(jīng)過 A 1,1 ，B 2, -2 兩點，且圓心 C 在直線
l : x - y +1 = 0上.
(1)求圓 C 的標準方程；
(2)設 P 為圓 C 上的一個動點，O 為坐標原點，求 OP 的中點 M 的軌跡方程.
【答案】(1) (x + 3)2 + ( y + 2)2 = 25；
(2) x 3
2
2 25
+ 2 ÷
+ (y +1) = .
è 4
【分析】（1）設圓心 C 的坐標為 a,b ，可得 a - b +1 = 0 ，結合條件可得 a - 3b - 3 = 0，進而求得圓心的坐標，
半徑，即得；
（2）設M x, y ，P x0 , y0 ，進而可得P 2x, 2y ，然后代入圓C 的方程，化簡求得M 點的軌跡方程.
【詳解】（1）設圓心 C 的坐標為 a,b ，半徑為 r，
∵圓心 C 在直線 l : x - y +1 = 0上，
∴ a - b +1 = 0 ，
∵圓 C 經(jīng)過 A 1,1 ，B 2, -2 兩點，
∴ CA = CB ，
即 (a -1)2 + (b -1)2 = (a - 2)2 + (b + 2)2 ，
化簡得： a - 3b - 3 = 0，又 a - b +1 = 0 ，
所以 a = -3，b = -2，
∴圓心 C 的坐標為 -3, -2 ， r = AC = (1+ 3)2 + (1+ 2)2 = 5，
所以圓 C 的標準方程為： (x + 3)2 + ( y + 2)2 = 25；
（2）設M x, y ，P x0 , y0 ，
∵M 為 OP 的中點，
ì x x0 + 0

=
2 ì x∴ 0
= 2x
í
y y0 + 0
í
y0 = 2y
，
=
2
∴ P 2x, 2y ，
∵P 在圓 C 上，
2
∴ (2x + 3)2 + (2y + 2)2 = 25 x 3 (y 1)2 25，即 + 2 ÷
+ + = ，
è 4
2
∴OP 3 25的中點 M 的軌跡方程為 2 x + ÷ + (y +1) = .
è 2 4
9-2．（2024 高二上·山東日照·階段練習）已知圓 C 經(jīng)過點 A 3,1 ，B -1,3 且圓心 C 在直線3x - y - 2 = 0上.
(1)求圓 C 方程；
(2)若 E 點為圓 C 上任意一點，且點F 4,0 ，求線段 EF 的中點 M 的軌跡方程.
【答案】(1) x - 2 2 + y - 4 2 =10；
x - 3 2 + y - 2 2 5(2) = ．
2
【分析】（1）利用待定系數(shù)法即得；
（2）根據(jù)相關點法，設出點 M 的坐標，利用中點公式結合圓的方程即得.
【詳解】（1）由題可設圓 C 2的標準方程為 x - a + y - b 2 = r2 ，則
ì 3- a 2 + 1- b 2 = r2

í -1- a 2 + 3 - b 2 = r2 ，

3a - b - 2 = 0
解之得 a = 2, b = 4, r2 = 10，
所以圓 C 2的標準方程為 x - 2 + y - 4 2 =10；
ìx x= 1 + 4
（2）設 M（x，y），E x1, y1 ，由F 4,0 及 M 為線段 EF 2的中點得 í y ， y 1 + 0=
2
ìx1 = 2x - 4
解得 í ,
y1 = 2y
又點 E 在圓 C： (x - 2)2 + (y - 4)2 =10上，
2
所以有 2x - 4 - 2 + 2y - 4 2 =10 ，
x - 3 2 2 5化簡得： + y - 2 = ,
2
故所求的軌跡方程為 x - 3 2 + y - 2 2 5= ．
2
9-3．（2024 2 2高二上·江西宜春·階段練習）已知方程 x + y + 2kx + 4k +10 y + 6k 2 + 21k +19 = 0表示圓，其圓
心為C .
(1)求圓心坐標以及該圓半徑 r 的取值范圍；
(2)若 k = -2 ，線段 AB 的端點A 的坐標為 0,4 ，端點 B 在圓C 上運動，求線段 AB 中點M 的軌跡方程.
-k, 2k 5- - 5 , 0, ù【答案】(1)
è 2 ú
2
(2) (x -1)2 + 3 y -

÷ =1
è 2
【分析】
（1）利用配方法，整理圓的一般方程為標準方程，根據(jù)標準方程的成立條件，可得答案；
（2）設出動點坐標，利用中點坐標公式，表示點 B 的坐標，代入圓方程，可得答案.
【詳解】（1）方程 x2 + y2 + 2kx + 4k +10 y + 6k 2 + 21k +19 = 0可變?yōu)椋?(x + k)2 + (y + 2k + 5)2 = -k 2 - k + 6 由
方程表示圓，
所以-k 2 - k + 6 > 0，即得-3 < k < 2，
r k 2 1
2 25 5
\ = - - k + 6 = - k +

÷ +

0,
ù
è 2 4 è 2 ú
.圓心坐標為 -k, -2k - 5 .

（2）當 k = -2 時，圓C 方程為： (x - 2)2 + (y +1)2 = 4，
設M x, y ，又M 為線段 AB 的中點，A 的坐標為 0,4 則B 2x, 2y - 4 ，
由端點 B 在圓C 上運動，
2
\(2x - 2)2 + (2y - 3)2 = 4即 (x -1)2 3+ y -

÷ =1
è 2
2
\線段 AB M (x 1)2 y 3中點 的軌跡方程為 - + -

÷ =1.
è 2
9-4．（2024 高二上·河南濮陽·階段練習）已知圓 C 過三個點M (1,0), N (3, 2), R(5,0)．
(1)求圓 C 的方程：
(2)已知 O 為坐標原點，點 A 在圓 C 上運動，求線段OA的中點 P 的軌跡方程．
【答案】(1) (x - 3)2 + y2 = 4
2
(2) 3 2 x - ÷ + y = 1
è 2
【分析】（1）設圓C 的方程為 x2 + y2 + Dx + Ey + F = 0(D2 + E2 - 4F > 0)，將三個點M (1,0), N (3, 2), R(5,0)代
入求解；
（2）設動點 P 的坐標為 x, y ， A 的坐標是 x1, y1 ，由 P 為線段 OA 的中點，得到 x1 = 2x，y1 = 2y ，代
入圓 (x - 3)2 + y2 = 4上的點求解.
【詳解】（1）解：設圓C 的方程為 x2 + y2 + Dx + Ey + F = 0(D2 + E2 - 4F > 0)，
因為圓C 過三個點M (1,0), N (3, 2), R(5,0)，
ì1+ D + F = 0

所以 í9 + 4 + 3D + 2E + F = 0 ，解得D = -6, E = 0, F = 5，

25 + 5D + F = 0
所以圓C 的方程為 x2 + y2 - 6x + 5 = 0，即 (x - 3)2 + y2 = 4．
（2）設動點 P 的坐標為 x, y ， A 的坐標是 x1, y1 ．
x y
由于 P 為線段 OA 的中點，所以 x = 1 ， y = 1 ，
2 2
所以有 x1 = 2x，y1 = 2y ①
A 是圓 (x - 3)2 + y2 = 4上的點，
所以 A 坐標 x1, y x - 3 21 滿足： + y21 1 = 4 ②
2
將① ② x 3 代入 整理，得 - + y
2 = 1，
è 2 ÷
3 2
所以 P 的軌跡是以 ,0

÷ 為圓心，以 1
3
2 為半徑的圓，方程為 x - ÷ + y
2 =1．
è è 2
一、單選題
1．（2024 高二上·吉林長春·期中）已知點（1，1）在圓（x﹣a）2+（y+a）2＝4 的內(nèi)部，則實數(shù) a 的取值范
圍是（ ）
A．（﹣1，1） B．（0，1）
C．（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞） D．{1，﹣1}
【答案】A
【分析】直接利用兩點間的距離與圓的半徑的關系的應用求出結果.
【詳解】由于（1，1）在圓（x﹣a）2+（y+a）2＝4 的內(nèi)部，
所以點（1，1）到圓心（a，﹣a）的距離 d＜2，
即： (1- a)2 + (1+ a)2 < 2 ，整理得：﹣1＜a＜1.
故選：A.
【點睛】本題考查了根據(jù)點和圓的位置關系求參數(shù)，意在考查學生的計算能力.
2．（2024 高一下·黑龍江黑河·課后作業(yè)）圓 (x +1)2 + (y - 2)2 = 4的圓心、半徑是（　　）
A． 1, -2 ，4 B． 1, -2 ，2 C． -1,2 ，4 D． -1,2 ，2
【答案】D
【分析】利用圓的標準方程的性質(zhì)求解．
【詳解】圓 (x +1)2 + (y - 2)2 = 4的圓心為 (-1,2),半徑 r = 2.
故選：D
3．（2024·
2
北京海淀·三模）若直線 2x + y -1 = 0是圓 x2 + y + a = 1的一條對稱軸，則 a =（ ）
1 1
A．-1 B．1 C． D．-
2 2
【答案】A
【分析】首先得到圓心坐標，即可得到圓心在直線上，從而求出參數(shù)的值.
2
【詳解】圓 x2 + y + a = 1的圓心為 0, -a ，因為直線 2x + y -1 = 0是圓的一條對稱軸，
所以圓心 0, -a 在直線 2x + y -1 = 0上，所以 2 0 + -a -1 = 0，解得 a = -1 .
故選：A
4．（2024 高二下·上海徐匯·期中）已知一個圓的方程滿足：圓心在點 -3,4 ，且過原點，則它的方程為
（ ）
A． x - 3 2 + y - 4 2 = 5 B． x + 3 2 + y + 4 2 = 25
C． x + 3 2 + y - 4 2 = 5 D． x + 3 2 + y - 4 2 = 25
【答案】D
【分析】利用條件求出半徑，再根據(jù)圓的標準方程求解.
【詳解】設圓的半徑為 r ，因為圓心是C -3,4 ，且過點 (0,0)，所以 r = 9 +16 = 5，所以半圓的方程為
x + 3 2 + (y - 4)2 = 25，
故選：D.
5．（2024 2 2 2 2高二·全國·課后作業(yè)）如果圓 x + y + Dx + Ey + F = 0 D + E - 4F > 0 關于直線 y = x 對稱，則有
（ ）
A．D + E = 0 B．D = E
C．D = F D．E = F
【答案】B
【分析】圓心在直線 y = x 上，代入計算得到答案.
E D
【詳解】由圓的對稱性知，圓心在直線 y = x 上，故有- = - ，即D = E .
2 2
故選：B
6．（2024 高二上·安徽·階段練習）已知圓C : x2 + y2 + 4x - 6 = 0，則過點P -1, -2 的直線 l 與圓 C 交于 A，B
兩點，則 AB 的最小值是（ ）．
A．2 B．4 C． 2 5 D． 2 10
【答案】C
【分析】先求得圓的圓心和半徑，再根據(jù)直線 l 與直線 CP 垂直時，所截得弦長 AB 最短求解．
【詳解】因為P -1, -2 ，圓C : x2 + y2 + 4x - 6 = 0的標準方程為 x + 2 2 + y2 =10，
所以半徑 r = 10 ，圓心C -2,0 ，
當直線 l 與直線 CP 垂直時，所截得弦長 AB 最短．此時 CP = 5，
2
所以 AB = 2 r 2 - CP = 2 5 ．
min
故選：C．
7．（2024 高二上·山東濰坊·期中）在圓的方程的探究中，有四位同學分別給出了一個結論，甲：該圓的半徑
為 5 ；乙：該圓經(jīng)過點 3,3 ；丙：該圓的圓心為 2,1 ；丁：該圓經(jīng)過點 7,0 ．如果只有一位同學的結論
是錯誤的，那么這位同學是（ ）
A．甲 B．乙 C．丙 D．丁
【答案】D
【分析】通過假設的方法判斷出錯誤的同學.
【詳解】設 A 3,3 , B 2,1, ,C 7,0 .
假設甲錯誤，乙丙丁正確，
AB = 1+ 22 = 5, BC = 52 +1 = 26 ，
AB BC ，矛盾，所以甲正確.
假設乙錯誤，甲丙丁正確，
x - 2 2由甲、丙正確可知圓的方程為 + y -1 2 = 5，
C 7,0 不滿足上式，矛盾，所以乙正確.
假設丙錯誤，甲乙丁正確.
由乙丁得 AC = 42 + 32 = 5 > 2 5 ，與半徑為 5 矛盾，所以丙正確.
假設丁錯誤，甲乙丙正確，
2 2
則由甲丙可知圓的方程為 x - 2 + y -1 = 5，
A 3,3 滿足上式，符合題意.
綜上所述，結論錯誤的同學是丁.
故選：D
8．（2024 高二上·江蘇揚州·階段練習）已知點P 1,2 為圓 x2 + y2 + x - 4y + m = 0 外一點，則實數(shù)m 的取值范
圍為（　　）
A． 2, 17 17 17+ B． - ,

÷ C． 2,
ù
4 ú
D． 2,4 4 ÷è è è
【答案】D
【分析】結合點在圓外條件，及 x2 + y2 + x - 4y + m = 0 表示圓的方程可得答案.
【詳解】因P 1,2 在圓外，則12 + 22 + 1 - 8 + m > 0 ，得m > 2 .
又 x2 + y2 + x 4y
2 17
- + m = 0 表示圓，則12 + -4 - 4m > 0 ，得m < .4
17
綜上： 2 < m < .
4
故選：D
9．（2024
2 2
高二上·河北保定·期末）圓 x + 2 + y -12 = 4關于直線 x - y + 4 = 0對稱的圓的方程為（ ）
A． x + 6 2 + y + 4 2 = 4 B． x + 8 2 + y + 2 2 = 4
C． x -8 2 + y - 2 2 = 4 D x - 6 2． + y - 4 2 = 4
【答案】C
【分析】求圓心關于直線對稱得到的圓心，列方程組可求解，從而可確定對稱圓的方程.
【詳解】設圓 x + 2 2 + y -12 2 = 4的圓心 (-2,12)
關于直線 x - y + 4 = 0對稱的點為 (a , b ) ，
ìb -12
= -1 a + 2 ìa + b =10 ìa = 8
則有 ía 2 b 12 整理得 í 解得 í ， - +- + 4 = 0 a - b = 6 b = 2
2 2
因為關于直線對稱的兩個圓半徑相等，所以所求圓的半徑為 2，
2
所以所求圓方程為 x -8 + y - 2 2 = 4，
故選:C.
10．（2024 高二下·河南洛陽·階段練習）已知點 P 在圓 x2 - 2 3x + y2 - 2y = 0 上，則點 P 到 x 軸的距離的
最大值為（ ）
A．2 B．3 C． 3 D． 3 + 2
【答案】B
【分析】先根據(jù)圓的一般方程求出圓心半徑，再結合問題計算即可.
【詳解】圓 x2 2 2- 2 3x + y - 2y = 0 ,即圓 x - 3 + y -1 2 = 4，
圓心為 3,1 ，半徑 r = 2，得點 P 到 x 軸的距離的最大值為 d = r +1 = 2 +1 = 3 .
故選：B.
11．（2024 高二下·山東青島·期中）圓 x2 + y2 - 4x - 4y -10 = 0上的點到直線 x + y + 6 = 0的最大距離是（ ）
A． 2 2 B．4 2 C．8 2 D．16 2
【答案】C
【分析】將圓的一般方程化為標準方程得圓心及半徑，圓上點到直線的最大距離為圓心到直線的距離加半
徑.
【詳解】圓 x2 + y2 - 4x - 4y -10 = 0 x - 2 2 + y - 2 2化為標準方程得 =18，
2 + 2 + 6
圓心坐標為 2,2 ，半徑為3 2，圓心到直線 x + y + 6 = 0的距離為 = 5 2
2
所以圓上的點到直線 x + y + 6 = 0的最大距離為5 2 + 3 2 = 8 2 .
故選:C.
12．（2024 高二上·廣東揭陽·階段練習）若點P 1,1 為圓 x2 + y2 - 6x = 0 的弦 MN 的中點，則弦 MN 所在直線
的方程為（ ）
A．2x + y - 3 = 0 B． x - 2y +1 = 0 C． x + 2y - 3 = 0 D．2x - y -1 = 0
【答案】D
【分析】圓的方程化為標準方程，得到圓心A 坐標，由 AP ^ MN ，可求得弦 MN 所在直線的斜率，點斜式
求方程.
2
【詳解】圓的標準方程為 x - 3 + y2 = 9，圓心 A 3,0 ．因為點P 1,1 為弦 MN 的中點，所以 AP ^ MN ，
k 1- 0 1又 AP 的斜率 = = - ，所以直線 MN 的斜率為 2，弦 MN 所在直線的方程為 y -1 = 2 x -1 ，即
1- 3 2
2x - y -1 = 0 .
故選：D
13．（2024 2高二上·全國·課后作業(yè)）若圓 x2 + y2 - 2x - 4y = 0的圓心到直線 x - y + a = 0的距離為 ，則實數(shù)
2
a 的值為（ ）
A．0 或 2 B．0 或-2
1
C．0 或 D．-2 或 2
2
【答案】A
【分析】將圓的方程化為標準方程得出圓心C 1,2 ，進而表示出圓心到直線的距離，結合已知條件，列出
關系式，求解即可得出答案.
2 2
【詳解】將圓的方程化為標準方程為： x -1 + y - 2 = 5，
所以，圓心為C 1,2 ，半徑 r = 5 .
2
因為圓心C 1,2 到直線的距離為 ，
2
1- 2 + a 2
所以， = ，即 a -1 =1，
2 2
所以 a -1 = ±1，所以 a = 0或 a = 2 .
故選：A.
14．（2024 高二上·浙江寧波·期中）過三點 A 4, -2 , B 1, -1 ,C 1,4 的圓的一般方程為（ ）
A． x2 + y2 + 7x - 3y + 2 = 0 B． x2 + y2 + 7x + 3y + 2 = 0
C． x2 + y2 - 7x + 3y + 2 = 0 D． x2 + y2 - 7x - 3y + 2 = 0
【答案】D
【分析】設出圓的一般方程，代入點坐標，計算得到答案.
【詳解】設圓的方程為 x2 + y2 + Dx + Ey + F = 0，將 A，B，C 三點的坐標代入方程，
ì D - E + F = -2 ìD = -7

整理可得 íD + 4E + F = -17

，解得 íE = -3，

4D - 2E + F = -20 F = 2
故所求的圓的一般方程為 x2 + y2 - 7x - 3y + 2 = 0，
故選：D．
15．（2024 高二下·云南·階段練習）已知直線 x + 3 y = 1經(jīng)過圓 (x - m)2 + (y - n)2 =1的圓心，其中mn > 0，則
3 1
+ 的最小值為（
m n ）
A．7 B．8 C．9 D．12
【答案】D
【分析】根據(jù)基本不等式，結合圓的標準方程進行求解即可.
【詳解】因為直線 x + 3 y = 1經(jīng)過圓 (x - m)2 + (y - n)2 =1的圓心 m, n ，
故m + 3n = 1，
3 1 3 1 9n m 9n m
所以 + = m + 3n +

m n m n ÷
= 6 + + 6 + 2 × =12 ，
è m n m n
9n m 1
當且僅當 = ，即m = 3n = 時，等號成立.
m n 2
故選：D
16．（2024 2高三上·廣東惠州·階段練習）已知圓 x +1 + y + 2 2 = 4關于直線 ax + by +1 = 0（ a > 0， b > 0）
1 2
對稱，則 + 的最小值為（ ）
a b
5
A． B．9 C．4 D．8
2
【答案】B
【分析】由題可得 a + 2b =1 a > 0,b > 0 ，然后利用基本不等式即得.
【詳解】圓 x +1 2 + y + 2 2 = 4的圓心為 -1, -2 ，依題意，點 -1, -2 在直線 ax + by +1 = 0上，
因此-a - 2b +1 = 0，即 a + 2b =1 a > 0,b > 0 ，
∴ 1 2 1 2 2b 2a+ = + ÷ a + 2b = 5 + + 5 2
2b 2a
+ × = 9，
a b è a b a b a b
2b 2a 1
當且僅當 = ，即 a = b = 時取“=”，
a b 3
1 2
所以 + 的最小值為 9.
a b
故選：B.
17．（2024 高二上·河南許昌·階段練習）方程 x2 + y2 - ax + 2ay + 2a +1 = 0表示圓，則實數(shù) a 的可能取值為
（ ）
A．1 B．2 C．0 D．-2
【答案】D
【分析】先把 x2 + y2 - ax + 2ay + 2a +1 = 0整理成圓的標準形式，滿足右邊關于 a的表達式大于零.
2 2
【詳解】由 x2 + y2 - ax + 2ay + 2a +1 = 0 a 5a，可得 x - ÷ + y + a
2 = - 2a -1，
è 2 4
5a2
所以 - 2a -1 > 0，
4
a 2解得 < - 或 a > 2，
5
選項中只有-2符合題意.
故選：D.
18．（2024 高二上·安徽合肥·期中）已知方程 x2 + y2 - 2x + 2 + k = 0表示圓，則 k 的取值范圍是（ ）
1
A． - , -1 3,+ B． - , -

3 ֏
C． - , 3-1 D． - , +

2 ֏
【答案】C
【分析】直接根據(jù)圓一般方程的判斷條件D2 + E2 - 4F > 0，解不等式即可得參數(shù) k 的取值范圍.
【詳解】因為 x2 + y2 - 2x + 2 + k = 0表示圓，
2
所以 D2 + E2 - 4F = -2 - 4 2 + k > 0，解得 k < -1，
得 k 的取值范圍是 - ,-1 .
故選：C
19．（2024 高一下·重慶沙坪壩·期末）在平面直角坐標系 xOy 中，已知P1 0,2 、P2 4,4 兩點，若圓M 以P1P2
為直徑，則圓M 的標準方程為（ ）
A． x - 2 2 + y - 3 2 = 5 B． x - 2 2 + y - 3 2 = 5
C 2 2． x -1 + y - 4 = 5 D． x -1 2 + y - 4 2 = 5
【答案】A
【分析】求出圓心M 坐標以及圓M 的半徑，即可得出圓M 的標準方程.
0 + 4 2 + 4
【詳解】由題意可知，圓心M 的橫坐標為 = 2 ，縱坐標為 = 3，即點M 2,3 ，
2 2
M MP = 2 - 0 2 2圓 的半徑為 1 + 3- 2 = 5 ，
2 2
因此，圓M 的標準方程為 x - 2 + y - 3 = 5 .
故選：A.
20．（2024 高二上·北京·期末）設A 是圓C : x +1 2 + y2 = 9上的動點，PA是圓的切線，且 PA = 4，則點 P
到點Q 8,0 距離的最小值為（ ）
A．15 B．6 C．5 D．4
【答案】D
【分析】本題首先可根據(jù)題意得出 PC = 5，則點 P 的軌跡方程為 x +1 2 + y2 = 25 ，然后用圓心到點Q 8,0
的距離減去半徑即可得出結果.
2
【詳解】解：由圓的方程 x +1 + y2 = 9，易知圓心C -1,0 ，半徑為3，
因為PA是圓的切線，且 PA = 4，
所以 PC 2 = PA 2 + 32 = 25， PC = 5，
2
所以，點 P 的軌跡方程為 x +1 + y2 = 25 ，
點 P 2到點Q 8,0 距離的最小值為 8 +1 + 0 - 5 = 4，
故選：D.
21．（2024·甘肅·三模）已知A ，B 是圓O : x2 + y2 = 4 上的兩個動點，若點P 1,2 在以 AB 為直徑的圓上，則
AB 的最大值為（ ）
A． 6 + 2 B． 5 + 3 C． 2 6 - 2 D． 2 5 - 3
【答案】B
2 2
【分析】設 AB 的中點為M ，得到 AM = BM = PM ，根據(jù)OM ^ AB，得到 OM + PM = 4，設
2
M x, y 1 2 3，求得 x - ÷ + y -1 = ，得出點M 的軌跡，再由 AB = 2 PM 可知，當 PM 取最大值時， AB
è 2 4
取最大值，結合圓的性質(zhì)，即可求解.
【詳解】如圖所示，設 AB 的中點為M ，連接PM ，
因為點P 1,2 在以 AB 為直徑的圓上，所以PA ^ PB，
所以 AM = BM
1
= PM = AB ，
2
連接 AO ，BO，MO ，則 AO = BO = 2，所以OM ^ AB，
所以 OM 2 + AM 2 = OM 2 + PM 2 = OA 2 = 4，
2
M x, y x2 + y2 + x -1 2設 ，則 + y - 2 2 = 4 1 ，整理得 x - ÷ + y -1
2 3= ，
è 2 4
1M 3所以點 的軌跡是以點 ,12 ÷為圓心， 為半徑的圓，è 2
因為 AB = 2 PM ，所以當 PM 取最大值時， AB 取最大值，
2
PM 1 1 2 1 2 3 5 + 3又因為 = - ÷ + - + = ，max è 2 2 2
故 AB 的最大值為 5 + 3 .
故選：B.
22．（2024·河北邯鄲·三模）在平面直角坐標系內(nèi)，已知 A(-3,4) ， B(-3,1)，動點 P(x, y) 滿足 | PA |= 2 | PB |，
則 (x -1)2 + (y - t)2 （ t R ）的最小值是（ ）
A． 2 B．2 C．4 D．16
【答案】C
【分析】由題意求出點 P 的軌跡方程，則 x -1 2 + y - t 2 可以看成圓 x + 3 2 + y2 = 4上動點P x, y 與定
直線 x =1上動點Q 1, t 的距離，求得其最小值，即可求得答案.
【詳解】因為 A -3,4 ，B -3,1 ，動點P x, y 滿足 PA = 2 PB ，
則 x + 3 2 + y - 4 2 = 4 x + 3 2 + 4 y -1 2 2，整理得 x + 3 + y2 = 4，
2x -1 2 + y - t 2 可以看成圓 x + 3 + y2 = 4上動點P x, y 與定直線 x =1上動點Q 1, t 的距離，
其最小值為圓心M -3,0 到直線 x =1的距離減去圓的半徑 2，即 PQ 4 - 2 = 2 ，
2 2
因此， x -1 + y - t 的最小值是 22 = 4，
故選：C.
23．（2024 高二下·
2 2
四川廣安·階段練習）動直線mx + ny -1 = 0 m > 0, n > 0 平分圓 x -1 + y -1 =1的周長，
4n 1
則 + 的最小值（ ）m +1 2n
3 5 5 9
A． B． C． D．
2 2 4 4
【答案】D
【分析】由題意，動直線mx + ny -1 = 0 過圓 x -1 2 + y -1 2 =1的圓心 1,1 ，則m + n =1，代入所給式子并
變形，利用基本不等式求解.
【詳解】由題意，動直線mx + ny -1 = 0 過圓 x -1 2 + y -1 2 =1的圓心 1,1 ，
則m + n =1，又m > 0,n > 0，
4n 1 4n m + n 2 1 m 1 1
+ = + = + + + 2 2 1 m 1+ 1 9+ =
則 m +1 2n 2m + n 2n m 1+ 2

è n 2 ÷ 4 m 1+ 2

è n 2 ÷ 4 4 ，
n 2 n 2
m 1
當且僅當 + = 2
3 2
且m + n =1，即m = , n = 時，等號成立，
n 2 5 5
4n 1 9
故 + 的最小值為 .
m +1 2n 4
故選：D.
24．（2024·福建泉州·模擬預測）已知復數(shù) z 滿足 z + i =1，則 z +1 的最大值為（ ）
A． 2 B．2 C． 2 +1 D．3
【答案】C
【分析】設 z = a + bi,a,b R ，得出 a,b的關系，結合其幾何意義求解最值.
【詳解】設 z = a + bi,a,b R ，
因為 | z + i |= a + b +1 i =1，
所以 a2 + b +1 2 =1，
2
因為 | z +1|= a +1+ bi = a +1 + b2 ，
所以 z +1 2相當于圓 a2 + b +1 =1上的點到點 -1,0 距離，
所以 z +1 的最大值為圓心 0, -1 到點 -1,0 距離與圓的半徑1的和，即 2 +1.
故選：C.
25．（2024 高二·江蘇·假期作業(yè)）過坐標原點，且在 x 軸和 y 軸上的截距分別為 2 和 3 的圓的方程為（ ）
A． x2 + y2 - 2x - 3y = 0 B． x2 + y2 + 2x - 3y = 0
C． x2 + y2 - 2x + 3y = 0 D． x2 + y2 + 2x + 3y = 0
【答案】A
【分析】利用待定系數(shù)法設出圓的一般方程，將三個點的坐標代入得到方程組，求出圓的方程.
【詳解】設圓的方程為 x2 + y2 + Dx + Ey + F = 0,(D2 + E2 - 4F > 0) ，
由題意知,圓過點 0,0 ， 2,0 和 0,3 ，
ìF(xiàn) = 0 ìD = -2

所以 í4 + 2D + F = 0，解得 íE = -3 ，

9 + 3E + F = 0 F = 0
所以所求圓的方程為 x2 + y2 - 2x - 3y = 0 .
故選：A
二、多選題
26．（2024 高二上·全國·課后作業(yè)）（多選）點 1,1 在圓 x - a 2 + y + a 2 = 4的內(nèi)部，則 a的取值不可能是
（ ）
1
A．-2 B．-
2
1
C． D． 2
2
【答案】AD
【分析】求出實數(shù) a的取值范圍，即可得出合適的選項.
2 2
【詳解】由已知條件可得 1- a + 1+ a < 4，即 2a2 + 2 < 4，解得-1 < a < 1 .
故選：AD.
27．（2024 高二上·江蘇蘇州·階段練習）過點 A(1,-1)與B(-1,1)且半徑為 2 的圓的方程可以為（ ）
A． (x - 3)2 + (y +1)2 = 4 B． (x -1)2 + (y -1)2 = 4
C． (x +1)2 + (y +1)2 = 4 D． (x + 3)2 + (y -1)2 = 4
【答案】BC
【分析】先根據(jù)圓過點 A(1,-1)與B(-1,1)，得出圓心在線段 AB 的垂直平分線上，求出圓心所在的直線方程，
設出圓心坐標，再代入 A(1,-1)或B(-1,1)，求出圓心坐標，進而求出圓的方程.
【詳解】因為圓過點 A(1,-1)與B(-1,1)
1- -1
，所以圓心在線段 AB 的垂直平分線上，其中 kAB = = -1，設-1-1
圓心所在的直線為 l，則 kAB × kl = -1，解得： kl =1，又因為
A(1,-1)與B(-1,1)的中點坐標為 0,0 ，所以直線 l 為 y = x ，設圓心坐標為 m, m ，因為半徑為 2，所以圓
的方程為： (x - m)2 + (y - m)2 = 4，代入 A(1,-1)得： (1- m)2 + (-1- m)2 = 4，解得：m = ±1，綜上圓的方程
為 (x -1)2 + (y -1)2 = 4或 (x +1)2 + (y +1)2 = 4 .
故選：BC
28．（2024 高二上·甘肅酒泉·期中）已知點P 1,2 在圓C : x2 + y2 + kx + 4y + k 2 +1 = 0的外部，則 k 的取值可
能是（ ）
A．-1 B．-2 C．1 D． 2
【答案】AC
【分析】根據(jù)點在圓外的條件，列不等式求 k 的取值范圍.
ì 2 k +16 - 4 k 2 +1 > 0
【詳解】由題意可得 í ，解得-2 1+ 4 + k + 8 + k +1 > 0
故選：AC.
29．（2024 高二上·全國·課后作業(yè)）下列方程不是圓的一般方程的有（ ）
A． x2 + y2 - 2x + 4 y + 3 = 0 B． x2 + y2 - 2x + 2y + 7 = 0
C． x2 + 3y2 - 2x + 4y + 5 = 0 D． x2 + y2 - 3xy -12 = 0
【答案】BCD
【分析】根據(jù)二元二次方程表示圓條件，逐項判定，即可求解。
【詳解】根據(jù)二元二次方程 x2 + y2 + Dx + Ey + F = 0表示圓的條件，
對于 A 中，方程 x2 + y2 - 2x + 4 y + 3 = 0，可得 (-2)2 + 42 - 4 3 = 8 > 0 ，
所以方程是圓的一般方程；
對于 B 中，方程 x2 + y2 - 2x + 2y + 7 = 0 2，可得 -2 + 22 - 4 7 = -20 < 0，
所以方程不是圓的一般方程；
對于 C 中，方程 x2 + 3y2 - 2x + 4y + 5 = 0中， x2和 y2的系數(shù)不相等，
所以方程不是圓的一般方程；
對于 D 中，方程 x2 + y2 - 3xy -12 = 0中，存在 xy項，所以方程不是圓的一般方程.
故選：BCD.
三、填空題
30．（2024 高一下·四川樂山·期末）點 (1,0)與圓 x2 + y2 - 4x - 2y +1 = 0的位置關系是 ．（填“在圓
內(nèi)”、“在圓上”、“在圓外”）
【答案】在圓內(nèi)
【分析】利用點 (1,0)到圓心的距離與圓的半徑的大小關系去判斷點 (1,0)與圓 x2 + y2 - 4x - 2y +1 = 0的位置
關系即可.
【詳解】圓 x2 + y2 - 4x - 2y +1 = 0的圓心坐標為 (2,1)，半徑為 2
點 (1,0)到圓心的距離 (2 -1)2 + (1- 0)2 = 2 ，
因為 2 < 2，所以點 (1,0)在圓內(nèi)．
故答案為：在圓內(nèi)
31．（2024 高二下·福建莆田·期中）在平面直角坐標系 xOy 中，A 6,0 , B 6,1 點 P 滿足 PO = 2 PA ，則動點 P
的運動軌跡方程為 ； PB + 2 PA 的最小值為 .
【答案】 (x - 8)2 + y2 = 16 37
【分析】設出P x, y ，由題意列出方程組，化簡即可得到點 P 的軌跡方程；
【詳解】設P x, y ，由題意可得 x - 0 2 + y - 0 2 = 2 x - 6 2 + y - 0 2 ，
整理得 (x - 8)2 + y2 = 16，故動點 P 的運動軌跡方程為 (x - 8)2 + y2 = 16，
如圖所示，點 P 的軌跡為以 8,0 為圓心， 4為半徑的圓，點 B 在圓內(nèi)部，
所以 PB + 2 PA = PB + PO BO = 6 - 0 2 + 1- 0 2 = 37 ，
當且僅當 P 在線段BO上時等號成立，
所以 PB + 2 PA 的最小值為 37 ，
故答案為： (x - 8)2 + y2 = 16； 37
32．（2024 高二上·全國·課后作業(yè)）過點 A 8,0 的直線與圓 x2 + y2 = 4交于點 B，則線段 AB 中點 P 的軌跡方
程為 .
2
【答案】 x - 4 + y2 =1
【分析】設點 P 的坐標為 (x, y)，點 B 為 x1, y1 ，結合中點坐標公式可得 x1 = 2x -8, y1 = 2y ，代入圓的方程
即可求解.
【詳解】設點 P 的坐標為 (x, y)，點 B 為 x1, y1 ，
由題意，結合中點坐標公式可得 x1 = 2x -8, y1 = 2y ，
故 2x -8 2 + 2y 2 = 4 2，化簡得 x - 4 + y2 =1.
即線段 AB 中點 P 的軌跡方程為 x - 4 2 + y2 =1.
x - 4 2故答案為： + y2 =1
33．（2024 高二下·上海徐匯·期中）點M 與兩個定點O 0,0 ，P 2,0 的距離的比為3:1，則點M 的軌跡方
程為 ．
(x 9【答案】 - )2 + y2
9
=
4 16
x2 + y2
【分析】設出動點M (x, y)，利用條件得到 = 3，再化簡即可得到結果.
(x - 2)2 + y2
x2 + y2
【詳解】設點M (x, y)，由題知 = 3，兩邊平方化簡得 2x2 + 2y2 - 9x + 9 = 0，即
(x - 2)2 + y2
(x 9- )2 + y2 9= ，
4 16
9
M 2 2
9
所以點 的軌跡方程為 (x - ) + y = .
4 16
(x 9 9故答案為： - )2 + y2 = .
4 16
34．（2024 高二上·遼寧大連·期中）對于任意實數(shù) λ，曲線(1+λ)x2+(1+λ)y2+(6-4λ)x-16-6λ=0 恒過定點 .
【答案】(1，3)和(1，-3)
2 2
【解析】先將曲線方程整理成 x + y + 6x -16 + l x2 + y2 - 4x - 6 = 0 ，可得 x2 + y2 + 6x -16 = 0 且
x2 + y2 - 4x - 6 = 0，從而得出答案.
1+ l x2【詳解】曲線 + 1+ l y2 + 6- 4l x -16-6l = 0可化為 x2 + y2 + 6x -16 + l x2 + y2 - 4x - 6 = 0 ，
∴ x2 + y2 + 6x -16 = 0 且 x2 + y2 - 4x - 6 = 0，
可得恒過定點(1，3)和 1，- 3 .
故答案為：(1，3)和 1，- 3
【點睛】本題考查曲線過定點問題，考查方程思想，屬于基礎題.
35．（2024 高一·全國·課后作業(yè)）已知方程 x2 + y2 - 2ax + 2(a - 2)y + 2 = 0 表示圓，其中 a R ，且 a≠1，則不
論 a 取不為 1 的任何實數(shù)，上述圓恒過的定點的坐標是 .
【答案】（1，1）
2 2
【分析】將已知圓的方程整理得到 x2 + y2
ìx + y - 4y + 2 = 0
- 4y + 2 + 2a(y - x) = 0，聯(lián)立 í ，即可求出結
y - x = 0
果.
【詳解】由已知得 x2 + y2 - 4y + 2 + 2a(y - x) = 0，它表示過圓 x2 + y2 - 4y + 2 = 0與直線 y - x = 0交點的圓.
ìx2 + y2 - 4y + 2 = 0 ìx =1,
由 í ，解得 í
y - x = 0 y =1,
即定點坐標為（1，1）.
故答案為（1，1）
【點睛】本題主要考查圓恒過定點的問題，熟記圓的方程即可，屬于常考題型.
36．（2024 高二上·浙江湖州·期末）已知直線 l1平分圓C : (x - 2)2 + y2 = 2且與 l2 : 6x + 4y -1 = 0 互相平行，則
l1, l2 的距離是 .
11 13 11
【答案】 / 13
26 26
【分析】根據(jù)給定條件，結合平行線間距離的意義，求出圓 C 的圓心到直線 l2的距離作答.
【詳解】因為直線 l 平分圓C : (x - 2)2 + y21 = 2，于是直線 l1過圓心C(2,0) ，
l , l d | 6 2 + 4 0 -1| 11 13所以 1 2 的距離 = = .
62 + 42 26
11 13
故答案為：
26
37．（2024 高二下·上海·開學考試）對任意實數(shù)m ，圓 x2 + y2 - 2mx - 4my + 6m - 2 = 0 恒過定點，則其坐標
為 .
1 7
【答案】 1,1 、 ,5 5 ÷è
【分析】將圓的方程重新按m 合并同類項，由此列方程組，解方程組求得定點坐標.
2 2 ìx + 2y - 3 = 0【詳解】由 x + y - 2mx - 4my + 6m - 2 = 0 由得-2m x + 2y - 3 + x2 + y2 - 2 = 0，故 í 2 2
x + y - 2 = 0
，解得
ì 1
ìx =1 x = 5
íy =1或 í
.
y 7=
5
故填： 1,1 1、 ,
7
.
è 5 5 ÷
【點睛】本小題主要考查圓過定點問題，考查化歸與轉(zhuǎn)化的數(shù)學思想方法，考查二元二次方程組的解法，
屬于基礎題.
38．（2024 高二上·湖北·期中）過點 1,2 可作圓 x2 + y2 + 2x - 4y + k + 2 = 0的兩條切線，則實數(shù) k 的取值范
圍 .
【答案】 -1,3
【分析】由題意可知，方程 x2 + y2 + 2x - 4y + k + 2 = 0表示圓，點 1,2 在圓外，列出不等式組，求解即可.
【詳解】因為方程 x2 + y2 + 2x - 4y + k + 2 = 0表示圓，
過點 1,2 可作圓的兩條切線，則點 1,2 在圓外，
ì22 + (-4)2 - 4(k + 2) > 0
所以 í ，解得：-1 < k < 3 .
1+ 4 + 2 -8 + k + 2 > 0
故答案為： -1,3 .
39．（2024 高二上·廣東惠州·階段練習）若點M 3,0 是圓 x2 + y2 -8x - 4y +10 = 0 內(nèi)一點，則過點M 3,0 的
最長的弦所在的直線方程是 .
【答案】 2x - y - 6 = 0
【分析】根據(jù)圓的方程得到圓心坐標，結合圓的特點得到過點M 的弦經(jīng)過圓心時，弦長最長，然后利用圓
心坐標、點M 坐標求直線方程即可.
【詳解】圓 x2 + y2
2 - 0
-8x - 4y +10 = 0 x - 4 2可整理為 + y - 2 2 =10，所以圓心O 4,2 ， kOM = = 2 ，4 - 3
當過點M 的弦經(jīng)過圓心時，弦長最長，所以過點M 的最長的弦所在的直線方程為 y - 0 = 2 x - 3 ，整理得
2x - y - 6 = 0 .
故答案為： 2x - y - 6 = 0 .
40．（2024 高二上·廣東東莞·期末）已知線段 AB 的端點 B 的坐標是 2,1 ，端點A 在圓 (x + 2)2 + ( y - 3)2 = 16
上運動，則線段 AB 的中點M 的軌跡方程是 ．
【答案】 x2 + y - 2 2 = 4
ìx = 2x - 2
【分析】設 A x0 , y 00 ，M x, y ，根據(jù)中點坐標公式可得 íy 2y 1，代入圓的方程，整理即可得到M 的 0 = -
軌跡方程.
2 2
【詳解】設 A x0 , y0 ，M x, y ，則由已知可得 (x0 + 2) + (y0 - 3) =16 .
ì
x
x + 2
= 0
2 ìx0 = 2x - 2
又M 是線段 AB 的中點，所以有 í
y y0 +1
，所以 í
y0 = 2y 1
，
-
=
2
所以有 (2x - 2 + 2)2 + (2y -1- 3)2 =16 2，整理可得 x2 + y - 2 = 4 .
所以M 的軌跡方程是 x2 + y - 2 2 = 4 .
x2 + y - 2 2故答案為： = 4 .
41．（2024 高二上·浙江麗水·期末）在平面直角坐標系中，已知點 A(4,0)，點 P 在圓O : x2 + y2 = 9上運動，則
線段 AP 的中點Q的軌跡方程是 ．
【答案】 x - 2 2 9+ y2 =
4
【分析】由幾何性質(zhì)計算即可.
【詳解】
如圖所示，取 OA 中點 D，連接 DQ，則 DQ 為△APO的一條中位線，D 2,0 ，
1 3
即有 DQ∥OP，且 PO = DQ = ，故 Q 在以 D 為圓心，DQ 長為半徑的圓上，
2 2
所以 Q 的軌跡方程為 x - 2 2 + y2 9= .
4
2 2 9
故答案為： x - 2 + y = .
4
42．（2024 高二下·新疆塔城·開學考試）已知定點 A(4,0)，P 是圓 x2 + y2 = 4上的一動點，Q 是 AP 的中點，則
點 Q 的軌跡方程是 .
【答案】 (x - 2)2 + y2 =1
【分析】運用相關點法求軌跡方程，設出 P、Q 兩點坐標，表示出兩點橫縱坐標關系式，代入點 P 滿足的
圓的方程即可.
【詳解】如圖所示，
設P(x0 , y0 )，Q(x, y) x2 + y2，則 0 0 = 4，①
因為 Q 為 AP 的中點，
ì x0 + 4
= x 2 ìx = 2x - 4
所以 í
0
í ，②
y0 + 0 y = 2y= y 0
2
所以由①②得： (2x - 4)2 + (2y)2 = 4，即： (x - 2)2 + y2 =1，
所以點 Q 的軌跡方程為： (x - 2)2 + y2 =1.
故答案為： (x - 2)2 + y2 =1.
43 2 2 2．（2024 高二下·上海寶山·期末）若 2x + m + m y + 2mx + m = 0表示圓，則實數(shù)m 的值為 .
【答案】-2
【分析】
依題意可得m2 + m = 2，解得m ，再代入檢驗.
2
【詳解】因為 2x + m2 + m y2 + 2mx + m = 0表示圓，所以m2 + m = 2，
解得m =1或m = -2，
2
當m =1時方程 2x2 + 2y2 + 2x +1 = 0 1 ，即 2 1 x + ÷ + y = - ，不表示任何圖形，故舍去；
è 2 4
2
當m = -2時方程 2x2 + 2y2 - 4x - 2 = 0，即 x -1 + y2 = 2，表示以 1,0 為圓心， 2 為半徑的圓，符合題意；
故答案為：-2
44．（2024 高二下·上海崇明·期末）已知兩點 P 3,1 、Q 5,-3 ，則以 PQ 為直徑的圓的方程是 .
2
【答案】 x - 4 + y +1 2 = 5
【分析】根據(jù)條件求出圓心坐標及圓的半徑即可.
【詳解】Q P 3,1 、Q 5,-3 ,\PQ 的中點坐標為 (4, -1)，即為圓心坐標，
PQ
又 PQ = (5 - 3)2 + (-3 -1)2 = 2 5, \圓的半徑為 = 5,
2
則所求圓的方程為 x - 4 2 + y +1 2 = 5 .
x - 4 2故答案為： + y +1 2 = 5 .
45．（2024 高二·全國·課后作業(yè)）方程 x2 + y2 + 4mx - 2y + 5m = 0表示圓的充要條件是 ．
m 1【答案】 < 或m >1
4
【分析】由方程表示圓得到不等式，求解即可.
2 1
【詳解】由題意知： 4m + (-2)2 - 4 ×5m > 0，即 4m2 - 5m +1 > 0，解得m < 或m >1.4
1
故答案為：m < 或m >1.
4
46．（2024 高二上·全國·課后作業(yè)）已知圓C : x2 + y2 =1，則圓上的點到點 3,4 距離的最大值為 .
【答案】6
【分析】求出圓心到點 3,4 的距離加上半徑即為圓上的點到點 3,4 距離的最大值.
【詳解】因為圓C 的方程為 x2 + y2 =1，
所以圓心坐標為 0,0 ，半徑 r =1 ,
又圓心 0,0 到點 3,4 的距離為 32 + 42 = 5，
所以圓上的點到點 3,4 的距離的最大值為5 +1 = 6，
故答案為：6
47．（2024 高三下·吉林白城·階段練習）已知圓 C 與圓(x－1)2＋y2＝1 關于直線 y＝－x 對稱，則圓 C 的方程
是
【答案】 x2 + y +1 2 =1
【分析】設圓心 A(1,0)關于直線 y = -x 對稱點C m,n ，根據(jù)垂直和中點在對稱軸上這兩個條件列方程求出
m, n的值，即得對稱圓的圓心，再由半徑等于 1，求出圓C 的標準方程.
2
【詳解】圓 A x -1 + y2 =1圓心為 A(1,0)，半徑等于 1，
設圓心 A(1,0)關于直線 y = -x 對稱點C m, n ，
n - 0
則有 -1 = -1 n + 0 m +1，且 = - ，
m -1 2 2
解得m = 0, n = -1，故點C 0, -1 ，
由于對稱圓C 的半徑與圓 A : x -1 2 + y2 =1的半徑相等，
2
故圓C 的方程為 x2 + y +1 =1，
故答案為 x2 + y +1 2 =1.
【點睛】本題主要考查圓的方程與性質(zhì)解析幾何中的軸對稱問題，屬于中檔題. 解析幾何中對稱問題，主要
有以下三種題型：（1）點關于直線對稱，P x, y 關于直線 l的對稱點P ' m, n y - n，利用 kl = -1，且 點x - m
x + m
,
y + n
÷ 在對稱軸 l上，列方程組求解即可；（2）直線關于直線對稱，利用已知直線與對稱軸的交點
è 2 2
以及直線上特殊點的對稱點（利用（1）求解），兩點式求對稱直線方程；（3）曲線關于直線對稱，結合方
法（1）利用逆代法求解.
48．（2024 高二上·重慶沙坪壩·期末）圓 x2 + y2 + 2y - 3 = 0關于直線 x - y - 2 = 0 的對稱圓的標準方程
為 .
【答案】 (x -1)2 + (y + 2)2 = 4
【分析】求出圓的圓心和半徑，再求出圓心關于直線 x - y - 2 = 0 的對稱點坐標，即可作答.
【詳解】圓 x2 + (y +1)2 = 4的圓心C(0,-1)，半徑 r = 2，
設點C(0,-1)關于直線 x - y - 2 = 0 的對稱點C (a,b)，
ìb +1 = -1
a
則有 í ，解得 a =1,b = -2a b 1 ，因此所求圓的圓心
C (1, -2)，半徑為 r = 2，
-- - 2 = 0
2 2
所以所求圓的標準方程為： (x -1)2 + (y + 2)2 = 4 .
故答案為： (x -1)2 + (y + 2)2 = 4
49．（2024·廣東汕頭·二模）與圓C : x2 + y2 - x + 2y = 0關于直線 l : x + y = 0對稱的圓的標準方程是 .
2

【答案】 (x -1)2 + y
1 5
+
2 ÷
=
è 4
【分析】先求得所求圓的圓心坐標，進而得到該圓的標準方程.
【詳解】圓C : x2
1
+ y2 - x + 2y = 0的圓心C

,-1
5
÷ ，半徑 ，
è 2 2
C 1點 ,-1

÷ 關于直線 l : x + y
1
= 0 對稱的點坐標為C
2
1, - ÷
è è 2
2
1 5
則所求圓的標準方程為 (x -1)2 + y + 2 ÷
=
è 4
1 2
故答案為： (x
5
-1)2 + y + 2 ÷
=
è 4
50．（2024 高二·全國·課后作業(yè)）直線 ax + by +1 = 0始終平分圓 x2 + y2 + 4x + 2y +1 = 0的周長，則
a -1 2 + b -1 2 的最小值為 ．
4
【答案】 /0.8
5
【分析】由題意可得直線 ax + by +1 = 0過圓心，再將b 用 a表示，結合二次函數(shù)即可得解.
【詳解】解：圓 x2 + y2 + 4x + 2y +1 = 0 2 2化為標準方程： x + 2 + y +1 = 4，
圓心為 -2, -1 ，
因為直線 ax + by +1 = 0始終平分圓 x2 + y2 + 4x + 2y +1 = 0的周長，
所以直線 ax + by +1 = 0過圓心 -2, -1 ，
則 2a + b =1，所以b =1- 2a，
2
則 a -1 2 + b -1 2 = a2 - 2a +1+ 1 2a 1 4- -1 2 = 5a2 - 2a +1 = 5 a - ÷ + ，
è 5 5
a 4= 2 2 4當 時， a -1 + b -1 取得最小值 .
5 5
4
故答案為： .
5
51．（2024 高一下·江蘇南京·期中）在VABC 中，AB =1, AC = 2, A = 60o，若VABC 的平面內(nèi)有一點D滿足
uuur uuur
AD2 = AC × AD，則 AD2 + BD2的最小值為 .
【答案】 4 - 2 3
【分析】建立直角坐標系，運用平面向量求出點 D 的運動軌跡，再利用幾何意義求解.
【詳解】
由題意，由余弦定理得BC 2 = AB2 + AC 2 - 2ABgAC cos A =1+ 4 - 2 = 3 ，
BC2 + AB2
π
= AC2 ，\ B = , BC = 3 ，即以 B 為原點，BA所在直線為 y 軸，BC 所在直線為 x 軸建立平2
面直角坐標系，
uuur uuur
則B 0,0 , A 0,1 ,C 3,0 ，設D x, y ，則 AC = 3, -1 , AD = x, y -1 ，
uuur uuur 2 2
由已知 AD2 = AC × AD, x2 + (y -1)2 = 3x +1- y, x
3 y 1- + - ÷÷ ÷ =1 ，
è 2 è 2
3
即點 D 是在以 AC 的中點O ,
1
÷÷ 為圓心，半徑為 1 的圓周上，
è 2 2
é 1 2 ù 1 2AD2 + BD2 = x2 + (y -1)2 + x2 + y2 = 2 êx2 +

y -

÷ ú +
1
，即是求 x2 + y -
è 2 2 2 ÷
的最小值，
ê ú è
1
其幾何意義為圓周上的一點 D 到 AB 的中點E 0, ÷ 的距離的平方的最小值，顯然當 D，E，O 共線時 DE
è 2
2
2 最小（如上圖），即DE = 1
3 7
-
2 ÷÷
= - 3 ，
è 4
7 1
\ AD2 + BD2 的最小值為 2 - 3 ÷ + = 4 - 2 3 ；
è 4 2
故答案為： 4 - 2 3 .
52．（2024 高二下·江蘇宿遷·開學考試）已知M (m,n) 為圓C：x2 + y2 - 4x - 4y + 4 = 0上任意一點．則
(m -1)2 + (n +1)2 的最大值為
【答案】 10 + 2 / 2 + 10
【分析】由 (m -1)2 + (n +1)2 表示點 (m, n)與點 (1, -1) 之間的距離，可轉(zhuǎn)化為圓 C 上的點 M 到點 (1, -1) 的距
離．
【詳解】圓C：x2 + y2 - 4x - 4y + 4 = 0即 (x - 2)2 + (y - 2)2 = 4，
故圓心C(2,2) ，半徑為 r = 2，
又 (m -1)2 + (n +1)2 表示圓 C 上的點 M 到點 (1, -1) 的距離，
故其最大值為 (2 -1)2 + (2 +1)2 + 2 = 10 + 2，
故答案為： 10 + 2.
53．（2024·山東煙臺·二模）已知實數(shù) a,b 2滿足 a2 + b2 - 4a + 3 = 0 ，則 a2 + b + 2 的最大值為 ．
【答案】9 + 4 2 / 4 2 + 9
【分析】設點 A a,b ，B 0, -2 則問題轉(zhuǎn)化為圓上一點A 與圓外一點 B 之間距離 AB 的最大值的平方，根
據(jù)點與圓的位置關系求解即可.
2
【詳解】方程 a2 + b2 - 4a + 3 = 0 整理得 a - 2 + b2 =1，設點 A a,b C : x - 2 2，即點A 是圓 + y2 =1上一點
又點B 0, -2 2在圓C : x - 2 + y2 =1外，所以 AB = a2 + b + 2 2 ，
2 2
2
則 AB = BC + r = 2 - 0 + 0 + 2 +1 = 2 2 +1，所以 a2 + b + 2 的最大值為 2 2 +1 = 9 + 4 2 .max
故答案為：9 + 4 2 .
54．（2024 高二·全國·課后作業(yè)）已知圓 C 經(jīng)過兩點P -1, -3 ，Q 2,6 ，且圓心在直線 x + 2y - 4 = 0上，則
圓 C 的一般方程為 ；若直線 l 的方程 x + m y -1 +1 = 0 （m R），圓心 C 到直線 l 的距離是
1，則 m 的值是 ．
【答案】 x2 + y2 - 4x - 2y - 20 = 0 ±2 2
【分析】根據(jù)題意，結合待定系數(shù)法與以及點到直線的距離公式，即可求解.
【詳解】設圓 C 的方程為 x2 + y2 + Dx + Ey + F = 0，
ì

1+ 9 - D - 3E + F = 0 ìD = -4
由條件，得 í4 + 36 + 2D + 6E + F = 0

，解得 íE = -2 ，

D E
F = -20
- + 2 - - 4 = 0
2 è 2
÷

因此圓的一般方程為 x2 + y2 - 4x - 2y - 20 = 0 ，
故圓心C 2,1 ，因此圓心到直線 l 的距離 d
3
= =1
2 2 ，解得m = ±2 2 ．m +1
故答案為： x2 + y2 - 4x - 2y - 20 = 0 ；±2 2 .
四、解答題
55．（2024 高二上·全國·課后作業(yè)）求圓 x2 + y2 + 4x -12y + 39 = 0關于直線3x - 4y - 5 = 0的對稱圓方程.
2
x 32 y 26
2
【答案】 - ÷ + +

÷ =1
è 5 è 5
【分析】求出已知圓的半徑和圓心坐標，再求出其圓心關于直線3x - 4y - 5 = 0對稱的點的坐標，則可求對
稱圓的方程.
【詳解】由 x2 + y2 + 4x -12y + 39 = 0 x + 2 2 + y - 6 2可得 =1，
故圓心坐標為 P -2,6 ，半徑為 1，
設點 P 關于直線3x - 4y - 5 = 0的對稱點為P a,b ，
ì3 a - 2 b+6 32 × - 4 × - 5=0
ì a =
2 2 5 P 32 26 則有 í b 6 4 ，解得- í 26 ，故
,-
5 5 ÷
，
= - b= - è
a+2 3 5
2 2
所以圓 x2 + y2 + 4x -12y + 39 = 0關于直線3x - 4y - 5 = 0 x 32 y 26 的對稱圓的方程為： - ÷ + + ÷ =1 .
è 5 è 5
56．（2024 高三·全國·專題練習）在直角坐標系 xOy 中，線段 MN = 4，且兩個端點M 、 N 分別在 x 軸和 y
軸上滑動．求線段MN 的中點C 的軌跡方程；
【答案】 x2 + y2 = 4
【分析】設M a,0 , N 0,b ，C x, y ，由C 為線段MN 的中點列關系式，根據(jù)兩點距離公式表示 MN = 4，
從而轉(zhuǎn)化為關于 x, y的方程即可得C 的軌跡方程.
【詳解】
設M a,0 , N 0,b ，線段MN 的中點C x, y ，
a + 0 a 0 + b b
因為C 為線段MN 的中點，\ x = = , y = = ，
2 2 2 2
Q MN = a - 0 2 + 0 - b 2 = 4，
\a2 + b2 = 16，即 2x 2 + 2y 2 =16，得 x2 + y2 = 4 .
所以點C 的軌跡方程是 x2 + y2 = 4．
57．（2024 高二上·新疆克拉瑪依·期中）求適合下列條件的圓的方程：
(1)圓心在直線 x - 2y - 3 = 0上，且過點 A 2, -3 , B -2, -5 的圓；
(2)過三點 A 1,0 , B -1,-2 ,C 3,-2 的圓.
【答案】(1) (x +1)2 + (y + 2)2 = 10
(2) x2 + y2 - 2x + 4y +1 = 0
ì 2 - a 2 + -3 - b 2 = r2

1 x - a 2 【分析】（ ）首先設圓的標準方程為 + y - b 2 = r 2 ，根據(jù)題意得到 í -2 - a 2 + -5 - b 2 = r 2 ，再解

a - 2b - 3 = 0
方程組即可.
（2）首先設圓的一般方程為： x2 + y2 + Dx + Ey + F = 0，D2 + E2 - 4F > 0，根據(jù)題意得到
ì1+ D + F = 0

í1+ 4 - D - 2E + F = 0 ，再解方程組即可.

9 + 4 + 3D - 2E + F = 0
【詳解】（1）設圓的標準方程為 x - a 2 + y - b 2 = r2 ，由題知：
ì 2 - a 2 + -3 - b 2 = r2
ìa = -1
í -2 - a 2 + -5 - b 2 = r 2 ，解得 íb = -2 .

a - 2b - 3 = 0

r
2 =10

所以圓的標準方程為： (x +1)2 + (y + 2)2 = 10 .
（2）設圓的一般方程為： x2 + y2 + Dx + Ey + F = 0，D2 + E2 - 4F > 0，
ì1+ D + F = 0 ìD = -2
1+ 4 - D - 2E + F = 0 由題知： í íE = 4 ，
9 + 4 + 3D - 2E + F = 0 F =1
所以圓的方程為： x2 + y2 - 2x + 4y +1 = 0 .
58．（2024 高二·江蘇·假期作業(yè)）寫出圓心為 A(2, -3) ,半徑為 5 的圓的標準方程,并判斷點M1(5,-7), M 2 (-2,-1)
是否在這個圓上．若該點不在圓上,說明該點在圓外還是在圓內(nèi)？
【答案】答案見解析
【分析】將點的坐標代入圓的方程，驗證是否在這個圓上．根據(jù)點到圓心的距離判斷該點在圓外還是在圓
內(nèi).
【詳解】圓心為 A(2, -3) ,半徑為 5 的圓的標準方程是 (x - 2)2 + (y + 3)2 = 25．
把點M1(5,-7) 的坐標代入方程 (x - 2)2 + (y + 3)2 = 25的左邊,
得 (5 - 2)2 + (-7 + 3)2 = 25 ,左右兩邊相等,
點M1的坐標滿足圓的方程,所以點M1在這個圓上．
把點M 2 (-2,-1)的坐標代入方程 (x - 2)2 + (y + 3)2 = 25的左邊,
得 (-2 - 2)2 + (-1+ 3)2 = 20 ,左右兩邊不相等,
點M 2 的坐標不滿足圓的方程,所以點M 2 不在這個圓上．
又因為點M 2 到圓心 A 的距離 d = M 2 A = (-2 - 2)2 + (-1+ 3)2 = 2 5 < 5．
故點M 2 在圓內(nèi)．
59．（2008·江蘇）設平面直角坐標系 xoy中，設二次函數(shù) f (x) = x 2 +2x + b(x R) 的圖象與坐標軸有三個交點，
經(jīng)過這三個交點的圓記為 C．
（1）求實數(shù)b 的取值范圍；
（2）求圓C 的方程；
（3）問圓C 是否經(jīng)過某定點（其坐標與b 無關）？請證明你的結論．
【答案】（1）b <1且b 0
（2） x2 + y2 + 2x - (b +1)y + b = 0
（3）過定點，證明見解析．
【詳解】本小題考查二次函數(shù)圖象與性質(zhì)、圓的方程的求法．
D > 0
（1）{ b <1且b 0f (0) 0
（2）設所求圓的方程為 x2 + y2 + Dx + Ey + F = 0．
令 x2 + Dx + F = 0 D = 2, F = b
又 x = 0時 y = b，從而E = -b -1．
所以圓的方程為 x2 + y2 + 2x - (b +1)y + b = 0．
（3） x2 + y2 + 2x - (b +1)y + b = 0整理為 x2 + y2 + 2x - y + b(1- y) = 0，過曲線
C : x2 + y2 + 2x - y = 0與 l :1- y = 0的交點，即過定點( 0, 1)與 (-2,1) ．
60．（2024 高二上·遼寧沈陽·期末）已知VABC 中，點 A -1,5 ， AC 邊上中線所在直線 l1的方程為
8x + y -12 = 0， AB 邊上的高線所在直線 l2的方程為 x - 3y + 6 = 0 .
(1)求點 B 和點C 的坐標：
(2)以M 1,0 為圓心作一個圓，使得A 、 B 、C 三點中的一個點在圓內(nèi)，一個點在圓上，一個點在圓外，求
這個圓的方程.
【答案】(1) B 2, -4 ，C 3,3
(2) x -1 2 + y2 =17
【分析】（1）求出直線 AB 的方程，聯(lián)立直線 AB 和直線 l1的方程可求得點 B 的坐標，設點C m, n ，根據(jù)點
C 在直線 l2上以及線段 AC 的中點在 l1上可得出關于m 、n 的方程組，解出這兩個未知數(shù)的值，即可得出點C
的坐標；
（2）計算出 AM 、 BM 、 CM ，比較大小后可得出圓M 的半徑，即可得出圓M 的方程.
【詳解】（1）解：因為 AB 邊上的高線所在直線 l2的方程為 x - 3y + 6 = 0，
l 1且直線 2的斜率為 ，則kAB =-3，故直線 AB 的方程為 y - 5 = -3 x +1 ，即3x + y - 2 = 0 ，3
ì3x + y - 2 = 0 ìx = 2
聯(lián)立直線 AB 和直線 l1的方程可得 í8x y 12 0，解得 í ，即點
B 2, -4 ，
+ - = y = -4
m -1
設點C m, n ，則線段 AC 的中點為D ,
n + 5
÷，
è 2 2
ì8 m -1 n + 5 + -12 = 0
由題意可得 í 2 2 ，解得m = n = 3，即點C 3,3 .
m - 3n + 6 = 0
（2 2）解：因為 AM = -1-1 + 5 - 0 2 = 29 ， BM = 2 -1 2 + -4 - 0 2 = 17 ，
CM = 3 -1 2 + 3 - 0 2 = 13 ，則 CM < BM < AM ，
故圓M 的半徑為 BM = 17 2，所以，圓M 的方程為 x -1 + y2 =17 .
61．（2024 高二上·安徽六安·期中）在平面直角坐標系 xOy 中，曲線 y=x2 - 2x- 3與兩坐標軸的交點都在圓C
上.
(1)求圓C 的方程；
(2)已知O為坐標原點，點A 在圓C 上運動，求線段OA的中點M 的軌跡方程.
【答案】(1) x2 + y2 - 2x + 2y - 3 = 0
3
(2) x2 + y2 - x + y - = 0
4
【分析】（1）求得曲線 y=x2 - 2x- 3與兩坐標軸的交點坐標，利用待定系數(shù)法求得圓C 的方程.
（2）利用代入法求得M 的軌跡方程.
【詳解】（1）由 y=x2 - 2x- 3，
令 y = 0 ，解得 x = -1或 x = 3；令 x = 0，得 y=- 3，
所以圓C 過 0, -3 , 3,0 , -1,0 .
設圓C 的方程為 x2 + y2 + Dx + Ey + F = 0，
ì9 - 3E + F = 0

í9 + 3D + F = 0 ，解得D = -2, E = 2, F = -3，

1- D + F = 0
所以圓C 的方程為 x2 + y2 - 2x + 2y - 3 = 0 .
（2）設M x, y ，則 A 2x, 2y ，
將A 的坐標代入圓C 的方程得 4x2 + 4y2 - 4x + 4y - 3 = 0，
2 2 3
即 x + y - x + y - = 0 .
4
62．（2024 高二上·江蘇鹽城·期末）已知圓C 的圓心在 x 軸上，并且過 A 1,3 ，B 3,3 兩點.
(1)求圓C 的方程；
uuuur uuuur
(2)若 P 為圓C 上任意一點，定點M 8,0 ，點Q滿足PM = 3QM ，求點Q的軌跡方程.
【答案】(1) x - 2 2 + y2 =10
(2) x - 6 2 + y 2 10=
9
【分析】（1）求出圓心的坐標和圓的半徑，即得解；
uuuur uuuur ìx0 = 3x -16
（2）設點P x0 , y0 ，Q x, y ，由PM = 3QM 得 íy ，代入圓的方程即得解. 0 = 3y
【詳解】（1）由題意可知， AB 的中點為 2,3 ， kAB = 0 ，所以 AB 的中垂線方程為 x = 2，
2
它與 x 軸的交點為圓心C 2,0 ，又半徑 r = AC = 10 ，所以圓C 的方程為 x - 2 + y2 =10；
uuuur uuuur
（2）設P x0 , y0 ，Q x, y ，由PM = 3QM ，得 8 - x0 ,-y0 = 3 8 - x,-y ，
ìx0 = 3x -16 2
所以 í P Cy 3y ，又點 在圓 上，故 x0 - 2 + y
2
0 =10，
0 =
2 2 2 2 10
所以 3x -18 + 3y =10 ，化簡得Q的軌跡方程為 x - 6 + y =
9
63．（2024 高二上·海南·階段練習）已知點 A 1, -2 , B -1,4 ，求
(1)過點 A，B 且周長最小的圓的標準方程；
(2)過點 A，B 且圓心在直線 2x - y - 4 = 0上的圓的標準方程.
(1) x2 + y -1 2【答案】 =10
(2) x - 3 2 + y - 2 2 = 20
【分析】（1）所求的圓，即以 AB 為直徑的圓，求出圓心和半徑，可得結果；
（2）解法一：求出 AB 的垂直平分線的方程是 x - 3y + 3 = 0 ，又圓心在直線 2x - y - 4 = 0上，得兩直線交點
為圓心，即圓心坐標是C 3,2 ， r =| AC |= 2 5 ，可得圓的標準方程；解法二：利用待定系數(shù)法求解．
【詳解】（1）當 AB 為直徑時，過 A，B 的圓的半徑最小，從而周長最小．
1
即 AB 的中點 0,1 為圓心，半徑 r = | AB |= 10 ，
2
2
則圓的標準方程為 x2 + y -1 =10．
1
（2）解法一： AB 的斜率為 k = -3，則 AB 的垂直平分線的方程是 y -1 = x，即 x - 3y + 3 = 0 ，
3
由圓心在直線 2x - y - 4 = 0上，得兩直線交點為圓心，即圓心坐標是C 3,2 ．
r = AC = (1- 3)2 + (-2 - 2)2 = 2 5 ．
2 2
故所求圓的標準方程是 x - 3 + y - 2 = 20．
解法二：待定系數(shù)法
設圓的標準方程為 x - a 2 + y - b 2 = r2 ，
ì(1- a)2 + (-2 - b)2 = r2 , ìa = 3,

則 í(-1- a)2 + (4 - b)2 = r2 ,

íb = 2,

2a - b - 4 = 0,

r
2 = 20,
2
故所求圓的標準方程為 x - 3 + y - 2 2 = 20．
64．（2024 高二上·江蘇蘇州·期中）在平面直角坐標系 xOy 中，已知VABC 的頂點B -1,2 ，BC 邊上中線 AD
所在直線方程為5x -3y -3 = 0， AB 邊上的高CH 所在直線方程為 2x + y - 9 = 0 ，求：
(1)頂點 A 的坐標；
(2)VABC 外接圓的一般方程.
【答案】(1) A 3, 4 ；
(2) 7x2 + 7 y2 - 22x - 26y - 5 = 0 .
【分析】（1）求出直線 AB 的方程，與直線 AD 聯(lián)立，即可求出 A 的坐標；（2）先求出點 C 的坐標，利用待
定系數(shù)法求出VABC 外接圓的一般方程.
【詳解】（1）因為 AB 邊上的高CH 所在直線方程為 2x + y - 9 = 0 ，
所以 kAB -2 = -1
1
,解得： kAB = .2
所以直線 AB 的方程為 y - 2
1
= x +1 ，即 x - 2y + 5 = 0 .
2
ì5x - 3y - 3 = 0 ìx = 3
由 íx 2y 5 0 解得：- + = í ，即
A 3, 4 .
y = 4
2x y 9 0 C t,9 2t t -1,11- 2t （2）因為點 C 在直線 + - = 上，所以可設 - ，則BC 中點為 ÷ .
è 2 2
t -1,11- 2t 5x 3y 3 0 5 t -1 3 11- 2t把 ÷代入直線 AD ： - - = ，有 ÷ -

÷ - 3 = 0 ，解得： t = 4，所以
è 2 2 è 2 è 2
C 4,1 .
經(jīng)過 A 3, 4 ，B -1,2 ，C 4,1 可設為： x2 + y2 + Dx + Ey + F = 0 ,
ìD 22= -
ì32 + 42 + 3D + 4E + F = 0 7
2 2 26
所以 í -1 + 2 - D + 2E + F = 0 ，解得： íE = - ,
2 2 7
4 +1 + 4D + E + F = 0

5
F = - 7
所以VABC 外接圓的方程為7x2 + 7 y2 - 22x - 26y - 5 = 0 .

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